平行美国蒙特卡罗

2022-5-6 02:47:31

平行美国蒙特卡洛卡利普索埃雷拉*和Louis Paulot+Misys2014年2月摘要本文介绍了一种新的美式蒙特卡洛算法，该算法可用于美式期权、可赎回结构性产品或计算交易对手信用风险（如CVA或PFE计算）。利用最小二乘回归，我们算法的主要新特点是它可以完全并行化。此外，不需要存储路径，支付计算可以向前进行：这允许对具有复杂路径和执行依赖关系的结构化产品进行定价。我们算法的关键思想是将路径集拆分为几个迭代使用的子集。我们给出了算法的收敛速度。我们在美式看跌期权上演示了我们的方法，并将结果与Longstaff-Schwartz算法进行了比较。1简介所有主要金融市场都有美式衍生品。当产品具有两个以上的风险因素或路径依赖时，使用蒙特卡罗模拟法代替有限差分法。美国蒙特卡罗法在CVA和PFE计算中也很重要，在这种情况下，必须在模拟路径的不同时间计算条件预期值（Cesari等人，2009）。蒙特卡罗模拟的主要缺点是计算时间明显高于有限差分法或三项式方法。对于欧式衍生品来说，这个问题很容易解决：路径生成和支付计算都可以并行化，只需要在最后汇总总和。

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2022-5-6 02:47:34

但对于美式期权、可赎回结构性产品或CVA和PFE计算来说，这并不是那么简单。*定量分析师，卡利普索。herrera@misys.com+路易斯索菲斯定量研究负责人。paulot@misys.comSophis Quantitative Research，华盛顿街42-44号，法国巴黎75008号。主要采用的算法是朗斯塔夫和施瓦茨（2001）开发的最小二乘蒙特卡罗（LSM），其简单性和鲁棒性是其主要特点。美式期权近似于百慕大期权。从最终到期日开始，在每个行权日，比较即时行权的收益和延续的预期贴现收益。比较这两个价值观，一个决定行使或持有期权。使用最小二乘回归从所有路径的信息中估计条件期望。然而，这种具有向后递归逼近价格和最优行使策略的LSM算法不能完全并行化。事实上，在每个练习日期，连续值的回归使用来自所有路径的信息，这些路径的唯一生成可以并行化。然而，与欧式选项相反，所有路径必须保存在内存中，并发送到单个计算单元：一旦路径被组装，就必须通过反向递归进行最小二乘回归、最佳运动决策和支付估计。在本文中，我们通过引入一种新的美国蒙特卡罗算法来解决这个瓶颈，该算法可以完全并行化，并依赖最小二乘回归来确定最佳运动策略，如LSM算法。我们的算法有几个有趣的特性。首先，计算的所有步骤都可以并行化。其次，在网格上进行计算时，不需要将路径保存在内存中或进行传输。

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2022-5-6 02:47:37

第三，每一条路径都可以向前执行运动决策和支付计算。这允许复杂的路径依赖，包括对决策的依赖。第四，该算法允许在机器学习中使用称为boosting的技术，以便更精确地估计训练边界。基本思路如下。与在第一阶段模拟所有路径并在所有路径上一起执行向后递归不同，路径集被拆分为几个子集，这些子集被迭代使用。在每次迭代中，使用之前迭代的路径估计回归系数。一个关键的观察是，在最小二乘回归方程中，计算回归系数所需的信息被编码在两个对象中，这两个对象在路径上是线性的（矩阵和向量）。因此，它们可以在连续迭代的路径上累积，而无需将所有路径保留在内存中。在每次迭代开始时，只需进行线性系统反演，这也可以并行化。我们证明了价格的收敛性，并计算了渐近误差，或等价地计算了收敛速度。最后，我们通过计算单因素美式期权来说明我们的方法。我们将结果和计算性能与LSM算法进行了比较。通过模拟对美式期权定价的早期贡献是madein Bossaerts（1989）和Tilley（1993）。其他重要作品包括Barraquandad Martineau（1995年）、Raymar和Zwecher（1997年）、Broadie和Glasserman（1997年）、Broadie和Glasserman（2004年）、Broadie等人（1997年）、Ibanez和Zapatero（2004年）以及Garcia（2000年）。

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2022-5-6 02:47:40

Carriere（1996）、Tsitsiklis和Van Roy（2001）以及Longstaff和Schwartz（2001）提出了使用回归计算连续性期望值的想法。最近几篇文章提出了美国期权Pricinclude Toke和Girard（2006年）以及Doan等人（2010年）的平行化。这些文章基于分层或参数化技术，以近似Ibanez和Zapatero（2004）和Picazo（2002）的过渡密度函数或早期运动边界。最近关于LSMalgorithm部分并行化的文章包括Choudhury et al.（2008）和Abbas Turki and Lapeyre（2009）。与这些研究LSM算法不同阶段（路径模拟、回归和定价）并行化的文章不同，我们没有并行化LSM算法的不同阶段，但我们提出了一种可以完全并行化的创新算法。LSM算法的收敛性在几篇文章中进行了讨论，包括Clement等人（2002年）和Stentoft（2004年）。第2节介绍了Longstaff-Schwartz算法，包括最小二乘回归。第3节描述了我们的新算法。第4节提供了有关看跌期权定价的数字结果。第5节总结了结果。附录中给出了证明，尤其是收敛速度。2 Longsta off-Schwartz AlgorithmAn美式衍生工具使持有人有可能在到期前行使该衍生工具。持有人可以在到期前的任何时间选择行使期权，或保留期权并在以后行使。百慕大的选项类似，但锻炼只能在特定日期进行。为了定价，美式期权近似于百慕大期权，行权日期离散。我们认为系统的状态由状态变量的向量Xt来描述。

