谱负Levy过程的泊松占据时间

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收藏 2022-06-24

英文标题：
《Poissonian occupation times of spectrally negative L\\\'evy processes with
applications》
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作者：
Mohamed Amine Lkabous
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
In this paper, we introduce the concept of \\emph{Poissonian occupation times} below level $0$ of spectrally negative L\\\'evy processes. In this case, occupation time is accumulated only when the process is observed to be negative at arrival epochs of an independent Poisson process. Our results extend some well known continuously observed quantities involving occupation times of spectrally negative L\\\'evy processes. As an application, we establish a link between Poissonian occupation times and insurance risk models with Parisian implementation delays.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们引入了低于0$水平的谱负Levy过程的Poissonian占用时间的概念。在这种情况下，仅当在独立泊松过程的到达时间观察到过程为负时，才累积占用时间。我们的结果推广了一些众所周知的连续观测量，这些量涉及到光谱负L拞evy过程的占据时间。作为一个应用，我们建立了泊松占用时间和具有巴黎实施延迟的保险风险模型之间的联系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Poissonian_occupation_times_of_spectrally_negative_Lévy_processes_with_applications.pdf
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何人来此

2022-6-24 10:56:17

应用Mohamed AMINE Lkabosabstract的光谱负L'Evy过程的泊松占据时间。本文引入了谱负Lév y过程0级以下泊松占据时间的概念。在这种情况下，仅当在独立泊松过程的到达时间观察到过程为负时，才累积占用时间。我们的结果推广了一些已知的连续观测量，这些量涉及谱负Lévy过程的占据时间。作为一个应用，我们建立了泊松占用时间和具有巴黎实施延迟的保险风险模型之间的联系。1、IntroductionLet X=（Xt）t≥0是一个光谱负的Lévy过程。我们定义了b以上的第一次通过时间，τ+b=inf{t>0：Xt>b}，使用约定inf = ∞. 此外，假设强度λ>0且与X无关的独立泊松过程的到达时间为Tibe。在本文中，我们定义了有限时间范围内小于0的泊松占据时间，byOXt，λ=Xn∈N（τ+o θTn）1{XTn<0，Tn<t}，（1）其中θ是马尔可夫移位算子（Xso θt=Xs+t）。更准确地说，一旦观察到过程在泊松到达时间为负值，占用时间就会累积（见图1）。我们将首先研究τ+b，OXτ+b，λ因此，我们检查拉普拉斯变换以及有限时间范围内的泊松占领时间分布，即∞,λ=Xn∈N（τ+o θTn）1{XTn<0}。持续监测下涉及负盈余持续时间（也称为红色时间）的数量分析OXt=Rt(-∞,0）（Xs）ds在文献中得到了很好的研究。OX的拉普拉斯变换∞=R∞(-∞,0）（Xs）ds首先由Landriaultet al.【12】得出。Loeffen等人【20】推导了τ+b，OXτ+b, 推广[12]和[20]中的结果。

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能者818

2022-6-24 10:56:20

为了更一般的治疗，李和帕尔莫夫斯基研究了18次职业时间。最近，Landriault等人【11】获得了从0级以下到（独立）指数日期（2019年7月24日）的占领时间分布的分析表达式。关键词和短语。职业时间、巴黎破产、莱维保险风险过程、尺度函数。光谱负Lévy风险过程和折射光谱负Lévy风险过程的视界。在上述工作中，当剩余过程具有无界变化路径时，对涉及占用时间的连续观测恒等式的研究变得具有挑战性。在[12]中，采用-近似方法，该方法包括基础过程的样本路径的空间偏移，以避免过程的完整性活动所导致的问题，从而使经典条件作用继续存在。第二种方法包括引入一系列有界变差过程，（Xn）n≥1，当n趋于完整时，收敛到无界变化过程X（见Loeffen等人【20】、Guérin和Renaud【7】）。泊松观测方法的一个重要贡献是对具有有界或无界变化路径的过程的唯一证明，而这两种情况需要使用上述近似方法分别进行处理，并且当泊松观测率趋于一致时，我们在持续监测下恢复了占用时间的结果（参见Albrecher等人[2]和Li等人[16]）。1.1. 动机在精算数学中，职业时间自然可以用来衡量保险组合固有的风险。例如，低于偿付能力阈值所花费的时间有助于量化与保险urplus流程相关的风险。

