约束最优运输 - 外文文献专区

2022-5-26 18:37:51

然后，我们可以将对偶问题简洁地重写如下，Dot（f）=inf{c∈ R:k∈ 加热，使c+k≥ f}。此外，对偶函数Hot和原始测度qotar具有对偶性，即qotar是消除Hot的所有概率测度的集合。日期：2017年9月12日。2010年数学学科分类。G12，D53。关键词和短语。最优运输，鞅最优运输，凸对偶，正则凸集，Fenchel-Moreau定理。这项研究得到了ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会的部分支持，SNF 200021-153555.2 Ekren&S Oner我们基于对偶和原始元素之间的这种对偶性扩展了经典的最优运输问题。即，我们从Banach格X的拓扑对偶X′中正单位球面的凸子集qo开始。假设存在一个闭子空间HQ X使得Q是H的截面积⊥Q（HQ的零化子），拓扑对偶X′中正单位球。然后，直接应用经典的Fenchel-MoreauTheorem得到P（f）：=supη∈ Qη（f）（1.1）=D（f）：=inf{c∈ R: h类∈ 总部。t、 c e+h≥ f} ，则，f∈ X，其中e是Banach晶格X中的单位order。事实上，推论4.2证明了这种二元性是一般结果的结果。将凸对偶应用于映射D:X，证明了上述结果→ R、当X=Cb时(Ohm) 具有给定的拓扑空间Ohm, 我们也可以考虑D asa Lipschitz，有界和Borel可测函数上的凸函数，Bb(Ohm).那么，这个问题的凸对偶就是B的拓扑对偶上的一个函数(Ohm), 即，有界和完全可加泛函集ba(Ohm). 因此，要使所有有界和可测函数都具有对偶性，而不仅仅是连续函数，需要通过添加适当的ba子集来扩充原始测度(Ohm).

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可人4

2022-5-26 18:37:54

事实上，[8]的示例8.1表明，对ba的这种扩展(Ohm) 如果将对偶元素HQor等效为对偶问题D，则有必要。相反，我们从由P:a给出的双变量定义的原始问题开始∈ X′\'→ P（a）：=supη∈ Qa（η），其中Q是X′正单位球面上的给定闭凸集。由于人们可能会将X视为其双倍体的子集，因此这种方法包括对偶性（1.1）。此外，通过选择适当的X，可以嵌入Bb(Ohm) 作为X′的闭子集。一旦在对偶空间上定义了P，就可以通过直接分离式证明对偶性。特别地，我们在定理4.1中证明了p（a）：=supη∈ Qa（η）=D（a）：=inf{c∈ R: z∈ KQs。t、 c e+z=a}，一∈ X′，其中对偶集KQ由给出，KQ：={z∈ X′：z（η）≤ 0η∈ Q}。此外，根据KQI的定义，KQI是一个凸锥，并且很弱*关闭吉田（Yoshida）[34]表明，正如Krein&ˇSmulian（26）所定义的那样，对偶空间中的此类集合是规则凸的。正则凸性的定义性质是预对偶中的凸分离（见下文定义3.4）。这使我们能够用X′中的固定原始集Q证明X′中所述的对偶。特别地，我们在不增广Q或等价地不将Q扩展到ba的情况下识别对偶元素(Ohm). 此外，定理4.1证明了在X′的任何闭子空间L上，对偶只能与对偶集L保持∩ KQ。在应用中，需要进一步表征KQI。实际上，对于X=Cb的经典最优传输(Ohm) 和Ohm = Rd×Rd，命题5.4证明了对偶集Kot：=由Hot+X′给出的KQotis-, 其中热=（H⊥加班费）⊥是子空间H的零化子吗⊥加班费。集hot还被描述为两个自然集的sumConstrained最优传输3。

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2022-5-26 18:37:57

那么，Bb中的对偶性(Ohm) 在命题5.5中被证明为这些结果的一个序列。我们的方法与之前的研究截然不同，它基于Krein&ˇSmulian提出的正则凸性的概念[26]。事实上，引理3.5证明了一个普遍的结果，对偶集KQis是弱的*HQ+X′的正则凸包络-, 其中HQ：=（H⊥Q）⊥. 然后，为了证明这两个集合是相等的，需要证明HQ+X′-很弱*关闭证明这一点或刻画hqemanna的主要困难在于无界正则凸集的和可能不是正则凸集。我们使用[26]中的两个结果来克服这个问题。一个是经典的Krein&ˇSmulian定理。它指出一个集是正则凸的当且仅当它与所有有界球的交集是正则凸的。其次，有界正则凸集的和也是正则凸的。因此，在应用中，我们的方法必须证明对偶元素分解的一致逐点估计。事实上，引理5.3证明了最佳传输的这一估计，并考虑了C′b中命题5.4的双重结果(Ohm) 和Bb中的命题5.5(Ohm). 在命题7.2的证明步骤4中，得到了一个类似的超鞅估计，定理8.2中的IneQuality（8.3）证明了它对于鞅最优传输的估计。在第6节中，我们成功地将此技术应用于optimaltransport的扩展，我们称之为约束最优Transport。在这个问题中，通过指定原始度量集在X的有限维子集上的操作，进一步限制了原始度量集。Rachev Andruschendorf在[29][第4.6.3节]中针对下半连续函数也考虑了这类问题。

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2022-5-26 18:38:02

命题6.3通过Bb中的双向andalso中概述的方法证明了该扩展的对偶性(Ohm).抽象扩展的一个激励示例是鞅最优运输。在这个问题中，Qmotis是qott中的一组概率测度，它也表示γ（x）·（x）形式的所有函数- y）。实际上，设Hmot是formk（x，y）=（h（x）的全线性增长函数集- u（h））+（g（y）- ν（g））+γ（x）·（x- y），（x，y）∈ Ohm,对于一些线性增长的连续函数h，g和有界的连续向量值函数γ。那么，Qmotis是H的交点⊥莫特和单位正球面。这个问题也可以被看作是一个有约束的最优运输问题，但对偶集现在被扩展为可数函数，而不是很多函数。鞅最优运输首先由Beiglb¨ock、Henry Labord¨ere和Penkner在离散时间引入，然后由Galichon、Henry Labord¨ere和Touzi在连续时间引入。这种扩展的主要动机来自Hobson【20】和Hobson-andNeuberger【21】的模型自由融资或稳健对冲结果。最初的文献[6，17]也证明了连续函数的对偶性。Dolinsky和第二作者【14、15、16】进一步将二元性扩展到以下情况：Ohm 是通过离散化技术得到的c’adl’ag函数的Skorokhod空间，后来Hou和Ob l’oj【22】通过考虑进一步的约束对其进行了扩展。最近的手稿[18，19]也使用了雅库博夫斯基在theSkorokhod空间中的S-拓扑来研究鞅最优输运的性质。文献中还研究了鞅最优运输对偶的几种其他类型的推广。事实上，特别是在金融应用中，需要放松对偶问题定义中的逐点不等式。

