在这些项的首项中计算i和k的和，在最后一项中将静音整数i重命名为k，我们得到Pn- E(Pn）=zn“ \'pαn-1Xk=1xi=k+1ewiGk，i-1wkzk^α（εk）+nXk=1wk^p（εk）#。让我们来介绍一下香港，n=zkPni=k+1ewiGk，i-1.如上所述，我们有渐近YPni=k+1ewiGk，i-1.~ αα-1.z1- ααkz ααn- zk因此，香港~znzk αα- 1. αα. （19） 如果线性算子 αα的范数A，Hk，nha是渐近界。让uscall y=znzk和z= αα然后用级数展开，我们得到yz-1z≤P∞n=1 | z |n-1 | ln y | nn！≤P∞n=1 | A |n-1 | ln y | nn=对-1当y>1和z>0时。kHk，nk。znzkA.- 1A。（20） 使用香港，我们有Pn- E(（请注意）~锌 \'pαPn-1k=1Hk，nwk^α（εk）+Pnk=1ewk^p（εk）.由于εkare对于不同的k相互独立，价格估计的方差将是每个k:Var的方差之和(（请注意）~锌氮-1Xk=1Var \'pαHk，nwk^α（εk）+nXk=1Varewk^p（εk）+ 2n-1Xk=1Cov \'pαHk，nwk^α（εk），ewk^p（εk）#. （21）α的期望值为零，因此我们只得到方差的第一项。此外，和中的数量都是数字，因此我们可以将它们视为1×1矩阵，并引入一条轨迹。最后，我们利用了迹的循环性质，以及迹和期望值的线性。兹恩-1Xk=1Var \'pαHk，nwk^α（εk）=兹恩-1Xk=1wkEα（εk）>H>k，n \'pα> \'pαHk，n^α（εk）=兹恩-1Xk=1wkETrα（εk）>H>k，n \'pα> \'pαHk，n^α（εk）= 特尔兹恩-1Xk=1wkH>k，n \'pα> \'pαHk，东北^α（εk）^α（εk）>!（22）Eh^α（εk）^α（εk）>i贡献给α的随机部分的协方差矩阵。其中m是给定迭代中的路径数。因此，我们将其写成h^α（εk）^α（εk）>i=m∑α（23），其中∑α是个体对αn贡献的方差-协方差矩阵。问题是数量znn的收敛性-1Xk=1wkH>k，n \'pα> \'pαHk，n.我们利用Hk，nfrom（20）的渐近行为来得到渐近边界。

假设wi~ 埃维~ 1个用于大i和zn~ 锌~ n渐近香港，n.nkA.- 因此兹恩-1Xk=1wkH>k，n \'pα> \'pαHk，n.nn-1Xk=1 \'pαA.nkA.- 1.（24）用一个积分来近似和-1Xk=1nkA.- 1.~锌新西兰A.- 1.dz=2An（1）- A） （1）- 2A）-n2A1- 2A+2nA1- A.当A<或n2Aif A>时，渐近控制项是n中的项。使用方程式（22），（23）并考虑（24）中的wehaveznn-1Xk=1Var \'pαHk，nwk^α（εk）.d（1）- A） （1）- 2A） \'pαk∑αkm nA<dA（2A- 1) \'pαk∑αkmn2-2AA>（25），其中d是回归函数的总数，来自于跟踪。方程（21）的第二项是标准蒙特卡罗贡献。当^p（εk）=mPmj=1^p（εjk）时，我们得到Var（ewk^p（εk））=ewkmj=1Var[^p（εk）]。我们把∑p称为单路径上支付的方差Var[^p（εk）]。对于wi~ 埃维~ 1和锌~ 锌~ n因此我们得到znnxk=1Varewk^p（εk）~m n∑p.（26）最后，等式（21）中的第三项来自^α和^p之间的协方差。利用期望值的线性以及^α和^p通过构造都具有零期望值的事实，我们将其改写为znn-1Xk=1Cov \'pαHk，nwk^α（εk），ewk^p（εk）=锌 \'pαn-1Xk=1Hk，nwkewkEh^α（εk）^p（εk）i.（27）类似于第一项，我们可以写出Eh^α（εk）^p（εk）i=m∑αpwhere∑αpis，即回归系数α和价格p的个体路径贡献之间的方差。

和埃维~ wi~ 1和锌~ 锌~ 1并使用Hk的渐近表达式（19），方程（27）中k的和变为渐近Yznn-1Xk=1Hk，nwkewk~nn-1Xk=1nk αα- 1. αα.用一个积分来逼近离散和，这就给出了sznn-1Xk=1Hk，nwkewk~nZn新西兰 αα- 1. ααdz=1- ααn- αα1.- ααn2- αα+ ααn.对于A= αα< 1领先术语是第一个：znn-1Xk=1Hk，nwkewk~1.- ααn.因此我们有-1Xk=1Cov \'pαHk，nwk^α（εk），ewk^p（εk）~1.- αα∑αpm n.（28）将（25）、（26）和（28）项相加，我们最终发现价格的方差表现为VaR(（请注意）∝m nmin（1,2-2A）给出了一个标准误差inpVar(（请注意）∝√我是nmin,1.-1A我们最终得出，误差的预期值在√m n1-a并且统计误差随着相同值的最小值所给出的幂而减小√m n1-A和通常的蒙特卡罗误差√男=√感谢朱莉·巴特、谢尔盖·德尔佐、尼古拉斯·莱布、马修·米利和阿诺德里沃伊拉提供的有用意见。参考文献阿巴斯·图尔基，L.A.和拉佩尔，B.（2009）。多芯图形卡的美式期权定价。商业智能和金融工程，2009年。比夫\'09。国际会议，第307-311页。IEEE。Barraquand，J.和Martineau，D.（1995年）。高维多元美国证券的数值估值。《金融与定量分析杂志》，30（03）：383-405。博萨尔茨，P.（1989年）。最佳早期锻炼的模拟估计器。未出版的手册，卡内基梅隆大学工业管理研究生院，44岁。布罗迪，M.和格拉斯曼，P.（1997）。使用模拟为美式证券定价。《经济动力与控制杂志》，21（8）：1323-1352。布罗迪，M.和格拉斯曼，P.（2004）。高维美式期权的随机网格方法。

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