在Levy跳跃下，对接近货币期权的短期扩张

2022-5-6 02:32:39

这两个关键问题在目前的工作中得到了解决。在存在跳跃风险的情况下，直到最近，对于即将到期的现金（ATM）期权，还没有可用的高阶渐近解，更不用说接近现金期权了。在[5]中，我们推导了一类指数L’evy模型的ATM期权价格的二阶近似。更具体地说，时间t的资产价格由t:=SeXt给出，其中X:=（Xt）t≥0是一个具有L\'evy密度s:R\\{0}→ [0, ∞) 形式（x）=|x|-Y-1Cx | x|q（x），（1.1）代表Y∈ （1,2），常数C（1），C(-1) ∈ (0, ∞), 和一个有界可测函数\'q:R\\{0}→ [0, ∞) 这样的限制→0\'q（x）=1。(1.2)*美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907(figueroa@purdue.edu).部分由NSF资助的研究：DMS-1149692.+美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907(sveinno@purdue.edu).条件（1.1）和（1.2）要求过程X的“小”跳跃行为类似于Y-稳定过程，而函数q允许大跳跃的缓和，以便X具有有限的指数矩，这是价格过程成为鞅所必需的。具有满足（1.1）-（1.2）的L’evy密度s的纯跳跃L’evy过程将在下文中被称为回火稳定过程。值得指出的是，金融领域使用的大多数标准L’evy模型都承认形式为（1.1）的L’evy密度。其中包括CGMY模型和[4]中定义的正常回火稳定过程、Meixner过程（[17]）和广义双曲类（[17]）。然而，请注意，在后两种情况下，Y=1。

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2022-5-6 02:32:43

Y的限制∈ （1,2）实际上是受最近基于高频金融数据的经济计量研究的推动（见[5]中的备注2.2和其中的参考文献）。除了（1.1）-（1.2）之外，在[5]中，对于某些常数M，G>0，还假设‘q满足以下技术条件：（i）1- q（x）~ Mx，x&0；（二）1- q（x）~ -Gx，x%0；（iii）q（x）≤ E-x、对于所有x>0；（iv）q（x）≤ 1，所有x<0；（1.3）（v）lim sup | x|→∞|ln¨q（x）| | x |<∞; （六）inf | x|<对于任何情况，q（x）>0 > 0.一个自然而重要的问题是，正则性条件（1.3）对于[5]中二阶短期扩张的有效性有多必要。在接下来的内容中，我们展示了它们大多是超丰富的，并且所有需要的是以下可积条件z | x|≤1 | x|-Y | 1- \'q（x）| dx<∞, （1.4）如下所示，这是二阶展开式定义良好的最小可能条件。让我们简要概述一下我们的证明策略。首先，使用类似于[5]的参数，我们证明了类似processeX的回火稳定的结果的有效性，其“q函数”满足以下条件：（i）|1- \'q（x）|=O（|x |），x→ 0; （ii）lim sup | x|→∞|ln¨q（x）| | x |<∞; （三）inf | x|<对于任何情况，q（x）>0 > 0.（1.5）其次，使用与[12]中介绍的方法类似的方法，我们证明了仅满足（1.4）的过程对应的期权价格，可以通过满足（1.5）中所有三个条件的过程对应的期权价格，近似到第二阶。众所周知，指数L’evy模型无法准确捕捉波动率表面的时间动态，并且它们没有考虑资产价格的一些风格化特征，例如波动率聚类和杠杆效应。

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2022-5-6 02:32:46

对此的一种自然补救方法是，用一个独立的随机波动过程取代L’evy过程的（恒定波动）布朗成分，其形式为dvt=u（Yt）dt+σ（Yt）ρdWt+p1- ρdWt, V=0，（1.6）dYt=α（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y，（1.7）其中（Wt）t≥0和（Wt）t≥0是独立的标准布朗运动。该框架包括最常见的随机波动模型，如均值回复Heston和Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，我们将考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt，其中X是一个纯跳跃式稳定过程，如上所述，并表明在（1.6）-（1.7）中漂移和波动参数的一些温和条件下，[5]中的二阶展开仍然有效，但布朗分量的波动率σ被即期波动率σ（y）取代。这样做的步骤在精神上与纯跳跃案例中使用的步骤类似。首先，通过调节随机因子Y并利用高斯分布的性质，可以使用类似于[5]中的策略来表明，当σ（·）假定有界于0和0时，展开是有效的∞. 然后，类似于[12]中介绍的方法可以用来证明二阶展开式扩展到了潜在无界σ（·）的情况。上述渐近展开式与ATM期权价格有关，即e（St- Seκ）+κ=0。如上所述，随着到期日接近0，大多数流动性期权的执行价格接近ATM，即κ，这一事实提出了一个具有实际重要性的问题≈ 0（参见[11]）。然而，在存在跳跃的情况下，随着到期日的减少（参见[6,18]），场外期权（κ6=0）的隐含波动率会爆炸，而ATM期权的隐含波动率会收敛到一个固定值（参见[13,18]）。

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2022-5-6 02:32:50

因此，我们有兴趣看看是否可以扩大货币扩张的范围，以包括执行价格“接近货币”的期权。为了使这个想法正式化，我们遵循[11]的思路，考虑E（St）形式的期权价格- Seκt），其中log-strikeκt现在具有终止性功能，因此κt→ 0，作为t→ 0.换言之，当t>0时，罢工被允许超出货币范围，而当t等于货币罢工时，罢工被允许收敛到货币范围→ 0.事实证明，无论有无连续成分，都存在一个小的到期对数货币制度，这取决于二阶项的顺序，ATM渐近展开确实可以用于包含接近货币期权。本文的其余部分组织如下。首先，第2节介绍了基础资产价格模型和一些有用的符号。接下来，第3节和第4节分别给出了纯跳跃情形和包含连续波动分量情形下的近似货币渐近展开。最后，在第5节中进行了数值分析。引理和其他技术细节的证明请参见附录A-C.2模型和一些相关注释通篇，X:=（Xt）t≥0表示在过滤概率空间上定义的纯跳跃L’evy过程(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）满足通常条件，三重态（0，b，ν）为：（i）Z∞exν（dx）<∞, 及(ii)E前任= 经验b+ZR前任- 1.- x1{|x|≤1}ν（dx）= 1，（2.1）式中，R:=R\\{0}，给出了与截断函数1{x有关的L\'evy三元组|≤1} （见[16]第8节）。注意，我们隐式地假设无风险率r为零，并且P是指数L′evy过程St:=SeXt的鞅测度。

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2022-5-6 02:32:53

此外，假设L’evy测度ν允许密度s:R→ [0, ∞)形式（x）=|x|-Y-1Cx | x|q（x），（2.2）代表Y∈ （1,2），常数C（1），C(-1) ∈ [0, ∞) 使C（1）+C(-1） >0，且有界可测函数\'q:R→ [0, ∞) 这样的限制→0\'q（x）=1。（2.3）正如引言中所解释的，我们还希望在模型中加入一个独立的随机波动成分。为此，我们假设(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）也携带一个过程（V，Y）：=（Vt，Yt）t≥0，独立于X，因此dvt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）ρdWt+p1- ρdWt, V=0，（2.4）dYt=α（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y，（2.5），考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt。这里，（Wt）t≥0和（Wt）t≥假设0是独立的标准布朗运动相对于过滤（Ft）t≥0, ρ ∈ [-1,1]和α（·）、γ（·）和σ（·）被假定为一个定义良好的P-鞅。特别是，α（·）和γ（·）使得（2.5）允许一个唯一的强解，而σ（·）使得（2.4）中的积分定义良好。正如在[5]中，我们的证明中的一个重要组成部分是一些合适的概率密度变换。为了定义这些转换，我们进一步假设过滤（Ft）t≥0等于F=∨T≥0英尺。然后，利用鞅条件E提取= 1，概率测度P*在(Ohm, F）定义为viadP*|FtdP | Ft=eXt，t≥ 0.（2.6）在这个概率测度下，X是一个具有三重态（0，b）的L′evy过程*, ν*) 由ν给出*（dx）：=exν（dx）=exs（x）dx，b*:= b+Z | x|≤1x（ex- 1） s（x）dx，（2.7）（见[16]定理33.1）。一旦测量P*定义后，构造了另一个局部等效度量eP，根据该度量，X的L’evy三重态（0，~b，~ν）的形式为ν（dx）：=|X|-Y-1Cx | x|dx=|x|-Y-1.C（1）1{x>0}+C(-1） 1{x<0}dx，~b:=b*+Z | x|≤1x（~ν）-ν*)（dx）。（2.8）特别是，X在EP下是Y稳定的L’evy过程。

