耦合重要性抽样和使用样本的多级蒙特卡罗

2022-5-9 07:13:45

根据Girsanov定理，过程（Bθt= Wt+θt）t≤这是一个布朗运动，在新的概率测度Pθ下等价于P，因此dPθdP | Ft=exp-θ·Wt-|θ| t= E-（W，θ）。因此，EP[ψ（XT）]=EPθ[ψ（XT（θ））]=EPψ（XT（θ））E-（W，θ）. （1.2）当用欧拉格式Xn（分别Xn（θ））替换X（分别X（θ））时，这个等式仍然成立。l.h.s.和r.h.s.预期都是在原始概率度量下计算的。在下文中，我们将始终使用度量值P，因此不再编写它。重要抽样蒙特卡罗的思想是利用（1.2）的r.h.s，用Xn（θ）建立E[ψ（XT）]的蒙特卡罗估计量，其中θ由θ？=argminθ∈RqVarψ（XT（θ））E-（W，θ）.第2节研究了欧拉蒙特卡罗的重要性抽样：首先，我们研究如何近似θ？在实践中，我们证明了蒙特卡罗估计与θ的近似相结合？当n和样本数一致时，满足强大的大数定律和中心极限定理。这一结果扩展了[23]中获得的极限定理，在该定理中，作者研究了固定数量的离散化步骤n的情况。使用E[ψ（XnT（θ））]代替E[ψ（XT（θ））]产生的误差称为离散化误差，并对欧拉-蒙特卡罗估计器的偏差负责，而蒙特卡罗近似仅影响方差。当蒙特卡罗方法的样本数N成比例时，这两个误差是平衡的，这导致了N阶的总体复杂性。为了减少给定计算效果的偏差，Kebaier[24]建议使用统计Romberg方法，该方法结合了两个嵌套时间网格上的离散化方案。

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2022-5-9 07:13:48

Giles[13]对该方法进行了推广，他提出使用多级蒙特卡罗算法，仿效海因里奇的参数积分多级方法[19]。让我∈ N和m≥ 2和L>0时，多级方法的思想是将预期写在下一次网格上，作为一个包含所有其他网格（称为级别）的伸缩和，E[ψ（XmLT）]=E[ψ（XmT）]+LX`=1E[ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）]（1.3），然后通过蒙特卡罗方法，通过精心选择的样本数量来近似每个期望值，以平衡不同项之间的误差。我们请读者查阅有关MLMC的大量文献，以了解更多详细信息，例如[3、9、10、11、14、16、15、18、20、27]。对于固定的计算预算，使用多级技术明显减少了偏差，但在许多情况下，高方差也带来了显著的不准确，这自然会导致尝试将MLMC与方差减少技术结合起来。在这项工作中，我们重点研究了重要性抽样与MLMC的耦合。在[5]和[17]中，作者选择将MLMC应用于（1.2）的右侧，得出E[ψ（XmLT）]=Ehψ（XmT（λ））E-（W，λ）i+LX`=1Eh（ψ（Xm`T（λ））- ψ（Xm）`-1T（λ）））E-（W，λ）i.（1.4）该方法通过优化参数λ来混合所有级别，并打破了多级方法级别之间的独立性，尽管如此，它还是非常流行且易于实现。我们不使用（1.4），而是对（1.3）的伸缩和中的每个期望值应用重要性抽样，以获得λ，λL∈ RqE[ψ（XmLT）]=Ehψ（XmT（λ））E-（W，λ）i+LX`=1Eh（ψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）E-（W，λ`）i.我们的重要性抽样多级估计是通过对每一个具有N个样本ql（λ。

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大多数88

2022-5-9 07:13:51

，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））E-（W0，k，λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（W`，k，λ`）（1.5）不同级别中使用的样品是独立的，在每个级别中，它们是任何级别的i.i.d≥ 0，变量Xm`T，`，k（λ`）（分别为Xm`-1T，`，k（λ`），当`>0）是X（λ`）与m`（分别为m）的欧拉格式的终值`-1）使用相同的布朗路径W`，k构建的时间步。重要抽样MLMC估计量的方差由var[QL]=N给出-1σ（λ）+LX`=1N-1`（米）- 1） Tm`σ`（λ`），其中σ（λ）= Var[ψ（XmT（λ））E-（W，λ）]σ`（λ`）=m`（m- 1）特瓦赫ψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）E-（W，λ`）i.通过允许每个级别有一个重要的采样参数λ`，我们的方法比[5,17]有许多优点。首先，不同级别的计算保持独立。第二，每个水平的方差只取决于λ，这将全局极小化问题简化为几个较小的极小化问题。第三，我们实际上最小化了估计量的实方差，而不是它的渐近值，更重要的是，它可以在不知道的情况下实现ψ、然而，它出现在MLMC的中心极限定理中。[6]后来提出了在每个水平上使用一个重要抽样参数的新想法，但将其与随机近似结合起来，以建立自适应估计器。实际上，最小化λ7-→ σ`（λ）可以通过使用Chen等人[7,8]提出的随机截断Robbins-Monro算法来实现，后来Lapeyre和Lelong[25]和Lelong[26]在重要抽样的背景下进行了研究。这些随机算法的数值稳定性在很大程度上取决于下降步长的选择——通常被称为增益序列——这在实践中被证明是高度敏感的。

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2022-5-9 07:13:54

为了克服这一困难，Jourdain和Lelong[23]提出将确定性优化技术应用于样本平均估值器，以搜索最优参数。按照他们的方法，我们使用方差的标准经验蒙特卡罗估计量，将σ′，N′定义为σ′与N′样本的样本平均近似值。我们假设σ`，N`中使用的样本独立于QL中使用的样本。有关如何在不同近似中选择样本的更多详细信息，请参阅第3节。现在，我们给出了与我们的方法相对应的算法。对于`=0:L do2，对随机函数λ7进行采样-→ σ`，N`（λ）。//σ`，N`是σ`的样本平均近似值，参见第3.13节使用牛顿-拉斐逊算法计算^λ`=argminσ`，N`（λ）。4独立于σ`，N`，使用λ`，对（1.5）的水平进行采样。5 end6将所有水平相加，得到ql（λ，…，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））-（W0，k，^λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（~W`，k，^λ`）。算法1.1：多级重要性抽样（MLIS）首先，我们在第2节研究了标准的欧拉-蒙特卡罗方法和重要性抽样。然后，在第三节中，我们研究了MLMC的重要性抽样框架。我们证明了QL（^λ，…，^λL）满足强大数定律和中心极限定理。我们的MLIS估计器在MLMC估计器家族中，使用一类过程（X（λ））λ逼近E[ψ（XT）]，从而获得最小的可能方差∈Rq。注意，这也是[5]中获得的具有最佳可能参数λ的基于（1.4）的MLMC估计器的极限方差∈ Rq。证明这些结果的主要困难在于自适应多级估计器中三角阵列的一致控制。

