状态相关极限序书的泛函极限定理

2022-5-6 06:02:21

通过选择标度，价格遵循一个扩散过程，而体积密度函数可以通过一个与价格过程耦合的有限维SDE来描述。作为特例，我们得到了绝对连续（时间）体积密度函数的大数型标度定律。+感谢SFB 649“经济风险”的财务支持。我们感谢各个机构的研讨会和会议参与者提供的有用意见和建议。这篇论文是在霍斯特访问比勒菲尔德大学跨学科研究中心时完成的。感谢您的盛情款待。本文的早期版本名为《极限序书的泛函极限定理》。我们注意到，一些交易所也使用基于按比例分配的匹配算法。2克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟丘1。1.文献综述。有大量关于LOB的经济和计量经济学文献[2、4、12、8、10、29]，其中非常强调LOB工作的现实建模。同时，只有少数作者从更概率的角度分析了LOB动态。Kruk[22]研究了一个具有多个价格水平的排队论LOB模型。对于两个价格水平的特殊情况，在他的模型中，书的顶部的长期买卖订单的标度数弱收敛于第一象限的半鞅反映的二维布朗运动。Cont、Stoikov和Talreja[6]提出了一个LOB模型，其中LOB动态遵循一个遍历马尔可夫过程，包含许多次级价格水平。Cont和Delarard[5]为马尔科夫限价指令市场建立了一个比例限制，在该市场中，账簿的状态由最佳买入价和卖出价以及这些价格下的流动性（“账簿顶部”）表示。

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nandehutu2022

2022-5-6 06:02:24

在重交易条件下，他们的买卖队列长度由第一象限的二维布朗运动给出，并在边界处反映到内部，类似于[22]中两个价格水平的扩散极限。当研究选定价格水平[5,22]下金融价格波动或联合价格和交易量波动的标度极限时，该极限自然可以通过普通微分方程或有限维扩散过程来描述，具体取决于标度的选择。考虑到整本书的动态性，数学分析更具挑战性。据我们所知，Osterrieder[28]是第一个将LOB建模为度量值差异的人。Horst和Paulsen[14]是第一个证明完整订单的缩放限制的人。随着规模的选择，产量和价格的联合动态收敛到一个耦合系统，该系统由两个描述限制产量动态的偏微分方程和两个描述限制价格动态的常微分方程组成。[11]中分析了一个相关模型，该模型在近似序列中具有依赖于状态的价格，但在极限中具有恒定的价格，其中还根据实际LOB数据对缩放极限进行了经验测试。Lakner等人[15]推导了单边限价指令簿模型的缩放极限，假设平均投资者将其限价指令置于当前最佳卖出价之上。[16]分析了相反的情况，即订单以更高的概率排列在排列中，作者使用简单的单边极限订单簿模型和分支随机游走之间的耦合来描述扩散极限。Lasry和Lions[25]从平均场博弈的角度出发，也通过一个耦合的PDE模型和价格给出的界面来描述LOB；另见[26]。

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能者818

2022-5-6 06:02:27

Keller Ressel and M¨uller[21]将LOB描述为一个由随机界面（随机斯特凡问题）分隔的SPD耦合系统，该界面可以再次解释为价格。尽管大量经验证据表明，订单簿的状态，尤其是订单簿顶部的订单不平衡，对订单动态有着显著的影响（见[2,4,12]和其中的参考文献），但大多数限价订单簿模型中的订单流要么遵循独立的泊松动态，要么仅取决于价格过程，如[11,14,15,16]所示。值得注意的例外是papersby Abergel和Jeddi[1]，其中使用了Hawkes型动力学，Huang等人[17]和Huang andRosenbaum[18]研究了一般马尔可夫订单模型的遍历性，并推导出了该一般框架中重新标度的价格过程的影响，Horst和Kreher[13]获得了具有完全状态相关事件动力学的LOB的确定性标度极限。在本文中，我们考虑了全LOB动态的差异极限，包括价格和交易量，其中价格动态取决于常备交易量。1.2. 我们的贡献。正如[14]中所述，我们的限价结果需要两个时间尺度：一个用于在价差外取消和限价下单的快速时间尺度，另一个相对缓慢的时间尺度，用于具有状态相关价格动态+市场订单到达和价差内限价下单的功能性限价定理。不同的时间尺度说明了一个有据可查的事实，即安置和取消的发生频率远高于价格变化。例如，Horst和Paulsen[14]使用2014年1月2日的龙虾数据计算了苹果（0.016）、Ebay（0.02）、Facebook（0.02）和微软（0.002）收到订单触发价格变化的经验概率。

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2022-5-6 06:02:30

[11]中报告了美国股票银行的类似顺序估计。在我们的模型中，价差中的市场订单和限价订单会触发价格变化。我们将这些订单类型称为活动订单。活跃订单成为市场订单或在账簿的买入或卖出端下单的概率取决于常备量。限价定单除了差价和取消常备量不会导致价格变化。我们将这些订单类型称为被动订单。被动订单分别根据与随机金额（放置）和提议（取消）的最佳出价和要价之间的独立泊松-阿兰多姆距离到达。在这个框架中，经过适当的缩放后，价格过程遵循扩散过程，其系数取决于固定体积，体积密度函数（在绝对坐标中）是价格过程的确定性和绝对连续（在时间上）函数。特别是，常备量中的所有波动都源于价格过程中的波动。虽然这种比例已经导致了现实的LOB限制动态，但我们似乎希望考虑到不源自价格波动的常备量的额外波动。我们的框架足够灵活，可以考虑这种情况。在一个既有正位置又有负位置的模型中（加性取消），我们可以允许位置与一个公共因子相关，该公共因子转化为驱动体积动力学的加性鞅部分。虽然“公共因子扩展”应该被视为一种主要是数学扩展，但它确实进一步阐明了时间尺度在我们的模型中的重要性。

