随机微分方程的参数辨识

2022-5-6 02:38:37

关于随机微分方程中的参数识别，由惩罚最大似然法比安·邓克和托尔斯滕·霍哈格因数字与数学研究所（Georg August University–atG–Ottingelotzestr）进行。德国G–ottingen市37083号电子邮件：dunker@math.uni-戈廷根。断章取义。在本文中，如果数据由独立的、同分布的随机变量描述，我们给出了随机微分方程中系数的非参数估计。该问题被描述为一个非线性病态算子方程，其确定性正演算子由福克普朗克方程描述。我们推导了带有凸惩罚项的惩罚极大似然估计和牛顿型方法的风险收敛速度。对于漂移系数的估计，验证了我们一般收敛结果的假设。与二次数据可靠性项相比，对数似然项的优势在蒙特卡罗模拟中得到了证明。1.引言物理学、社会科学和经济学中的许多动力学过程都可以用随机微分方程组Dxt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt来建模。（1）给你∈ [0，T]在T>0时被解释为时间，XT是一系列随机m变量，其值在Rd中，WT是Rd中的标准维纳过程。函数u：[0，T]×Rd→ RDI称为漂移系数，而σ：[0，T]×Rd→ Rd×不稳定性或差异。对过程的观察给出了一个或多个路径（Xt）t的值≥0一次或多次t。在许多应用中，人们有兴趣非参数或参数地估计漂移或扩散，以更好地理解建模过程。在本文中，我们考虑了u和σ独立的特殊情况，σ已知，而u应该估计。

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2022-5-6 02:38:41

让我们描述两种适合我们方法的观测：（i）独立路径X（i）t，i=1，n在固定时间T=T观察到。也就是说，观测值是随机变量Yi=X（I）T。路径X（I）的起始点假设是从SDEs 2中已知的分布参数识别中采样的。（ii）我们在等距时间内只观测到严格平稳遍历过程的一条路径。也就是说，我们的观测值是Yi=X（I+I）t对于i=1，n和i>0。我们解决这个问题的方法是基于福克-普朗克方程，也称为福沃德-科尔莫戈罗夫方程。假设XT对所有t都有一个充分光滑的密度u（t，·）∈ [0，T]。那么（1）当且仅当u解初值问题时成立tu=div-uu+σ大学毕业生u（0，·）=u（2）（参见例[36]）。因此，我们可以定义解算子f（u）：=u（T，·）的确定系数。这个算子是非线性的。对于μ，σ不依赖于t的遍历过程，等式（2）的解趋向于t的稳定解→ ∞ 求解椭圆方程0=div-uu+σ大学毕业生Zu（x）dx=1。（3）在这里，解算子的系数由F（u）：=u定义。第2节将讨论算子F及其性质。我们将得到一般算子F在一组概率密度中的收敛结果。在这种一般情况下，反问题的未知量将用f表示。在上面的设置中，我们有f=u，但在其他应用中，f=σ或f=（u，σ）。如果参数估计优于非参数估计，则fca可以是u或σ模型中的参数。假设f+是精确解，u+：=f（f+）是相应的概率密度。我们假设观测数据由独立的随机变量Y，每个密度的概率+。

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2022-5-6 02:38:44

注意，等距离观测值Yi=X（i+i）只有一条路径是不独立的。因此，我们的结果仅适用于第一种情况，即观察到一组独立路径。在第二种情况下，额外信息按数据Yi的顺序包含，此处将忽略这些信息。如果因此，如果没有订单信息，Yi和Yi+1的依赖性可以忽略。我们的估计器遵循这个想法，寻找一个使给定观测值Yi=Yi的可能性最大化的估计器bf。用经验测度Φn:=nnXi=1δyi来描述这些观测是很方便的。（4）由于Pu[y，…，yn]=Qni=1u（yi），负对数似然由（Φn，u）=-nln Pu[y，…，yn]=-nnXi=1ln u（yi）=-Zln（u）dΦn.（5）SDEs 3中的参数识别由于不适定性，一个简单的极大似然估计，即某些凸集B中F上的S（Φn，F（F））的极小值是不稳定的。因此，我们必须规范化。在（g一般化的）Tikhonov正则化中，增加了一个使能项R:B→ R∪{∞},我们假设它是凸的，下半连续的，并且不相同∞. 它由正则参数α>0:bfα加权∈ 阿格明夫∈B[S（Φn；F（F））+αR（F）]。（6）由于F的非线性，这通常是一个非凸极小化问题，尽管S（Φn；·）和R是凸的。另一种方法是通过Fr′echet导数F′[bfk]局部逼近绕流迭代的F′。这就产生了itera t正则化牛顿法bfk∈ 阿格明夫∈行李处理系统Φn；F′[bfk-1] （f）-bfk-1） +F（bfk）-1)+ αkR（f）i.（7）这里（αk）是一系列正正则化参数，随着k的增加单调收敛到0，使得αk/αk+1有界。为了确保这些优化问题的适定性并分析收敛性，经常需要“正则化”数据冗余项。