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可人4

2022-5-9 07:13:59

为了解决这个问题，我们在第4节中证明了一般情况下随机变量双指数序列的新极限定理（见命题4.1和命题4.3）。在第5节中，我们举例说明了MLI在解决来自定量融资的挑战性问题上的效率，并表明它优于标准的MLMC估计器。2.采用欧拉-蒙特卡罗法进行重要抽样。1符号和一般假设o对于向量x∈ Rq，|x |表示x的欧几里德范数。o上标*表示转置运算符。o对于矩阵a∈ Md×q，|M |表示由PTR（A）定义的Frobenius范数*A），对应于Rd×q上的欧几里德范数∈ N*, iq表示大小为q×q的单位矩阵。o对于α>0，我们定义函数集shα=nψ：Rd→ R s.t。c>0，β≥ 1.十、∈ Rd，|ψ（x）|≤ c（1+| x |β）和x、 y∈ Rd，|ψ（x）- ψ（y）|≤ c（1+（|x |β）∧ |y |β| x- y |αo（2.1）o对于随机变量序列（Xn）n，“Xn==> “X”意味着（Xn）不收敛于X。在这里，我们收集了几个标准的假设，以确保Euler方案的收敛。（H-1）i.函数b和σ是Lipschitzx、 y∈ 路| b（x）- b（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ Cb，σ| x- y |，（Hb，σ）对于某些实数Cb，σ>0。二、P≥ 1，X，Xn∈ 存在Kp（T）>0 s.T.E“sup0≤T≤T|Xt- Xnt | p#≤Kp（T）np/2。三、存在γ∈ [1/2,1]和Cψ（T，γ）>0 s.T.nγ（Eψ（XnT）- Eψ（XT））→ Cψ（T，γ）。（Hγ）（H-2）函数ψ满足（ψ（XT）6=0）>0和θ ∈ Rq，Ehψ（XT）e-θ·WTi<∞. （2.2）2.2一般框架在本节中，我们研究了欧拉-蒙特卡罗方法的情况。

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2022-5-9 07:14:02

我们考虑了由[ψ（XT（θ））E给出的E[ψ（XT）]的重要抽样表示-（W，θ）]。θ的最佳值由θ？=argminθ∈rqv（θ）= E[（ψ（XT（θ））E-（W，θ））]。通过使用（1.2），我们可以用E+（W，θ）重写v asv（θ）=E[ψ（XT）E+（W，θ）]= E-WT·θ+|θ|。从实用的角度来看，量v（θ）是不明确的，所以我们使用欧拉模式来离散X（θ）和近似θ？θn= argminθ∈Rqvn（θ）与vn（θ）= Eψ（XnT）E（W，θ）. （2.3）由于期望值通常不易处理，我们用其样本平均近似值代替它，并定义θn，n= argminθ∈Rqvn，N（θ）与vn，N（θ）=NNXi=1ψ（XnT，i）E（Wi，θ）, （2.4）式中（XnT，i，WT，i）1≤我≤奈尔i.i.d.样品符合（XnT，WT）定律。θ的存在唯一性？，θ和θn，由下列引理确定，其证明可以很容易地从[23，引理1.1]中进行调整。引理2.1。在条件（H-2）下，函数v、vn和vn、Nare对所有n、n及其导数都是连续可微分的，通过交换期望和微分得到。此外，函数v和vn都是强凸的，对于vn，Nis不等于零的任何Nsuch，vn也是强凸的。2.3最优重要性抽样参数的收敛性定理2.2。假设σ和b满足（Hb，σ）。设ψ满足条件（H-2）且对于某些α>0，它属于Hα。那么θn→ θ?a、当n→ +∞.根据H"older不等式，对于任何函数ψ∈ Hα（H-2）表示supnE[ψ（XnT）e-θ·WT]<+∞. 因此，定理的证明从[5，定理2.2]开始。在下面，我们让N依赖于N，这样N= NN倾向于与n.命题2.3一致。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。然后，对于所有K>0，当n→ ∞sup |θ|≤K | vn，Nn（θ）- v（θ）|→ 0; sup |θ|≤K|vn，Nn（θ）- v（θ）|→ 0.证明。这两个结果的证明非常相似，我们省略了第二个结果，集中讨论了vn，Nn的一致收敛性。

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2022-5-9 07:14:05

为此，我们将采用提案4.3。现在，我们检查假设（H-4），（H-5），（H-6）。首先，请注意，在假设（Hb，σ）下，我们几乎可以确定XNTXT的收敛性。Asψ∈ Hα，从性质（H-1）-ii得出，对于所有a>1，supn∈嗯ψ（XnT）e-θ·WT+|θ| Tai<∞. 请注意，对于每个固定n，顺序ψ（XnT，i）e-θ·WT，i+|θ| Ti.i.d.那么，我们推断所有m∈ N*画→∞E[vn，m（θ）]=Ehψ（XT）E-θ·WT+|θ| Ti。这就产生了（H-4）。让K>0。Asψ∈ Hα我们使用Cauchy-Schwarz不等式和性质（H-1）-ii得到，该性质支持PMMVarsup |θ|≤Kvn，m（θ）！≤ supnE1/2ψ（XnT）E1/2“sup |θ|≤柯-4θ·WT+2 |θ| T#∞.使用相同的参数，我们也得到了supnsupmvarψ（XnT，m）sup |θ|≤柯-θ·WT，m+|θ| T！<∞.这就产生了（H-5）。关于最后一个假设，如果xδ>0，θ∈ 设B（θ，δ）——中心为θ，半径为δ的开放球——然后柯西-施瓦兹不等式给出“ψ（XnT）supθ”∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T#≤仰卧ψ（XnT）E“supθ∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T#.利用初等不等式| ex-|≤ |十、- y |（ex+ey），我们很容易推断出supθ∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T可以任意变小。最后，使用备注4.4满足假设（H-6）。定理2.4。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。那么，θn，Nn-→ θ?a、美国和√Nn（θn，Nn）- θ?) ==> N（0，Γ）当N→ ∞ 带Γ=[v（θ？）]-1Var（Tθ？- WT）ψ（XT）e-θ?·WT+|θ|T[v（θ？）]-1.证据。我们已经从命题2.3中知道，a.s.vn，nn局部一致收敛于v。设ε>0。通过vδ的严格凸性= inf |θ-θ?|≥εv（θ）- v（θ？>0.vn，Nnto v的局部一致收敛确保nδ>0，N≥ nδ，θ ∈ Rqs。t、 |θ- θ?| ≤ ε、 |vn，Nn（θ）- v（θ）|≤δ.

