Levy过程的指数泛函与可变年金

2022-5-25 17:36:11

L'evy过程的指数泛函和可变年保证收益Runhuan Feng*, Alexey Kuznetsov+和Fenghao Yang2016年10月4日布朗运动的抽象指数函数在金融和保险数学中得到了广泛的研究，因为它们在亚洲期权定价等方面有着广泛的应用。Black-Scholes模型因其数学可处理性而具有吸引力，但经验证据表明，几何布朗运动并不能充分捕捉市场股票收益的特征。股票收益建模的一种流行的替代方法是用一个指数的L’evy过程来代替几何布朗运动。在本文中，我们使用后一种模型来研究可变年金保证收益，并明确计算某些指数函数的分布。关键词：指数泛函、L'evy过程、Ornstein-Uhlenbeck过程、Mellin变换、Bar-nesG函数、可变年金保障收益2010数学主题分类：初级：60G51，第二部分：91B3 0.1简介布朗运动指数泛函的研究已在金融文献中通过应用于金融市场中的亚洲期权定价而普及。亚洲期权是一种特殊类型的期权合同，其支付取决于合同期内标的资产/股权/商品的平均价格。在Black-Scholes模型中，公平价值的演化由年龄计量布朗运动{St=SeXt，t≥ 0}其中X是一个具有漂移的布朗运动，其初始权益值为。具有固定行使价格的持续监控的亚洲看涨期权支付的金额（从期初到到期T）超过了行使价格K。

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2022-5-25 17:36:15

换句话说，回报是ZTStdt公司- K+= （SJT- K） +，其中表示（x）+=最大值（x，0）和jt:=ZteXsds，（1）*美国伊利诺伊大学香槟分校数学系。电子邮件：rfeng@illinois.edu+加拿大约克大学数学与统计系。电子邮件：kuznetsov@mathstat.yorku.ca加拿大约克大学数学与统计系。电子邮件：fenghao@mathstat.yorku.cais过程s X的指数函数。由于BlackScholes模型中亚洲期权的无套利价格是由其在风险中性概率测度下的预期支付现值确定的，因此计算亚洲期权价格的关键是指数函数lJT的分布。有大量的文献致力于JT的发行。约尔（Yor）[28]使用了兰帕提变换，将几何布朗运动和经验一元泛函与贝塞尔过程联系起来。Linetsky[1 7]以distributionJtd=Ut:=eXtZte中的标识开始-Xsds，后者是一个扩散过程，然后应用特征函数展开技术确定Ut的分布。Vecer【27】应用测度的变化，得出了一个由亚式期权价格满足的偏微分方程。上述清单并不全面。在Carmona等人【2】和Matsumoto及Yor【19，20】中可以找到布朗运动指数泛函和参考文献的更多应用。在几项实证研究中（见Cont【4】、Madan和Seneta【18】、Carr等人【3】、Kou【12】），证明了几何布朗运动不能充分解释经验股票回报的许多程式化事实，例如不对称的轻量级对数回报和波动率微笑。这个问题的一个普遍解决方案是使用L'evy过程来建模日志返回。

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大多数88

2022-5-25 17:36:20

当研究L'evy过程的指数函数时，更容易研究指数函数的分布形式：=Je（q）=Ze（q）eXsds，（2）其中e（q）是平均值为1/q的指数随机变量，与过程X无关。与指数函数IQ相关的FirstExplicit结果由Cai和Kou[1]获得，用于超指数L'evy过程。这些结果后来被推广到有理变换跳跃过程[13]和亚纯L'evy过程[14]。到目前为止，关于经验函数IQ背后的分析理论已经相当清楚，参见帕蒂和萨沃夫[23,24]的论文。在本文中，我们感兴趣的是研究形式jx，t：=xeXt+ZteXsds，x的更一般指数函数的分布≥ 0，（3）及其“指数到期”交易对手，q：=Jx，e（q）。（4）接下来，我们将解释研究这些对象的动机：它来自股票挂钩保险中的某些嵌入期权，称为可变年金保障福利。股票挂钩保险产品允许投保人将保费投资于股票市场。换言之，溢价投资的每日回报与特定的股票指数（如标准普尔500指数）或投保人选择的特定股票基金直接相关。在选择时，保险公司会将保费转移给第三方基金经理。为了说明数学结构，我们考虑一个简化的示例。设{Ft，t≥ 0}表示保单持有人投资账户的演变{St，t≥ 0}表示股票指数。那么，股权挂钩机制决定了FT=FStSe-mt，t≥ 0，（5）其中m是每时间单位的基于账户价值的管理和费用（m＆E）费率。

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2022-5-25 17:36:23

在各种各样的产品中，可变年金尤其令人感兴趣，因为它们为投资者提供了一系列投资选择，通常还提供了额外的担保，以保护投保人免受其投资的严重损失。这些额外的好处往往可以被视为保险业在金融市场中期权合同的对应物。例如，最低保证死亡福利（GMDB）将保证投保人死亡后，apolicyholder的福利会收到当时的经常账户价值和最低保证金额中的较大者。例如，担保，用{Gt，t表示≥ 0}，是指投保人至少用无风险利率（即Gt=Fert）的应计利息补偿其初始投资，其中r是支持GMDB负债的保险人资产的每时间单位收益率。用tx表示当前年龄为x的投保人的未来寿命。实践中通常认为，抵押模型独立于权益回报，即Txis独立于{St，t≥ 0}。因此，GMDB的付款由（GTx）给出- FTx）+，类似于金融市场中的看跌期权。然而，请记住，如果没有任何保证收益，保险公司只会将保费转移给第三方基金管理人。与其他担保福利一样，GMD B在技术上是基础合同的附加条款，以额外成本向投保人提供额外福利，保险人承担额外责任。因此，GMD B经常被称为s a附加条款。

