然后，可以使用连续分量Vt的传统模拟方案，通过蒙特卡罗轻松计算表达式（5.2）。总体而言，二阶近似比一阶近似有改进，但在纯跳跃模型中，它似乎比在具有连续分量的模型中更准确。图1显示了纯跳跃CGMY模型对不同值的Y（跳跃活动指数）的性能。二阶近似值似乎随着Y的减小而改善，即跳跃活动的减小。[5]中对其他三个CGMY参数进行了类似的敏感性分析。在随机波动分量的情况下，我们已经看到，二阶近似与布朗分量的情况相同，它只包含连续分量的现货波动信息。同样明显的是，对于小到期日，具有随机波动性或布朗成分的模型的模拟期权价格非常相似，与价格和近似值之间的差异相比，差异可以忽略不计。图2比较了一阶和二阶近似值与CGMY模型下的模拟期权价格，该模型具有赫斯顿随机波动率或布朗成分，以及不同程度的跳跃活动。同样，[5]对其他CGMY参数进行敏感性分析。引理的证明3.3我们首先给出一些必要的技术引理，其证明推迟到附录C。以下结果表明，（1.5）中的条件对概率测度从P*toeP和陈述（2.11）成立。引理A.1。在条件（2.3）和（1.5）下，（2.9）和（2.13）都成立。我们还将使用以下两个引理，第一个是[5]中引理3.3的扩展。引理A.2。

在（1.5）中，以下两个断言成立：1。对于任何v>0，（i）limt→0步Z+t+eUt≥ 五、=ZR{x--ln’q（x）≥v} ν（dx），（A.1）（ii）极限→0步Z+t+eUt≤ -五、=ZR{x--ln’q（x）≤-v} νν（dx）（A.2）2。存在常数¨κ<∞ t>0，这样（i）teP|eUt|≥ 五、≤ -κv-Y、 （ii）teP|Zt |+| eUt |≥ 五、≤ -κv-Y、 （A.3）对于任何0<t≤ tand v>0。引理A.3。设（ξt）t≥0是一个中心的L’evy过程，其L’evy测度ρ使得R:=inf{R:ρ（x:| x |>R）=0}∞. 然后，给定一个固定的任意k∈ N、 存在常数¨κ<∞ v>0，使得tp（|ξt |≥ v）≤ -κe-kv（A.4）适用于任何0<t≤ 1和v>v。我们现在准备展示结果。引理3.3的证明。自始至终，我们假设S=1，但不失一般性。证明遵循[5]中的论点。首先，我们利用在[3]中得到的下列表示，E（St- eκt）+=Z∞E-xP*（Xt>κt+x）dx，（A.5）与密度变换P*→公式（2.11）中引入eP，以重写FORMT中的按比例期权价格-1/YE（圣- eκt）+=eκt-（∧γ+η）tZ∞-γt1-1/Y+t-1/Yκte-t1/YveEE-eUt{t-1/YZt≥v}dv。[5]中的引理3.1证明了κt=0的上述公式。一般情况也得到了类似的证明。然后，误差d（t）：=t-1/YE（圣- eκt）+-eE（Z+）可以分解为如下d（t）：=eκt-（∧γ+η）tZ∞E-t1/YveEE-eUt{t-1/YZt≥v}dv-eE（Z+）+ （eκt-（∧γ+η）t- 1） eE（Z+）- eκt-（∧γ+η）tZ-γt1-1/Y+t-1/Yκte-t1/YveEE-eUt{t-1/YZt≥v}dv=：D（t）+D（t）- D（t）。（A.6）使用κt=θt+o（t）和Y>1，很容易看出这一点-1D（t）=o（1），t→ 0.（A.7）为了处理D（t）项，我们按照引理A.1进行。在[5]中。

具体来说，使用密度变换→ P*然后改变变量u=t1/Y-1v，泰-1D（t）=eκt-（∧γ+η）tZ-γ+t-1κte-utP*T-1/YZt≥ t1-1/Yu杜-→ (-~γ+θ）P*（eZ）≥ 0) = (-~γ+θ）eP（Z≥ 0），（A.8）作为t→ 0，自从t-1κt→ θ、 t1-1/Yu→ 0和t-1/YZt→P下分布的eZ*, 式中，EZ是一个居中的Y-stablerandom变量（见[14]中的命题1），与ZundereP的分布相同。