论泡沫的起源 - 外文文献专区

2022-5-26 19:10:23

关于BubblesZura Kakushadze的起源§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，S tam f ord，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，David Agmashenebeli Alley，第比利斯，0159，乔治亚州（2016年8月27日）摘要我们讨论了一个标准，这是一个特定比率的下限，因为当一只股票（或类似的工具）在长期内不是一个好的投资，即使预期回报为正，也可能发生这种情况。根本原因是价格是正的，并且具有倾斜的长尾分布，再加上长期不对称的波动性结果。这与股票价格泡沫有关，我们使用一个简单的二叉树模型来讨论这个问题，而不用借助随机演算。我们说明了上述比率的经验性质。市值和部门的对数似乎是该比率的重要解释变量，而市盈率（或其对数）不是。我们还讨论了波动性的短期影响，即海森堡金融不确定性原理的模拟和使用二叉树的简单推导。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：通讯作者使用此地址的唯一目的是按照出版物惯例表明其专业职责。

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2022-5-26 19:10:27

特别是，本文件的内容不打算作为投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表QuantigicSolutions LLC（网站www.quantigic）的观点。或其任何附属公司。1介绍风险和回报是投资的两个组成部分。因此，基于我们现有数据中的一些考虑因素，我们已经获得了预期回报（我们可以在未来的某个时候通过投资于一个iveninstrument来合理预期回报）。如果预期回报为正且有保证，那么这是一个没有限制的因素：我们投资并收获回报。然而，生活中几乎没有什么事情是可以逃避的（除了死亡和税收）。我们的投资很可能承担一些风险，在某些情况下可以根据历史数据进行估计。问题是，风险和回报之间是否存在一种关系，可以告诉我们一项投资是否“好”呢？Sharpe Ratio【Shar pe，1994年】提供了这种关系的简单衡量方法。对于归一化常数（见下文），它只是预期回报率与波动率（或已实现回报的历史标准差）的比率。然而，夏普比率取决于计算夏普比率的时间范围。E、日均预期收益率和波动率为我们提供了日均夏普比率，该比率平均较低（由√d、其中d≈ 252是一年中交易天数的近似值，如果我们关注股票的话），而不是年度夏普比率。如果每日预期收益率和波动率在时间上没有太大变化，则夏普比率为√时间范围为。

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大多数88

2022-5-26 19:10:31

因此，思考夏普比率的一种实用方法是，如果年化夏普比率为2，那么给定年份的亏损概率小于约2.3%（假设非正态分布的实现回报率，也就是说，这可能是牵强的——见下文）。那么，这是一个简单的标准吗？它告诉我们，基于预期回报率和波动率，从长期来看，一项投资是否（不）值得？答案是肯定的，至少在某些假设下是这样。它涉及到什么构成了一种工具价格中的泡沫。此后，为了数学上的具体化，我们将重点关注股票。然而，我们的讨论适用于更广泛的文书。有大量关于股票价格泡沫的文献（参见[Protter，2013]及其参考文献），其中利用了严格局部鞅和随机微积分机制的复杂概念。在这里，我们故意避免这种复杂性。我们的目的是尽可能简单直观地讨论这个问题，我们的讨论是为了教学，因此它绝不是对任何事物的有力数学推导。我们用一个简单的二叉树来说明我们的要点。那么，什么是股价泡沫？这很棘手。除其他外，这取决于时间范围。让我们关注大的时间范围。如果在时间t=0时，股票价格大于其公平市场价格，那么我们就有了泡沫*作为t→ ∞. 问题是，这个公平的市场价格是多少*? 这就是波动性的来源。例如，参见【Sharpe，1966年】。或者，它是一个“坏”的。回想一下68-95-99.7规则：如果x是一个具有平均值u和标准偏差σ的正态分布变量，那么我们有以下概率：Pr（u-nσ≤ x个≤ u+nσ）=Pn，P≈ 68.27%，P≈ 95.45%，P≈ 99.73%。夏普比率等于n（即u=nσ）时的亏损概率，则iseP=（1- Pn）/2。

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2022-5-26 19:10:34

所以，我们有≈ 15.9%，eP≈ 2.3%，eP≈ 0.14%。然而，这并没有考虑杠杆率、追加保证金、投资者撤资和其他此类细微差别。想象一下，仅仅是一秒钟，股票价格遵循一种随机游走（或aBrownian运动）。然后，如果股票价格的预期值是恒定的（即股票过程是鞅），那么持有股票似乎是一件理性的事情：有50-50%的机会赚钱/亏损。然而，股票价格是正的，这使得所有的差异。这些价格不是正态分布，但在高端具有倾斜的长尾分布。因此，如果股票过程遵循几何布朗运动，则价格为对数正态分布。如果预期价格是恒定的（一个大幅度），这不再意味着有50-50%的机会盈利/亏损。事实上，在这种情况下，最有可能的长期价格是零！也就是说，投资于一只预期值与价格相符的股票肯定会赔钱！股票必须具有非零漂移ν（其中，其预期值gr在大t时为exp（νt）），以便对股票进行投资。下限ν>ν*漂移由ν给出*= σ/2。因此，我们可以定义比率κ=2νσ（1），除非κ>1，否则我们不应长期投资（非股息支付）股票。ppa通常未在财务中命名的比率κ是无量纲的，与夏普比率不同，它独立于时间范围（如果ν和σar e）。因此，股票价格的正性（正如许多正价值数量的情况一样）导致了其分布的偏斜，再加上股票的波动性，造成了长期的不对称，“平均”与“最有可能”并不相同，而后者才是重要的，尽管有时可能是遵循的前一种（行为）。

