均值方差最小投资风险的自平均性

2022-5-6 03:46:37

秋田县大学系统科学与技术研究生院管理科学与工程系，shinzato@akita-浦。在投资组合优化问题中，最小预期投资风险并不总是小于最小预期投资风险。也就是说，使用运筹学中广为人知的方法，可以得出一种将预期投资风险降至最低的策略，但这种策略并不总是产生最佳的资产回报率。在做出投资决策之前，投资者必须了解潜在的最小投资风险（或预期的最小投资风险），并确定将资产回报率最大化的策略。我们使用自平均特性来分析潜在的最小投资风险和提供最佳回报率的策略的共同投资水平。我们将我们的方法所得结果与运筹学方法所得结果以及使用最优por tfolio进行数值模拟所得结果进行了比较。我们的方法和数值模拟的结果是一致的，但它们与运筹学的方法不同。关键词：均值-变量模型，自平均特性，复制分析，概率不等式，最大化期望效用1。简介投资是最常见的经济活动之一，它被定义为一种预期未来收益将超过成本的活动[5,8,11]。投资中涉及的不确定性不能预先打印提交给《欧洲运筹学杂志》（European Journal of Operational Research，2018年8月24日），一般来说，风险越大，预期的回报就越大。

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2022-5-6 03:46:40

本文考虑投资组合优化问题，它是投资风险管理的数学公式。港口组合优化问题基于风险分散管理框架，该框架由Markowitz于1952年提出；这是数学金融领域一些最重要、最活跃的研究课题，已经提出了10个不同的模型[7,8,11,15]。例如，马科维茨建议阿鲁尔投资几种证券，以实现多样化。例如，该规则规定，当预期收益和投资资产不变时，最佳策略将收益（投资风险）的方差最小化。Markowitz还分析得出了将投资风险降至最低的投资策略15。K onno和Yamazaki提出了平均绝对偏差模型，其风险函数不是由收益率的变化来定义的，而是作为每个时期绝对误差的总和；还表明，均值-方差模型和均值-绝对偏差模型的最优解是一致的[7]。Rockafellar和Uryasev提出了一个预期缺口模型20，该模型基于一个衡量不低于所选置信水平的风险的指数；该模型考虑了总收益随机波动的下行风险[15]。近几十年来，投资组合优化问题的研究采用了在25运筹学以外的跨学科领域发展起来的分析方法[4,14,16,22]。Ciliberti和M’ezard使用自旋玻璃理论中发展的复制a分析方法来分析平均绝对偏差模型和预期短期下降模型的风险函数的典型行为[4]。

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2022-5-6 03:46:43

Pafka和Kondor比较了由30个交易市场获得的回报率确定的方差-冠状病毒nc e矩阵的特征值分布与假设独立回报率获得的极限分布；他们还定量分析了在数学统计中发展起来的随机矩阵理论与量子混沌之间的相关性[14]。Shinzato和Yasuda使用了一种被开发为解码算法的信念传播方法来创建一种算法，该算法可以得出最优解，计算复杂度与投资资产数量的平方成正比[16]。Wakai、Shinzato和Shimazakia分析了使用最小投资风险时的典型行为，以及Mar kowitz的均值-变量模型的集中投资水平，在该模型中，随机矩阵集合的收益率独立于正态分布、均匀分布和指数分布，且分布相同[22]。尽管研究使用了随机矩阵理论和统计机械信息学的方法来分析港口优化问题的潜在风险[12]，这是在没有数学证明的情况下完成的，即45投资风险的自平均特性和集中投资水平可用于有效评估最佳解决方案（将进一步讨论自平均值，但其值较低）[17]。然而，这些指标是否为自平均值并不明显。此外，如果它们是自平均的，那么可以用这种方法分析一个投资系统的潜在r，但确定是否是这样很重要，因为结果并不总是与运筹学得出的结果一致。

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2022-5-6 03:46:47

因此，有必要系统地考虑这些问题。因此，在本文中，我们提供了自平均性的数学证明，并讨论了在投资组合优化问题的操作研究方法中广泛使用的分析方法的有效性。为此，我们使用概率框架重新构造了投资组合优化问题m。为了优化随机现象，我们还考虑了两种场景，这两种场景之前都没有讨论过。我们引入自平均的概念，然后用它来分析投资系统的潜在风险，并确定最佳投资策略。通过与标准运筹学方法和数值模拟的结果进行比较，我们验证了我们提出的方法，最后，我们总结了使用运筹学方法解决这种数学结构问题的问题。65.本文的组织结构如下。在下一节中，我们对投资组合优化问题进行数学模拟，并讨论一个优化随机现象的简单博弈；这就提出了我们将用来分析投资系统潜在风险的观点。第3节介绍了我们将使用的概念，如统计力学和概率不等式的概念，并总结了自平均特性，这是最优投资策略的一个重要特征。在第4节中，我们展示了我们的结果，并将其与上面讨论的其他方法进行了比较。在最后一节中，我们总结并讨论了未来的工作领域。2.随机现象的模型设置和优化752。1.