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2022-5-6 02:32:56

请注意，条件（1.3-vi）确保/ν等于ν*因此，根据[16]中的定理33.1，度量变换P*→如果满足以下条件，eP定义良好：ZRe~n（x）/2- 1.ν*（dx）=ZR1.- E-~n（x）/2νν（dx）<∞, （2.9）式中φ（x）：=lnd/dν*= -ln’q（x）- x、我们用一些有用的符号来结束这一部分。让我们首先定义中心过程zt:=Xt- tγ，（2.10），其中eγ：=eE（X），这必然是EP下严格Y稳定的过程。第二，用N表示过程X的跳跃度量，用N表示过程ep下的补偿度量（dt，dx），可以得到对数密度过程的以下表示（见[16]中的定理33.2]：Ut:=logdeP | FtdP*|Ft=eUt+ηt（2.11），其中eUt:=ZtZRа（x）N（ds，dx），η：=ZRE-~n（x）- 1+~n（x）如果ZrE-~n（x）- 1+~n（x）νν（dx）<∞. （2.13）在这一点上，值得一提的是，在续集中，条件（2.9）和（2.13）将不会被假定为满足。正如导言中所解释的，这个想法是为了近似满足较弱条件（1.4）的模型的“接近货币”期权价格，以及满足一组更强条件的模型的相应期权价格，特别是意味着（2.9）和（2.13）。3纯跳跃L’evy模型考虑第2节中介绍的纯跳跃指数L’evy模型。在本节中，我们证明了[5]的二阶展开式仅在最薄弱的条件下是有效的，在这种条件下，它被很好地定义。以下定理是本节的主要结果。定理3.1。考虑指数L'evy模型St：=SeXt，其中X：=（Xt）t≥0是一个纯跳L’evy过程，其三重态（0，b，ν）满足（2.1）-（2.2）有界可测函数‘q:R\\{0}→ [0, ∞) 这样limx→0\'q（x）=1和z|x|≤1 | x|-Y | 1- \'q（x）| dx<∞.

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2022-5-6 02:32:59

（3.1）在这种情况下，如果相应看涨期权的对数货币性κt的形式为κt:=θt+o（t），则为t→ 0，对于某些θ∈ R、然后给出了接近货币期权价格的二阶渐近展开式- Seκt）+=dtY+dt+o（t），t→ 0，（3.2）带d:=eE（Z+）和d:=θ+（θγ）- θ） eP（Z）≥ 0），其中，在EP下，Zi是一个严格稳定的r.v.，具有L’evy度量ν（dx）：=C（x/| x |）|x|-Y-1dx和θ：=C（1）Z∞（exq（x）- q（x）- x） x-Y-1dx，（3.3）~γ：=eE（X）=b+C（1）- C(-1） Y-1+C（1）Zx-Y（1- \'q（x））dx- C(-1） Z-1 | x|-Y（1- q（x））dx。（3.4）备注3.2。条件（3.1）是展开式（3.2）有意义的最小条件，否则（3.4）中的积分没有很好的定义。还要注意，定理3.1中对数货币性κtchosen的形式在某种意义上是最相关的。如图所示，如果κt以比t快的速度收敛到0（即定理中的θ=0），则二阶渐近展开式与货币情形中的二阶渐近展开式正好一致。相反，如果κt收敛速度较慢，则二阶项不再包含关于回火函数q的信息，其顺序由κt决定。更准确地说，如果，例如，κt=θtβ+o（tβ），y<β<1，θ6=0（β>确定dt1/y为展开的首阶项），则- Seκt）+=dtY+dtβ+o（t），t→ 0，其中dis如定理中所示，d:=θeP（Z）≥ 0），其中zi仍然是一个严格稳定的随机变量，其l′evy测度~nν（dx）：=C（x/| x |）|x|-Y-1dx。在这一点上，参考[11]的工作也可能是相关的，其中考虑了接近货币渐近状态κt:=θpt ln（1/t），导致期权价格的收敛速度较慢。如引言所述，定理3.1中的结果将通过两个步骤获得，第一个步骤包括放松等式中给出的条件。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:33:02

（1.3）到式（1.5）中的值。下面的命题给出了这个结果，其证明基于与[5]类似的方法，并在附录A引理3.3中给出。设St:=SeXt，其中Xt是一个纯跳跃L’evy过程，其三重态（0，b，ν）满足（2.1）-（2.2）丰富的可测函数‘q:R\\{0}→ [0, ∞) 满足（1.5）中的条件。然后，二阶渐近展开式（3.2）成立。定理3.1的证明。自始至终，我们假设S=1，并且∈ （0，1）是一个常数，使得inf | x|≤q（x）>0。存在自q（x）起保证→ 1作为x→ 0.这个想法是用满足（1.5）中条件的L’evy过程X（δ）对应的期权价格来近似X对应的期权价格。这里，δ是一个参数，其值用于控制两个模型的期权价格之间的距离。为了确定X（δ），让我们首先看看过程X的L′evy It^o分解，其截断函数为1{X|≤δ} ，foreachδ∈ (0, ) （见[16]）。更准确地说，考虑分解xt=^X（δ）t+\'X（δ）t+b（δ）t:=ZtZ | X |>δxN（ds，dx）+lim↓0ZtZ<|x|≤δx′N（ds，dx）- tZR（前- 1.- x1{|x|≤δ} v（dx），对于任何t≥ 0.下一步，在适当的扩展上(Ohm（δ），F（δ），P（δ））(Ohm, F、 P），我们定义了几个独立的L’evy过程，~X（δ，1），~X（δ，2），~X（δ，3）和R（δ），这样它们也独立于原始过程X。具体地说，考虑L’evy度量值△ν（δ）（dx）：=C（X/|X |）1{q（X）≥1，|x|≤δ} |x|-Y-1dx，￠ν（δ）（dx）：=C（x/| x |）（(R)q（x）- 1） +{|x|≤δ} |x|-Y-1dx，ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）1{q（x）<1，|x|≤δ} \'q（x）|x|-Y-1dx，ν（δ）R（dx）=C（x/|x |）(1 - \'q（x））+{|x|≤δ} +e-|x |/δ{124; x|≥}|x|-Y-1dx。然后，关于截断1{| x|≤δ} 当i=1,2,3时，~X（δ，i）的L′evy三重态被设置为（0,0，~ν（δ）i），而R（δ）的L′evy三重态由（0,0，ν（δ）R）给出。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:33:07