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nandehutu2022

2022-5-6 06:02:33

我们的分析表明，即使是相关加性量波动的简单情况，也需要某种形式的“共同因素”，以此来调节量波动，其变化的时间尺度比单个订单到达动态和取消慢得多。当然，许多其他的体积波动建模方法都是可以感知的。我们的主要结果表明，当主动订单到达率按因子n缩放时，被动订单到达率按因子n缩放，蜱虫大小按因子1缩放/√n、未来订单（取消的数量）的规模（比例）按系数1/n缩放，公共因素规模的影响按系数1/n缩放，然后价格过程收敛到SDE，绝对坐标中的体积密度函数收敛到有限维SDE（相对坐标中的SPDE）asn→ ∞. 我们使用的收敛概念是样本路径为R×（H）的c`adl`ag随机过程类的弱收敛-1） H在哪里-1分解Sobolev有序空间-1.主要挑战是证明H-1.-有价值的体积过程。为了证明紧密性，我们将成交量过程分解为三个组成部分，分别描述了总配售、取消比例以及公共因素在不同价格水平下的影响。我们为这些过程中的每一个建立范数界限，然后从中我们推断体积过程作为一个整体满足标准的紧密性标准。为了刻画极限，我们首先证明了价格和成交量过程的鞅部分的联合收敛。

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何人来此

2022-5-6 06:02:36

随后，我们确定了集合放置和取消的极限，并使用价格和鞅部分的C-紧性（即连续极限过程的紧性）来证明所有过程联合收敛到所需极限。4 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiuth主要观察结果是，在价格过程的温和假设下，保证了批量过程的紧密性；它不要求价格对数量有任何特定的依赖性。特别是，它不要求价格过程独立于数量。限制成交量动态的表征要求成交量和价格沿子序列联合收敛。如果价格过程是C紧的，这是可以保证的，这一条件也不需要对价格和数量之间的相互作用进行任何特别的估算。如果限价过程是已知的，因为近似价格过程与[14]中的量无关，或者限价过程与[11]中的状态无关，然后，存在限价交易过程，价格和交易量的联合动态是完全特定的。在状态依赖下增加的困难是确定限价/交易量过程。为此，我们首先将限制量动态描述为价格过程中未知但存在的薄弱累积点的函数。在此部分特征化结果的基础上，我们充分刻画了价格和体积的联合演化。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们根据缩放参数定义了一系列limitorder书籍，陈述了主要结果，并给出了证明的概要。第3节专门分析体积动力学。第4节描述了价格/数量过程的联合限制。

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2022-5-6 06:02:39

随机过程极限表征的一般结果、一般性结果和一些技术证明收集在附录中。符号惯例。对于任何（确定性或随机）函数u:[0，∞) ×R→ 我们表示byu（t）：R→ R函数x7→ u（t，x）代表t∈ [0, ∞). 除非另有说明，（Lp，k·kLp）（p∈ [1, ∞])指空间Lp（R，B（R），dx）。对于σ-代数，Lis配备了通常的内积h·，·i 我们要写。此外，所有随机变量都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）。我们可以用X（t）或X来表示一个随机过程X在t时刻的值≥ 0.2. 模型和主要结果2。1.离散模型。在本节中，我们将介绍一系列具有状态相关价格动态的连续时间订单模型。第n个模型中可提交订单的价格水平集为{xnj}j∈Z.我们把xnj:=j·xj∈ Z在哪里xnis是指刻度大小，即连续两个价格水平之间的最小差异。时间t时订单簿的状态≥ 0由一对给定Bnt，蚂蚁与Bnt≤ 在不同的价格水平上，最好的出价和最低的价格，以及买入和卖出限制订单数量。

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2022-5-6 06:02:42

使用步骤函数vb/a:[0，∞) → R、 vnb（t，x）：=Xj∈Zvn，jb，t[xnj，xnj+1）（x），vna（t，x）：=Xj∈Zvn，ja，t[xnj，xnj+1）（x）（x）∈ R）解释为可用于出售j∈ N低于当时的最佳出价≥ 0由zbNT+（j+1）给出xnBnt+jxnvnb（x）dx=xn·vn，Bnt/xn+jb，一个函数极限定理，用于具有状态相关价格动态的极限订单+而可用于购买j的流动性∈ N比当时的最佳要价高出一点的是拜占庭+（j+1）xnAnt+jxnvna（x）dx=xn·vn，蚂蚁/xn+ja。我们选择的符号允许对称地处理书籍的两面，因此简化了结果的呈现。我们主要感兴趣的是相对坐标下的体积密度函数，分别表示为dunb（t，x）：=vnb（t，Bnt+x）和ua（t，x）：=vna（t，Ant+x）。也就是说，unb（t，j·xn）表示低于最佳出价和una（t，j）的流动性持续j个刻度·xn）表示流动性高于最佳要求。我们称{unb/a（t，x）：x≥ 0}时间t的可见书和{unb/a（t，x）：x<0}影子书≥ 投标书（b）的第0页，分别为本书的（a）页。可见的书收集等待执行的命令。皮影书规定了如果下一次发生这样的事件，将放入展区的卷数。由于可能会发生几次连续的排列，影子簿在整个负半线上定义。它将经历类似于可视书的随机波动，是描述排列位置的方便工具。其精确工作将在下文第2.1.1节中进一步说明。关于皮影书的讨论，请参见[13,14]。自始至终，指数b和a分别指的是买卖双方的交易量。我们经常使用索引rto来指代书的任何一面。