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kedemingshi

2022-5-6 03:46:50

Markowitz的均值-方差投资组合选择在本小节中，我们介绍了均值-方差模型，它是投资组合优化问题最常用的模型之一。我们开始建立一个稳定的投资市场，有N个投资渠道，其中wk表示资产k（=1，···，N）的投资组合（或投资比率），80x′ku表示场景u（=1，··，p）中资产k的回报率。但是，为了简单起见，我们不包括卖空，也就是说，-∞ < wk<∞, 我们假设每个集合的收益率概率分布是已知的。在Markowitz的均值-方差模型中，在给定的p情景下，投资风险被定义为sc enarioPNk=1x′kuwk的总回报85与其预期Pnk=1E[x′ku]wk之间差异的平方和；通过最小化风险来确定投资策略会产生对冲。也就是说，一个资产为N的投资组合的投资风险w=（w，··，wN）T∈ RNis definedash（w | X）=2NpXu=1NXk=1x′kuwk-NXk=1E[x′ku]周=pXu=1√NNXk=1xkuwk！，（1）其中T表示矩阵或向量的转置，E[f（x）]表示f（x）的期望值。由于我们假设每项资产收益率的概率分布已知，因此我们将收益率表示为xku=x′ku- E[x′ku]和返回率矩阵为x=nxku√不∈ MN×p.此外，请注意，尽管我们引入了系数nin等式。

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大多数88

2022-5-6 03:46:53

（1）为了简化下面的讨论，因为Cpnk=1xkuwk是N个随机变量xkuwk（wk可以解释为一个随机变量的系数xku）的总和，即使我们不假设资产的回报率是独立的，如果w是固定的，回报率之间的相关性很小，回报率的第三个和更高的时刻是有限的，然后，我们预计随着投资渠道数量的增加，vu=√根据中心极限定理，NPNk=1xkuwkasymp-100总体上接近多维高斯分布。在均值-方差模型中，在没有约束条件（如预算）的情况下，通过最小化风险函数H（w | X）和w=·wN=0，可以得到一个明显的最优投资组合。因为这相当于不投资，所以不存在投资风险；然而，在本文中，我们使用了预算约束Tnxk=1wk=N。（2）此外，尽管在实际的资产管理中，除了预算约束之外，还需要施加预期的回报约束，为简单起见，我们将只考虑预算约束。因此，投资组合优化问题被表述为确定使H（w | X）最小的投资组合w，即等式（1）中的风险函数，并带有等式（2）的约束。在p>N的情况下，可以解析地确定最优解：w=NJ-1eeTJ-1e，（3）其中单位向量e=（1,1，··，1）T∈ RNand J-1是方差协方差矩阵J={Jij}=XXT的倒数∈ MN×N，其中矩阵j的元素i，j为115jij=NpXu=1xiuxju。（4）如果p≤ N，因为矩阵J不是正则矩阵，所以这个投资组合优化问题的最优解不能唯一确定。使用等式中H（w | X）的定义。

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2022-5-6 03:46:56

（1），对于每种情况，我们可以估计总收入sPNk=1x′kuwk与其预期PNK=1E[x′kuwk]wk之间差异的平方和；这可以解释为投资组合w的投资潜力，集中投资水平QWI定义如下[4,16,22]：qw=NNXk=1wk。（5）投资策略w=（1，1，·，1）T∈ RN，我们得到qw=1；例如，对于集中投资策略，只在集合1中投资，w=（N，0，·，0）T∈ RN，因此得到qw=N；如果一个投资者平均投资1250万个NP可能的网点，qw=N/m。因此我们有qw- 1=NNXk=1wk-NNXk=1wk=NNXk=1wk-NNXk′=1wk′！，（6）当投资组合w接近均分时，QWD变为1，当它接近集中投资策略时，QWD变为1。我们注意到，尽管Pnk=1wk=1在运筹学中被广泛用作预算约束，但在本文中我们不使用。由于运筹学中广泛使用的带预算约束的投资组合优化问题的最优解是w=（w，w，·，wN）T∈ 式（2）中定义的最佳解为wN=（wN，wN，·，wN）T∈ RN，证明了wi/wj=wNi/wNjis的关系，即在每种方法的最优投资组合中，投资比率是一致的。此外，当使用公式（2）的预算约束时，集中投资水平qwc可以被解释为多元化的一个指标。在这一小节中，我们从不同的角度来考虑这个优化问题。我们分析了均值-方差模型的最小投资风险ε和140集中投资水平qwo的行为，并讨论了在运筹学方法中尚未解决的随机现象的优化问题。让我们考虑一下著名的石头剪刀游戏的以下变体。

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2022-5-6 03:46:59

规则1：两名受试者，爱丽丝和鲍勃，玩石头剪刀300次。规则2：爱丽丝可以自由选择展示石头、剪子或剪子。另一方面，鲍勃的选择是通过掷一个公平的骰子来随机分配的：当骰子显示1或2时用石头，3或4时用纸，5或6时用剪刀。此外，爱丽丝知道鲍勃的选择是由骰子随机独立决定的。规则3：胜利者加一分，失败者减一分，如果他们平局，分数没有变化。我们现在要考虑的是，爱丽丝是否会赢得总冠军。（a）两名受试者同时伸出手来表示摇滚乐、纸牌或歌曲。首先，我们考虑普通情况。由于爱丽丝不知道鲍勃的学校，她认为每种可能性都有同等的可能性。因此，如果Alice155也根据掷骰子进行选择，则所需的预期总分将为0。类似地，如果爱丽丝只选择摇滚乐，预期分数将为0。我们将使用以下符号：rA（resp.rB）是爱丽丝（resp.Bob）选择石头的概率，pA（resp.pB）是爱丽丝（resp.Bob）选择纸的概率，sA（resp.sB）是爱丽丝（resp.Bob）选择剪刀的概率；请注意，对于每个玩家，所获得的总SCORE的期望值为0。也就是说，如果Alicedoes事先不知道Bob的选择，他们两人都不会赢（因为有足够多的试验），而且他们的预期是平局的。然而，如果Bob选择的概率不相等（例如，（rB，pB，sB）=（2/3，1/6，1/6）），那么Alice sho可以选择（rA，pA，sA）=（0，1，0）。在这种情况下，Alice的预期总165Acquired分数为150。