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2022-5-6 02:47:43

在最简单的情况下，它是标的资产的即期价值。我们假设存在风险中性概率。2.1符号用当前日期表示。让我们考虑一个选择，即到期日T和接近行使日期。我们将使用以下符号：oT期权到期日oT计算日期oT<T<…<商标-1<tM=T离散化行使日期oXtvector of state variablesoXk=Xtkvalue of the state variable vector of the date tkoCk=Ck（Xk）continuation value of the date tkobCk=bCk（Xk）continuation value of the continuation value of the date tkoFk=Fk（Xk）payoff value of the activity of the date tkoPk=Pk=Pk（Xk）期权的贴现值，在tkor later date时的最佳行使t时间t2的不稳定利率。2最小二乘回归美式期权可以使用以下递归进行估值。期权到期时，期权的价值等于支付价值PM=FM。在之前的日期，持有人有两种可能性：o行使期权并获得现金流Fk；o至少在下一次练习时间tk+1之前保留该选项。如果我们假设没有套利机会，期权的持续价值是期权的预期贴现价值，有条件地取决于tk:Ck=E时可用的信息E-Rtk+1TKRSDPK+1Xk. （1）如果付息高于续发价值Ck，持有人将行权。因此，在tk时，贴现的最佳行使支付额isPk=（FkFk≥ 杰克-Rtk+1TKRSDPK+1Fk<Ck。在蒙特卡罗计算中，（1）中的条件值不是很容易得到的。

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2022-5-6 02:47:46

估计它的一种方法是将其近似为基础函数的线性组合：Ck（Xk）=EePk+1Xk\'bCk（Xk）=pXl=1αk，lfk，l（Xk）（2），其中epk+1=e-Rtk+1TKRSDPK+1。这种有限线性展开可以被视为有限维函数空间在有限维子空间上的投影，或者等价于线性展开在有限个希尔伯特基函数上的截断。基本函数有几种选择，给出了不同的近似性质。系数αk，lin（2）用最小二乘法估计。换句话说，选择它们是为了最小化二次误差函数。用系数的αk表示，对于每个日期，tkwe想要最小化ψk（αk）=Ewk（Xk）Ck-pXl=1αk，lfk，l（Xk）！.其中，wk（Xk）是允许为每条路径赋予不同权重的权重。Longsta off和Schwartz的选择是，当选项在时间t中时，权重等于1，否则为0。CKE是条件期望值EePk+1Xk我们不知道，因为这是我们想要估计的函数。因此，最小二乘回归不能直接应用。然而，最小化ψkis相当于最小化一个微分函数：Φk（αk）=E“wk（Xk）ePk+1-pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.有关证明，请参见附录A。Φk和ψk之间的差异表明，没有更多的条件期望。因此，可以使用最小二乘法，通过将贴现期权价值Sepk+1回归到状态变量值Xkat tk，来估计基函数的系数。实际上，在不相关因子N的情况下，以Φk为单位的期望值为Φk（αk，l）=NXj=1wkX（j）keP（j）k+1-pXl=1αk，lfk，lX（j）k!其中，X（j）kis是路径j上的状态变量向量，tkandeP（j）k+1是路径j上随机变量epk+1的值。

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2022-5-6 02:47:49

砝码能起作用X（j）k如第3.6节所述，允许关注更相关的路径。当对αk的偏导数为零时，该函数Φkha在αk上为最小值：Φkαk，l=2pXm=1NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）kfk，mX（j）kαk，m- 2NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）keP（j）k+1=0。（3）让我们引入p×p矩阵UK和维数p向量VkUk，lm=NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）kfk，mX（j）kVk，l=NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）keP（j）k+1或更简单的矢量符号UK=NXj=1wkX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kVk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）keP（j）k+1。（4）我们可以改写方程（3）asUkαk=Vk。因此，对于每个日期，通过矩阵求逆或使用线性方程求解器获得的系数αkare为：αk=U-1kVk。这是使二次误差函数最小化的系数向量。它给出了在时间tkon N N蒙特卡罗路径下期权连续值的最小二乘估计：bCk（Xk）=pXl=1αk，lfk，l（Xk）=α>kfk（Xk）。在估计系数时，它们用于计算每个路径在时间tk的连续值。继续价值将用于决定继续或行使期权。当做出决定时，我们有时间tk的现金流。如果决定继续，我们将使用Payoff的模拟值，而不是估计值。对于每条路径，我们向后计算所有日期的现金流量。2.3算法概述，Longstaff-Schwartz算法如下：1。模拟N条蒙特卡罗路径X（j）k（1）≤ J≤ N、一,≤ K≤ M）并将其保存在内存中或存储起来。2.在最后一个日期tM，计算终端支付P（j）M=FMX（j）N关于所有路径j.3。