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2022-5-6 02:38:47

当u在一组表示S（Φn，u）=∞ . 进一步的讨论载于第3节。正则化方法的所有已知收敛速度结果，包括F′欠源条件弱于F+∈ ran（F′[F+]*) 需要对F′进行额外假设，例如切向圆锥条件kf（g）- F（F）- F′[F]（g）-f）吉隆坡≤ ηkF（g）-吉隆坡。（8）对于KL型数据可靠性术语，需要[24]中最近建议的相关公式（20）。对于D（F）和ran（F）是不同域上函数空间的参数识别问题，这些条件通常很难验证，但如果域重合，则L切锥条件已针对许多问题显示出来（参见[20,8]）。就我们所知，在平稳的福克-普朗克方程（3）中漂移估计，到目前为止，切向锥条件的L型，尤其是KL型都是未知的，我们将在下面证明它们。自Black&Scholes[4]的工作以来，随机微分方程建模成为金融计量经济学的标准。从那时起，遍历模型中漂移和扩散的参数和非参数估计就引起了人们的兴趣。我们只提到库托扬茨[28]的教科书和其中的参考文献。最近关于漂移非参数估计的工作包括Ho ffi mann[21]使用小波，Spokoiny[41]使用核方法，Gobet，Ho ffi ma nn和Reiss使用小波，Comte，Genencatalot和Rozenholc[9]使用惩罚最小二乘法，Schmisser[3 8]将惩罚最小二乘法应用于高维问题，Papaspiliopo ulos等人[31]，Porkn、Stuart和van Zanten[32]使用贝叶斯方法。

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2022-5-6 02:38:50

Hurn、Jeismann和Lindsay[25]开发了与我们的方法相关的参数估计。他们在SDEs 4似然估计中提出了一个最大参数识别，它依赖于（9）个有限元素的计算。由于u的参数模型，他们的问题不是不适定的。此外，对于使用偏微分方程进行的非参数易失性估计，我们提到了Cr\'epey[10,11]、Egger&Engl[15]和De Cezaro、Scherzer&Zubelli[12]。我们将用n表示期望结果的收敛性→ ∞ 通过调整[24,43]中泊松数据反问题的相应结果，对Tikhonov正则化（6）和迭代正则化牛顿法（7）进行了改进。在这里，我们基本上利用了塔拉格兰德的集中不等式的一个版本，该不等式是由马萨特[29]提出的。Bakushinskii[1]提出了具有二次惩罚和二次数据冗余项的迭代正则化Gauss-Newton方法，Blaschke、Neubauer&Scherzer[5]和Hohage[23]分别对低阶H¨older或对数源条件进行了进一步分析。更多参考文献可在巴库辛斯基i和科库林[2]以及卡尔滕巴赫尔、纽鲍尔和舍尔策[27]的专著中找到。最近，一些论文研究了一般凸惩罚项的正则化。我们只提到Eggermont[16]、Burger&Osher[7]、Resmerita[33]、Hofmann等人[22]和Scherzer等人[37]。

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2022-5-6 02:38:54

Resmerita，Andersen[34]和Benning，Burger[3]研究了具有对数似然函数或Kullback-Leibler收敛等一般数据项的线性不适定问题的正则化方法。Flemming[17]研究了具有一般数据项的线性和非线性Tikhonov正则化。本文的剩余部分组织如下：在下一节中，我们介绍了福克-普朗克方程的一些性质，并证明了相应正演算子F的切锥条件。第3节给出了具有Kullback-Leibler型数据特性和凸性项的变分正则化方法的一般收敛速度结果。这些结果再次应用于我们对漂移4的估计。第5节给出了数值模拟的结果，最后给出了一些结论。2.福克-普朗克方程在本节中，我们收集了平稳福克-普朗克方程的一些性质，并证明了相应算子F的切锥条件。我们在有界Lipschitz域D上考虑这个方程使用无flux边界条件。也就是说，在概率密度方面，没有概率质量通过边界进入或离开。这是SDEs 5方程中福克-普朗克参数识别的自然边界条件：div-uu+σ大学毕业生= 0英寸D-u（u·n）+σσ大学毕业生· n=0开DZDu（x）dx=1。（9）我们假设∈ L∞（D，Rd）和σ∈ L∞（D） D×D，带有明确的L∞追溯D出现在边界条件中。此外，我们假设存在常数Cσ>0，使得|σ（x）ξ|≥ Cσ|ξ|对于所有ξ∈ Rd和所有x∈D.（10）让我们评论一下福克-普朗克方程的自然边界条件：o如果D=1，我们可以假设w.l.o.g.that D=(-1, 1). 延长u乘以u（x）：=u（1）和u(-x）：=u(-1）对于x>1，对于σ也是如此。