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能者818

2022-5-6 03:47:02

一般来说，即使Alice事先不知道Bob的选择，但如果她知道Bob选择的可能性，她也可以通过这样一种方式进行选择，以最大化她的预期分数。（b）爱丽丝事先知道鲍勃的选择。现在我们来考虑一下，在了解Bob将展示什么之后，Lice做出了选择。她的目标是最大化她对总分的期望。加上训练，她的期望总成绩将大于0；如果没有限制，它将是300。（c）石头、布和剪刀的选择次数受到限制。我们现在考虑这样一种情况：爱丽丝的选择是重新组合的；例如，它们必须选择相同次数175（即100次）。在这个约束条件下，对于案例（a）（Alice事先不知道Bob的选择）来说，acquire d的预期总分是0，但是对于案例（b）（Alice事先知道Bob的选择），它是500/3。也就是说，如果她有先验知识，她可以采取保护措施。（d）五套300色离子。最后，我们考虑两个受试者180玩五套300 ga mes的情况。如果Alice事先不知道Bob的选择，则此处预期的acquire d总分再次为0。如果她有事先的知识，并且没有限制，她的预期分数是1500分。如果存在这样的限制，Alice每次都必须做出相同的选择，那么她对案例（a）的预期分数为0（Alice事先不知道Bob的选择），但对案例185（b）的预期分数为5000/9（Alice事先知道Bob的选择）。

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2022-5-6 03:47:05

在案例e（c）（Alice的选择受到限制）中，很容易发现Alice对案例（a）总得分的期望值并不比案例（b）大。总之，对于案例（c）（Alice的选择受到限制）和案例（d）（300场比赛的五盘，Alice每次都做出相同的选择），如果Alice190事先知道Bob的选择，她的分数将高于不知道的情况。也就是说，如果爱丽丝事先知道，她可以制定出更好的策略。我们想再提一点，下面将进一步讨论。案例（a）和（b）（Alice分别不知道或不知道195Bob的选择）类似于统计力学中退火和淬火无序系统的圆盘使用[9,12]。在退火无序系统中，首先使用无序无序系统中的随机X对指示剂f（w | X）进行平均，然后优化平均指示剂E[f（w | X）]以评估系统的行为。在石头剪子的例子中，指标r200f（w | X）对应于爱丽丝的总分，w对应于爱丽丝的学校（或策略），随机X对应于Bo b的选择，a和c ase（a）对应于退火无序系统。另一方面，在猝灭性疾病系统中，f（w | X）首先受到限制和随机X的优化，随机X包含在无序系统中，然后使用随机X对优化指标205进行平均，以评估该系统的行为；这与岩石剪纸的例子（b）相对应。更一般地说，当为随机现象优化指标f（w | X）时，重要的是平均和优化发生的顺序。在最大化时，需要精确估计两种指标，fa=maxwE[f（w | X）]210和fq=E[maxwf（w | X）]。

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2022-5-6 03:47:08

因为对于任何w，maxwf（w | X）≥ f（w | X）对任意随机X保持不变，以确定fa和fq的相对大小，一个平均两边，然后最大化右边。左侧不需要最大化，因为fq得到了一个定义值≥ 足总。当最小化时，我们得到fa=minwE[f（w | X）]和fq=E[minwf（w | X）]，并且通过与上述类似的方式，我们得到了fa≥ fq，即minwE[f（w | X）]≥ Ehminwf（w | X）i.（7）2.3。投资组合优化的运筹学方法从上述论点中，我们看到，退火无序系统的随机现象优化处理方式不同于淬火无序系统。利用这个核心概念，让我们重新考虑投资组合优化问题。在投资组合优化问题的标准操作分析方法研究中，首先将风险函数H（w | X）与资产回报率平均，然后以预算常数最小化风险函数E[H（w | X）]的预期。这里，为了简单起见，我们假设回报率是独立的，相同的分布，具有标准的225正态分布。因此，资产与资产之间的相关性预期为[Jij]=pNi=j0 i 6=j.（8）使用该函数，预期投资风险函数E[H（w | X）]，资产回报率isE[H（w | X）]=αNXk=1wk，（9）其中使用的比率α=p/N。此外，从该模型的对称性出发，利用式（2）的预算约束，式（9）的最优投资策略描述了均分投资策略。每项资产的最低预期投资风险ε或=NminwE[H（w | X）]被评估为以下值：ε或=α。（10）集中投资水平qORwisqORw=1。