让我们回顾一下，通过定义概率空间延拓（见[9]第5章），P（δ）下的X定律保持不变。在下面的内容中，所有的期望值都将根据扩展的概率测度P（δ）来计算，因此为了简单起见，我们用E来表示P（δ）下的期望。现在，通过添加所涉及过程的Levy测度，很明显，过程X（δ）t:=^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，2）t+~X（δ，3）t+b（δ）t的规律与过程X的规律一致，因此，价格过程S（δ）：=exp（X（δ））是这样的S（δ）t- eκt+= E（圣- eκt+，（3.5）对于任何t≥ 0.接下来，我们将过程X（δ）的定律近似为下一个过程的定律，再次定义在扩展概率空间上(Ohm（δ），F（δ），P（δ））表示每个δ∈ (0, ):X（δ）t:=^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+R（δ）+β（δ）t。在上述情况下，选择β（δ），使得最终的价格过程S（δ）t:=eX（δ）t是P（δ）下的鞅。反过来，由于所讨论的过程的三元组是关于截断函数1{x|≤δ},β(δ):= -锆前任- 1.- x1{|x|≤δ}C（x/| x |）{|x|≤δ} +`q（x）1{|x|≥δ} +e-|x |/δ{124; x|≥}|x|-Y-1dx。对于如上所述的β（δ），关于截断函数1{X，X（δ）的L′evy三重态（0，β（δ），ν（δ））|≤1} 由ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）|x给出|-Y-1\'q（δ）（x）dx:=C（x/|x |）x|-Y-1.|x|≤δ+q（x）1|x|≥δ+e-|x |/δ| x|≥dx，β（δ）=β（δ）+ZRx1{δ≤|x|≤1} ν（δ）（dx）=-锆前任- 1.- x1{|x|≤1}ν（δ）（dx），因此很明显，q（δ）满足条件（1.5-i）和（1.5-iii）。为了证明“q（δ）”也满足（1.5-ii），请注意，由于“q”是有界的，对于某些B∈ (0, ∞) 和|x |≥ ,-δ≤ln\'q（δ）（x）|x|≤B | x |，这显然意味着（1.5-ii）。

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大多数88

2022-5-6 02:33:10

由于q（δ）满足（1.5）中的所有条件，我们从引理3.3得知→0tY-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D= d（δ），（3.6），其中d:=eE（Z+）与δ无关，且d（δ）：=θ（δ）+~γ(δ)- θeP（Z）≥ 0）带θ（δ）：=C（1）Z∞exq（δ）（x）- q（δ）（x）- 十、十、-Y-1dx，（3.7）～γ（δ）：=β（δ）+C（1）- C(-1） Y-1+C（1）Zx-Y1.- q（δ）（x）dx- C(-1） Z-1 | x|-Y1.- q（δ）（x）dx。（3.8）现在，我们继续比较两种价格过程（S（δ）t）下的接近货币期权价格≥0和（St）t≥0.为此，让我们首先注意以下简单的不等式，它很容易从（3.5）和（a+b）中得出+≤ a++| b |对于任何实数a和b:ES（δ）t- eκt+- ES（δ）t- S（δ）t≤ E（圣- eκt）+≤ ES（δ）t- eκt++ ES（δ）t- S（δ）t. （3.9）从（3.9）开始，它接着是thattY-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D- T-1ES（δ）t- S（δ）t≤ 泰-1.T-叶（圣- eκt）+- D(3.10)≤ 泰-1.T-耶S（δ）t- eκt+- D+ T-1ES（δ）t- S（δ）t.我们首先证明了E |S（δ）t-S（δ）t |足够快地收敛到0。事实上，利用所涉及过程的独立性S（δ）t- S（δ）t= Ee^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）teX（δ，2）t- eR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t= Ee^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）tEeX（δ，2）t- eR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t≤ EeX（δ，2）t- 1.+ EeR（δ）t+（？）β（δ）-b（δ））t- 1., （3.11）因为e^X（δ）t+~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+b（δ）t= EeX（δ，2）t-1.≤ E-根据Jensen不等式和∧X（δ，2）是鞅的事实，E∧X（δ，2）t=1。现在，请注意，由（3.1）可知，R（δ）是一个有限的变量过程，因此可以分解为R（δ）t=Xs≤TR（δ）s{|R（δ）s |>δ}+Xs≤TR（δ）s{|R（δ）s|≤δ}- tZ | x|≤δxν（δ）R（dx）=: R（δ，1）t+R（δ，2）t，其中R（δ，1）是一个复合泊松过程，具有L′evy测度ν（δ，1）R（dx）：=C（x/|x |）|x|-Y-1e-|x |/δ{124; x|≥}dx和R（δ，2）thas L′evy三重态（0，0，ν（δ，2）R），关于截断1{x|≤1} 式中，ν（δ，2）R（dx）：=C（x/|x |）（1）-\'q（x））+|x|-Y-1{|x|≤δ} dx。

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2022-5-6 02:33:13

类似地，由（3.1）可知，~X（δ，2）是一个有限的变化过程，其表示为~X（δ，2）t=Xs≤T~X（δ，2）s- tZ | x|≤δx/ν（δ，2）（dx）。对于（3.11）中的第一项，我们现在有0<t≤ 1，EeX（δ，2）t- 1.= EeX（δ，2）t- 1.{|X（δ，2）t|≤1}+ EeX（δ，2）t- 1.{|X（δ，2）t |>1}≤ 柯~X（δ，2）t+ KEeX（δ，2）t+1P（δ）~X（δ，2）t> 1.≤ 柯~X（δ，2）t+ KP（δ）~X（δ，2）t> 1., （3.12）其中K、K和K是常数，可以独立于δsinceE选择eX（δ，2）t= etR | x|≤δC（x/|x |）（e2x）-1.-2x）（q（x）-1） +|x|-Y-1dx≤ etR | x|≤1C（x/| x |）（e2x）-1.-2x）（q（x）-1） +|x|-Y-1dx<∞.在第一学期（3.12）~X（δ，2）t≤ 前男友≤T~X（δ，2）s+ tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）=2tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）=2tZ | x |<δ（\'q（x）- 1） +|x|-对于（3.12）中的第二项，存在0<t≤ 1使得对于任何0<t<tand 0<δ<,P（δ）~X（δ，2）t> 1.≤ P（δ）Xs≤T~X（δ，2）s> 1.-tZ | x|≤δ| x |ν（δ，2）（dx）≤ P()Xs≤T~X(,2） s>= O（t），通过选择足够小的ε（见[15]中的引理3.2或[7]中的备注3.1]），其中最后一个不等式来自以下事实：≤T~X(,2） s{|~X(,2） s|≤δ} 在P之下()与ofPs相同≤T~X（δ，2）s下压（δ）。因此，对于常数K<∞ 独立于δ，lim supt→0t-1EeX（δ，2）t- 1.≤ KZ | x |<δ（\'q（x）- 1） +|x|-Ydx。