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大多数88

2022-5-6 02:38:58

由于常数系数微分方程-uu′+σu′=0和u6=0具有线性独立的解1和exp2σx, R上的福克-普朗克方程有一个积分解当且仅当u（1）<0和u(-1) > 0. 在这种情况下，每个可积解满足u（x）=u（1）exp2u（1）σ（1）（x）- 1), u(-x） =u(-1）经验2u(-1)σ(-1)(1 - 十）, 十、≥ 1.因此，这些解满足（9）中的边界条件。因此，对（3）的解的限制仅限于D=（-1，1）是（9）的高达一个比例因子的解，即边界条件是一个精确的透明边界条件。在我们的数值计算中，边界条件就是这样解释的对于d>1的精确透明边界条件，r总是非局部的。由于（9）中的边界条件是局部的，我们最好希望收敛到RDD中的福克-普朗克方程的一个解，因为D的大小趋于∞.o 在其他应用中，例如在生物细胞中的扩散，溶液路径自然地包含在Rd的子域D中。在这种情况下，边界处的行为必须单独建模。例如，当路径到达边界时，它可能会以某种方式以某种概率反射，否则会被破坏。如[40,39]和其中的参考文献所述，边界处概率密度的行为可能相当复杂，涉及边界层，但无边界条件通常作为极限模型出现。椭圆问题（9）的弱公式是找到u∈ H（D）使得zdudx=1，对于所有v，au（u，v）=0∈ H（D）（11）式中u（u，v）：=ZD-uu·梯度v+σgrad u·grad vdx。SDEs 6Let Lu：H（D）中的参数识别→ H-1（D）表示与某个u相关的运算符，即hLuu，vi=所有u，v的au（u，v）∈ H（D）。Droniou和V\'azquez[13]证明，Lu内核中的每个函数要么是a.e.阳性，要么是a.e.阳性。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:39:02

阴性，或a.e.0。因此，内核要么微不足道，要么是一维的。为了方便读者，我们收集了Lu的一些进一步性质，所有这些性质都在[13]中明确或不明确地包含。引理1。假设σ为（10），让u为∈ L∞（D，Rd）。（i）当γ>kuk时，以下Garding不等式成立∞/（2Cσ）和0<c<minnγ-kuk∞2Cσ，Cσ-kuk∞4γoau（u，u）+γkukL≥ 库克，u∈ H（D）。（ii）式（11）有一个独特的解决方案。（iii）让H（D）：={u∈ H（D）|Rudx=0}，设)au：H（D） ×H（D）→ 请注意au到H的限制（D），并让|Lu：H（D）→ H（D）*表示与au相关的数值。那么Lu是双射的，并且有一个有界逆。当然。1）我们有一个u（u，u）+γkukL=ZD-uu梯度u+σ大学毕业生dx+γkukL≥ -kuk∞kukLkgrad-ukL+Cσkgrad-ukL+γkukL≥γ -kuk∞4ε库克尔+Cσ- εkgrad ukL。最后一步使用杨氏不等式ab≤ a/（4）+b代表a，b≥ 0和ε>0。选择ε<Cσ/2和γ>kuk∞/（4ε）给出了Garding不等式。2）作为第1部分的结果，Lu是索引0的Fredholm算子，即dim（ker（Lu））=dim（ran（Lu）⊥) （其中正交性是关于H（D）和H的双对数对理解的。）-1（D））和ran（Lu）关闭。如上所述，dim（克尔（Lu））∈ {0, 1}.作为u（u，1）=0 f或所有u∈ H（D），即1∈ ran（Lu）⊥, 我们有dim（ker（Lu））=1。由于ker（Lu）的元素为正a.e.或负a.e.，因此存在唯一性∈ ker（Lu）满足RDU dx=1.3）我们还有dim（ran（Lu）⊥) = 根据第2部分的证明，ran（Lu）={1}⊥=H（D）*as ran（Lu）关闭。通过对ker（Lu）的表征，算子Lu对H是有影响的（D）。此外，ran（~Lu）=ran（Lu）作为H（D）⊕ span{1}=H（D），所以Lu是满射的。~L的有界性-1u遵循开放映射定理。F的可微性和下一章中所述的切向锥条件对于Gauss-Newton方法至关重要。定理2。