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2022-5-26 18:38:05

初始文件【17】中已经使用了【31、32】中开发的准肯定框架4 Ekren&S Oner给出了该定义。在其他类型的扩展中，一个保持Ohm = Rd×rdbut研究了所有有界可测函数的对偶性，不仅是连续函数或上半连续函数。这个问题提出了有趣的新问题。Beiglb¨ock、Nutz和Touzi在最近的一篇论文中对一维空间进行了彻底的分析[8]。这篇文章除了描述对偶集外，还包含了几个激励示例和反例。最近的一篇手稿[28]研究了超鞅耦合。研究了线性增长连续函数Banach格上的鞅最优输运问题。在定理8.2中，我们得到了集Hmot=（H⊥mot）⊥消除了H中的原始符号度量⊥莫特。然而，设定Hmot+X′\'-不等于[8]的示例8.4和示例8.4中所示的Kmot=KQmotasshown。同样，在第7节中，我们研究了通过鞅测度定义的相关问题。这些问题与凸函数以及Strassen的经典结果密切相关【33】。第9节对这些连接进行了精确说明。在一系列论文中，Bartl、Cheredito、Kupper和Tangpi【4、12、13】也为这类对偶问题开发了一个功能分析框架。然而，他们从对偶问题开始，利用对偶泛函上的半连续性假设来刻画原始测度。在各种各样的问题中，包括存在摩擦的金融市场，它们非常有效地获得了上半连续函数的对偶结果。另一个相关主题是资产定价的无模型基本定理。近年来，在这个方向上有许多有趣的结果得到了证实[1、5、9、10、11]。

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大多数88

2022-5-26 18:38:08

这些结果基本上是从对偶元素开始的，并定义了原始测度，Q是它们的零化子。然后，他们主要关心的是证明Q包含可数可加Borel测度的元素。在这篇手稿中，我们从集Q作为x′的子集开始，并证明了对偶性。本文的组织结构如下。第2节介绍了本文使用的符号和基本结果。第3节定义了抽象问题并介绍了正则凸性。下一节将证明对偶结果。第4.1小节通过kq证明了X′中的第一个对偶结果，第4.2小节建立了完整的对偶inX。H+X′型对偶空间对偶的充要条件-对于子空间H，可在第4.3小节的定理4.4中获得。第4.4小节证明了商空间中的对偶结果。第5节研究了经典最优运输，第6节研究了约束最优运输的扩展。第7节定义并描述了鞅测度。这些结果在第8节中用于研究多维鞅最优输运。最后一节说明了双曲面上定义的凸函数的结果。2.

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2022-5-26 18:38:13

X，Y的凸闭子集的预备知识 Rd，我们表示Ohm := X×Y，对于Banachlattice X，我们使用以下标准符号，我们参考了Aliprantis&Border（2）和Yoshida（34）的经典书籍或Kaplan（23）的课堂讲稿X′是X的拓扑对偶，X′是X的对偶，oBb(Ohm) 是具有上确界范数的有界实值Borel可测函数的Banach空间，约束最优传输5oC(Ohm) 是所有连续实值函数的集合，oCb(Ohm) 是具有上确界范数的所有连续实值有界函数的Banach格。对于h∈ Cb（X）和g∈ Cb（Y），we set（h⊕ g）（x，y）：=h（x）+g（y），ω=（x，y）∈ Ohm.对于η∈ （Cb(Ohm))′, 其边缘，ηx∈ （Cb（X））′和ηy∈ （Cb（Y））′由ηx（h）给出：=η（h⊕ 0），ηy（g）：=η（0⊕ g），其中0是与0相同的常数函数。Banach空间X通过正则映射X嵌入到X′∈ X 7→ I（x）∈ X′，其中I（X）（X′）：=X′（X），x′∈ X′。显然，I的这种表示法依赖于底层空间，我们在表示法中抑制了这种依赖性。在X′上，我们使用X的阶诱导的阶。设X′＋是X′中所有正元素的集合，即η∈ X′＋如果η（f）≥ 每f 0∈ X和f≥ 0、Wede FINE X′-类似地。在X′上，我们使用X′诱导的顺序。我们总是假设Banach格X是一个具有由序单元e诱导的格范数的AM空间∈ X+，即（2.1）kfkX=inf{c∈ R:-c≤ f≤ c}，其中c：=c e。那么，双X′也是一个以I（e）为序单元的AM空间；[2] [理论9.31]。此外，（2.2）kakX′=inf{c∈ R:-c≤ f≤ c}，其中c：=c I（e）。我们还有，（2.3）η（e）=kη+kX′- kη-kX′， η∈ X′。我们用带集B+：=B来表示X中的单位球∩ X+。同样，我们假设B′和B′分别是X′和X′中的单位球。

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2022-5-26 18:38:17

我们设置B′+：=B′∩ X+，B′，：=B′\'∩ X+。对于给定的Banach空间Z的子集a和子集Θ Z′，A的零化子和Θ的前零化子由，A给出⊥:= {η∈ Z′：η（a）=0，一∈ A}，Θ⊥:= {a∈ Z：η（a）=0，η∈ Θ}。很明显⊥很弱*Z′和Θ闭合⊥在Z中是弱闭的。对于标量c，c表示等于c e的函数。显然，这种表示法依赖于顺序单位，但由于滥用了表示法，我们在所有域中使用相同的表示法。在本文中，我们主要使用Banach格Cb(Ohm) 或者spaceCl(Ohm) 由C定义的线性增长连续函数l(Ohm) := {f∈ C类(Ohm) : kfk公司l< ∞ } ,where，withlX（X）：=1+| X |，lY（Y）：=1+| Y |和l（x，y）=lX（X）+lY（Y），（2.4）kfkl:= supω∈Ohm|f（ω）|l（ω）。为了简化演示，我们将Cb表示为：=Cb(Ohm) 和Cl:= Cl(Ohm).6 Ekren&S Oner很明显，这两个空间都是AM空间，并且是Cbis e中的订单单位≡ 1、空间Cl订单单位为e（x，y）=l（x，y）。此外，加权空间SClX（X）和ClY（Y）也是具有顺序单位的AM空间lX和lY、分别为。我们还使用符号C：=C(Ohm) 并将其视为Frechet空间。那么，C′等于car，C(Ohm), 所有紧支持的可数加性正则度量。抽象问题设X是一个Banach格，具有（2.1）给出的格范数和序单元e。回想一下符号c：=c e，由于滥用了符号，我们在双元组中也使用了相同的符号。允许B′是X′中的单位球面。鉴于（2.3），我们有B′+：=B′∩ X′+=η∈ X′+：η（e）=1.我们分析的起点是一个闭凸集Q B′+。我们作出如下假设。假设3.1。

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kedemingshi

2022-5-26 18:38:21

我们假设Q是X′的非空、闭、凸子集，并且存在一个闭子空间HQ X此类t hatQ=H⊥Q∩ B′+。SetAQ：=小时⊥Q、 CQ：={λη：η∈ Q、 λ≥ 0}=H⊥Q∩ X′+。注意，Q的闭合线性跨度等于CQ- CQand始终是aq的子集。但总的来说，这种纳入可能是严格的。3.1。定义。给定Q，约束的最优传输由，P（a；Q）：=supη给出∈ Qa（η），a∈ X′。在双面，我们从圆锥K开始 X′满足（3.1）z∈ K和n∈ X′\'-=> z+n∈ K、然后，双约束最优运输问题定义为，D（a；K）：=inf{c∈ R: z∈ K使得c+z=a}，a∈ X′。我们总是使用空集的最小值为正的约定。本文主要关注的是将这两个问题联系起来。特别是，以下集合是相关的，HQ：=A⊥Q、 KQ：={z∈ X′：z（η）≤ 0， η∈ Q}。（3.2）然后，KQ={z∈ X′：z（η）≤ 0， η∈ CQ}。备注3.2。这两个集合彼此密切相关，因为我们总是有包含，HQ+X′- KQ。在引理3.5中，我们还表明*HQ+X′闭合-等于KQ。另一方面，如下面的示例8.4所示，此包含可能是严格的。事实上，KQis总是很弱*关闭，而HQ+X′\'-甚至可能不是强关闭。约束最优运输73.2。我们证明了D的几个简单性质，以供将来参考。设K为X′强拓扑下K的闭包。引理3.3。假设K满足（3.1）。然后，对于每个a∈ X′，D（a；K）=D（a；K）≤ kakX′。此外，如果D（a；K）>-∞, 那么就存在s za∈K满足，a=za+D（a；K）e.证明。修复a∈ X′。By（2.2），kakX′e≥ a、自X′起- K、 D（a；K）≤ kakX′。Let（c，z）∈ R×K为a=c e+z。设{zn}n K是一个收敛到z的序列。