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mingdashike22

2022-6-24 10:56:24

对负盈余持续时间的分析也与巴黎破产模型有关，在该模型中，保险人被授予一段时间，在破产被视为发生之前重新出现在阈值水平之上（参见[18，19]）和（[12，13]）。有两种类型的巴黎破产与OXt密切相关：累积巴黎破产和指数延迟巴黎破产。在第一种情况下，当盈余过程累积低于临界水平的时间超过预定的时间段时，就会发生破产。盖林（Guérin）和雷诺（Renaud）[8]通过给出OXt分布的显式表示，研究了具有指数索赔的Cramér–Lundberg风险模型的累积巴黎破产概率。Landriault等人最近研究了莱维里斯克过程的一般处理方法。另一方面，在【12】中，通过占用时间OX之间的以下关系，首次研究了具有指数延迟的巴黎破产的可能性∞这种巴黎式的废墟∈ R、 Px（ρλ<∞) = 1.- Exhe公司-λOX∞i、（2）其中ρλ=inft>0 | t- gt>egtλ, （3）和gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，而egtλ是一个指数分布的随机变量，速率λ>0，与X无关（另见Baurdoux等人[3]）。更准确地说，为过程0级以下的每个偏移分配一个copyof eλ。此外，已知（3）中的Parisianruin时间对应于在Poissonarrival时间观察到X低于0时的第一个通过时间，即-= 最小{Ti:XTi<0，i∈ N} ，（4）式中，t是速率λ>0的独立泊松过程的到达时间。本文的部分动机是研究具有Erlang实现延迟的巴黎破产问题。莱维保险风险模型已经研究了这种类型的巴黎破产（参见Albrecher和Ivanovs【1】，Landriault等人。

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可人4

2022-6-24 10:56:28

[13] 弗罗斯蒂格和凯伦·平哈西克【6】）。然而，与（3）中的巴黎破产相比，当延迟遵循Erlang分布式实现延迟时，等式（2）中的关系不再成立。在本文中，我们建立了泊松占有时间和具有Erlang分布实施延迟的巴黎废墟之间的联系（见第4节）。首先，我们研究了由两个具有不同利率的独立指数随机变量之和给出的实现延迟的巴黎破产时间。因此，我们将研究扩展到具有Erlang（2，λ）实现延迟的巴黎破产。我们还将推导出几个膨胀恒等式以及Gerber-Shiu分布。对于更一般的情况，即具有Erlang（n，λ）实现延迟的巴黎破产，将使用第n个泊松占用时间导出递归表达式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了关于光谱负Lévy过程和尺度函数的必要背景材料。第3节给出了主要结果和证明。第4节介绍了巴黎保险风险模型的应用。在附录中，介绍了一些众所周知的延迟故障识别。txxttttt图1。泊松占据时间低于0.2的说明。预备在本节中，我们将介绍有关光谱负Lévy过程的必要背景材料。2.1. 莱维保险风险流程。Levy保险风险过程X是一个具有静态和独立增量且无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。

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何人来此

2022-6-24 10:56:31

由于Lévy过程X没有正跳跃，它的拉普拉斯变换存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞e-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），对于γ∈ R和σ≥ 0，其中∏是（0，∞) 称为x的Lévy度量∞(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.我们将使用标准的马尔可夫表示法：从X=X开始的X定律由px表示，相应的期望由Ex表示。当X=0时，我们写P和E。我们回顾了b级以下标准首次通过时间的定义∈ R、 τ-b=inf{t>0：Xt<b}。与公约inf = ∞.2.2. 缩放功能。现在，我们给出了尺度函数wqa和Zqof X的定义。首先，回想一下，存在一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φq=sup{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φq）=q，q≥ 现在，对于q≥ 0时，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 带Laplace transformZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ），对于λ>Φq，（5），其中ψq（λ）=ψ（λ）- q、这个函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0且对于q进一步连续≥ 我们通过设置Wq（x）=0（x<0），将wqt扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=ww。我们还通过Zq（x，θ）=eθx定义了另一个尺度函数Zq（x，θ）1.- ψq（θ）Zxe-θyWq（y）dy, x个≥ 0，（6）和Zq（x，θ）=eθxf或x<0。对于θ=0，我们得到Zq（x，0）=Zq（x）=1+qZxWq（y）dy，x∈ R、（7）使用（5），我们还可以将标度函数Zq（x，θ）重写如下Zq（x，θ）=ψq（θ）Z∞e-θyWq（x+y）dy，x≥ 0, θ ≥ Φq.（8）已知肢体→∞Wq（x+b）Wq（b）=eΦqx。（9）我们还回顾了第二代尺度函数，即p，p+q≥ 0和x∈ R、 wehaveW（p，q）a（x）=Wp（x）+qZxaWp+q（x- y） Wp（y）dy=Wp+q（x）- qZaWp+q（x- y） Wp（y）dy，（10），其中第二个方程式使用在[20]（s）中获得的下列等式- p） ZxWp（x- y） Ws（y）dy=Ws（x）- Wp（x）。

