最优幂和对数效用的均值方差效率

2022-6-10 05:09:37

广泛采用的方法是基于投资者效用函数的最大化，即投资者选择效用达到最大可能值的投资组合（Pennacchi，2008；Eltonet al.，2009）。默顿和萨缪尔森（1974）的均值-方差方法与预期效用最大化完全一致（见Dybvig和Ingersoll，1982）。该结果在没有对收益施加任何分配假设的情况下有效。类似地，二次效用在非常一般的条件下提供了一个闭式解（Bodnar等人，2015a）。然而，有许多其他方法可以选择效用函数，例如幂和指数效用函数。在这些情况下，如果没有关于回收过程分布的信息，就无法从解决方案中得出封闭结果（Bodnar等人，2015b）。本文的重点在于幂函数和对数效用函数。如果W表示投资者的财富，则电力利用率由U（W）=1给出-γW1-γ, γ > 0, γ 6= 1. 如果γ收敛到一，则得到对数效用u（W）=对数W作为功率效用的极限。数量γ等于电力公司（CRRA）恒定的相对风险规避。这意味着任何财富水平的投资者都将持有相同数量的风险资产（Brandt，2009；Campbell和Viceira，2002）。这是一个非常重要的属性，从经济角度来看，这使得该效用函数非常有吸引力。为了确定电力公司的最优投资组合，文献Grauer和Hakanson（1987）中提出了几个数值程序；封面（1991年）。导出了预期效用最大的一阶条件，并使用泰勒级数展开将预期效用转换为矩的线性组合（Brandtet al.，2005）。

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2022-6-10 05:09:40

然而，文献中没有可用的解析解，主要采用数值方法（Brandt，2009）。另一种可能性是利用收益可预测性的分布假设（Barberis，2000），并将其与数值程序相结合（Brandt and Santa Clara，2006；Lynch and Tan，2010）。多年前，使用对数正态分布来建模资产或投资组合回报已经很流行。在Elton和Gruber（1974）中，假设对数正态分布的portfolioreturns，导出了有效集定理。他们提出了一种确定有效投资组合的算法。Hakansson（1971）在关于多期均值方差分析的论文中描述了最优投资组合选择的一种极限方法。Merton和Samuelson（1974）详细讨论了对数正态方法，并得出结论，应非常谨慎地应用对数正态方法。在本文中，我们考虑了在投资组合总收益近似对数正态分布的假设下，寻找幂和对数效用的最优投资组合的问题。对于这两个效用函数，得到了最优投资组合权重的解析表达式。此外，我们还说明了期望功率效用最大化意义下的最优投资组合和期望对数效用最大化的最优投资组合均为均值方差有效的条件。本文中用作投资组合收益模型的对数正态分布具有几个很好的性质。如果投资组合的总回报遵循对数正态分布，那么可以直接确定其高阶矩。

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2022-6-10 05:09:43

此外，如果平均值和标准偏差的比率较大（类似于夏普比率），则对数正态分布接近正态分布（分析结果如本文所示）。例如，当投资组合均值有界且投资组合方差很小时，就是这种情况。在应用中，资产回报率在大多数情况下变化范围高达±15%。因此，相应的gross返回Rj=1+rjtake值接近1。因此，总体投资组合平均值接近1，而投资组合方差通常很小。这意味着在这种情况下，它的行为类似于正态分布。此外，假设对数正态分布的投资组合回报率，其连续复合回报率似乎是正态分布的，反之亦然。还值得注意的是，文献中经常使用正态性消费，即为了对资产回报路径建模，采用了具有正态分布误差项的VaR过程（Bodnar et al.（2015a，b）；Brandt等人（2005年）；Brandt和Santa Clara（2006年）；Brandt（2009））。论文的其余部分结构如下。第2节和第3节描述了优化问题，并介绍和讨论了本文中使用的假设。我们的主要发现见第4节。在Orem 1中，我们推导出了使期望功率效用最大化的最优投资组合权重的显式公式，并讨论了其性质。特别是，我们在定理2中导出了该投资组合均值方差有效的条件，并证明了当相对风险规避收敛到整数时，它收敛到夏普比率最大的投资组合。在第4.2节中，给出了期望对数效用最大化意义下最优组合的分析结果：定理3给出了其权重的闭式表达式，而定理4证明了其均值方差效率。

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2022-6-10 05:09:46

第5节显示了实证研究的结果。在这里，我们研究基于德国股票市场指数中包含的股票的投资组合。我们检查财富的对数正态性假设是否完全满足，以及定理1中提出的条件是否完全满足。事实证明，这些假设是合理的，并且对我们研究中的投资组合基本上是满意的。此外，我们还将具有最优权重的投资组合与其他投资组合策略进行了比较，表明了新方法的优势。2对数正态近似的动机让我们定义两个随机变量X~ N（u，σ）和Y~ ln N（lnu，σu）。很容易看出，所讨论分布的前两个矩考虑σ/u是否小，即（Y）=elnu+σ2u≈ u和V ar（Y）=e2 lnu+σu（eσu-1) ≈ σ为σ/u→ 实际上，接下来我们证明如果σ/u→ 0和u>0，则Y的分布接近X的分布。为了确定近似值的准确性，我们考虑了两个分布函数的差异，即ψ（X）=Φx个- uσ- Φln x- lnμσ/u. （1）引理1（对数正态近似）。设u>0，则对于ψ（x）definedin（1）holdsupx∈R |ψ（x）|=Oσuasσ/u→ 0。（2）因此，正态分布函数和对数正态分布函数之间的差异以σ/u的速度非常快地逼近零→ 0