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2022-5-6 02:39:05

接线员F:L∞（D、Rd）→ L（D）是Fr′echet可区分的，f′[u]h=u′u，hw其中u′u，h∈ H（D）是变分过程的唯一解，au（u′u，h，v）=ZDF（u）h·grad v dx，v∈ H（D）。（12） SDEs 7中的参数识别此外，强相切锥条件成立：kF（u+h）- F（u）- F′[u]hkL≤Cukhk∞kF（u+h）- F（u）kL（13）表示所有u，h∈ L∞（D，Rd），其中▄Cu：=k▄L-1微克。请注意，u:=F（u+h）- F（u）属于H（D）满足度au（u，v）=ZD（F（u）+u）h·gr ad v dx，v∈ H（D）。当v6=0时，右侧的函数以kvkhzd（F（u）+u）h·grad v dx为界≤ khk∞kF（u）+ukL≤ khk∞（kF（u）kL+k!ukH）因此，k!≤~Cukhk∞（kF（u）kL+k)ukH），这意味着（1-~Cukhk∞)kukH≤~Cukhk∞kF（u）kL。因此，F是连续的，因为kF（u+h）- F（u）kH=kk等于0∞倾向于0。作为)au（)u- uu，h，v）=ZDu h·梯度v dx，v∈ H（D）估计值为ut，与右边的估计值相同- F（u）- u′u，hkL=k~u- u′u，hkL≤ ku- u′u，hkH≤~Cukhk∞kukL，表示切向圆锥条件。再加上F的连续性，这意味着F是Fr′echet可微的，并且F′[u]h=u′u，h。示例3。如果u的表示形式为u=σσ梯度φ（14）对于某些势φ，稳态福克-普朗克方程（11）的解由u=RDexp（2φ）dxexp（2φ）给出，因为梯度u=RDexp（2φ）dxgradφexp（2φ）=2（σσσ）)-1uu。归一化常数dxp（2φ）dx确保u是密度。特别是，我们得到了以下F的逆的显式公式：u=σu2u毕业生。（15）下面讨论的方法d不依赖于这种形式和假设（14）。SDEs 83中的参数识别。i.i.d.反问题的一般收敛结果。

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2022-5-6 02:39:08

示例数据在本节中，我们考虑以下一般设置：oX是一个Banach空间，B X a凸子集，D Rda有界Lipschitz域，以及具有s>dan L基Sobolev空间的Hs（D）.o运算符F:B的范围→ Hs（D）由概率密度组成，即F（F）≥ 0和rdf（f）dx=1表示所有f∈ B.o存在R>1，因此supf∈BkF（f）kHs≤ R.of+∈ B是精确解，u+：=F（F+），o观测值由独立的随机变量Y，Yn与密度u+。回想一下经验测量Φnin（4）的定义。集中不平等。请注意ZD~ndΦn=ZD~nu+dx和VarZD~ndΦn=nZD k u+dx，只要右手侧定义良好。我们将需要一个浓度不均匀性，该不均匀性在φ中是一致的。我们的出发点是塔拉·格兰德[42]在开创性工作中的一个版本，这是由马萨特[29]引起的，并且有明确的约束。在我们的符号中，这个不等式的一个特例可以表述如下：定理4（文献[29]中的定理3]）。让F L∞（D）成为一个与kаk可数的函数族∞≤ b为所有人∈ F.此外，letZ:=n sup~n∈FZD~n（dΦn）- u+dx）和v:=n sup~n∈FRD~nu+dx。ThenPhZ≥ （1+）E[Z]+p8vξ+κ（）bξi≤ 经验(-ξ）对于所有，ξ>0，其中κ（）=2.5+32/。Massart也证明了Z左尾的一个类似不等式，但我们只需要一个上边的内质不等式，所以我们更愿意说一个偏差不等式。与[43]类似，在[35]中使用泊松过程的浓度不等式而不是定理4得出了类似的结果，我们给出了以下推论：推论5。存在一个常数Cc≥ 1仅依赖于D和D，因此对于ρ≥ RCC为一个ll n∈ NP“supk~nkHs（D）≤RZD~ndΦn- u+dx≥ρ√n#≤ 经验-ρRCc. （16）当然。从定理4推导推论5最困难的部分是E[Z]的估计。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:39:11

与[43，引理A.2]类似，我们可以证明E[Z]≤√NCR SDEs 9中的参数识别，常数Cd仅限于s和D。因为Hs（D）连续嵌入在L中∞（D），我们有k~nk∞≤ CR适用于所有人∈ Hs（D）和k k kHs≤ 其中是嵌入算子的形式≤ n（CR）为ku+kL=1。利用Hs（D）中球的可分性，并在定理4中选择=1，我们得到了“supk~nkHs（D）≤RZD~ndΦn- u+dx≥2C√n+C√8ξ√n+34.5CξnR#≤ 经验(-ξ).Asn≤√nand√ξ ≤ ξ代表ξ≥ 1，这就产生了（16），Cc:=2C+（34.5+√8） cρ=RCcξ。距离测量。为了说明我们的收敛定理，我们需要X和L（D）中的距离度量。与通常的变分正则化方法一样，当与罚项相关的Bregman距离为损失函数时，收敛速度加快。关于R和f的布雷格曼距离*∈ R（f+）isDf*R（f，f+）：=R（f）- R（f+）- 高频*, F- f+i.回想一下，对于希尔伯特空间中的二次惩罚，我们有Df*R（f，f+）=kf- f+k.因杰罗，Df*带Df的Ris非负*R（f+，f+）=0，但它既不是对称的，也不满足三角形不等式。L（D）中对应于（5）中引入的负对数概率的距离度量是Kullback-Leibler发散kL（u；v）：=ZDv- U- u ln似曾相识约定为0 ln 0:=0和ln（x）：=-∞ 为了x≤ 0.注意KL（u+；v）=ES（Φn；v）- S（Φn；u+）, 在另一种情况下，KL是负对数似然函数l的期望值，其加性常数的选择方式为KL（u+；v）≥ 0表示所有v和KL（u+；u+）=0。

