对于r=a，b，（An，Bn，Vn，3r）=> （A，B，Vr），其中（A，B）是一个二维连续过程，对于任何选择φ，φl∈ E.l维过程DVr，φE，数字录像机是一个鞅w.r.t。由二次协变量hdvr，φiE，DVr，φjEit=Ztσ（φi）（Rs）σ（φj）（Rs）ds，t的过程（a，B，Vr）生成的过滤≥ 0, 1, ≤ i、 j≤ l、 σ（φ）（y）B√2E[ωN]ZRfNr（x）- y） φ（x）dx。证据结合命题3.6、推论C.4和价格过程的C紧性（引理2.4），我们得出结论，（An，Bn，Vn，3）是紧的，作为一个过程序列，样本路径在D（[0，∞); R×H-1） （An，Bn）在分布上收敛到一个二维连续过程（a，B）alonga子序列。由于价格过程序列是C紧的且收敛于（A，B），因此有必要描述弱累积点V。为此，我们假设w.l.o.g.E[ωN]>0。我们现在进行几个步骤。i） 首先，我们定义了∈ E、 Ynt（φ）=hφ，Vn，3（t）i，t∈ [0, ∞),并用过程产生的过滤表示蚂蚁，Bnt，Vn，3（t）. 注意，序列（An，Bn，Yn（φ））在分布上收敛到（A，B，\'Y（φ）），其中\'Y（φ）：=hφ，Vi是一个样本路径属于D（0，∞; R） 。我们现在将使用引理A.2来验证所声称的二次变化形式。为了简单起见，我们从特例l=1开始。对于这一点，我们假设φ≥ 0; 否则，我们将分解φ=φ+- φ-考虑φ+和φ-分别注意φ+和φ-属于H。

乐坛（φ）（R）BXjZxnj+1xnjf（x-R） dxZxnj+1xnjφ（x）dx(xn）-2EhωNi，an（φ）（R）BXjZxnj+1xnjf（x）-R） dxZxnj+1xnjφ（x）dx(xn）-2Eh（ωN）iσN（φ）（R）B2an（φ）（R）+nan（φ）（R）！1/2.注意，对于密度为f的任何确定性y和任何随机变量π，（2.7）意味着“ZIn（y+π）（x）φ（x）dx#=XjZ[xnj，xnj+1[（y+z）f（z）dzZxnj，xnj+1[（x）φ（x）dx22]克里斯蒂安·拜尔，乌尔里奇·霍斯特，以及金鸟丘=XjZ[xnj，xnj+1[（x）f（x）- y） dxZ[xnj，xnj+1[（x）φ（x）dx.因为被动订单到达的数量Nneτnk- Nneτnk-1.在[k]上-1n，kn）遵循负二项分布NB1，λnλn+un（见引理3.1），我们有（使用（2.12e））：EGnk-1nh | Ynkn（φ）- Ynk-1n（φ）|i=vn（E）Nneτnk- Nneτnk-1.Nneτnk- Nneτnk-1.- 1.XjZxnj+1xnjf（x-“Rnk-1n）dxZxnj+1xnjφ（x）dxEhωNi+ENneτnk- Nneτnk-1.XjZxnj+1xnjf（x-“Rnk-1n）dxZxnj+1xnjφ（x）dxEωN)= 越南(xn）（E）Nneτnk- Nneτnk-1.Nneτnk- Nneτnk-1.- 1.an（φ）（Rnk）-1n）+ENneτnk- Nneτnk-1.安（φ）“Rnk-1n)=N2南（φ）+南（φ）“Rnk-1n=Nσn（φ）“Rnk-1n.（3.8）设定σ（φ）（R）=√ZRf（x）-R） φ（x）dxEhωNi，t∈ [0, ∞).注意σ≥ 因为φ是非负的。ii）我们声称σn（φ）→ σ一致。首先要注意安（φ）L∞≤kφk∞E[ωN]。因此，nan（φ）→ 0一致，我们可以忽略σn定义中的第二项。进一步注意XjZxnj+1xnjf（x-R） dxZxnj+1xnjφ（x）dxxn-ZRf（x）-R） φ（x）dx≤XjZxnj+1xnjf（x-R）xnZxnj+1xnjφ（y）dy- φ（x）dx。根据中值定理，存在y∈ [xnj，xnj+1]带xnRxnj+1xnjφ（y）dy=φ（y）。