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2022-5-6 02:33:16

（3.13）对于（3.11）中的第二项，对于任何0<t≤ 1和δ∈ (0, ),EeR（δ）t+（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ e（b（δ）-β（δ）tEeR（δ，1）t+R（δ，2）t- 1.+e（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ e（b（δ）-β（δ）tEeR（δ，2）tEeR（δ，1）t- 1.+ EeR（δ，2）t- 1.+e（b（δ）-β（δ）t- 1.≤ 柯eR（δ，1）t- 1.+ 柯eR（δ，2）t- 1.+ Kb（δ）-β(δ)t、（3.14）式中，K、K和Kare是可独立于δ选择的绝对常数，因为（3.1），EeR（δ，2）t= etR | x|≤δC（x/| x |）-1)(1-\'q（x））+|x|-Y-1dx≤ 呃| x|≤1C（x/| x |）| ex-1||1-\'q（x）|+|x|-Y-1dx<∞,对于任何δ∈ (0, ),b（δ）-β(δ)=锆前任- 1.- x1{|x|≤δ}(ν - ν（δ））（dx）≤ZRC（x/| x |）前任- 1.- x1{|x|≤δ}|x|-Y-1.|q（x）- 1 | 1{| x|≤δ} +e-|x |δ{124; x|≥}dx≤|c/|zrx）前任- 1.- x1{|x|≤}+ |x | 1{| x|≤}|x|-Y-1.|q（x）- 1 | 1{| x|≤}+ E-|x |δ{124; x|≥}dx<∞.（3.14）中的第二项可以用与（3.11）中的第一项类似的方式处理，以获得支持→0t-1EeR（δ，2）t- 1.≤ KZ | x |<δ（1- \'q（x））+|x|-Ydx，（3.15），其中K与δ无关。对于（3.14）中的第一项，通过λ（δ）和ξ（δ）分别表示跳跃强度和R（δ，1）的第一次跳跃，并根据跳跃次数进行调节，我们得到eR（δ，1）t- 1.= E-λ（δ）tλ（δ）tEeξ（δ）- 1.+ o（t）≤ λ（δ）tEeξ（δ）+ 1.+ o（t），因此，lim supt→0t-1EeR（δ，1）t- 1.≤ λ(δ)Eeξ（δ）+ 1.. （3.16）组合（3.11）-（3.16）给予支持→0t-1ES（δ）t- S（δ）t≤ KZ | x |<δ| 1- \'q（x）| | x|-Ydx+λ（δ）Eeξ（δ）+ 1.+b（δ）-β(δ),对于某些常数0<K<∞. 将上述关系与（3.6）和（3.10）结合，我们得到（δ）- r（δ）≤ lim inft→0tY-1.T-叶（圣- eκt）+- D≤ 林监督→0tY-1.T-叶（圣- eκt）+- D≤ d（δ）+r（δ）。（3.17）仍需显示（i）limδ&0d（δ）=d，（ii）limδ&0r（δ）=0。（3.18）第一个极限由θ（δ）得出→~θ, β(δ)→ b、和∧γ（δ）→ ~γ.

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2022-5-6 02:33:19

实际上，θ（δ）=C（1）Z∞exq（δ）（x）- q（δ）（x）- 十、十、-Y-1dx=θ+C（1）Zx≥（例如- 1） e-|x |/δx-Y-1dx+C（1）Zδ（ex- 1）（1）- \'q（x））x-Y-1dx，通过支配收敛定理和（3.1）收敛到θ。一个可以类似地显示其他两个极限β（δ）→ b和∧γ（δ）→ ~γ. 对于（3.18-ii），r（δ）的第一部分收敛到零，再次是（3.1）和| b（δ）-β(δ)| → 0以与θ（δ）类似的方式显示→~θ. 最后，λ（δ）Eeξ（δ）+ 1.=Z | x|≥（ex+1）C（x/|x |）|x|-Y-1e-|x |/δdx≤ 2Z | x|≥C（x/|x |）|x|-Y-1e | x|1.-δdx，对于δ<1/2，被积函数由可积函数（C（1）控制∨ C(-1））|x|-Y-1{|x|≥}. 因此，优势收敛定理适用，我们得出结论r（δ）→ 0为δ→ 最后，（3.17）和（3.18）证明（3.2）。备注3.4.1。按照惯例，我们可以将扩展（3.2）映射为模型的Black-Scholes隐含波动率^σ（t）的近似货币扩展。具体来说，我们有以下关于^σ（t）的小时间行为：^σ（t）=σtY-+ σt+o（t），t→ 0，（3.19），其中σ：=√2πeEZ+, σ:=√2π~θ + (~γ - θ） eP（Z）≥ 0). （3.20）（3.19）的证明与[5]中推论3.7的证明相同，因此省略。2.同样值得一提的是Z+andeP（Z≥ 0）具有以下显式表达式（参见[5]及其引用）：eEZ+=AYπΓ(-Y）Y余弦πYYcos雅克坦巴丹YπΓ1.-Y1 +文学士棕褐色的πY!2Y，eP（Z≥ 0）=+π雅克坦巴丹Yπ,式中A:=C（1）+C(-1）和B:=C（1）- C(-1).3.

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大多数88

2022-5-6 02:33:22

通过使用来自鞅条件（2.1）的b的表达式，（3.2）中的二阶项可以写成d=eP（Z<0）C（1）Z∞（exq（x）- q（x）- x） x-Y-1dx-eP（Z）≥ 0)C(-1） Z-∞（exq（x）- q（x）- x） |x|-Y-1dx+θ,它独立于为X.4 L’evy跳跃模型的L’evy三元组选择的截断函数，具有随机波动性。当资产价格过程包含非零布朗成分时，ATM期权价格的二阶近似值如[5]所示。在本节中，我们将展示连续布朗部分可以被一个独立的随机波动过程所取代。如第2节所述，我们考虑资产价格过程St:=SeXt+Vt，其中X是满足定理3.1条件的纯跳跃回火类稳定过程，V的定义如（2.4）-（2.5）所示。此外，假设σ（y）>0，并且存在一个包含y的开区间I，其中α（·）和γ（·）一致有界，σ（·）是Lipschitz连续的。以下结果将用于证明过程（St）t的二阶期权价格近似值≥0.其证明推迟到附录C引理4.1。让（Yt）t≥0be如（2.5）所示，τ：=inf{t≥ 0:Yt/∈ （a，b）}，其中a和b使得a<y<b。那么，对于任何k∈ N、 P（τ）≤ t） =O（tk），作为t→ 0.接近货币期权价格的二阶近似值现在可以表述如下。定理4.2。考虑模型St:=SeXt+Vt，如上所述，让κt:=θt3-Y+o（t3）-Y），作为t→ 0，对于某些θ∈ 然后，看涨期权价格的二阶渐近展开式是（St- Seκt）+=dt+dt3-Y+ot3-Y, T→ 0，（4.1），其中d:=σ（y）√2π，d:=θ+-Y+1√πΓ1.-YC（1）+C(-1） Y（Y）-1） σ（y）1-Y.（4.2）备注4.3。根据与备注3.2相同的推理，定理4.2中对数货币性κtchosen的形式是最相关的。

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2022-5-6 02:33:25

当κt以比t3更快的速率收敛到0ata时，扩展减少到在货币情况下（θ=0）的扩展-特别是，如果κt=θt+o（t），如定理3.1所示，情况就是这样。相反，如果，例如，κt=θtβ+o（tβ），且<β<3-Yandθ6=0，则- Seκt）+=dt+dtβ+ot3-Y, T→ 0，（4.3），其中dis如（4.2）和d:=θ/2。条件β>对于一阶项D如（4.2）所示是必要的（另见[12]中的定理3.1）。粗略地说，（4.3）表示如果κt收敛到0的速度足够快，前导阶项为dt1/2，但比t（3）慢-Y）/2，则二阶项及其阶数由κtand确定，因此，不包含有关基础财务模型的额外信息。备注4.4。相应的波动率（σt）+1（σt）+1(-1))2-YY（Y）-1)Γ1.-Yσ（y）1-Yt1-Y+ot1-Y, T→ （4.4）第（4.4）项的证明与[5]中推论4.3项的证明相同，因此省略。定理4.2的证明。自始至终，我们取S=1，但不失一般性。现在，结果将显示在以下三个步骤中。步骤1）我们首先表明，可以假设X的L′evy密度的形式为s（X）=C（X/| X |）e-|x | | x|-Y-1，（4.5）尤其满足（1.5）中的条件（事实上，它甚至满足（1.3）中更强的条件）。我们使用了一个类似于定理3.1证明的过程。让δ∈ （0，1）是一个固定常数，如inf | x|≤δq（x）>0，且设（0，b（δ），ν）是x关于截断函数1{x的L′evy三元组|≤δ}.然后，定义(Ohm（δ），F（δ），P（δ）），原概率空间的一个扩展(Ohm, F、 P），以及独立的L'evyprocess、~X（δ，1）、~X（δ，2）和'X（δ，3），它们也独立于原始过程X和V。