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2022-5-6 02:47:53

从k=M开始- 1，直到k=1，执行反向递归：（a）对所有路径求和，并使用日期tk+1的payoff值，computeUk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kVk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）keP（j）k+1。（b）得到最小二乘系数αk=U-1kVk。（c）在每个路径j上，比较payoff值FkX（j）k延拓值估计为bckX（j）k= α> 肯德基X（j）k. 如果FkX（j）k≥bCkX（j）k,设定P（j）k=FkX（j）k; 否则设置P（j）k=eP（j）k+1=e-Rtk+1tkrsdsP（j）k+1.4。最后得到衍生产品价格asP=NNXj=1P（j）的蒙特卡罗估计。（5） 2.4限制Longsta off-Schwarz算法功能强大，可以通过早期使用蒙特卡罗模拟对多因素、路径相关衍生品进行定价。然而，我们可以指出一些限制。并行化蒙特卡罗定价非常耗时。为了获得良好的性能，我们希望并行计算。在标准的美国蒙特卡罗算法中，比如我们描述的Longsta off-Schwartz算法，只有路径生成可以并行。由于它利用了所有路径，因此必须在单个计算单元上进行反向回归。这包括延拓值的最小二乘估计、精确决策和每条路径上P（j）kon的计算。内存消耗由于所有路径必须在第一阶段生成并在第二阶段使用，因此必须存储所有路径。对于一个包含多个详细分析和多个练习日期的选项，这可能代表大量数据。此外，如果路径生成分布在某个网格上，则意味着必须传输大量数据。有限的路径依赖性当支付函数向后计算时，路径依赖性仅限于状态变量向量中存在的数量。

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2022-5-6 02:47:56

它可以包括依赖于给定路径上的过去值的数量，但不包括依赖于之前日期的运动决策的数量。例如，摇摆期权允许以合同中规定的价格在多个日期购买一些资产（通常是电力或天然气），总数量上有一些全球最小值和最大值。这意味着在tk，k<k日期的练习上练习ondate TKD。这不能由标准的Longsta ff-Schwartz算法直接处理。3并行迭代算法我们提出了一种适用于美国蒙特卡罗的算法，该算法具有以下性质。完全并行化计算的所有阶段都可以并行化。无路径存储蒙特卡罗路径只使用一次。在agrid上进行计算时，无需将它们保留在内存中或进行传输。只有较少的聚合数据保存在内存中，并在计算单元之间交换。每个路径上的正向计算、练习决策和支付计算可从tto tM正向执行。这允许各种路径依赖性，包括依赖于以前的运动决定。Boosting算法允许使用一些Boosting来获得运动边界的越来越精确的估计。更一般的回归最小二乘回归可以同时对所有或几个日期进行，引入运动时间作为连续值函数的变量。3.1迭代不是在第一步中模拟所有路径，并在第二步中对所有路径一起执行反向递归，而是将N条路径拆分为多个集合，以迭代方式使用。在每次迭代中，系数αkare使用前一次迭代的路径进行估计。一个关键的观察结果是，在等式（4）中，UK和Vkareline在路径中是线性的。

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2022-5-6 02:47:59

计算回归系数所需的信息包含在这些对象中，可以在路径和连续迭代中累积，而无需将所有路径保留在内存中。每次迭代开始时，只需进行线性系统反演。对于给定的迭代，练习决策取决于之前迭代中获得的对象UK和VKOB。在这个迭代中，不同路径上的计算是相互独立的。这意味着它们可以并行运行。一旦给定迭代中所有路径的数量累积起来，就可以为每个日期独立求解线性系统。因此，这条运河也应该平行化。此外，由于运动决策是使用之前迭代中的信息做出的，因此不需要使用反向计算：所有支付计算和运动决策都可以按照自然顺序进行。（请注意，在简单的情况下，在给定的路径上进行反向操作可能需要较少的计算。）有人可能会认为，在第一次迭代中，仅使用有限数量的路径来做出练习决策会增加最终价格的误差。然而，经过几次迭代后，这种影响似乎很小。为了减少最终结果中的误差，我们根据公式（4）和（5）中的迭代引入了权重：第一次迭代的路径的权重小于后续迭代的路径，后者更精确。事实上，我们算法的迭代性质甚至允许在机器学习中使用类似于所谓的提升的东西，正如Picazo（2002）在《美国期权定价》一书中介绍的那样。与经典的Longstaff-Schwartz算法相比，这最终会产生更小的误差。3.2符号N条路径被划分为N个不同的集合。

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2022-5-6 02:48:02

让我们假设分区的每一部分都由连续的路径组成，并用ni表示，1≤ 我≤ 在每套的最后一页。这意味着第i次迭代将使用来自ni的路径-1+1对ni.oM：锻炼日期的数量N：路径总数。on：迭代次数。oni：第i次迭代的最后一条路径。迭代i使用路径ni-1+1到ni，n=0，nn=n.oewi：价格总和中第i次迭代路径的权重。ow（i）kX（j）k: 矩阵U和向量V sumsin方程（4）中迭代i内路径j的权重。一种特殊情况是因式分解w（i）k（Xk）=wiyk（Xk）U（i）和V（i）k：包含路径1到nian信息的矩阵和向量，用于计算α（i）k.oU（i）和V（i）k：迭代i对U（i）和V（i）k的贡献，包含路径ni的信息-1+1 o镍α（i）k：在路径1到ni上回归的系数向量bC（i）k（Xk）：系数α（i）k给出的近似连续值。它用于迭代i+1κ（j）k：最佳运动时间指数κ，如果在tk之前没有运动，那么最佳运动时间是路径j上的tκP（j）k：如果之前未行使期权，则在tk时路径j上的贴现支付P（i）：第i次迭代路径的期权贴现支付之和“-PN：路径1到N的贴现期权支付的总加权和。oqN：路径1到N.3.3算法1的价格加权和。使用行使边界或系数α（0）k的粗略估计启动算法：例如，考虑期权仅在最终到期时行使，或者使用前一天计算的最终系数。2.从1到n对i进行迭代：（a）从ni对j进行迭代-1+1到ni:i.模拟路径j并获得状态变量X（j）kat所有日期。二、