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2022-6-10 05:09:50

因此，σ/u越小，我们得到的近似值就越好。0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.30 2 4 6 8 10N（1，0.042）lnN（0，0.042）0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2 1.30 2 4 6 10 12N（1，0.032）lnN（0，0.032）图1：正态密度和对数正态密度的相似性。考虑到最大化问题涉及投资组合总回报，众所周知，在实践中，资产回报接近于零，因此人们预计投资组合总回报将在1左右波动。因此，考虑到资产收益是正态分布的，amean接近于零，方差很小，我们得到了正态分布的grossportfolio收益，平均值约为1，方差很小。同时，电力效用定义在非负域上，因此，自然会假设预期投资组合总回报为正，而投资组合标准偏差较小。这就是为什么，正如所示，对数正态分布可以很好地代表正态分布的投资组合回报。作为一个示例，图1描述了u和σ的几种组合的正态分布和对数正态分布的密度函数的相同行为。3使用效用函数的投资组合选择在本节中，我们给出了本文中使用的一些符号和基本假设，并讨论了幂效用函数的投资组合选择问题。假设一个投资组合由k个风险资产组成。设ridenote为一个时期内第i项资产的相对价格变化，并设r=（r，…，rk）为收益向量。数量ω表示投入第i项资产的相对金额。然后，对于组合权重的向量ω=（ω，ω，…，ωk），ω1=1，其中1是一个一的向量。期末的投资组合回报率等于ωr。

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2022-6-10 05:09:52

如果W在期初表示投资者的财富，则期末的财富表示为W=Wωr+1= WωR，其中R=R+1。R的平均向量及其协方差矩阵由E（R）=u和V ar（R）=∑表示，其中∑假设为正定义。如何构造最优投资组合，即如何选择最优投资组合权重，文献中提出了许多方法。Markowitz（1952）提出了投资组合选择的均值-方差原则。我们的想法是选择投资组合权重，使投资组合收益的给定值的投资组合方差最小。另一种尝试是基于效用函数。例如，Dybvigand Ingersoll（1982）对此进行了详细描述。通过在投资期结束时最大化财富W的预期效用U（·），获得最佳权重，其由ω给出*= arg max{ω：ω1=1}E[U（W）]。（3）有许多选择效用函数U（·）的可能性（见Pennacchi，2008）。在二次效用的情况下，（3）的解是均值-方差有效的，即在某些条件下，它与马科维茨的优化问题一致（见Bodnar等人，2013）。文献中考虑的其他公用设施功能包括HARA、CARA和theSAHARA公用设施（见Pennacchi，2008；Chen等人，2011）。本文研究了幂效用函数asU（W）=W1下的最优投资组合问题-γ1 - γ, γ > 0, γ 6= 1. （4）它是唯一一个相对风险厌恶度恒定的效用函数（参见Pennacchi，2008），等于γ。当γ收敛到1时，对数效用是幂效用的极限情况，它由u（W）=log W给出。

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2022-6-10 05:09:56

（5）幂效用函数和对数效用函数在实际中都有广泛的应用。为了计算预期效用，有必要对投资组合回报的分布进行说明。关于如何建立股票回报模型，文献中已有许多建议。Bachelier（1900）建议对资产回报使用正态分布，而Fama（1965）和Mittnik and Rachev（1993）建议使用稳定分布。关于各种提案的概述见Jondeau等人（2007）。在这里，我们选择了一种略有不同的方式。根据第2节的讨论，我们假设投资者在投资期结束时的投资组合回报可以很好地近似于对数正态分布，其特征是两个参数α∈ IR和β>0。我们brie Flywrite Z~ ln N Nα, β表示随机变量Z为对数正态分布。它认为Z~ ln N Nα, β当且仅当ln Z~ Nα, β密度为f（z；α，β）=z√2πβexp(-（ln z- α） 2β），z>0，否则为0。这种分布有一个很好的性质，即它的矩可以很容易地由（Zτ）=exp导出ατ +βτ, τ ∈ R、（6）对数正态分布已被几位作者应用于金融领域（见McDonald（1996），Limpert等人（2001））。如果假设投资组合回报率为对数正态分布，则其连续复合收益率为正态分布，反之亦然。

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2022-6-10 05:09:59

此外，这样做隐含着财富为正的假设。4最优投资组合选择问题的闭式解在本节中，我们给出了幂效用和对数效用的最优投资组合权重的解析表达式。假设投资期末投资组合总收益ωR近似对数正态分布，即ωR~ ln N Nα, β, 我们得到（见附录引理2）α=ln X-ln（V+X）和β=ln1+VX,其中x=E（ωR）=ωu，V=V ar（ωR）=ω∑ω（7）是预期收益和投资组合与权重ω的方差。现在，我们准备好阐述我们的主要假设，这正好符合对数正态近似。假定（A1）对于任何ω√VX公司→ 例如，如果投资组合总回报有界且资产范围较大，即k→ ∞, 然后，如果资产收益率的协方差矩阵∑在增加维度k时表现良好（其最大特征值统一在k中），则很容易检查许多经典投资组合，如全局最小方差投资组合和等权重投资组合是否符合假设（A1）。因此，可以预期对数正态近似在大维度投资组合的情况下工作得更好。在下文中，我们还使用了效率常数集，即唯一确定效率前沿位置的三个量，即作为平均方差空间中马科维茨优化问题的解获得的最优投资组合集。它们由（Bodnar和Schmid，2009）RGMV=给出-1uΣ-1，VGMV=∑-1，s=uQu（8），Q=∑-1.-Σ-1Σ-1Σ-1.

