关于Levy风险模型的红色占用时间

2022-6-14 06:41:10

关于L'EVY风险模型的红色占领时间，David LANDRIAULT、BIN LI和MOHAMED AMINE Lkabosabstract。在本文中，我们得到了光谱负Lévy风险过程和折射光谱负Lévy风险过程在（独立）指数范围内的红色（低于0级）占用时间分布的解析表达式。这一结果改进了现有文献中只知道拉普拉斯变换的情况。由于占用时间与许多其他量之间的密切联系，我们提供了我们的结果的一些应用，包括未来水位下降、反向占用时间、指数延迟的巴黎单位时间以及最后一次最大运行时间。通过对我们的结果进行进一步的Laplaceinversion，我们得到了折射布朗运动风险过程和折射Cramér-Lundbergrisk指数索赔模型在一个时间段内的占用时间分布。引言占领时间衡量随机过程在某个区域停留的时间。它是应用概率领域的一个长期研究课题，在许多领域都有广泛的应用。在金融方面，在标的资产的各种动力学下研究了与占用时间相关的金融衍生品（例如，Cai等人[8]，Cai和Kou[9]以及Linetsky[30]）。在精算数学中，职业时间自然可以用来衡量保险组合固有的风险。在对保险人偿付能力风险的评估中，保险人盈余过程的占用时间在给定的阈值水平（通常被选择为“象征性的”0级）以下尤其重要（例如，Landriault等人【23】和Guérin and Renaud【14】）。

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2022-6-14 06:41:13

考虑到这一应用，我们在时间间隔（0，t）asext=Zt内以红色定义风险流程x的占用时间(-∞,0）（Xs）ds，其中（x）=1，x∈ A、 0，否则。其即时对应物OX∞定义为OX∞=R∞(-∞,0）（Xs）ds。文献中关于职业时间的研究结果很多。对于标准布朗运动，OXtappeared的分布在莱维著名的弧正弦律中。Akahori[1]和Takács[36]将该公式推广为带漂移的布朗运动。对于具有一些特殊跳跃分布的经典复合泊松过程，DosReis[11]得到了OX的矩母函数∞使用鞅方法。张和武[37]进一步解决了OX的拉普拉斯变换∞通过考虑受独立布朗运动扰动的复合泊松过程。日期：2019年7月24日。关键词和短语。占用时间、累积巴黎破产、莱维保险风险过程、规模函数。谱负Lévy过程是一种广泛使用的更一般的风险模型，它包括布朗运动（带漂移）和复合泊松过程（带扩散）作为特殊情况。在此框架下，Landriault等人[22]首先推导出X的拉普拉斯变换∞在过程的尺度函数方面。Loeffen等人[33]通过描述τ+b，OXτ+b其中τ+b=inf{t>0：Xt>b}。Li和Palmowski【27】通过研究加权占用时间，考虑了进一步的扩展。此外，Gérin和Renaud【13】以及Li等人【29】也分析了涉及占用时间的潜在措施。诚然，解决OXt的分布是最理想的，即占用时间达到有限的时间范围，但这是一个极具挑战性的问题。

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2022-6-14 06:41:17

据我们所知，OXthas分布只存在于两种类型的过程中：Akahori[1]提出的带漂移的布朗运动和Guérin和Renaud[14]提出的带指数跳跃的复合泊松运动。本文的主要理论结果是，对于谱负Lévy风险过程和折射谱负Lévy风险过程，我们得到了OXeλ分布的解析表达式，其中eλ表示速率λ>0的独立指数时间范围。请注意，Kyprianou和Loeffen[20]引入了折射光谱负Lévy风险过程。这类过程在许多保险应用程序中都很重要。这包括阈值策略下的股息支付（例如，Hernández Hernández[15]和Czarna等人[10]）和具有国家相关费用结构的可变年金（例如，Bernard等人[5]）。在Kyprianou等人【21】、Renaud【34】以及Li和Zhou【28】中可以找到折射光谱负Lévy过程的占据时间结果。注意，在这些论文中，目的是确定一些职业时间的拉普拉斯变换，而在本文中，我们通过求解分布部分地推广了他们的结果。本文的主要贡献总结如下。首先，由于OXeλ的Laplacetransform，即Ehe-文献中已知qOXeλi（见下面的引理1），可以通过双拉普拉斯变换反演（关于q和λ）数值获得OXtvia的分布。然而，众所周知，数值拉普拉斯反演方法可以解决各种稳定性问题，这可能会导致显著的计算误差。通过导出OXeλ分布的一般表达式，我们显式地反转了一个拉普拉斯变换，除了节省了一轮（数值）拉普拉斯反演之外，还为问题提供了进一步的结构。