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2022-5-6 02:48:06

对于所有日期tk，比较支付值FkX（j）k以及上一次迭代的continuationvalue估计值bc（i-1） kX（j）k= α（i）-1） >kfkX（j）k.由此可知，对于所有k，得到κ（j）k=minK≥ Kk=N或FkX（j）k≥bC（i）-1） kX（j）k最后P（j）k=e-Rκ（j）ktkrsdsFκ（j）kX（j）κ（j）kandeP（j）k+1=e-Rtk+1tkrsdsP（j）k+1。iii.累积对价格的贡献p（i）=niXj=ni-1+1P（j）。iv.对于每个日期，路径j tou（i）k=niXj=ni的贡献-1+1w（i）kX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kv（i）k=niXj=ni-1+1w（i）kX（j）kfkX（j）keP（j）k+1。这种计算可以向前进行，但是在数值上，进行这种计算的最快方法是向后进行。从最后一个练习日期开始tMwe setP（j）M=FMX（j）M. 然后在k上递归，如果FkX（j）k≥bC（i）-1） kX（j）k, 设定P（j）k=FkX（j）k;否则设置P（j）k=eP（j）k+1=e-Rtk+1tkrsdsP（j）k+1。（b）对于每个日期tk，在迭代i toU（i）k=iXl=1u（l）kV（i）k=iXl=1v（l）k中添加贡献u（i）和v（i）kof，求解线性系统u（i）kα（i）k=v（i），并得到第一条路径上的最小二乘回归系数：α（i）k=U（i）k-1V（i）k.（c）使用价格权重wi，将迭代i的贡献累积到yenPN=nXi=1ewiP（i）qN=nXi=1ewi（ni- 镍-1) .3. 最后得到期权价格的蒙特卡罗估计值，即加权平均p=`PNqN。3.4并行计算对于每次迭代，步骤（a）和（b）本质上可以并行化。在步骤（a）中，给定迭代中的所有路径相互独立，与不同路径相关的计算可以并行运行。

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2022-5-6 02:48:10

类似地，（b）中不同日期的线性系统可以并行求解。必须在计算单元之间共享或传输的数据包括所有日期的UK和VK、系数α和对最终价格的贡献P（i）。当权重w（i）k（Xk）因式分解为w（i）k（Xk）=wiyk（Xk）时，可以在这一步对wiyk的乘法进行因式分解：u（i）k=Pnij=ni-1+1ykX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kU（i）k=U（i）-1） k+wiu（i）对于V.3.5收敛，我们假设权重为ewi~ 1当我→ ∞. 我们还假设w（i）k（Xk）因式分解为w（i）k（Xk）=wiyk（Xk）和wi~ 1当我→ ∞.让我们定义一个初始回归系数α的向量。在运动决策中使用这些系数，让我们定义u（α）=Ef（X）f（X）>v（α）=Ef（X）eP.这给出了一个函数α7→ \'\'α（α）=\'u（α）-1伏（α）。这对应于在有限条路径的限制下进行一次迭代后获得的系数矢量。让我们假设这个函数α7→ “‘α（α）’是合同方，即Lipschitzyα、 αk′α（α）- \'-α（α）k≤ qkα- αkwithq<1。然后，Banach不动点定理确保该函数有一个不动点。让我们用A表示（矩阵）算子的范数 α(α)α在这个固定点。我们有一个≤ q<1。假设m条路径有n次迭代，路径总数sn=nm。然后，我们提出的算法收敛到价格asn的近似值→ ∞.由于延拓值是在有限维的基础上预测的，因此练习边界是近似值，因此练习稍微次优。因此，算法收敛到一个低于真实价格的值。当基函数的数量增加时，价格估计值与实际价格接近。在Lonstaff-Schwartz算法中也观察到了同样的行为。该极限值周围的误差项具有O中的预期值n1-A.以及O中的标准错误√nmax（1,2-2A）.

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2022-5-6 02:48:13

如果≤, 这是通常的蒙特卡罗错误√纳米= O√N.当yk（Xk）中路径的权重与Longstaff和Schwartz选择的相同时，货币中的权重为1，货币中的权重为0，则该算法收敛到与Longstaff-Schwartz算法相同的价格。附录B.3.6路径权重给出了证明。为了提高算法的收敛性，一方面在矩阵U和向量V的计算中，另一方面在价格计算中，路径可以被赋予不同的权重。对于美式期权，当后续日期的估计延续值精确时，给定日期的延续值达到最大值。因此， αα为最优α。在这一点上，假设函数是Contractant并不是一个很强的约束。3.6.1练习边界Longsta off和Schwartz在回归中使用路径的简单权重：在日期tk，仅当选项在日期tk的货币中时，才会考虑路径j。当期权在货币中时，权重wk（X（j）k）等于1，否则等于0。这用于计算方程式（4）中的矩阵UK和向量VK。这个权重提高了算法的收敛性：Money中的路径是唯一可以执行的路径。更进一步，我们想把注意力集中在靠近运动边界的路径上。此外，我们要求权重是连续的，这将提供更平滑的结果。对于一个基础上的产品，我们建议使用一个简单的权重函数：yk（Xk）=e-（Xk）-Bk）2βkw其中Xkis为交易日的现货价格，Bk为同一交易日的行权边界值。在每个日期tk，行使边界是方程Fk（x）=bCk（x）的解，其中Fk是支付价值，bckis是持续价值估计。使用之前迭代的系数α计算边界。

