（B.1），我们得到[Zn（β，X）]=（2π）pnZ∞-∞nYa=1dwaP（wa）duadvaexpipXu=1nXa=1uuavua-βpXu=1nXa=1vua！EX“exp-我√NpXu=1nXa=1NXi=1uuaxiuwia！#，（B.6）其中ua=（u1a，··，upa）T∈ Rp和va=（v1a，·vpa）T∈ Rp，（a=6501,2，·n）。由于回报率xiu以标准正态分布独立且相同地分布，因此xiuisE的期望值“exp-ixiu√NnXa=1uuawia！#=经验-2NnXa=1uuawia！（B.7）其中∞-∞dx√2πσe-（十）-m） 2σ+ixθ=eimθ-σθ. 因此我们得到[Zn（β，X）]=（2π）pnZ∞-∞nYa=1dwaP（wa）duadvaexpipXu=1nXa=1uuavua-βpXu=1nXa=1vua-2NpXu=1NXi=1nXa=1uuawia！. （B.8）然后我们替换qwab=NNXi=1wiawib（B.9），得到655-2NpXu=1NXi=1nXa=1uuawia！=-pXu=1nXa=1nXb=1uuauubqwab。（B.10）通过这种技术，我们得到[Zn（β，X）]=ExtrQw，~Qw（（2π）pnZ∞-∞nYa=1dwaP（wa）duadvaexpipXu=1nXa=1uuavua-βpXu=1nXa=1vua-pXu=1Xa，buuauubqwab-Xa，bqwabNXi=1wiawib- Nqwab！, （B.11）式中，pA、bmeansPna=1Pnb=1和ExtrAf（A）是f（A）相对于A的极值。为了满足等式（B.9）中的约束，我们使用辅助变量qwab。此外，Qw={qwab}∈ Mn×nandQw={qwab}∈ Mn×n表示序参数矩阵。我们可以把uua，vua的积分和wka的积分分开。我们计算了uua，vua，（2π）pnZ的积分∞-∞pYu=1nYa=1duuadvuaexppXu=1inXa=1uuavua-βnXa=1vua-Xa，buuauubqwab=（2π）nZ∞-∞杜德维乌特-β-vTv-乌特克乌p=exph-plog det | I+βQw | I，（B.12）其中I∈ Mn×nis表示单位矩阵。因为这与塞纳里奥指数u无关，所以我们可以使用两个新的向量u=（u，··，un）T来估计积分∈ Rn和v=（v，·，vn）T∈ 注册护士。

另一方面，我们可以计算wka，Z的积分∞-∞NYk=1nYa=1dwkaP（wa）exp-NXk=1Xa，b＠qwabwkawkb+NTrQw＠Qw= Extrk（2π）N nZ∞-∞NYk=1nYa=1dwkaexpnXa=1kaNXk=1wka- N-NXk=1Xa，b＠qwabwkawkb+NTrQw＠Qw= Extrkexp-NkTe+NTrQwQw（2π）nZ∞-∞德威-wTQw+kTwN=Extrkexp-NkTe+NTrQwQw-非直瞄发射~Qw+NkT)Q-1周,（B.13）式中k=（k，··，kn）T∈ Rn，e=（1，·，1）T∈ Rn，w是投资组合的先验概率，P（wa）由Extrakaexp代替灵魂PNk=1wka- N-Nlog 2π,因为这不依赖于资产指数k，我们可以用一个新的向量w=（w，··，wn）T来求解积分∈ 注册护士。670我们总结了这一点，并将对数E[Zn（β，X）]的限制改写为Φ（N）：Φ（N）=limN→∞Nlog E[Zn（β，X）]=Extrk，Qw，~Qw-αlog det | I+βQw |+TrQwQw-日志数据~Qw-kTe+kT~Q-1周. （B.14）尽管需要大量投资网点N，以确保通过使用订单参数ka、qwab、~qwabas定义的公式（B.11）和公式（B.13）进行评估符合公式（B.9）和675EQ的约束条件。（2） 在副本分析中，我们的目标指标ε代表每项资产的最低投资风险；也就是说，由于这与系统大小N无关，因此当N接近完整性时，限制内不会有问题ms。对于不同规模的投资市场，最好能够将每项资产的投资风险标准化，这样就可以比较潜在的投资风险。我们注意到两点。首先，在第4.2小节中，我们已经提到ε（X）=E[ε（X）]，因为投资风险是自平均的。

从上述讨论中，我们验证了E[ε（X）]=- limβ→∞β画→∞NE[logz（β，X）]= - limβ→∞β画→0Φ（n）N= - limβ→∞β-α对数α- 1.-β(α - 1)+-对数β（α）- 1)=α - 1，（B.15）其中，我们假设副本数n是一个连续数，并且we685使用副本技巧E[log Z]=limn→0nlog E[Zn][12,13,19]。这一结果与式（51）一致。第二，从公式（B.9）中的定义来看，由于QWAAI与集中投资水平qwin公式（5）一致，qw=qwaa=β（α-1)+αα-1.然而，由于这是一个具有足够大β的最佳解决方案，690qw=αα- 1.（B.16）虽然我们使用复制分析来分析最小的投资风险，但我们也可以获得最优投资组合的集中投资水平。幸运的是，在非常大的N的限制下，QWI有限；因此，使用公式（2）作为预算约束是有好处的。附录C.最小投资风险的随机矩阵法695和集中投资水平我们在此表明，通过使用随机矩阵的符号特征值分布，也可以评估两个指标ε和qw[22]。在上述讨论中，我们将只考虑α=p/N>1的情况，以便确定式（1）的最优解。使用等式（3）中定义的最优解700，从等式（13）和等式（14）中，替换最小投资风险pe rassetε和集中投资水平qware，a s如下：ε=NeTJ-1e, （C.1）qw=NeTJ-2eNeTJ-1e. （C.2）如果N足够大，我们有ε=2g（1），（C.3）qw=g（2）（g（1）），（C.4），其中g（s）=limN→∞NeTJ-东南方。如果我们能分析g（s），那么ε和qw就可以精确地确定。