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2022-5-6 02:39:14

如果u和v是概率密度，则上述公式简化了KL（u；v）=RDu ln（v/u）dx，但由于票价线性化的值通常不是密度，因此我们必须使用一般公式。注意这是（Φn；v）- S（Φn；u+）- KL（u+；v）=Z-lnvu+dΦn- u+dx.为了证明收敛速度，我们必须以足够大的概率来限制右手边的绝对值。原则上，这可以通过一个应用推论5来实现，其中的φ=-lnvu+。然而，这个推论只有当我们有一致的边界0<c时才适用≤vu+≤ C<∞ 对所有人来说∈ F（B），情况并非总是如此。因此，我们引入一个偏移参数τ>0，并使用KL（u++τ，v+τ）作为极限数据项，以及相应的经验数据项τ（Φn；v）=ZDvdx-ZDln（v+τ）（dΦn+τdx）使得sτ（Φn；v）- Sτ（Φn；u+）- KL（u++τ；v+τ）=Z-lnv+τu++τdΦn- u+dx.SDEs 10中的参数识别现在我们可以bounderr:=supv∈F（B）Sτ（Φn；v）- Sτ（Φn；u+）- KL（u++τ；v+τ）从supv开始使用推论5的概率很高∈F（B）k- lnv+τu++τkHs<∞ 在我们的假设下。收敛速度结果。为了获得收敛速度，我们需要解的某种光滑条件。源条件通常用于此目的。在Banach空间的正则化理论中，它们被表示为变分不等式（参见[22]和[18]了解与其他源条件公式的关系）。我们假设存在一个常数β>0，f*∈ R（f+）和aconcave，严格递增函数∧：[0，∞[ → [0, ∞[其中∧（0）=0，使得βDf*R（f，f+）≤ R（f）- R（f+）+∧吉隆坡u++τ；F（F）+τ尽管如此∈ B.（17）以下定理的证明现在完全类似于[43，定理4.3]的证明，但我们指出在[43，等式。

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kedemingshi

2022-5-6 02:39:18

（10）在左手边S（Gt；g+）应替换为S（Gt；g+），右侧ln（g+σ）替换为lng+σg++σ。定理6。如果u+满足某些τ>0的变分源条件（17），则S=Sτ的非线性Tikho-nov正则化（6）具有全局极小值bFα，并且选择正则化参数，使得α-1.∈ -( -Λ)2ρ√N, （18）然后我们就有了eEhDf*f）i（bf）R+Λ√N, N→ ∞. （19）为了证明牛顿型迭代的收敛性，我们还必须施加一个与我们的数据误差项相适应的切向锥条件。LetTτ（u；v）：=（KL（u+τ，v+τ）如果v≥ -τ/2∞ 其他的我们假设对于所有的f，g∈ bctctτu+；F（g）- ηTτu+；F（F）≤ Tτu+；F（F）+F′[F]（g）- f）≤ CtccTτu+；F（g）+ ηTτu+；F（F）（20） η足够小且Ctcc>1。我们还设置了Sτ（Φn；v）：=∞ 如果v≥ -τ/2. 然后我们可以在[24]中展示定理7。让我们的假设（17）、（20）成立。Ifbfkis由迭代牛顿法（7）定义，其中k∈ N是最大的指数，因此α-1k≤ 啜饮-(-Λ)2ρ√N, （21）SDEs 11THENHDF中的参数识别*R（buk，f+）i=OΛ√N. （22）备注1。（i）对于迭代正则化的Gauss-Newton方法和Ldata fidelity项，存在相关结果。这些定理不是（20），而是假设切向锥条件（8）。Ka ltenbacherand Hofmann[26]、Hohage and Werner[24]或Dunker等人[14]证实了类似的结果。二次数据项的收敛率与（22）中的比率进行比较。（ii）选择规则（21）使用了关于指数函数∧的先验信息，这在实践中通常不可用。[24]中显示，可以使用数据驱动的Lepskii型参数选择。在最终的收敛速度中，只有对数因子最慢：EhDf*R（bfkLepskii，f+）i=OΛln（n）-1)√N.4.