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2022-5-6 03:47:12

（11）这种在运筹学中广泛使用的分析方法，并不能为实际市场中的最优投资策略提供洞察；其原因不仅在于该模型通过假设收益率是独立的、同分布的、标准正态分布来简化。由于这种分析方法相当于两个受试者和退火无序系统的岩石纸剪刀游戏中的案例（a），因此不清楚这种方法是否可以用于最小化关于真实个人收益率矩阵X的投资风险H（w | X），即w=arg minwH（w | X）。特别是，e质量参数arg minwH（w | X）=arg minwE[H（w | X）]并不总是确定的。正如我们在石头剪刀游戏中讨论的那样，如果我们用回报率平均投资风险，我们可以避免优化个人回报率的复杂性；另一方面，这种方法并没有基于个人收益率来评估最优策略。尽管在数学上无法保证最小预期投资风险的解决方案能够优化每套收益率H（w | X）的投资风险，但这种方法在运营研究中被广泛使用，可能会提供误导性的投资策略。另一方面，让我们考虑两个受试者和猝灭无序系统的岩石剪纸AMEG中的情况（b）。在一个稳定的投资市场中，即使在u=0时，人们已有关于下一时期（u=1至u=p）各资产回报率概率分布的先验信息，255由于不可能知道实际回报率，因此很难选择最佳投资策略。

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2022-5-6 03:47:14

然而，如果我们有关于回报率的先验信息，如石头剪纸例子中所讨论的，我们可以最小化投资风险并获得最佳投资策略。特别是ifp/N≤ 1，因为众所周知，最优解是方差协方差矩阵J最小特征值的260个特征向量的线性和，每项资产的投资风险为0，因为矩阵J的最小特征值为0，因为J是非奇异的。接下来我们考虑集中投资水平qw。设V为样本方差的方差pPPu=1xku；其评估如下：V=EppXu=1xku-ppXu=1E[xku]！=Nα。（12）当α=p/N较小时，V较大，应积极投资于蓝筹股，其回报率的样本方差小于其他N个投资渠道的样本方差；通过这种方式，风险降低，最优投资策略渐近接近集中投资策略，即qw>> 1.当p/N>1时，使用等式（3）的最优解，可以分析评估两个指标S270。也就是说，每项资产的最小投资风险ε（X）和集中投资水平qw（X）可以写为：ε（X）=NH新泽西州-1eeTJ-1e十、=N2（eTJ）-1e），（13）qw（X）=N新泽西州-1eeTJ-1eT新泽西州-1eeTJ-1e=NeTJ-2e（eTJ）-1e），（14）其中，我们使用显式回报率矩阵X=nxku√不∈ MN×pas这是一个论点，因为这些指标取决于回报率矩阵。方差矩阵J=XXT∈ MN×NHA已经确定。在实际275项投资中，假设公平交易，由于我们事先不知道实际回报率，我们无法准确确定这两个指标。然而，我们可以评估投资系统中以前的风险，从而支持投资者的策略。为了提供有用的信息，我们需要精确地分析ε（X）和qw（X）。

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2022-5-6 03:47:18

出于本文所述的原因，我们假设在初始阶段，我们对收益率有预先了解；虽然这个假设是不可能的，但我们注意到，我们将在下面展示，评估投资系统的潜力时不需要这个假设。虽然为了评估投资市场的潜在风险，我们需要评估最优解或方差协方差矩阵的倒数，但很难做到这一点，因为求逆矩阵的计算复杂度与矩阵大小N（即投资网点的数量）的立方成正比。此外，我们需要为每个再投资率找到每个投资矩阵，以评估每组的最小投资风险；然而，如果最小投资风险随回报率随机变化，我们需要用收益率集X对最小投资风险进行平均。我们现在注意，我们可以使用自平均特性简化对潜在投资风险的评估。3.准备工作我们首先准备一些数学工具，以便讨论最小投资风险的自平均特性。3.1. 统计力学首先，利用统计力学中广泛使用的逆温度β（>0）的玻尔兹曼分布，在给定回报率矩阵X，P（w | X）的情况下，投资组合w的后验概率定义如下：300P（w | X）=P（w）e-βH（w | X）Z（β，X），（15），其中，如果投资组合w满足等式（2），则先验概率P（w）为1，否则为0；E-βH（w | X）是似然函数；分区函数Z（β，X）是一个标准化的d常数，定义如下：Z（β，X）=Z∞-∞dwP（西）东-βH（w | X）。

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2022-5-6 03:47:22

（16）由此可知，后验概率P（w | X）满足概率测度的性质，即P（w | X）≥ 0安德烈∞-∞dwP（w | X）=1.305此外，众所周知*= arg maxwP（w | X）与通过最小化投资风险函数H（w | X）得到的投资组合是一致的，它是通过最大后验估计得到的。通过取逆温度β的极限，我们得到了limβ→∞P（w | X）=NYi=1δ（wi）- W*i），（17）其中w*i是资产的最佳投资比率i。因此，我们可以使用后验概率（w | X）平均投资组合w和投资风险H（w | X），并允许逆温度β变得足够大：w*= limβ→∞Z∞-∞dwP（w | X）w（18）H（w）*|十） =limβ→∞Z∞-∞dwP（w | X）H（w | X），（19），其中δ（u）是狄拉克δ函数，这适用于任何函数f（X），例如f（X）=R∞-∞dyf（y）δ（y）-x）（见附录B）。根据这种重新表述，并使用公式（15）中定义的后验概率，可以使用概率推理框架解决投资组合优化问题。3.2. 切尔诺夫不等式接下来，我们介绍一种概率不等式，切尔诺夫不等式，如下所示。对于具有已知概率测度和常数η的随机变量Y，η≤ Y满足以下不等式320，对于任何u>0为[3,6]：P r[η≤ Y]≤ E-uηE[euY]。（20）这很容易证明；例如，考虑阶跃函数Θ（W），如果W为1≥ 否则为0和0。首先，对于u>0，我们得到Θ（W）≤ 嗯。由此，我们导出pr[η≤ Y]=E[Θ（Y）- η)] ≤ E-uηE[euY]。此外，forP r[η≥ Y]，我们得到pr[η≥ Y]≤ E-uηE[euY]对于u<0.325，从式（20）中，我们可以得出一个tig-hter上限。因为右手在eq。