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nandehutu2022

2022-6-24 10:56:34

（11）我们还有一个略为一般的例子，摘自【15】：对于s≥ 0，x>a，我们有- （p+q））ZxaWs（x- y） W（p，q）a（y）dy=W（p，s-p） a（x）- W（p，q）a（x）。（12）为了以后使用，请注意，我们可以显示∞e-θzW（p，s）a（a+z）dz=Zp（a，θ）ψp+s（θ），θ>Φp+s。（13）为了结果的紧凑性，我们将使用[1]中定义的以下函数：∈ R和α、β≥ 0，我们有▄Zq（x，α，β）=ψq（α）Zq（x，β）- ψq（β）Zq（x，α）α- β、（14）当α=β时，我们得到▄Zq（x，α，α）=ψ′q（α）Zq（x，α）- ψq（α）Z′q（x，α），（15），其中Z′qis是Zqtaken对第二个参数的导数。当q=0时，我们写▄Z=▄Z。最后，我们回顾了Kendall的身份，该身份提供了特定水平的第一次向上交叉分布（见[4，推论VII.3]）：在（0，∞) × (0, ∞), 我们有Rp（τ+z∈ dr）dz=zP（Xr∈ dz）d r.（16）我们请读者参考【10】，了解有关光谱负Lévy过程的更多详细信息。有关标度函数的更多示例和数值计算，请参见[9]和[21]。3、主要结果我们现在准备陈述我们的主要结果。首先，我们给出了τ+b，OXτ+b，λ.定理1。对于p，q≥ 0，λ>0和x≤ b、 Ex公司e-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}=Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。（17）证明。首先，我们设置g（x）=Exe-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}.对于x<0，根据强马尔可夫性和x的谱负性，g（x）=Exhe-（p+q）τ+ig（0）。（18）对于0≤ x个≤ b、再次利用强马尔可夫性质，g（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-}i+Exhe-qT-g级XT公司-{T-<τ+b}i。

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kedemingshi

2022-6-24 10:56:37

（19）因此，在（19）中插入（18）并使用（57），我们推导出g（x）=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q）+Exe-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}g（0）（20）对于x=0，我们有g（0）=Ehe-qτ+b{τ+b<T-}i1- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}=Zq（b，Φλ+q）1-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）=λ - p（λZq（b，Φp+q）- pZq（b，Φλ+q））=λ- p（λ+q）- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）因此，取代（20）中g（0）的压力，我们最终得到g（x）=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q）+λ- p（λ+q）- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）！×λλ - pZq（x，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）=Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。作为定理（1）的直接结果，我们得到了OX的拉普拉斯变换∞,λ.推论2。对于λ，p>0，E[X]>0和X∈ R、 Exhe公司-痘∞,λi=E[X]Φp|||||||||||||||||¤λ，Φp）。（21）证明。利用limb→∞Z（b，θ）W（b）=ψ（θ）θ，θ>0，我们有肢体→∞~Z（b，Φλ，Φp）W（b）=λp（Φλ- Φp）ΦλΦp和thuslimb→∞~Z（x，Φλ，Φp）/W（b）~Z（b，Φλ，Φp）/W（b）=E[x]ΦpΦλλpZ（x，Φλ，Φp）。在下一个定理中，我们给出了OX分布的显式表达式∞,λ.定理3。对于λ>0，r≥ 0和x∈ R、我们有PX公牛∞,λ∈ 博士= E[X]ΦλλZ（X，Φλ）δ（dr）+E[X]ΦλλΓλ（r）Z（X，Φλ）dr-E[X]Φλλ（r）W（x）+Zrλ（r- s） ∧′（x，s）dsdr，（22），其中Γλ（r）=Z∞eΦλzzrP（Xr∈ dz），且∧′（x，r）=Z∞W′（x+z）zrP（Xr∈ dz）。证据从（21）开始，我们有-痘∞,λi=E[X]ΦpΦλλppZ（x，Φλ）- λZ（x，Φp）Φp- Φλ= E[X]Z（X，Φλ）Φλ1+λΦp- Φλ- E[X]ΦλΦpZ（X，Φp）p（Φp- Φλ).利用Kendall恒等式和Tonelli定理，我们得到∞e-prΓλ（r）dr=Φp- Φλ，p>λ。（23）Landriault等人[11]也给出了以下等式，ΦpZ（x，Φp）p=Z∞e-py公司∧′（x，y）+W（x）δ（dy）dy，（24）通过拉普拉斯反演，我们推导出px公牛∞,λ∈ 博士= E[X]Z（X，Φλ）Φλδ（dr）+E[X]Z（X，Φλ）ΦλλΓλ（r）dr-E[X]Φλλ（r）W（x）+Zrλ（r- s） ∧′（x，s）ds博士备注4。