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2022-5-26 19:10:38

我们在第2节中使用一个简单的二叉树模型来讨论这一点，包括股息支付股票。在第3节中，我们将这些问题联系在一起，并给出了（以非详尽的方式，仅用于说明目的）在5个季度的时间范围内，针对美国股票的广泛横截面，比率κ的一些经验性质。我们发现，市值和部门的对数似乎是rκ的相关解释变量，但市盈率（或其对数）不是。κ的实际值大多为1级，但具有相当大的可变性。在第4节中，我们切换方向，讨论波动性的短期效应，即海森堡金融不确定性原理分析。布朗运动是由一个自由的量子力学粒子通过所谓的Wick旋转从普通时间到欧几里德时间得到的。量子力学位置x（t）映射到布朗运动过程wt，速度v（t）映射到其导数wt/dt。我们讨论了如何构建量子力学算符分析，以及如何推导（使用二叉树）不确定性原理，并解释了时间顺序的关键作用。我们在第5节简要总结。这是不现实的，因为价格必须是正的。但要和我们在一起。或者，我们可以考虑那里的离散时间版本。在这种情况下，股息不会产生差异的天真直觉是误导性的。以及【Kakushadze，2015a】中的一般非技术性论点。我们在分析中使用彭博行业分类系统部门。2二叉树模型在本节中，我们将讨论一个简单的离散时间二叉树模型，我们将用它来说明股票的一些长期特性。我们的初始时间为betinit=t=0，最终时间为tfin=tN=t。L et tn=nτ，n=0，1。

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2022-5-26 19:10:42

，N，是N+1个时间离散点，其中τ=T/N。我们将取N>> 1，soτ<< T现在考虑一个进程Wnwhere，用于每个0≤ n<n，从其值Wn开始，与时间tn之前的历史无关，该过程在时间tn+1时只能取两个值，即Wn+1=Wn+√概率为p的τ，或Wn+1=Wn-√τ，概率q=1- p、在不丧失一般性的情况下，让我们假定W=0。然后Wnis e（Wn）=（p）的平均值（即预期值）- q）√τn.对于p=q=1/2，过程wn具有消失期望，即它是一个无漂移随机游动。否则，如果p=[1+u√τ] ，其中u6=0，我们有E（Wn）=unτ=utn，所以u是漂移。另一方面，由于Xn=Wn- 西尼罗河-1独立于Wn-1，方差Var（Wn）=E（Wn）- [E（Wn）]=nVar（X）=tn[1- uτ]。在连续时间限制内，取N→ ∞ 和τ→ 0在保持T固定的情况下，Wn只不过是一个单位波动率和漂移等于u的布朗运动。Wn过程既有正值，也有负值，因此不适合建模股票价格。为了避免这种情况，让我们考虑过程sn=Sexp（σWn）（2），这里σ是常数对数波动率。期望值E（Sn）=Sp exp（σ√τ） +q exp(-σ√τ）n=Sexp（νtn）（3），其中漂移ν=τlncosh（σ√τ） +u√τsinh（σ√τ）（4）当τ<< 1/σ（连续时间限制），我们有ν≈ σu+σ。2.1示例：无漂移。因此，假设漂移ν=0，即期望值e（Sn）=Sis，与时间tn无关。此过程称为鞅。天真的是，持有一只用这种无漂移过程来描述价格的股票可能看起来无伤大雅：平均而言，它的价值保持不变。

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kedemingshi

2022-5-26 19:10:46

然而，这是一种假象，其根源在于这一过程是严格正态且对数正态分布的。事实上，ν=0总是意味着u<0，即Wn具有负漂移，或者，等效地，出现降压的概率q（即，Wn+1=Wn-√τ）大于Wn升压的概率（即Wn+1=Wn+√τ）：q>p。因此，asT→ ∞, 始终为WN→ -∞ 概率为1，我们的股票价格以概率1变为0。所以，持有这样的股票肯定会让你赔钱！也就是说，在连续统极限下。2.2漂移下限基于上述情况，很明显，为了避免我们的股票在长期内失去价值，我们必须有u≥ 这转化为漂移ν的下限≥ ν*=τlncosh（σ√τ）≈σ（5），其中最后一个近似等式适用于小τ<< 1/σ。因此，长期持有一只股票在财务上没有什么意义，除非它的漂移超过下限*, 尽管事实上，平均而言，股票价格上涨了任何正ν。这是因为当我们有一个偏态概率分布时，“平均”与“最有可能”不同，在这种情况下，它是低g-正态的（在极限τ内→ 0）。不同的是，预期值（3）在某种意义上是“误导性的”，因为它从不可能的路径收到了巨大的影响——由于Sn的指数性质。在这方面，我们可以定义“有效漂移”νeff=ν- ν*:νeff=τln1+u√τtanh（σ√τ）≈ σu（6）νeffix的含义是它排除了概率分布的偏斜性质（对数正态）。