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2022-5-6 06:02:46

有时，如果我们给出适用于本书两面的通用参数，我们会完全删除索引，并为实例v（t，x）编写。在这两种情况下，我们使用N（t）或Rntto表示最佳出价（r=b）或最佳报价（r=a）。假设2.1。初始数据序列（An，Bn，vna（0，·），vnb（0，·））在R×L×Land R×L中收敛到（A，B，va，0（·），vb，0（·））∞×L∞.有八个事件——标记为Mr、Lr、Cr、Pr（r=a、b）——可以改变书的状态。事件Mb，Lb，Cb，Pba影响书的投标方：Mb。市场销售订单。在展区内购买限价订单。取消购买量Pb。购买限制订单不在展销中。Ma、La、Ca、Paa事件影响本书的询问方：Ma。市场买单。在spreadCa下的销售限额订单。取消销售量许可证。卖出未在价差中下单的限价单。在续集中，我们详细说明了不同的顺序类型如何改变书的状态。2.1.1. 活跃订单和价格动态。我们假设市场订单到达（事件Mb/a）和价差中限额订单的放置（事件Lb/a）会导致价格变化。事实上，在市场中，价格的变化并不等同于价格的变化。我们将这些订单类型称为活动订单。我方承认，对投标方符号的选择并不直观，因为这意味着在时间t时，价格水平x下的交易量由vb（t，2Bnt）给出- x）。然而，它极大地统一了结果和证据的呈现方式。6克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟·邱假设2.2。有效订单根据强度为un的泊松过程n到达。相应的跳跃时间eτni∞i=1将被称为有效订单时间。在我们的模型中，市场订单与本书顶部的数量精确匹配。

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2022-5-6 06:02:49

换句话说，在时间eτni到达的市场订单有利于vnr（eτni-, Rn（eτni）-)) · xnshares。我们进一步假设，进入价差的限价订单是以最优惠的价格增量进行的，其大小由影子账簿决定。具体而言，在时间eτnj时，在价差中的限价指令是在价格水平Rn（eτnj）下的-) - 其大小为vnr（eτnj）-, Rn（eτnj）-) - xn）·xn。如果在下一个有效订单时间eτnj+1发生另一个极限订单放置，则订单放置在Rn（eτnj-) - 2.它的大小是vnr（eτnj+1-, Rn（eτnj）-) - 2.xn）·xn。在两个有效订单之间，取消和安置可能发生在影子簿中，因此通常为vnr（eτnj+1-, Rn（eτnj）-) - 2.xn），vnr（eτnj）-, Rn（eτnj）-) - 2.xn）；参见第2.1.2节和下面的图1和图2。我们允许价格变化的概率取决于现存量。为此，我们对非负函数进行平滑处理→ R和putYr，nt:=hvnr（t，·），νR（·）- Rn（t））i（r=a，b）。我们将Yr、NTA解释为位于书顶的交易量或总出价（r=b）或询价（r=a）方交易量的度量，具体取决于选择的价格。价格动态现在定义为（2.1）dRn（t）=xnξnr，eNn（t）deNn（t），其中随机变量ξnr，eNn（t）取{0，-1, +1}. 它们的分布将取决于出价和要价以及放置的卷的状态。因此，所考虑的模型不是零智能型的。更准确地说，我们是在以下假设下工作的。假设2.3。允许Fnt表示第n个模型产生的过滤（精确定义见下文（2.9））。

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大多数88

2022-5-6 06:02:52

对于r=a，b，存在函数bnr∈ C（R）和σnr∈ C（R；R2×1）使得-∨σ（eNn（t））ξnr，eNn（t）=√nbnr（Bnt）-, 蚂蚁-, Yb，nt-, 是的，新界-),（2.2）CovFnt-∨σ（eNn（t））ξnb，eNn（t）ξna，eNn（t）=σnbσna·σnbσna！>（Bnt）-, 蚂蚁-, Yb，nt-, 是的，新界-),（2.3）对于任何t>0，和（bnr，σnr）收敛到（br，σr）在C（r）×C（r；R2×1）（一致）中，使得矩阵σbσa！是可逆的且（br，σr）∈ C（R）×C（R；R2×1）和极限对象是统一边界的。引理2.4。价格过程的顺序（An，Bn）是C紧的。证据立即由定理C.1和引理C.2给出，因为价格增量的界为xn。显然，避免买卖价格交叉是可取的。一种可能性是引入一个反射项，并对价格进行缩放，使其在极限内收敛为反射布朗运动，如[20]所示。另一种方法是考虑短时间尺度，如下例所示。具有状态相关价格动态的限价订单簿的函数极限定理+42 9043 8044 11045 13046 10047 14048 17049 19550 19051 20152 25053 23054 26055 30056 28042 43 44 45 45 46 48 50 51 53 54 5605010015025035042 9043 8044 11045 13046 14048 17049 19550 19051 20152 25053 23054 26055 30056 45 45 45 45 45 45 45 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 501.Ask–时间eτni时的侧音量函数- 市场订单到达时可见（深色）和影子簿（浅色）的（左）和τni（右）。42 10043 9044 12045 13046 14047 12048 16049 20550 21051 17052 24053 21054 20055 26056 30042 43 44 45 47 48 50 52 53 55 5605010015020025030035042 10043 9044 12045 13046 14047 12048 16049 20550 21051 17052 24053 21054 20055 26056 30042 45 45 48 49 50 51 53 55 560501001502503003502图2。