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可人4

2022-6-14 06:41:20

其次，由于占用时间与许多其他量密切相关，我们在第2.3节中提供了我们的结果的一些应用，包括未来水位下降、反向占用时间、指数延迟的巴黎破产以及最后一次运行最大时间。第三，除了前面提到的带漂移的布朗运动和带指数跳跃的复合泊松运动外，我们还得到了第3节中另外两个模型的OXTF分布：折射布朗运动风险过程和折射Cramér-Lundberg指数索赔风险模型。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们首先介绍了关于光谱负Lévy过程和尺度函数的必要背景材料。然后我们导出了本文的主要结果，并考虑了一些相关的应用。我们通过提供一些Levy风险过程的示例来结束本节。在第3节中，我们将我们的研究平行扩展到折射光谱负Lévy过程。2、光谱负Lévy过程的占用时间2.1。预备工作。首先，我们提供了关于谱负Lévy过程的必要背景材料。Levy保险风险过程X是一个具有平稳和独立增量且无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。由于Lévy过程X没有正跳跃，因此其Laplacetransform存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞e-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），对于γ∈ R和σ≥ 0，其中∏是（0，∞) 称为x的Lévy度量∞(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.自始至终，我们将使用标准的马尔可夫表示法：从X=X开始的X定律用px表示，相应的期望值用Ex表示。

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2022-6-14 06:41:23

当x=0时，我们写P和E。我们回顾了标准首次通过停车时间的定义：对于b∈ R、 τ-b=在f{t>0:Xt<b}中，τ+b=在f{t>0:Xt>b}中，使用约定inf = ∞.现在，我们首先给出了X.F的标度函数wqa和Zqof的定义，回想一下，存在一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φq=su p{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φq）=q，q≥ 当E[X]>0时，我们有limq→0qΦq=ψ′（0+）=E[X]。（1）现在，对于q≥ 0时，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 带Laplace transformZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ），对于λ>Φq，（2），其中ψq（λ）=ψ（λ）- q、此函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0且对于q进一步连续≥ 我们通过设置Wq（x）=0（x<0），将wqt扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=ww。已知wqa的初始值为wq（0+）=（当X有界变化时为1/c；，当X有无界变化时为0，其中c：=γ+Rz∏（dz）>0是X的漂移。我们还通过Zq（X，θ）=eθX定义了另一个尺度函数Zq（X，θ）1.- ψq（θ）Zxe-θyWq（y）dy, x个≥ 0，（3）和Zq（x，θ）=eθxf或x<0。对于θ=0，Zq（x，0）=Zq（x）=1+qZxWq（y）dy，x∈ R、（4）对于θ≥ Φq，使用（2），尺度函数Zq（x，θ）可以重写为Zq（x，θ）=ψq（θ）Z∞e-θyWq（x+y）dy，x≥ 0。（5）我们回顾了Loeffen等人引入的X的延迟q标度函数【32】定义为∧（q）（X，r）=Z∞Wq（x+z）zrP（Xr∈ dz），（6），当q=0时，我们写∧=∧（0）。注意，我们可以显示∧（q）（0，r）=eqr。（7）我们还用∧（q）′（x，r）表示∧（q）对x的偏导数=∧（q）x（x，r）=Z∞W′q（x+z）zrP（Xr∈ dz），对于x≤ 0，我们还有∧′（x，r）=∧（q）′（x，r）- qZr∧（q）′（x，s）ds- qWq（x）。（8）此外，我们还回顾了【33】中所述的与标度函数相关的下列恒等式：forp，q，x≥ 0，（s- p） ZxWp（x- y） Ws（y）dy=Ws（x）- Wp（x）。

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2022-6-14 06:41:26

（9）最后，我们回顾了Kendall的身份，该身份提供了特定水平的首次向上交叉分布（见[6，推论VII.3]）：在（0，∞) × (0, ∞), 我们有Rp（τ+z∈ dr）dz=zP（Xr∈ dz）d r.（10）我们请读者参考[19]，了解有关光谱负Lévy过程和函数恒等式的更多详细信息。例如，【18】和【35】中可以找到更多与标度函数相关的示例和数值计算。2.2. 主要结果。2.2.1. 占用时间分布。本小节给出了谱负Lévy过程X的占用时间OXeλ密度的主要结果，其中，通过本文，eλ表示速率λ>0的指数随机变量，与过程X无关。我们首先给出了OXeλ的拉普拉斯变换的以下引理。注意，这一结果在文献中基本上是已知的（人们可以将表达式-qOXeλ；Xeλ∈ dyi（关于y），参见，例如，盖林和雷诺的推论1[14]），但为她提供了另一种更短的证明。引理1。对于λ，q>0和x∈ R、 Exhe公司-qOXeλi=λ（Φq+λ- Φλ）（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。（11）证明。利用盖林和雷诺[14]中的命题3.4，可以推断出-qOXeλi=PxOXeλ<等式= Px（κq>eλ）=1- Exhe公司-λκqi，其中，κqis是巴黎废墟的时间，其附带延迟定义为κq=inft>0:t- gt>egtq, （12）其中gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，EGTQ是一个指数分布的随机变量，速率q>0（与X无关）。κqc的拉普拉斯变换可以从Bardoux等人【3】（另见Albrecher等人【2】）中提取出来，由exhe给出-λκqi=qZλ（x）q+λ- λΦq+λ- Φλ（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）。因此，Exhe-qOXeλi=1- Exhe公司-λκqi=λΦq+λ-Φλ（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。以下主要定理给出了OXeλ的密度，它是使用拉普拉斯反演技术从（11）中推导出来的。定理2。