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2022-5-26 19:10:49

综上所述（2），很明显，当大的、最可能的路径Sn=eSnexp（φn）围绕确定性“路径”eSn=Sexp（σE（Wn））=Sexp（σutn），且次级结构φn |=O（σ√tn）（假设|u|~>σ、就是这样，例如，如果我们有ν=0）。2.3包括股息在内，我们假设我们的股票不支付股息。如果是呢？天真地，运用莫迪利亚尼-米勒定理——或者更确切地说，它与股息相关的部分【米勒和莫迪利亚尼，196 1】——股息似乎不应该影响我们上面的讨论。标准的论点是，如果股票支付股息，如果我们在支付股息时购买更多的股票进行再投资，这相当于没有支付股息的股票，因此股息应该没有区别。然而，当我们考虑股票的长期价值时，这里有一个微妙之处。因此，如果我们对股息进行再投资，那么情况确实如此，就好像股票不支付股息一样。在这种情况下，股票的长期价值为零，概率为1，除非漂移ν≥ ν*, 其中，ν的定义如上所述，即股息的内部收益率。然而，如果我们不进行再投资，而是将支付的股息存入一个无风险的储蓄账户（我们只是假设该账户不支付利息或产生任何费用），那么即使从长期来看股价为零，我们最终还是会得到一些现金。让我们根据二叉树对其进行量化。为了简单起见，我们假设在每个日期tn，n>0，股票支付股息，这是股票价格的固定fr动作d。一、每个tnis anex股息日。我们可以通过模拟股票价格- d] nSexp（σWn）（7）截止日期tn收到的累计股息dn由sumDn=dnXm=1给出[1- d] m级-exp（σWm）（8）我们可以很容易地计算出期望值E（Dn）。

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2022-5-26 19:10:52

然而，正如E（Sn）一样，E（Dn）是“误导性的”，因为它没有考虑概率分布的偏斜性质，即它不对应于最可能的路径。我们可以通过简单地替换Wmvia E（Wm）=utmin（8）：eDn=dnXm=1来确定与最可能路径相对应的dn的估计值[1- d] m级-1exp（σuτm）=d exp（σuτ）1- 经验值(-ητn）1- 经验值(-ητ）S（9），其中η=-τln（1- d）- σu（10）Letd=τδ。那么，在ητ<< 1和ηtn>> 1，我们有（假设σu<δ）：eDn≈Δδ- σuS≈Δδ- νeffS（11）当u=0（即νeff=0）时，我们得到n=S[1- （1）- d） n]，因此，渐进地，“最有可能”我们（大约）通过股息支付收回我们或最初的投资。当u<0（即νeff<0）时，我们得到S的分数。当u>0（即νeff>0）时，我们仅从股息中赚钱。用期望值E（Dn）=dnXm=1[1]对此进行控制是有指导意义的- d] m级-1exp（ντm）=d exp（ντ）1- 经验值(-ξτn）1- 经验值(-ξτ）S≈Δδ- νS（12），其中ξ=-τln（1- d）- ν≈ δ- ν（13）预期值E（Dn）是“误导性的”，因为它高于与最可能的pat hs相对应的估计值n。结果是，如果我们不进行再投资，而是把现金藏起来，那么股息就会有所不同。这同样是由于“平均”和“最可能”之间的差异。注意ln（1- d）必须是O（τ）作为τ→ 0获得正确的连续股息率δ。考虑这一点的一种补充方式是在期权定价的背景下。如上所述，让我们假设利率为零。考虑一个欧洲看涨期权，执行价格k=砂成熟度T。根据Black-Scholes定价模型【Black和Scholes，1973年】，该期权的价格为Vc=Serf（σ√电话/2√2）。作为T→ ∞, Vc公司→ S

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2022-5-26 19:10:56

因此，尽管无风险概率测度下的股票过程（用于计算期权价格）具有恒定的期望E（St）≡ S（在连续时间t中），在遥远的将来以价格购买股票的期权不是零（“naive”答案），而是全价S。这是因为在这种无风险措施下，股票价格以概率1 a S t为零→ ∞.3这与气泡有什么关系？简单的回答是：“一切！”以无股息股票为例。天真的人认为只要漂移ν≥ 我们不会长期亏损，因为它的预期值（Sn）不会下降，这是错误的。如上所述，除非νeff≥ 0，最有可能的结果是股票价格将长期归零。一、例如，除非νeff>0，或等效地，ν>ν，否则投资无股息股票没有什么财务意义*≈σ。那么，股价的大幅波动从何而来？自始至终，我们假设一个自由市场，价格由供需决定。供求关系有两个来源：投资者和发行股票的公司。“投资者”广义上是指市场参与者，包括发行公司以外的公司，它们可以通过并购、投标等方式影响股价。投资者可以通过购买股票来提高股价，也可以通过出售或做空股票来降低股价。发行公司可以通过发行更多股票来降低其股票价格，或通过回购等方式提高股票价格。如果发行公司没有做类似的事情，即不提供或购买股票，那么价格由投资者设定。投资者可能理性，也可能理性，可能理性，也可能理性，可能理性，也可能理性，也可能理性，也可能理性，也可能理性。

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大多数88

2022-5-26 19:10:59

无论哪种情况，由于公司没有现金流入股票，即公司没有通过回购等方式直接利用其收益影响股票价格，因此价格和任何漂移都完全取决于投资者对公司收益信息和其他可能相关信息的感知和解释。现在，除非ν≥ ν*, 该股票的长期价格可能为零。因此，假设nodividends、回购等，如果ν<ν*, 我们有一个泡沫。简单地说，投资者持有的是剪纸。事实上，情况更糟。它具有庞氏骗局的所有元素。即使ν≥ ν*. 事实上，由于发行公司不会以任何方式、形状或形式将资金返还给投资者，因此当前投资者对任何未来收益的希望完全基于未来投资者对当前投资者对收益的感知和解释等。因此，除非≥ ν*, 我们有一个泡沫。而且，由于发行公司没有任何现金流入股票，投资者必须支付“溢价”ν*在漂移ν中，“溢价”完全是由于股票的风险。设κ=νν*≈2νσ（14）第0近似值中的拆分和股息不应影响调整后的股价，尽管在第0近似值之外可能存在“非理性”/行为影响。就s的含蓄性而言，我们在这里忽略它，因为它不会影响我们的主要观点。根据美国证券交易委员会（SEC），我们bsitehttp://www.sec.gov/answers/ponz i.htm，“庞氏骗局是一种投资欺诈，涉及从新投资者提供的资金中向现有投资者支付所谓的回报。”SEC进一步澄清：“由于合法收益很少或根本没有，庞氏骗局需要新投资者持续不断的资金流动才能继续。