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2022-5-6 06:02:55

Ask–时间eτni+1时的侧音量函数- （左）和τni+1（右），当排列位置发生在τni+1时，可见和阴影书的。例2.5。让我们假设-∨σ（eNn（t））[ξnb/a，eNn（t）=±1]=gnr（±1，Bnt-, 蚂蚁-, Yb，nt-, 是的，新界-)对于满足任意（y，y，y，y）的光滑函数gnr（±1，·）∈ R、 gnb（+1，y，y，y，y）=gna(-1，y，y，y，y）=0，如果y- y< 对一些人来说 > 08克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟·琼德纳（+1，y，y，y，y，y）- gnr(-1，y，y，y，y）=√nbnr（y，y，y，y）。然后假设2.3在一定的停止时间内是满足的。如果我们进一步假设ξnb，eNn（t）·ξna，eNn（t）=0，那么在任何有效订单时间，最多有一个价格变动。请注意，上面的例子在短时间内是有意义的。下一个例子避免了这个限制。例2.6。为了简单起见，我们给出了一个价格动态不依赖于Y的例子。然而，扩展这个例子很简单。设ζnl，i，l=1，2，i∈ N、是Slt表示的两个独立几何布朗运动的两个独立Donsker型近似的增量（以i为索引），l=1，2，这两个函数的构造使得（ζnl，i）i的累积和的正性∈对于任何n-例如，通过反射。我们可以假设ζnl，它的值为{0，±1}。定义ξnb，iBζn1，iandξn2，iBζn1，i+ζn2，l。因此，ξnr，itake在{0，±1，±2}中的值——这是对以下假设的不合理违反：-1.≤ ξ ≤ 1.在极限值中，我们有Bt=Stand=St+St≥ Bt.2.1.2。被动订单和数量变化。在价差之外限价下单和取消常备量不会改变价格。我们将这些订单类型称为被动订单。在我们的模型中，取消（Cb/a事件）发生在常备量的随机比例上，而在价差之外的限价订单（Pb/a事件）发生在随机价格水平的随机数量上。假设2.7。

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能者818

2022-5-6 06:02:58

被动订单根据独立的泊松过程nn和nna到达，这两个过程与nn无关，强度分别为λnb和λna，在投标方和投标方。相应的跳跃时间τnb/a，i∞i=1将被称为被动订单时间。提交和取消价格水平是相对于最佳价格选择的。具体而言，我们假设到最佳价格的距离是根据i.i.d.随机变量序列（πi）选择的∞i=0，其中每个πi的形式为：（2.4）πi=πCbi，πCai，πPbi，πPai，πNbi，πNai.这些条目以一定的间隔取值[-M、 M]，对于某些M>0；正值表示可见书本中的更改，而负值表示影子书本中的更改。上标表示事件类型，“N”代表“noise”。例如，πCai∈ [0, xn）意味着，如果第i个事件是被动顺序，那么它会在可见书本的顶部触发ask端取消，而πCai∈ [-xn，0）对应于在最佳ask下一个勾号的ask端取消，即阴影书中的取消。条目的确切含义将在下文（2.6）中明确。对于r=a，b被动订单大小由一系列i.i.d.随机变量（ωi）描述∞i=0，其中每个ωi的形式为（2.5）ωi=ωCbi，ωCai，ωPbi，ωPai，ωNbi，ωNai.[0]中的随机变量ωPritake值，∞); 它们描述了订单的大小。同样，随机变量ωCritake取值于[0,1]，并描述了取消的比例。我们注意到ωCri=1对应于相应价格水平下的订单清除，即，原则上不禁止的具有状态相关价格动态的限价订单簿的函数极限定理。

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2022-5-6 06:03:00

买方和卖方体积密度函数的结果动态如下：dvnr（t，·）=在里面Rn（eτneNn（t-))+πPrNnr（t）（·）ωPrNnr（t）-)越南xn- 1英寸Rn（eτneNn（t-))+πCrNnr（t）（·）ωCrNnr（t）-)vnr（τnr，Nnr（t-), ·)越南xn（2.6）在哪里Vn是一个缩放参数，用于测量单个订单对书籍状态的影响，In（y）是对应于刻度大小的子间隔xn该y属于，即（2.7）1In（y）（x）BXj∈Z[xnj，xnj+1[（y）1[xnj，xnj+1[（x）。成交量密度函数依赖于买入价和卖出价以及随机提交价水平的具体结构反映了提交价和取消价水平是相对于最佳买入价/卖出价选择的。备注2.8.在现实市场中，只有一个事件（市场订单到达、取消、下单）一次发生一次。在我们的框架内，这对应于四个随机变量ωCb/a、ωPb/ais中只有一个不同于零的特殊情况。我们的数学框架足够灵活，可以考虑这种依赖结构。在到目前为止所描述的框架内，限制数量的（随机）波动将直接来自价格波动，通过价格相关的订单到达和取消动态。我们的数学框架足够灵活，如果我们考虑到第二种与“共同因素”而非价格过程相关的配售类型，我们也可以直接从订单配售中产生成交量的波动。在最简单的情况下，“公因子”动态由i.i.d.随机变量序列（eξr，i）指定∞i=0（r=a，b）。对于比例限制，重要的是，该公共因子的变化速度与价格的变化速度相同。

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2022-5-6 06:03:03

为了简化分析，我们假设它实际上在两个有效订单时间之间保持不变，并将体积动力学指定为：dvnr（t，·）=在里面Rn（eτneNn（t-))+πPrNnr（t）（·）ωPrNnr（t）-)越南xn- 1英寸Rn（eτneNn（t-))+πCrNnr（t）（·）ωCrNnr（t）-)vnr（τnr，Nnr（t-), ·)越南xn+1InRn（eτneNn（t-))+πnRNR（t）（·）ωnRNR（t）-)eξr，eNn（t）-)√越南dNnr（t）。（2.8）我们注意到，公因数由两个连续被动阶之间的非负i.i.d.噪声变量ωn Ithatchange调制。在得出主要结果（见推论2.11）后，我们鼓励对噪声项进行特殊选择。我们假设以下条件成立。假设2.9。粗略地说，价格的缩放是CLT类型，而配售和取消的缩放是LLN类型。10 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO QIUo随机变量πTiT=Cr，Pr，Nr，r=a，b，i∈ N、 i.i.d.是否在某个紧致区间上具有Lipschitz连续密度[-M、与泊松过程无关变量ωTiT=Cr，Pr，Nr，r=a，b，i∈ N、 i.i.d.是否独立于泊松过程，并具有有限的四阶矩变量ξr，i.i.d.，独立于所有其他随机变量，以相同的概率取±1的值。为了将来使用，我们还介绍了第n个模型生成的过滤Fn。更准确地说，weset（2.9）FntBσ恩斯0≤s≤Tξna，keNn（t）k=1，ξnb，keNn（t）k=1，亚那(s)0≤s≤T北区（s）0≤s≤TωCak，ωPak，ωNakNna（t）k=1，ωCbk，ωPbk，ωNbkNnb（t）k=1，πCak，πPak，πNakNna（t）k=1，πCbk，πPbk，πNbkNnb（t）k=1，eξnb，keNna（t）k=1，eξna，keNnb（t）k=1.2.2. 主要结果。下面我们证明，如果订单到达率趋于一致，单个订单到达对账面的影响以及勾号大小以特定方式趋于零，我们的LOB模型收敛到一个连续的时间限制。