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2022-5-6 03:47:25

（20）对于任意的u>0，右端必然存在一个极小值，我们得到r[η≤ Y]≤ 分钟>0E-uηE[euY]= E-R（η）。（21）这里R（η）是速率函数，定义为R（η）=maxu>0uη- 日志E[euY]. （22）累积生成函数φ（u）=loge[euY]是u，330的凸函数，由凸函数的勒让德变换定义的速率函数R（η）也是凸函数。我们也知道R（η）是非负的，如果η为，R（η）=0≤ E[Y]，如果η>E[Y]，则R（η）>0。速率函数的这些性质在附录A.3.3中得到了证明。大偏差理论支持的自平均性质335当投资组合w取决于等式（15）中定义的后验概率P（w | X）时，每项资产的投资风险（w | X）小于或等于一个常数的概率满足切罗夫不等式；也就是说，P rNH（w | X）≤ ~ε= E[Θ（N)ε- H（w | X））]=R∞-∞dwP（w | X）Θ（N)ε- H（w | X））满意度340P rNH（w | X）≤ ~ε≤ EheNβε-βH（w | X）i=eN)βεZ（β+)β，X）Z（β，X）。（23）这里，β是一个正数，Z（β+β，X）由公式（16）定义（β替换为β+β）。因此，等式（23）的更紧上界的概率不等式是使用以下速率函数导出的：R+（β，＠ε，X）=max＠β>0-~β~ε -Nlog Z（β+～β，X）+Nlog Z（β，X）, （24）我们有PRNH（w | X）≤ ~ε≤ E-NR+（β，ε，X）[20]。同样地，对于H（w | X）的概率≥ ε，prNH（w | X）≥ ~ε, 因此P rNH（w | X）≥ ~ε≤345e-NR-（β，~ε，X）是用速率函数表示的-（β，ε，X）=最大β<0-~β~ε -Nlog Z（β+～β，X）+Nlog Z（β，X）. （25）为了分析式（24）和式（25）中的速率函数，还需要根据式（24）和式（25）中的定义，评估sNlog Z（β+～β，X）和NLOG Z（β，X），这取决于回报率矩阵X。

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能者818

2022-5-6 03:47:29

（16）分析评估这些配分函数比分析评估最优解更困难。350为了解决这一难题，我们考虑对数Z（β，X）或Helmho ltz自由能f（β，X）的累积分布，如以下等式所定义：f（β，X）=-Nβlogz（β，X）。（26）亥姆霍兹自由能f（β，X）随返回率矩阵X的概率随机变化。因此，有必要评估亥姆霍兹自由能及其速率函数的切尔诺夫不等式：P rhf（β，X）≤~fi≤ eNnβ~fE[e-Nnβf（β，X）]=eNnβ~fE[Zn（β，X）]，（27），其中n>0已经定义。以类似的方式，我们得到了p-rhf（β，X）≥~fi≤ eNnβ~fE[Zn（β，X）]，（28），其中n<0。最后，我们得到了两个概率不等式P-rhf（β，X）≤~fi≤E-NR+（β，f）和P-rhf（β，X）≥~fi≤ E-NR-（β，f），其中r+（β，f）=maxn>0-nβИf-nloge[Zn（β，X）], （29）R-（β，~f）=maxn<0-nβ~f-nloge[Zn（β，X）]. （30）在这两种情况下，都需要分析E[Zn（β，X）]。3604。复型分析和数值模拟4。1.与本小节中的Hop fi field模型相似，为了确定我们是否可以使用副本分析来评估E[Zn（β，X）]，让我们简单地考虑一下调用存储在由n个神经元构成的神经网络中的模式的问题；这个问题的数学结构365类似于投资组合优化问题[1,12]。设skk为神经元k的状态；如果神经元k被激活，则Sk=1，且Sk=- 1另一方面。此外，xku（k=1，··，N，u=1，··，p）是神经元k对p个存储模式中包含的模式u的记忆，并且以相同的概率随机分配±1。370然后，对于p模式，Hebb规则定义如下：Jij=NpXu=1xiuxju（31），其中Jijis表示神经元i和神经元j之间的相关性。

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2022-5-6 03:47:32

因此，众所周知，等式（32）中最小化哈密顿量H（S | X）的神经元状态S与每个存储模式一致：H（S | X）=-STJ。（32）如果神经元状态S与模式1一致，即Sk=xk1，哈密顿量375h（S | X）可以写成asH（S | X）=-2NNXk=1xk1Sk！-2NpXu=2NXk=1xkuSk！=-N、（33）其中，模式ua和模式νin之间的重叠受fneurons N和satis fies nnxk=1xkuxkν的数量限制=1 u = ν0 u 6= ν. （34）直观地说，每个模式都与其他模式正交，因为存储的模式是独立的，并且是随机分配的。将存储在神经网络中的380个模式进行记录并计算可识别模式的数量的问题称为联想记忆问题，等式（32）中定义的模型称为跳场模型。在对跳跃场模型的分析中，可识别模式数量的上限是使用E[Zn（β，X）]来估计的，E[Zn（β，X）]评估神经网络的学习385潜能。我们也没有发现该模型与均值-方差模型之间的数学相似性，这表明我们可以采用用于Hop fi field模型的分析方法；也就是说，我们可以使用副本分析来解决投资组合优化问题，并评估投资系统的潜力。3904.2. 副本分析中获得的主要结果关于副本分析的详细计算，请参见附录B。我们将限制投资网点的数量，使α=p/N~ O（1）。福恩∈ N、我们有Φ（N）=limN→∞Nlog E[Zn（β，X）]=Extrk，Qw，~Qw-αlog det | I+βQw |+TrQwQw-日志数据~Qw-eTk+kTQ-1周，（35）式中k=（k，··，kn）T∈ Rn，Qw={qwab}∈ Mn×n，~Qw={qwab}∈ Mn×n，395ka，qwab，a和qwa阶参数，e=（1，··，1）T∈ 我想，这是一个康斯坦特维克特∈ Mn×nis表示单位矩阵，extrf（A）表示A的极值。