对于x<y，|x- y|≤ 我们有|φ（x）- φ（y）|=ZR[x，y]（z）φ（z）dz≤√xnkφkH。因此σn（φ）- σ(φ)L∞≤√2E[ωN]√xnkφkH+o（1），我们建立了σn（φ）到σ（φ）的一致收敛性。iii）我们需要验证假设A.1中概述的引理A.2的条件，即supnσnL∞< ∞,（A.1）具有状态相关价格动态+Ebntc+1Xk=1 | Ynkn（φ）的极限订单簿的函数极限定理- Ynk-1n（φ）|→ 0，（A.2）仰卧高级大床房≤bntcYnk/n- Yn（k）-1） /n< ∞.（A.3）注意（A.1）紧随fNrandφ的有界性。（A.3）是引理3.3的直接结果。至于（A.2），EGnk-1nh | Ynkn（φ）- Ynkn（φ）|i≤ C(vn）(xn）ENneτnk- Nneτnk-1.≤ Cnhn+ni≤ Cn，其中C是一个正常数，与n无关，并且可能因行而异。因此，无论如何∈ (0, ∞),Ebntc+1Xk=1 | Ynkn（φ）- Ynk-1n（φ）|≤ C（nt+1）n→ 0作为n→ ∞.iv）前面的论点很容易扩展到有限维情况。每升∈ N+和任何非负函数族φ，φl，过程（Yn（φ），Yn（φl））联合收敛于（Y（φ），Y（φl））分布。我们计算i，j=1，l、 EGnk-1nhYnkn（φj）- Ynk-1n（φj）Ynkn（φi）- Ynk-1n（φi）i=（σn（φj+φi））- （σn（φj）- φi）4n“Rnk-1n=nσn（φj）σn（φi）“Rnk-1n.由于E在H中是稠密的，这就完成了证明。前面的命题描述了极限体积密度过程的二次变化。接下来，我们将研究总订单投放和取消的极限动力学，忽略随机波动。由于我们预计订单安排和取消会对极限模型的漂移部分产生影响，我们发现以时间积分的形式重新记录它们的动态是有帮助的。也就是说，如果我们写evn，2（t，x）=zBNTCGN（s，x）ds，Vn，1（t，x）=Zbntcnegn（s，x）ds，很明显，我们可以通过研究gnandegn的极限来识别极限漂移项。

与（2.12）相比，我们得到了gn（t，x）B∞Xk=1Nn（eτnk）Xi=Nn（eτnk）-1） +1InπCi+/Rnk-1n！（x） ωCi[kn，k+1n）（t）越南24岁的克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟·邱恩（t，x）B∞Xk=1Nn（eτnk）Xi=Nn（eτnk）-1） +1ππ+Rnk-1n！（x） ωPi[kn，k+1n）（t）越南xnn。关于总取消量，Gnoly仅捕获当前数量中取消量的比例。因此，我们需要引入另一个描述实际取消的术语，即vn（t，x）- v（0，x）- Vn，1（t，x）- Vn，3（t，x）=zBNTCGN（s，x）ds。显然，GNI是由GN（t，x）B给出的∞Xk=1Nn（eτnk）Xi=Nn（eτnk）-1） +1InπCi+/Rnk-1n！（x） ωCivn（τni）-1，x）1[kn，k+1n）（t）越南xnn。我们将分两步分析限额中订单取消的影响：首先，我们可以用限额中的（更简单的）表达式GNVN替换GNVN（见引理3.10）。然后，我们在适当的意义上刻画了后一项的极限（见引理3.11，其中我们也刻画了订单放置的限制对象）。备注3.9。根据引理3.2的证明，p∈ {2,4}，嗯gn（t）pLpi+supx∈雷芬西gn（t，x）圆周率≤ C、 这就意味着∈雷茨gn（s，x）pds+EZRZtgn（s，x）pdsdx≤ Ct，常数C与n和t无关。引理3.10。对于任何t>0，我们都有limn→∞EZRZbntcngn（s，x）- gn（s，x）vn（s，x）dsdx= 0.（3.9）证据。利用Fubini定理和备注3.5，我们得到了EzrzbNTCNgn（s，x）- gn（s，x）vn（s，x）dsdx=ZbntcnEZRXk∈N+Nn（eτnk）Xi=Nn（eτnk）-1） +1英寸πCi+-Rkn（x） ωCivn（τni）-1，x）-vn（s，x）[kn，k+1n）（s）越南xnn-1.dxds≤ZbntcnXk∈N+∪{0}[kn，k+1n）（s）EZR | gn（s，x）| dx1/2苏皮∈[Nn（eτnk-1） ，Nn（eτnk）]∩N+kvn（τi）- vn（eτnk）-1） 吉隆坡1/2秒≤ C√nZbntcnEZR | gn（s，x）| dx具有状态相关价格动态的极限订货簿的1/2dsA函数极限定理+≤ C√nEZbntcnZR | gn（s，x）| dx！1/2，通过注释3.9，当n趋于完整时，其收敛于零。

