应用引理A.1选择函数ψ（y）=exp（ε）-2y）- 1，p（y）=√y、 一个人拥有所有的s，t |ωt- ωs|≤ 8Z | t-s |ψ-1.4Kudp（u）=8εZ|t-s|log4Ku+1dp（u）≤ 8ε“Z|t-s|log4K+Tdp（u）+Z|t-s|logU-2.dp（u）#≤ 8εhp | t- s|log4K+T+p|t- s |（4）- 2对数（| t- 在两边除以（t）- s） η取上界，得到ωkη≤ 8ε日志4K+TT1/2-η+4T1/2-η+Kη.因为上一次估算的右边是K-1ε，η（K），（3.3）产率（3.4）。最后，我们证明了引理3.10。引理3.10表示Tε停止时间Tε（ω）=inf的证明T≥ 0：ωt≤εx1-γ. （A.3）我们可以将其应用于函数f（x）=x1-γ直到时间Tε（Yε，h），并得到Yε，ht- εx1-γ=Ztbε（Yε，hs）ds+σ（1）- γ） ht+εσ（1）- γ） 英国电信， T≤ Tε（Yε，h），a.s.（a.4），其中bε由bε（Y）给出：=（1）- γ)ε1-γα(ε-(1-γ） y（1-γ） ）yγ1-γ-σγ(1 - γ） εy+β（1）- γ） y（A.5）我们需要证明ε→0Wsupt∈[0，T]| Yε，ht- S（h）t|≤ R！=1.R>0。（A.6）为了简化符号，在证明中，用Y代替Yε是没有歧义的。第一步。我们首先证明（A.6）在假设k:=inft∈[0，T]˙ht>0（A.7）让我们首先证明limε→0WTεYε，h≤ T= 0（A.8）直接计算表明，存在一个常数c>0，取决于x，σ，α（·），因此：≥εx1-γn~bε（y）- β(1 - γ） 哟≥ -cε。（A.9）定义（Zt）t∈[0，T]byZt=εx1-γ+ (-cε+σ（1）- γ） k）t+β（1）- γ） ZtZsds+εσ（1）- γ） Bt（A.10）使用（A.9），它遵循SDEs thatYt的比较原则≥ Zt T≤ 我们声称w（Tε（Z）≤ （T）→ 0（A.12）是正确的。自W（Tε（Y）≤ （T）≤ W（Tε（Z）≤ T）在（A.11）之前，则（A.8）保持不变。

我们稍后会证明（A.12）。现在，从S（h）的定义和Gronwall引理的一个应用得出| Yt- S（h）t|≤ εc+σ（1）- γ） 监督∈[0，T]| Bt|e |β|（1-γ） T=：ΘTT≤ Tε（Y），因此，对于任何R>0且ε小的eNow监督∈[0，Tε]|Yt- S（h）t|≤ R≥ W监督∈[0，Tε（Y）]|Yt- S（h）t|≤ ΘT∩ {εT≤ R}≥ W（{Tε（Y）≥ T}∩ {εT≤ R} ）。由于上一个不等式右边的两个事件的概率都收敛到1，（A.6）紧随其后，引理3.10在条件（A.7）下得到了证明。第二步。我们假设（A.7）只适用于时间间隔[0，ρ]，即˙ht≥ k代表每一个t≤ ρ、 对于somek，ρ>0。用T=ρ重复步骤1的参数，我们得到了limε→0W监督∈[0，ρ]|Yt- S（h）t|≤ R= 1.R> 0（A.13）我们将估算（A.13）与本地化参数一起应用。为每个ω定义一个时移算子τρω∈ Ohm, 由（τρω）t=ωρ+t表示所有t∈ [0，T- ρ]. 对于任意固定y>0，表示Xy，ρSDE的强解：Xy，ρt=y（1-γ） +Ztbε（Xy，ρs）+σ| Xy，ρs |γ˙hρ+sds+ε| Zt | Xy，ρs |γdbs和setYy，ρ：=（Xy，ρ）1-γ.请注意，Yy，ρ是从Xy，ρ开始定义的≥ 0代表所有t∈ [0，T]，W-几乎可以肯定。如果h=0，则Xy轨迹的非负性，ρ源自[9]中的应用命题3.1，并延伸至h∈ 通过应用Girsanov定理。