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2022-6-10 05:10:02

（9）这里，rgmv表示全局最小方差（GMV）投资组合（方差最小的投资组合）的预期投资组合回报，vgmv表示其方差，s表示效率边界的斜率参数，该边界是由（X）给出的抛物线的上部- RGMV）=s（V- VGMV）。（10）整个抛物线在文献中被称为一组可行的最优投资组合。4.1电力效用的解析解在定理1中，我们给出了电力效用函数的最优投资组合问题的闭式解，即（4）中给出的（3）的u（·）的解。定理1。假设（A1）成立。如果γ≥ γmin=2s+2s（1+s）VGMVRGMV+ss（1+s）1+sVGMVRGMV1+（1+s）VGMVRGMV!, （11）然后，利用（4）中的功率利用函数U（·）对优化问题（3）的解由ω给出*= Σ-1.-1+（γ+1）uXYγ- Xu（12） x=（γ+2）RGMV-√D2（1+s），（13）Y=γs（XRGMV- RGMV- sVGMV，（14）D=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）。（15）此外，如果γ=γminthen D=0和（13）简单toX=（γmin+2）RGMV2（1+s）。定理1的证明见附录。备注1。定理1揭示了一个非常重要的事实：幂效用函数的解并不总是存在的。实际上，为了保证存在，我们需要γ≥ γmin，这意味着存在最小风险规避水平γmin>0，因此对于所有γ≥ γmin具有幂效用函数的优化问题（3）的解存在且唯一。通过定理1的证明，我们可以证明这个条件等价于更具技术性的条件，即D≥ 0表示所有γ>0。使预期电力效用最大化的最优投资组合的预期收益为X，而其方差等于V=Y-十、此外，优化问题（3）的最大值由max{ω：ω1=1}E[U（W）]=W1给出-γ1 - γexp(1 - γ） ln X+（γ- γ）年.

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2022-6-10 05:10:05

（16）值得注意的是，在期望幂效用函数最大化的意义上，最优投资组合位于可行投资组合集合上的任何相对风险规避系数γ上，即抛物线（10）。该结果被表述为推论1，并在附录中提供了证明。推论1。在定理1的假设下，它认为ω*= ωGMV+X- RGMVsQu（17），其中ωGMV=∑-1Σ-1，（18）是全球最小方差投资组合的权重；rgmv和s在（8）和（9）中给出；X是最佳投资组合的预期回报，该投资组合最大化了（13）中提供的预期电力效用。最优投资组合权重的表达式（17）与作为马科维茨投资组合选择问题解决方案获得的权重公式一致。此外，推论1的结果用于推导相对风险规避系数γ的条件，从而确保获得的投资组合（17）位于抛物线（10）的上部，因此，使预期幂效用函数最大化的最优投资组合是均值方差有效的。定理2总结了这一发现，并将证明移至附录。定理2。在定理1的条件下，期望幂效用函数最大化意义下的最优投资组合是均值方差有效的当且仅当γ≥ γminand RGMV>0。（19）定理2的结果为马科维茨的猜想提供了严格的数学证明，即均值-方差分析为效用优化问题提供了一个很好的代理，从某种意义上说，它精确地近似于其解（参见Levy and Markowitz（1979））；Markowitz（2014））。这一结果也与Grauer（1986）的结论一致。

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2022-6-10 05:10:09

在幂效用函数的情况下，推论1表明，两种方法都会导致相同的最优投资组合集，而定理2则更进一步，并给出了通过最大化期望幂效用获得的最优投资组合的均值方差效率所满足的条件。值得注意的是，在最大化预期电力效用的意义上，最优投资组合永远不会与全局最小方差投资组合（GMV）重合。这个观察结果来自这样一个事实：如果X=RGMV，那么从定理1我们得到y=γs（XRGMV- RGMV- sVGMV）=-γVGMV<0，什么是不可能的，因为Y=E（ωR）≥ 推论2中给出了最优投资组合在最大化期望功率效用意义下的另一个有趣性质。在这里，我们证明了当γ→ ∞.推论2。假设满足定理2的假设。如果γ趋于一致，则最大化预期功率效用的最优投资组合收敛到夏普比率投资组合，权重为ω*=Σ-1uΣ-1u. （20）备注2。请注意，（20）中给出的夏普比率投资组合与经典投资组合略有不同，因为平均向量u不等于资产回报预期值E（r），而是等于E（r）=E（r）+1。这意味着一个非常有趣的事实，即虽然预期的电力公用事业投资组合不能完全等于GMV投资组合，但在某些情况下，它们彼此非常接近。事实上，如果E（r）接近于零，则（20）中给出的权重接近（18）中的GMV组合。

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2022-6-10 05:10:12

这是很自然的，因为GMV投资组合在均值方差框架中扮演着风险最小的投资组合的角色。其次，推论3证明了在期望幂效用函数最大化的意义下，最优投资组合的期望收益并不小于夏普比率投资组合的期望收益。推论3。假设满足定理2的假设且RGMV>0。那么，使预期电力效用最大化的最优投资组合的预期收益大于或等于夏普比率投资组合的预期收益，即X≥uΣ-1uΣ-1u. （21）另一个有趣的说法与相对风险厌恶系数有关。可以很自然地得出结论，如果γ增加（意味着风险较小的投资者），我们可以预期投资组合回报的方差会减少。因此，我们在推论4中给出了所描述的事实。此外，我们还发现，预期投资组合回报率也会下降。推论4。假设满足定理2的假设且RGMV>0。然后，期望收益和使期望电力效用最大化的最优投资组合的方差是γ的递减函数。4.2对数效用的解析解在定理3中，我们针对（5）中给出的对数效用给出了优化问题（3）的闭式解。定理的证明在附录中给出。定理3。假设（A1）成立。