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mingdashike22

2022-6-24 10:56:41

我们可以重写公式（25）asPx公牛∞,λ∈ 博士= 二甲苯T-= ∞δ（dr）+Px公牛∞,λ∈ dr，T-< ∞,其中pxT-= ∞= E[X]ΦλλZ（X，Φλ），和px公牛∞,λ∈ dr，T-< ∞= E[X]ΦλΓλ（r）λ（ΦλZ（X，Φλ）- λW（x））dr-E[X]ΦλZrΓλ（r- s） ∧′（x，s）dsdr.在持续监测下，我们对OX的分布有以下表达式∞二甲苯公牛∞∈ 博士= E[X]W（x）δ（dr）+∧′（x，r）dr.（关于职业时间分布的更多结果，见Landriault等人【11】。3.1. 讨论结果。我们的波动恒等式可以说是紧凑的，并且具有与经典波动恒等式相似的结构（连续监测）。事实上，从定理（1）我们恢复了[20，推论2.（ii）]中的恒等式，即τ+b，OXτ+b交给byExe-qτ+b-pOXτ+b{τ+b<∞}=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q），由limλ→∞Zq（b，Φλ+q）/λ=0。我们还恢复了OX的空间变换∞通过让λ→ ∞ 在方程式（21）中。的确，我们有-痘∞i=limλ→∞Exhe公司-痘∞,λi=limλ→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=limλ→∞E[X]Z（X，Φλ）ΦλΦpΦp- Φλ- limλ→∞E[X]ΦλΦpZ（X，Φp）p（Φp- Φλ）=E[X]ΦppZ（X，Φp），（25），其中最后一个等式源自以下事实→ ∞ 当λ→ ∞ andlimλ→∞Z（x，Φλ）λΦλ=limλ→∞ΦλZ∞e-ΦλyW（x+y）dy=石灰→0W（x+y）=W（x）。然后使用拉普拉斯变换的初值定理。此外，假设Z（x，Φλ，Φp）=Z（x，Φp，Φλ），我们得到了limp→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=E[X]ΦλλZ（X，Φλ）。（26）备注5。可以将我们的结果推广到任意区间（a，b）的泊松占领时间。实际上，设τa，b=τ+b∧ τ-a、 we定义下一步，λ（a，b）=Xn∈N（τa，bo θTn）1{a<XTn<b，Tn<t}。（27）这是留给未来研究的。4、应用：Parisian ruin在本节中，我们希望提供泊松占用时间和具有Erlang分布式实现延迟的Parisianruin模型之间的联系。4.1.

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nandehutu2022

2022-6-24 10:56:45

具有由两个独立指数随机变量之和给出的实现延迟的巴黎破产。在泊松占位时间下，一旦在泊松到达时间观察到过程为负，则累积o占位时间。换言之，当过程在一段时间内保持在0以下，相当于速率λ>0的指数分布r.v.eλ的副本时，占用时间是累积的。现在，如果我们考虑由速率p>0（与X和eλ无关）的指数分布r.v.Ep给出的实现时钟，那么Px公牛∞,λ> ep公司对应于巴黎破产概率，实施延迟建模为epand eλ之和。因此，我们建立了以下连接pxρ（p，λ）<∞= 二甲苯公牛∞,λ> ep公司= 1.- Exhe公司-痘∞λi，（28），其中ρ（p，λ）是由ρ（p，λ）=inf给出的巴黎破产时间t>0 | t- gt>egtp+egtλ, （29）对于有限时间的情况，Pxρ（p，λ）≤ t型= 1.- Exhe公司-pOXt，λi。因此，利用方程（28）中的关系和推论（2），我们得到Px的以下表达式ρ（p，λ）<∞.推论6。对于p，λ>0，x∈ R和E[X]>0，Pxρ（p，λ）<∞= 1.- E[X]ΦλΦpλpZ（X，Φλ，Φp）。（30）备注7。使用第（3.1）小节中的讨论，可以立即恢复具有指数分布实施延迟的巴黎破产概率的表达式，即limp→∞二甲苯ρ（p，λ）=∞= E[X]ΦλλZ（X，Φλ）=Px（ρλ=∞) ,limλ→∞二甲苯ρ（p，λ）=∞= E[X]ΦppZ（X，Φp）=Px（ρp=∞) ,最后，（30）减少到Pτ-< ∞考虑到那跛脚→∞limλ→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=limλ→∞无力的→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=E[X]W（X）=Pxτ-< ∞.备注8。如果我们颠倒epand eλ的作用，即假设速率p>0的独立泊松过程的到达时间和eλ作为实现时钟，我们也有pxρ（p，λ）<∞= 1.- Exhe公司-λOX∞,圆周率。在下一个定理中，我们给出了涉及巴黎破产时间ρ（p，λ）的进一步方程恒等式。定理9。

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mingdashike22

2022-6-24 10:56:49

对于p，λ>0，b，q，θ≥ 0和x≤ b、 Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=pψq+λ（θ）ψq+p（θ）E（q，λ）（X，θ）-~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）E（q，λ）（b，θ）！，式中，e（q，λ）（x，θ）=λZq（x，θ）- ψq（θ）Zq（x，Φλ+q）。对于x∈ R、 Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<∞}i=pψq+λ（θ）ψq+p（θ）E（q，λ）（x，θ）-ψq（θ）（Φq+λ- θ）（Φp+q- Φq）p（θ- Φq）~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）. （31）对于-一≤ x个≤ b、 Exhe公司-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）∧τ--a} i=▄W（p，λ）q（x，a）▄W（p，λ）q（b，a），（32），其中▄W（p，λ）q（x，a）=λW（q，p）x（x+a）Wq+λ（a）- pW（q，λ）x（x+a）Wp+q（a）。当→ ∞, 我们得到了-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）}i=~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。（33）证明。Letv（x）=Exhe-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i.对于X<0，通过强马尔可夫性和X的谱负性，我们得到v（X）=exh-qep+θXep{τ+>ep}i+Exhe-（p+q）τ+iEhe-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i.（34）对于0≤ x<b，再次使用强马尔可夫性质，我们得到v（x）=Exhe-qT-vXT公司-{T-<τ+b}i.（35）在（35）中插入（34），我们得到，对于所有x∈ Rv（x）=Exe-qT-额外的-他-peq+θXep{τ+>等式}i{T-<τ+b}+前任e-qT-额外的-他-（p+q）τ+i{T-<τ+b}Ehe公司-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=-pψp+q（θ）Exe-qT-+θXT-{T-<τ+b}+pψp+q（θ）Exhe-qT-eΦp+qXT-{T-<τ+b}i+Ex额外的-他-（p+q）τ+i{T-<τ+b}Ehe公司-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i。