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2022-5-6 02:48:16

这个方程可以用简单的数值方法近似求解。参数βkare的选择是为了在统计误差和系统误差之间提供良好的折衷。当考虑多条路径时，大βk的统计误差减小。对于较小的βk，当我们只查看到运动边界的路径时，系统误差会减小。我们可以使用我们算法的迭代性质来减少βk，因为迭代次数会增加。这将减少统计和系统误差。这类似于机器学习的提升：随着迭代次数的增加，我们会更加关注练习边界。3.6.2迭代次数和U、VAs上的权重算法是迭代的，回归系数的值在第一次迭代中不精确。因此，算法的一个简单优化就是对第一次迭代赋予较低的权重。在每次迭代中，矩阵U（i）和向量V（i）被填充并添加到U（i）中-1） kand V（i）-1） kof前面的迭代。我们引入一个随着迭代次数i增加的权重：wi=Qnj=i+1w（i）UVwithw（i）UV=1- λe-我知道。（6）前一次迭代的每个U（i）和V（i）kF乘以w（i）UV。这降低了回归系数中第一次迭代的权重。3.6.3迭代和价格权重同样，在第一次迭代期间，估计的连续值不准确，因为系数αkare不准确，因此价格也不准确。提高收敛性的一个简单方法是从最终价格的计算中消除第一条路径。因此，最终价格是加权平均值，其中第一部分没有重要权重。我们引入了一个依赖于迭代的权重。权重随着迭代次数的增加而增加。我们使用以下函数：ewi=1-(1 - tanh[ν（i）- 1)]) .

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2022-5-6 02:48:20

（7）在每次迭代i中，我们将迭代i的当前值之和乘以该权重，然后再将其与之前迭代的当前值之和相加。3.7时间作为回归函数的变量最终可以利用我们算法的迭代性质来减少回归中基函数的总数，并减少最小平方估计的统计误差。在最简单的算法中，对每个日期独立进行回归：对于每个日期tk，我们计算矩阵Uk和向量Vk，我们求解方程Ukαk=Vk，以获得系数αk的向量。通过在回归中包含时间，可以避免在每个日期进行回归。贴现现金流k+1根据状态变量向量xk和时间tk进行回归。这意味着基函数包括时间tkA变量。将fk，l（Xk）推广到fl（X，t）：C（j）k\'bCkX（j）k=pXl=1αlfl（X（j）k，tk）在这种一般情况下，我们最小化误差函数ψ（α）=MXk=1E“wk（Xk）Ck-pXl=1αlfl（Xk，tk）#.与第2.2节的解释类似，我们构建了一个p×p矩阵和一个维度p向量u=NXj=1MXk=1wkX（j）kFX（j）kf>X（j）kV=NXj=1MXk=1wkX（j）kFX（j）keP（j）k+1。（8）然后我们求解线性方程Uα=V，得到最小二乘系数α=U-1V。当基函数的个数较大时，如果矩阵U是稠密的，则求解线性系统会非常耗时。然而，我们可以选择基函数，使U是块对角的。如果将基函数划分为具有不相交支撑的子集，则可获得此结果。更准确地说，假设我们有B块，用B标记。我们用PBB表示B块中基函数的数量，BXB=1pb=p。在B块中，我们用fb表示基函数，LW表示1≤ L≤ PB属于两个不同块的函数在（X，t）上有不相交的支撑。

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2022-5-6 02:48:23

因此，如果b6=bf对于所有的X和t，我们有fb，l（X，t）fb，l（X，t）=0。根据矩阵Uin方程（8）的定义，这意味着U是块对角的。我们用b块中基函数的向量FB表示，Ub是矩阵U的对角块，在Vb中向量V的拆分类似：Ub=NXj=1MXk=1wkX（j）kfbX（j）kf> bX（j）kVb=NXj=1MXk=1wkX（j）kfbX（j）keP（j）k+1。经典的逐日期回归是一种特殊情况，其中一个区块对应于给定的运动日期，且基函数为fb，l（X，t）=fb，l（X）t=tb。另一种需要较少基函数的可能性是，将整个锻炼日期集划分为B组连续日期，给定区块的基函数集中在相应日期上，其他日期的基函数为空。如果b区对应于练习日期tkwith kb-1<k≤ 基函数的形式为fb，l（X，t）=fb，l（X，t）tkb-1<t<tkb。例如，如果我们在X变量中有一组!-1（X，t）=fl（X）tkb-1<t<tkbfb，2l（X，t）=tfl（X）tkb-1<t<tkb正因为如此，不能在所有日期计算系数αkwon。对于一组训练时间[tkb]，我们只有一个矩阵ub和向量vb-1+1, . . . , tkb]。此外，这可以减少行权边界上的统计误差：对于给定数量的路径，U和V中有更多的贡献。4数值结果我们考虑了一个美国看跌期权的例子。假设股票价格遵循Black-Scholes动态，并且没有套利机会。股票价格的风险中性过程如下：dSt=rStdt+σStdWt。假设无风险利率r和波动率σ为常数。没有红利。

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2022-5-6 02:48:27

我们用K表示履约价格，用T表示期权的到期日。我们使用了与Longstaff和Schwartz（2001）相同的例子。我们以40美元的执行价为一股美国看跌期权定价。年利率为6%，标的股票价格为36美元，波动率σ为20%，到期日为1年。我们认为期权每年可行使50天，直至到期。我们生成了100000条路径。在并行算法中，我们使用100次迭代，与路径总数无关。我们选择5组10次约会。为回归选择的基函数是：1、S、S、t、tS和tS。我们在U和V上有权重，wuvλ=2和u=2。我们在价格上使用权重wi=0.99。我们也有重量，这取决于路径yk。我们将结果与有限差分法给出的参考值4.486美元进行比较。对于股票价格，我们使用了一个包含40000个时间步和1000个步骤的隐式方案。4.1算法的收敛性我们实现了并行算法，并将其与有限差分法进行了比较。我们已经测试了迭代次数和每个块的日期数的影响。这种差异是Black-Scholes方程离散化的结果：tP+σSSP+rS服务提供商- rP=0，终端条件P（T，S）=最大值（0，S- K） .4.1.1迭代次数我们的示例是在四核CPU上测试的。我们在四个线程上并行该算法。在每个线程中，生成路径，并计算每个日期k的矩阵Ub和向量sbare。对于每个线程，我们只需要为所有b保留Ub、vb和当前值之和。当计算在所有线程中完成时，结果被聚合。当我们有全局Ub和Vb，即每个线程的所有矩阵Ub和向量Vb之和时，通过求解Ubαb=Vb来计算回归系数αb。