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2022-5-6 02:33:29

更准确地说，关于1{X，| X的| evy三重态（δ，i）|≤δ} ，由（0，0，|ν（δ）i）给出，对于i=1，2，3，其中|ν（δ）（dx）：=C（x/| x |）1{x|≤δ}E-|x{q（x）≥E-|x |}+\'q（x）1{\'q（x）<e-|x |}|x|-Y-1dx，△ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）{|x|≤δ}q（x）- E-|x|++ 1{|x|≥δ} q（x）|x|-Y-1dx，△ν（δ）（dx）：=C（x/|x |）{|x|≤δ}E-|x|- q（x）++ 1{|x|≥δ} e-|x||x|-Y-1dx。如前所述，我们将用E表示P（δ）下的期望值。现在，很明显，L’evy过程X（δ）t:=~X（δ，1）t+~X（δ，2）t+b（δ）t的规律与过程X的规律一致，因此，价格过程S（δ）：=exp（X（δ）+Vt）是这样的S（δ）t- eκt+= E（圣- eκt）+，对于任何t≥ 0.接下来，定义过程X（δ）t:=~X（δ，1）t+~X（δ，3）t+β（δ）t，其中选择β（δ），从而得出的价格过程S（δ）t:=eX（δ）t+Vt是P（δ）下的鞅。注意，X（δ）具有形式为（4.5）的L′evy密度。我们将证明在两种价格过程（S（δ）t）下，接近货币期权价格的二阶项是相同的≥0和（St）t≥0.如（3.9）中所述，它紧随其后-2.T-ES（δ）t- eκt+- D- 泰-3ES（δ）t- S（δ）t≤ 泰-2.T-E（圣- eκt）+- D(4.6)≤ 泰-2.T-ES（δ）t- eκt+- D+ 泰-3ES（δ）t- S（δ）t,对于两种价格过程（S（δ）t）下的期权价格≥0和（St）t≥0若要获得相同的二阶项，则必须S（δ）t- S（δ）t= EeVtEeX（δ）t- eX（δ）= O（t），t→ 0.（4.7）利用相关流程的独立性，我们eX（δ）t- eX（δ）= EeX（δ，1）t+b（δ）tEeX（δ，2）t- eX（δ，3）t+（β（δ）-b（δ））t≤ EeX（δ，2）t- 1.+ EeX（δ，3）t+（β（δ）-b（δ））t- 1., （4.8）因为，根据Jensen不等式和∧X（δ，2）是鞅的事实eX（δ，1）t+b（δ）t= EeX（δ，2）t-1.≤ E-EX（δ，2）t=1，则（4.8）中的项的顺序可以显示为O（t），使用与用于显示（3.11）中的项的顺序类似的参数，并注意到X（δ，2）和X（δ，3）的皮重变化过程是有限的。

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2022-5-6 02:33:32

事实上，Z | x|≤δq（x）- E-|x||x|-Ydx≤Z | x|≤δ| q（x）- 1 | | x|-Ydx+Z | x|≤δ1.- E-|x||x|-Ydx<∞.从（4.6）和（4.7）中，为了获得（4.1），必须表明→0tY-2.T-ES（δ）t- eκt+- D= d、因此，从一开始，我们假设X具有如（4.5）中所示的L′evy密度。步骤2）我们现在将展示（4.1）在存在常数m和m且0<m的情况下的有效性≤ σ（y）≤ M<∞, 对于RYT范围内的所有y≤1，（4.9）即RY=∪0≤T≤1支持（Yt），支持（Yt）代表Yt的支持。我们的想法是将问题简化为过程Y具有确定性的情况，通过将期权的收益限制在过程W的实现上。为了形成这个想法，我们需要引入一些符号。关于过滤概率空间（Ohm,F，（Ft）t≥0，P）满足通常条件，我们定义了独立的过程X和W，使得（Xt）定律为0≤T≤根据P与（Xt）的定律相同≤T≤1在P下，和（Wt）0≤T≤这是一个标准的布朗运动。此外，对于某些确定性函数sy:=（ys）s∈[0,1]和q:=（qs）s∈[0,1]属于[0,1]上的连续函数类C（[0,1]），let（Vy，qt）0≤T≤1定义为Vy，qt=-Ztσ（yu）du+ρqt+p1- ρZtσ（yu）dWu。（4.10）有了这个符号，我们考虑一个函数Φ：[0，1]×C（[0，1]）×C（[0，1]）→ R+定义为Φ（t，y，q）：=EeXt+Vy，qt- eκt+. （4.11）那么很明显，对于任何∈ [0,1]，E（圣- eκt）+Ws，s∈ [0, 1]= Φt、（Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1], （4.12）式中：∈ [0, 1].以下术语也将在续集中使用：V1，y，qt:=-ρZtσ（ys）ds+ρqt，V2，y，qt:=-(1 - ρ） Ztσ（ys）ds+p1- ρZtσ（ys）dWs，ψy，q，wt:=ψ1，y，q，wt+ψ2，yt，ψ1，y，q，wt:=V1，y，qt- ρσ（y）w，ψ2，yt:=1- ρZtσ（ys）ds，（4.13），其中w∈ R是一个辅助常数。稍后，我们将用Wt（ω）代替w，在（Ws）0条件下≤s≤1，显然是常数。注意Vy，qt=V1，y，qt+V2，y，qt。

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2022-5-6 02:33:37

为了便于记法，除非明确需要，否则我们通常在上述过程中删除依赖项y、q和w。此外，由于符号的某些滥用，我们有时使用以下简写符号：Vt（ω）：=V1，Y·（ω），Q·（ω）t，ψt（ω）：=ψY·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t，ψt（ω）：=ψ1，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t，ψt（ω）：=ψ2，Y·（ω）t，（4.14），其中ω∈ Ohm 和往常一样，Y·（ω）和Q·（ω）在C（[0，1]）中被视为随机元素。与纯跳跃情况一样，我们将使用两种概率变换。首先，定义P*关于（Ohm,F）比亚迪P*|FtdP | Ft=eXt+Vt，t≤ 1.低于P*, （X）t≤1有L’evy三联体（0，b*, ν*) 由（2.7）给出。类似地，根据Girsanov的布朗运动定理，（Vt）0≤T≤1具有代表性dVt=（1）- ρ） σ（yt）dt+p1- ρσ（yt）dW*,2t，V=0，代表0≤ T≤ 1，其中（W*,2t）0≤T≤这是一个P*-维纳过程。接下来，定义（2.11）和（2.12）中所述的概率度量，但将过程X的跳跃度量N替换为X的跳跃度量。特别是，在EP下，X具有由（2.8）给出的Levy三元组。与（2.10）类似，我们定义了中心过程Zt:=Xt- t~γ，式中~γ：=eEX. 注意（Vt）t的定律≤1 Underep保持不变。还需要指出的是，在这两种情况下P*安第普（i）t-1/2Vt~ NT-1/2ψt（1）- ρ） “∑t（y）, （ii）t-1/2Vt- ψt~ NT-1/2Vt- ψt, (1 - ρ） “∑t（y）（4.15）其中，对于t∈ （0,1]，\'σt:C（[0,1]）→ R+由‘∑t（y）定义：=stZtσ（ys）ds∈ [m，m]。（4.16）为了找到展开式的二阶项，我们研究了tY/2的极限-1Rtas t→ 0，其中，对于0<t≤ 1，我们设置：=t-1/2E（圣- eκt）+- d、根据函数Φ，可以表示为RT=ET-1/2E（圣- eκt）+Ws，s∈ [0, 1]- D= ET-1/2Φt、（Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1]- D=: EΦt、（Ys）s∈[0,1]，（Qs）s∈[0,1].我们将展示这个极限→0天/2-1Rt=d，用于定理陈述中定义的常数dde。