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2022-6-10 05:10:15

如果γ最小值≤ 1，（22）其中γ在（11）中定义，则优化问题（3）的解与（5）中的对数效用函数U（·）相同，由ω给出*= Σ-1小时-1+2uXY- Xui（23），X=3RGMV-√D2（1+s）和Y=XRGMV- RGMVs- VGMV，（24）D=9RGMV- 8（1+s）（RGMV+sVGMV）。最优投资组合在最大化意义下的预期收益预期对数效用为X，其方差由V=Y给出-十、利用定理1的结果，我们还得到了由maxω给出的对数效用的优化问题（3）的最大值*E[U（W）]=ln W+2 ln X-ln Y.（25）对数效用函数获得的权重表达式是为功率效用函数导出的最优投资组合权重的特例，对应于γ=1。这一发现并不奇怪，因为对数效用函数是幂效用函数的极限情况，当γ→ 尽管无法定义γ=1的电力效用，仅考虑其极限行为，但定理1中给出的权重公式不再是这种情况，只要满足与定理3（22）一致的条件（11），也可以计算γ=1的权重公式。定理1和3中给出的结果的另一个重要应用是，在最大化预期对数效用函数的意义上，最优投资组合的权重也可以以马科维茨投资组合的形式表示，类似于幂效用函数的权重表达式，它们由ω给出*= ωGMV+X- RGMVsQu（26），X如（24）所示，即最大化预期对数效用函数的最佳投资组合也位于抛物线（10）上。最后，定理4给出了该投资组合是均值方差有效的条件，即它位于抛物线的上部。定理4。

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2022-6-10 05:10:18

在定理1的条件下，期望对数效用最大化意义下的最优投资组合是均值方差有效的当且仅当γmin≤ 1和RGMV>0。（27）5实证研究本节的目的是展示如何将上述结果应用于实践。我们还将详细分析所需的假设是否在实践中得到了充分满足。我们的实证研究基于德国股票指数（DAX）中的股票。我们从DAX中选择17只股票（ADS、ALV、BAYN、BMW、CBK、DAI、DBK、DPW、DTE、HEI、IFX、LHA、LIN、SAP、SIE、TKA、VOW3），并研究其在2014年9月21日至2017年9月17日期间的行为。我们的分析基于每周回报。因此，我们对每种股票进行了157次观察。基于这17只股票，我们通过随机抽样k构建了许多投资组合∈ {4，…，14}资产。因此，对于每个k，不同资产集的数量等于k. 从每一个这样的集合中，我们确定了期望幂（对数）效用最大化意义上的最优投资组合。通过样本平均向量和样本协方差矩阵估计每个组合的参数u和∑。此外，在不丧失一般性的情况下，我们设定W=1.5.1验证模型假设和理论条件。定理1和3的结果是在某些假设下获得的。下面我们将分析这些条件对于基础数据集是否合理。首先，我们验证了对数正态分布投资组合收益的假设。

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nandehutu2022

2022-6-10 05:10:21

为了检验对数正态性假设，我们将Shapiro-Wilk检验应用于最优投资组合的对数回报，这些投资组合使所选资产集的预期幂效用函数最大化。在表1中，为投资组合中的多个资产k和相对风险规避系数γ的多个值提供了p值的25%分位数。我们再次提醒，对于每个固定k，考虑中的最佳投资组合数量为k. 表1显示，超过75%的p值总是远远大于测试的可能名义水平，例如在我们的案例中为5%。因此，在所有考虑的案例中，至少有75%的情况下，不能拒绝在最大化预期电力效用的意义上，最优投资组合的回报是对数正态分布的无效假设。例如，选择k=12和γ=5，我们得到75%的p值大于0.26。此外，随着资产数量的增加，p值也单调增加。因此，这就得出结论，对数正态性假设在许多实际情况下似乎是合理的。接下来，我们分析定理1的条件（11）是否在所考虑的应用中得到充分满足。我们的结果总结在图2（上图）中。这里，当条件{γ时，所有考虑案例的百分比表示投资组合中资产数量k和相对风险规避γ的几个值≥ γmin}未填满。垂直虚线表示每个资产数量k的γmin（k）值。我们观察到，随着k的减少和γ的增加，这种情况几乎总是可以满足的，不适当情况的数量为零。

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2022-6-10 05:10:24

例如如果γ>γmin（k），则所有考虑的资产的γ<γmin（k）相对风险规避γ2 3 4 5 6 7 8 9 104 0.07 0.09 0.10 0.10 0.11 0.12 0.13 0.13 0.145 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.15 0.166 0.12 0.14 0.13 0.14 0.14 0.15 0.17 0.177 0.13 0.17 0.16 0.15 0.16 0.17 0.17 0.188 0.14 0.20 0.18 0.16 0.16 0.17 0.17 0.17 0.179 0.140.23 0.21 0.18 0.17 0.17 0.16 0.1610.15 0.25 0.24 0.21 0.19 0.17 0.16 0.1611 0.15 0.28 0.27 0.23 0.20 0.18 0.16 0.15 0.1512 0.16 0.30 0.29 0.26 0.22 0.20 0.17 0.15 0.1513 0.19 0.32 0.31 0.29 0.25 0.21 0.18 0.16 0.16 0.1514 0.23 0.34 0.33 0.31 0.25 0.21 0.17 0.16表1:k的k值和γ值的几个组合的对数正态性检验p值的25%分位数∈ {4, 5, . . . , 14}. 这与第1项的理论发现一致。此外，由于γmin（k）总是小于1，我们可以根据定理3得出结论，对数投资组合的解也存在。因此，条件（11）对于小型或大型投资组合以及相对较大的风险规避系数值都是现实的，同时，如果γ接近零，则最大化预期功率效用的最优投资组合存在的概率很小。最后，我们分析了定理2中所述的使期望功率效用最大化的最优投资组合的均值方差有效性的条件。结果如下图2所示。这里我们按照上述定理1的相同方式进行。（19）中的第二个表达式提供了经典的均值-方差效率，即GMV投资组合的累积预期投资组合回报，即RGMV=∑-1uΣ-1=Σ-1E（r）∑-1+1必须始终为正。