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2022-5-26 19:11:02

当难以招募新投资者或大量投资者要求退出时，庞氏骗局往往会崩溃。”预期值κ<1的股票应避免（甚至做空）。κ的预期值越高，投资股票的赌注就越安全。比率κ是无量纲的，显然没有在财务背景下命名。因此，它与计算它所依据的时间尺度无关。3.1经验属性研究股票比率κ的一些经验属性很有意义，包括可能对其有统计意义的任何解释变量。对于更长的期限，人们可能会期望，例如，帐面价格变动io（P/B）会对此作出贡献。在这里，我们的目的不是对各种时间范围进行详尽的实证研究。相反，我们只讨论一个示例。我们采用2014年3月18日至2015年6月30日（含）美国上市普通股和类别股（无OTC、优先股等）的定价数据（完全调整分割和股息的收盘价），截至2015年6月30日，没有NAsin收盘价、市值数据和BICS（彭博行业分类系统）部门分配，截至2014年3月18日，市值数据中没有NAs。这个宇宙包含4416个股票代码。基于该数据，我们计算每日收盘回报率Ris的时间序列，一个N×K矩阵，其中i=1，N、 s=1，K、 N=4416，K=324。我们使用这些回报通过（14）计算κi（每个股票）。因此，ui=平均值（Ris）（15）σi=Var（Ris）（16），其中平均值和方差是连续的。或者，我们可以使用横截面降级的returnseRis=Ris来代替Ris-NNXj=1Rjs（17）in（15）和（16）。一、 e.这里我们将收益率w.r.t.取为加权平均的“市场”基准k。

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2022-5-26 19:11:06

另一种选择（在众多其他选择中）是使用回报率w.r.t.alog cap加权“市场”基准：bRis=Ris-PNj=1ln（Cj）RjsPNj=1ln（Cj）（18）假设利息率为零，则比率ν/σ称为风险的市场价格。当完全归一化时（其维数为1/√t），这与Sharpe/Information Ratio一致。更准确地说，我们每家公司只保留一个股票代码，这可以是一个类股。我们使用原始收盘价和根据分割和股息进行充分调整的收盘价。这些数据是从http://finance下载的。雅虎。com于2015年7月1日发布。截至2014年3月18日的市值数据已于2014年3月19日预开放下载。“昨日收盘价与今日收盘价”自动返回“时间顺序”。其中，Ci是截至2018年3月4日的市值，因此不在样本范围内。结果总结在表1中，为了进行比较（并记住cap加权基准的“缺点”），我们还给出了κi的计算结果，如（18）中所定义，但ln（Cj）被Ci取代，即返回SW。r、 t.市值加权“市场”基准。巧合的是，在这个特定样本中，基于“香草”回报率的κI的平均值接近1。因此，fκ的值主要是or der 1。他们依靠什么？一个很好的猜测是，市值对数应该是一个很好的解释变量。如上所述，另一个可能尝试的解释变量是P/B（或其日志）；然而，它对κi的预测效果很差。另一方面，扇区是更好的预测因子。

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大多数88

2022-5-26 19:11:09

为了看到这一点，我们进行了如下形式的横截面回归：ln（κi）=a+KXi=1bAUiA+εi（19），这里，a是截距的回归系数；bAare是K个解释变量UA（每个变量都是一个N向量）的回归系数，例如，ln（Ci）、二进制扇区列Ohmiα（其中Ohmiα=1，如果由i标记的股票代码属于由α标记的扇区；否则Ohmiα=0）、P/B（或其对数）等（其数字K可以是一个或多个）；εi是回归残差。表2总结了当我们有一个单一解释变量ln（Ci）（回想一下，市值Ci是从2014年3月18日开始计算的，因此它超出样本范围）加上截距时的回归结果。表3总结了当我们有11个解释变量ln（Ci）加上10个BICS部门时的回归结果。此回归中无需包含截距：截距包含在二进制加载矩阵中OhmBICS扇区的iα，因为每个股票代码属于1且仅属于1个扇区，pα=1Ohmiα≡ 1.表3表明，BICS部门是相关的解释变量。它们的加入大大改善了总体R平方（相比之下，只包括截距，截距是与总体“市场”相对应的解释变量，见表2），也改善了市值变量的t统计。接下来，我们将P/B加入到混合中。boo k数据截至2014年3月18日，我们的4416只股票没有NAs。然而，80个股票的账面价值为0，159个股票的账面价值为负。我们将此类股票从下面的回归中排除（因此我们可以采用低市盈率）。回归结果总结在表5和表6中，这明确表明P/B不是κi的良好预测因子，至少在测试的时间范围内（大约5个日历季度）。