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2022-5-6 02:33:41

首先，使用（A.5），概率度量toeP的变化，以及变量‘（t，y，q）=t的变化-1/2eVtEeXt+Vt- eκt-Vt+- d=t-1/2eVtZ∞E-zP*Xt+Vt≥ z+κt-Vtdz- d=eVtZ∞-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψe-√屠-γt+κt-ψtP*T-1/2Vt- ψt≥ U-T-1/2Zt杜- d=eVtZ∞-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√屠-γt+κt-ψ三通E-eUt-ηt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}杜- d、接下来，我们将其分解如下，对于任何w∈ R、 Φ（t，y，q）=e-ηteVtZ∞E-√屠eEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}-eEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥u}du+e-ηteVtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tueEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥U-T-1/2Zt}du+eVtZ∞E-√屠-γt+κt-ψtP*T-1/2Vt- ψt≥ U杜- d=：A（t，y，q，w）+A（t，y，q，w）+A（t，y，q，w），（4.17）式中∧ηt:=＠ηy，q，wt=（η+＠γ）t-κt+ψy，q，wt。请注意，Ai对辅助数w的依赖性是因为ψ依赖于w。与（4.14）类似，我们有时会使用符号ηt（ω）：=~ηy·（ω），q·（ω），wt（ω）t。（4.18）我们现在分别考虑（4.17）中的三项。第一项：对于At:=A（t，y，q，w），我们严格遵循[5]中的步骤，并从以下分解开始：At=e-ηteVteEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥0，t-1/2（Vt-ψt）+t-Zt≥0}Zt-1/2（Vt-ψt）+t-Ztt-1/2（Vt-ψt）e-√图杜- E-ηteVteEE-eUt{0≤T-（Vt）-ψt）≤-T-Zt}Zt-（Vt）-ψt）e-√图杜+ E-ηteVteEE-eUt{0≤-T-（Vt）-ψt）≤T-Zt}Zt-（Vt）-ψt）+t-中兴通讯-√图杜=: I（t，y，q，w）-I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.19）我们在以下三个部分中分析这些术语。i）使用（4.15-ii），第一项i:=i（t，y，q，w）可以写成asI=e-ηteVtZ∞J（t，u）e-√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt））2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞J（t，u）e-√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w），（4.20），其中j（t，u）：=eE{Zt≥-屠}E-eUt- E-（eUt+Zt）√T- T-Zt!, （4.21）J（t，u）：=t-eEZt{Zt≥-屠}= T-eE(-Zt）1{-Zt≥屠}= 泰-eE(-Z）1{-Z≥T-Yu}, （4.22）因为ceee（Zt）=0和Zt是严格Y-稳定的。

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2022-5-6 02:33:44

可以证明（见[5]中的（B.5）），存在一个常数λ>0，对于任何0<t≤ 1和u>0，（i）tY-1J（t，u）≤ λu1-Yand（二）limt→0tY-1J（t，u）=C(-1） Y-1u1-Y.（4.23）从（4.13）开始，注意-1/2Vt（ω）-ψt（ω）:= T-1/2V1，Y·（ω），Q·（ω）t- ψ1，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）t= T-1/2ρσ（y）Wt（ω）~ N（0，ρσ（y））。（4.24）此外，回想一下0<m≤ “∑t（y）≤ M<∞ 对于P-a.e.ω∈ Ohm,极限→0′σt（Y·（ω））=limt→0tZtσ（Ys）ds=σ（y）=：σ，（4.25），它源自于σ（·）在y附近的连续性。使用之前的关系，我们得到（详情见附录B）limt→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））=C(-1） Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.26）对于（4.20）中的第一个学期，我发现→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 0.（4.27）第（4.27）条的证明也被推迟到附录B中。第（4.26）条和第（4.27）条一起暗示：→0EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=C(-1） Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.28）ii）再次使用（4.15-ii），可以将（4.19）中的术语I:=I（t，y，q，w）写成asI=e-ηteVtZ∞eEE-eUt- 1.{Zt≤-屠}1.- E-√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞ePZt≤ -屠1.- E-√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.29）使用以下事实：ZtT≥0是严格Y稳定的，我们有（参见[5]中的（2.18）-（2.19））Zt≤ -屠1.- E-√屠√T≤ κu1-Y、极限→0tY-1ePZt≤ -屠= 极限→0tY-1ePZ≤ -T-于=C(-1）于-Y、对于任何0<t≤ 1和u>0。因此，遵循与（4.26）类似的论点，它遵循thatlimt→0天/2-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）=C(-1） YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.30）对于I，结果是（见附录B的验证）：limt→0tY-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）= 0.（4.31）将（4.30）和（4.31）组合在一起，然后得出结果→0tY-1E我t、 Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω）=C(-1） YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。

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能者818

2022-5-6 02:33:48

（4.32）iii）仍然需要分析（4.19）中的术语I:=I（t，y，q，w），我们首先将其分解如下：I=e-ηteVtZ∞eEE-eUt{Zt≥屠}1.- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du+e-ηteVtZ∞eEe-eUt{Zt≥tu}1- E-Zt√TE√星期二-（u）-T-1/2（Vt-ψt）2（1-ρ） “∑t（y）p2π（1）-ρ） “∑t（y）du=：I（t，y，q，w）+I（t，y，q，w）。（4.33）为了处理（4.33）中的第一项，让我们首先将其中的期望分解如下：J（t，u）：=eEE-eUt{Zt≥屠}=eEE-eUt- 1.{Zt≥屠}+ePZt≥ 屠=: J（1）（t，u）+J（2）（t，u）。因为（Zt）t≥0是Y-稳定的，我们可以得到估计J（2）（t，u）≤ κt1-于-Y、对于任何0<t≤ 1和u≥ 0.将其与1.-E√屠√T≤ ue√tu，对于0<t≤ 1，使用类似于（4.26）中的步骤，我们可以显示→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（2）（t，u）1- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du= -C（1）YZ∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.34）以下（B.13-B.15）中的相同程序可用于显示0≤ J（1）（t，z）≤ f（t）表示0<t≤ t<1，其中f（t）=o（t1-Y/2），因此对于0<t≤ t:0≤ 泰-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（1）（t，u）1.- E√屠√te-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du≤ f（t）tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞ueue-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））duT→0-→ 0.（4.35）要处理（4.33）中的第二项，请注意，（Zt）t的自相似性≥0，J（t，u）：=eEe-eUt{Zt≥tu}1- E-Zt√t=eE{Zt≥图}e-eUt- E-（Zt+eUt）√T- T-Zt+eE泰-Z{728; Z≥T-Yu}=: J（1）（t，u）+J（2）（t，u）。注意，J（2）（t，u）类似于（4.22）中的J（t，u），因此，渐近行为类似于（4.26）。