对于（A.6）中的第一项，我们进一步将其分解为：D（t）=Z∞E-t1/YveEE-eUt{t-1/YZt≥v}dv-eE（Z+）+eκt-（∧γ+η）t- 1.eE（Z+）（eκt-（∧γ+η）t- 1)Z∞E-t1/YveEE-eUt{t-1/YZt≥v}dv-eE（Z+）=:\'D（t）+\'D（t）+\'D（t），（A.9），其中\'D（t）=o（\'D（t））和t1/Y-1’D（t）=o（1），作为t→ 0.接下来，使用Fubini定理和恒等式eUt= 0，t-1/YeEZ+t=eEZ+, 安第斯E-eUt= eηt，t1/Y-1’D（t）=t1/Y-1.eηt- 1t1/Y+1-eEE-（Z+t+eUt）-eEZ+t+eUtt1/Y=eηt- 1t+teEZZ+t+eUtE-五、- 1.dv1{Z+t+eUt≥0}!-teEZZ+t+eUtE-五、- 1.dv1{Z+t+eUt≤0}!=eηt- 1t+tZ∞E-五、- 1.eP（Z+t+eUt）≥ v） dv-tZ∞（ev）- 1） eP（Z+t+eUt）≤ -v） dv=：\'D（t）+\'D（t）-\'D（t），（A.10）其中清楚地\'D（t）→ η、 作为t→ 0.对于D，（A.3-ii）允许通过积分中的极限，因此（A.1）意味着极限→0\'D（t）=Z∞（e）-五、- 1） ZR{x--ln’q（x）≥v} νν（dx）dv=：θ。（A.11）在[5]中，limt→在（1.3）中的假设下，0’D（t）=0。其中的想法是将变量改为u=t-1/Yv，然后用u控制积分中的结果概率-1eE经验-T-1/Y（Zt+eUt）,哪个是O（u-1） 作为t→ 在（1.3）中的条件下为0。然而，如果（1.3-iii）不成立，则经验-T-1/Y（Zt+eUt）会随着时间的推移而分道扬镳→ 0.相反，这里我们证明，可以将限制传递到集成中，以便根据（A.2），limt→0\'D（t）=Z∞（ev）- 1） 极限→0teP（Z+t+eUt）≤ -v） dv=Z∞（ev）- 1） ZR{x--ln’q（x）≤-v} νν（dx）dv=：θ。

（A.12）注意，从x开始，（1.3-iii）-（1.3-iv）下的θ=0-- ln\'q（x）=-ln’q（x）≥ x>0表示x>0和x-- ln’q（x）=-十、- ln’q（x）≥ -当x<0时，x>0。为了证明支配收敛定理可以应用于（A.12），fix v>0，并将D（t）分解为两个积分之和¨D（t）=Zv（ev- 1） teP（Z+t+eUt≤ -v） dv+Z∞v（ev）- 1） teP（Z+t+eUt≤ -v） dv=：\'D（t）+\'D（t）。对于术语“D（t）”，请注意，在（A.3-ii）中≤ tt（ev）- 1） eP（Z+t+eUt）≤ -v）≤ κ（ev）- 1） 五-Y∈ L（（0，v））。（A.13）对于“D（t）”，letQt:=Zt+eUt=ZtZ(-ln\'q（x））\'N（ds，dx）和fixε>0以定义（ε）t:=Qt-ZtZ{-ln′q（x）>ε}(-ln′q（x））N（ds，dx）=ZtZ-ln’q（x）≤ε(-ln\'q（x））\'N（ds，dx）- tZ-ln′q（x）>ε(-ln‘q（x）〕ν（dx），具有有界跳跃，因为‘q（x）是有界的。还要注意的是≥ Q（ε）tand-∞ < u：=eEQ（ε）<eEQ（ε）t< 0表示0<t≤ 1.使用这些恒等式和引理A.3，我们可以选择vsuch thatt（ev- 1） eP（Z+t+eUt）≤ -v）≤t（ev- 1） eP（Qt≤ -五）≤t（ev- 1） ePQ（ε）t-eE Q（ε）t≤ -五、- u（A.14）≤ -κe-2u（ev）- 1） e-2v∈ L（[v，∞)).（A.13）和（A.14）一起证明了（A.12）中支配收敛定理的使用。