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2022-5-6 03:47:36

由此可知，k、Qw和Qware的极值如下：k=~Qwe，（36）~Qw=β（α）- 1）我-β(α - 1） 1+nβD，（37）Qw=β（α- 1） I+α- 1D，（38），其中D=eeT∈ Mn×nis是一个方阵，其所有分量都是1.400。根据这些结果，我们不需要假设关于这个模型的序参数（ka，qwab，~qwab）的复制对称性。因此，将这些结果代入式（35），我们得到Φ（n）=-nαlogα- 1.-α - 1log（1+nβ）+n-nlogβ（α）- 1). （39）这里我们应该注意到，在附录B中，我们要求等式（35）中的复制品编号是一个自然数，也就是说，因为E[Zn（β，X）]a t复制品编号405n∈ N可以相对容易地估计，等式（39）中的副本数N也应该是一个自然数。然而，在等式（29）和Q中的优化中。（30），我们需要n∈ R充分讨论解决方案。因此，我们在这里假设等式（39）中的副本数n是一个实数，并用它来详细讨论我们的方法。在第4.4小节中，我们将比较这一结果410和结果，以证明这是适用的。这两个速率函数计算如下：R+（β，~f）=α-1.-Λ(β)2β≤~fα-1（s）- 1.- 对数s）α-1.-∧（β）2β>~f（40）R-（β，~f）=α-1（s）- 1.- 对数s）α-1.-∧（β）2β<~fα-1.-Λ(β)2β≥~f，（41）式中∧（β）=1- α对数α- 1.- 对数β（α）- 1）（42）s=~f+λ（β）2βα-1.（43）这一结果满足了附录a中所示的速率函数的性质。此外，使用吉布斯不等式- 1.- 原木≥ 0，如果α>1，在投资网点数量N变得足够大的极限下，我们得到p rhf（β，X）≤~fi=α-1.-Λ(β)2β≤~fα-1.-∧（β）2β>~f（44）P rhf（β，X）≥~fi=α-1.-∧（β）2β<~fα-1.-Λ(β)2β≥公式（44）和公式（45）中的f（45），因为f（β，X）位于常数α附近-1.-∧（β）2β，f（β，X）=α- 1.-λ（β）2β（46）是一组真实的周转率。

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2022-5-6 03:47:41

也就是说，在βa中，我们的自由值为。（47）此外，由于围绕定义值进行局部化，fm（β，X）=E[fm（β，X）]是一个同样令人满意的特性。r和OM变量的统计或函数围绕定义值（或其平均值）进行局部化的这一特性称为自均性。通过将式（47）代入式（26），我们得到425nlog Z（β，X）=∧（β）-β(α - 1），（48）和双速率函数sr+（β，ε，X）=+∞ ~ε ≤α-1（s′）- 1.- 对数s′）α-1< ~ε <α-1+2βα-1+2β≤ ε（49）R-（β，ε，X）=（s′）- 1.- 对数s′）α-1+2β< ~ε0 ~ε ≤α-1+2β，（50），其中s′=2β~ε -α-1.. 因此，对于足够大的N，因为每资产的投资风险h（w | X）也局限在α附近-1+2β，投资风险为自平均。此外，对于一个足够大的β，从式（17）中我们可以得出最小投资风险，如下所示：430ε（X）=α- 1.（51）此外，由于ε（X）也是从一个相同的方程解析得出的，ε（X）=-limβ→∞Nβlogz（β，X），我们用另一种方法解释了我们的方法（见附录B）。此外，根据投资风险的自平均特性，由于我们可以忽略投资风险ε（X）对收益率矩阵X的依赖性，我们将用ε（X）替换ε。同样，qw（X）也是自平均的，因此qw=αα- 得到1（52），其中qw（X）被qw代替。我们还注意到，由于设定的最小投资风险和集中投资水平都是自平均的（因为它们对回报率矩阵X的依赖性被忽略），我们可以估计这种投资系统的潜力。

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2022-5-6 03:47:44

在一个稳定的投资市场中，这意味着相对于一个投资期内平均的实际回报率的最低投资风险和由回报率定义的最低投资风险是不一致的，因为最低投资风险是自平均的。正因为如此，我们不需要假设在初始阶段，我们对收益率有先验知识，也就是说，我们只需要先验地知道以前的收益率。这是自平均特性的另一个优点。4.3. 与运筹学方法获得的结果进行比较在本小节中，我们使用运筹学的分析方法对第2.3小节中得出的两个指标进行了比较。例如，我们考虑εOR=α和qORw=1，使用第4.2节中导出的两个特征指标，并使用自平均特性，即ε=α-1如果α>1，ε=0，否则，qw=αα-1如果α>1且qw>> 1否则。因此，对于任何α，我们有455ε或≥ ε（53）qORw≤ qw。（54）首先，最小预期投资风险ε或不小于预期最小投资风险ε，即公式（53）与公式（7）中的关系一致。接下来，从集中投资水平和使用运筹学的分析程序两方面，我们发现，每项投资产出的风险都是平均值，并由收益矩阵进行抵消。从而得出最优策略为均分投资的结论。