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2022-5-6 02:48:30

这一步也可以通过为每个线程中的日期块b求解这个方程来并行完成。当计算系数时，我们在下面的迭代中使用它们来计算UK和VK以及期权价格。在第一次迭代中，我们没有α膝盖。我们决定保留期权直到到期。我们还可以使用前一天计算得出的系数。图1显示了迭代次数对最终价格的影响。在这个图中，生成的路径总数保持不变，只是每次迭代的路径数发生了变化。4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 0 50 100 150 200价格迭代次数置信区间价格图1：给定数量路径（100000）的迭代次数对价格的影响。在蒙特卡罗定价过程中，我们计算价格SV=qNPni=1ewiPnij=ni的（加权）方差-1+1P（j）- p其qN=Pni=1ewi（ni- 镍-1). 使用alsoq（2）N=Pni=1ewi（ni-镍-1）我们得到了标准误差估计ε=rVq（2）NqN。我们绘制了统计95%置信区间，对应于±1.96ε。请注意，它只考虑统计误差，不考虑系统误差。当迭代次数增加时，价格会更接近实际价格4.486美元。我们注意到，对于100000条路径，100次迭代足以收敛。进一步说，图2展示了不同迭代次数的价格趋同[10,20,100,200]。类似地，图3显示了在中期到期日早期锻炼边界的收敛。迭代次数越多，收敛速度越快。然而，100次和200次迭代之间的差异并不显著。在这两种情况下，在10000条路径之后获得了一个良好的价格估计。

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2022-5-6 02:48:33

此外，我们注意到，对于100000条路径，仅10次迭代得到的价格与200次迭代得到的价格相差不到两个标准误差。3.8 3.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 10000 60000 80000 90000 1000000价格路径数10次迭代20次迭代100次迭代200次迭代图2：迭代次数对美式卖出价格的影响。34.5 35 35.5 36.5 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000锻炼边界路径数10次迭代20次迭代100次迭代200次迭代图3：迭代次数对中期到期日美国看跌期权早期锻炼边界的影响。4.1.2 U、V和价格的权重由于算法是迭代的，回归系数和价格的值在第一次迭代中不正确。我们从方程（6）中加入了λ=2和u=2的重缩放因子W（i）uv。上一次迭代的每个UK和VK乘以w（i）UV。同样地，我们在价格上加上一个权重，该权重取决于等式（7）中的迭代次数，其中ν=0.99。在每次迭代i中，我们将迭代中路径的当前值之和乘以Ewi，然后再加上前一次迭代的当前值之和。图4显示了各种权重对价格的影响。如果我们在bothU、V和价格中加入权重，价格收敛得更快。我们还在图5.4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4 4.45 4.5 4.55 50000 100000 200000价格无需重新校准的路径数重新校准价格重新校准UVRescaling价格和UVRescaling价格图4：每次迭代对美国看跌期权价格的加权价格或U，V的影响。它对应于中期到期日的边界。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:48:38

可以看出，U和V的权重，wi对边界有影响，但对价格ewi的权重没有影响。这是因为Wif对用于计算运动边界的回归系数α有影响。相反，价格权重对边界没有影响，因为在计算系数和执行边界后，仅对价格进行重新调整。33.5 34 34.5 35.5 36 50000 100000 150000 200000练习边界未重新校准的路径数缩放UVRescaling price Rescaling price和UVRescaling price图5：加权价格或每次迭代的U，V对美国中期成熟期提前练习边界的影响。4.1.3日期组的大小在Longsta off-Schwartz算法中，在每个日期tk进行回归。我们选择基函数1、S和S。延拓值估计为asE[~P（St+1）|St]\'α+βSt+γSt。系数在每次tkin[t，…，tM]时计算。我们将时间包含在回归变量中，并添加三个基函数：t，tS和tS:E[~P（St+1）|St，t]=α+βSt+γSt+δt+εtSt+ζtSt。我们将D日期分组[tbD]-D+1。。。，待定]。方程UBαb=vb的解析值仅在每组日期中进行一次。通过计算一组b的系数，我们可以估算该组内所有日期的贴现值P[tbD]-D+1。。。，待定]。我们测试了不同大小的日期组。如图6所示，每组的约会次数对价格没有重要影响。在图中，我们也有每组一个日期的情况，这意味着我们在第一种情况下有三个基函数。两种情况下的价格估计都非常相似。随着每组的日期增加，组的总数减少，因此也减少了要反转的线性系统的数量。