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2022-5-26 19:11:13

另一方面，marketcap和10个BICS部门似乎是κi的更好预测因子（表3）。我们在Ris上使用κIBase。前、后回归相当相似。我们拥有4416台股票，分为177个BICS子行业（粒度最大）和48BICS行业（粒度较小）。10个BICS扇区对应最小粒度级别。该数据于2014年3月19日预开放下载。通常，账面价值=每股账面价值。表4.4海森堡（Heisenberg）的不确定性原则中列出了删除前和删除后BICS部门的股票数量，前面的故事是，由于股票价格是i）正定义和ii）内在波动的，因此通过将预期回报视为“平均”与“最有可能”不同来预测其长期行为是误导性的，后者才是长期的问题。上面我们在一个简单的例子中讨论了这一点，在这个例子中，纬度和漂移都是常数。使这些依赖于时间甚至不确定性只会使数学变得复杂，但关键原则仍然有效。短期行为如何？在短期内，由于地区因素，价格的积极不确定性并不重要。然而，vo-latilityields产生了一个很好的影响：类似于海森堡的金融不确定性原理。4.1量子力学中的测不准原理为了简化讨论，让我们考虑一维经典粒子。其位置由坐标x（t）描述，坐标x（t）取决于时间t。其速度由v（t）=x（t）=dx（t）/dt给出。x（t）和v（t）都是实值的。我们还可以定义动量p（t）=m v（t），其中m是粒子的质量。在没有任何外力的情况下，动量是守恒的（即其时间导数为˙p（t）=0），因此速度是恒定的。

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2022-5-26 19:11:17

一切都很确定。然而，量子力学却把这幅田园诗般的画面摆在了头上。在所谓的海森堡表示法（又称海森堡图）中，变量x（t）和p（t）不再是实值，而是由运算符bx（t）和bp（t）代替，它们的值取实值。此外，这些算符不可交换，我们有著名的海森堡测不准原理【海森堡，1927】bx（t）bp（t）- bp（t）bx（t）=i~（20），其中~是（约化的）普朗克常数。这意味着icle部分的位置和动量（或相当于速度）不能以有限的精度同时已知【Kennard，1927】，【Weyl，1928】（另见下文）：σxσp≥~（21）其中σx和σpare是在类似制备的量子力学系统上进行的单个测量集合中位置和动量测量精度的标准偏差。只有x或p可以精确测量。4.1.1算子和波函数我们可以很容易地构造算子bx和bp。它们的形式取决于基础或表示。在坐标表示法中，其中bx=x（即，bx通过简单地将此类函数乘以x来作用于x的函数面），我们有bp=-我~所以我们有（20）。对应于本征值p的bp（也称为波函数）的本征函数由（直至归一化常数）ψp（x）=exp（ipx/~）（23）给出。该波函数对应于具有固定动量泵的自由量子粒子。然而，它的位置x是完全任意的，与不确定性原则一致。相反，让我们考虑一个在x处具有固定位置的粒子*. 这必须是运算符bx=x的唯一特征值。

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2022-5-26 19:11:20

相应的波函数为（达到归一化常数）ψx*（x） =δ（x-x个*) （24）我们可以通过傅里叶变换重写它：ψx*（x） =2π~ Z∞-∞dk exp（ik（x-x个*)/~) （25）当算符（22）作用于该波函数时，所得函数从所有动量k接收分布∈ R： bpψx*（x） =2π~ Z∞-∞dk k exp（ik（x- x个*)/~) （26）这同样符合不确定性原则。4.2金融中的不确定性原则自由量子力学粒子并不完全是我们在金融中所需要的。因此，财务中不存在虚数（或复数）。这也是同样的道理：金融中出现的布朗运动并不等同于通常时间t中的自由量子力学粒子，而是通过所谓的德威克旋转得到的欧几里德时间tE中的自由量子力学粒子：t=-itE[威克，1954年]。在下面，为了便于记法，我们将从tE中删除下标E。在灯芯旋转下，速度V→ 所以动量p→ ip。因此，在欧几里德量子力学中，我们期望以下交换关系（而不是（20））：bx（t）bp（t）- bp（t）bx（t）=~（27），在坐标表示中，bp=-~x（28）代替δ函数，我们可以取其高斯（或其他）近似表达式(-（十）-x个*)/2）/√2π带→ 也就是说，这是一种正则化δ函数的方法。关于最近的详细讨论，请参见se e，例如，【Kakushadze，2015年b】和中的参考文献。一个技术要点：操作符（22）是平面波归一化波函数空间上的厄米数，而（28）不是（它是反厄米数）。然而，与量子力学不同，金融中不存在“波函数”，也不要求（28）作用于平面波，也不存在可劣化的函数。（28）的本征值在作用于一组适当的本征函数（不可平面波归一化）时是实的。

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kedemingshi

2022-5-26 19:11:25

这方面出现了一些微妙之处（见下文）。事实上，出于我们这里的目的，使用velocityoperator bv=bp/m更方便，所以我们有bx（t）bv（t）- bv（t）bx（t）=ζ（29），其中ζ=~/m。然而，财务中没有~或质量m。因此，在金融经济学中，extζ必须有其他解释。我们将看到，确实如此。不确定性原则（29）的一个更“令人不安”的特点可能是，在金融领域，我们不习惯从操作员的角度来思考问题。因此，在连续时间内，我们有实值过程，比如aBrownian运动Wt。那么，为什么事情不会相互转换呢？答案是neatand源于（欧几里德）量子力学中如何解释对易关系（29）（包括在金融环境中如何定义运算符）。这都是关于时间的安排。（29）中的运算符作用于一些函数的空间。对于两个运算符bA（t）和bB（t），乘积bA（t）bB（t）是按时间顺序排列的：bA（t）bB（t）=limη↓0bA（t）bB（t- η）（30）也就是说，在过去的w.r.t.中，操作员总是先行动，然后行动。这就是时间之箭如何内在地刻在量子力学中——事实上，也刻在金融中（见下文）。现在我们可以很容易地计算换向器（29）。让我们回到第2节中的离散时间二叉树模型。所以，timet=tn=nτ（n=0，1，…，n）现在是离散的。我们用过程Wn确定坐标x（t），即x（tn）=Wn。我们还需要确定速度v（t）。