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能者818

2022-6-14 06:41:28

对于λ>0，x∈ R和y≥ 0，像素OXeλ∈ dy公司=1.-Zλ（x）-λΦλWλ（x）δ（dy）+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy+λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy，（13），其中b（λ）（x，s）=∧（λ）′（x，s）Φλ- ∧（λ）（x，s），δ（·）是0时的狄拉克质量。特别是，当x=0时，方程式（13）减少了顶部OXeλ∈ dy公司=λΦλWλ（0）δ（dy）+e-λy∧′（0，y）dy. （14）证明。给定thatPxOXeλ=0= 二甲苯τ-> eλ= 1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x），如果x<0，则为0，我们首先重写（11）asExhe-qOXeλi=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qΦλ+q- ΦλΦλZλ（x，Φλ+q）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）。通过简单的操作，上述表达式也可以重写为XHE-qOXeλi=1- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qΦλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）Φλ-Zλ（x，Φλ+q）+Zλ（x）-λΦλWλ（x）= 1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）+λ1.-λλ+qΦλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）qΦλ-Zλ（x，Φλ+q）q. （15）使用以下标识符Zλ（x，Φλ+q）q=Z∞e-qy公司e-λy∧（λ）（x，y）dy，（16）和Φλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）q=Z∞e-qy公司e-λy∧（λ）′（x，y）dy，（17）可以用Kendall的恒等式（10）和Tonelli的定理来证明，从而得出-qOXeλi=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）+λ1.-λλ+qZ∞e-qyne公司-λyB（λ）（x，y）体。因此，通过拉普拉斯反演，我们得到pxOXeλ∈ dy公司=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）δ（dy）+λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy.当x=0时，方程式（13）减为方程式（14）。证据到此为止。注意Px的表达式OXeλ∈ dy公司in（13）仅依赖于标度函数Wλ（x）和定律P（Xr∈ dz）。因此，只要Wλ（x）和P（Xr），就可以得到氧密度λ的闭合表达式∈ dz）是明确的。在第2.4节中，我们将提供一些底层流程X的示例，以便这两个量是明确的。备注3。

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2022-6-14 06:41:31

为了更好地理解公式（13），我们可以将其改写为asPxOXeλ∈ dy公司= 二甲苯τ-> eλδ（dy）+PxOXeλ∈ dy，τ-< eλ,其中pxτ-> eλ= 1.-Zλ（x）-λΦλWλ（x）,andPxOXeλ∈ dy，τ-< eλ= λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy.备注4。定理（2）中的时间范围可以很容易地扩展为次幂分布（也称为广义Erlang分布）。在弱收敛条件下，连续非负分布类中的次指数分布类是稠密的；例如，见Botta和Harris【7】。设▄enbe由▄en=e+e+····+en给出的次指数分布时间范围，其中e，e，使其相互独立并呈指数分布，具有不同的平均值1/λ，1/λ，分别为1/λn。因为p（~en）给出了▄enis的密度∈ dt）=nXk=1ankλke-λktdt，其中λk>0且ank=nQj=1，j6=kλjλj-λkwithPnk=1ank=1，则pxOXen∈ dy公司=Z∞nXk=1ankλke-λktPxOXt公司∈ dy公司dt=nXk=1ankZ∞λke-λktPxOXt公司∈ dy公司dt=nXk=1ankPxOXeλk∈ dy公司.例如，通过设置λk=n（n+1）2kE[~en]，~enbecame2n（2n+1）3n（n+1）k（E[~en]）的方差，当n→ ∞. 因此，可以使用Erlangization方法来近似固定时间范围的情况（seeKlugman等人【17】）。出租λ→ 0在（13）中，我们获得了以下OX分布表达式∞, 占用时间X保持在0级以下，直至完整。推论5。对于x∈ R、 y型≥ 0和E[X]>0，Px公牛∞∈ dy公司= E[X]W（x）δ（dy）+∧′（x，y）dy. （18）同样，我们可以重写（18）asPx公牛∞∈ dy公司= 二甲苯τ-= ∞δ（dy）+Px公牛∞∈ dy，τ-< ∞,其中pxτ-= ∞= E[X]W（X）和px公牛∞∈ dy，τ-< ∞= E[X]∧′（X，y）dy.2.3。应用。本节专门介绍定理2.2.3.1的一些应用。未来提款。提取被用作动态风险度量，以衡量保险盈余从其最大值下降的幅度。