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能者818

2022-5-26 18:38:25

根据（2.2），a=c e+z≤ [c+kz- znkX′e+zn。因此，通过（3.1），nn：=a- [c+kz- znkX′e- 锌∈ X′\'-=> 锌+nn∈ K、此外，a=[c+kz- znkX′e+[zn+nn]=> D（a；K）≤ c+kz- znkX′。由于上述情况适用于每对（c，z）∈ R×K满足a=c e+z，我们得出D（a；K）≤ D（a；K）。相反的不平等是直接的，因为K K、假设D（a；K）>-∞. 然后，有一个序列（cn，zn）∈ R×K，即a=cne+Zn，Cnt结束于D（a；K），因为n趋于完整。然后，kzn- zmkX′’=| cn- 厘米|， n、因此，{zn}是一个柯西序列。让za∈K是其极限点。然后，a=za+D（a；K）e。3.3。正则凸性。Krein&ˇSmulian在[26]中定义的正则凸性概念在这种情况下很有用，因为它允许在预对偶中进行凸分离。定义3.4（规则凸度）。设Z是Banach空间。A子集A 对于任何b 6，Z′称为正则凸if∈ A、存在η∈ Z这样的SUPF∈Af（η）<b（η）。吉田（Yoshida）[34]证明了一个集是正则凸的当且仅当其中的一个是凸的且弱*关闭我们还回顾了第10节附录中关于正则凸性的一个条件。之前确定的集合HQ和KQD都很弱*闭合和凸面。因此，它们是规则凸的。此外，由于功能分析的一般事实以及AQ和Q之间的关系，我们在空间KQ和HQ+X′之间有以下联系-.引理3.5。在假设3.1下，弱者*I（HQ）+X′的闭合-andHQ+X′\'-等于KQ。8 Ekren&S onerProof。让K成为弱者*I（HQ）+X′的闭包-. 自I（HQ）+X′起- KQ，我们还有K KQ。对于相反的论点，假设存在∈ KQ\\K.因为K是凸的和弱的*闭合的，它是规则凸的。因此，存在η∈ X′满足，（3.3）c：=supz∈Kz（η）<a（η）。由于K是一个圆锥体，并且包含0，我们得出结论c=0。因此，I（h）（η）≤ 每小时0∈ 总部。

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2022-5-26 18:38:29

根据HQis线性的事实，我们得出结论η∈ H⊥Q、而且，由于X′\'- K、 η≥ 0、特别是η∈ H⊥Q∩ X′+，根据假设3.1和定义CQ，我们得出结论η∈ CQ。另一方面∈ KQ。因此，a（η）≤ 这与（3.3）和c=0的事实相矛盾。这证明了弱者*I（HQ）+X′的闭合-等于KQ。最后，自HQ+X′以来- KQ，自我（总部）以来（H）⊥Q）⊥= 总部，我们有I（总部）+X′- 总部+X′\'- KQ。我们已经证明，弱者*上述最小集的闭包等于toKQ。因此，弱者*闭包是所有上述集合都等于KQ。4、对偶在本节中，我们证明了几个对偶结果，以及某些类型对偶的必要和有效条件。4.1。主要的二元性。以下是二元性的主要结果。定理4.1（对偶性）。假设Q是满足假设3.1的X′的凸集。设L是包含e和K的X′的强闭子空间 Lbe a圆锥体满足Z∈ K和n∈ L∩ X′\'-=> z+n∈ 然后，对偶性（4.1）P（a；Q）=D（a；K），一∈ 五十、当且仅当K的强closureK等于KQ时成立∩ 五十、此外，在K中有双重成就，即每一个a∈ L存在za∈ K满足，（4.2）D（a；K）e+za=a证明。修复a∈ 五十、设置LQ：=L∩ KQandDQ：={（c，z）∈ R×LQ：c+z=a}。鉴于（2.2），n：=-kakX′e+a≤ 因此，简单地说，n∈ LQ。因此，（kakX′，n）∈ DQ。特别是，DQI非空。假设（c，z）∈ DQ。Letη∈ Q、那么，η（e）=1，η≥ 0和z（η）≤ 每z 0∈ LQ。因此，a（η）=η（c）+z（η）≤ c、这证明了P（a；Q）≤ D（a；LQ）。因为Q是非空的，且η（e）=1表示每个η∈ Q、我们还得出结论-kakX′\'≤ P（a；Q）≤ D（a；LQ）。约束最优运输9因此，D（a；LQ）是有限的，存在一个序列（cn，zn）∈ Cn单调收敛于D（a；LQ）的DQso。然后，kzn- zmkX′’=| cn- cm |每n，m。

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2022-5-26 18:38:34

这意味着序列Zn的强极限存在并满足（4.2）。很明显，KQis在较弱的情况下关闭*拓扑，因此也封闭在强拓扑中。因为L是通过假设闭合的，所以za∈ LQ=L∩ KQ。Setc公司*:= P（za；Q）。自za以来∈ LQ，c*≤ 0、此外，za- c*∈ LQ和[D（a；LQ）+c*] e+[za- c*] = 一=> （D（a；LQ）+c*, za公司- c*) ∈ DQ。因为D（a；LQ）是所有常数c的最小值，所以有z∈ LQ满意（c，z）∈ DQ自c起*≤ 0，我们得出结论c*= 那么，a=za+D（a；LQ）ean，因此，P（a；LQ）=supη∈ Q[za+D（a；LQ）e]（η）=P（za；LQ）+D（a；LQ）=D（a；LQ）。因此，当K=LQ时，L上的对偶性成立。我们继续证明相反的含义。假设对偶性（4.1）适用于每个a∈ 五十、 SetK是K的强闭包。然后，通过引理3.3，D（·；K）=D（·；K）。我们首先声称LQ中含有K。固定z∈ K、根据对偶问题的定义，D（z；K）≤ 由于对偶性成立，supη∈ Qz（η）=P（z；Q）=D（z；K）=D（z；K）≤ 因此，z∈ KQ。为了证明相反的包含，让z*∈ LQ。然后，z*（η）≤ 每η0∈ Q、由于通过假设，二元性成立，我们得出结论C：=D（z*; K） =P（z*; Q） =supη∈ Qz公司*（η）≤ 根据引理3.3，有*∈ K使得z*= ce+a*. 自c起≤ 0，我们有∈ X′\'-. 自满足条件（3.1）以来，我们得出以下结论：*∈ K，因此，LQ K、因此，只要对偶成立，K=LQ。4.2。X的对偶性。我们继续证明X的对偶性。对于optimaltransport及其几个扩展，Zaev[36]还提供了当X=Cb时这种对偶性的证明(Ohm).对于任何f∈ X，滥用符号，我们写P（f；Q），而不是P（I（f）；Q）和D（f；HQ+X）-) 代替D（I（f）；I（总部+X-)). 接下来，我们使用定理4.1和L=I（X）来证明X中的对偶性。