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mingdashike22

2022-6-24 10:56:54

（36）对于x=0，使用（55），我们有v（0）=-pψp+q（θ）Ee-qT-+θXT-{T-<τ+b}- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}1.- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}=-pψp+q（θ））-λψλ+q（θ）1.-Zq（b，θ）Zq（b，Φq+λ）-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φq+λ）1.-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φq+λ）=-pψp+q（θ）1+（λ- p） ψq+λ（θ）（Φλ+q- Φp+q）E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）！。现在，将（36）中的最后一个表达式与（55）结合起来，经过几次操作，我们得到了v（x）=pψp+q（θ）λψλ+q（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）+pψp+q（θ）λψλ+q（θ）Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）×λZq（b，θ）（Φλ+q- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）+pψp+q（θ）λψλ+q（θ）qZq（b，Φp+q）Zq（x，Φλ+q）（Φλ+q- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=pψp+q（θ）ψλ+q（θ）（λZq（x，θ）- ψq（θ）Zq（x，Φλ+q））-pψp+q（θ）ψλ+q（θ）~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）（λZq（b，θ）- ψq（θ）Zq（b，Φλ+q）），证明了第一恒等式。为了证明第二个恒等式，我们需要计算以下LimitLimb→∞E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。考虑到那个肢体→∞Zq（b，Φλ+q）Zq（b，θ）=λ（θ- Φq）ψq（θ）（Φλ+q- Φq），和肢体→∞Zq（b，Φλ+q，Φp+q）Zq（b，θ）=λp（θ- Φq）ψq（θ）（Φλ+q- Φq）（Φp+q- Φq），我们获得肢体→∞E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=肢体→∞E（q，λ）（b，θ）/Zq（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）/Zq（b，θ）=ψq（θ）（Φq+λ）- θ）（Φp+q- Φq）p（θ- Φq）。现在，我们证明等式（32）中的恒等式。We setw（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）∧τ--a} 执行部队-a<x<0，根据强马尔可夫性和x的谱负性，我们得到w（x）=Exhe-（p+q）τ+{τ+<τ--a} iw（0）=Wp+q（x+a）Wp+q（a）w（0）。（37）对于0≤ x个≤ b、再次利用强马尔可夫性质，我们得到w（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i+Exhe-qT-wXT公司-{T-<τ+b∧τ--a} i。

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nandehutu2022

2022-6-24 10:56:57

（38）因此，在（38）中插入（37），我们推断w（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i+w（0）Wp+q（a）Exhe-qT-Wp+qXT公司-+ 一{T-<τ+b∧τ--a} i.对于x=0，使用（56）和（58），我们得到w（0）=Ehe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i1- Ehe公司-qT-Wp+qXT公司-+ 一{T-<τ+b∧τ--a} i/Wp+q（a）=（λ- p） Wp+q（a）Wq+λ（a）λИW（p，λ）q（b）。现在，插入（38）中的最后一个表达式，我们推导出W（x）=W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）+Wq+λ（a）（λ- p） λИW（p，λ）q（b）λλ- pW（q，p）x（x+a）- W（q，λ）x（x+a）-(λ - p） Wq+λ（a）λ∧W（p，λ）q（b）λλ- pW（q，p）b（b+a）- W（q，λ）b（b+a）W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）=▄W（p，λ）q（x）▄W（p，λ）q（b），从而得出第三个恒等式的证明。现在→ ∞ 在（32）中，我们有利马→∞~W（p，λ）q（x，a）~W（p，λ）q（b，a）=lima→∞~W（p，λ）q（x，a）/（Wp+q（a）Wq+λ（a））~W（p，λ）q（b，a）/（Wp+q（a）Wq+λ（a）），和利马→∞~W（p，λ）q（x，a）Wp+q（a）Wq+λ（a）=lima→∞λW（q，p）x（x+a）Wq+λ（a）- pW（q，λ）x（x+a）Wp+q（a）Wp+q（a）Wq+λ（a）=λZq（x，Φp+q）- pZq（x，Φq+λ），其中，在上一个等式中，我们使用f表示，lima→∞W（q，p）x（x+a）Wp+q（a）=Wp+q（x+a）- pRxWp+q（x+a- y） Wq（y）dy，Wp+q（a）=Zq（x，Φp+q），类似地，lima→∞W（q，λ）x（x+a）Wq+λ（a）=Zq（x，Φq+λ），这两种方法都使用（9）。最后一个身份也可以用以下事实来证明-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）}i=Exe-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}.证据到此为止。备注10。如第（3.1）小节所示，我们有跛行→∞Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q），因此，跛行→∞Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=λ- ψq（θ）E（q，λ）（x，θ）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）E（q，λ）（b，θ）=λλ - ψq（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）= 前任e-qT-+θXT-{T-<τ+b},对应于身份（55）。接下来是巴黎破产时间ρ（p，λ）的Gerber–Shiu分布表达式。定理11。