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能者818

2022-6-14 06:41:34

感兴趣的读者请参阅Zhang【16】，了解更多保险和金融领域提取的理论结果和应用。最近，Baurdoux等人【4】引入了未来极端水位下降，定义为“Ds，t=sup0≤u≤信孚≤w≤t+s（Xw- Xu），其中s，t>0。最终水平版本用“Ds=limt”表示→∞\'Ds，t=sup0≤u≤sinfw公司≥u（Xw- 徐）。根据Baurdoux等人[4]的推论5.2（ii），我们得出-\'Deq<x= E[X]ΦqqZ（X，Φq）=Exhe-qOX公司∞i、（19）其中最后一个等式是由Landriault等人【22】的推论1得出的。到（18），我们得出结论-(R)Ds<x= 二甲苯公牛∞< s= E[X]W（x）+Zs∧′（x，y）dy.2.3.2. 反向占用时间。占用时间OXT当然包括一些关于盈余过程在时间t之前可能在红色区域停留多长时间的信息。但它未能提供一种偿付能力预警机制（以停止时间或其他形式），供保险人在财务困境期间采取行动。这促使我们考虑相反的职业时间，即所有财务困境期间（风险过程低于偿付能力阈值水平的期间）的累计持续时间首次超过确定性容忍水平。具体而言，参数r>0的反向占用时间定义为σr=in ft>0：OXt>r.停止时间σris被视为在过程X第一次累积低于0级超过r时发生。在此，参数r可以表示保险人对盈余过程累积低于阈值0的容忍水平。请注意，在精算破产术语中，反向占用时间也称为累积巴黎破产时间（见盖林和雷诺[14]）。反向占用时间的有限时间概率由px（σr）给出≤ t） =像素OXt>r, （20）而在有限时间范围内，情况px（σr<∞) = 二甲苯公牛∞> r.

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2022-6-14 06:41:37

（21）exhe给出的σris的拉普拉斯变换-λσri=Px（σr<eλ）=PxOXeλ>r, （22）可以很容易地从下面的定理2中得到。定理6。对于r，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λσri=e-λrZλ（x）-λΦλWλ（x）-λZre-λuB（λ）（x，u）- λZuB（λ）（x，s）ds杜。（23）使用（18），我们得到了反向占用时间发生的概率的以下表达式。推论7。对于r>0，x∈ R和E[X]>0，Px（σR<∞) = 1.- E[X]W（x）+Zr∧′（x，s）ds. （24）最后，我们指出（24）减少到Pτ-< ∞= 1.-当r时，E[X]W（X）→ 0，并使用停止时间σr接近Px的事实-a、到经典破产时间τ-（见【14】中的3.3号提案）。2.3.3. 具有指数时滞的巴黎破产。精算学中的另一种破产类型与OXtis的分布密切相关，即（12）中定义的具有指数延迟的巴黎破产时间κqd。[22]首次通过占用时间OX之间的关系给出了指数延迟巴黎破产概率的表达式∞和κq，也就是说，forE[X]>0，q>0和X∈ R、 Px（κq<∞) = 1.- Exhe公司-qOX公司∞i=1- E[X]ΦqqZ（X，Φq）。我们很容易恢复我们的结果。鉴于[14]中的命题3.4，已知κq和σeq具有相同的分布。用指数随机时间eqin（24），Px（κq<∞) = 二甲苯σeq<∞= 1.- E[X]Z∞量化宽松-qr码W（x）+Zr∧′（x，s）dsdr=1- E[X]W（x）+Z∞e-qs∧′（x，s）ds= 1.- E[X]ΦqqZ（X，Φq），其中最后一个等式跟在f rom恒等式（17）之后。2.3.4. 上次最大运行时间。用gt=sup表示X上一次达到峰值的时间s≤ t:Xs=(R)Xs,其中？Xt=sups≤txs是X的运行最大值。数量t- GT是所谓的时间t时的水位下降持续时间（见Landriault等人【24】）。