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kedemingshi

2022-5-26 18:38:38

这一结果也可以证明为[2]定理7.51的直接结果。回想一下，第3节中定义了集合HQ和CQ。推论4.2（X中的对偶性）。在假设（3.1）下，P（f；Q）=D（f；HQ+X-), f∈ 十、10 Ekren&S onerProof公司。设K是HQ+X的强闭包-. 由于I（X）是一个闭集，从定理4.1的角度来看，必须证明K等于toKQ：={K∈ X:I（k）∈ KQ}。朝向相反的位置，假设有f∈ KQ\\K.由于K由其定义封闭，由Hahn Banach封闭，因此存在η∈ X′满足，c：=supf∈Kη（f）<η（f）。因为K包含HQ+X-, c=0，且η≥ 0.因此，η∈ H⊥Q∩ X′+，这个集合等于CQ。自I（f）起∈ kQ和η∈ CQ，η（f）=I（f）（η）≤ 这与矛盾假说相矛盾。这证明了KQ=K=HQ+X-因此，P（f；Q）=D（f；HQ+X-).我们现在用引理3.3来结束。备注4.3。很明显，双重成就相当于设定HQ+X的闭合-. 但是，通常情况下，此集合可能无法关闭。在这种情况下，二元性是成立的，没有双重成就。上面的推论说明了为什么对偶性通常在X中更容易证明。事实上，如引理3.3所示，由于对偶问题的值相对于格范数的先验规律性，对冲集及其强闭包为对偶问题提供了相同的值。这种关于强闭度的不变性正是上面用来证明X的对偶性的关键因素。在一系列的论文[4、12、13]中，发展了一种研究X中对偶性的替代方法。事实上，这些论文还非常有效地为一个非常一般的类建立了连续函数的对偶性。然后，利用解析近似技术将其结果推广到上半连续函数。4.3。具有较低子空间的对偶性。我们称X′中的集合为下曲面，如果它的形式是H+X′-对于某些子空间H。

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2022-5-26 18:38:43

在本节中，我们将研究这些类型的对偶集的对偶性何时成立。回顾第3节中定义的AQ、CQ、KQ、HQ。进一步设^AQ为Q的线性span。那么，^AQ=CQ- CQ。设置^hQ：=^A⊥Q、 AQ：=^HQ+X′\'-.对于Banach空间对偶中的任意a集B，B*是弱者*B.定理4.4的闭包。在假设3.1下，以下是等价的：（1）存在一个X′的子空间H，使得X′上的对偶与H+X′保持一致-, i、 e.，P（a；Q）=D（a；H+X′\'-), 一∈ X′。（2） AQ=KQ。（3） AQ的对偶性在X′上成立，即P（a；Q）=D（a；AQ），一∈ X′。（4） I（^AQ）*∩ X′′+=I（CQ）*.约束最优传输11此外，当（1）成立时，H是^hqa的子集和H+X′的强闭包-等于KQ。证据（1）=> （2）。对于任何a∈ H和η∈ Q、 a（η）≤ P（a；Q）=D（a；H+X′\'-) ≤ 由于H是一个子空间，以上暗示H^总部。设K为H+X′的强闭式-. 那么，K AQ公司 KQ。让a∈ KQ。然后，根据KQ的定义，P（a；Q）≤ 因此，D（a；K）=P（a；Q）≤ 由于K是闭合的，并且具有属性（3.1），因此存在z∈ 所以p（a；Q）e+z=a。我们再次使用属性（3.1）得出结论，a∈ K、所以我们已经证明了K=KQ。自K起 AQ公司 KQ，这也证明了AQ=KQ。（2）=> （3）。这直接来自定理4.1。（3）=> （1）。从引理3.3来看，^HQ+X′的原始问题-与它的闭包AQ具有相同的值。（4）=> （2）。对于对位，假设aq不等于KQ。莱塔∈ KQ\\AQ。作者：Hahn Banach∈ X′′，这样，c=supa∈AQ公司（a） <（a）。正如之前在类似情况下所争论的那样，我们的结论是∈^H⊥Q∩ X′′和c=0。自^H起⊥Qis等于弱者*关闭I（^AQ），∈I（^AQ）*∩ X′′正因此，∈I（CQ）*. 很明显（z）≤ 0，z∈ KQ， ∈ CQ公司*.因此（a）≤ 这与对立假设相矛盾。因此，AQ=KQ。（2）=> （4）。假设（4）的反义词成立。

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kedemingshi

2022-5-26 18:38:47

然后是∈I（^AQ）*∩ X′′+\\I（CQ）*.SinceI（CQ）*是规则凸的，存在∈ X′满足，c=sup∈I（CQ）*（a）<（a）。那么，很明显，c=0，因此，a∈ KQ。然后，通过（2），a∈ aq存在序列an=hn+zn∈^HQ+X′\'-收敛到X′的强拓扑。对于每个n，自hn起∈^HQ，（hn）=0，自zn起≤ 0，（zn）≤ 因此，（an）≤ 每n取0，通过让n趋于完整，我们得出以下结论：（a）≤ 这与的选择相矛盾，即（a）>c=0。备注4.5。可以证明其含义（4）=> （1）通过考虑空间X′中的对偶，然后应用推论4.2。然而，由于结构原因，这种方法需要条件（4）。下面的例子8.4表明，一般来说，HQ+X′都不是-nor^HQ+X′\'-等于KQ。[8]的示例8.4也显示了类似的现象。12 Ekren&S oner4.4。因子空间。在我们的上下文中，[26]的定理12指出，如果H是X′的正则凸子空间，则子空间H的对偶⊥等于商空间X′/H。这个结果提供了一个与之前改进的对偶非常相似的陈述，但具有双边不等式。引理4.6。假设假设假设3.1成立。然后，X′/HQis是AQ的拓扑对偶。因此，supη∈ AQ | a（η）| kηkX′=infh∈HQka公司- hkX′，a∈ X′。证据由于AQis的定义是封闭的，因此我们得出结论（HQ）⊥=A.⊥Q⊥= AQ。因此，文献[26]中的定理12暗示了引理的对偶性陈述。同时观察任何a∈ X′，supη∈ AQ | a（η）| kηkX′=kak（AQ）′=kakX′/HQ=infh∈HQka公司- hkX′。备注4.7。人们可以将上述方程的左侧解释为先验输运问题，右侧解释为其对偶问题。