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2022-5-6 02:33:51

具体地说，limt→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞eE泰-Z{728; Z≥T-Yu}E√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ψt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du=C（1）Y-1Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.36）接下来，将J（1）（t，u）分解为：J（1）（t，u）=t-eE{Zt≥tu}ZZt+eutE-十、- 1.dx！=T-Z-∞（e）-十、- 1） ePZt≥ tu，eUt≤ 十、≤Zt+eUtdx+t-Z∞（e）-十、- 1） ePZt≥ tu，eUt≤ 十、≤Zt+eUtdx≤ T-Z-∞（e）-十、- 1） ePeUt≤ 十、dx+t-Z∞（e）-十、- 1） eP十、≤Zt+eUtdx。使用与处理以下（B.4）相关的术语时类似的论点→0tY-1EeVt（ω）-ηt（ω）Z∞J（1）（t，u）e√星期二-（u）-T-1/2（Vt（ω）-ηt（ω）））2（1-ρ） ′σt（Y（ω））p2π（1）-ρ） “∑t（Y（ω））du= 0.（4.37）结合上述结果得出limt→0天/2-1EI（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））=C（1）Y（Y）-1） Z∞u1-耶-u2σp2πσdu。（4.38）最后，（4.19），（4.28），（4.32）和（4.38）屈服极限→0EAt（t，Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=C（1）+C(-1） 2Y（Y）-1)σ1-耶|W | 1-Y. （4.39）第二项：对于在（4.17）中的项At:=A（t，y，q，w），通过密度变换ep→P*:At=e-ηteVtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzeEE-eUt{t-1/2（Vt-ψt）≥Z-T-1/2Zt}dz=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz+e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψt-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzP*T-Vt- ψt≥ Z- T-Ztdz=：A2,1t（y，q，w）+A2,2t（y，q，w）。（4.40）第一学期，A2,1t≤ 可Vt-ψt-t1/2~γ-T-1/2ψtE√t|-t1/2~γ-T-1/2ψt|≤ 可Vt-ψt+|ψt|t1/2 |γ|+t-1/2 |ψt|,对于某些常数K，使用（4.9）、（4.13）、柯西不等式和不等式e | x|≤ ex+e-x、我们有，对于任何p>0和0<t≤ 1，Eep（Vt（ω）-ψt（ω）+ψt（ω）|≤ 柯epρσ（y）（Wt+| Wt |）+pρRtσ（Ys）dWs|≤ K1+Ee4pρσ（y）Wt1/2Ee2pρRtσ（Ys）dWs+ EE-2pρRtσ（Ys）dWs1/2≤ B、对于常数B<∞ 独立于t。

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2022-5-6 02:33:54

事实上，根据诺维科夫条件和吉尔萨诺夫定理e±2pρRtσ（Ys）dWs≤ e2pρMtEe±2pρRtσ（Ys）dWs-2pρRtσ（Ys）ds= e2pρMt<∞.因此，EA2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= O（t1/2）+Kt-1/2EeVt（ω）-ψt（ω）+ψt（ω）|ψt（ω）|≤ O（t1/2）+Kt-1/2qE（ψt（ω））=O（t1/2），（4.41），因为E（ψt（ω））=O（t）。事实上，0≤ψt（ω）≤ 对于一些K<∞, 由于（4.9），安第斯山脉ψt（ω）= EVt（ω）-ρσ（y）Wt（ω）= EρZt（σ（Ys）- σ（y））dWs-ρZtσ（Ys）ds≤ K中兴通讯（σ（Ys）- σ（y））ds+tZtEσ（Ys）ds≤ K中兴通讯σ（Ys）- σ（y）ds+tZtEσ（Ys）ds第二项显然是O（t），因为（4.9）。第一项也是O（t）级。实际上，我是一个包含y的区间，其中σ（·）是Lipschitz，常数为L，α（·），γ（·）有界，且τ：=inf{s:Ys/∈ 一} 。然后，Eσ（Yt）- σ（y）= Eσ（Yt）- σ（y）{τ>t}+ Eσ（Yt）- σ（y）{τ≤t}≤ 乐（Yt）- y） {τ>t}+ （M）- m） P（Yt）/∈ 一） =O（t），t→ 0，（4.42），其中第二项的顺序遵循引理4.1，andE（Yt）- y） {τ>t}= EZtα（Ys）ds+Ztγ（Ys）dWs{τ>t}！≤ 2EZtα（Ys）1{τ>t}ds+ 2EZtγ（Ys）1{τ>t}ds= O（t），t→ 因此，E（ψt（ω））=O（t），因此，从（4.41）开始，它遵循该极限→0天/2-1EA2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 0.（4.43）对于（4.40）的第二部分，变量的变化给出了2,2t=e-γt+κt-ψteVt-ψtZ-t1/2~γ-T-1/2ψt-t1/2~γ+t-1/2κt-T-1/2ψte-√tzE*{t-1/2（Vt-ψt）≥Z-T-1/2Zt}dz=e-~γt+κteVtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√图E*{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}du=e-~γt+κteVtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√tuB2，2t（y，q，u）du。通过变化概率测度P*→P，B2，2t（y，q，u）=EeVy，qt+Xt{t-1/2Vy，qt≥U-T-1/2Zt},特别是，颠倒（4.12）中的论点B2,2t（Y·（ω），Q·（ω），u）= EEeVt+Xt{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}Ws，s∈ [0, 1]= EeVt+Xt{t-1/2Vt≥U-T-1/2Zt}= P*T-1/2Vt≥ U-T-1/2Zt,对于最后一个等式，我们使用了概率测度的变化*|FtdP | Ft=eVt+Xt，t≥ 0

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2022-5-6 02:33:58

（4.44）因此，根据富比尼定理和条件κt:=θt3-Y+o（t3）-Y），limt→0tY-1EA2,2t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= 极限→0e-γt+κtκttY-3t-1/2κtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√星期二B2,2t（Y·（ω），Q·（ω），u）du=θlimt→0t-1/2κtZ-t1/2~γ-t1/2~γ+t-1/2κte-√塔普*T-1/2Vt≥ Z- T-1/2Ztdu=θ，（4.45），我们在这里使用了t-1/2κt→ 0和P*T-1/2Vt≥ Z- T-1/2ZtT→0-→ P*(Λ ≥ z） z→0-→, （4.46）其中∧是一个中心高斯变量。事实上，正如附录B中P*,T-1/2VtD-→ ∧，（4.47）和t-1/Yzt在分布上收敛为Y稳定的随机变量Z，因为由于X和V的独立性，Z在P下的分布*是回火稳定过程（见[14]中的命题1]）。第三项：让σ：=σ（y），注意d=σE（λ）+=R∞P（σ∧≥ z） dz，其中∧是一个标准正态变量，使用（4.15-ii），术语Atin（4.17）可以简单地分解如下：At=z∞eVte-√tz-γt+κt-ψtZ∞Z-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（y）φ（x）dx-Z∞z/σφ（x）dxdz=Z∞（eVte-√tz-γt+κt-ψt- 1） Z∞z/σφ（x）dxdz+z∞eVte-√tz-γt+κt-ψtZz/σz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（y）φ（x）dxdz=：Jt（y，q，w）+Jt（y，q，w），（4.48），其中φ（x）：=e-十、√2π. 对于Jt，使用符号^Φ（z）：=R∞zφ（x）dx，我们得到：EJt（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））≤ 简单∞eVt（ω）-ψt（ω）e-γt+κt-ψt（ω）e-√tz- 1.^Φzσdz+EZ∞E-γt+κt-ψt（ω）eVt（ω）-ψt（ω）- 1.^Φzσdz+EZ∞E-γt+κt-ψt（ω）- 1.^Φzσdz=O(√t），（4.49）作为t→ 0，可以用| |γt |+|κt |+|ψt（ω）|≤ K√t、 a.s.，对于常数K，Vt（ω）-ψt（ω）~N0，ρσt.