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2022-5-6 03:47:47

另一方面，当使用我们提出的方法时，由于有可能找到每个投资渠道的最优解，对于变化很小的投资渠道，尤其是α很小的投资渠道，可以找到最佳回报率，这意味着最优策略是集中投资。465此外，我们还使用另一个数学论证提供了其他直观的解释。通过定义qwand，矩阵J=XXT的N个特征值∈ MN×N，λk，（k=1，··，N，λ）≤ λ≤ ··· ≤ λN），然后qw=E[λ-2] /（E[λ-1] 其中E[λ-s] =NPNk=1λ-sk；推导见附录C。另外，由于辛分布的最小特征值λmin=1+α-2.√当α→ +1，ifm特征值a被视为最小特征值，其中~ O（1），然后利用L\'H^opital规则，我们可以估计出qw的渐近形式如下：qw=limλmin→+0mNλ-2min+NPNk=m+1λ-2kmNλ-1min+NPNk=m+1λ-1k= limλmin→+02mNλ-1平方毫米mNλ-1min+NPNk=m+1λ-1k=纳米。（55）自E[λ]-2] 增加速度超过（E[λ-1] ）qwincreases。这与我们发现的qw=αα一致-1.如有必要，请继续>> 1，然后1≤ qw≤最大α和λ475→∞1 + α + 2√α1 + α - 2.√α= 1，（56）其中最大a辛本征值为λmax=1+α+2√α和λ-smax≤E[λ-s]≤ λ-斯敏。这与我们发现的qw=αα一致-1.4.4. 数值模拟虽然我们利用每项资产的投资风险ε和集中投资水平qw的自平均特性，对投资系统的潜力进行了理论讨论，但我们假设Eq.（39）中的副本数是第4.2小节中的一个真实数。在上一小节中，我们对我们的发现给出了一些数学解释。

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2022-5-6 03:47:50

然而，从数学上不能保证复制品编号n∈ R适用；485因此，我们需要验证我们是否可以使用这一假设，以便根据我们提出的方法使发现合法化。在本小节中，我们进行了数值模拟，然后比较了我们提出的方法的结果、数值结果和分析运算研究程序的结果。490在本次数值模拟中，投资渠道的数量为N=，情景的数量为p∈ [1200, 8000]; 场景r是α∈ [1.2, 8.0]. 此外，我们评估了J-1=（XXT）-1，由随机分配的收益率矩阵XX定义的方差-协方差矩阵的逆；资产回报率独立且相同地分布495，具有标准正态分布。然后，我们求解最优投资组合的等式（3），以估计每个ssetε（X）和集中投资水平qw（X）的最小投资风险。最后，我们对100组回报率矩阵进行平均。图1显示了每项资产的三个最小投资风险和三个集中投资水平。横轴表示塞纳里奥比率α=p/N，纵轴表示两个指标。我们提出的方法的结果用实线表示，数值结果用带误差条的标记表示，运筹学方法的结果用虚线表示。我们的方法（实线）和505个数值结果（带误差条的标记）的结果是一致的。对于这个数值模拟，我们考虑了我们对回报率有先验知识的情况。事实证明，我们提出的方法能够准确评估投资体系的潜力。

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2022-5-6 03:47:53

另一方面，虚线基于预期效用最大化的场景，这些结果与其他结果不一致。不幸的是，这表明基于预期效用最大化的方法无法确定最优投资策略，反而可能会提供一个误导性的投资组合，该投资组合不能保证在特定的回报率集上是最优的。5.总结和未来工作：本文分析了均值-方差模型的最优解的潜力，该模型广泛应用于组合优化问题；特别是，我们使用自平均和复制分析法分析了其潜在的投资风险和集中投资水平。我们用两个主题的石头剪刀布游戏作为优化随机现象的背景。我们注意到，最小预期投资风险（来自我们对退火无序系统的讨论）并不总是与预期最小投资风险（来自我们对淬火无序系统的讨论）一致。我们讨论了使用操作理性研究中广泛使用的分析方法得出的最优投资策略，以及基于退火排序系统的预期效用最大化，是否适用于实际资产回报率。根据eq.（7）中的关系，基于更一般的公式，我们确定通过运筹学方法获得的最小预期投资风险不小于预期最小投资风险。然而，它并不能为投资策略提供有用的信息，因为它低估了预期的最小投资风险。主要原因如下。

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2022-5-6 03:47:57

（1）在投资开始时，对资产的未来回报率没有先验知识。（2）评估最优解矩阵的逆矩阵所需的计算复杂性随着投资渠道数量的增加而增加。（3）为了准确评估潜在的投资风险，有必要将最小的投资风险与实际回报率进行平均。为了解决这些问题，我们使用概率推理来重新构造投资组合优化问题；我们还利用切尔诺夫不平等性和复制分析来确定投资风险累积分布的更严格上限。根据复制分析得出的利率函数分析结果，我们阐明了投资风险的自平均特性。因此，我们确定，在已知回报率完整信息的情况下，最小投资风险与平均回报率矩阵情况下的最小投资风险545一致。因此，我们能够评估实际投资系统中的潜在投资风险。由此，我们解决了上述第一和第三个问题。此外，通过复制分析，我们估计了最优投资组合的两个指标：投资风险和集中投资水平；这是在没有直接解析最优投资组合的情况下完成的，这解决了第二个问题。我们发现，我们提出的方法得到的集中投资水平与最优投资策略的直观明显选择一致；我们考虑了情景比率接近1且比率非常大的情况。