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可人4

2022-5-25 17:36:26

尽管如此，由于非货币法规，GMDB附加条款通常适用于所有可变年金合同。虽然金融衍生品和保险产品中的嵌入期权有许多共同特征，但一个关键区别在于，金融衍生品通常是短期的，保险范围持续几十年。由于市场上缺乏长期期权，股票挂钩保险的风险管理比衍生品交易复杂得多，对保险业务的成功起着至关重要的作用。在这项工作中，我们考虑了一个简化模型，该模型捕获了vanilla GMDB中与pla签订的可变年金合同的风险管理问题的结构。与许多交易所电子交易的金融衍生品不同，这些金融衍生品只需要n笔预付费，与股票挂钩的保险产品中的嵌入期权通常由一连串的费用收入来补偿。例如，基金经理通常对每个投保人的账户按每美元每时间单位收取固定百分比的m，并将部分费用（如md）回扣给保险公司，以补偿GMDBrider。在这里，我们考虑的是直到投保人死亡之前持续收取的费用收入的现值，ZT∧Txe公司-rsmdFsds，其中r是支持GMDB责任的保险公司债券的收益率。正如在大多数情况下，费用超过了GMDB的责任，保险人对保险人净责任的现值感兴趣（总负债减去费用收入）L：=e-rTx（GTx- FTx）+-ZTxe公司-RSMDFSD。风险管理建模的一项关键任务是量化和评估正净负债的可能性和严重性，这将导致保险公司蒙受损失。从业者通常将某些风险度量应用于蒙特卡罗模拟得出的净负债的经验分布。

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2022-5-25 17:36:30

然后，风险措施将被用于形成风险管理决策的基础，如设立准备金和资本，以抵御不利经济条件下的损失。北美保险业中最常用的风险度量是条件尾部预测，CTEp（L）=E[L | L>VaRp（L）]，其中风险值由VaRp（L）：=inf{y：P[L]确定≤ y]≥ p} 。由于风险管理的目的是分析正损失比负损失（pro-fit）更严重的程度，因此我们对风险度量CTEpand VaRpfor p>ξ：=p（L≤ 0）。为了计算上述风险度量，我们需要计算V>VaRξ，P（L>V | Tx=t）=Pe-rtFt+中兴通讯-rsmdFsds<F- 五、.很明显，股票挂钩保险中这种相当独特的融资机制产生了（3）中定义的指数函数的一般形式。虽然在金融衍生品建模过程中对经验数据的关注可能会转移到与股票挂钩的保险中，但还有一个问题是，此类模型对于长期预测的有效性。尽管如此，在过去二十年中，保险业采用了许多金融业众所周知的股票回报模型，如几何布朗运动、区域切换几何布朗运动等。有关股票回报模型选择的详细信息，请参见美国精算师学会出版物【9】、【16】和【10】。基于布朗运动指数泛函的变量周向保证收益的风险度量计算可在Fengand Volkmer【7，8】中找到。

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大多数88

2022-5-25 17:36:33

在本文中，我们对指数L'evy过程感兴趣，主要有两个原因：（i）此类模型已被证明可以解释经验数据的各种类型化事实，以及（ii）它们通常导致解析解，而不仅仅是金融文献中充分研究的奇异期权定价问题，但也适用于股票挂钩保险产品中极端负债的风险度量，从而为资本要求和其他风险管理目的所需的计算提供快速算法。本文的其余部分按以下方式组织。在第2节中，我们研究了指数泛函Ix，qforgeneral L'evy过程，并导出了Ix，q的梅林变换的积分表示。在第3节中，我们考虑了K ou过程的情况，并根据MeijerG函数计算了Ix，Qe的梅林变换，然后确定了Ix的密度，q（它也用Meijer G-泛函和超几何函数显式给出）。在第4节中，我们将这些结果应用于计算GMDB的各种风险度量问题，并将我们的半分析方法的效率和准确性与蒙特卡罗方法进行比较。2主要结果首先，我们介绍必要的符号和定义。我们考虑一个L'evy过程X，从零开始，具有拉普拉斯指数ψ（z）：=ln E[exp（zX）]，z∈ iR。L’evy-Khintchine公式告诉我们ψ（z）=σz/2+uz+ZRezx公司- 1.- zx1{| x |<1}π（dx），z∈ iR，其中σ≥ 0，u∈ R和L'evy度量∏（dx）满足esRR1∧ x∏（dx）<∞. 我们用e（q）表示经验一元随机变量，平均值为1/q，与X无关，我们还记得我们对指数函数X的定义，q：=xeXe（q）+Ze（q）eXsds，X≥ 0、备注1。使用时间反转很容易显示Ix，qd=Ue（q），其中UTI是广义的OrnsteinUhlenbeck过程UT=xeXt+eXtZte-Xsds。

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2022-5-25 17:36:37

（6）注意，UTI是一个从x开始的强马尔可夫过程，生成元L（U）f（x）=L（x）φ（ln（x））+f′（x），其中φ（x）：=f（ex），L（x）是L'evy过程x的马尔可夫生成元。这一结果来源于[15，命题2.3]。我们定义了Ix，qMx，q（s）=E的梅林变换（九、q）s-1.. （7）最初，Mx，q（s）在垂直线Re（s）=1上定义得很好，之后我们将通过分析将此函数扩展到某个垂直条带。在本节中，我们将在以下条件下工作：测度∏（dx）具有经验单位衰减尾。换句话说szr\\(-1,1）eθ| x |∏（dx）<∞, 对于某些θ>0。（8）上述条件意味着La place指数ψ（z）在条带| Re（z）|<θ中是解析的，并且在实区间z上是凸的∈ (-θ、 θ）。定义1。对于q>0，我们定义Φ+（q）=sup{z>0：ψ（z）<q}和Φ-（q） =inf{z<0：ψ（z）<q}。注：条件（8）意味着每q>0，我们就有Φ+（q）>0和Φ-（q） <0。提案1。对于所有q>0，x≥ 0和s∈ （0，1+Φ+（q））我们有Mx，q（s）<∞.证据让我们表示ξ=x exp（Xe（q））和η=I0，q，因此Ix，q=ξ+η。注意e[ξw]=q/（q- ψ（w））<∞, w∈ （Φ-（q），Φ+（q））和E[ηw]<∞ 对于所有w∈ (-1，Φ+（q））（见Rivero[26，引理2]）。当0<w<min（Φ+（q），1）时，我们使用Jensen不等式和obtainE[（ξ+η）w]≤ E[ξw]+E[ηw]<∞.如果Φ+（q）>1，则对于1≤ w<Φ+（q）我们使用Minkowski不等式e[（ξ+η）w]1/w≤ E[ξw]1/w+E[ηw]1/w<∞.最后，当-我们使用函数x∈ （0，∞) 7.→ xwis减小，并达到[（ξ+η）w]<E[ηw]<∞.因此，我们证明了E[（Ix，q）w]=E[（ξ+η）w]<∞ 对于所有w∈ (-1，Φ+（q），相当于命题1的陈述。下面的定理是我们在本节中的主要结果。定理1。