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2022-5-6 06:03:06

为了使收敛概念更精确，并说明主要结果，我们需要引入进一步的符号。为了我∈ (-∞, ∞), 我们用（Hm，k·km）表示贝塞尔势的空间，该空间具有通常的Sobolev范数和内积。SetE=∪嗯-M ··· H-1. L H ··· ∩mHm=E。众所周知，H=Land表示E是一个完全可分的度量空间。Sobolev的嵌入定理表明E的每个元素都是一个完全可微函数。在下文中，用h·，·i表示EAN和E之间的对偶，这与h=L的内积一致。我们使用的收敛概念是Skorokhod空间D:=D（[0，∞); R×H-1×H-1）在[0]上的所有c`adl`ag函数中，∞) 在空间R×H中取值-1×H-1.空间Dis配备了常用的斯科罗霍德度量（见Jacod和Shiryaev[19]）。我们现在准备陈述本文的主要结果。下面讨论了该定理的主要假设和断言。证明将在后续章节中进行。定理2.10。假设满足假设2.1–2.9，并假设缩放参数λnb/a（被动订单到达率），un（主动订单到达率），vn（订单大小）和xn（刻度大小）满足以下条件：λnb/a=n；un=n；vn=n-2.xn=n-1/2.然后有三个独立的维纳过程SW，WA和Wb（eW是二维的），这样随机过程序列（An，Bn，vna，vnb）在D（[0，∞); R×H-1×H-1）到（A，B，va，vb）。这里（A，B）是一个二维扩散过程，满足SDEdAt=ba（Bt，At，Ybt，Yat）dt+σA（Bt，At，Ybt，Yat）deWt；A=A；dBt=bb（Bt，At，Ybt，Yat）dt+σb（Bt，At，Ybt，Yat）deWt；B=B；具有依赖于状态的价格动态+的限价指令簿的函数极限定理，其中σA=（σ，σ），σb=（σ，σ），Yat=hva（t，·），νA（·）- At）iand Ybt=Dvb（t，·），νb（·）- 英国电信公司（Bt）E。

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2022-5-6 06:03:09

此外，体积密度过程满足有限维SDEvb（t，·）=vb，0（·）+ZtE[ωPb]fPb（·- Bs）- E[ωCb]fCb（·- Bs）vb（s，·）ds+√2EhωNbiZtfNb（·- Bs）dWb（s），t≥ 0;va（t，·）=va，0（·）+ZtE[ωPa]fPa（·- As）- E[ωCa]fCa（·- As）弗吉尼亚州（南部，·）ds+√2EhωNaiZtfNa（·- As）dWa（s），t≥ 如果ωNr=0（无公因式），则体积密度函数在时间上是绝对连续的。无论如何∈ (0, ∞), 上述耦合SDEL系统自适应解的存在唯一性(Ohm; C（[0，T]；R））×L(Ohm; C（[0，T]；L（R；R）））是明显的；参见[7]了解有限维随机方程的一般理论。如果模型参数非常平滑，那么密度函数也很平滑。以下推论是It^o-Kunita公式的结果。推论2.11。如果vr，0和密度Ft属于HMM，且m>3，则vr（t）通过嵌入C（R）中的方法获取所需的值。然后，相对体积过程ub（t，x）=vb（t，Bt+x），ua（t，x）=va（t，At+x）满足非局部随机偏微分方程dua（t，x）=hE[ωPa]fPa（x）- E[ωCa]fCa（x）ua（t，x）+Dua（t，x）ba（Bt，At，hub（t），аbi，hua（t），аai）idt+trnσaσ>a（Bt，At，hub（t），аbi，hua（t），аai）Dua（t，x）odt+√2EhωNaifNa（x）dWa（t）+Dua（t，x）σa（Bt，At，hub（t），νbi，hua（t），νai）deW（s），t≥ 0;ua（0，x）=va，0（x+a）；dub（t，x）=hE[ωPb]fPb（x）- E[ωCb]fCb（x）ub（t，x）+Dub（t，x）bb（Bt，At，hub（t），аbi，hua（t），аai）idt+trnσbσ>b（Bt，At，hub（t），аbi，hua（t），аai）Dua（t，x）odt+√2EhωNbifNb（x）dWb（t）+Dub（t，x）σb（Bt，At，hub（t），νbi，hua（t），νai）露水（s），t≥ 0;ub（0，x）=vb，0（x+b），与定理2.10中给出的价格体系的SDE耦合。对我们的缩放假设的一些评论是正确的。