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2022-5-6 02:39:23

漂移估计的收敛为了将定理6和7应用于泊松数据漂移估计问题，我们必须讨论假设（17）和（20）。为此，我们需要对Kullback-Leibler散度进行以下估计：引理8。不平等- ψkL≤k~nk∞+kψk∞KL（ψ；ψ）。（23）适用于所有非负函数ψ，ψ∈ L∞（D）带- ψ ∈ L（D）。如果ψ从0开始有界，则kL（ψ；ψ）≤ψ∞k~n- ψkL。（24）项目。下限可以在[6]中找到。上界由简单估计x得出- 1.≥ 其中包含（x-1)≥ x ln x- x+1。设置x=ψ/ψ，我们得到ψ（ψ）- ψ)≥ ψ -φ - ~nlnψφ.积分D上的不等式并使用（1/ψ）（ψ）- ψ)≤ ψ/k1∞(φ - ψ）收益率（24）。提案9。设s>d/2+1，τ>0，并假设d和σ是光滑的。对于每个u+∈ 存在一个球B {u：ku- u+kHs<ρ}以满足B中的Kullback-Leibler切向条件（20）。SDEs 12Prof中的参数识别。如[24，引理5.2]所示，经典切向锥条件（13）等价于toCu+- F（g）L- ~ηu+- F（F）L≤u+- F（F）- F′[F]（g）- f）L≤ Cu+- F（g）L+~ηu+- F（F）l对于某些常数η，C>0和所有f，g∈ B、接下来，我们将证明F也可以连续地从H¨older空间C1，β（D，Rd）映射→ L∞（D）。请注意，u到（1）的解决方案满足1u*!uλ！=！，其中1映射一个常数λ∈ R为D上λ值的常数函数，1*isits L-伴随。通过Schauder估计（参见[19]），将（块-）算子作为C2，β（D）×R的映射→ C0，β（D）×R有一个有界逆ifu∈ C1，β（D，Rd）。

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2022-5-6 02:39:26

由于在这些拓扑结构中，块运算符连续且非常线性地依赖于u，并且由于运算符反转是连续可微分的，因此F从C1，β（D，Rd）到C2，β（D）是连续可微分的，因此从C1，β（D，Rd）到L也是连续可微分的∞（D）。选择0<β<s- d/2。然后，在球中，每一个球都是紧致的→ kF（u）kL∞和u7→ kF′[u]kC1，β→L∞ 在紧致集上的B连续函数上有界。与引理8一起，这意味着（20）在可能减小B命题10的半径之后。I f R（u）=kukHswith s>d/2+1，然后每u+∈ 在某些Hs球中，Hs（D；Rd）满足形式（17）的变分源条件。当然。由于[30]中的结果，u+满足光谱源条件u+=Θ（F′[u+]*F′[u+]WF对于某些w∈ Hs（D；Rd）和一些指数函数Θ。因此，u+还满足线性算子F′[u+]βDuR（u，u+）的不同源条件≤ R（u）- R（u+）+∧kF′[u]′（u）- u+）吉隆坡无论如何∈ Hs（D；Rd）与另一个指数函数∧（见[18]）。注意，定理2中的L切锥条件意味着kf′[u+]（u+）- u+）吉隆坡≤ （1+Cu+ku+- uk∞)kF（u）- F（u+）KL代表所有u∈ Hs（D；Rd）。因此，u+还满足非线性算子FβDuR（u，u+）的变量源条件≤ R（u）- R（u+）+∧4ku+- F（u）kL无论如何∈ Hs（D；Rd）与~Cu+ku- u+k∞≤ 1.与引理8 a和Hs（D，Rd）在L中的连续嵌入一起∞（D，Rd）这需要与吉隆坡相关的震源条件（17）。SDEs 13中的参数识别综上所述，定理6和7的所有假设都满足我们的问题。当u满足某些经典光滑性条件时，对指数函数∧进行显式表征将是一件有趣的事情。我们打算在未来的研究中解决这个问题。5.数值模拟实现。

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2022-5-6 02:39:30

迭代方案（7）的实施需要评估正向算子F及其导数F′。我们通过3级的有限元素对两个操作员进行了测试。everyNewton步中出现的凸极小化问题通过[24]中描述的嵌套牛顿迭代来解决。除了迭代（7）之外，我们还使用二次数据项实现了经典的Gauss-Newton方法。由于两种方法都配备了H-二次惩罚项，因此该设置允许对两种方法进行比较。对于latterinversion格式，每个牛顿步的极小化问题都变成了二次问题，可以用共轭梯度法求解。测试示例。为了测试该算法，我们考虑了一个一维随机微分方程（1），其微分σ=0.5，漂移u+（x）=-5倍- 2倍- x为0.25∈ [-1,1]，（25）u+（x）=u+（1）代表x≥ 1，且u+（x）=u+(-1）为了x≤ -1.图6和图7绘制了drif t。我们用Euler-Maruyama方法在T=1000和10Euler步长的大时间间隔[0，T]上模拟了随机过程的路径。但我们仅使用了125到1000个时域点作为对pAT h的观测。对于x=1和x=-1带有负号forx=-1.当小路从外面跳出来时[-1，1]在模拟中，它以非常小的步数跳回间隔。在间隔之外观测模拟路径的概率接近于0。为了实现forwardoperator，我们使用透明边界条件和-1和1，如第2节所述。0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tx0 0.511.522.5-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 XTX的密度图1：模拟路径和XTT工艺的相应极限密度→ ∞.SDEs 14结果中的参数识别。