结合（A.6）-（A.12），给出→0t1/年-1.T-叶（圣- （eKt）+-eE（Z+）= (~γ - θ） eP（Z）≥ 0) + θ- θ+ η =: (~γ - θ） eP（Z）≥ 0) + θ + η. （A.15）最后，将富比尼定理应用于（A.11）和（A.12）的右侧，得到θ=C（1）Z∞Z(-ln‘q（x））∨0（e）-五、- 1） dv-Zln\'q（x）∨0（ev）- 1） dv！十、-Y-1dx+C(-1） Z-∞Z(-十、-ln‘q（x））∨0（e）-五、- 1） dv-Z（x+ln\'q（x））∨0（ev）- 1） dv！十、-Y-1dx=C（1）Z∞1.- eln\'q（x）+ln\'q（x）十、-Y-1dx+C(-1） Z-∞1.- ex+ln\'q（x）+x+ln\'q（x）|x|-Y-1dx。同样，可以证明（2.12）中定义的常数η可以写成：η=C（1）Z∞ex+ln’q（x）- 1.- ln’q（x）- 十、十、-Y-1dx+C(-1） Z-∞ex+ln’q（x）- 1.- ln’q（x）- 十、|x|-Y-1dx。结合θ和η的表达式得出（3.3）。

（3.4）中的∧γ的表达式如下∧γ=eEX=~b+Z{| x |>1}x∧ν（dx）=b*+Z | x|≤1x（~ν）-ν*)（dx）+Z{x |>1}x|ν（dx），以及标准简化。B与（4.26）定理4.2有关的辅助结果的证明。根据Fubini定理和（4.13）中的术语，我们可以编写-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= E-（η+～γ）t+κtZ∞tY/2-1J（t，u）e-√tuE（Ξt（u，ω））du，其中Ξt（u，ω）=e-1.-ρt′σt（Y·（ω））eρσWt（ω）e-（u）-ρσt-1/2Wt（ω））2（1-ρ） ′σt（Y·（ω））p2π（1）- ρ） σt（Y·（ω））。我们首先展示了这一点→0E（Ξt（u，ω））=EE-（u）-ρσΛ)2(1-ρ） σp2π（1）- ρ)σ=E-u2σp2πσ，（B.1）式中∧~ N（0，1）。实际上，使用（4.24）-（4.25）以及Slutsky定理和连续映射定理，Ξt（u，ω）D-→E-（u）-ρσΛ)2(1-ρ） σp2π（1）- ρ） σ，作为t→ 也很容易看出集合（Ξt（u，ω））0<t≤1是一致可积的，因为，由于（4.16），存在一个常数K，使得Ξt（u，ω）≤ kexp（ρσWt（ω））和sup0<t≤1Ee2ρσWt< ∞. 因此，我们得出（B.1）中的第一个等式。其中的第二个平等自那时以来一直存在E-（u）-ρσΛ)2(1-ρ） σp2π（1）- ρ)σ=ZRe-（u）-x） 2（1）-ρ） σp2π（1）- ρ） σe-x2ρσp2πρσdx=e-u2σp2πσ，（B.2）通过完成平方。接下来，我们展示一下这个极限→0Z∞tY/2-1J（t，u）e-√tuE（Ξt（u，ω））du=Z∞极限→0天/2-1J（t，u）e-√tuE（Ξt（u，ω））du。（B.3）利用支配收敛定理和（4.23-i）证明了大量Bt（u）的存在性，使得E（Ξt（u，ω））≤ 英国电信（u）有限公司→0Z∞u1-YBt（u）du=Z∞极限→0u1-YBt（u）du<∞.为此，请注意，鉴于（4.16），存在一个常数K，使得Ξt（u，ω）≤ KeρσWt（ω）e-2(1-ρ） M（u）-T-1/2ρσWt（ω））。因此，通过柯西不等式，E（Ξt（u，ω））≤ KeρtEE-(1-ρ） M（u）-ρσΛ)≤ Keρte-Ku，对于一些正常数K，K，上面的最后一个不等式可以通过类似于（B.2）的程序得到。