通过定义Y和Yy，ρ，马尔可夫性质yieldsE（f（τρY）|fρ）=E（f（Yyρ，ρ））通过映射（h，Y）的连续性7→ Sy（h）我们可以选择R>0这样的值∈B（S（h）ρ，R）supt∈[0，T-ρ] |Sy（τρh）t- SS（h）ρ（τρh）t|≤R（A.14）因此，使用（A.14）将下列事件包括在内，则成立（假设w.lo.g R≤R） :监督∈[0，T]| Yt- S（h）t|≤ Rsup[0，ρ]|Yt- S（h）t|≤ R∩监督∈[0，T-ρ] |τρ（Y）t- SYρ（τρh）t|≤R应用马尔可夫性监督∈[0，T]| Yt- S（h）t|≤ R≥ E{supt∈[0，ρ]|Yt-S（h）t|≤R} W监督∈[0，T-ρ] | YYρ，ρt- SYρ（τρh）t|≤R≥ W监督∈[0，ρ]|Yt- S（h）t|≤ R英菲∈B（S（h）ρ，R）W监督∈[0，T-ρ] |Yy，ρt- Sy（τρh）t|≤R（A.15）我们想证明limε→0infy∈B（S（h）ρ，R）Wsupt∈[0，T-ρ] |Yy，ρt- Sy（τρh）t|≤R！=1（A.16）根据假设S（h）t>0得出t>0和映射（y，h）7的连续性→ Sy（h）如果R，R足够小*:= 英菲∈B（S（h）ρ，R）inft∈[0，T-ρ] Sy（τρh）t-R> 0。（A.17）将Uy，ρ定义为SDE的唯一强解：Uy，ρt=y+Zt~bεu（Uy，ρs）+σ（1）- γ） ˙hs+ρds+εσ（1）- γ） Bt，式中bεu（y）=如果y，则bε（y）≥ Y*β(1 - γ） y+（1）- γ)ε1-γα(ε-(1-γ） （y）*)(1-γ） ）（y*)γ1-γ-σγ(1-γ） εy*如果y<y*.然后有一个监督∈[0，T-ρ] |Yy，ρt- Sy（τρh）t|≤R= W监督∈[0，T-ρ] |Uy，ρt- Sy（τρh）t|≤R. （A.18）现在，我们观察到，buε在全球范围内是Lipschitz连续的ε>0和Cε：=supy∈R | bεu（y）- β(1 - γ） y|→ 0，Gronwall引理的一个应用监督∈[0，T-ρ] |Uy，ρt- Sy（τρh）t|≤ （CεT+2εσ（1）- γ)√T）exp（|β（1）- γ） | T）。（A.19）让ε→ 应用马尔可夫不等式，观察到（A.19）的右边不依赖于y，我们证明了（A.16）。通过让ε→ 在（A.15）中0，并在（A.13）和（A.16）中应用，则完成了对表3.10的证明。证据（A.12）。观察到，Z:=εZ是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，~Zt=x1-γ+μεt+β（1）- γ） ZtZsds+σ（1）- γ） Bt（A.20），其中με：=ε(-cε+σ（1）-γ） k）=-c+σ（1）-γ） kε。定义Z后，W（Tε（Z）立即≤ T）=W输入∈[0，T]~Z≤x1-γ.

~Z的显式表示读取~Zt:=x1-γeβ（1）-γ） t+fε（t）+σ（1）- γ） exp（β（1- γ） t）Ztexp(-β(1 - γ） s）带fε（t）的dBs（A.21）=-uε(1-exp（β（1-γ） t）β（1-γ). 考虑具有τε的确定时间τε→ 0为ε→ 0，将在上选择preciselylater。注意fε是τε的递减函数≤ T≤ T一个有Zt≥ fε（τε）- σ(1 - γ)Ztexp(-β(1 - γ） s）星展银行; （A.22）因此，使用马尔可夫不等式和杜布不等式输入∈[τε，T]~Zt≤ x1-γ/2≤ Wsupt∈[τε，T]σ（1）- γ)Ztexp(-β(1 - γ） s）星展银行≥ fε（τε）- x1-γ/2!≤ Cσ（1）- γ)fε（τε）- x1-γ/2-1ZTexp(-2β(1 - γ） s）ds！。现在，选择τε=√ε表示fε（τε）~ uετε→ ∞ asε→ 0，所以fε（τε）- x1-γ/2-1.→ 0.另一方面，输入∈[0，τε]~Zt→ x1-γa.s.asε→ 0，因此W输入∈[0，τε]~Zt≤ x/2→ 0为ε→ 0，这一说法得到了证实。参考文献[1]M.Abramowitz和I.A.Stegun。数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。纽约多佛，第十版，1972年。[2] 安徒生和皮特堡。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，2007年11:29-50。[3] R.阿森科特。Grandes déviations et applications。圣弗洛尔八世至1978年高等教育学院，数学课堂讲稿第774卷，第1-176页。施普林格柏林/海德堡，1980年。[4] 巴尔迪和卡拉梅利诺。弗雷德林·温策尔将军：存在较大的偏差和积极的分歧。《统计与概率快报》，81:1218-12292011。[5] G.本·阿拉斯。在切分位点的椭圆下凹处发育无症状。《普通高等学校科学年鉴》，4（21）：307-3311988年。[6] N·H·宾厄姆、C·M·戈尔迪和J·L·泰格尔。有规律的变化。剑桥大学出版社，剑桥，1987年。[7] J.-M.铋。大偏差和Malliavin演算。伯卡苏尔，波士顿，1984年。[8] A.基亚里尼和M.费舍尔。关于小噪声的大偏差，这是一个复杂的过程。

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