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2022-5-25 17:36:41

对于q>0和w∈ （最大值(-1，Φ-（q），0）Mx，q（1+w）=q sin（πw）M0，q（1+w）×-2iZc+iRz sin（πz）M0，q(-z） ×x个-zdzsin（π（w+z））, （9）其中c∈ （0，-w）。在证明定理1之前，我们需要建立几个辅助结果。引理1。当q>0时，函数F（s）=M0，q（s）/Γ（s）是解析函数，在垂直条Φ中为零-（q） <Re（s）<1+Φ+（q），并且它是一个tis fiesf（s+1）=q- ψ（s）F（s），Φ-（q） <Re（s）<Φ+（q）。（10）证明。函数方程来自Maulik和Zwart【21，引理2.1】（另见Carr et a l【2，命题3.1】）。F（s）是零自由的事实源自广义Weierstrass ProductRepresentation（见Patie和Savov[23，定理2.1]）。让我们确定q>0，w∈ （Φ-（q），0），并定义一个新的量度QdQdPFt=ewXt-tψ（w）。（11）在新测度Q下，过程X是拉普拉斯指数ψQ（z）=ψ（z+w）的L'evy过程- ψ（w）。让我们定义指数函数^Jt=中兴通讯-Xsds。（12）引理2。对于w∈ （Φ-（q），0）我们表示q：=q- ψ（w）。然后对于0<Re（s）<1+w- Φ-（q）方程（^Je（￠q））s-1i=M0，q（w）Γ（w）×Γ（s）Γ（1+w）- s） M0，q（1+w- s）。（13）证明。让我们表示Yt=-Xt：在测度Q下，这是一个L'evy过程，Lapla-ce指数ψY（z）=ψ（w- z）- ψ（w）。让我们用lso表示θ：=w- Φ-（q）（13）右侧的函数乘以f（s）。根据[13]中的命题2，为了建立引理2，我们需要检查以下三个条件（i）f（s）是解析的且在条带Re（s）中为零∈ （0，1+θ），（ii）f（1）=1，f（s+1）=sf（s）/（℃q- ψY（s））对于所有s∈ （0，θ），（iii）| f（s）|-1=o（exp（2π| Im（s）|）），作为Im（s）→ ∞ , Re（s）∈ （0，1+θ）。条件（i）来自引理1。

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2022-5-25 17:36:46

让我们检查条件（ii）：我们使用（10）并检查f（s+1）=Γ（s+1）Γ（w- s） M0，q（w- s） =平方英尺- ψ（w- s） Γ（s）Γ（w）- s+1）M0，q（w- s+1）=sq- ψY（s）f（s）。为了检验条件（iii），我们使用众所周知的渐近结果|Γ（a+ib）|=√2πexp(-π| b |/2+（a- 1/2）ln（| b |）+O（1）），b→ ∞,在R的紧致子集上一致成立，并检查一层（s）=M0，q（1+w- s） Γ（s）Γ（1+w）- s）≤ M0，q（1+w- Re（s））×O（e3π| Im（s）|/2）。因此，这三个条件都是满足的，我们已经证明了（13）。定理证明1：我们记得Ix，q与Ue（q）=eXe（q）（x+^Je（q））具有相同的分布，其中^jt由（12）定义。假设q>0，w∈ （最大值(-1，Φ-（q），0），因此q-ψ（w）>0。根据命题1，Mx，q（1+w）<∞ 我们可以写emx，q（1+w）=EhewXe（q）（x+^Je（q））wi=Z∞量化宽松-qtEhewXt（x+^Jt）宽度。（14）接下来，定义（11）中的测量值Q，并表示▄Q=Q- ψ（w）。从m（14）我们发现mx，q（1+w）=Z∞量化宽松-qtEhewXt（x+^Jt）widt（15）=Z∞量化宽松-（q）-ψ（w））tEQh（x+^Jt）widt=qqEQh（x+^Je（q））wi。接下来，我们拿z∈ （0，-w），使用（15）和computeZ∞xz公司-1Mx，q（1+w）dx=qqZ∞xz公司-1EQh（x+^Je（￠q））widx=qqEQZ∞xz公司-1（x+^Je（￠q））wdx=qqEQ^Je（q）z+wZ∞yz公司-1（y+1）wdy=qqEQ^Je（q）z+w×Γ（z）Γ(-w- z） Γ(-w）。（16） =qqM0，q（w）Γ（w）×Γ（1+z+w）Γ(-z） M0，q(-z） ×Γ（z）Γ(-w- z） Γ(-w），其中，我们在第二步中使用了富比尼定理，在第三步中使用了变量x=Je（~q）y的变化，在第四步中使用了众所周知的贝塔函数积分，在第五步中使用了引理2。最后，从（10）中，我们发现qM0，q（w）Γ（w）=q- ψ（w）M0，q（w）Γ（w）=M0，q（1+w）Γ（1+w）。我们还使用伽马函数的反射公式，并在formZ中重写（16∞xz公司-1Mx，q（1+w）dx=-πq sin（πw）M0，q（1+w）z sin（πz）M0，q(-z） sin（π（w+z）），其中公式（9）后面是梅林逆变换。