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2022-5-6 02:48:41

因此，使用数据组可以节省一些计算时间，减少要传输的数据量，而不会降低价格的精度。4.4.42 4.44 4.46 4.48 4.5 4.52 0 10 20 30 40 50价格每个区块的日期数置信区间图6：日期组的大小对美式卖出价格的影响。4.2与Longsta ff-Schwartz算法的比较在本节中，我们使用相同的示例和参数，将我们的并行算法与Longsta ff-Schwartz算法进行比较。图7显示了不同路径数的价格。两种算法都收敛到相同的价格，比有限差分法得到的4.486美元价格低1.9倍（相对误差0.4%）。正如我们在第3.5节中所解释的，这是由于连续值的近似，这使得练习稍微次优。值得注意和创新的是，并行算法在整个计算过程中使用了所有可用线程（在我们的示例中为四个）。Longstaff-Schwartz算法只使用一个线程。因此，对于100000条路径，Longstaff-Schwartz需要14.37秒，而并行算法只需要3.6秒，如图8所示。观察到良好的缩放特性。即使将LSM中的路径生成步骤并行化，我们的算法仍然有一个重要的改进。图9显示了我们四核示例中两种算法的价格估算与计算时间。在表1中，我们使用Longsta ff-Schwartz算法、并行算法和有限差分法比较了a股美式看跌期权的价格。在我们的示例中，路径生成在LSM中总共14.37秒的时间内需要8.42秒。并行化这一步将使总计算时间至少为8.05秒，而我们的算法为3.6秒。

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2022-5-6 02:48:44

这没有考虑内存问题和数据传输成本。4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 4.65 0 10000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathSparlel算法的数量Longstaff-Schwartz有限差分美国图7：Longstaff-Schwartz与并行算法的收敛性。0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000次计算时间PathSparlel算法Longstaff Schwartz图8：Longstaff的计算时间-Schwartz vs具有4个核心的并行算法。4.3 4.35 4.4.45 4.5 4.55 4.6 0 2 4 6 8 10 12 14二次并行算法中的价格计算时间Longstaff-Schwartz有限差分美国图9：价格相对于计算时间的收敛性。方法我们使用与上一个示例相同的参数。我们计算基础现货价格S=36、38、40、42、44、波动率σ=20%、40%和到期日T=1、2的不同值的价格。在该表中，我们还列出了每种算法的标准误差（s.e）、欧式期权的价格和早期行使价值，即美式和欧式价格之间的差异。有限差与LSM算法之间的差异非常明显。这20个差值小于或等于2.2°，其中9个值等于1。模拟值的标准误差范围为0.7至2。2c. 有限差分和并行算法的差异更小。这20个差值小于或等于1.9°，其中16个值等于1。标准误差与LSM标准误差相似，为0.6至2。2c. LSM和并行算法之间的所有差异都小于一个标准误差。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:48:47

对于这两种算法，与有限差的差异既有正面的，也有负面的。4.3改进第一次迭代中的演习决策在每次迭代中，演习策略由来自前一次迭代的系数决定。在第一次迭代中，系数不可用。因此，对于第一次迭代，我们在前面的示例中所做的选择是在到期时执行该选项。另一个解决方案是使用前一次计算的系数，这通常是前一天进行的。我们在图10、11和12中说明了这种情况。在本例中，对于第一次迭代，我们仅使用系数以及之前计算中计算的运动边界，以及不同的市场参数。利率为5.5%，波动率σ为22%，即期价值为34美元。图10显示了看跌期权价格的趋同。我们发射了几次4。25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 4.65 0 10000 20000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathStaff Schwartz并行算法数量-第一次迭代：在成熟时使用选项并行算法-第一次迭代：使用前一天的系数有限差分美国图10：Longsta ff的收敛-Schwartz vs并行算法使用第一次迭代前一天的效率。价格随着路径数量的增加而增加。我们观察到，在第一次迭代中使用前一天的系数可以提高算法的收敛性。进一步说，图11和图12显示了在计算一种定价时，价格和中到期日提前行使边界的演变。它显示每次迭代后的价格和边界值。在第一次迭代中使用前一天系数的价格更高，更接近第一次迭代中的正确价格。

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2022-5-6 02:48:50

在第一次迭代到期前未行使期权的情况下，我们注意到，在第一次迭代中，美国看跌期权的价格与欧洲看跌期权的价值相当，为3.844美元。经过几次迭代，它收敛到美国价格。在图12中，我们看到，在这两种情况下，第一次迭代的练习边界都高于以下迭代。之所以解释这一点，是因为在第一次迭代中，练习并不理想，因此未充分估计连续值3。8.3.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 0 10000 20000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathSparlel算法数量-第一次迭代：在成熟时行使期权并行算法-第一次迭代：使用前一天系数图11：在第一次迭代中，两种商业策略在每次迭代时的美式看跌期权价格的演变。34 34.5 35.5 36 36.5 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000练习边界PathParallel算法的数量-第一次迭代：在到期时行使期权并行算法-第一次迭代：使用前一天系数图12：在两次行使的每次迭代中，美国在中到期日卖出早期行使边界的演变第一次迭代中的策略。交配。当我们考虑看跌期权时，这意味着边界的估计值高于其实际价值。在第一次迭代的前一天，由于进行了更优化的锻炼，这种现象随着系数的增加而减少。作为总结，我们为第一次迭代提出了两种替代方法：从欧式选项开始，或使用前一天的系数。