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kedemingshi

2022-5-9 07:14:08

（2.5）对于n≥ nδ和θ使得|θ- θ?| ≥ ε、我们可以从vn，Nn，Nn（θ）的凸性推导- vn，Nn（θ？）≥|θ - θ?|ε北卡罗来纳州θ?+ εθ - θ?|θ - θ?|- vn，Nn（θ？）≥|θ - θ?|ε五、θ?+ εθ - θ?|θ - θ?|- v（θ？）-2δ≥δ最后两个不等式来自（2.5）。如果我们对θ=θn，Nn应用这个不等式，我们得到了一个矛盾，因为vn，Nn（θn，Nn）- vn，Nn（θ？）≤ 因此，我们推导出alln≥ nδ，|θn，Nn- θ?| < ε. 因此，θn，nn收敛于θ？。如果我们把这个结果与vn，Nn对连续函数v的局部一致收敛性结合起来，我们可以推断vn，Nn（θn，Nn）收敛于v（θ？）。此外，我们通过方程（3.9）得到，对于所有K>0sup |θ|≤Kθ（j）ψ（XT）e-θ·WT+|θ| T≤ eKT/2ψ（XT）K+（eKW（j）t+e-千瓦（焦耳）吨qYi=1（eKW（i）t+e-千瓦（i）吨）。根据条件（h-2），r.h.s是可积的。因此，Ehsup |θ|≤Kθψ（XT）e-θ·WT+|θ| T我<+∞. 类似地，我们可以证明Ehsup |θ|≤Kθψ（XT）e-θ·WT+|θ| T我+∞. 然后，证明了控制θn，Nntoθ收敛的中心极限定理？，我们重现了[29，定理A2，第74页]的结论，它主要基于vn，nn，以及定理A.1.2.4第二阶段蒙特卡罗方法得出的渐近正态性。在本节中，我们旨在按照[23]的精神，在离散化扩散过程中建立自适应蒙特卡罗估计。我们的设置有所不同，主要是因为我们希望同时设置时间步数和样本数。渐近结果依赖于自适应重要抽样蒙特卡罗估计中涉及的三角形阵列的一致控制。第4节的技术结果将对提供此类控制非常有用。使用θ的估计量？在上一节中，我们根据方程（1.2）定义了E[ψ（XT）]的蒙特卡罗估计量。

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2022-5-9 07:14:12

我们引入由样本（Wi）i生成的σ-代数G≥1用于计算θ和θn，Nn。假设（~Wi）i.i.d.样本根据W定律，但不依赖于G。在G条件下，我们引入i.i.d.样本（~Xi（θn，Nn）），遵循X（θn，Nn）定律，使得每个i，~Xi（θn，Nn）都是由~Wi驱动的SDE的解。我们引入（~Gk）k>0由~Gk=σ（~Wi，1）定义的过滤≤ 我≤ k） G]k=G∨~Gk。对于每一个i>0，我们也考虑定义为Xi（θn，Nn）的欧拉离散化的Xni（θn，Nn）。基于这些新的样本集，我们定义n，Nn=NnNnXi=1g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i），其中函数g:Rq×Rd×Rq→ R由g（θ，x，y）定义= ψ（x）e-θ·y-|θ| T.（2.6）为了使接下来的证明更加清晰，可以方便地引入以下符号mn，Nn（θ）=NnNnXi=1g（θ，~XnT，i（θ），~WT，i）。注意Mn，Nn=Mn，Nn（θn，Nn）。定理2.5。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。然后，Mn，Nn-→ n时的E[ψ（XT）]a.s→ +∞.证据利用样本的条件独立性（~Xni（θn，Nn），~Wi）i，我们得到了E[g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）|g]=E[ψ（XnT）]= 执行所有i>0。让V Rqbe是θ？的紧邻域？。我们定义了序列i，n=g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）- EN{θn，Nn∈五} 其经验平均值Ym，n=mPmi=1Yi，对于所有m>0。显然，E[Yi，n]=0，并且使用条件独立性E[嗯，n] =我。E[|Y1，n |]≤ EhEh | g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）- 嗯|Gi{θn，Nn∈五} 我≤ Ehvn（θn，Nn）1{θn，Nn∈五} 我≤ supθ∈Vvn（θ）。我们知道VN是凸的，并且在点方向上收敛到v，v也是凸的和连续的。因此，vn局部一致收敛到v，这意味着对于所有紧集K Rq，limn→+∞supθ∈Kvn（θ）=supθ∈千伏（θ）。因此，supnsupθ∈Vvn（θ）<+∞. 应用命题4.1证明YNn，na。s-----→N→+∞当θn时，nn收敛于θ？∈ K、这也意味着Limn→+∞Mn，Nn=E[ψ（XT）]a.s.定理2.6。

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2022-5-9 07:14:15

在定理2.5的假设下，如果条件（Hγ）成立，我们有pnn（Mn，Nn）- E[ψ（XT）]）==> N（Cψ（T，α），σ）当N→ +∞.式中σ=Ehψ（XT）e-θ?·WT+|θ|钛- E[ψ（XT）]。备注2.7。假设Euler方案中使用的时间步数固定为n=1，并考虑估计器M1，n（θ1，n）。然后，我们从[2，定理3.4]知道→ ∞,M1，N（θ1，N）-→ E[g（θ，XT（θ），WT）]a.s。√N（M1，N（θ1，N）- E[g（θ，XT（θ，WT）]）==> N（0，σ），其中σ=Ehψ（XT）e-θ·WT+|θ| Ti- E[ψ（XT）]。证据通过引入Mn，Nn（θ？），我们可以写出收敛结果的左侧pNn（Mn，Nn）- E[ψ（XT）]=pNn（Mn，Nn（θn，Nn）- Mn（θ？）+pNn（Mn，Nn（θ？）- E[ψ（XT）]r.h.s上最后一项的收敛性√Nn（Mn，Nn（θ？）-E[ψ（XT）]受欧拉蒙特卡罗中心极限定理的约束，该定理产生了公布的极限（见[12]）。我必须证明这一点√Nn（Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）概率收敛到零。设ε>0，α<，PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε= PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε ; NαN |θN，Nn- θ?| > 1.+ PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε ; NαN |θN，Nn- θ?| ≤ 1.= P（NαN |θN，Nn）- θ?| > 1） +PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|1{NαN |θN，Nn-θ?|≤1}> ε.根据定理2.4，P（NαN |θN，Nn- θ?| > 1）当n变为单位时趋于零。设K>0s.t.对于所有足够大的n{θ∈ Rq:|θ-θ?| ≤ N-αn} B（0，K）。我们可以在r.h.s.上绑定第二个术语。