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2022-5-25 17:36:49

3案例研究：Kou过程在本节中，我们演示了如何使用Theorem1明确计算Kou跳跃扩散过程的经验一元函数Ix、Qf的密度。la t ter定义如下：Xt=ut+σWt+NtXj=1ξi，（17），其中σ>0，u∈ R、 NTI是一个泊松过程，强度为λ，ξ为i.i.d.随机变量，概率密度函数pξ（x）=pρe-ρx{x>0}+（1- p） ρeρx{x<0}，对于某些p∈ （0，1）和ρ，^ρ>0。很容易看出L a空间表达式等于ψ（z）=uz+σz+λpzρ- z- λ（1- p） z^ρ+z。当q>0时，有理函数ψ（z）=q有四个零{-^ζ，-^ζ、ζ、ζ}和两极{-^ρ，ρ}满足交错特性-^ζ<-^ρ<-^ζ<0<ζ<ρ<ζ。Mellin变换M0，q（s）在Cai和Kou[1]中计算（另见[13]），由M0，q（s）=A1给出-sΓ（s）G（s）G（1），（18），其中A=σ/2，G（s）：=Γh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+si。在上述公式（以及本文的其他地方）中，我们使用符号Γha，apb，bqi：=Qpi=1Γ（ai）Qqj=1Γ（bj）。（19）本节的第一个主要结果是梅林变换Mx，q（s）的显式表达式。提案2。对于0∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1Mx，q（s）=qA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+siG3,34,51.- s、 1、，-ρ、 ^ρ1- s、 ^ζ，^ζ，-ζ，-ζAx, （20）其中，G是附录A证明（A.5）中定义的Meijer G函数。

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2022-5-25 17:36:53

公式（18）和定理1告诉我们f或-（1）∧^ζ）<w<-c<0我们有mx，q（1+w）=q sin（πw）A-wΓh1+w，ζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+wρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi×-12iZc+iRΓh1+ρ+z，^ζ- z、 ^ζ- z-z、 1+ζ+z，1+ζ+z，^ρ- 齐亚-1.-zx公司-zdzz-sin（πz）sin（π（w+z））。使用伽马函数的反射公式，我们将上述公式改写为mx，q（1+w）=qA-1.-wΓhζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+w-w、 ρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi×2πiZc+iRΓh1+w+z，z，1+ρ+z，-w- z、 ^ζ- z、 ^ζ- z^ρ- z、 1+ζ+z，1+ζ+zi（Ax）-zdz。应用公式（A.5），我们得出结论，对于所有-（1）∧^ζ）<w<0Mx，q（1+w）=qA-1.-wΓhζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+w-w、 ρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi（21）×G3,35,41+w，1-^ζ，1-^ζ，1+ζ，1+ζ1+w，0，1+ρ，1- ^ρAx.请注意，条件（A.3）和（A.4）都满足，因为在我们的例子中，A=max（1+w，1-^ζ，1-^ζ）=最大值（1+w，1-^ζ）∈ （0，1），b=最小值（0，1+w，1+ρ）=0。和c∈ (-b、 1个- a）。通过改变变量w=s，从（21）中获得所需结果（20- 1并应用公式（A.9）。对于本节的其余部分，我们将在以下假设1下工作：ζ- ζ/∈ N和^ζ-^ζ/∈ N、定义2。我们将函数fx，q（y）定义如下：对于y>xfx，q（y）：=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）y-1.-ζF1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-是的o（22）+n与ζ和ζ互换的表达式相同，对于0<y<xfx，q（y）：=nq（Ax）-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（23）×G3,13,41.- ^ρ，1，1+ρ1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。在上述公式中，Φ表示正则化超几何函数，如附录A（A.7）所述。定理2。Ix，qis fx，q（y）的概率密度函数。证据

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2022-5-25 17:36:57

应用公式（A.10），我们检查对于任何大于0的小enoughfx，q（y）=O（y^ρ-），如y→ 0，（24）fx，q（y）=O（y-1.-ζ），作为y→ +∞, （25）所以函数ys-1fx，q（y）可积为0∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。对于该条带中的s，我们定义为：=Zxfx，q（y）ys-1dy，I（s）=Z∞xfx，q（y）ys-1dy，现在我们的目标是检查I（s）+I（s）=Mx，q（s）（其中右侧由（20）给出）。首先，我们使用公式（A.14）和公式（s）=nqA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAxo+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。类似地，使用公式（A.15），我们发现（s）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）xs-1.-ζ1+ζ- 旧金山1+ζ- s、 1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Axo+n与ζ和ζ互换的表达式相同。让我们概述一下证明身份I（s）+I（s）的计划- Mx，q（s）=0，对于条带0中的所有s∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。（26）首先，我们使用公式（A.11）并用超几何函数表示（26）中出现的所有Meijer G函数。这将给出一个包含两个超几何函数乘积的表达式。简化此表达式后，我们将获得以下等式xi=1（ai- ρ）（ai＋ρ）Q1≤j≤5j6=i（ai- aj）×F1+人工智能- ρ、 1+ai+ρ，1+ai，1+ai- s1+ai- 一*, . . . , 1+人工智能- 一-Ax（27）×F1+ρ- ai，1- ^ρ-ai，-ai，s- ai1+a- ai，*, . . . , 1+a- 人工智能Ax= 0，x∈ R \\{0}，其中[a，a，a，a，a]=[ζ，ζ，-^ζ，-^ζ，s- 1] 星号表示t项1+ai- 已提交。已知等式（27）为真：这是Feng等人[6]中定理1的特例。上述证明步骤虽然概念上很简单，但需要很长的计算时间。因此，我们在此省略所有这些细节，并在附录B中列出。备注2。

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2022-5-25 17:37:01

Theorem2证明的最后一步所需的代数操作（其中weestablish恒等式（26））相当繁琐（如附录B所示）。同时，通过数值实验很容易证实这个恒等式的有效性：只需通过（a.11）计算Eijer G函数，通过级数展开（a.6）计算超几何函数，并检查（26）是否适用于任意参数选择。在下一个结果中，我们计算了Ix，q的分布函数。对于y≥ xP（Ix，q>y）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ζψ′（ζ）y-ζF1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ，ζ1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-是的o（28）+n与ζ和ζ互换的相同表达式，0<y<xP（Ix，q<y）=nqA（Ax）-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（29）×G3,13,4-ρ，ρ，1ζ，ζ，-^ζ，-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。证据公式（28）可以很容易地从（22）和（A.15）中得到。类似地，公式（29）来自（23）、（A.14）、（A.12）和（A.8）。推论2。假设ζ>1。那么对于y≥ xE[Ix，q{Ix，q>y}]=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）（ζ- 1）y1-ζF1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ，ζ- 11+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ，ζ-是的o（30）+n与ζ和ζ互换的表达式相同，对于0<y<xE[Ix，q{Ix，q<y}]=nqysin（π（ρ-^ζ）（Ax）^ζsin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（31）×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，32，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。证据与推论1的证明步骤相同。备注3。跳跃扩散过程（17）包括漂移Xt=ut+σw的布朗运动，当λ=0时为特例。在这种情况下，可以简化推论1中的表达式。