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2022-6-14 06:41:40

我们还通过t=Zt[0]表示X在正半行中的占用时间，∞)（Xs）ds。由于X=0，根据斯帕雷·安徒生的恒等式（见Bertoin的引理VI.15[6]），我们知道，对于每t>0，bOXtlaw=Gt。那么我们有p（eλ- Geλ∈ dy）=Peλ-方框λ∈ dy公司= POXeλ∈ dy公司=λΦλWλ（0）δ（dy）+e-λy∧′（0，y）dy,其中倒数第二个等式是由于（14）。2.4. 示例。本小节旨在为定理2的主要结果，即OXeλ定律，提供一些光谱负Lévy过程X的示例。对于Brownian风险过程和Cramér-Lundberg过程具有指数索赔的情况，我们将通过进一步的反演得到Oxtberg定律。在下面的隐式示例中，我们假设X=0。2.4.1. 布朗ri-s-k过程。设Xt=ut+σBt，其中u>0、σ>0和{Bt}t≥0是标准布朗运动。对于该过程，标度函数和拉普拉斯指数的右逆由w（x）=u给出1.- e-2ux/σ, x个≥ 0和Φλ=pu+2λσ- uσ-2，λ>0。此外，由于xs具有正态分布，平均us和方差sσ∧（x，s）=σe-us2σu√r2π+Nu√sσ1.- e-2μσx+ e-2uσx，因此∧′（x，s）=σe-2μσxσe-us2σ√r2π- u？Nu√sσ, （26）其中N=1-N是标准正态分布的累积分布函数。可以很容易地检查-λsΦλ=Z∞e-λtu+σe-（u/2σ）（t-s） p2π（t- s）- u？Nu√t型- sσ!dt。（27）由于X具有无界变化路径（即Wλ（0）=0）和X=0时的（26），因此我们有λ-1便士OXeλ∈ ds公司=e-λsΦλ∧′（0，s）=e-λsΦλσ（σe-（u/2σ）s√2πs- u？Nu√sσ)ds。使用拉普拉斯反演，我们最终得到OXt公司∈ ds公司=σ（σe-（u/2σ）s√2πs- u？Nu√sσ)×（u+σe-（u/2σ）（t-s） p2π（t- s）- u？Nu√t型- sσ)ds，这与Akahori[1]中的结果一致。但我们指出，我们的方法是在光谱负Lévy过程的更一般框架下进行的，而Akahori[1]使用特定的Feynman–Kac公式来计算布朗运动。

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2022-6-14 06:41:43

特别是，让σ=1，u=0，并积分OXtover定律[r，∞), 一个是著名的保罗·列维的反正弦定律，即POXt>r= 1.-πArcinrrt公司, 0<r<t.2.4.2。指数索赔的Cramér-Lundberg过程。设X是具有指数分布索赔的Cramér-Lundberg风险过程，即Xt=ct-NtXi=1Ci，其中{Nt}t≥0是强度η>0且{C，C，…}的泊松过程是具有参数α的独立指数分布随机变量，也与N无关。X的标度函数已知为beW（X）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,右逆具有闭式表达式Φλ=2cλ + η - cα+q（λ+η）- cα）+4cαλ.如Loeffen等人【31】所述，我们的PNSxi=1Ci∈ dy！=e-ηsδ（dy）+e-αy∞Xm=0（αηs）m+1m！（m+1）！嗯！，因此，Z∞zP（Xs∈ dz）=Zcsze-ηsδ（cs- dz）+e-α（cs-z）∞Xm=0（αηs）m+1m！（m+1）！（cs- z） mdz！=e-ηscs+∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！csΓ（m+1，csα）-αΓ（m+2，csα）!,式中，Γ（a，x）=Rxe-tta公司-1dt是不完全伽马函数，ηcαZ∞e（ηc-α） zzP（Xs∈ dz）=Z∞zP（Xs∈ dz）- （c）- η/α）s。那么，∧′（0，s）=αce-ηsc+∞Xi=0ηm+1rmm！（m+1）！csΓ（m+1，csα）-αΓ（m+2，csα）!.λc=q（λ+η- cα）+4cαλ- （cα- λ -η).由于X是有界变差路径（即Wλ（0）>0），我们有λ-1便士OXeλ∈ ds公司=ΦλWλ（0）δ（ds）+e-λsΦλ∧′（0，s）ds。正如盖林（Guérin）和勒努德（R enuad）[14]所示，我们有Φλc=Z∞e-λtatdt，其中=1.-ηcα++2ηπe-（η+cα）tZ-1.√1.- ue公司-2.√cαηtuη+cα+2√cαηudt。那么，我们还有-λsΦλc=Z∞e-λt在-s（0，t）（s）dt，我们得到了占领时间oxt的分布表达式，它比[14]中的表达式更紧凑：对于t>0，POXt公司∈ ds公司= atδ（ds）+c∧′（0，s）at-s（0，t）（s）ds。对于接下来的两个示例，我们旨在提供OXeλ（而不是OXt）的特征。如等式（13）（和（14））所示，有必要确定标度函数Wλ（x）和Xt的密度。