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kedemingshi

2022-6-24 10:57:00

对于p，λ>0，q≥ 0，x≤ b和y≤ 0，Exe-qρ（p，λ）nXρ（p，λ）∈dy，ρ（p，λ）<τ+bo= pE（q，λ）y（x）-Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）E（q，λ）y（b）！dy，（39），其中e（q，λ）y（x）=λW（q，λ）x（x- y）- W（q，p）x（x- y） λ- p-Zq（x，Φλ+q）λWq+λ(-y）- pWp+q(-y） λ- p.证据我们有-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=Z-∞eθyExe-qρ（p，λ）nXρ（p，λ）∈dy，ρ（p，λ）<τ+bo. （40）更精确地说，我们需要计算e（q，λ）（x，θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）相对于θ的拉普拉斯逆。首先，从（5）中，我们得到ψq（θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）=ψq+p（θ）+λψq+λ（θ）ψq+p（θ）=Z-∞eθyWp+q(-y） +λZ-yWq+λ(-y- z） Wp+q（z）dzdy=Z-∞eθyλWq+λ(-y）- pWp+q(-y） λ- pdy，其中最后一个等式使用等式（11）得出。利用（12）和（13），我们推导出zq（x，θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）=Z-∞eθyZ-yWq+λ(-y- z） W（q，p）x（x+z）dzdy=Z-∞eθyW（q，λ）x（x- y）- W（q，p）x（x- y） λ- pdy.所需表达式后面是拉普拉斯逆变换。备注12。方程（39）中的Gerber–Shiu分布与[3]中的分布具有相似的a结构（尽管当p→ ∞), 也就是说，Ex“e-qT-XT公司-∈dy，T-<τ+b#= λZq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）W（q，λ）b（b- y）- W（q，λ）x（x- y）dy.（41）利用巴黎时间ρ（p，λ）和泊松占据时间之间的关系b，我们得到了OXeq，λ的拉普拉斯变换的以下表达式，其中eq是速率q>0的指数随机变量，与过程X无关。推论13。对于p≥ 0，q，λ>0和x∈ R、我们有-pOXeq，λi=1-p（λ+q）（p+q）E（q，λ）（x，0）-qΦq+λ（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φλ+q，Φp+q）.（42）证明。首先，我们有-pOXeq，λi=PxOXeq，λ<ep= 二甲苯ρ（p，λ）>等式= 1.- Exhe公司-qρ（p，λ）i.（43）然后，使用θ=0的（31），我们得到-pOXeq，λi=1-p（λ+q）（p+q）E（q，λ）（x，0）-qΦq+λ（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φλ+q，Φp+q）. (44)备注14。

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nandehutu2022

2022-6-24 10:57:04

当λ→ ∞, 我们恢复了OXeq，Exhe的拉普拉斯变换-pOXeqi=limλ→∞Exhe公司-pOXeq，λi=1-p（p+q）Zq（x）-q（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φp+q）, （45）可在【11】中找到。作为上述结果的一个应用，我们研究了具有Erlang（2，λ）分布实现延迟的Parisian破产。巴黎破产时间也可以表示为ρ（2）λ=TN-,其中▄N-= 最小{i∈ N:sup{Xt:t∈ [技术信息-1，Ti]}<0}（见Albrecher和I vanovs[1]）。因此，让p→ λ在推论（6）中，我们得到了具有Erlang（2，λ）实现延迟的巴黎破产概率的以下表达式，其结构与方程（54）中的一个类似。推论15。对于λ>0，x∈ R和E[X]>0，我们有pxρ(2)λ< ∞= 1.- E[X]Φλλ∧Z（X，Φλ，Φλ）。（46）同样，从定理（9）中，我们得到以下结果。推论16。对于q，λ>0，x≤ b和y≤ 0，Exe-qρ（2）λXρ（2）λ∈dy，ρ（2）λ<τ+b= λE（λ）y（x）-~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）E（λ）y（b）！dy，（47），其中eλy（x）=λW（q，λ）x（x- y）λ- Zq（x，Φλ+q）Wq+λ(-y）+Wq+λ(-y）λ.Ex“e-qρ（2）λ+θXρ（2）λnρ（2）λ<τ+bo#=λ（ψλ+q（θ））E（q，λ）（X，θ）-~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）E（q，λ）（b，θ）！，（48）安第斯山脉e-qτ+bnτ+b<ρ（2）λo=~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）。对于x∈ R、 Ex“e-qρ（2）λ+θXρ（2）λnρ（2）λ<∞o#=λ（ψλ+q（θ））E（q，λ）（x）-ψq（θ）（Φq+λ- θ）（λΦ+q- Φq）~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）λ（θ- Φq）！。（49）备注17。在（49）中设置θ=x=0，我们得到e-qρ（2）λnρ（2）λ<∞o=λ（λ+q）-λ（λ+q）Φλ+q（Φλ+q- Φq）ΦqΦ′λ+q，对应于[1]中的方程式（22），Φ′λ是Φλ相对于亚指数λ的导数。4.1.1. 示例。在这一小节中，我们使用（46）中的公式计算了布朗风险模型中具有Erlang（2，λ）延迟的巴黎破产概率。布朗风险过程。设X为布朗风险过程，即Xt=X+ut+σBt，其中u>0，u>0，B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动。那么，我们有ψ（θ）=uθ+σθ和Φλ=pu+2σλ- uσ-2.