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2022-5-25 17:37:04

让我们表示ν：=2uσ，η：=p8q/σ+ν，κ：=1- ν。那么对于y≥ x、 P（Ix，q>y）=qΓ（η- κ+1/2）xκy1-κΓ（1+2η）（η+κ- 1/2）e（1/x-1年）/σWκ，ησxMκ-1，ησy,而对于0<y<x，P（Ix，q<y）=qΓ（η- κ+1/2）xκy1-κΓ（1+2η）e（1/x-1/y）/σMκ，ησxWκ-1，ησy.此处M和W表示Whittaker函数，其定义和基本性质可在inOlver等人【22】中找到。同样，推论2中的表达式也可以简化：对于y≥ x、 E[Ix，q{Ix，q>y}]=qΓ（η- κ+1/2）xκy2-κΓ（1+2η）（η+κ- 1/2）e（1/x-1年）/σWκ，ησx“Mκ-2，ησyη+κ-3/2+Mκ-1，ησy#,对于0<y<x，E[Ix，q{Ix，q<y}]=qΓ（η- κ+1/2）xκy2-κΓ（1+2η）e（1/x-1/y）/σMκ，ησxWκ-1，ησy- Wκ-2，ησy.这些表达式是在Feng a和Volkmer【8，命题3.4】中使用光谱方法获得的。4应用程序我们在引言中讨论过，指数函数自然出现在分析保险人对可变年金担保福利的负债时，这是由于管理费持续收取，作为投保人账户价值的固定百分比。在本节中，我们应用了之前获得的理论结果，并计算了保证最低死亡福利（GMDB）的各种风险度量，GMDB是市场上最常见的投资担保类型之一。假设股票指数{St，t≥ 0}由指数L'evy processSt建模：=SeXt，t≥ 0，其中X是Kou过程，如（17）所述。此外，假设投保人的投资账户由（5）中的股权挂钩机制驱动。回想一下，GMDB从保险人的视角得出的净负债为byL：=e-rTx（FerTx- FTx）+-ZTxe公司-RSMDFSD。（32）由于死亡率风险和权益风险的独立性，我们得到了V≥ VaRξ>0，P（L>V）=Z∞P（t，K）f（t）dt，（33），其中f是Tx的概率密度函数，K：=（f- V）/（mdF）和P（t，K）：=PxeX公司*t+ZteX*sds<Kx=1/md。

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2022-5-25 17:37:07

基础L'evy流程X*与（17）中的工艺X相同，但用u替换为u*:= u- r- m、 P相对于t的拉普拉斯变换由▄P（q，K）：=Z给出∞e-qtP（t，K）dt=qP（Ix，q<K）。类似地，我们可以证明CTEP（L）=F-mdF1-pZ公司∞Z（t，K）f（t）dt，（34），其中Z（t，K）：=ExeX公司*t+ZteX*十二烷基硫酸钠{xeX*t+RteX*sds<K}.其关于t到t的拉普拉斯变换由▄Z（q，K）：=Z给出∞e-qtZ（t，K）dt=qEIx，q{Ix，q<K}.文献中关于人类死亡的一个常见模型是所谓的Gompertz-Makeham摩尔定律，该定律假设死亡老鼠euxis是常数A（用于解释意外死亡）和成分Bcx（用于解释老化）之和：ux=A+Bcx，A>0，B>0，c>1。（a）基数（b）权重图1：近似指数总和其概率密度函数f由f（t）=（a+Bcx+t）exp给出-在-Bcx（ct- 1）ln c. （35）如Feng和Jing【5】所示，我们总是可以使用Hankel矩阵的分解，通过具有复分量和复权重的指数函数f（t）的组合来近似EF≈MXi=1wie-坐R（si）>0。在文献中有许多已知的近似方法，其中大多数仅利用实分量和实权重。然而，汉克尔矩阵方法的优点是使用了相对较小的t项数。那么，对于足够大的M，P（L>V）≈MXi=1wiP（si，K）。（36）同样，我们可以通过CTEP（L）近似计算CTE风险度量≈ F-mdF1-pMXi=1wiZ（si，K）。（37）让我们用一个数值例子来说明对GMDB的应用。（i）生存模型。假设考虑中的可变年金合同发给65岁儿童，其生存模型由Gompertz-Makeham死亡率定律确定，概率密度见（35），其中x=65，A=0.0 007，B=0.00005，c=100.04。

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2022-5-25 17:37:10

使用Hankelmatrix方法，我们通过组合M=15项指数（a）死亡率密度（b）近似误差图2：死亡率密度函数的近似值来近似死亡率密度。图1显示了15项指数和的基数和权重。在图2中，我们显示了原始密度函数的曲线图以及15项近似经验和的误差。从图s可以清楚地看出，最大误差得到控制，supt∈[0100]f（t）-MXi=1wie-坐< 1 0-6.（ii）权益模型。假设可变年金合同投资于一只股票基金，该基金由以下两种模式驱动1。几何布朗运动（GBM）：在这里，我们使用一个标准模型，从1955年12月至2003年12月（包括1955年12月），从保险业校准到每月标准普尔500指数总回报数据。众所周知，该模型还通过了美国汽车协会（c.f.AAA报告[9，p.35]）设定的股票回报模型校准标准。u=0。064161，σ=0。16.2。