现在我们可以分析从订单安排和取消中获得的限制对象。引理3.11的证明是技术性的，相当长，因此推迟到附录B引理3.11。对于任何带n的t=bntcnw∈ Nα ∈ {0,1}:limn→∞好的∈重新Ztgn（s，x）- E[ωC]fC（x）- 卢比）1.- α+αvn（s，x）ds= 0，（3.10）limn→∞好的∈重新Ztegn（s，x）- E[ωP]fP（x）- 卢比）ds= 0.（3.11）结合命题3.8中得到的Vn函数部分极限的表征，以及引理3.11和引理3.10中得到的订单取消和放置极限的表征，我们能够研究Vn本身的极限。定理3.12。假设（沿着正确选择的子序列）（An，Bn，Vn，3r，vnr）=> （A，B，Vr，Vr），其中（A，B）是（An，Bn）（沿所选子序列）的（尚未确定）极限，Vr是在命题3.8中获得的极限。然后vr（t，·）=vr（0，·）+ZtE[ωP]fP（·- 卢比）- E[ωC]fC（·- Rs）vr（s，·）ds+Vr（t，·），t≥ 0，并且vr在（a，B，vr，vr）生成的过滤下仍然是鞅。证据首先，请注意，Vr已经是可测量的w.r.t.r和Vr，因此当添加Vr时，过滤不会改变，Vr基本上保持鞅。价格过程序列是C-紧的，并且在分布上收敛到某个极限（A，B）以及子序列。由于命题3.6，过程Vn，3R非常紧密，而由于命题3.8，过程Vn，3R甚至是C-紧密。因此，序列An，Bn，Vn，3r，vnr紧如一系列进程，在D（0，∞; R×H-1×H-1).

为了确定VNRA的极限是价格过程的（现有的，尚未确定的）极限的函数，我们使用加性分解VNR（t，x）- vnr（0，x）=Vn，1r（t，x）+eVn，2r（t，x）+Vn，3（t，x），（t，x）∈ [0, ∞) 其中evn，2r（t，x）：=Z[nt]ngn（s，x）ds。鉴于Skorohod引理（见引理C.6），我们可以假设所有过程都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）对于某些待确定的过程，顺序An，Bn，Vn，3r，vnr几乎肯定会收敛到某个极限（A，B，Vr，Vr），作为一个进程序列，在D（0，∞; R×H-1×H-1). 具体来说，这将在下文中用作序列inR×H-1×H-1，林→∞An，Bn，Vn，3r，vnr= （A，B，Vr，Vr）P dt-a.e.26 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Quindied，以VNRF为例，样本路径是c\'adl\'ag，因此它们最多有可数个不连续性。几乎所有ω∈ Ohm 收敛极限→∞||vnr（t，·）- vr（t，·）|H-1=0 a每个连续点的推导方法与[19，第VI.1.17条]类似。然后，主导收敛→∞EZT | | vnr（t，·）- vr（t，·）|H-1.∧ 对于所有T>0的情况，1 dt=0。这允许我们选择一个子序列，在H中收敛a.e-1.在概率空间中操作(Ohm, F、 P）体积过程的分解（3.12）表明，为了确定vna的极限，我们需要确定VN的极限。为此，我们首先证明，在希尔伯特空间L中识别弱极限是不够的(Ohm ×[0，T]×R）表示任意T>0。实际上，byLemma 3.4序列vnris一致有界于L(Ohm ×[0，T]×R）。引理3.2和引理3。3这同样适用于Vn，1和Vn，3。因此，序列vn，vn，1，vn，3在L中有一个薄弱的积累点(Ohm ×[0，T]×R）。根据Banach-Saks定理，弱积累点是子序列Cesaro意义上的强极限。