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2022-5-6 02:34:01

那么，对于Jt，J=e-γt+κte-ψteVt-ψtZ∞E-√tzZz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρσz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρ′σt（Y）φ（x）dxdz+e-γt+κte-ψteVt-ψtZ∞E-√tzZz/σz-T-1/2（Vt-ψt）√1.-ρσφ（x）dxdz=：J2,1t（y，q，w）+J2,2t（y，q，w）（4.50）对于第一项，回想一下（4.13）-（4.14）中的Vt（ω）-ψt（ω）=ρσWt，soJ2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））≤ 克∑WtZ∞Z- ρσWt√Tσ-“∑t（Y）√2πe-Z-ρσWt/√T√1.-ρMdz≤ Keρ∑Wt1 +Wt√Tσ-“∑t（Y）,对于一些常数K，K，因此，EJ2,1t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= O（t），因为¨σt（Y）- σ)≤（E）2米“∑t（Y）- σ≤（2m）tZtEσ（Ys）- σ（y）ds（4.51）的阶数为O（t）乘（4.42）。最后，对于J2,2t，我们有J2,2t（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））= E-γt+κtEZ∞E-√tzeρσWt-ψt（ω）- 1.+E-√tz- 1.+ 1.Zz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz。（4.52）第二项是O(√t）从0开始≤ 1.- E-√tz≤√z>0和sup0<t时的tz≤1EZ∞zZz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz< ∞, （4.53）如附录B所示。柯西不等式可用于证明第一项也是O(√t），因为，由于ψt>0的偏差E-ψt（ω）eρσWt- 1.≤ 2EE-2ψt（ω）eρσWt- 1.+ 2EE-ψt（ω）- 1.≤ 2EeρσWt- 1.+ 2E1.- E-ψt（ω）≤ 2.e2ρσt- 1.- 4.eρσt- 1.+ 2Eψt（ω）= O（t），t→ 0和SUP0<t≤1EZ∞E-√tzZz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz< ∞,这可以类似于（4.53）所示。最后，第三项可以显示为零。事实上，根据富比尼定理，我们有Z∞Zz/σz-ρσWt/√T√1.-ρσφ（x）dxdz=Z∞z=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz。

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2022-5-6 02:34:04

（4.54）现在，对于任意的K∈ (0, ∞), 注意zkz=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz=ZKz=0Z∞u=-∞Zz/σx=-∞φ（u）φ（x）dxdudz-ZKz=0Z∞u=-∞Zz-ρσu√1.-ρσx=-∞φ（u）φ（x）dxdudz=ZKz=0Zz/σx=-∞φ（x）dxdz-ZKz=0Z∞u=-∞Zz/(√1.-ρσ）s=-∞φ（u）φs-ρup1- ρ!dsdudz。最后一个表达式中的第二项可以进一步操作如下：ZKz=0Z∞u=-∞Zz/(√1.-ρσ）s=-∞φ（u）φs-ρup1- ρ!dsdudz=ZKz=0Z∞u=-∞Zz/√1.-ρσs=-∞E-（u）-ρs√1.-ρ)2(1-ρ） p2π（1）-ρ） r1- ρ2πe-(1-ρ） SDUDZ=ZKz=0Zz/√1.-ρσs=-∞r1- ρ2πe-(1-ρ） SDZ=ZKz=0Zz/σx=-∞φ（x）dxdz。因此，对于任何K∈ (0, ∞),ZKz=0Z∞u=-∞Zz/σx=z-ρσu√1.-ρσφ（u）φ（x）dxdudz=0，表明（4.54）中的期望值等于0。因此，（4.48）-（4.52）表明→0EAt（Y·（ω），Q·（ω），Wt（ω））t1-Y/2=0。（4.55）最后，结合（4.17），（4.39），（4.43）和（4.55），给出（St）t的期权价格的二阶项≥0:limt→0天/2-1Rt=θ+C（1）+C(-1） 2Y（Y）-1） σ（y）1-耶|W | 1-Y=θ+-Y+1√πΓ1.-YC（1）+C(-1） Y（Y）-1） σ（y）1-Y.其中，最后一步来自高斯随机变量的中心矩的众所周知的公式（例如，参见[16]中的（25.6））。这表明二阶展开式（4.1）在条件（4.9）下成立。步骤3）我们现在将证明，当σ（·）不再被假定满足（4.9）时，展开式将扩展到这种情况。为此，定义一个流程（\'St）t≤1形式“St:=eXt+”Vt，其中“V”定义如（2.4）-（2.5）所示，但用“σ（y）”替换σ（y）：=σ（y）1{m<σ（y）<m}+m1{σ（y）≤m} +M1{m≤σ（y）}。这里m和m是这样的，0<m<σ（y）<m<∞. 在这种情况下，通过上面的第2步，我们知道→0tY-1.T-E圣- eκt+- D= d、 dand das（4.2）。

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能者818

2022-5-6 02:34:09

另一方面，使用身份（a+b）+≤ a++| b |之后是E圣- eκt+- E圣-圣≤ E（圣- eκt）+≤ E圣- eκt++ E圣-圣.因此，对于两个过程（St）t下的接近货币期权价格≥0和（\'St）t≥0若要获得相同的二阶项，则必须满足以下条件：→0tY-3E圣-圣= 0.为了说明后者，首先请注意圣-圣= E提取EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt,我们使用了X和V的独立性。因为1<Y<2，所以必须证明eVt- e’Vt= O（t），t→ 0.（4.56）定义概率测量(Ohm, F） bydbP | FtdP | Ft=eVt，0≤ T≤ 1.根据Girsanov定理，以下表达式适用于P：dVt=σ（Yt）dt+σ（Yt）ρdcWt+p1- ρdcWt,d’Vt=-\'\'σ（Yt）dt+\'\'σ（Yt）σ（Yt）dt+\'\'σ（Yt）ρdcWt+p1- ρdcWt,dYt=（α（Yt）+ρσ（Yt）γ（Yt））dt+γ（Yt）dcWt=：bα（Yt）+γ（Yt）dcWt，其中（cWt）t≥0和（cWt）t≥0是独立的BP布朗运动。然后，自从eVt= Ee’Vt= 1，EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt+-EeVt- e’Vt= EeVt- e’Vt+=是1.- e’Vt-及物动词+=Z∞E-ybP及物动词-“Vt≥ Y注意到-\'Vt=0表示t<t:=inf{t≥ 0：σ（Yt）≤ m或σ（Yt）≥ M} 给出：EeVt- e’Vt≤bP（T≤ t） Z∞E-ydy=bP（T≤ t）。由于y处σ（·）的连续性，我们可以选择mY和mY，例如mY<y<MYandT≥ TY:=inf{t≥ 0:Yt≤ mYor Yt≥ MY}，因此，通过引理4.1，EeVt- e’Vt≤英国石油公司泰≤ T= O（t），t→ 因此，（4.56）是令人满意的，正如上文所解释的，这反过来意味着限制→0tY-1.T-东南（圣- （S）+- D= d、在（4.2.5）的数值例子中，我们对具有随机波动性的纯跳跃CGMY模型进行了数值分析。在GMY模型下，L’evy测度由ν（dx）=x给出|-Y-1q（x）dx=|x|-Y-1.总工程师-Mx{x>0}+CeGx{x<0}dx，（5.1）以及相应的参数C、G、M>0和Y∈ (1, 2).

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