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2022-5-6 02:48:53

最后一种方法提高了算法的收敛性，因为我们使用了一个接近真实练习策略的起点。5结论本文介绍了一种利用最小二乘回归通过模拟为美式期权或可赎回结构性产品定价的新算法。它还可以用于计算交易对手信用风险，如CVA或PFE。由于该算法可以完全并行化，因此它具有直观性、易于实现和良好的可扩展性。计算时间几乎等于计算器的数量。不需要存储路径，计算可以向前进行。这就允许对衍生品进行定价，因为行使决策在很大程度上取决于之前的决策。附录A继续证明。扩展平方并使用期望值的线性，我们可以重写误差函数ψkasψ（αk）=Ehwk（Xk）EePk+1Xk我- 2E“wk（Xk）EePk+1XkpXl=1αk，lfk，l（Xk）#+E“wk（Xk）pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.在右边，预期值中有三项。第一个是二次的，但不依赖于αk，l：它是一个常数，与最小化问题无关。我们可以用另一个常数项EhePk+1i来代替它：最小值将被移动，但使函数最小化的系数αk将是相同的。第二个术语可以改写为“wk（Xk）E”ePk+1XkpXl=1αk，lfk，l（Xk）#=E“Ewk（Xk）ePk+1pXl=1αk，lfk，l（Xk）Xk#= E“wk（Xk）ePk+1pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.保持最后一项不变并重构这三项，我们发现最小化ψkis相当于最小化Φk。附录B收敛证明。假设每次迭代有m条路径，n次迭代。我们用α表示迭代中计算的回归系数向量。我们用Ui和Vit表示来自最小二乘回归（4）的迭代ito矩阵U和V的路径的平均贡献。

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何人来此

2022-5-6 02:48:58

ui和videpend根据上一次迭代αi计算出的效率-1在迭代i中计算路径所用的随机变量上，我们用εi表示。为了简化符号，我们同时用φ表示函数u和v。贡献φ是指在石器时代m条路径上φ的平均值。φi=φ（αi）-1，εi）=mmXj=1φ（αi-1，εji）（9）我们将矩阵值函数u和向量值函数v分解为它们的期望值φ（α）=E的和φ(α, ε)随机部分φ（α，ε）=φ（α，ε）-期望值为零的φ（α）：φ（α，ε）=φ（α）+φ（α，ε）（10）让我们考虑函数α（α）=u（α）-1伏（α）。我们假设α7→ “‘α（α）’是签约方：α、 αk′α（α）- \'-α（α）k≤ qkα- q<1的αkw。根据Banach不动点定理，它因此承认一个不动点。我们也用“α：”“α=”“α（”“-α）=”“u（”“-α）”来表示它-1埃（α）。（11）当可以使用Longsta-Schwartz算法时，它将对应于在有限条路径的限制下使用该算法获得的回归系数。定义α = α - α，我们写出期望值φ和α周围随机部分φ的泰勒展开式。φ(α) =φ(α) +φ(α)αα=αα+O(α） φ（α，ε）=φ（α，ε）+Oφ(α、 ε）为了简化，我们把^φ（ε）称为函数^φ（？，ε）。φi=φ（αi）的分解-1，εi）在（10）中变成：φi=’φ（’α）+φi（12）带φi=φ(α)αα=ααi-1+^φ（εi）+O(αi-1） +Oφ(αi-1，εi）（13）我们将只关注主导项，而不会考虑最后两个可忽略的元素O(αi-1） Oφ(αi-1，εi）。让我们考虑一下φiup的Φn加权平均值对迭代n的加权wi，Φn=znPni=1wiφi，其中zn=Pni=1wi。Φnis表示Unand Vn。表达式（12）的求和ΦnreadsΦn=\'φ（\'α）+ΦnwithΦn=znPni=1wiφi。

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2022-5-6 02:49:01

将贡献从最近的迭代中分离出来，可以将其重写为递归：Φn=zn-1.Φn-1+wnφnzn（14）迭代n后，回归系数计算为αn=U-1nVn。围绕α展开，我们有αn=\'u（\'α）+联合国-1[\'v（\'α）+越南= \'u（\'α）-1埃（α）- \'u（\'α）-1.Un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.Vn+O(联合国，联合国Vn）使用等式（11），这变成了αn=\'\'α+αnwithαn=-\'u（\'α）-1.Un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.Vn+O(联合国，联合国Vn）。使用方程式（14）计算未经批准我们可以把它改写成一个递归公式αn=zn-1.αn-1+wn澳新银行+O(联合国，联合国Vn）（15）与安=-\'u（\'α）-1.un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.越南。通过提取未经批准从等式（13）我们得到安= α(α)αα=ααn-1+^α（εn）与 α(α)α=\'u（α）-1埃v（α）α= -\'u（α）-1.\'u（α）α-u（α）-1〃v（α）+u（α）-1.v（α）α和^α（εn）=-\'u（\'α）-1^u（εn）\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1^v（εn）。因此，递归方程（15）可以按如下顺序重写αn=zn-1+wn ααznαn-1+wnzn^αn.这个递归的解是αn=G1，n ααα+nXk=1Gk，nwkzk^α（εk）（16）与线性算子orgk，n=nYj=k+1zj-1+wj ααzj。Gk，nca可以在大n的极限下按以下方式渐近计算。我们首先将其改写为Gk，n=Qnj=k+1zj-1zjQnj=k+11+wjzj-1. αα. 第一个产品简化了ZKZN。第二个函数的行为是qnj=k+11+wjzj-1. αα~经验Pnj=k+1wjzj-1. αα. 当wj=zj时- zj-1，我们用积分来近似离散和：Pnj=k+1wjzj-1.~Rznzkdzz=lnznzk. 然后是Gk，n~zkznexp自然对数znzk αα. 这最终会产生：Gk，n~zkzn1.- αα. （17）我们用在迭代i的所有路径上计算的平均价格来表示。在迭代i和vi中，它取决于回归系数αi-1在上一次迭代和迭代i的随机变量εi上计算。这意味着pi=p（αi-1，εi）=mPmj=1p（αi-1，εji）对于迭代i的m条路径。

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