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2022-5-9 07:14:18

利用马尔可夫不等式pNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|1{NαN |θN，Nn-θ?|≤1}> ε≤NnεEh | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|{θn，Nn∈B（0，K）}i≤εEh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}i≤εEh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i+εEh|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn）~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}i.我们分别处理这两个术语。首先，根据θn，Nn和| W之间的独立性，我们可以写出|g（θn，Nn，| XnT（θn，Nn），|WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i=E|ψ（XnT）- ψ（XT）|exp(-θn，Nn·WT+|θn，Nn | T）1{θn，Nn∈B（0，K）}≤ Eh |ψ（XnT）- ψ（XT）|2（1+η）i1+ηe1+2η2ηKT，对于某些η>0。依赖于性质（H-1）-ii和自ψ所保证的一致可积性∈ Hα，我们可以让n进入期望值内，以获得该极限→+∞Eh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i=0。第二项，因为函数g是连续的，前两个参数是w.r.t，Xθ是连续的，参数是θ，limn→+∞g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）-g（θ？，~XnT（θ？），~WT）=0 a.s.为了得出结论，我们需要证明r.v.家族。|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}nis一致可积。首先，对于任何θ∈ Rqand 2（1+η）>a>2Eh | g（θ，~XT（θ），~WT）| ai=E|ψ（~XT）|ae-（a）-1） θ·WT+（a）-1） |θ| T≤ Eh |ψ（~XT）| 2（1+η）i2（1+η）aeC |θ|（2.7），其中C是一个仅依赖于a和T的常数。这就产生了，对于一些δ>0和一些常数C>0，与θ无关，Eh | g（θ，| XT（θ），|WT）| 2+δi<CeC |θ|。

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2022-5-9 07:14:21

然后，我们得到supneh | g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）| 2+δ{θn，Nn∈B（0，K）}i=supnEhEh | g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）| 2+δ|θn，Nni{θn，Nn∈B（0，K）}i≤ supnCEheC |θn，Nn |{θn，Nn∈B（0，K）}i≤ 切克。我们同样可以得到supneh | g（θ？，|XnT（θ？），~WT）| 2+δi≤ supnEh |ψ（XnT）| 2（1+η）i2（1+η）2+δeC |θ？|。这证明r.v.家族。|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}nis一致可积，证明到此结束。3多级重要抽样蒙特卡罗近年来，许多研究表明，MLMC与离散化方案相结合时，将取代蒙特卡罗。然后，研究这种新方法如何与现有的方差减少技术，尤其是重要的抽样技术相结合，就变得很自然了。在本节中，我们研究了重要性抽样GMLMC估计量QL（^λ，…，^λL）的数学性质。首先，我们从证明^λ的存在性和唯一性开始，然后我们在第3.3.3.1节中证明了一个强大的大数定律和一个关于QL（λ，…，λL）的中心极限定理。我们的多级重要抽样估计器的一般框架是QL（λ，…，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））E-（W0，k，λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（~W`，k，λ`）。（3.1）对于任何固定∈ {1，··，L}，随机变量（~W`，k）1≤K≤N′是独立的，根据布朗定律分布。我们假设``∈ {1，··，L}，带\'6=\'，块（~W\'，k）1≤K≤N`and（~W`，k）1≤K≤他们是独立的。对于任何固定的∈ {1，··，L}和K∈ {1，…，N`}，变量Xm`T，`，k（λ`）（分别Xm`-1T，`，k（λ`）是X（λ`）与m`（分别为m）的欧拉模式的终值`-1）使用相同的布朗路径W`，k构建时间步长。多级方法的关键是使用相同的布朗路径来计算Xm`T`，k（λ`）和Xm`-1T，`，k（λ`）。

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2022-5-9 07:14:25

两个不同级别中使用的随机变量块是独立的。根据这些假设，我们可以计算Var[QL]=N给出的多级估计量的方差-1σ（λ）+LX`=1N-1`（米）- 1） Tm`σ`（λ`），其中σ（λ）= Var[ψ（XmT（λ））E-（W，λ）]σ`（λ`）=m`（m- 1） TVarhnψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）oE-（W，λ`）i.通过应用（1.2），每个水平的方差`≥ 0可以写成σ`（λ`）=v`（λ`）- Ξ`with v（λ）= Ehψ（XmT）E+（W，λ）i，Ξ= Ehψ（XmT）i（3.2）v`（λ`）=m`（m- 1） TEψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）E+（W，λ`）, (3.3)Ξ`=sm`（m）- 1） ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）i（3.4）和E+（W，λ）= E-λ·WT+|λ| T。因此，全局方差由var[QL]=N给出-1（v（λ）- Ξ）+LX`=1N-1`（米）- 1）商标`v`（λ`）- Ξ`.实际上最小化函数λ7-→ v`（λ），我们考虑N个样本v0，N（λ）的样本平均逼近=NNXk=1ψ（XmT，0，k）E+（W0，k，λ），v`，N`（λ`）=N`N`Xk=1m`（m- 1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）3.2重要抽样参数的收敛性从引理2.1中，我们推导出v`，N`具有唯一的极小值λ`=arg minλ∈Rqv`，N`（λ）。定理3.1。假设b和σ是有界导数ψ的cw∈ 某些α的Hα≥ 1，ψ是Candψ具有多项式增长。然后，随机函数序列（v`，N`）：λ∈Rq→ v`，N`（λ））`局部一致收敛于强凸函数v:Rq→ Rdefined byv（λ）= 嗯(ψ（XT）·UT）E+（W，λ）i（3.5），dut=b（Xt）Utdt+qXj=1σj（Xt）UtdWjt-√qXij，=1σj（Xt）σi（Xt）dWi，jt（3.6），其中W是一个独立于W的布朗运动，其值为Rq×q。此外，bλ`将a.s.收敛到λ？= arg minλv（λ），当`→ +∞.证据让我们定义双索引序列yk，`（λ）=m`（m- 1） Tψ（Xm`T，k）- ψ（Xm）`-1T，k）E+（Wk，λ）。对于任何固定的`，序列（Yk，`（λ））kis i.i.d。