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2022-5-6 06:03:13

市场订单与账面顶部的常备量精确匹配，较小规模的市场订单被视为取消的假设是为了数学上的方便。不过，有一些经验证据表明，这一假设没有太多限制。在一项实证研究中，[9]的作者发现，在他们的数据样本中，约85%的导致价格变化的卖出市场订单与处于最佳出价的交易量大小完全匹配。12 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiuth我们分析的关键假设是，价差中的市场订单和限价订单以相同的速率发生，并且账面顶部的流动性是价差中的交易量的指标。他们等待经验验证。假设unλn→ [13,14]中也出现了0。它指出被动事件比主动事件发生得更频繁。有强有力的经验证据支持这种假设，即差价配售。例如，图3（左）显示了2016年3月所有纳斯达克交易股票的所有订单中分散配售比例的日内变化。对于非常流动的股票，如APPL、MSFT或AC，价差配售的比例尤其低；参见[14]及其参考文献。此外，众所周知，许多分散安置的寿命非常短。

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2022-5-6 06:03:16

例如，图3（右）显示了APPL（纳斯达克综合数据；2016年3月）的利差配售取消时间的累积分布函数。我们可以看到，超过60%的排列放置在不到5毫秒后被取消。当然，我们的模型不能合理地解释这种ping命令。10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:0005101520253034045订单提交数量百分比0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.0500.10.20.30.40.50.60.7订单寿命（以秒为单位）订单寿命期差价安排经验CDFFigure 3。平均每秒排列位置百分比（左）和APPL排列位置的经验时间分布（右）。缩放假设un~ (xn）-1在[13,14]中，分别是我们的假设√un~ (xn）-1重新制定标准，分别获得价格过程的微分近似值。λnr的假设~ vnis如[13,14]所示。它保证在给定的时间段内，聚合放置和取消的数量级不会随模型指数n而改变。此外，从引理3.11的证明中，我们发现我们的证明需要un~ λn(xn）。考虑到蜱虫大小的不同比例（与我们选择的比率，pn=xn=n-1在[13,14]中。总之，这解释了限制音量过程中绝对连续的部分；它描述了预期的批量投放和取消活动；详见[13,14]。综上所述，绝对连续的部分需要缩放条件un~ xn，λnr~ vn，un~ λnr(xn）。据我们所知，金融计量经济学文献中尚未广泛研究传播-安置动态。

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能者818

2022-5-6 06:03:19

在任何情况下，假设价差中的市场订单和限价订单以相同的速率发生，意味着价差中的订单几乎立即取消（“平仓订单”）在我们的模型中不被允许，因为它们不能真正提供流动性。我们感谢Michael No\'e提供的数据分析和Nikolaus Hautsch提供的数据。具有状态依赖价格动态的极限订货簿的函数极限定理+具体选择un~ n、 λnr~ nandxn~ N-1/2是为了便于标注。极限体积密度函数的扩散部分是噪声项ξnr，iin（2.8）的直接结果，该噪声项在价格变化之间不发生变化。直觉是，在两个连续的价格变化之间，一个大数定律适用于体积密度函数，因此其增量可以通过其预期值加上随机顺序项来近似√Vn，它转化为布朗运动，作为n→ ∞. 如果标度常数√Vn被一个较小的Vn代替，那么极限体积密度函数的动力学将在价格过程产生的随机环境中以（有限维）ODE的形式出现。相对坐标系下体积过程的SPDE动态是不同的限价过程的直接结果，不依赖于噪声项的比例。在所有被动事件中，驱动噪声的单一公共因素的要求很容易放松。事实上，假设我们有很多因素，权重取决于被动事件的位置。这将导致与上述形式相同的动力学受到限制，但单驱动布朗运动将被形式a/b（·dWia/b）之和所取代。

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2022-5-6 06:03:23

只要（有色）noisePieia/b（x）dWia/b（s）存在于方可积光滑函数（x）的适当空间中，分析基本上应该保持不变。2.3. 证据的大纲。定理2.10的证明在以下章节中进行。主要的挑战是趋同，尤其是体积密度的紧密性。由于价格过程因施工而变紧，因此量过程的紧度意味着价格-量过程的紧度，因此存在一个累积点。我们将体积密度函数的动力学分解为三个过程Vn，ir（t，·）（i=1，2，3），我们将分别处理，最后将它们粘贴在一起以获得限制动力学。从方程（2.8）中，我们确定了驱动体积密度函数（r=a，b）演化的以下三个过程：Vn，1r（t，x）=Nnr（t）Xi=1InRn（eτneNn（τnr，i））+πPri！（x） ωPri越南xn，（2.10a）Vn，2r（t，x）=Nnr（t）Xi=1InRn（eτneNn（τnr，i））+πCri！（x） ωCri越南xn，（2.10b）Vn，3r（t，x）=Nnr（t）Xi=1InRn（eτneNn（τnr，i））+πNri！（x） ωNrieξr，eNn（τnr，i）+1√vn（2.10c）对应于因进货订单安排（vn，1r）、常备量的比例取消（vn，2r）和聚合随机波动（V3，nr）而产生的数量变化。在极限条件下，（时间上）递增函数Vn，1r和Vn，2r将转化为积分w.r.t.函数fPrandfCr。过程Vn，3r将贡献鞅部分。注意，Vn，3bitself不是鞅（在全模型生成的过滤Fn中），因为函数ξ在两个有效阶次之间是常数。14 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiuu不幸的是，这些过程不便于描述极限过程。它们不是马尔可夫链，Vn，3ris不是鞅。