最后，（B.1）、（B.3）和（4.23-ii）一起意味着（4.26）。证明（4.27）。下面，k表示一个通用常数，其值可能会随着行的变化而变化。让我们首先注意分解j（t，u）=t-eE{Zt≥0}ZeUt+ztutE-十、- 1.dx！- T-eE{-屠≤Zt≤0}ZeUteUt+ZtE-十、- 1.dx！=T-锆E-十、- 1.T（T，x）dx- T-锆E-十、- 1.T（T，x，u）dx（B.4），其中，对于T>0和u>0，我们设置T（T，x）：=ePZt≥ 0，eUt≤ 十、≤eUt+Zt, T（T，x，u）：=eP-屠≤Zt≤ 0，eUt+Zt≤ 十、≤eUt. （B.5）对于积分域x上（B.4）中的第一个积分∈ (0, ∞), 我们用（A.3-ii）得出结论，T（T，x）≤ -κtx-Y、 对于t≤ t<1。因此，回顾（4.13）、（4.14）和（4.18）中引入的符号，并使用（4.16），我们得到：0≤ 泰-1EE-ηt（ω）+Vt（ω）Z∞Z∞1.- E-十、√tT（t，x）dxe-√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du= E-（η+～γ）t+κttY-1EE-1.-ρt′σt（Y（ω））eρσWt（ω）Z∞Z∞1.- E-十、√tT（t，x）dxe-√星期二-（u）-T-1/2ρσWt（ω））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du≤ ~kκtY-1EeρσWt（ω）Z∞Z∞(1 - E-x） x-Ydxe-（u）-T-1/2ρσWt（ω））2（1-ρ） \'σt（Y（ω））p2（1）- ρ） π′σt（Y（ω））du≤ ~kκtY-1Z∞(1 - E-x） x-Ydxt→0-→ 0，（B.6）其中，对于最后一个不等式，我们使用关于u的积分有界于1，并且sup0<t≤1EeρσWt<∞. 积分域x上（B.4）中的第二个积分∈ (0, ∞) 可以用类似的方法处理。对于积分域x上的第一个积分（B.4）∈ (-∞, 0），请注意≤ 泰-1EE-ηt（ω）+Vt（ω）Z∞Z-∞E-十、- 1.√tT（t，x）dxe-√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du= E-（η+～γ）t+κttY-1EE-1.-ρt′σt（Y（ω））eρσWt（ω）Z∞Z-∞E-十、- 1.√tT（t，x）dxe-√星期二-（u）-T-1/2ρσ（y）Wt（ω））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du≤ ~kκtY-1Z-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ 十、dxt→0-→ 0

（B.7）查看最后一个极限的有效性，fix x>0，并将其中的积分（我们表示V（t））拆分为两部分SV（t）=Z-十、-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ 十、dx+Z-十、E-十、- 1.泰普eUt≤ 十、dx=：V（t）+V（t）。由于（A.3-ii）的存在∞ t>0使得v（t）=Z-十、E-十、- 1.泰普eUt≤ 十、dx≤ κZ-十、E-十、- 1.十、-Ydx<∞, （B.8）对于所有0<t<t.对于V（t），fix anε>0，writeeUt=ZtZ | x|≤ε|（x）N（ds，dx）+ZtZ|x |>ε|（x）N（ds，dx）=：eUt+eUt，其中N是x的跳跃测量值。注意v（t）≤Zx-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ x/2dx+Zx-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ x/2dx。（B.9）对于第一个积分，（A.4）允许选择xsuch thatZx-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ x/2dx≤ κZx-∞E-十、- 1.e2xdx<∞, （B.10）对于所有0<t≤ 1，式中√κ<∞ 这是一个常数。