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可人4

2022-5-9 07:14:28

对于任何k，E[Yk，`（λ）]=y`（λ），其中y`（λ）=Em`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）E+（W，λ）.我们从命题A.4推断序列（y`）`逐点收敛到连续函数Eh(ψ（XT）·UT）E+（W，λ）i，从而满足假设（H-4）-i。序列（Yk，`（λ））kalso的i.i.d.性质意味着sup |λ|≤KNNXk=1Yk，`（λ）！≤ up“nn=1sλ|≤KYk，`（λ）#≤NE“sup |λ|≤KY1，`（λ）#。（3.7）E“sup |λ|≤KY1，`（λ）#≤ E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#E“sup |λ|≤KE+（W，λ）#。（3.8）使用以下上界sup |λ|≤柯-λ·WT+|λ| T≤ eKTqYl=1（eKW（l）T+e-千瓦（升）吨），（3.9）Ehsup |λ|≤KE+（W，λ）i<+∞. 让我们仔细看看（3.8）中的第一个术语。根据条件（2.1），我们可以写“m`ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#≤ 总工程师m4`Xm`T- Xm`-1T8α1 +Xm`T8β+Xm`-1T8β.利用Euler格式的强收敛速度，我们注意到对于任何p>1，Em4`pXm`T- Xm`-1T8αp≤ m4`pCM-4αp`+m-4αp(`-1)≤ Cm4αp-4`p（α）-1).因此，由于α≥ 1.通过使用柯西-施瓦茨不等式，我们可以轻松地检查SUP`E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#< +∞.通过将所有这些结果合并到（3.8）中，我们得到了sup`Ehsup |λ|≤KY1，`（λ）i<+∞.然后，我们与（3.7）一起推断序列（Yk，`）k，`满足第4.3位的假设（H-5）。设δ>0和λ∈ Rd.E“sup |u-λ|≤δ| Y1，`（λ）- Y1，`（u）|#≤E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#E“sup |u-λ|≤δE+（W，λ）- E+（W，u）#.我们刚刚证明了r.h.s上的第一个期望一致有界于`。由于指数权重相对于λ是a.s.连续的，很明显Limδ→0sup |u-λ|≤δ| E+（W，λ）- E+（W，u）|=0 a.s.此外，我们可以应用勒贝格定理（3.9）给出的上界来推导thatlimδ→0sup`E“sup |u-λ|≤δ| Y1，`（λ）- Yk，`（u）|#=0。因此，命题4.3的假设（H-6）是满足的。

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2022-5-9 07:14:31

最后，我们可以应用命题4.3来证明序列n`PN`k=1Yk`局部一致收敛于0。bλ′到λ的收敛性？可以通过严格模仿定理2.4.3.3强大数定律和中心极限定理的证明来推导`∈Nof正实数，比如limL→∞PL`=1a`=∞.我们假设样本量N`具有以下形式Nρ\'，L=ρ（L）m`a`LXk=1ak，`∈ 某些增函数ρ：N的{0，··，L}（3.10）→ R.我们选择N\'的这种形式是因为它是一种通用形式，允许我们直接使用Toeplitz引理，这是证明中心极限定理的关键工具。辛塞利米尔→∞PL`=1a`=∞, 对于任意序列（x`）`≥1接近某个极限x∈ R、极限→+∞PL`=1a`x`PL`=1a`=x。我们定义了由样本（W`，k）`，k生成的σ-代数G≥1用于计算λL。在上述框架中，变量（~W`，k`，k）与G无关。我们还介绍了（~W`，k，k）生成的过滤（~G`）>0≥ 1） “‘过滤（G）’”>0定义为G]`=G∨~G`。定理3.2。假设supLsup`La`ρ（L）PLk=1ak<+∞. 然后，在3.1的假设下，QL（bλ，…，bλL）-→ 当L→ +∞.对于选择a`=1表示所有`，ρ上的条件减少为supLLρ（L）<+∞.证据当E[ψ（XLT）]收敛到E[ψ（XT）]时，当L进入整数时，就足以证明ql（bλ，…，bλL）- E[ψ（XLT）]趋于0。QL（bλ，…，bλL）- E[ψ（XLT）]=Nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT，0）]+LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，“我！”！。（3.11）从定理2.5和注释2.7中，我们知道nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT，0）]a.s。-----→L→+∞0.然后，必须证明（3.11）中的剩余项在L中趋向于0。

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2022-5-9 07:14:33

设V是λ？的紧邻域？。LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我=LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我！{bλ`∈五} +LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T`- ψ（Xm）`-1T，`）我！{bλ`/∈五} 对于足够大（尽管是随机的），1{bλ`/∈五} =0。因此，当L变为单位时，上述方程中的第二项趋向于0 a.s。还有待证明，第一项也会收敛到零。为此，我们将命题4.1应用于序列y`，q=qNρ`，qNρ`，qXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- 嗯ψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我{bλ`∈五} 设置YL，q=LPL`=1Y`，q。注意，E[Y`，q]=0表示所有`和q。由于不同级别中使用的样本是独立的，且^λ`\'与过滤G无关，我们可以YL，qi=LEELX`=1Y`，qG=LLX`=1Eh | Y`，q | i.（3.12）使用同样的参数，我们得到了eh | Y`，q |i≤ qNρ`，qEψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）E+（~W`，bλ`）1{bλ`∈V}≤qa`ρ（q）Pqk=1ak嗯ψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）E+（~W`，bλ`）1{bλ`∈V}.从命题A.4中，当“到”时，括号中的术语收敛。因此，使用函数ρ的假设，我们得到supqsup`Eh|Y\'，q|i<+∞. （3.13）通过组合方程（3.12）和（3.13），我们得到了supLsupqLEhYL，q我+∞. 因此，命题4.1给出了YL，Lvanishes，当我进入实体时，这就结束了证明。定理3.3。假设定理3.1的假设成立，且条件（Hγ）满足。如果Nρ`，则由（3.10）给出，ρ（L）=m2γL（m）-1） T和序列（a`）`satiesliml→∞PL`=1a`p/2LX`=1ap/2`=0，对于p>2，（3.14），那么mγL（QL（bλ，…）。