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2022-5-6 06:03:26

“标记化”是通过只在有效订单时间内注册订单簿的更改，并将该过程视为这些时间是决定性的来实现的。更准确地说，我们通过ηnuBeτnbnuc，u来定义时间变化及其倒数∈ [0, ∞);ηnuB inf{t:t>0，ηnt>u}-n、 u∈ [0, ∞).（B）介绍以下过程xnbnucXi=1ξna，i（2.12a）Bn（u）Bn+xnbnucXi=1ξnb，i（2.12b）Vn，1r（u，x）BNnr（eτnbnuc）Xi=1ωPriIn？Rnηnτnr，i+πPri！（十）越南xn，（2.12c）Vn，2r（u，x）BNnr（eτnbnuc）Xi=1ωcrin′Rnηnτnr，i+πCri！（十）越南xn，（2.12d）Vn，3r（u，x）BNnr（eτnbnuc）Xi=1ωNriIn′Rnηnτnr，i+πNri！（x） eξr，eNn（τnr，i）+1√vn，（2.12e）vnr（u，x）bvnr（0，x）+vn，1r（u，x）+vn，3r（u，x）（2.12f）-Nnr（eτnbnuc）Xi=1ωcrin′Rnηnτnr，i+πCri！（x） vnr（τnr，i，x）越南xn，在第一步中，我们在第3.1节中证明了上述分布意义下Vn、Ir和vnrin的每个过程的紧密性。在这一部分中，我们严重依赖Mitoma定理（定理C.3）和Kurtz准则（定理C.1）。扩展vnrto vnr的紧密性需要vnr的紧密性。因此，在第3.2节中，我们首先根据未知的限价过程（A，B）来描述vnr的极限。安置期限的收敛是标准的；鞅项的收敛性来源于随机过程极限收敛性的一般结果，见附录a。挑战在于证明聚合抵消的收敛性。在第3.3节中，我们将紧密性结果扩展到过程bvnr:=`vnro ηn表示随机事件时间。作为副产品，我们得到了所有过程的极限vnr、bvnr和vnrcoincide。

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2022-5-6 06:03:29

更准确地说，我们首先使用序列VNRT的C-紧密性来建立连接。过程Vn，2R只描述了取消的比例，而不是实际数量。具有状态依赖价格动态+收敛性的极限订货簿的泛函极限定理vnr，ηnN→∞----→（虚拟现实，身份证）（在弱意义上）。根据引理C.5，这意味着limn→∞bvnr=limn→∞vnro （ηn）=vr。随后我们证明了VN的紧密性，并进一步验证了BVNR-VNR在L中接近于0(Ohm; L（R））感觉（这是我们需要的bvnr），从而暗示limn→∞vnr=limn→∞bvnr=vr。在这个阶段，我们只讨论了过程序列（An，Bn，vnb）和（An，Bn，vna）的收敛到一些极限过程。然而，由于所有这些限制性过程实际上都是连续的，因此关节紧密度和最终的关节弱收敛安，Bn，vnb，vna随后是推论C.4。第4节中执行的最后一步是描述价格过程的极限，从而描述整个模型的极限。3.体积密度的标度极限在本节中，我们证明了体积密度函数在分布意义下的弱收敛性。虽然我们现在还不知道过程序列（An，Bn）是否有一个唯一的累积点，但我们知道有这样的累积点，所有这些点都是过程，它们在时间上是连续的，见引理2.4。因此，通过选择一个合适的子序列，我们可以假设（An，Bn）确实收敛到一个连续的极限过程（a，B），我们将在本节中经常这样做。自始至终，我们使用符号C表示确定性常数，这些常数可能会从发生变为发生。3.1. 辅助工艺vnr的密封性。我们证明了第一个过程的紧密性。书中买卖双方的观点是一样的。

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大多数88

2022-5-6 06:03:31

因此，我们将删除买卖双方的指数指标，并在下面的价格过程中填写Rnor。此外，在适当的情况下，我们删除索引n，并简单地用π或π表示书中任何活动的随机位置，用ω或ωi表示大小，忽略类型（放置、取消、噪声）。我们从一个关于泊松过程分布的基本辅助引理开始，从第二个独立的泊松过程来看。这个引理将是计算两个连续的主动序时间之间被动序到达分布的关键。引理3.1。设Nand-Nbe分别是两个强度为λ和λ的独立泊松过程。此外，让Ti，i=1。，表示泊松过程N的跳跃时间。对于任何α=1，2。，随机变量N（Tα）具有负二项（NB）分布，参数sr=α和p=λ+λ，即p（N（Tα）=l）=l+α- 1α - 1.λλ+ λ!lλ+λ！α、 l=0，1。特别地，矩母函数readsEetN（Tα）=1.- p1- 聚酯食品包装材料α、对于t<-log p、16 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO QuandeK-1Yi=0（N（Tα）- （一）=K-1Yi=0（α+i）λkλk，k=1，4.在下文中，我们用Fn表示过程Vn产生的过滤，1/2/3rand vnr（r=a，b）。在接下来的两个引理中，我们分别给出了过程Vn，1/2和Vn，3的lp估计。Vn，1和Vn，2的参数相同。Vn，3的论点是相似的。然而，由于Vn，3的尺度要小得多，我们需要利用鞅差结构来避免混合项。引理3.2。

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nandehutu2022

2022-5-6 06:03:37

有一个常数C（与n，s，t无关），使得每0<s≤ 特芬斯的晚餐≤U≤TVn，3（u）- 越南，3（s）L#+supx∈参考“sups”≤U≤TVn，3（u，x）-Vn，3（s，x）#≤ C|t- （3.2）EFns“sups”≤U≤TVn，3（u）- 越南，3（s）L#+supx∈参考“sups”≤U≤TVn，3（u，x）-Vn，3（s，x）#≤ C（t）- s） +|t- s|n！。（3.3）证据。同样，我们限制自己证明s=0的情况，并从旋转中删除所有上标。把V写成一种更清楚地表示其鞅结构的形式，我们考虑V（t）=N（eτα）Xi=1I＠R（ηNτni）+πi！（x） ωieξeN（τi）√v=α-1Xj=0N（eτj+1）Xi=N（eτj）+1I（`R（j/N）+πi）（x）ωieξj√v、这里我们再次使用简写符号α=btnc。利用Doob不等式和ξieξji=δi j和ξi=1这一事实，我们得到了“sup0”≤U≤t | V（u，x）|#≤ 4Eh | V（t，x）| i=4vEα-1Xj=0eξjN（eτj+1）Xi=N（eτj）+1I（`R（j/N）+πi）（x）ωi= 4.vEα-1Xj=0N（eτj+1）Xi=N（eτj）+1I（`R（j/N）+πi）（x）ωi.18 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiuntet，我们估计了随机位置π的贡献，如（3.1）所示。