对于第二个积分，注意eut=αt+PN（ε）ti=1ξεi，其中α∈ R、 和（N（ε）t）t≥0和（ξ（ε）i）i≥1（eUt）t的计数过程和跳跃大小≥0.用λε表示：=E（N（ε））跳跃强度。然后，通过调节N（ε）t，我们可以找到0<t<1，这样，对于所有t≤ t、 Zx-∞E-十、- 1.泰普eUt≤ x/2dx=Zx-∞（e）-十、- 1） t∞Xk=1e-λεt（λεt）kk！~Pαt+kXi=1ξ（ε）i≤十、dx≤Zx-∞E-十、∞Xk=1λkεk！~E[E-4Pki=1ξ（ε）i]e2x+4 |α| dx≤ κZx-∞exeλεudx<∞, （B.11）我们使用了马尔可夫不等式，0≤ u：=E（E）-4ξ(ε)) < ∞, 因为-4ξ（ε）]=λεZ | x |>εe-4ν（x）~ν（dx）=C（1）λεZ∞εe4x（`q（x））x-Y-1dx+C(-1） λεZ-ε-∞e4x（`q（x））|x|-Y-1dx<∞,积分对于（4.5）中的列维密度是有限的。

（B.8）-（B.11）组合表示（B.7）中的限制，因为1<Y<2。最后，对于积分域x上（B.4）中的第二个积分∈ (-∞, 0），请注意≤ 泰-1EE-ηt（ω）+Vt（ω）Z∞Z-∞E-十、- 1.√tT（t，x）dxe-√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du= E-（η+～γ）t+κttY-1EE-1.-ρt′σt（Y（ω））eρσWt（ω）Z∞Z-∞E-十、- 1.√tT（t，x，u）dxe-√星期二-（u）-T-1/2ρσ（y）Wt（ω））2（1-ρ） \'σt（Y（ω）p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du≤ ~kκtY-1Z-∞E-十、- 1.teP（eUt+Zt≤ x） dxt→0-→ 0，（B.12），因为支配收敛定理可以像（A.12）那样应用，并且Y>1。证明（4.31）。让我们首先将（4.29）中定义的术语中出现的期望分解如下：eEE-eUt- 1.{Zt≤-屠}=eEE-eUt- 1+eUt{Zt≤-屠}-eEeUt{Zt≤-屠}≤eEE-eUt- 1+eUt+eE|eUt|=: J（t）+J（t）。（B.13）对于J（t），存在!∞ t>0，使得J（t）=eEE-eUt- 1+eUt=Z∞(1 - E-w） ePeUt≥ Wdw-Z-∞(1 - E-w） ePeUt≤ Wdw≤ κt（B.14）所有0<t≤ t、 其中，最后一个不等式来自（A.3-i），用于第一个积分，以及（B.7），其中第二个积分被处理。对于J（t），使用（A.3-i），0≤ J（t）=t1/YZ∞ePT-1/Y | eUt |≥ U杜≤ t1/Y1+Z∞ePT-1/Y | eUt |≥ U杜≤ t1/Y1+Z∞κt（t1/Yu）-伊杜= o（t1-Y） ，t→ 0，（B.15）自1/Y>1- Y/2表示1<Y<2。接下来是0≤ 泰-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）≤ 泰-1EE-ηt（ω）eVt（ω）Z∞eEE-eUt- 1.{Zt≤-屠}1.- E-√屠√te-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））du≤ 泰-1（J（t）+J（t））EE-ηtZ∞ue-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）- ρ） “∑t（Y（ω））duT→0-→ 0，因为0<m≤ ′σ（Y（ω））≤ M<∞.证明（4.47）。在概率测度P下*如（4.44）所述，VT代表VT=ρZtσ（Ys）dWs+p1- ρZtσ（Ys）dWs+Ztσ（Ys）ds=：ξt+Ztσ（Ys）ds，V=0。我们将展示t-ξtD-→ Λ ~ N（0，σ），作为t→ 0，这意味着t-VtD-→ ∧由（4.9）和Slutsky定理得出。