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2022-6-10 05:10:27

我们可以观察到，相关结果与图2的上半部分相同，这意味着对于所考虑的数据集，（19）的第一个表达式似乎比第二个表达式具有更强的限制。0.0 0.2 0.4 0.6 0.80 20 40 60 80 100相对风险规避系数，事件的γ相对频率{γ<γmin}γmin（4）γmin（7）γmin（14）4资产14资产0.0 0.2 0.4 0.6 0.80 20 40 60 80 100相对风险规避系数，事件的γ相对频率{γ<γmin}或{RGMV<0}γmin（4）γmin（7）γmin（14）4资产14资产图2：条件γ≥ γminof Theorem1（上文）和定理2（下文）的条件（19）未被充分绘制为若干资产k的γ函数∈ {4, 5, ..., 14}.有效前沿，k=4方差，σ2均值，u0.00 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=7方差，σ2均值，u0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=10方差，σ2均值，u0.00 0.02 0.04 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普有效前沿，k=14方差，σ2平均值，u0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.101.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10γ=1γ=2γ=5夏普图3：γ的最佳投资组合∈ {1，2，5}和位于有效前沿的夏普比率组合，用于许多资产k∈ {4, 7, 10, 14}.5.2在有效边界上最大化预期功率效用函数的最优投资组合的位置图3所示实证研究的另一部分与最优投资组合的位置有关。如（13）和（14）所示，最优投资组合的平均值和方差取决于三个参数：u、∑、γ。

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2022-6-10 05:10:30

可以估计平均向量和协方差矩阵，在我们的示例中，我们考虑了四个可能的资产数量k∈ {4, 7, 10, 14}.我们按照字母顺序选择前k个资产。然后，我们为每个资产组合建立有效边界，在这里我们添加γ的最佳投资组合的位置∈ {1，2，5}和夏普比率投资组合。正如推论4中所证明的那样，随着风险厌恶系数的增加，我们得到方差和均值的减少，最优投资组合倾向于夏普比率投资组合，如推论2所示。此外，我们还收到投资组合回报的均值和方差的增加，投资组合中的资产数量越多。0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.0400.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=1Fn（x）锐化最佳-0.995-0.990-0.985-0.9800.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=2Fn（x）锐化最佳-0.248-0.246-0.244-0.2420.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=5Fn（x）锐化最佳-0.045-0.040-0.035-0.0300.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0γ=50Fn（x）锐化最优图4：k=9资产的几种组合策略（朴素投资组合、夏普投资组合、最大化预期电力效用意义上的最优投资组合）的电力效用的经验分布函数。5.3几种投资组合策略的比较最后，我们比较了几种投资组合策略的电力效用。我们研究了等权的朴素投资组合、Sharperatio投资组合和定理1中导出的最优投资组合。请注意，GMV投资组合被排除在研究之外，因为它将接近所考虑数据集的夏普比率投资组合（见备注2）。图4中给出了由k=9资产组成的投资组合和各种γ值的所考虑方法中每种方法获得的电力效用的经验分布函数。

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2022-6-10 05:10:33

图中显示，定理1中得出的策略获得了预期的最佳结果。此外，作为推论2结果的另一个可视化结果，我们发现，当相对风险厌恶系数增加时，夏普比率投资组合的效用几乎与定理1中的衍生工具一致。最后，观察到等权（朴素）投资组合的表现非常糟糕。6附录引理1的证明。很容易看出ψ（u）=0，点u是其最小值。实际上，让我们考虑一个与u不同的点，并将其定义为x=au，a>0，a 6=1。然后它保持ψ（x）=Φau- uσ- Φln au- lnμσ/u= Φ一- 1σ/u- Φln aσ/u> Φ一- 1σ/u- Φ一- 1σ/u= 现在我们考虑ψ（x）的上界xψ（x）=√2πσe-（十）-u)2σ-x个√2πσ/ue-（ln x-lnu）2σ/u=0（28）或xu- 1.= lnxu+2σulnxu。（29）表示y=lnxu我们发现（ey- 1） =y+2σuy.（30）可以看出方程（30）有三个根（在这种情况下绘图很有帮助）：一个根大于零，第二个根小于零，并且已经检查过y=0。还值得注意的是，只要ψ（·）是一个连续可微分函数，ψ（x）→ x为0→ ±∞, 非零极值点是局部和全局最大值。对于y<0，表达式（ey-1）小于yy年-1.如果y<-2σu表示y+2σuy>y+2σu, 因此，解决方案属于区间1.-σu-qσu+1，-2σu可以推导出（30）的左侧等于零，然后求解方程yy年-1.=y+2σu对于负根。如果y>0，则保持（ey-1)>1+y- 1.和y+2σuy<y+σu可以得出另一个极值位于0和2σu之间。