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2022-5-6 06:03:41

我们有：E“sup0≤U≤TV（u）L#≤ 4.vE“α-1Xj=0（N（eτj+1）Xi，i=N（eτj）+1ωiωiZRI（\'R（j/N）+πi）（x）1I（\'R（j/N）+πi）（x）dx）#+N（eτj+1）Xi=N（eτj）+1ωiZRI（\'R（j/N）+πi）（x）dx#≤ 4.vEα-1Xj=0N（eτj+1）Xi，i=N（eτj）+1E[ω]kfkL∞x（2M）+N（eτj+1）Xi=N（eτj）+1E[ω]kfkL∞x（2米）,同样，supx∈RE“sup0”≤U≤t | V（u，x）|#≤ 4.vEα-1Xj=0N（eτj+1）Xi，i=N（eτj）+1E[ω]kfkL∞x+N（eτj+1）Xi=N（eτj）+1E[ω]kfkL∞十、.由于增量N（eτj+1）的分布- N（eτj）不依赖于j，我们看到e“sup0≤U≤TV（u）L#+supx∈RE“sup0”≤U≤t | V（u，x）|#≤ CvEhαnE[ω]kfkL∞(x） N（eτ）（N（eτ）- 1） +EhωikfkL∞xN（eτ）oi。再次引用引理3.1（α=1）和假设2.9，我们得到了“sup0”≤U≤TV（u）L#+supx∈RE“sup0”≤U≤t | V（u，x）|#≤ Cnnt（nnn）+√nnn）=Ct{2+1/√}n≤ 计算机断层扫描。在引理3.2的证明中，第四个矩的估计后面跟着类似的论点。在这个阶段，我们可以将引理3.2和3.3中的估计拼凑在一起，以获得过程vn的类似估计。该证明基于极限订单簿动力学的逐事件分解。更准确地说，在增量方面（同样，我们降低了指示订单端的指数）hn，1i（x）BωPiIn＠Rnηnτni+ππ！（十）越南xn，hn，2i（x）BωCiIn′Rnηnτni+πCi！（十）越南xn，hn，3i（x）b1in′Rnηnτni+πNi！（x） ωNieξa，eNn（τni）+1√在过程Vn，j（j=1，2，3）中，一个有以下的一般分解，（3.4）Vn（t，x）=Nn（eτnbntc）Yi=11.- hn，2i（x）vn（0，x）+具有状态依赖价格动态++Nna/b（eτnbntc）Yi=1的极限订货簿的函数极限定理1.- hn，2i（x）Nn（eτnbntc）Xi=1Qim=11.- hn，2m（x）hn，1i（x）+hn，3i（x）.引理3.4。

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2022-5-6 06:03:44

存在一个非负适应过程序列和一个确定性常数，使得p∈ {2,4}EFns“sups≤R≤Tvn（r）- 越南湾（s）pLp#≤ 中枢神经系统（t）- s） p+（t- （s）,E“supr≤Tvn（r）pLp#≤ Ctp+t+1,好的∈RE“supr”≤Tvn（r，x）p#≤ Ctp+t+1,与CNS≤ C越南湾（s）L+越南湾（s）L+1,supnE“sup0≤s≤tCns#≤ C（t+t+1）。（3.5）证据。我们可以再次从符号中去掉对n的依赖，w.l.o.g.假设s=0。注意0≤ 1.- 嗨（x）≤ 1和N（eτbntc）Yi=1（1- 嗨（x））- 1.≤N（eτbntc）Xi=1hi（x）=V（t，x）。因此，（3.4）加上引理3.2和3.3意味着p∈ {2,4}，E|v（t，x）- v（0，x）|p（3.6）=EN（eτbntc）Yi=11.- 你好- 1.v（0，x）+N（eτbntc）Yi=11.- 你好N（eτbntc）Xi=1Qim=11.- 你好嗨+嗨P≤ C（|v（0，x）|psupx∈重新V（t，x）P+ E“V（t，x）p+sup0≤s≤TV（s，x）p#）。（3.7）以下是p∈ {2，4}那，E“sup0≤U≤tkv（u）- v（0）kpLp#≤ C千伏（0）千帕低压+1（tp+t）。作为一名将军∈ [0，t]，这证明了Fns可测量随机变量Cnst的估计值，该随机变量以一种有效方式依赖于kv（s）kpLp+kv（s）kL。然而，请注意，它遵循与p类似的方式∈ {2,4}supn∈N+E“sup0≤s≤T越南湾（s）pLp#+supx∈RE“sup0”≤s≤Tvn（s，x）p#！<C（t+t+1），因此我们确实可以找到一个确定性常数C，它独立于s、t和n，并且有界≤s≤tCnsi≤ C（t+t+1）。20克里斯汀·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟·丘勒马克3.5。使用与上述证明相同的参数，我们得到了p∈ {2,4}和k=0,1,2,E苏皮∈[Nn（eτnk），Nn（eτnk+1）]∩N+kvn（τa，i）- vn（ηnk）kpLp≤ Ct+tpn，其中常数C独立于n、k和t。我们现在准备陈述并证明本节的主要结果。提议3.6。进程vrand Vn，ir（r=a，b；i=1，2，3）与路径inD的进程一样紧密[0, ∞); H-1..证据让Xn∈vnr，Vn，1r，Vn，2r，Vn，3r.

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