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2022-5-6 03:48:01

我们比较了我们提出的方法的555个结果、操作研究方法得到的结果以及数值模拟得到的结果。我们的方法的结果与数值模拟的结果一致，但与运筹学方法的结果不一致。如上所述，尽管我们的发现基于均值方差模型，只有一个预算结构和一个回报率，该回报率是独立的，且以标准正态分布进行分布，但在。（7）这意味着，最大化投资的策略不是基于最理想的投资实现。565在我们未来的工作中，虽然为了简单起见，我们在本文中只考虑了预算约束，但为了使我们的方法更现实，我们希望在其他条件下确定最优解，例如预期总收益的限制、卖空限制，以及每种资产的上限和下限。特别是，我们希望考虑这些问题是否可以通过使用统计机械信息学的其他分析方法来解决，例如信念传播法、随机矩阵积分或马尔科夫链蒙特卡罗法。对于均值-方差模型以外的情况，如均值-绝对偏差模型或预期空头575模型（对于这些模型，典型的投资风险行为由Cilibe rti和M’ezard评估），还需要确认ris k函数的自平均特性。

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大多数88

2022-5-6 03:48:03

此外，为了阐明该优化问题的数学结构，我们假设SSETS上的收益率独立且相同地分布在标准正态分布上，然而，在实际投资市场中，收益率并不总是独立且相同地分布。因此，我们希望量化这种相关性对指标的影响。因此，尽管运营研究中使用的几种模型已被提出用于评估投资系统，但在许多情况下，只有预期效用最大化；也就是说，只分析了退火无序系统。投资组合优化问题585是一个尚未开发的领域，许多问题尚未得到考虑。作者感谢R.Wakai、Y.Shimazaki和I.Kaku的富有成果的讨论。作者还感谢Y.Takemoto、I.Arizono和T.Mizuno的宝贵评论。这篇论文是同一作者[17]的前一篇论文的改进和扩展版本，这篇论文是用日语撰写的一篇未经引用的论文。这项工作部分得到了AidforYoung Scientists（B）第24710169号拨款的支持。附录A.速率函数的性质我们介绍了速率函数R（η）的性质；这些性质支持第4节中的讨论。在本附录中，为了方便起见，我们定义了595函数φ（u）=log E[euY]。（A.1）此外，我们将只讨论pr[η≤ Y]≤ E-R（η）和R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}，但我们注意到pr[η≥ Y]≤ E-R（η）和R（η）=maxu<0{uη- φ（u）}可以以类似的方式进行倒角。附录A.1。R（η）≥ 0600对于任何η∈ R、 R（η）≥ 0持有。同样，对于任何u>0，R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}≥uη-φ（u）=R（η，u）在极限范围内，当u达到+0时，也就是说，我们得到limu→+0R（η，u）=0表示R（η）≥ 0 .

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2022-5-6 03:48:08

另外，如果R（η）<0，因为pr[η]≤ Y]≤ 1<e-R（η），R（η）≥ 0表示累积分布的直观上限。附录A.2。当E[Y]≥ η、 R（η）=0605当η小于或等于E[Y]时，Y的期望值，即E[Y]≥ η、那么R（η）=0。因为euy是Y的凸函数，对于任何u>0，φ（u）≥log euE[Y]=uE[Y]，我们得到0≥ uE[Y]- φ（u）。如果η=E[Y]，那么我们从R（E[Y]，u）=uE[Y]得到R（E[Y]）=0- φ（u）≤ 0.此外，ifE[Y]≥ η、然后0≥ uE[Y]-φ（u）≥ uη- φ（u）=R（η，u），我们得到R（η）=0.610，也就是说，这个性质可以直观地暗示E[Y]=sup{η| R（η）=0}。附录A.3。R（η）是一个凸函数R（η），它是由凸函数的勒让德变换导出的，是η的凸函数。因此，对于任何λ ∈ [0,1]，R（η）和R（ξ），λR（η）+（1）- λ） R（ξ）≥ λR（η，u）+（1）- λ） R（ξ，u）=u（λη+（1）- λ)ξ) - φ（u）=R（λη+（1）- λ） ξ，u），（A.2）其中u为非负。因此，λR（η）+（1- λ） R（ξ）≥ R（λη+（1）- λ） ξ）Is615是在u>0时，通过最大化等式（A.2）的两侧得到的。附录B.复型分析的计算在本附录中，我们使用复型分析对E[Zn（β，X）]进行分析评估；然而，一般来说，很难估计任何n的E[Zn（β，X）]∈ R[12]。非负随机变量620z的n阶矩E[Zn]的直接计算≥ 0，任意n∈ R、除非随机变量服从对数分布[13,19]，否则这是不可能的。特别是，用一个X e d回报率矩阵X来评估等式（16）中以积分形式定义的分割函数Z（β，X）是不合适的。如果我们可以直接计算，我们可以轻松地求解等式（24）和等式（25），而不需要考虑亥姆霍兹自由能；然而，在这个模型中，很难用固定的返回矩阵直接计算配分函数。

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