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2022-5-26 19:11:29

在中点定义它很方便（尽管不是很关键）：vtn+τ=Wn+1- Wnτ（31）因此，根据我们的时间顺序规定，我们需要计算n，n+1=Wn+1vtn+τ- vtn+τWn=τvtn+τ（32）更准确地说，我们需要评估这个表达式的预期：回想thatWn+1- 西尼罗河=√概率为p和Wn+1的τ- Wn=-√τ，概率q=1- p（见第2节）。因此，（32）的期望值是简单的（Gn，n+1）=1（33），即换向器（29）中的ζ=1，因为我们用Wn标识坐标x（t）。然而，请注意，该结果持续在连续时间限制内（τ→ 0，N→ ∞,T=Nτ=固定），因此我们有以下交换关系bx（T）bv（T）- bv（t）bx（t）=1（34）注意，无论dr iftu如何，这都适用。回想一下，p=[1+u√τ] 。之所以可能出现这种情况，是因为速度在连续极限内具有有限的变化。这也不错。在连续时间内，我们用布朗运动过程Wt识别y x（t），用白噪声dWt/dt识别a和v（t）。后者具有有限的方差，因此采用了不确定性原则（34）——财务。4.2.1坐标表示我们可以在坐标表示bx=x：bv=-x（35）其本征函数（非波函数-见下文）的形式为ψv（x）=exp(-vx）（36），其中v为特征值。注意，（36）既不是平面波也不是可压缩的。当速度v固定时，坐标x完全不确定，符合测不准原理。另一方面，如果我们将布朗运动定位在x=x附近*, 我们可以考虑拉普拉斯分布ψx*（x） =2exp-|x个- x个*|（37）那么我们有bvψx*（x） =符号（x- x个*)2扩展-|x个- x个*|（38）并且速度在小极限下完全不确定，这与不确定度原理是一致的。

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mingdashike22

2022-5-26 19:11:32

直觉上，我们可以这样想。如果我们把一个布朗粒子放在一个盒子里，使盒子越来越小，布朗粒子的速度的方向和大小都变得完全不确定，就像（欧几里德时间）量子力学粒子一样。最后，我们要提到的是，上述使用二叉树的不确定性原理的推导基本上可以原封不动地移植到path INTEGR al语言中（见下文）。在这里，我们还计算了换向器的路径积分期望值（34的l.h.s.），它在路径积分中是时间顺序的。在解路径积分时，我们遵循与上述相同的过程。4.2.2不确定性原理的不等式形式在此之前，我们以交换关系的形式讨论了金融背景下的海森堡不确定性原理（34）。然而，大多数人——至少是非物理学家——将不确定性原理与类型（21）的不平等联系在一起，我要感谢奥林多·科拉迪尼（OlindoCorradini）指出了这种视觉化。在路径积分语言中（例如，参见[Baaquie，2007]，[Kakushadze，2015b]），我们必须指定积分度量。这转化为我们在定义上述离散化d速度时对中点的对流选择。在一定程度上，最终答案与这些细微差别无关。这源于量子力学中的（20）。从（34）开始，我们能否在金融环境中得出类似的不平等？答案是肯定的，但这很棘手。假设（21）的答案只是σxσv，这是错误的≥ 1/2。这有两个原因。首先，在量子力学（21）中，使用波函数的非离子推导。如上所述，在金融环境中，没有其他功能。其次，在量子力学中，算符Bx和bp是厄米的。

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2022-5-26 19:11:35

在财务方面，它们不是（至少，bv不在坐标表示中–见上文）。事实上，需要定义σx和σv。令人高兴的是，我们不需要波函数来定义σx和σv。让我们坚持坐标表示。假设x的值，即Z，有一个可归一化的概率密度P（x）∞-∞dx P（x）=1（39）也就是说，我们有一个局部配置，一个ndx*=Z∞-∞dx x P（x）（40）σx=Z∞-∞dx（x- x个*)P（x）（41）具有有限σx。在不丧失一般性的情况下，我们可以设置x*= 通过移动原点0。σv呢？注意ψx*（x） in（37）是densityP（x）的一个特定示例。如（38）所示，我们可以通过bv P（x）=v（x）P（x）（42）定义v（x），因此，回顾（35），我们有v（x）=-Q′（x）（43），其中Q（x）=ln（P（x））和Q′（x）=Q（x）/x、现在我们可以定义*=Z∞-∞dx v（x）P（x）（44）σv=Z∞-∞dx（v（x）- v*)P（x）（45）即，在坐标表示中，通常复数波函数ψ（x）描述概率振幅，而其绝对值平方|ψ（x）|（isreal value）是概率密度和r∞-∞dx |ψ（x）|=1（即，对于空间定位配置–对于非定域配置，如纯动量状态（23），面积更复杂；然而，出于我们的目的，我们不需要深入研究这些细节）。然后通过hbAi=R计算厄米特运算符ba的预期值o∞-∞dxψ*（x） bAψ（x），其中bA被假定为右侧的ac t（到ψ（x）），和ψ*（x）是ψ（x）的复共轭。更一般地，也就是说，不在坐标表示中，量子态由ket向量|ψi（及其共轭bra向量hψ|，hψ|ψi=1）描述，算符平均值通过hψ| bA |ψi（bA作用于右侧）计算。