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2022-6-10 05:10:36

因此，我们有两个极值点SL=e1的区间-σu-rσu+1，e-2σu!和l=1，eσu, 所以ψ（x）可以有界，如下所示。supx公司∈R |ψ（x）|≤ supx公司∈接收-μσZln x-lnμσ/u√2π| e-t | dt≤ supx公司∈接收-μσZln x-lnμσ/u√2πdt=√2πsupx∈Rxu- 1.- lnxuσ/u=√2πsupxu∈l∪lxu- 1.- lnxuσ/u=√最大2πe1级-σu-rσu+1- 2+σu+qσu+1σu；eσu- 1.- 2σuσu.现在取极限σ/u→ 0我们获得支持∈R |ψ（x）|=Oσu, （31）其中，最后一个等式源自以下事实：ex=1+x+O（x）asx→ 引理2。假设投资期末的投资组合收益率ωR为对数正态分布，即ωR~ ln N（α，β）。删除：=EωR= ωu，（32）V：=V arωR= ωΣω.那么β=lnVE+1α=lnE（V+E）。引理2的证明。在使用（6）时，我们得到ωR= eα+β，（33）V arωR= e2α+β（eβ- 1).将（32）代入（33）并求解这两个关于α和β的方程，得到引理的陈述。定理1的证明。对于幂效用函数，我们得到thatE[U（W）]=W1-γ1 - γexpα(1 -γ) +β(1 - γ)=W1级-γ1 - γexp“（1- γ） lnE（V+E）+（1- γ） lnV+EE#=W1-γ1 - γexp(1 - γ） ln E+（γ- γ） ln（V+E）=W1级-γ1 - γexp(1 - γ） lnωu+（γ- γ） ln公司ωΣω + (ωu).（34）为了最大化预期效用，我们需要在侧条件ω1=1下，在γ<1的指数（34）中找到表达式的最大值，或在γ>1的指数中找到表达式的最小值。在这两种情况下，使用拉格朗日插值法，拉格朗日函数由（1）给出- γ） lnωu+（γ- γ） ln公司ωΣω + (ωu)+ λ(ω1 - 1). （35）偏导导致ωL=（1- γ)uωu+ (γ- γ)Σω + (ωu)uωΣω + (ωu)+ λ1 = 0, (36)λL=ω1- 1 = 0. （37）LetX：=ωu，Y：=ω∑ω+（ωu）。（38）然后，（36）乘以ω得到λ=γ- 1.

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2022-6-10 05:10:39

此外，将（36）乘以|∑-1/1Σ-11和1∑-1/1Σ-11并使用以下等式∑-1=VGMV，∑-1uΣ-1=RGMV，和|∑-1uΣ-1=RGMV+sVGMVwith RGMV，VGMV，and s如（8）所示，我们得到-（γ+1）RGMV+sVGMVX+γX（VGMV+RGMV+sVGMV）Y+RGMV=0，（39）-（γ+1）RGMVX+γVGMV+XRGMVY+1=0。（40）接下来，我们将（39）乘以RGMV，将（40）乘以RGMV+sVGMV，然后从第二个方程中减去第一个方程，得到γXRGMV- RGMV- sVGMVY=s（41），因此γY=sXRGMV- RGMV- sVGMV。（42）将（42）替换为（40）导致-（γ+1）RGMVX+s（VGMV+XRGMV）XRGMV- RGMV- sVGMV+1=0或相当于（1+s）X- （γ+2）RGMVX+（γ+1）（RGMV+sVGMV）=0（43）二次方程（43）的根由x±=（γ+2）RGMV±√D2（1+s），（44），其中D=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）。最后，从（42）和（44）中，我们得到±=γs（X±RGMV- RGMV- sVGMV）。（45）此外，方程（44）表明，二次方程有一个解ifand仅当D≥ 0，相当于（11）。实际上，取D（γ）相对于γ的导数，并将其设置为0 1 getsD（γ）=2（γ+2）RGMV- 4（1+s）（RGMV+sVGMV）=0，溶液γ*=2（1+s）（RGMV+sVGMV）RGMV- 2=2秒1+（1+s）VGMVRGMV.可以很容易地检查D（γ*) 为负，因此，γ*不能是保证（43）解存在的γ的最小可能值。另一方面，D（γ）的二阶导数为正，这表明γ*是抛物线D（γ）的全局最小点。现在由D（0）<0得出，γ>0的最小可能值应该是方程D（γ）=0的正解，这正是（11）中给出的γmin。进一步，在（36）中插入X和Y的两个解，我们得到了可能的最优投资组合权重的两个方程。

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2022-6-10 05:10:42

由于拉格朗日乘子法仅为最优性无训练问题提供了必要条件，我们必须更详细地分析临界点，以检查是否存在最大值或最小值。对于（X+，Y+）和（X），我们考虑（34）的右侧-, Y-) 并证明所有γ≥ γminandγ6=1 thatL（γ，X-, Y-) > L（γ，X+，Y+）（46），因此，在（X）处达到最大值-, Y-).在γ>1的情况下，（46）等于（1- γ） ln X++（γ- γ）年+- (1 - γ） ln X-+(γ- γ）年-= (1 - γ） lnX+X-+(γ- γ） lnY+Y-> 0or（1+γ）lnX-X++γlnY+Y-> 0（47）类似地，对于0<γ<1，我们得到（1- γ） ln X++（γ- γ）年+- (1 - γ） ln X-+(γ- γ）年-= (1 - γ） lnX+X-+(γ- γ） lnY+Y-< 0与（47）一致。因此，为了证明（46），有必要证明（47）对于γ>γminsuch，γ6=1。或者，等价地，我们必须证明，对于所有γ>γmin，下列不等式成立-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-> 0。（48）首先，我们证明（48）左侧函数对γ的导数为正。它认为γ-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-=γlnX+X--γ+1γX-X个+γX+X-+Y-Y型+γY+Y-,现在我们计算γX+X-和γY+Y-.