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2022-5-26 18:38:50

事实上，（2.2）暗示了以下对偶性，其中Q=H⊥Q∩ B′，~P（a；~Q）：=supη∈Qa（η）=D（a；H）：=inf{c≥ 0： h类∈ H因此- c≤ 一- h类≤ c}。请注意，Q不是X′+的子集，这是上述恒等式和对偶性之间的一个重要区别（4.1）。经典最优运输这一节研究了康托洛维奇[24]在这一背景下的经典对偶结果。Kellerer[25]证明了一般Borel可测函数的最优输运对偶，Beiglb¨ock、Leonardand Schachermayer[7]最近给出了一个非常普遍的推广。我们还参考了安布罗西奥（Ambrosio）[3]的讲稿以及拉契夫（Rachev）和鲁斯·亨多夫（R¨uschendorf）[29]，维拉尼（Villani）[35]的经典著作以及其中的参考文献，以获取更多信息。5.1。组织对于两个闭合集X，Y RdsetOhm := X×Y，Cb=Cb(Ohm), Cx：=Cb（X），Cy：=Cb（Y）。Banach晶格X=cb具有阶单位e≡ 1、我们确定∈ M（X）和ν∈ M（Y），其中M（Z）是艾氏空间的给定Borel子集Z上的所有概率测度集。SetHot：={h⊕ g:h∈ Cx，g∈ Cyandu（h）=ν（g）=0}，Qot：={η∈ （C′b）+∩ B′：η（f）=0，f∈ 热}。受其定义、QoT和热满足假设3.1约束的最优运输13。Qotalso具有以下众所周知的代表性【25】。我们提供了其完整性的简单证明。我们首先注意到，根据其定义，Qotis是C′b的子集(Ohm) 和任何元素∈ C′b(Ohm) 是上的正则有界完全相加度量Ohm. 此外，如果且仅当它是紧的，即每>0，就有一个紧k，则是可加的 Ohm 使|Д(Ohm \\ K）|≤ （见[2]）。由于边缘u和ν是可数加性测度，我们在下面的引理中表明，qotar元素是紧的，因此是可数加性概率测度。引理5.1。任何η∈ C′b长度至Aot=H⊥otif且仅当ηx=η（1）u且ηy=η（1）ν时。

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大多数88

2022-5-26 18:38:54

此外，Qotis是M的非空子集(Ohm) 和η∈ Qotif且仅当ηx=u且ηy=ν时。证据清晰u×ν∈ Qotand因此Qotand因此H⊥otare非空。Letη∈ H⊥加班费。那么，对于任何h∈ Cx，h⊕ 0- u（h）∈ 热的因此，0=η（h⊕ 0- u（h））=ηx（h）- η（1）u（h）。因此，ηx=η（1）u。类似地，ηy=η（1）ν。相反的含义是直接的。假设η∈ Qot。然后，η（1）=1，因此，ηx=u，ηx=ν。它表明η在车内(Ohm) 或者等价地，它是可数相加的。对于每个>0，选择压缩集^Kx 十、 ^Ky Y，使u（^Kx），ν（^KY）>1- /2。然后，存在h∈ Cx，g∈ Cyand紧集Kx 十、科伊 Y这样0≤ h、 g级≤ 1，h（x）=1，每当x∈^Kx，h（x）=0表示所有x 6∈ Kx，且g（y）=1每当y∈^Ky，h（y）=0表示所有y 6∈ Ky.集合Ohm：=Kx x Ky.那么，对于任何η∈ Qot，η(Ohm）≥ η（h⊕ g） /2。自g，h起≤ 1，h（x），g（y）≥ h（x）g（y）。因此，h（x）+g（y）≥ 2h（x）g（y）=h（x）+g（y）- h（x）（1- g（y））- h（y）（1- g（x））≥ h（x）+g（y）- （1）- g（y））- （1）- h（x））=2[h（x）+g（y）- 1] 。这意味着（h⊕g） /2个≥ h类⊕0+0⊕g级-1、结合上述所有不等式，我们得出以下任何η∈ Qot，η(Ohm）≥ η（h⊕ g） /2个≥ η（h⊕ 0）+η（0⊕ g）- 1=u（h）+ν（g）- 1.≥ u（^K）+ν（^K）- 1.≥ 1.- 。因此，任何η∈ Qotis紧。此外η∈ 因此，C′带是规则且完全相加的。这意味着任何η∈ Qotis是一种可数加法。5.2。双元素。由于Qotis非空，根据推论4.2，连续函数的对偶性成立，即P（f；Qot）：=supη∈ Qotη（f）=D（f；热+（Cb(Ohm))-):= inf{c∈ R:h类∈ 加热，使c+h≥ f}，f∈ Cb。14 Ekren&S Oner我们继续研究双向和Bb中的对偶性(Ohm).

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2022-5-26 18:38:57

根据定理4.1，在kot为：={z的C′bholds上的对偶性∈ C′b:z（η）≤ 0， η∈ Qot}。根据引理3.5，Kotis是弱者*热+（C′\'b）闭合-, 其中：=h类∈ C′\'b:h（η）=0， η∈ Aot=小时⊥加班费.我们继续获得Hotand Kot的特征。然后我们用这些结果来证明Bb中的对偶性(Ohm).为此，首先观察投影图∏x：η∈ C′b7→ ηx∈ C′x和∏y：η∈ C′b7→ ηy∈ C′是算子范数为1的有界线性映射。同样，对于b∈ C′x，C∈ C′y，定义b⊕ c中的c′bby（b⊕ c）（η）：=b（ηx）+c（ηy）， η∈ 我们首先证明某些相关集是正则凸的。回想一下u∈ M（X）和ν∈ M（Y）给出了概率测度。SetB=Bu：={a∈ C′b：b∈ C′x，这样a=b⊕ 0和b（u）=0}，C=Cν：=一∈ C′b：c∈ C′y，使得a=0⊕ c和c（ν）=0.引理5.2。B和C是规则凸的。证据因为B和C都是凸的，所以我们需要证明它们也是凸的*关闭由于B和C的证明是相同的，我们只证明了B∏′x：C′x7→ C′bbe是∏x的伴随算子。那么∏′x（b）（η）=b（∏x（η））=b（ηx）=b⊕ 0（η），b∈ C′x，η∈ C′b。尤其是，b=∏′x（{b∈ C′x:b（u）=0}）。另外，集合{b∈ C′\'x:b（u）=0}是弱*闭合的。因此，根据closedrange定理【30】【定理4.14】，弱*B的封闭性由映射∏x的射影性（以及其范围的封闭性）表示。实际上，fixβ′∈ C′y∩ B′+。那么，对于任何α∈ C′x，∏x（α×β′）=α。因此∏xis是满射的，因此，B是规则凸的。我们继续描述Kot。需要对该结果进行以下估计。对于R>0，设置BR：=B∩ B′R，CR：=C∩ B′R引理5.3。对于任何R>0，我们有，（B+C）∩ B′R BR+CR，（B+C+（C′B）-) ∩ B′R B3R+C3R+[（C′b）-∩ B′7R）。受约束的最优运输证明。第一个陈述的证明更简单，因此我们只证明第二个估计。