对于θ∈ C、 定义Mθt=eθξt-θRtσ（Ys）ds，这是一个鞅，因为σ（·）是有界的。设θ=iu/√t-soEeiu√tξt+u2tRtσ（Ys）ds= Eeiu√tξteu2tRtσ（Ys）ds- 欧盟σ+ eiu√tξt+uσ= 1.以极限为t→ 现在两边都是0，表示瘦→0Eeiu√tξt= E-注意到这一点eiu√tξteu2tRtσ（Ys）ds- 欧盟σ≤Ee2iu√tξtEeu2tRtσ（Ys）ds- 欧盟σ≤Eeu2tRtσ（Ys）ds- 欧盟σ→ 0，t→ 0，其中最后一步来自（4.16），支配收敛定理，以及σ（·）在y的一个偏角上有界的事实。证明（4.53）。自Wt以来/√T~ N（0，1），EZ∞zZz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz=祖=-∞+Z∞u=0φ（u）Z∞z=0zZz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（x）dxdzdu=：I+I。对于u<0，我们有：I≤祖=-∞φ（u）Z∞z=0zzσ-Z- ρσup1- ρσφzσdz≤祖=-∞φ（u）Z∞z=0Kz+Kz | u|φzσdz<∞,其中K是正常数。对于u>0，我≤Z∞u=0φ（u）Z∞z=ρσuzzσ-Z- ρσup1- ρσφz- ρσup1- ρσ!dz+Zρσuz=0zzσ-Z- ρσup1- ρσφ（0）dz！杜≤Z∞u=0φ（u）Z∞x=0（x+ρσu）x+ρσuσ-xp1- ρσφxp1- ρσ!dx+Zρσuz=0zzσ-Z- ρσup1- ρσφ（0）dz！杜≤Z∞u=0φ（u）Z∞x=0Kx+Ku+Kxuφxp1- ρσ!dx+Ku+Ku!杜<∞.其他技术引理的证明引理A.1的证明。对于（2.9），首先请注意，在原点附近1.- E-~n（x）/2~ν（x）=（x+ln\'q（x））≤x+（ln\'q（x））~x+（1）- q（x））,因此，（1.5-i）积分在包含原点的任何区间上都是有限的。远离原点，考虑到x>0的鞅条件（2.1-i），以及q（x）在x<0时有界这一事实，积分是有限的。对于（2.13），请注意，在原点附近，我们有-~n（x）- 1+~n（x）~和（2.9）中积分的情况相同。在原点之外，我们有z | x |>1E-~n（x）- 1+~n（x）|x|-Y-1dx≤ CZ | x |>1E-~n（x）- 1.|x|-Y-1dx+CZ | x |>1 | |||（x）|x|-Y-1dx<∞对于某些常数C，C<∞.

上述第一个积分由积分（2.9）中使用的相同参数确定，第二个积分的有效条件为（1.5-ii）。引理A.2的证明。（1） 该证明与[5]中引理3.3第一部分的证明相同。（2） 自始至终，△κ>0表示一个通用的有限常数，该常数可能因行而异。首先，利用Zt是严格Y稳定的，因此是自相似的这一事实，我们得到了EP（|Zt |≥ v）≤ -κv-Y、 （C.1）对于任何0<t≤ 1和v>0（见[5]中的方程式（2.18））。因此，有必要展示| eUt |的模拟不等式。为此，我们使用以下分解，ε=αv，α>0:\'eU（ε）t:=ZtZ|||（x）|≥ε~n（x）N（ds，dx），eU（ε）t:=eUt-“eU（ε）t.（C.2）自”q（x）→ 1作为x→ 0，{x:||（x）|≥ ε} {x:|x |≥ δ} 对于一些足够小的δ>0。因此，“eU（ε）是一个复合泊松过程。设C:=C（1）+C(-1） ，并注意到||（x）|=|- 十、- ln\'q（x）|≤ |x|1 +ln’q（x）x≤ |x|（1+K），其中K<∞ 因为（1.5）。