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2022-5-9 07:14:37

，bλL）- E[ψ（XT）]）==> N（Cψ（T，γ），v（λ？）当我→ ∞.收敛速度不取决于样本数N\'，前提是它们与`一致。证据通过假设（Hγ），我们得到了limL→+∞mγL（E[ψ（XmLT）- ψ（XT）]=Cψ（T，γ）。0级的收敛性由定理2.6（见备注2.7）控制，该定理得出，当L→ ∞,qNρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT）]==> N（0，σ（λ））。然后，我们从函数ρthatmγL的选择中推导Nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT）]P-----→L→+∞0.因为所有的块都是独立的，所以证明mγL是足够的LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- E[ψ（XnT）]==> N（0，v（λ？）。为此，我们引入（G]l）l≥1-鞅数组（Ynl）l≥1定义拜因=lX`=1mγLNρ`，LNρ`，LXi=1hψ（~Xm`T，`，i（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，i（bλ`）E-（~W`，i，bλ`）- Ehψ（~Xm`T）- ψ（Xm）`-根据定理A.1，我们需要研究两个量hynil=LX`=1Eh | Yn的渐近行为`- 伊恩`-1|G]`-1和lx`=1Eh | Yn`- 伊恩`-1 | pG]`-1i，对于p>2作为n→ ∞.注意bλ`是G]`-1–可测量且适用于任何λ∈ rq变量（~Xm`T，`，i（λ），~Xm`-1T，`，i（λ））1≤我≤NLG独立于G]`-1，然后使用ρ（L）=m2γL（m）的（3.10）- 1） T，我们将FirstQuantity改写为如下hynil=PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- 定义为（3.3）和（3.4）的“i”。设V是λ？的紧邻域？。我们可以写eynil=PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- Ξ\'i{bλ`∈五} +PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- Ξ\'i{bλ`/∈五} 。（3.15）从命题A.4中，我们知道Ξ`-→ E[ψ（XT）。UT]=0，其中最后一个等式是[24，命题2.1]的直接结果。从命题A.4中，我们知道函数序列v`逐点收敛到由（3.5）定义的v。此外，我们可以很容易地证明这种收敛是局部一致的。

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kedemingshi

2022-5-9 07:14:40

因此，通过bλ′到λ的收敛？（见定理3.1），我们推导出v`（bλ`）1{bλ`∈五} 收敛到V（λ？）什么时候→ +∞. 此外，对于`足够大（尽管是随机的），1{bλ`/∈五} =0。因此，我们从Toeplitz引理推断hYniL-→ v（λ？）a、利用Burkholder的sinequality和Jensen的不等式，结合ψ和性质（H-1）-ii的假设，我们得到，对于任何p>2，存在Cp>0，使得Lx`=1Eh | Yn`- 伊恩`-1 | pG]`-1i≤内容提供商PL`=1a`p/2LX`=1ap/2`----→L→∞其中（3.14）确保收敛到零。因此，我们可以应用定理A.1来实现证明。备注3.4。通常，人们可以重新缩放mγL（QL（bλ，…，bλL）- 通过v（λ？）的估计得到E[ψ（XT）]得到方差为1的中心极限定理。由于定理3.1，我们知道v`，N`（^λ`）是v（λ？）的收敛估计我们可以很容易地从定理3.3的证明中推断出，在它的假设下Nρ0，LNρ0，LNρ0，LXk=1（ψ（~XmT）E+（~W0，k，λ））-Nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT）E+（~W0，k，λ）+LX`=1N-1`（米）- 1）商标`~v`，N`（λ`）-Ξ`，N`-----→L→+∞v（λ？）。请注意，数量v`、N`和ΞN`的定义如（3.3）和（3.4）所示，但使用波浪采样路径（~X`，k）和（~W`，k）。大括号这一术语可以在多层蒙特卡罗过程中在线计算，可用于建立置信区间。v（λ？）的任何收敛估计量当然可以使用，但这一方法的优点是，对于任意数量的L级，它不仅是渐近的，而且与多级蒙特卡罗估计的真实方差相对应。4.双指数序列的强大数定律在这一节中，我们证明了用于多级方法收敛的两个关键结果。当两个指数趋于一致时，我们解决了双指数随机序列经验平均值的收敛问题。提议4.1。

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2022-5-9 07:14:44

设（Xn，m）n，mbe一个向量值随机变量的双索引序列，使得对于所有n，E[Xn，m]=xm和limm→+∞xm=x。我们定义Xn，m=nPni=1Xi，m。假设以下两个假设满足（H-3）i.supnsupmnVarXn，m< +∞.二、supnsupmVar（Xn，m）<+∞.然后，对于所有的增函数ρ：N→ N、 Xn，ρ（N）-→ x a.s.和Lwen n→ ∞.从这个命题中，我们可以通过提取一个bespokesubsequenceCorollary 4.2，很容易地推断出以下推论。假设（Xn，m）n，mbe是满足命题4.1假设的向量值随机变量的双索引序列。然后，对于任何严格递增函数ξ：N→ N、 Xξ（N），N-→ x a.s.和Lwen n→ ∞.命题4.1的证明。这一结果的证明与[28，TheoremIV.1.1]中的证明非常相似。我们介绍了序列（Yi，m）i，mde由Yi定义，m=Xi，m- xm，它的满意度[Yi，m]=0。作为林姆→∞xm=x，证明Yn，ρ（n）是有效的-→ 0 a.s.条件（H-3）-i表示L收敛到0。我们介绍了由Zn定义的序列（Zn，m），m=sup{“Yk，m: N≤ k<（n+1）}。设k为n≤ k<（n+1），然后“Yk，m≤ N-2.N艾琳，m+kXi=n+1 | Yi，m|,锌，m≤\'\'Yn，m+n（n+1）Xi=n+1 | Yi，m |。然后，E[Zn，m]≤ E[\'Yn，m]+（n+1）Xi=n+1E[|Yi，m |]n+2E[艾琳，m|易，m |]n！+2（n+1）Xi，j=n+1；i6=jE[|Yj，m | Yi，m |]n.让κ>0表示假设（H-3）中涉及的上界的最大值。利用柯西-施瓦茨不等式，我们得到[Zn，m]≤κn+κ（（n+1）- n） n+2κ（（n+1）- n） n+2κ（（n+1）- n） n≤κn+κ（2n+1）n+2κ（2n+1）n+2κ（2n+1）n。因此，对于任何函数ρ：n→ N、 E[Zn，ρ（N）]≤ Cn-2其中C>0是一个常数，与ρ无关。因此，我们有P（Zn，ρ（n）≥ N-1/4) ≤ Cn-3/2. 这个不等式意味着使用BorelCantelli引理，对于足够大的n，ρ（n）≤ N-1/4a。s、这使得a.s.收敛到0。提案4.3。