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2022-5-26 19:11:38

出于我们的目的，坐标表示支持。注意，（44）中的被积函数是一个到tal的导数，所以v*= 0（作为P（x→ ±∞) → 0）。因此，我们有（我们设置x*= 0）σx=Z∞-∞dx xP（x）（46）σv=Z∞-∞dx[Q′（x）]P（x）（47）Cauchy-Schwartz不等式立即暗示σxσv≥Z∞-∞dx x Q′（x）P（x）= 1（48），其中最后一个等式从（39）开始，Q′（x）P（x）=P′（x）。我们有σxσv≥ 1（49）这是金融环境中不确定性原则的（不平等版本）。回到我们的例子（37），我们得到σx=2。另一方面，v（x）=符号（x）/，因此对于x>x，v（x）=1/*, v（x）=-x<x时为1/*, v*= 0，v（x）=1/，σv=1/。因此，对于拉普拉斯密度（37），我们有σxσv=√另一方面，如果我们取G高斯密度P（x）=exp(-（十）-x个*)/2）/√2π，我们得到σx=，v（x）=（x-x个*)/所以σv=1，不等式（49）是饱和的：σxσv=1。使（48）中的不等式饱和的必要和有效条件是xP（x）=αQ′（x）P（x）=αP′（x），因此是高斯分布（α=常数）。4.2.3 1/2去了哪里？但是等等！在量子力学的背景下，在（21）中，r.h.s.的1/2因子发生了什么变化？（49）中没有。怎么会这样？没有波函数！在量子力学中，我们研究的是波函数ψ（x），而不是概率密度P（x）。因此，我们有（x=hxi，p=hbpi）：x=Z∞-∞dxψ*（x） xψ（x）（50）σx=Z∞-∞dxψ*（十）(x） ψ（x）（51）p=Z∞-∞dxψ*（x） bpψ（x）=-i ~ Z∞-∞dxψ*（x） ψ′（x）（52）σp=Z∞-∞dxψ*（十）(bp）ψ（x）=Z∞-∞dx公司|bpψ（x）|（53），其中x=x-x、以及bp=bp- p（我们在（53）中按部分进行了整合）。回想一下，在比较量子力学和金融环境时，我们将~/m设为1。首先要注意的是，通常p 6=0。实际上，设ψ（x）=ρ（x）exp（iφ（x）），其中ρ（x）和φ（x）是实数。

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2022-5-26 19:11:41

ThenZ公司∞-∞dxρ（x）=1（54）p=~ Z∞-∞dxρ（x）φ′（x）（55）因此，相位φ（x）中的梯度通常产生非零平均动量。其次，我们仍然可以应用Cauchy-Schwartz不等式：σxσp≥Z∞-∞dxψ*（十）x个bpψ（x）（56）直接计算yieldsZ∞-∞dxψ*（十）x个bpψ（x）=i~+~Z∞-∞dx（x-x） ρ（x）φ′（x）（57），其中1/2的因子源于部分积分和使用（54）。（57）的r.h.s.上的第二项是实的，因此我们得到了著名的不等式σxσp≥~（58）由于量子力学中的归一化条件是（54）而不是（39），因此在（58）的r.h.s.上产生了1/2的额外因子。换言之，在量子力学中，我们处理（复波函数的）绝对值平方，而不是概率密度，而在金融中，我们直接处理概率密度。然后，在量子力学中，按部分积分会产生1/2的额外因子。5结论性意见在本说明中，我们以一种教学方式讨论了股票价格的长期效应，即i）正向定义和ii）内在波动。特别是，通过将预期收益视为“平均”与“最有可能”不一样来预测股票价格的长期行为，是一种误导，后者才是影响长期的因素。这可以归结为这样一个事实，即股票价格不是正态分布，而是具有倾斜的长尾（高端）分布，从而导致对预期价格的过度加权贡献，从而产生错觉效应。

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2022-5-26 19:11:45

在这方面，曼哈顿房地产的高度倾斜世界提供了一个恰当的类比：看平均房地产价格基本上是无用的，因为它们被相对较少的高端房地产所扭曲，用塔勒布（Taleb，2010）的话说就是“黑天鹅”。关于金融泡沫的讨论可以在【Sornette和Cauwels，2014】中找到。我们还讨论了价值的局部（短期）影响（不考虑价格的正确定性），也就是说，类似于金融中的不确定性原则。之前有工作在财务续文中暗指不确定性原则；然而，除了书中的附录【Baaquie，2007】之外，这些都是间接性质的，与量子力学粒子和布朗运动之间的简单ma p没有直接关系，其中不确定性原理是在更复杂的环境中使用路径积分公式推导出来的。这里我们只使用一个简单的二叉树，尽管如上所述，在路径积分公式中，在完成整个路径积分机制之后，最后一步的实际计算与我们在此讨论的基本相同。我们基于二叉树的简单推导的优点是：i）无需使用路径积分使事情复杂化；与布朗运动的联系是明确的。此外，正如我们在上文中详细解释的那样，金融不平等（49）与金融不平等（58）不同，没有1/2的系数（参见【Baakie2007】）。致谢我要感谢彼得·卡尔和阿尔贝托·伊格莱西亚斯，感谢他们的讨论激发了这篇文章。我要感谢奥林多·科拉迪尼对欧几里德量子力学中测不准原理的解释。参考Baaquie，B.E。