因此，表示Nεt:=N（{（s，x）：s）≤ t、 |||（x）|≥ ε} ）和λε：＝νν（{x:|~n（x）|≥ ε} ）teP\'\'eU（ε）t≥ v/2≤泰普N（ε）t6=0=T1.- E-λεt≤ λε≤\'CZ|~n（x）|≥αv | x|-Y-1dx≤“CZ|x”|≥αv1+K | x|-Y-1dx≤ -κv-Y.ForeU（ε）t，我们将正实轴分为三部分。首先，根据引理A.3，存在v<∞ 就这样-1ePeU（ε）t≥ v/2≤ -κv-y对于v>v，有些是√κ<∞, 所有t<1。接下来，让v>0，注意对于v≤ 五、≤ v、 通过取足够小的α，tePeU（ε）t≥ v/2≤泰普eU（ε）t≥ v/2≤ 五、-Y≤ 五、-Y、 因为它不够小。通过定义φ（0）：=0，φ（x）在原点处变得连续，因此存在δ>0，使得b（0，δ） {~n（x）：x∈ R} 。现在考虑v<v:=δ/α，使用α=1/4的分解（C.2），注意最小的r(-r、 r）支持Eu（ε）tisε=v/4的Lāevy度量。然后eEeU（ε）t≤ tZ|||（x）|>v/4|||（x）||ν（dx）=t|C（1+K）Z|x|>v/41+K|x|x|-Y-1dx=Ctv-Y+1，其中C是一个正常数。

因此，当t和v为Ctv时-Y+1≤ v/4，ePeU（ε）t≥ v/2=eP-eU（ε）t≥ v/2+ePeU（ε）t≥ v/2≤eP-eU（ε）t+EeU（ε）t≥ v/4+ePeU（ε）t- EeU（ε）t≥ v/4接下来，使用中心随机变量的集中不等式（例如，参见[8]，推论1），ePeU（ε）t≥ v/2≤ 2ev4ε-v4ε+tVε日志1+εv4tVε≤ 2.4eVεvv4εtv4ε≤32eVv/4vt，其中Vε：=Var（eU（ε）），在最后一个不等式中，ε=V/4。现在，Vv/4=Var欧盟（v/4）=Z||||（x）|≤v/4а（x）аν（dx）=Z{124; x|≤v、 ||（x）|≤v/4}~n（x）~ν（dx）+Z{124; x|≥v、 ||（x）|≤v/4}~n（x）~ν（dx）≤ M|CZ|x|≤v | x|-Y+1dx+C五、Z | x|≥v | x|-Y-1dx≤ κv2-Y、 对于一些人来说∞, 如上所述，我们设置M:=sup | x |>0 |~n（x）|/|x |，这是（1.5）的定义。因此，无论何时-Y+1≤ v/4（或相当于4Ctv-Y≤ 1） ，tePeU（ε）t≥ v/2≤eVv/4v≤ -κv-Y.此外，对于任何t>0和v>0，tePeU（ε）t≥ v/2=泰普eU（ε）t≥ v/2{4Ctv-Y≤1} +tePeU（ε）t≥ v/2{4Ctv-Y> 1}≤ -κv-Y+4Cv-Y≤ -κv-Y、 结合之前的估计，我们最终得出了TEPeUt≥ 五、≤泰普\'\'eU（ε）t≥ v/2+泰普eU（ε）t≥ v/2≤ -κv-Y.（C.3）对于所有v>0和t>0以及一些常数∞.引理A.3的证明。使用中心随机变量的集中不等式（例如，参见[8]，推论1）给出| P（|ξt |≥ v）≤ 2evR-vR+tVRR日志1+RvtVR= 2evR1.-日志1+RvtVRE-vR+tVRR日志1+RvtVR,式中，VR=V ar（ξ），ande-vR+tVRR日志1+RvtVR≤ E-vRlog1+RvtVR≤ tvRRvVR-虚拟现实。然后通过为VR选择足够大的vbig来建立关系≥ 1和2日志RvVR> k保持。引理4.1的证明。按照[1]的行，定义Zt=u（Yt），其中u（y）=Zyye-RxY2α（z）γ（z）dzdx。（Zt）t≥0是二次变量的局部鞅hzit=Zt（u（Ys）γ（Ys））ds=Zte-4RYsYα（z）γ（z）dzγ（Ys）ds，因此存在布朗运动（Bt）t≥0从Z开始，这样Zt=BhZit。同时确定已停止的流程“Yt=Yt”∧τ和¨Zt=Zt∧τ.