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kedemingshi

2022-5-9 07:14:49

设（Fn，m）n，mbe在连续函数集中具有值的随机变量的双索引序列，即对于所有n，m，Fn，m：Ohm -→ 丙(右)。此外，我们假设存在一系列确定性函数（fm）ms.t.对于所有的ne[Fn，m]=fm对于所有的m。我们定义Fn，m=nPni=1Fi，m。假设以下两个假设满足（H-4）以下标准之一。序列（fm）M逐点收敛到某个连续函数f.ii。对于任意紧集W，序列（fm）mc局部一致地收敛于某个函数f（H-5） i.supnsupmnVar路好的∈WFn，m（x）< +∞.二、supnsupmVar（supx∈W|Fn，m（x）|）+∞.（H-6）对于所有y∈ Rd，limδ→0supnsupmEhsup | x-y|≤δ| Fn，m（x）- Fn，m（y）| i=0。然后，对于所有函数ρ：N→ N、随机函数序列Fn，ρ（N）局部一致收敛于局部连续函数f。备注4.4.o当对于每个固定的m，序列（Fn，m）是独立的且分布相同时，假设（H-6）由Y∈ Rd，limδ→0lim supmE“sup | x-y|≤δ| F1，m（x）- F1，m（y）|#=0，假设（H-5）-ii意味着（H-5）-i.o如推论4.2所示，对于任何严格递增函数ξ：N→ N、序列Fξ（N）将a.s.局部一致收敛到局部连续函数F.Proof。我们可以应用命题4.1，来推断a.s.Fn，ρ（n）逐点收敛于函数f。如果我们还不知道f是连续的，那么由于（H-5）-ii，我们可以应用勒贝格定理来推断函数f是连续的。序列fmto f（见（H-4）-ii）的一致收敛性证明了函数f是连续的。设W是Rd的一个紧集，我们可以用中心（xk）和半径（rk）K的有限个开球覆盖W，即Wk=B（xk，rk）和W=∪Kk=1Wk。我们想证明这一点∈WFn，ρ（n）（x）- f（x）a、美国。-----→N→+∞0.我们写UPX∈WFn，ρ（n）（x）- f（x）=KXk=1supx∈工作Fn，ρ（n）（x）- f（x）.

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2022-5-9 07:14:52

（4.1）我们将每个条款拆分∈工作Fn，ρ（n）（x）- f（x）= 好的∈工作Fn，ρ（n）（x）- Fn，ρ（n）（xk）+ 好的∈Wk | f（x）- f（xk）|+Fn，ρ（n）（xk）- f（xk）（4.2）设ε>0。其想法是选择足够小的半径，以确保每个项由ε的函数控制。现在，我们要让这个想法更加精确。对于所有k=1，K、使用逐点收敛，最后一项可以小于ε/K，而对于n，则大于某些nk。为了所有人≥ 马克斯≤KNk和所有1≤ K≤ KFn，ρ（n）（xk）- f（xk）≤ ε/K.函数f是连续的，它在每一个工作上都是一致连续的。如果我们选择的WK半径足够小（我们可能需要增加K），我们可以确保所有1≤ K≤ K supx∈Wk | f（x）- f（xk）|≤ ε/K.在（4.2）的r.h.s中的第一项值得更多关注∈工作Fn，ρ（n）（x）- Fn，ρ（n）（xk）≤nnXi=1supx∈工作Fi，ρ（n）（x）- Fi，ρ（n）（xk）. （4.3）现在，每1≤ K≤ K、我们想把命题4.1应用于随机变量序列好的∈Wk | Fn，m（x）- Fn，m（xk）|n、 m.利用Minkowski的不等式，假设（H-3）显然是满足的。让我们定义序列（Yn，m）n，mbyYn，m=supx∈Wk | Fn，m（x）- Fn，m（xk）|- E“supx∈Wk | Fn，m（x）- Fn，m（xk）|#，满足E[Yn，m]=0和命题4.1的假设。因此，它产生了thatlimn→+∞nnXi=1supx∈工作Fi，ρ（n）（x）- Fi，ρ（n）（xk）- E“supx∈工作Fn，ρ（n）（x）- Fn，ρ（n）（xk）#= 0.（4.4）从（H-6）中，我们知道，如果选择的WKs足够小，则supnE“supx”∈工作Fn，ρ（n）（x）- Fn，ρ（n）（xk）#≤ ε/K.（4.5），然后，结合（4.3）、（4.4）和（4.5）得到supx∈工作Fn，ρ（n）（x）- Fn，ρ（n）（xk）≤ ε/K.我们把这个不等式加在（4.2）上，并从（4.1）推导出，对于足够大的n，supx∈W`Fn，ρ（n）（x）- f（x）≤ 3ε.5数值试验5。1实际实现我们的方法巧妙地将著名的多级蒙特卡罗技术与重要的采样相结合，以减少方差。

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2022-5-9 07:14:55

经典的方法是考虑Ehψ（XT（θ））e的多级近似-θ·WT-|θ| t选择θ的值，使多层蒙特卡罗中心极限定理的方差最小化（见[4]）。交感变异涉及两个方面ψ和（3.6）中给出的过程U。因此，多级蒙特卡罗重要性抽样的经典方法需要比函数ψ和底层过程X更多的知识，因此排除了任何类型的自动化。我们选择了一种完全不同的方法，允许每个级别有一个重要的采样参数，这使我们能够独立于其他级别处理每个级别。在每个级别中，我们使用[23]中的样本平均近似值来计算最佳重要采样参数，该参数被定义为最小化当前级别方差的参数。从定理3.3中，我们知道这种方法是最优的，因为我们的多级估计器ql（^λ，…，^λL）满足中心极限定理，其极限方差由inf v给出，其中由（3.5）定义的vde是标准多级蒙特卡罗估计器的方差。我们设法提供了一种无需计算就能达到最优极限方差的算法ψnorse过程U，因此我们的方法可以完全自动化。^λ′的计算。参数^λ`被定义为强凸极小化问题的解。最小化步骤由Newton–Raphson算法执行，以v`，N`。计算所需的样本v`，N`和v`，N`在开始牛顿-拉斐逊过程之前，一次生成一次，然后全部生成，这样在梯度下降的所有迭代中使用相同的样本。这一特性特别适用于优化步骤，一旦数字变大，可能会使算法对内存的要求很高。