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2022-5-6 02:39:33

我们使用4个不同数量的路径观察数据，即125、250、500和1000个点，重建了漂移。对于每一组观测，我们使用迭代正则化牛顿法（7）和KL数据项重建漂移，此外还使用迭代正则化G auss-牛顿法。在这两种构造方法中，我们假设漂移在半无限区间内已知(-∞, -1] [1，∞). 此外，为了独立于截取规则对两种方法进行比较，在某些情况下，使用了oracle选择的截取指数，即选择截取指数时，平均L误差最小。由于数据中存在随机误差，需要对反演方法进行统计评估。为此，我们重复了模拟磷灰石的过程，从中提取观察结果，并进行了1000次估计。下面的直方图显示了两种方法的误差分布。

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2022-5-6 02:39:36

误差标准化的方式是，初始猜测的误差为1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6010203405060708L2误差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6010203405060708L2误差重建数图2：一条路径的125次观测：KL（左）和L（右）数据项重建的误差。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.601020304050607080L2重建错误0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.601020304050607080L2重建错误数字图3：一条路径的250次观测：使用KL（左）和L（右）数据可靠性项的重建错误。SDEs 150中的参数识别0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.601020304050607080重建次数L2错误0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.601020304050607080L2重建次数图4：一条路径的500次观测：KL（左）和L（右）数据项重建的错误。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6010203405060708L2重建错误0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6010203405060708L2重建错误数字图5：一个路径的1000次观察：使用KL（左）和L（右）数据项重建的错误。柱状图表明，使用KL型数据特征项重建的平均误差和方差较小。下表明确了这一点：观测值KL平均KL方差Lmean Lvariance125 0.1832 0.0063 0.2870 0.0093250.1439 0.0031 0.2212 0.0044500 0.1160 0.0018 0.1759 0.00231000 0.0963 0.0010 0.1417 0.0013表1：观测到一条路径时误差分布的平均值和方差。以下图表是使用KL型数据可靠性项对漂移进行的典型重建。

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2022-5-6 02:39:40

我们为每个样本量选择了具有中值误差的结果。SDEs 16中的参数识别-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）真实漂移估计漂移-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）真漂移估计图6：使用一条路径的125（左）和250（右）个观测值，使用KL数据的精英项进行中值重建。-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）真实漂移估计漂移-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）真漂移估计图7：使用一条路径的500（左）和1000（右）个观测值，使用KL数据精细项进行中值重建。我们总结说，在我们的数值模拟中，具有KL型或Ldata-delity项的迭代正则化牛顿方法可以很好地作为漂移系数的非参数估计。随着数据数量的增加，Lerror的均值和方差降低是可以观察到的。KL型数据误差项的优点是，与Ldata-delity项的反演相比，误差的均值和方差要小得多。对设置的修改。除了上述系统的数值研究外，我们还在两种改进的设置中测试了反演方案。上述设置的第一个变化是假设x的漂移值为真值≥ 1和x≤ -1个是未知的。自然，这使得估计靠近边界的漂移更加困难。此外，在我们的例子中，在这个区域的观测是罕见的，这可以从这个过程的有限密度中看出。此外，边界漂移的绝对值相当大，这加剧了问题。下图显示了这种情况下的典型重建。SDEs 17中的参数识别-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）图8：使用一条路径的250（左）、500（中）和1000（右）个观测值，用KL典型数据项进行重建。

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2022-5-6 02:39:43

红色-重建，蓝色-真实漂移作为我们在引言中讨论的第一个场景中实施的设置的第二次修改。也就是说，我们在较短时间内模拟了多条具有共同起点的路径，而不是在较长时间内模拟一条路径。每个路径在一个时间点t观察。操作时间t或F必须根据该设置进行修改。我们不必求解椭圆问题（3），而是要在每个牛顿步中求解椭圆问题（2）。我们用隐式Euler格式实现了三阶有限元。以下图表显示了时间间隔[0,1]上模拟路径的示例、过程Xt的密度以及漂移的重建。T=0，在所有路径上进行观察。如上所述，我们假设漂移的边界值未知。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81txtx 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.511.522.53图9：10条模拟路径（左），Xt密度（右）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）-1.-0.5 0 0.5 1-3.-2.-101234xu（x）图10：使用G250（左）、500（中）和1000（右）模拟路径的KL型数据可靠性项重建。红色-重建，蓝色-真正的漂移。设置如图9所示。我们可以得出结论，该算法在修改后的设置中运行良好。估计接近边界的问题是非参数方法中的典型问题。SDEs 18中的参数识别此外，我们的测试示例特别容易出现这些问题。然而，在这些情况下，我们的算法在区间的内部产生了良好的结果。6.