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2022-5-26 18:39:01

也可以通过缩放它来考虑R=1的情况。集合K：=B+C+（C′\'B）-和fix z∈ K∩ B′。然后是b∈ C′x，C∈ C′Yan和n∈ （C′b）-所以z=b⊕ c+和b（u）=c（ν）=0。那么，对于任何α∈ M（X）和β∈ M（Y），b（α）=b（α）+c（ν）≥ z（α×ν）≥ -1c（β）=b（u）+c（β）≥ z（u×β）≥ -因此，b，c≥ -1、设置，b：=b∧ 2，b：=b- b（u）1，c：=c∧ 2，c：=c- c（ν）1。我们知道z≤ b⊕ c、 z≤ 1和b、c≥ -1、利用所有这些，我们得出结论z≤ b⊕ c、此外，b（u）≤ b（u）=0和c（ν）≤ c（ν）=0。这意味着b（u），c（ν）∈ [-1，0]。因此，z≤ b⊕ c≤ b⊕ c=b⊕ 0+0⊕ c、此外，b=b∧ 2.- b（u）1≤ 2+1≤ 3，b=b∧ 2.- b（u）1≥ b∧ 2.≥ -1、因此，b⊕ 0∈ B、类似地，0⊕ c∈ C、最后，设置n：=z- b⊕ c、现在很清楚，0≥ n∈ B′。5.3。二元性中的二元性。现在我们得到了双元素的完整特征。提案5。我们有Hot=B+C和Kot=B+C+（C′\'B）-= 热+（C′b）-.特别是∈ C′b，Dot（a）：=D（a；Kot）=D（a；b+C+（C′b）-)= 最小值{c∈ R: b∈ B、 c类∈ C、这样C 1+b⊕ c≥ a}=Pot（a）：=P（a；Qot）证明。集合K：=B+C+（C′\'B）-. 很明显，K 科特。第1步。（K的正则凸性）。根据引理5.3，对于任何R>0，K∩ B′R KR：=B3R+C3R+（C′b）-∩ B′7R。引理5.2表明B和C是规则凸的。很明显，（C′b）-也是规则凸面。因此，B3Rand C3Rand以及C′\'-∩ B′′7对于每个R>0，都是稀疏规则凸的。根据[26]的定理7，KRis然后是正则凸的。因此，根据引理10.1，K是正则凸的。第2步。（热=B+C）。让a∈ 热=A⊥加班费。对于α∈ C′x，β∈ C′yde fineb（α）：=a（α×ν），C（β）：=a（u×β）。那么，对于任何η∈ C′b，（b⊕ c）（η）- a（η）=a（|η），其中|η=ηx×ν+u×ηy- η。16 Ekren&S onerOne可以直接检查|ηx=u和|ηy=ν。因此，通过引理5.1，|η∈ AOTAND因此a（|η）=0。这表明a=b⊕ cor等效热 B+C。相反的夹杂物立即出现。第3步。

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2022-5-26 18:39:05

（结论）。根据引理3.5，Kot=KQotis弱*热+（C′\'b）闭合-. 第二步，热+（C′\'b）-= B+C+（C′B）-=: K、在第一步中，显示K是规则凸的，因此较弱*关闭因此，弱者*K=热+（C′\'b）闭合-等于自身。对偶陈述来自定理4.1。5.4。Bb中的对偶性(Ohm). 我们通过证明Bb上的对偶性来结束这一部分(Ohm), 所有有界、Borel可测函数的集合。设Notbe为所有qotpolaresets的集合，即当η（N）=0时，对于每个η，Borel集N为Qotpolar∈ Qot。进一步将所有函数的集合设为ζ∈ Bb型(Ohm) 使得{ζ6=0}∈ 不最后，setH∞ot：={h⊕ g:h∈ Bb（X），g∈ Bb（Y）和u（h）=ν（g）=0}^h∞ot：={ζ+h⊕ g：ζ∈ Zot，h⊕ g级∈ H∞ot}。我们按照卡普兰（Kaplan）[23]的讲稿来描述对偶集。命题5.5（Bb中的对偶性(Ohm)). 对于任何ξ∈ Bb型(Ohm),Pot（ξ）=Dξ；^H∞ot+Bb(Ohm)-= 最小值{c∈ R: ζ∈ Zot，h⊕ g级∈ H∞ot，使c 1+ζ+h⊕ g级≥ ξ}。证据根据定理4.1，必须显示以下Kot：={ξ∈ Bb型(Ohm) : 电位计（ξ）≤ 0}=^H∞ot+Bb(Ohm)-.很明显，^H∞ot+Bb(Ohm)- 科特。我们继续证明相反的包含。第1步。固定ξ∈ 科特。然后，I（ξ）∈ 根据5.4号提案，有∈ C′x，C∈ C′\'x满意，I（ξ）≤ b⊕ c和b（u）=c（ν）=0。考虑地图，Gb:H∈ L(Ohm, u）7→ Gb（H）：=b（uH），其中uH（A）：=ZAH（x）du（x）。G是L上的有界线性映射(Ohm, u）。因此，存在shξ∈ L∞（X，u）满足，Gb（H）=ZXhξ（X）H（X）du（X）=uH（Hξ）。我们将上述恒等式改写如下，b（α）=α（hξ），α∈ C′x和|α|<< u。类似地，还有gξ∈ L∞（Y，ν）使得c（β）=β（gξ），β∈ C′yand |β|<< ν。我们确定hξ和gξ以及setNξ的逐点表示：={ω∈ Ohm : ζξ（ω）>0}，其中ζξ（ω）：=[ξ- hξ⊕ gξ]（ω）。第2步。在这一步中，我们展示了（ζξ）+∈ 佐特。约束最优传输17Fixη∈ Qot。

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能者818

2022-5-26 18:39:09

设{ν（x，·）}x∈十、 M（Y）和{u（Y，·）}Y∈Y 满足z的M（X）be可测概率测度族Ohmζdη=ZXZYζ（x，y）ν（x，dy）u（dx）=ZYZXζ（x，y）u（y，dx）ν（dy），对于每ζ∈ Bb型(Ohm). 由于η是一个概率度量，我们可以定义ηξ∈ C′bby，ηξ（f）：=ZNξf dη，f∈ Cb。然后，可以直接表明，对于每个Borel集十、（ηξ）X（A）=ZAZYχNξ（x，y）ν（x，dy）u（dx）。由于（ηξ）xis相对于u是绝对连续的，hξ的构造意味着（b⊕ 0）（ηξ）=b（（ηξ）x）=（ηξ）x（hξ）=ZOhmhξ（x）χNξ（x，y）η（dx，dy）。类似地，可以证明，（0⊕ c）（ηξ）=b（（ηξ）y）=（ηξ）y（gξ）=ZOhmgξ（y）χNξ（x，y）η（dx，dy）。这意味着0≤ （b）⊕c-I（ξ））（ηξ）=ZOhm[（hξ⊕gξ）-ξ] χNξdη=Z- ζξχ{ζξ>0}dη=-η（（ζξ）+）≤ 因此，对于每个η，η（（ζξ）+）=0∈ Qotand（ζξ）+∈ 佐特。第3步。ζξ的定义意味着ξ=[ξ- hξ⊕ gξ]+hξ⊕ gξ≤ （ζξ）+hξ⊕ gξ。由于u（hξ）=ν（gξ）=0，这证明了ξ∈^H∞加班费。备注5.6。套期保值集^H的上述对偶问题∞OTC也可以被视为[17、31、32]中定义的准肯定超级复制。实际上，我们说的是两个函数l, ξ满足l ≥ ξ、 Qotquasi肯定和写l ≥ ξ、 Qot公司- q、 s.，如果η({l < ξ} ）=每η0∈ 如果设置{l < ξ} 是Qotpolarset。然后，我们得到对偶问题的以下直接表示，D（ξ；^H∞ot+Bb(Ohm)-) = inf{c∈ R:h类⊕ g级∈ H∞ot，s.t.c1+h⊕ g级≥ ξ、 Qot公司- q、 s.}。在Kellerer的经典论文[25]中，对偶性是用模糊限制setH证明的∞不使用Qotpolar集对其进行扩充。