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2022-5-9 07:14:59

由于参数λ不包含在函数ψ中，所有的量ψ（Xm`T，`，k）-ψ（Xm）`-1T，`，k）对于k=1，N`可以在启动最小化算法之前进行预计算，这使我们能够节省大量计算时间。牛顿-拉斐逊算法的效率在很大程度上取决于v`，N`函数的凸性。正如[23]中已经指出的，Hessianmatrix的最小特征值v`，N`基本上是N`PN`k=1m`（m-1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E+（W`，k，λ），它可以变得非常小，然后与具有最强可能凸性的意愿相冲突，以加速牛顿-拉斐逊算法。这一困难通过注意到平等而得以避免v`，N`（^λ`）=0可以写成^λ`T-N`PN`k=1m`（m-1） TWk，`Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ`·WT，`，kN`PN`k=1m`（m-1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ`·WT，`，k=0。因此，^λ`可以解释为u`，N`withu`，N`（λ）=|λ| T+logN`N`Xk=1m`（m- 1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，k.u`，N`的海森矩阵由下式给出：u`，N`（λ）=T Iq+N`PN`k=1m`（m）-1） TWk，`T（Wk，`T）*ψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，kN`PN`k=1m`（m-1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，k-N`PN`k=1m`（m-1） TWk，`Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，kN`PN`k=1m`（m-1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，kN`PN`k=1m`（m-1） TWk，`Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，k*N`PN`k=1m`（m-1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）E-λ·WT，`，k.（5.1）根据柯西-施瓦茨不等式，很明显u`，N`（λ）是T Iq的下界，其中不等式是从对称矩阵的阶意义上理解的。算法描述。我们的算法分为两个步骤：计算最优重要性抽样测度的最小化步骤和实际提供E[ψ（XT）]估计量的MLMC步骤。这两个步骤中使用的样本是独立的。

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2022-5-9 07:15:03

为了清晰起见，我们在算法5.1.1生成XmT，0,1，…，中提供了全局方法的伪代码，XmT，0，Ni。i、 d.遵循xmt定律的样品取决于其他区块。2解决u0，N（^λ）=0，使用牛顿-拉斐逊算法。对于`=1:ldo4生成（Xm`T，`，1，Xm`-1T，`，1），（Xm`T，`N`，Xm`-1T，`，N`）i.i.d.样品遵循（Xm`T，Xm`定律`-1T）独立于其他模块。5.解决通过使用牛顿-拉斐逊算法，u`，N`（^λ`）=0。6 end7有条件地在^λ上，生成XmT，0,1（^λ），~XmT，0，N（^λ）i.i.d.具有独立于其他块的XmT（^λ）定律的样本。波浪形和非波浪形的数量在条件上是独立的。8对于`=1:ldo9有条件地在^λ`，生成（~Xm`T，`，1（^λ`），~Xm`-1T，`，1（^λ`）`，（~Xm`T，`，N`（^λ`），~Xm`-1T，`，N`（^λ`）i.i.d.具有（Xm`T（^λ`），Xm定律的样品`-1T（λ`）独立于其他块。波浪形和非波浪形数量在条件上是独立的。10 end11计算多级重要性抽样估计器ql（λ，…，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））-（W0，k，^λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（~W`，k，^λ`）。算法5.1：多级重要性抽样（MLIS）复杂性分析。在这一段中，我们将重点讨论层数对算法总体计算时间的影响。标准多级估计器的计算成本与Tcml=LX`=0N`m`=m2L+1L成正比。我们算法的全局代价是（^λ``和标准多级估计器cmlis=LX`=0N`（m`+3K`）+LX`=0N`m`的计算代价之和，其中K`是牛顿-拉斐逊算法近似^λ`的迭代次数，因子3对应于以下事实：u`，N`和u`，N`基本上归结为三个蒙特卡洛求和。

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2022-5-9 07:15:06

实际上，K`≤ 5.因为问题是强凸的。因为在优化步骤的每次迭代中使用相同的随机变量，所以必须存储它们，这使得我们的算法的内存占用与N `成正比。因此，如果我们选择N`=N`m`m`+15，我们的MLIS算法的总成本应该大约是标准多级估计器成本的两倍。与直接使用N\'相比，选择N\'减少了用于近似第一级方差的样本数量。然而，当L增大时，对于`的较小值，N`可能会变得非常大，从而导致更大的内存占用（参见第5.1节）。为了不破坏算法的可伸缩性，N`的值必须根据计算机上可用的内存量保持合理。例如，强制执行N`≤ 在8GB内存的计算机上，500000是合理的。无论如何，非常清楚的是，对方差v’isenough进行相当好的近似，并运行一个最终精确的估计，将导致计算时间的巨大浪费。监控v`，N`的收敛性将真正有助于为N`.选择敏感值。5.2与现有算法相比，在定理3.3中，我们得到了与[5]相同的极限方差，其中作者将LMC应用于重要性抽样（见（1.4）），而不是像我们这样反之亦然。重要采样和MLMC的耦合方式实际上在收敛速度方面并不重要，但在实践中确实重要。首先，我们的方法通过在每个级别上解决一个优化问题而不是全局优化问题来保持不同级别的独立性。因此，在标准MLMC设置中，不同水平的贡献是相互独立计算的。

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能者818

2022-5-9 07:15:09

其次，我们使用样本平均近似与牛顿-拉斐逊算法相结合来计算最佳重要参数，而在[5,6]中，作者依赖于托卡斯特近似，这是已知的需要适当调整以有效地在实践中收敛。我们的方法继承了牛顿算法用于具有可处理Hessian矩阵的强凸问题时的良好收敛性。正如[23]中已经提到的，这种方法更稳定、更健壮。5.3实验设置我们比较了四种方法的均方根误差（RMSE）：crudeMonte Carlo方法（MC）、文献[23]中提出的自适应Monte Carlo方法（MC+IS）、多级Monte Carlo方法（ML）和我们的重要抽样多级Monte Carlo估计器（ML+IS）。我们记得，RMSE由RM SE=pBias+方差定义。在偏差的计算中，真实值被L=9级的多级蒙特卡罗估计值取代，从而得到非常精确的近似值。更不用说，图表上显示的CPUTIME同时考虑了搜索最佳参数的时间和第二阶段蒙特卡罗的时间，无论是多级还是非多级。5.4多维杜皮尔框架我们认为-多维局部波动率模型，其中在风险中性度量下，每种资产Si的动态应通过Dsit=Sit（r dt+σ（t，Sit）dWit），S=（S，…，Sd）给出，其中W=（W，…，Wd），每个分量是一个标准布朗运动，其值为r。对于数值实验，假设W的协方差结构由hWi开始，Wjit=ρt1{i6=j}+t1{i=j}。我们假设ρ∈ (-D-1，1），确保矩阵C=（ρ1{i6=j}+1{i=j}）1≤i、 j≤不确定的定义。设L表示Cholesky分解C=LL中涉及的下三角矩阵*. 在时间网格上模拟W。

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