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2022-6-10 05:10:45

它保持不变γX+X-=γ（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D=RGMV+γ√D（γ+2）RGMV-√D（γ+2）RGMV-√D-RGMV-γ√D（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D= 2（γ+2）RGMVγ√D- RGMV√D（γ+2）RGMV-√D= 2RGMV√D（γ+2）γD- D（γ+2）RGMV-√D=RGMV√D4γ（1+s）RGMV+sVGMV（γ+2）RGMV-√D=γγ+1RGMV√D（γ+2）RGMV+√D（γ+2）RGMV-√D=γγ+1RGMV√DX+X-, （49）式中，倒数第二个等式从（1+s）（RGMV+sVGMV）=（γ+2）RGMV得出-D4（1+γ）。为了得到Y+Y的导数-我们首先注意到Y+Y-=（（γ+2）RGMV+√D） RGMV- 2（1+s）（RGMV+sVGMV）（（γ+2）RGMV-√D） RGMV- 2（1+s）（RGMV+sVGMV）=（γ+2）RGMV+√DγRGMV+√D（γ+2）RGMV-√DγRGMV-√D=X个+γRGMV+√D十、-γRGMV-√D.因此，取Y+Y的导数-导致γY+Y-=γRGMV+√DγRGMV-√DγX+X-+X+X-γγRGMV+√DγRGMV-√D=γRGMV+√DγRGMV-√Dγγ+1RGMV√DX+X-+X+X-γRGMV+√DγRGMV-√D=γγ+1RGMV√DY+Y-+X+X-γγRGMV+√DγRGMV-√D因此，我们只需要计算γγRGMV+√DγRGMV-√D. 它保持不变γγRGMV+√DγRGMV-√D=RGMV+γ√DγRGMV-√DγRGMV-√D-RGMV-γ√DγRGMV+√DγRGMV-√D= 2γRGMVγ√D- RGMV√DγRGMV-√D= 2RGMV√DγγD- DγRGMV-√D=γ+2γ+1RGMV√DγRGMV+√DγRGMV-√D、这立即意味着γY+Y-=γγ+1RGMV√DY+Y-+γ+2γ+1RGMV√DY+Y-= 2RGMV√DY+Y-.综上所述，γ>γminγ-γ+1γlnX+X-+lnY+Y-=γlnX+X-> 因此，（48）中左侧的函数是γ的单调递增函数，因此在γ=γmin时达到其最小值。因此，计算（48）中γ=γminwe getlnX点的函数值-X个+-γ2（γ+1）lnY-Y型+γ=γmin=ln（γ+2）RGMV-√D（γ+2）RGMV+√Dγ=γmin=0，因为当γ=γmin时，D=0。因此，不等式（48）适用于所有γ>γminand，因此，在（X）处达到最大值-, Y-)推论1的证明。

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2022-6-10 05:10:48

它认为ω*= Σ-1.-1+（γ+1）uXYγ- Xu= ωGMV-Yγ+VGMVΣ-11 +（γ+1）YXγ- 十、Σ-1u，其中使用（42）时，我们得到γ+VGMV=XRGMV- RGMV- SVGMV+VGMV=X- RGMVsRGMVand（γ+1）YXγ- X=γ+1XXRGMV- RGMV- SVGMV- X=（γ+1）RGMVX- （γ+1）（RGMV- sVGMV）- XsXs=X- RGMVXXs=X- RGMVs，其中第三行从（43）开始。因此，ω*= ωGMV-十、- RGMVsRGMV∑-11+X- RGMVs∑-1u=ωGMV+X- RGMVsQu，定理2的证明。第一部分，即γ≥ γmin明显遵循条件（11）。对于使用（15）的第二个，我们首先观察到d=（γ+2）RGMV- 4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）=(γ + 2)- 4（γ+1）（1+s）RGMV- 4（γ+1）（1+s）sVGMV=(γ - 2s）- 4s（1+s）RGMV- 4（γ+1）（1+s）sVGMV=（γ-2s）RGMV- 4（1+s）s（RGMV+（γ+1）VGMV）≥ 0。（50）接下来，为了证明（19）中的第二个不等式，我们只需找出哪种情况x- RGMV>0。（51）在上述等式（51）中，从（13）插入X，我们得到（γ- 2s）RGMV-√D2（1+s）>0。（52）由于（50），我们有（γ- 2s）RGMV≥ D和γ一起≥γmin>2s和（52）表示（51）满足要求<==> RGMV>0。推论2的证明。为了证明推论，我们只需计算以下limitlimγ→∞（（γ+2）RGMV-√D） =limγ→∞（γ+2）RGMV- D（γ+2）RGMV+√D=limγ→∞4（γ+1）（1+s）（RGMV+sVGMV）（γ+2）RGMV+√D=2（1+s）（RGMV+sVGMV）RGMV。现在，推论1的应用导致了tolimγ→∞ω*= ωGMV+limγ→∞十、- RGMVsQu=ωGMV+RGMV+sVGMV- RGMVsRGMVQu=ωGMV+VGMVRGMVQu=∑-1uΣ-1u.推论3的证明。使用（14）和（43），使预期电力效用最大化的最优投资组合的方差为v=Y- X=γsXRGMV- RGMV- sVGMV-γ+2s+1XRGMV+γ+1s+1RGMV+sVGMV=γ - 2ss（1+s）XRGMV-γ - ss（1+s）RGMV+sVGMV,这是非负的当且仅当ifX≥γ - s（γ- 2s）RGMVRGMV+sVGMV>RGMVRGMV+sVGMV=uΣ-1uΣ-1u.推论4的证明。