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2022-5-26 18:39:13

特别是，Kellerer的对偶结果表明，每个Qotpolar集N都由unull集a和νnull集B之和控制，即（5.1）χN（x，y）≤ χA（x）+χB（y），u（A）=ν（B）=0。Kellerer利用经典Choquet容量理论证明了上述结果。事实上，如果原始泛函如Choquet定理所假设的那样具有一定的正则性，那么结果就会随之而来。然后，我们用卢辛定理和其他近似方法展示了这些性质。另一方面，我们的结果表明∈ C′x，C∈ C′y满足，I（χN）≤ b⊕ c、 b（u）=c（ν）=0.18 Ekren&S onerTo从上述陈述中证明（5.1）是一个有趣的分析问题。特别是，不清楚通过Choquet容量理论的Keller方法是否是唯一可能的方法。我们将这些问题留给进一步的研究，而不是在这里继续研究。约束最优运输在本节中，我们研究了经典最优运输的一个扩展。在这个扩展中，我们得到了一个有限子集{f，…，fN} Cb。我们设置Q：=Q，k=1，N、定义，Qk：=H⊥k∩ B′+，其中Hk：=（f+kXi=1aifi:f∈ 热，ai∈ R）。我们作出以下结构假设。假设6。1、对于k=1，N、我们假设infη∈ Qk公司-1η（fk）<0<supη∈ Qk公司-1η（fk）。备注6.2。上述假设等同于以下假设：，-P(-fk；Qk公司-1） <0<P（fk；Qk-1），对于每k=1，2，N、在此假设中，值零并不重要。事实上，如果满足-P(-(R)fk；Qk公司-1） <P（\'fk；Qk）-1），则存在常数bk，因此fk：=(R)fk- BK满足假设6.1。此外，假设6.1意味着Qkis非空且满足假设3.1。相反，不等式-P(-fk；Qk公司-（1）≤ 0≤ P（fk；Qk-1），是qkt非空所必需的。

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2022-5-26 18:39:17

设置H：=热，Qcot：=QN，Hcot：=HN，Hcot：=（H⊥cot）⊥,Kcot：={z∈ C′b:z（η）≤ 0，η∈ Qcot}，设fk为I（fk）所跨越的子空间。提案6.3。假设假设假设6.1成立。然后，Hcot=热+NXi=1Fi，Kcot=Hcot+（C′\'b）-.特别地，P（a；Qcot）=D（a；Hcot+（C′\'b）-)= 最小值c∈ R:h类∈ C′x，g∈ C′y，a，一∈ R如h所示⊕ g+NXk=1akI（fk）≥ a）。约束最优运输证明。SetHk：=（H⊥k）⊥, Kk：={z∈ C′b:z（η）≤ 0，η∈ Qk}，k=1，N、很明显，Hcot=HNand Kcot=KN。我们将通过归纳法证明Hk=Hot+kXi=1Fi，Kk=Hk+（C′\'b）-, k=1，N、我们知道上述陈述适用于k=0。实际上，H=Hotby定义，根据命题5.4，K=Hot+（C′\'b）-. 假设现在索赔成立- 1带一些k≥ 1、设置H：=Hk-1+FK和K：=Kk-1+Fk。我们声称H和K都是弱的*关闭由于这两种证明是相似的，我们仅用引理10.1证明了第二种陈述。修复任意a∈ K∩ B′。然后是zk-1.∈ Kk公司-1和ak∈ R满足，a=zk-1+akI（fk）。自Kk以来-1=香港-1+（C′b）-, 有香港-1.∈ 香港-1和nk-1.≤ 0这样的ZK-1=香港-1+nk-此外，假设6.1规定p：=infη∈ Qk公司-1η（fk）<0<p：=supη∈ Qk公司-1η（fk）。我们分别分析了两个案例。首先，假设ak≥ 0那么akp≥ infη∈ Qk公司-1（zk-1+akI（fk））（η）=infη∈ Qk公司-1a（η）≥ -1、由于p＜0，ak≤ 1个/(-p）。接下来，假设ak≤ 0

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2022-5-26 18:39:20

那么，akp≥ supη∈ Qk公司-1（zk-1+akI（fk））（η）=supη∈ Qk公司-1a（η）≥ -1、因此ak≥ -1/（p）。结合这两种情况，我们得出结论| ak |≤ c*k： =最大值p-p.因此，kzk-1公里∞≤ 1+c*kkfkk公司∞.现在我们应用附录中的引理10.1，得出K是正则凸的结论。因此，K=Kk。因为K被定义为Kk-1+Fk，根据归纳假设，Kk-1=香港-1+（C′b）-=> Kk=K=香港-1+Fk+（C′b）-.类似的归纳论证表明Hk=Hk-1+Fk。因此，我们得出结论kk=Hk+（C′\'b）-Hk=热+kXi=1Fi。上述特征、定理4.1和qcot满足假设3.1的事实都证明了对偶性。20 Ekren&S Oner我们可以证明Bb中的对偶性(Ohm) 如提案5.5所述。我们陈述这个结果，但没有完整性的证明。设zcot是所有有界函数ζ的集合，使得η（{ζ6=0}）=0对于每个η∈ Qcot。设置^H∞cot：=（ζ+h）⊕ g+NXi=1aifi：ζ∈ Zcot，h⊕ g级∈ H∞ot，ai∈ R）。推论6.4。对于任何ξ∈ Bb型(Ohm),Pcot（ξ）=Dξ；^H∞cot+Bb(Ohm)-.鞅测度和超鞅假设X=Y Rdbe凸集和闭集。回想一下Cl= Cl(Ohm) := {f∈ C类(Ohm) : kfk公司l< ∞ } ,采用（2.4）中规定的加权标准。7.1。定义。定义线性函数T:Cb（X；Rd）7→ ClbyT（γ）（x，y）：=γ（x）·（x- y），则，（x，y）∈ Ohm γ∈ Cb（X；Rd）。很明显，T（γ）∈ Cl和伴随T′：C′l7.→ C′b（X；Rd）满意度，T′（η）（γ）=η（T（γ））， ω=（x，y）∈ Ohm, γ∈ Cb（X；Rd），η∈ C′l.设T′：C′b（X；Rd）7→ C′\'l是T′的伴随。那么，T′（I（γ））=I（T（γ））， γ∈ Cb（X；Rd），其中I是Cb（X；Rd）到C′\'b（X；Rd）的正则映射。然后，我们确定一个子项TD C′\'l截止日期：D：=f∈ C′\'l: g级∈ C′b（X；Rd），使得f=T′（g）.等价地，D是伴随算子T′的范围。最后，setM：=M⊥, 其中M：=η∈ C′l：η（T（γ））=0， γ∈ Cb（X；Rd）,S：={h∈ C′l:h（η）≤ 0， η∈ M∩ （C′）l)+} .很明显，D M和D+（C′）l)- S、定义7.1。