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2022-5-25 17:37:15

具有双边指数跳跃的指数L'evy过程（Kou）：我们使用两组参数与GBM模型进行比较。（参数集A）u=0.119161，σ=0.100499，λ=1，p=0.3，ρ=20，^ρ=10；（参数集B）u=0.064186，σ=0.144395，λ=0.00005，p=0.3，ρ=0.1，^ρ=0.2。选择参数时，应确保GBM模型和Kou模型的前两个Xare矩保持不变，即u=u+λpρ-λ（1- p） ρ，σ=σ+2λpρ+2λ（1- p） ^ρ。第一组参数导致小跳跃的发生相对频繁，而第二组参数的选择是为了显示相对罕见的大跳跃。λ=1λ=0.01λ=0.0001λ=0.000001 GBM（λ=0）P（L>0.2）0.4794368114 0.0954727742 0.0927572184 0.0927 302874 0.092 7300396P（L>0.4）0.3313624187 0.03327 852158 0.03185715421 0。03184312600 0.03184298681P（L>0.6）0.1787553560 0.06201 911742 0.005797295345 0.005793340382 0。005793300500表1:GMDB净负债的尾部概率蒙特卡罗蒙特卡罗分析蒙特卡罗（N=1000）（N=100，000）P（L>0.2）0.4794368114 0.4787000000 0.4796620000（0.015495 6700）（0.0015 078343）时间11.097 68.422203 7107.196853P（L>0.4）0.33136241870.334200000 0 00 0 0.3321305000（0.0143218640）（0.0013 534030）时间10.912- -P（L>0.6）0.1787553560 0.1780 0 0.1794875000（0.010548 1353）（0.0011 432358）时间10.463- -表2:GMDB净负债的尾部概率，λ=1（iii）费用表。初始购买付款假设为F=1。担保水平从G=1开始，支持GMDB负债的保险人资产收益率为byr=0.02。货币和费用（M＆E）费用按每时间单位每美元保单持有人投资账户的M=0.01收取。假设GMDB附加费费率为机电费率的35%，即。

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2022-5-25 17:37:18

md=0。回想一下，GBM模型实际上是Kou模型的特例。因此，我们应首先使用GBM模型下GMDB网络可用性的tailprobability作为基准，根据该基准可以测试Kou模型下相应结果的准确性。在表1中，尾概率的最后一行由公式（36）计算，其中P（s，K）由备注3中的公式确定。表的其余部分由公式（36）确定，其中P（s，K）由花冠y 1中的公式确定。为了便于与GBM模型进行直接比较，我们将Kou模型u设置为0。064161，σ=0。16，p=0.3，ρ=20，ρ=10。正如预期的那样，表1表明，随着跳跃强度率λ趋近于零，Kou模型下GMDB净负债的尾部概率逐点收敛于GBM模型下的相应结果。我们还可以使用蒙特卡罗方法测试GMDB净负债尾部概率结果的准确性。以λ=1的情况为例，见表2。对于蒙特卡罗方法，我们首次采用接受-拒绝方法，根据Gompertiz-Makeham死亡率定律（35）生成投保人的剩余寿命。在每个实验中，我们根据指数Levy模型模拟股票指数从开始到股东死亡时间的N个样本路径。在每个样本路径下，我们通过步长为0.01的Rieman Sum（对应于（32））来确定GMDB的网络能力。假设GMD B付款应在（a）所有正负债（B）特大负债外支付。图3：GMDB净负债的尾部概率死亡时间步长结束时。

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2022-5-25 17:37:21

尾部概率P（L>0.2）、P（L>0.4）、P（L>0.6）分别由GMDB净负债分别超过阈值0.2、0.4、0.6的样本路径数除以样本路径总数N进行估计。在表2中，我们报告了分析公式和蒙特卡罗模拟估计的尾部概率结果。计算时间以秒为单位报告。所有基于蒙特卡罗方法的算法均在ATLAB（版本20 16a）中实现，而分析公式的结果则在Maple（版本2016.1）中获得。此外，每个蒙特卡罗结果是20个独立实验估计值的平均值，括号中引用了相应的样本标准偏差。请注意，蒙特卡罗模拟要达到小数点后三位的精度非常耗时。因此，在进行上述分析时，开发分析公式是值得的，因为它们通常比蒙特卡罗模拟更有效、更准确。由于本文推导的解析公式，尾部概率的计算算法非常高效，使我们能够绘制尾部概率函数。尾部概率的可视化使我们能够理解保险公司能力的整体风险性受到的冲击。例如，我们在GBM模型和Kou模型下绘制了GMDB骑手的尾部概率函数。在图3中，蓝线表示GBM模型下的tail概率函数，而红线和绿线分别表示参数集为A和B的Kou模型下的尾部概率函数。横轴以初始购买付款的百分比表示净负债水平，纵轴测量相应的尾部概率。

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2022-5-25 17:37:25

图3（a）似乎表明，具有跳跃的模型往往会导致较小的损失概率（正向责任），这可能违反直觉。这可能是因为，与GBM模型相比，Kou模型的参数集A和B引入的白噪声波动性较小，而GBM模型中的白噪声波动性较小，这意味着较大的概率质量集中在负净负债周围（t heinsurer的概率）。如图3（b）所示，跳跃的存在似乎在产生巨大负债方面发挥了作用。以绿线表示的具有大j umps的Kou模型中的尾部概率比以蓝线表示的GBM模型中的尾部概率更粗。用红线表示的跳跃较小的Koumodel模型中的尾部概率也有一个较短的尾部，尽管其延伸程度小于跳跃较大的Kou模型。这并不奇怪，因为有跳跃的Kou模型的股票指数下降速度可能比GBM更快，从而导致承保人在极端情况下遭受严重损失0.85VaR0.9VaR0.95VaR0.9999参数集A 0.069344 0.187615 0.349984 0.868025参数集B 0.038537 0.132969 0.266704 0.967712CTE0.85CTE0.9CTE0.95CTE0.9999参数集A 0.295863 0.380809 0.498331 0.890319参数集B 0.226736 0.298245 0.401757 0.983389表3：GMS的风险措施D B净负债情况。该实验表明，与实践中使用的标准GBM模型相比，Kou模型倾向于在最右端对保险人的净负债进行更保守的估计。接下来，我们将说明GMDB净负债风险度量的计算。CTE0.9riskmeasure通常用于确定美国可变年金担保产品的风险资本。