事实证明，使用705随机矩阵系综很容易评估g（s）。对于这个随机矩阵集合，我们需要以下两个性质：（1）当随机矩阵X=nxku时√不∈ MN×pis分解为asX=UDV，其中U∈ MN×Nand-V∈ Mp×pare正交矩阵与d∈ MN×pis为对角矩形矩阵，则U和V以Haar测度独立分布；（2） 当N足够大时，对于任意返回率矩阵X，方差e-协方差矩阵J=XXT的特征值分布渐近接近ρ（λ）=limN→∞PNk=1δ（λ）-λk），其中λkis是DDT的第k条对角线=diag{λ，λ，···，λN}∈ MN×N；如果Nand p同时接近单位，则要求α=p/N~ O（1）.715如果这两个性质满足，则g（s）=Z∞dλρ（λ）λ-s、 （C.5）此外，如果回报率独立且以标准正态分布均匀分布，则随机矩阵X满足上述随机矩阵集合的要求[18,22]。接下来，我们考虑渐近特征值分布。如果返回率xku是独立且相同分布的，其均值和方差分别为0和1，高阶矩是有限的，即| E[（xku）s]|<∞, （s=3,4，··），然后方差-协方差矩阵的特征值分布J=XXTof回报率ma trix=nxku√不∈MN×pis在符号上接近725ρ（λ）=[1- α] +δ（λ）+q[λ- λ-]+[λ+- λ] +2πλ，（C.6），其中δ（u）是Dir ac delta函数，[u]+=max（0，u），λ±=1+α±√α[2, 1 0, 21].

这个特征值分布ρ（λ）被称为Marˇcenko-Pasturlaw，这个分布可以被视为Igenvalues的极限分布，类似于由中心极限理论m保证的极限分布（正态分布）。这个分布中的特征值可以很容易地计算：g（1）=λ++λ-pλ+λ--=α - 1（C.7）g（2）=pλ+λ-λ--λ+!=α(α - 1） ，（C.8）其中ZDX√ax+bx+c=-p | a | sin-12ax+b√B- 4ac，（a<0）（C.9）Zdxx√ax+bx+c=p | c | sin-12c+bxx√B- 4ac（c<0）。（C.10）因此ε=α- 1（C.11）qw=αα- 1.（C.12）该结果与我们通过复型分析和数值模拟得到的结果一致。735参考文献[1]Amit，D.J.，H.古特弗伦德，H.索姆波林斯基，1987年。《饱和附近神经网络的统计机制》，物理学年鉴，173（1），30-67。[2] 白，Z.，西尔弗斯坦，J.W.，2010年。大维随机矩阵的谱分析，Springe r.740[3]Cherno Aff，H.，1952年。基于观测值之和的假设检验的渐近有效性度量，数理统计年鉴23（4），493-507。[4] 西利贝蒂，S.，M\'ezard，M.，2007年。《通过投资组合应用实现风险最小化》，《欧洲物理工程》B.，57（2），175-180.745[5]迪克西特，A.K.，r.S.平迪克，1994年。《不确定性下的投资》，普林斯顿大学出版社。[6] 加拉格，R.G.，1968年。《信息理论与可靠沟通》，约翰·威利父子出版社，纽约。[7] 河野，H.，山崎，H.，1991年。平均绝对偏差组合优化模型及其在东京股市的应用，《管理科学》，37（5），519-531。[8] Luenberger，D.G.，1997年。《投资科学》，牛津大学出版社。[9] 马，S-K.，2000年。《现代批判现象理论》，西维出版社。[10] 1967年，洛杉矶帕斯托尔，V.A.马伦科。

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投资组合优化问题的随机矩阵方法785，日本工业管理协会杂志，65（1）。1 2 3 4 5 6 7 8基于Orepsilon的QWEpsilon QW基于ORalpha=p/n图1：投资风险ε和集中投资水平qware显示了回报率xku以标准正态分布独立且相同分布的情况。横轴表示情景比率α=p/N，纵轴表示投资风险和集中投资水平qw。两条实线（我们提出的方法获得的结果）和两条虚线（运筹学方法获得的结果）是理论结果。带有误差条的标记是根据随机分配的返回率，使用最佳解决方案评估的数值结果。在模拟中，投资渠道N的数量为10个，平均100个回报率矩阵X=nxku√不∈ MN×p。该图表明，我们提出的方法（实线）得到的结果与数值结果（带有误差条的标记）是一致的。另一方面，运筹学方法（虚线）得出的结果与其他方法不一致。因此，不幸的是，基于期望效用最大化的方法无法提出最优投资策略。