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2022-5-26 19:11:48

（2007）《Quantum Finance：期权和利率的路径积分和Hami l toni ans》。英国剑桥：剑桥大学出版社，第99-101页。Biane，P.（2010）It^o随机演算和海森堡交换关系。随机过程及其应用120（5）（2010）698-720。Black，F.a and Scholes，M.（1973）《期权定价与公司负债》。《政治经济杂志》81（3）：637-6 59。海森堡，W.（1927年）–《运动和机械的定量研究》中的anschaulichen博士。Zeitschrift f¨ur Physik 43（3-4）：172-198。Kakushadze，Z.（2015a）关于阿尔法的起源。Hed ge基金杂志108:47-50。在线提供：http://ssrn.com/abstract=2575007.Kakushadze，Z.（2015b）路径积分与资产定价。定量金融15（11）：1759-1771。在线提供：http://ssrn.com/abstract=2506430.See例如，【Biane，2010年】【Power s，2010年】【Soloviev和Saptsin，2011年】。Kennard，E.H.（1927）Zur Quantenmachik einfacher Bewegungstypen。Zeitschrift f¨ur Physik 44（4-5）：326-352。Miller，M.H.和Modigliani，F.（1961）《股息政策、增长和股票估值》。《商业杂志》34（4）：411-433。Power，M.R.（2010）《风险融资中的不确定性原则》。《风险金融杂志》11（3）：245-24 8。Protter，P.（2013）《金融泡沫的数学理论》。巴黎普林斯顿数学金融讲座（斯普林格数学讲稿）2081:1-108。Sharpe，W.F.（1966）共同基金业绩。《商业杂志》39（1）：119-138。Sharpe，W.F.（1994）夏普比率。《投资组合管理杂志》21（1）：49-58。Soloviev，V.和Saptin，V.（2011）《海森堡测不准原理和基本物理量的经济模拟用途》。计算机建模与新技术15（3）：21-26。Sornette，D.和Cauwels，P.（20 14）金融泡沫：机制和诊断。瑞士金融研究所研究论文，第14-28号。塔勒布，N.N。

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2022-5-26 19:11:52

黑天鹅：极不可能的影响。纽约州纽约市：兰登书屋（第二版扩充版）。Weyl，H.（1928）Gruppentheorie and Quantenmachik。德国莱比锡：Hirzel。Wick，G.C.（1954）Bethe-Salpeter波函数的性质。物理。修订版。96（4）：1124-1134。表1:4416种股票的fκiF值总结，基于香草回归指数、横截面减分回归指数和回归指数。r、 t.对数资本加权“市场”基准和returnseRisw。r、 t.上限加权“市场”基准k（详见第3.1小节）。另见图1、2、3和4。第一Qu.=第一个四分位数，第三Qu.=第三个四分位数，St-Dev=标准偏差，MAD=平均绝对偏差。数量最小第一季度中位数平均第三季度最大StDev MADRis-22.65-2.577 0.134 1.096 4.05 7 46.45 5.672 4.700eRis-18.91-1.514 2.278 4.373 8.55 7 47.57 8.373 6.798bRis-19.13-1.637 2.059 4.107 8 4 47.19 8.232 6.610Ris-31.55-3.491-0.656 0.27 0 3.406 39.58 6.527 4。885表2：带截距的κiover ln（Ci）横截面回归汇总，其中Ci是市值（样本外）。详见3.1小节。估计标准误差t-stat-istic OverallIntercept-10.598 0.8465-12.52ln（Ci）0.5655 0.0407 13.88Mult/调整。R平方0.0418/0.0416F-统计192.7表3：κiover ln（Ci）加10BICS扇区的横截面回归汇总（无截距–截距包含在二进制加载矩阵中OhmBICS扇区的iαasPα=1Ohmiα≡ 1），其中Ci是市场帽（样品外）。详见3.1小节。估计标准误差t-stat-istic总体Ln（Ci）0.6348 0.0393 16.13消费者Discr。

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2022-5-26 19:11:55

-11.515 0.8449-13.63能源-15.881 0.8775-18.10医疗保健-11.286 0.8253-13.68财务-9.8602 0.8231-11.98工业-13.176 0.8422-15.65材料-14.215 0.8766-16.21通信-13.214 0.8998-14.69消费品-10.415 0.9271-11.23公用事业-12.023 1.0054-11.96技术-12.546 0.8339-15.04Mult/调整。R平方0.1692/0.1671F-统计81.57表4：10个BIC部门的股票计数。在第二列中，股票代码的总数为4416，与表1相同。在第三列中，除去80个账面价值为0的股票和159个账面价值为负的股票后，股票总数为4177。详见3.1小节。行业计数国家消费者自由支配593 563能源376 357医疗572 511财务1010 955工业442 426材料297 284通信254 230消费者主食177 171公用事业102 100技术y 5 93 580表5：κiover ln（Ci）和X的横截面回归总结，其中Ci是市值（样本外），a和X在第一个子表中是P/B（待记账价格，样本外），在第二个子表中是B/P（记账价格，与P/B相反），在第三个子表中是P/B日志。股票编号为4177。详见3.1小节。估计标准误差t-统计量超线性系数-10.09 0.8647-11.67ln（Ci）0.542 0.0416 13.04P/B-6·10-53·10-4-0.224Mult/调整。R平方0.0392/0.0387F-统计85.05截距-10.307 0.9219-11.18ln（Ci）0.5496 0.0431 12.76B/P 0.1007 0.1454 0.692Mult/调整。R平方0.0393/0.0388F-统计85.27截距-10.463 0.8712-12.01ln（Ci）0.5730 0.0426 13.46ln（P/B）-0.2967 0.0905-3.277Mult/调整。

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