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mingdashike22

2022-6-14 06:41:46

为了完整性，我们回顾了与这些量有关的已知结果。2.4.3. 采用阶段型索赔的跳跃式扩散风险流程。作为前两个例子的推广，我们考虑一个具有阶段型索赔的跳跃扩散风险过程，即Xt=ct+σBt-NtXi=1Ci，其中σ≥ 0，{Bt}t≥0是标准布朗运动，{Nt}t≥0是强度η>0且{C，C，…}的泊松过程是具有公共相位类型分布的独立随机变量，具有最小表示（m，T，α），即其累积分布函数由F（x）=1给出-αeTx1，其中T是连续时间killedMarkov链的m×m矩阵，其初始分布由单纯形α=[α，…，αm]给出，1表示1的列向量。上述所有对象都是相互独立的（有关更多详细信息，请参阅Egami和Yamazaki[12]）。已知X的拉普拉斯指数的形式为ψ（λ）=cλ+σλ+ηα（λI- T）-1吨- 1., （28）其中t=-设ρj，λ为方程θ7的负实部根→ ψ(θ) = λ.由于我们假设净利润条件E[X]>0，根据库兹涅佐夫等人[18]的命题5.4，我们得出ρj，λ是不同的根。然后，根据[12]中的命题2.1，我们得到了wλ（x）=eΦλxψ′（Φλ）+Xj∈IλAj，λeρj，λx，其中Aj，λ=ψ′（ρj，λ），Iλ是与ρj，λs相对应的指数集。此外，P（Xt∈ dz）=e-ηt∞Xk=0（ηt）kk！Z∞F*k（dy）N（dz+y- ct）σ√t型,其中，N是标准正态随机变量的累积分布函数，F*kis是F的第k次卷积，对于k=0，我们理解F*0（dy）=δ（dy）。2.4.4. 稳定的ris k流程。我们假设X是一个α=3/2的谱负α稳定过程。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=λ3/2给出。那么，对于q，x≥ 0，我们有wλ（x）=√xE′3/2（λx3/2），其中E3/2=Pk≥0zk/Γ（1+3k/2）是3/2阶的Mittag-Le-fluer函数。如Loe Offen等人所述。

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2022-6-14 06:41:48

[31]，我们有P（Xt∈ dy）=P（t2/3X∈ dy）=qπt2/3y-1e级-u/2W1/2,1/6（u）dy y>0，-√3πt2/3y-1件/2件-1/2,1/6（u）dy y<0，其中u=t9/2 | y |，Wκ，u是Whittaker的W函数（见Lebedev[25]）。XT的密度很容易通过简单的变量变化得到。折射Lévy过程的占据时间我们现在将我们的结果扩展到折射光谱负Lévy过程U={Ut}t≥0atlevel 0 defined asUt=Xt- δZt{Us>0}ds，t≥ 0，其中δ≥ 0是折射参数。正如Kyprianou和Loeffen【20】中所讨论的，这样的过程是存在的，它是一个无跳向上的强马尔可夫过程。大于0时，剩余进程u演变为Y={Yt=Xt- δt}t≥0的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，右逆φq=sup{λ≥ 0 : ψ(λ) -Δλ=q}。然后，对于每个q≥ 0，我们定义了Y的标度函数，即WQ和Zq，byZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ）- Δλ，λ>Дq，和zδ，q（x，θ）=eθx1.- （ψq（θ）- Δθ）Zxe-θzWq（z）dz.我们也有zq（x）=Zδ，q（x，0）=1+qZxWq（y）dy。我们用∧（q）δ（x，s）=Z表示y的延迟q标度函数∞Wq（x+z）zsP（Xs∈ dz）。在【20】和【34】中，折射过程的许多折射恒等式用U的标度函数表示，即q≥ 0和x，z∈ R、 setw（q）（x；z）=Wq（x- z） +δ1{x≥0}ZxWq（x- y） W′q（y- z） dy.（29）注意，当x<0时，我们有w（q）（x；z）=Wq（x- z），当q=0时，我们将写w（0）（x；z）=w（x；z）。首先，对于∈ R、我们定义了以下第一段停车时间：ν-a=在f{t>0:Yt<a}中，ν+a=在f{t>0:Yt中≥ a} κ-a=在f{t>0:Ut<a}中，κ+a=在f{t>0:Ut中≥ a} 。由于Y也是一个光谱负的Lévy过程，因此X的恒等式也适用于Y。例如，对于x∈ R、 Ex公司e-λν-+rYν-= Zδ，λ（x，r）-ψλ（r）-δrr- φλWλ（x）。