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2022-5-25 17:37:28

首先，我们使用（36）中的表达式来确定不同级别的GMDB净负债的尾部概率，然后使用对分根搜索算法来确定精确的分位数。当搜索间隔缩小到宽度小于10时，该算法终止-然后将表3中的所有结果精确到小数点后六位。然后，将VaR结果输入到基于表达式（37）确定CTE的算法中。请注意，在表3中，参数集为A的模型在置信水平p=0.85、0.9、0.95时的分位数和特征量均大于参数集为B的模型，这与图3（A）中的观察结果一致，即参数集为A（红线）的模型的尾部概率往往主导参数集为B（绿线）的模型的尾部概率。然而，如果我们移到最右尾部，参数集为A的模型在p=0.9999时的分位数和CTE风险度量将小于参数集为B的模型的分位数和CTE风险度量，这由图3（B）中的反向优势所证实。风险度量的比较再次表明，很少发生大跳跃只会增加极高负债水平下的尾部概率，而频繁发生小跳跃可能会显著增加较低负债水平下的尾部概率，这通常是保险申请感兴趣的。承认A.Kuznetsov的研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会的支持。参考文献【1】N.Cai和S.Kou。在超指数跳跃扩散模型下的亚洲期权定价。操作。第60（1）号决议：第64–772012年。[2] P.Carmona、F.Petit和M.Yor。关于L'evy过程指数函数的分布和渐近结果。在与布朗运动相关的指数泛函和主值中，Bibl。修订版。小地毯

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2022-5-25 17:37:32

伊比利亚美洲，第73-130页。修订版。小地毯伊比利亚美洲，马德里，1997年。[3] P.Carr、H.Geman、D.B.Madan、a和M.Yor。资产回报的详细结构：经验调查。J、《商业》，75（2）：30 5–3322002。[4] R。续：资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。1： 223–236200 1。[5] R。冯和X.京。可变年金担保终身提取福利的分析估值和对冲。预印本，2016年。[6] R。冯、A.库兹涅佐夫和F.杨。超几何函数对偶关系的简短证明。J、数学。肛门。应用程序。，443（1），116-1222016年。[7] R。冯和H.W.Volkmer。可变年金保障福利风险度量的分析计算。保险数学。经济体。，5 1（3）：636–6482012年。[8] R。冯和H.W.Volkmer。用于计算变量周担保收益风险度量的谱方法。Astin Bull。，44（3）：653–6812014年。[9] L.M.戈尔斯基和R.A.布朗。为可变年金和类似产品设定基于监管风险的资本要求的推荐方法。2005年6月，波士顿，美国金融学会人寿资本充足率小组委员会技术报告。[10] L.M.戈尔斯基和R.A.布朗。C3可变年金第二阶段基于风险的资本：预包装方案。技术报告，美国精算师学会，2005年3月。[11] I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik。积分、系列和乘积表。爱思唯尔/学术出版社，阿姆斯特丹，第七版，2007年。[12] S.Kou。期权定价的跳差模型。管理科学，48（8）：1086–11012002年。[13] 库兹涅佐夫。关于带有理变换跳跃的L'evy过程的指数泛函分布。随机过程及其应用，122（2）：654–66320012。[14] 库兹涅佐夫和哈克曼。亚式期权与亚纯L'evy过程。

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2022-5-25 17:37:37

《金融与随机》，18:825–8442014。[15] A.库兹涅佐夫、J.C.帕尔多和M.萨沃夫。l'evy过程指数泛函的分布性质。电气n.J.Probab。，1 7：第8号，2012年1月至35日。[16] 生活实践笔记指导委员会。C3第二阶段和精算指南XLIII的应用。《公共政策实践说明》，美国精算师学会，2009年。[17] V.Linetsky。亚洲（平均价格）期权的频谱扩展。操作。第52（6）号决议：85 6–8672004年。[18] D.B.Madan和E.Seneta。股票市场收益的方差伽马（V.G.）模型。J、《商业》，63（4）：511–5241990。[19] H.Matsumoto和M.Yor。布朗运动的指数泛函。一、执行时的概率定律。概率b。Surv。，2： 312–347，2005年。[20] H.Matsumoto和M.Yor。布朗运动的指数泛函。二、因此，me相关的差异化过程。概率。Surv。，2： 348–3842005年。[21]K.Maulik和B.Zwart。L'evy过程指数泛函的尾部渐近性。斯托赫。过程。应用程序。，116（2）：156–177。，2006年【22】F.W.J.Olver、D.W.Lozier、R.F.Boisvert和W.C.Clark。NIS T数学函数手册。剑桥大学出版社，纽约，2010年。【23】P.Patie和M.Savov。L'evy过程的指数泛函：广义Weierstrass乘积和Wiener-Hopf因子。Comp tes Rendus Mathematique，351（9-10）：393–3962013。【24】P.Patie和M.Savov。L'evy过程的Bernstein gamma函数和指数泛函。arXiv:1604.05960，2 016。【25】A.P.Prudnikov、Y.A.Brychkov和O.I.Marichev。积分和级数，Vo l。3：更多特殊功能。Gordon和Break Science出版社，纽约，1990年。【26】诉里韦罗案。自相似马尔可夫过程的循环扩张和Cram'er条件。伯努利，11（3）：471–5092005。[27]J.Vecer。一种新的用于算术平均亚洲期权定价的偏微分方程方法。J、计算机。