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nandehutu2022

2022-6-10 05:10:52

使用（10），使预期电力效用最大化的最优投资组合的方差为v=s（X- RGMV）+VGMV。接下来，我们证明了X对γ的偏导数是负的，这使得X和V减少了γ。十、γ=2（1+s）RGMV-2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV√D=4DRGMV-2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV4（1+s）√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMVi=16（1+s）RGMV+sVGMVRGMV- 16（1+s）RGMV+sVGMV4（1+s）√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMV我=RGMV+sVGMVRGMV- （1+s）RGMV+sVGMV√Dh公司√DRGMV+2（γ+2）RGMV- 4（1+s）RGMV+sVGMVi<0。定理3的证明。对于对数效用函数，它用引理2成立，即e[U（W）]=ln W+2 lnωu-自然对数ωΣω + (ωu). （53）为了在约束ω1=1下最大化期望的对数效用（53），使用拉格朗日乘子方法和由n W+2 lnωu给出的拉格朗日函数-自然对数ωΣω + (ωu)+ λ (ω1 - 1). （54）偏导数收益率ωL=2uωu-Σω + (ωu)uωΣω + (ωu)+ λ1 = 0, (55)λL=ω1- 1 = 0. （56）（55）乘以ω得到λ=-1、使用（38）中X和Y的定义，并将（55）乘以|∑-1/1Σ-11和∑-1/1Σ-11，我们得到RGMV+sVGMVX-X（VGMV+RGMV+sVGMV）Y- RGMV=0，（57）RGMVX-VGMV+XRGMVY- 1 = 0. （58）方程组（57）和（58）是定理1证明中给出的（39）和（40）的部分情况，对应于γ=1。因此，其解由x±=3RGMV±给出√D2（1+s）和Y±=X±RGMV- RGMVs- VGMV，（59），其中D=9RGMV- 8（1+s）（RGMV+sVGMV）。最后，对于D>0或等效地，对于γmin≤ 1我们得到了L（X-, Y-) - L（X+，Y+）=2 ln X--年-- 2 lnX++Lny+=2 lnX-X++lnY+Y-> 因此，（X-, Y-) 最大化期望的对数效用。定理4的证明。定理4的证明源自定理2的证明，γ=1。参考Bachelier，L.（1900）。这是一个很好的例子。Gauthier Villars。Barberis，N.（2000年）。

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2022-6-10 05:10:55

在回报可预测的情况下进行长期投资。《金融杂志》，55（1）：225–264。Bodnar，T.，Parolya，N.，和Schmid，W.（2013）。关于投资组合理论中常用的二次优化问题的等价性。欧洲运筹学杂志，229（3）：637–644。Bodnar，T.，Parolya，N.，和Schmid，W.（2015a）。二次效用函数的多期投资组合问题的闭式解。运筹学年鉴，229（1）：121-158。Bodnar，T.，Parolya，N.，和Schmid，W.（2015b）。关于收益可预测指数效用的多期投资组合问题的精确解。《欧洲运筹学杂志》，246（2）：528–542。Bodnar，T.和Schmid，W.（2009）。样本效率前沿的计量经济学分析。《欧洲金融杂志》，15（3）：317–335。Brandt，M.（2009）。投资组合选择问题。《金融计量经济学手册》，1:269–336。Brandt，M.W.、Goyal，A.、Santa Clara，P.和Stroud，J.R.（2005）。一种动态投资组合选择的模拟方法，用于学习收益可预测性。《金融研究评论》，18（3）：831–873。Brandt，M.W.和Santa Clara，P.（2006年）。通过增加资产空间进行动态投资组合选择。《金融杂志》，61（5）：2187–2217。Campbell，J.Y.和Viceira，L.M.（2002年）。战略资产配置：长期投资者的投资组合选择。克莱伦登教授经济学。Chen，A.、Pelsser，A.和Vellekoop，M.（2011年）。使用sahara效用函数建模非单调风险规避。《经济理论杂志》，146（5）：2075–2092。Cover，T.M.（1991年）。通用投资组合。数学金融，1（1）：1–29。Dybvig，P.H.和Ingersoll，J.E.（1982）。完全市场中的均值-方差理论。《商业杂志》，第233-251页。Elton，E.J.和Gruber，M.J.（1974）。

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2022-6-10 05:10:58

投资相对论为对数正态分布时的投资组合理论。《金融杂志》，29（4）：1265-1273。Elton，E.J.、Gruber，M.J.、Brown，S.J.和Goetzmann，W.N.（2009）。现代投资组合理论与投资分析。约翰·威利父子公司。Fama，E.F.（1965年）。稳定的帕累托市场中的投资组合分析。《管理科学》，11（3）：404–419。Grauer，R.R.（1986）。正常性、偿付能力和投资组合选择。《金融与定量分析杂志》，21（3）：265–278。Grauer，R.R.和Hakanson，N.H.（1987）。国际多元化收益：1968-85年股票和债券投资组合收益。《金融杂志》，42（3）：721–739。Hakanson，N.H.（1971年）。多期均值-方差分析：迈向投资组合选择的一般理论。《金融杂志》，26（4）：857–884。Jondeau，E.、Poon，S.-H.和Rockinger，M.（2007年）。非高斯分布下的金融建模。施普林格科学与商业媒体。Levy，H.和Markowitz，H.M.（1979年）。用均值和方差的函数逼近期望效用。《美国经济评论》，69（3）：308–317。Limpert，E.、Stahel，W.A.和Abbt，M.（2001年）。跨科学的对数正态分布：关键和线索。《生物科学》，51（5）：341-352。Lynch，A.W.和Tan，S.（2010年）。多重风险资产、交易成本和回报可预测性：分配规则和对美国投资者的影响。《金融与定量分析杂志》，45（4）：1015–1053。Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77–91。Markowitz，H.（2014）。平均值-预期效用的方差近似值。《欧洲运筹学杂志》，234（2）：346–355。McDonald，J.B.（1996）。金融模型的概率分布。《金融统计方法》，统计手册第14卷，第427-461页。爱思唯尔。Merton，R.C.和Samuelson，P.A.（1974）。

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