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2022-6-14 06:41:51

（30）我们用κqU表示折射Lévyprocess UκqU=在fnt>0:t时具有指数延迟的巴黎破产时间- 肠道>egUtqo。对于κqUand OUeλ的拉普拉斯变换，我们有以下新结果。引理8。对于q，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λκqUi=qλ+qZλ（x）-λ（Φq+λ- Дλ）（q- Δλ+q）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）,因此，Exhe-qOUeλi=qλ（Φq+λ- νλ）（λ+q）（q）- ΔΦq+λ）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。（31）证明。对于x<0，使用U的强马尔可夫性质和Uκ+=0的事实κ+< ∞, 我们有-λκqUi=Exhe-λeq{κ+>eq}i+Exhe-（q+λ）κ+iEhe-λκqUi。自从Xt，t<τ+和Ut，t<κ+对于px具有相同的分布，当nx<0时，我们进一步得到-λκqUi=Exhe-λeq{τ+>eq}i+Exhe-（q+λ）τ+iEhe-λκqUi。对于x≥ 0，利用U的强马尔可夫性质，我们得到-λκqUi=Exe-λκ-EUκ-他-λeq{τ+>eq}i+前任e-λκ-EUκ-他-（q+λ）τ+iEhe公司-λκqUi=qq+λExhe公司-λκ-我- 前任e-λκ-+Φλ+qUκ--前任e-λκ-+Φλ+qUκ-Ehe公司-λκqUi=qq+λExhe公司-λν-我- 前任e-λν-+Φλ+qYν--前任e-λν-+Φλ+qYν-Ehe公司-λκqUi，（32）在上一个等式中，我们得出以下事实：Yt，t<ν-和Ut，t<κ-在Px下具有相同的分布。请注意，上述表达式适用于所有x∈ R、现在，X和Y都有有有界变化的路径。解决Ehe问题-λκqUiandusing（30），我们得到-λκqUi=qq+λEhe公司-λν-我-Ee-λν-+Φλ+qYν-1.- Ee-λν-+Φλ+qYν-=qq+λ-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）。

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2022-6-14 06:41:54

（33）将（30）和（33）替换为（32），我们有-λκqUi=qq+λZλ（x）-λДλWλ（x）-qq+λZδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）+qq+λZδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）Zδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）=qq+λZλ（x）-λДλWλ（x）-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）Zδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）=qZλ（x）q+λ-qλ（Φq+λ-Дλ）（λ+q）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）（q- ΔΦq+λ）。X具有无界变化路径的情况如下所示，使用[20]中的s ame近似程序（另请参见[13]）。最后，方程式（31）立即再次使用[14]中命题3.4的下列恒等式，即exhe-qOUeλi=1- Exhe公司-λκqUi。使用与定理2的证明类似的技术，我们得到了OUeλ分布的以下表达式。结果未经证明就陈述了。我们指出，方程式（31）和（34）概括了Kyprianou等人[21]的推论2，其中占用时间达到有限的时间范围。定理9。对于λ>0，x∈ R和y≥ 0，像素OUeλ∈ dy公司=Zλ（x）-λДλZλ（x）δ（dy）+λe-λyB（λ）δ（x，y）- λZyB（λ）δ（x，s）dsdy+λe-λyZλ（x）-λДλZλ（x）dy，（34），其中b（λ）δ（x，s）=∧（λ）′δ（x，s）Дλ- ∧（λ）δ（x，s）。我们用σUr=in f表示折射过程U的反向占用时间t>0：输出>r,我们得到下面的拉普拉斯变换。定理10。对于r，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λσUri=e-λrZλ（x）-λДλWλ（x）-λZre-λuB（λ）δ（x，u）- λZuB（λ）δ（x，s）ds杜。（35）我们还得到了折射过程U的逆占据时间概率的以下表达式。推论11。对于r>0，x∈ R和E[X]>δ，PxσUr<∞= 1.- （E[X]- δ)W（x）+Zr∧′δ（x，s）ds. （36）证明当δ=0时，结果减少到第2节中给出的结果，这是一个微不足道的练习。备注12。

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2022-6-14 06:41:57

上面的表达式也可以表示为follows，PxσUr<∞= 1.- （E[X]- δ)w（x；0）1- δW（0）+Zr∧′δ（x，s）ds, （37）这是由于以下与不同尺度函数相关的有用恒等式，取自【34】，即p，q≥ 0和x∈ R、（q）-p） ZxWp（x-y） Wq（y）dy=Wq（x）-Wp（x）+δWq（0）Wp（x）+ZxWp（x- y） W′q（y）dy,我们认为p=q=0。注意，当δ=0时，我们恢复了（9）中的光谱负振幅。出租人r→ 在（37）中，我们恢复了UPx的经典破产概率κ-< ∞= 1.-（E[X]- δ)1 - δW（0）W（x；0）。3.1. 示例。如引言所述，据我们所知，有限视界占据时间的分布仅适用于文献中具有漂移的布朗运动和具有指数声称的Cramér-Lundberg过程。在本节中，通过对（34）的进一步反演，我们能够推导出折射布朗风险过程和折射Cramér-Lundberg过程的指数索赔的有限地平线占用时间公式的分布。这两个公式在文献中都是新的。3.1.1. 折射布朗风险过程。设X和Y是两个布朗风险过程，definedasxt- X=ut+σbt和Yt- Y=（u- δ） t+σBt，其中B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动。在这种情况下，x的拉普拉斯指数由ψ（λ）=uλ+σλ给出。那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=u1.- e-2μσx,W（x）=u- δ1.- e-2u-Δσx.和Дλ=σ-2.q（u- δ)+ 2λσ- (u - δ).