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大多数88

2022-5-25 17:37:40

《金融》，4（4）：105–113，2001年。[28]约尔先生。关于布朗运动的一些指数泛函。应用程序中的高级。概率。，24（3）：509–5311992。附录A Meijer G函数和超几何函数在本节中，我们定义了Meijer G-f函数和超几何函数，并讨论了它们的一些性质。我们从四个非负整数m、n、p和q以及两个向量a=（a，…，ap）开始∈ C和b=（b，…，bq）∈ 0的CQ和定义≤ m级≤ q、 0个≤ n≤ p、 Gmnpq公司ab公司s:=mQj=1Γ（bj+s）nQj=1Γ（1- aj公司- s） qQj=m+1Γ（1- 北京- s） pQj=n+1Γ（aj+s）。（A.1）我们表示b（m）：=min1≤j≤mRe（bj），\'a（n）：=最大值1≤j≤nRe（aj），（A.2），我们设置b（0）=+∞ 和“a（0）=-∞. 当参数m、n、a和b固定时，我们将简单地写出b=b（m）和“a=”a（n）。定义3。假设参数m、n、p、q、a和b满足以下两个条件a：(R)a- 1<b（A.3）条件b：p+q<2m+2n。（A.4）我们将Meijer G函数定义如下GMNPQab公司x个:=2πiZλ+iRGmnpqab公司sx个-sds，（A.5），其中x>0和λ∈ (-b、 1个- “a”）。让我们解释一下为什么Meijer G-f函数定义得很好。需要条件（A.3），因为它将Γ（bj+s）fr的极点与Γ（1）的极点分开-aj公司-s）在（A.1）中的分子中，因此函数7→ Gmnpq（a，b | s）在条带中进行分析-b<Re（s）<1- a.伽马函数的条件（a.4）和斯特林渐近公式确保（a.5）中的被积函数以指数形式fa-stas Im（s）收敛到零→ ∞ , 很容易检查（A.5）是否将Meijer G函数定义为部门| arg（z）|<（m+n）中的分析函数- （p+q）/2）π。备注4。我们对Meijer G函数的定义对于我们的目的很有用，但这并不是最普遍的可能。可以通过适当变形（A.5）中的积分轮廓来放松条件（A.3）和（A.4）。见Prudnikov等人的第8.2章。

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可人4

2022-5-25 17:37:46

[25]了解更多详细信息。超几何函数定义为aspFq一apb，bq公司z:=Xk公司≥0（a）k。（ap）k（b）k。（bq）k×zkk！，（A.6）其中（A）k:=Γ（A+k）/Γ（A）是波克哈默符号。我们还将使用正则化超热学函数pΦq一apb，bq公司z= Γha，apb，bqipFq一apb，bq公司z. （A.7）我们在这里记录了Meijer G-函数的一些性质，这些性质在本文件的其他地方使用过。Gradshteyn和Ryzhik[11]中可以找到Meijer G函数的这些性质和许多其他结果。在Prudnikov等人[25]的第8.4章中，我们可以找到一个广泛的公式集合，这些公式表示Meijer G函数项中的各种特殊函数。（i） xcGmnpqab公司x个= Gmnpq公司a+cb+cx个. （A.8）（ii）Gmnpqab公司x个= Gnmqp1.- b1级- 一x个-1.. （A.9）（iii）对于任何大于0Gmnpq的ab公司x个=（O（xb-），如x→ 0+，O（x'a-1+），如x→ +∞.（A.10）（iv）假设bj- 黑色/∈ Z代表1≤ j<k≤ m、如果p<q或p=q且| x |<1，则有gmnpqab公司x个=mXk=1Q1≤j≤mj6=kΓ（bj- bk）nQj=1Γ（1+bk- aj）qQj=m+1Γ（1+bk- bj）pQj=n+1Γ（aj- bk）（A.11）×xbkpFq-1.1+黑色- 一1+黑色- ap1+黑色- b*, . . . , 1+黑色- bq公司(-1） p-m级-nx公司,其中，函数PFQ中的星号-1删除第k个参数。如果p>qor p=q且| x |>1，则Meijer G函数在Qfp方面的对应表示-1可使用（A.9）和（A.11）获得功能。（v）如果其中一个参数aj（对于j=1，2，····，n）与其中一个参数bj（对于j=m+1，m+2，····，q）重合，则G函数的阶数降低。例如GMNPQa、 ····，apb，····，bq-1，ax个= Gm，n-1便士-1，q-1.a、 ····，apb，····，bq-1.x个. （A.12）当其中一个参数bj（对于j=1，2，····，m）与其中一个参数aj（对于j=n+1，····，p）重合时，会出现类似关系。

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2022-5-25 17:37:51

在这种情况下，递减一个单位的是m而不是n。Gmnpq公司a、 ···，apap，b···，bqx个= 克-1np-1，q-1.a、 ···，美联社-1b、··、bq-1.x个. （A.13）（vi）Z∞xα-1Gmnpqab公司zx公司dx=Gm+1，np+1，q+1a、 1个- α-α、 b类z. （A.14）（vii）对于p≤ q和Re（α）>0，Zxα-1pFq一apb，bq公司zx公司dx=α-1×p+1Fq+1α、 a，apα+1，b，bq公司z. （A.15）附录B身份证明（26）我们记得x>0，q>0，数字{-^ζ，-^ζ、ζ、ζ}和{-ρ，ρ}是函数ψ（z）的根和极- 已知它们满足交错特性-^ζ<-^ρ<-^ζ<0<ζ<ρ<ζ。注意函数ψ（z）- q可以分解为φ（z）-q=A（z- ζ）（z）- ζ）（z+^ζ）（z+^ζ）（z- ρ）（z+ρ）。（B.16）其中A：=σ/2。这一事实（以及结果ψ（0）=0）意味着q=Aζζ^ζρρ，（B.17）和ψ′（ζ）=A（ζ- ζ）（ζ+^ζ）（ζ+^ζ）（ζ- ρ）（ζ+^ρ），（B.18）ψ′（ζ）=A（ζ- ζ）（ζ+^ζ）（ζ+^ζ）（ζ- ρ）（ζ+^ρ）。（B.19）最后，我们回顾，我们在以下假设ζ下工作- ζ/∈ N、 ^ζ-^ζ/∈ N、 0个∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。我们的目标是实现身份（26），为了方便起见，我们在这里复制身份：I（s）+I（s）- Mx，q（s）=0。（B.20）我们提醒您，我们表示di（s）=nqA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAxo（B.21）+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式，andI（s）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）xs-1.-ζ1+ζ- 旧金山1+ζ- s、 1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Axo（B.22）+n与ζ和ζ互换相同的表达式，我们计算了早期的mx，q（s）=qA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+si（B.23）×G3,34,51.- s、 1、，-ρ、 ^ρ1- s、 ^ζ，^ζ，-ζ，-ζAx.我们的主要工具是公式（A.11），它将Meijer G函数表示为超几何函数之和。

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