那么，P（τ）≤ t） =Pinfs≤图（Ys）≤ u（a）或sups≤图（Ys）≥ u（b）= Pinfs≤tZs≤ u（a）或sups≤tZs≥ u（b）= Pinfs≤TZ≤ u（a）或sups≤TZ≥ u（b）= 品脱≤赫兹特布斯≤ u（a）或sups≤赫兹特布斯≥ u（b）！≤ 两杯≤β（t）Bs≥ M≤ 4ψMpβ（t）！，（C.4）其中（Bt）t≥0是标准布朗运动，M:=min（u（b）- Z、 Z- u（a）），β（t）是一个确定性函数，例如h′Zit≤ β（t），最后一行来自p（St>z）=2ψ的事实Z√T, z>0，其中sti是标准布朗运动的运行上确界，ψ（z）：=z∞Z√2πe-乌杜。为了证明β（t）的存在，请注意h¨Zit=Zte-4R’YtYα（z）γ（z）dzγ（\'Ys）ds，首先，假设γ（y）6=0，并使用γ（·）在yto find a、\'b和 > 0，以便∈ （\'a，\'b）和|γ（y）|>为了你∈ （\'a，\'b）。然后，利用α（·）和γ（·）是局部有界的这一事实，h′Zit≤ KZteKR‘b’aγ（z）dzds<Kt=：β（t），其中K、K和Kare为正常数。因此，（C.4），也就是P（τ≤ t） ，对于任何k都是O（tk）顺序∈ N.如果γ（y）=0，则设y∈ （a，b）使得γ（y）6=0（如果不存在这样的yexists，那么Yt{a<Yt<b}是确定性的，而p（τ≤ t） =0表示t足够小），定义τ：=inf{t≥ 0:Yt=y}。

ThenP（τ）≤ t） =P（τ）≤ t、 τ≤ τ） +P（τ）≤ t、 τ>τ）≤ P（τ）≤ t |τ≤ τ） +P（τ）≤ t、 τ>τ）≤ P（¨τ）≤ t） +P（τ）≤ t、 τ>τ）=O（tk），t→ 0，其中τ：=inf{t≥ 0:Yt/∈ （a，b）|Y=Y}，因此第一项的顺序来自于γ（Y）6=0的情况，第二项的顺序来自于（Ys）s的事实≤在{τ>t}上是确定的，所以P（τ≤ t、 τ>τ=0，足够小。致谢：作者感谢两位匿名审稿人提供的建设性和有益的评论，这对提高手稿质量做出了重大贡献。参考文献[1]Abundo，M.：关于一维扩散过程最大值的一些评论，概率与数理统计，28（1），107-1202008。[2] 安徒生，L.，利普顿，A.：指数L’evy过程的渐近性及其波动性微笑：调查和新结果。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》第16卷第1期，第1-98页，2013年。[3] Carr，P.，Madan，D.：期权定价的鞍点方法，计算金融杂志，13（1），49-612009。[4] Cont，R.，Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模，查普曼和霍尔，2004年。[5] Figueroa-L\'opez，J.E.，Gong，R.，Houdr\'E，C.：指数型evy模型ATM期权价格的高阶短期扩展，发表于《数学金融》，2013年。可从arXiv获得：1208.5520。[6] Figueroa-L\'opez，J.E.，Forde，M.：指数L\'evy模型的小成熟微笑，暹罗金融数学杂志3（1），33-652012。[7] Figueroa-L\'opez，J.E.，Houdr\'E，C.：L\'evy过程、随机过程及其应用的过渡分布的小时间展开，1193862–38892009。[8] Houdr\'e，C.：关于不可完全整除随机向量函数的偏差不等式的评论，概率年鉴，30（3），1223-12372002。[9] 卡伦伯格，O.：现代概率的基础。

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