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可人4

2022-6-24 10:57:08

在这种情况下，对于x≥ 0且q>0时，X的标度函数由w（X）=u给出1.- e-2ux/σ,andZ（x，θ）=ψ（θ）uθ-e-2uσ-2xθ+2uσ-2.Z对θ的导数由Z′（x，θ）=ψ′（θ）uθ给出-e-2uσ-2xθ+2uσ-2!+ψ（θ）ue-2uσ-2x（θ+2uσ-2)-θ!= ψ′（θ）Z（x，θ）ψ（θ）+ψ（θ）ue-2uσ-2x（θ+2uσ-2)-θ!.使用（15）中的表达式，我们得到▄Z（x，Φλ，Φλ）=λ|||||λ-e-2uσ-2x（Φλ+2uσ-2)!.把所有的项放在一起，我们得到了具有Erlang（2，λ）延迟的Parisianruin概率Px的以下表达式ρ(2)λ< ∞= 1.-pu+2σλ- uλσΦλ-e-2uσ-2x（Φλ+2uσ-2)!.指数索赔的Cramér-Lundberg过程。设X是具有指数分布索赔的Cramér-Lundberg风险过程，即Xt=X+ct-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是具有参数α的独立指数分布随机变量。泊松过程和随机变量是相互独立的。那么，我们有ψ（θ）=cθ- η+αηθ+α和Φλ=2cλ + η - cα+q（λ+η）- cα）+4cαλ.X的标度函数由w（X）=c给出- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,andZ（x，θ）=ψ（θ）c- η/αθ-ηcαe（η/c-α） xθ+α- η/c！。Z对θ的导数由Z′（x，θ）=ψ′（θ）ψ（θ）Z（x，θ）+ψ（θ）c给出- η/αηcαe（η/c-α） x（θ+α- η/c）-θ!,因此，Z（x，Φλ，Φλ）=λc- η/αΦλ-ηcαe（η/c-α） x（λ+α- η/c）！。把所有的部分放在一起，我们得到了pxρ(2)λ< ∞= 1.-λΦλ-ηcαe（η/c-α） x（λ+α- η/c）！。4.2. 具有Erlang（n，λ）实现延迟（n）的Parisian破产≥ 3). 现在，我们证明，在连续两次观察0以下的剩余过程后，占用时间是累积的，我们用Ox表示泊松占用时间∞,λ、 2=Xn∈N（τ+o θTn+1）1nsupt∈[Tn，Tn+1]（Xt）<0°。OX的拉普拉斯变换∞,λ、 2可使用以下标准概率分解exhe计算-qOX公司∞,λ、 2i=Pxρ(2)λ= ∞+ 前任eΦqXρ（2）λnρ（2）λ<∞oEhe公司-qOX公司∞,λ、 2i。

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nandehutu2022

2022-6-24 10:57:11

（50）出租q→ λ在（50）中，结合前一小节（4.1）中的结果，我们可以得到具有Erlang（3，λ）实现延迟的巴黎破产概率表达式。更一般地，我们用OXt，λ，n表示第n个泊松占据时间。在这种情况下，当在最后n个泊松到达时间观察到过程X为负时，即当supt∈[Ti，Ti+n]（Xt）<0。那么，我们有牛∞,λ、 n=Xi∈N（τ+o θTi+n）1nsupt∈[Ti，Ti+n]（Xt）<0°。此外，我们将ρ（n）λ表示为具有Erlang（n，λ）实现延迟的巴黎破产时间，即ρ（n）λ=inft>0 | t- gt>Tn，gtλ,式中，Tn，gtλ遵循Erlang（n，λ）分布。特别地，我们有ρ（0）λ=τ-ρ（1）λ=T-. 根据本节开头的讨论，我们有以下连接pxρ（n）λ<∞= 1.- Exhe公司-λOX∞,λ、镍。（51）因此，我们得到了以下巴黎破产威瑟朗（n，λ）实现延迟概率的递推公式。提案18。对于n∈ N、 λ>0和x∈ R、 Pxρ（n）λ=∞= 二甲苯ρ（n-1)λ= ∞+ Pρ（n-1)λ= ∞前任eΦλXρ（n-1） λnρ（n-1)λ<∞o1.- EeΦλXρ（n-1） λnρ（n-1)λ<∞o. （52）备注19。当n趋于一致时，可以用固定延迟来近似Parisianruin的概率，即κr=inf{t>0:t- gt>r}，（53），其中gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，通过Erlang（n，λ=n/r）分布式实现延迟的巴黎破产概率（见Bladt等人[5]和Landriault等人[12]）。感谢作者感谢李斌教授就这一主题进行了富有启发性的讨论。附录A.延迟波动恒等式在本小节中，我们介绍了一些现有的延迟波动恒等式。当[X]>0时，我们有pxT-< ∞= 1.- Exhe公司-λOX∞i=1- E[X]ΦλλZ（X，Φλ）。（54）对于T-, XT公司-Albrecher等人。