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2022-6-14 06:42:00

使用z的事实∞zrP（Xr∈ dz）=σ√2πre-cr2σ+cNc√rσ,andZ公司∞zre公司-2(u-δ） σzP（Xr∈ dz）=σ√2πre-cr2σ+（2δ- u)√2πN√r（2δ- u)σ,我们得到∧δ（x，s）=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）=u- δσ√2πre-ur2σ+uNu√rσ-e-2(u-δ） σxu- δσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ因此，∧′δ（x，s）=σe-2(u-δ）σxσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ.我们也有-λrДλ=Z∞e-λt（u- δ） +σe-(u-δ） /2σ（t-s） p2π（t- s）- (u - δ） N个(u - δ)√rσ!使用拉普拉斯反演，我们最终得到出来∈ ds公司=σσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ×(u - δ） +σe-(u-δ） /2σ（t-s） p2π（t- s）- ( u - δ） N个(u - δ)√rσ!ds，3.1.2。具有指数索赔的折射Cramér-Lundberg过程。设X和Y是具有指数分布索赔的twoCramér-Lundberg风险过程，则它们是definedasxt- X=ct-NtXi=1土地和Yt- Y=（c- δ） t型-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是一个泊松过程，强度η>0，且{C，C，…}a平均值为1/α的独立和经验分布随机变量，与n无关。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+η给出αλ + α- 1., 对于λ>-α和净利润条件由E[Y]=cδ给出- η/α ≥ 0，其中cδ=c- δ.

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mingdashike22

2022-6-14 06:42:03

那么，forx≥ 0，我们有w（x）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,W（x）=cδ- η/α1.-ηcδαeηcδ-αx个,右逆式为Дλ=2cδλ + η - cδα+q（λ+η- cδα）+4cδ）αλ.我们有∧δ（x，s）=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）=cδ- η/αZ∞1.-η（cδ）αeηcδ-α（x+z）zrP（Xr∈ dz），其中Z∞ze公司ηcδ-αzP（Xr∈ dz）=Zcszeηcδ-αze公司-ηrδ（cr- dz）+e-α（cr-z）∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr- z） mdz=Zcse公司-ηrcreηcδ-αcr+e-αcrzeηcδz∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr- z） mdz！=e-rη+αc+ηccδcr公司+∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！Zcre公司-ηcδyym（cr- y） dz！=cre公司-ηr+ηcδ-αcr×cr+∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，ηcrcδ）-cδ（η+cδαcr）Γ（m+2，crηcδ）!.那么∧′（0，s）=-ηce-ηr+ηcδ-αcrcδ+ηe-ηr+ηcδ-αcrcδ×∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，ηcrcδ）-cδ（η+cδαcr）Γ（m+2，crηcδ）.由于X是有界变差路径（即Wλ（0）>0），我们有λ-1便士OUeλ∈ ds公司=ДλWλ（0）δ（ds）+e-λsДλ∧′δ（0，s）ds。此外，我们还有Дλcδ=Z∞e-λtaδtdt，其中δt=1.-ηcδα++2ηπe-（η+cδα）tZ-1.√1.- ue公司-2.√cδαηtuη+cδα+2√cδαηudt。然后，我们得到占领时间出口>0的分布的以下表达式：P出来∈ ds公司= aδtδ（ds）+cδ∧′δ（0，s）aδt-s（0，t）（s）ds。David Landriault和Bin Li感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的资助（资助号分别为341316和05828）。David Landriault感谢加拿大研究主席计划的支持。参考文献[1]J.Akahori，一种新型路径相关期权的一些公式，Ann。应用程序。概率。5（1995），第2383–388号。[2] H.Albrecher、J.Ivanovs和X.Zhou，《在泊松到达时间观察到的Lévy过程的出口恒等式》，Bernoulli 22（2016），第3期，1364–1382。[3] E.J.Baurdoux、J.C.Pardo、J.L.Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.App L.Probab。(2016).[4] E.J.Baurdoux、Z.Palmowski和M.R。

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