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2022-5-6 02:39:47

结论利用K-ullback-Leibler型数据项，通过变分正则化方法，我们给出了估计随机微分方程参数的一般收敛速度结果。如果路径的观测是由独立的同分布随机变量描述的，则这些项自然地表现为负对数似然函数。这种方法的一个优点是灵活性。例如，它还可以用于估计波动性、初始条件或边界条件下的系数，并且它只能处理部分域中的观测、多次对多条路径的观测以及对整个马尔可夫算子的观测。然而，在每种情况下，都必须检查收敛定理的条件，这可能并不总是一件容易的事情。在这里，我们证明了我们的一般收敛定理的假设完全适用于任意空间维度的漂移估计。更明确地描述收敛速度的条件是可取的，但必须留给未来的研究。我们通过蒙特卡罗实验证明，Kullback-Leibler型数据项比二次型数据项产生的结果要好得多。感谢作者感谢Christian Bender和Thomas Schuster的讨论。感谢德国研究基金会DFG通过德国-瑞士研究集团为916项目提供的资金支持。参考文献[1]A.B.巴库辛斯基。关于迭代正则化高斯-牛顿法的一个收敛问题。朱纳尔·维基什利特诺伊·马特马蒂基一世·马特马蒂切斯科伊·菲齐基，32（9）：1503-15091992年。[2] 答：B。巴库辛斯基和M·Y·科库林。逆问题近似解的迭代法。斯普林格，多德雷赫特，2004年。[3] 班宁先生和汉堡先生。一般食品的误差估计。电子跨。数字。

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大多数88

2022-5-6 02:39:51

肛门。，38:44–68, 2011.[4] F.布莱克和M.S.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，81（3）：637–6541973年。[5] B.布拉施克、A.纽鲍尔和O.舍尔。迭代正则izedGauss-Newton方法的收敛速度。IMA数值分析杂志，17:421–4361997。[6] J·M·博文和A·S·刘易斯。最佳熵估计的收敛性。暹罗J.Optim。，1(2):191–205, 1991.[7] M.Burger和S.Osher。凸变分正则化的收敛速度。反问题，20（5）：1411-14212004。SDEs 19[8]A.D.Cezaro和J.P.Zubelli中的参数识别。曲面迭代校准的切向锥条件。伊玛·J·应用数学。，2013年[9]F.孔德、V.吉农·加泰洛特和Y.罗森霍尔克。扩散过程系数的惩罚非参数均方估计e s.伯努利，13（2）：514–543，2007。[10] S.克雷佩。使用Tikho Novision对基因化Black-Scholes模型中的局部波动性进行校准。暹罗J.数学。肛门。，34（5）：1183-1206（电子版），2003年。[11] S.克雷佩。使用Tikhonov正则化对三叉树中的局部波动性进行校准。反问题，19（1）：91-127，2003年。[12] A.德塞扎·罗、O.谢尔泽和J.P.祖贝利。期权价格局部波动模型的凸正则化：收敛性分析和速率。非线性肛门。，75(4):2398–2415, 2012.[13] J.德罗尼奥和J.-L.V\'azquez。带Neumann边界条件的非强迫c向扩散椭圆型问题。Calc.Var.偏微分方程，34（4）：413–4342009。[14] F.Dunker、J.-P.Florens、T.Hohage、J.Johannes和E.Ma mmen。非参数辅助回归中含噪非线性算子方程解的迭代估计。《计量经济学杂志》，178:444–4552014。[15] 爱格和英格。

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2022-5-6 02:39:54

Tikhonov正则化在期权定价反问题中的应用：收敛性分析和研究。《反问题》，21（3）：1027-10452005。[16] P.P.B.艾格蒙特。第一类Fredholm积分方程的最大熵正则化。暹罗J.数学。肛门。，24:1557–1576, 1993.[17] J.弗莱明。非度量函数变量正则化的理论和例子。J.逆不适定问题。，18(6):677–699, 2010.[18] J.弗莱明。Banach空间中的广义Tikhonov正则化和现代收敛速度理论。Shaker Verlag，亚琛，2012年。[19] D.吉尔巴和N.S.特鲁丁格。二阶椭圆型偏微分方程。斯普林格，1977年。[20] M.汉克、A.诺伊巴和O.舍尔。非线性不适定问题Landweber迭代的收敛性分析。纳姆。数学72:21–37, 1995.[21]M.Ho Off mann。扩散过程中的自适应估计。随机过程。应用程序。，79(1):135–163, 1999.[22]B.霍夫曼、B.卡尔滕巴赫、C.P¨oschl和O.谢尔泽。具有非光滑算子的Banach空间中Tikhonovization正则化的一个收敛速度结果。反问题，23（3）：987–10102007。[23]T.Hohage。逆势和逆散射问题的迭代正则化高斯-牛顿法的对数收敛速度。《反问题》，13:1279–12991997。[24]T.霍哈格和F.沃纳。一般数据函数的迭代正则化牛顿型方法及其对泊松数据的应用。数字。数学12 3(4):745–779, 2013.[25]A.Hurn、J.Jeisman和K.Lindsay。教老狗新把戏：用福克-普朗克方程的数值解改进随机微分方程参数的估计。NCER工作论文系列9，国家计量经济研究中心，2007年2月。[26]B.Kaltenbacher和B.Hofmann。

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