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mingdashike22

2022-6-24 10:57:15

[2].引理20。对于λ>0，a，b，q，θ≥ 0和x≤ b、我们有e-qT-+θXT-{T-<τ+b}=λλ - ψq（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）. （55）用于-一≤ x个≤ b、 Exhe公司-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i=W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a），（56），因此，Exhe-qτ+b{τ+b<T-}i=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）。（57）我们还可以从[17]中提取以下有用的身份。引理21。对于a、b、p、q≥ 0，λ，r，z>0和-一≤ x个≤ b、我们有-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<τ+b∧τ--a} i=λp- （q+λ）W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）W（q，p-q） b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）-λp- （q+λ）W（q，p-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）. （58）参考文献[1]H.Albrecher和J.Ivanovs，关于Lévy过程欠连续和泊松观测的出口问题的惊人简单的恒等式，随机过程。应用程序。127（2017），第2643–656号。[2] H.Albrecher、J.Ivanovs和X.Zhou，《泊松到达时观察到的Lévy过程的出口恒等式》，伯努利22（2016），第3期，第1364-1382页。[3] E.J.Baurdoux、J.C.Pardo、J.L.Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.Appl。概率。(2016).[4] J.Bertoin，《莱维过程》，剑桥大学出版社，1996年。[5] M.Bladt、B.F.Nielsen和O.Peralta，《一类相依风险准备金过程的巴黎破产概率类型》，斯堪的纳维亚精算杂志2019（2019），第1期，32–61，可供查阅athttps://doi.org/10.1080/03461238.2018.1483420.[6] E.Frostig和A.Keren Pinhasik，《具有erlang延迟和较低破产壁垒的巴黎破产，应用概率的方法和计算》（2019年1月）。[7] H.Guérin和J.-F.Renaud，《光谱负Lévy过程及其占用时间的联合分布，考虑阶跃期权定价》，Adv.in Appl。概率。(2016).[8] ，关于累积巴黎破产的分布，保险数学。经济学。73 (2017), 116–123.[9] 库兹涅佐夫、基普里亚努和V。

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能者818

2022-6-24 10:57:18

Rivero，《光谱负Lévy过程的尺度函数理论》，Lévy Matters-Springer数学讲稿，2012年。[10] A.E.Kyprianou，《莱维过程的波动与应用——入门讲座》，第二期，Universitext，施普林格，海德堡，2014年。[11] D.Landriault、B.Li和M.A.Lkabous，关于Levy风险模型的红色占领时间（已提交）。[12] D.Landriault，J.-F.Renaud和X.Zhou，《带应用的谱负Lévy过程的占据时间》，随机过程。应用程序。121（2011），第11号，2629–2641。[13] ，一个具有巴黎实施延迟的保险风险模型，Methodol。计算机。应用程序。概率。16（2014），第3583–607号。[14] B.Li和Z.Palmowski，《欧米伽涨落杀死谱负Lévy过程、随机过程及其应用》（2017）。[15] Y.Li和X.Zhou，关于频谱负Lévy过程的退出前联合占领时间，统计学家。概率。利特。94 (2014), 48–55.[16] Y.Li，X。Zhou和N.Zhu，谱负Lévy过程的双边贴现潜在测度，统计学家。概率。利特。100 (2015), 67–76.[17] M.A.Lkabous，《关于混合观测方案下巴黎废墟的说明》，《统计与概率论》145（2019），147–157。[18] R.L.L oe ffen、I.Czarna和Z.Palmowski，《谱负Lévy过程的巴黎破产概率》，Bernoulli 19（2013），第2期，599–609。[19] R.L.Loeffen、Z.Palmowski和B.A.Surya，《巴黎破产对列维保险风险过程的贴现惩罚函数》，保险数学。经济学。(2017).[20] R.L.Loeffen，J.-F.Renaud和X.Zhou，《光谱负Lévy过程，随机过程，直到第一次通过时间的间隔占用时间》。应用程序。124（2014），第31408–1435号。【21】B.A.Surya，《评估光谱负lévy过程的标度函数》，应用概率杂志45（2008），第。

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kedemingshi

2022-6-24 10:57:21

1, 135–149.滑铁卢大学统计与精算学系，滑铁卢，ON，N2L 3G1，CanadaE邮箱：mohamed。胺。lkabous@uwaterloo.ca

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