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2022-5-26 18:39:23

M的任何元素η称为鞅测度，任何M∈ Ma鞅和任意h∈ 这是一个超级鞅。7.2。案例X=Y=Rd。以下结果描述了上述集合的特征，也激发了该定义中使用的术语。提案7.2。设X=Y=Rd。然后，D和D+（C′\'l）-有规律地凸出。特别是，D=M和D+（C′）l)-= S、因此，在Ohm = Rd×Rd，任何鞅的形式都是T′（g）和h∈ C′\'l是asuper鞅当且仅当它由鞅控制。约束最优运输21Proof。我们再次使用闭区间定理来证明这个结果。第1步。（T范围关闭）。设γnbe为Cb（X；Rd）中的一个序列，使得ξn=T（γn）强收敛于ξ∈ Cl. 对于每个x∈ 十、和正整数n，m，setyn，m（X）：=X-γn（x）- γm（x）|γn（x）- γm（x）|。那么，|γn（x）- γm（x）|=|ξn（x，yn，m（x））- ξm（x，yn，m（x））|≤ kξn- ξmkCl[2+| x |+| yn，m（x）|]≤ 3[1+| x |]kξn- ξmkCl.因此，{γn}是Cb（X，Rd）中的局部Cauchy。因此，当n趋于完整时，γn局部一致收敛为连续函数γ∈ C（X；Rd）。此外，很明显ξ=T（γ）。我们认为γ是有界的。实际上，sety（x，λ）：=x- λγ（x）|γ（x）|，λ>0，x∈ X，γ（X）6=0，当γ（X）=0时，设置y（X，λ）=0。然后，我们直接估计，|γ（x）|=λξ（x，y（x，λ））≤λkξkCl[2+| x |+| y（x，λ）|]≤λkξkCl[2+2 | x |+λ]。我们让λ最终得出以下估计值，（7.1）kγkCb（X；Rd）≤ kξkCl= kT（γ）kCl, γ∈ Cb（X；Rd）。第2步。（D=M）。上一步显示T的范围已关闭。然后，根据闭区间定理【30】【定理4.14】，T′的区间很弱*并且norm关闭。我们现在将同样的定理应用于T′，得出T′的范围很弱的结论*关闭由于D被定义为T′的范围，并且它是线性的，我们得出结论，它是规则凸的。因此，M=D。步骤3。

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2022-5-26 18:39:27

（地图）。定义线性映射L:Cl7.→ ClbyL（f）（x，y）：=f（x，2x- y），则，（x，y）∈ Ohm, f∈ Cl.然后，可以直接验证对于任何（x，y）∈ Ohm 和γ∈ Cb（X；Rd）以下恒等式成立：L（T（γ））（X，y）=T（γ）（X，2x- y） =γ（x）·（x）- （2倍- y））=-T（γ）（x，y）。我们将其与η一起使用∈ C′l和γ∈ Cb（X；Rd）到达时间为（I（γ））（η）=η（T（γ））=-η（L（T（γ））=-L′（η）（T（γ））=-T′（I（γ））（L′（η））。弱者*C′b（X；Rd）中I（Cb（X；Rd））的密度，我们得出结论，上述对于C′b（X；Rd）的任何元素都成立，即T′（g）（η）=-T′（g）（L′（η））， g级∈ C′b（X；Rd），η∈ C′l.此外，对于任何f∈ Cl和（x，y）∈ Ohm,|L（f）（x，y）|=| f（x，2x- y） |≤ kfkC公司ll（x，2x- y）≤ 3kf kCll（x，y）。22 Ekren&S onerthus，对于任何η≥ 0，kL′（η）kC′l≤ 3kηkC′l.同样，L′（η）≥ 0每当η≥ 0、步骤4。（估计）。设a是D+（C′）的任意元素l)-. 然后，存在g∈ C′b（X；Rd）使得T′（g）（η）≥ a（η）。对于任何η∈ （C′）l)+, 上一步表示如下，T′′（g）（η）=-T′（g）（L′（η））≤ -a（L′（η））≤ 3kakC′kηkC′l.我们还有，T′（g）（η）≥ a（η）≥ -kakC′kηkC′l.因此，kT′（g）kC′l≤ 3kakC′\'l, 每当T′（g）≥ a、我们将上述估计总结为以下（D+（C′）l)-) ∩ B′\'l,R D∩ B′\'l,3R+（C′）l)-∩ B′\'l,4R， R>0，其中b′\'l,R=不适用∈ C′\'l: kakC′\'l≤ 1o。第5步。（D+（C′）l)-规则凸面）。由于D被证明是正则凸的，通过前面的步骤和附录的引理10.1，我们得出结论D+（C′）l)-也是规则凸面。因此，D+（C′）l)-等于其规则凸包络S。我们现在给出了以下推论，而无需证明，这是D+（C′）正则凸性的直接结果l)-.推论7.3。对于∈ C′\'l,P（a；M）∩ B′+）=D（a；D+（C′）l)-)= 最小值c∈ R:g级∈ C′b（X；Rd），使得C 1+T′（g）≥ 一.8.

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2022-5-26 18:39:31

鞅最优运输在这个例子中，我们取X=Y=rd，并设置X=Cl单位元素e（x，y）=l（x，y）：=lX（X）+lY（Y）=（1+| x |）+（1+| Y |）。我们还使用符号CX：=ClX（X），CY：=ClY（Y）。约束最优运输238.1。组织如第5节所述，我们确定u，ν。我们假设它们是凸序的。对于任何α∈ CX，β∈ CY，setm*:= m级*X+m*Y、 m级*十： =u(l十），m*Y： =ν(lY）。回想一下，第7节将鞅测度集M定义为该节再次介绍的映射T范围的零化子。设置，Hmot：=h类⊕ g+T（γ）：h∈ CX，g∈ CY，γ∈ Cb（X；Rd）,^Qmot:=H⊥mot公司∩ B′+。那么，任何η∈^Qmotsatisη∈ ca+r(Ohm) ηx=η(Ohm)u，ηy=η(Ohm)ν。特别是η（e）=η(l) =ZOhml（x，y）η（dx，dy）=m*η(Ohm) = 1、设置，Qmot：=nη∈ C′l: η/米*∈^Qmoto。那么，Qmot=Qot∩ M、我们还注意到，根据Strassen定理[33]，Qmotisnon-empty当且仅当u和ν是我们一直假设的凸序。对于任何η∈ Qmot，η(l) = m级*. 因此，η∈^Qmot<=> m级*η∈ Qmot公司。特别是，Pmot（·）=m*P（·；^Qmot），其中Pmot（a）：=supη∈ Qmota（η）。塞斯莫特=H⊥mot公司⊥, Kmot：=KQmot=K^Qmot。根据定理4.1，P（a；^Qmot）=P（a；Kmot），一∈ C′\'l.可以直接验证我(l - m级*) ∈ Hmot。因此，对于任何∈ C′\'l,Pmot（a）=m*P（a；^Qmot）=m*D（a；Kmot），=米*最小值{c∈ R: z∈ K使cI(l) + z=a}=min{c m*∈ R: z∈ K不要这样做C m*1+[c I(l - m级*) + z] =a}。对于任何η∈ 任意z的Qmotand∈ X′，c∈ R、我们有，η（c I(l - m级*) + z） =c[η(l) - m级*] + η（z）=η（z）。因此，~z：=c I(l - m级*) + z∈ Kmotif且仅当z∈ 国民党。这意味着Pmot（a）=min{c∈ R:z∈ Kmot使得▄c1+▄z=a}（8.1）=：Dmot（a）。我们将上述结果总结如下。定理8.1。假设u和ν为凸序。然后，对于每个a∈ C′\'l,Pmot（a）=supη∈ Qmota（η）=Dmot（a）。24 Ekren&S oner8.2。地图T。

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