自从我(Ohm ×[0，T]×R） LOhm ×[0，T]；H-1.这表明弱极限与vr，V，V）作为L中的弱极限(Ohm ×[0，T]×R）。因此，识别弱极限K of eVn，2rin L是不够的(Ohm ×[0，T]×R）。通过引理3.10和3.11，这相当于确定过程（t，x）的弱极限7→中兴通讯[ωC]fC（x）- Rs）vnr（s，x）ds。为了识别K，我们对测试函数ψ进行测试∈ L∞(Ohm ×[0，T]）和φ∈ L（R）。vnandeVn的Weakconvergence，2in L(Ohm ×[0，T]×R）得到Eztzrψ（T）K（T，x）φ（x）dx dt=limn→∞EZTψ（t）heVn，2r（t），φidt=limn→∞EZTψ（t）Z[nt]nZRgn（s，x）φ（x）dxds dt（由引理3.10）=limn→∞EZTψ（t）Z[nt]nZRgn（s，x）vnr（s，x）φ（x）dxds dt（由引理3.11）=E[ωCr，1]limn→∞EZTψ（t）Z[nt]nZRfC（x- Rs）vnr（s，x）φ（x）dxds dt=E[ωCr，1]limn→∞EZTZRfC（x）- Rs）vnr（s，x）φ（x）dxEFdnse/nhZTdnse/nψ（t）dtids（通过希尔伯特空间中的弱收敛）=E[ωCr，1]EZTZRfC（x）- Rs）vr（s，x）φ（x）dxEFshZTsψ（t）dtids=E[ωCr，1]EZTψ（t）ZtZRfC（x）- Rs）vr（s，x）φ（x）dxds dt，一个具有状态相关价格动态的限价订单簿的函数极限定理+其中Ft表示所有过程An，Bn，A，B，vn和vr产生的过滤。自φ∈ 陆地ψ∈ L∞(Ohm ×[0，T]）是任意的，我们得到k（T，x）=E[ωC]ZtfC（x）- 对于几乎每一个（t，ω，x）∈ [0，T]×Ohm 因此，极限VrsatiesVr（t，·）=vr（0，·）+ZtE[ωPr]fPr（·- 卢比）- E[ωCr]fCr（·- Rs）vr（s，·）ds+Vr（t，·），t≥ 03.3. 体积密度的极限。在命题3.6中阐述了辅助过程序列vnr的紧密性之后，我们现在可以转向实际体积密度vnr。为此，我们引入了processesbvnr（u）：=vnro ηnu，bVn，ir（u）：=Vn，iro ηnu（r=a，b；i=1，2，3），其中时间变化ηnu在（2.11）中定义。

鉴于Kurtz[23]关于布朗运动泊松过程的强逼近结果，对于任何T>0limn→∞sup0≤T≤T |ηnt- 因此，引理C.5和定理3.12暗示（An，Bn，bvnr）的极限与（An，Bn，vnr）的极限一致，即定理3.12的（a，B，vr）。让δvnrB vnr-bvnR和δVn，irB Vn，ir-bVn，ir（i=1,2,3）。我们的目标是证明δvnRc弱收敛到0为n→ ∞. 然后我们将推断vn的收敛性意味着vn的收敛性。第一步是建立过程Vn，i（i=1，2，3）的矩估计，类似于引理3.3和3。4.与命题3.6类似，这些估计表明vnrand的紧密性，因此（An，Bn，vnr）的紧密性。相当技术性的证明被推迟到附录B引理3.13。对于r=a，b和i=1，2，3，它认为efnsXi=1Vn，ir（t）- 越南，爱尔兰（s）L≤Cnsh（t）- s） +（t）- s） 我，0≤ s≤ t<∞,EFnsvnr（t）- vnr（s）L≤Cnsh（t）- s） +（t）- s） 我，0≤ s≤ t<∞,和supnEhsups一起∈[0，t]Cnsi≤ C（t+t），t∈ [0, ∞), 其中常数C独立于n、s和t。此外，我们将证明δvnr（t）在L-意义上逐点收敛到0，这需要一些关于泊松过程的基本结果。引理3.14。设Nand-Nbe分别是两个强度为λ和λ的独立泊松过程。此外，让Ti，i=1。，表示泊松过程N的跳跃时间，然后是WehaveN（t）- N（总氮（吨））=λλ1.- E-λt,EN（t）- N（总氮（吨））N（t）- N（总氮（吨））- 1.= 4λλ1.- （1+tλ）e-λt.28克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟·齐奥普洛夫。注意，在N（t）=l的条件下，相对差异（t- Tl）/t具有参数1和l的β分布，因为这是均匀分布在[0,1]上的l个随机变量的顺序统计中的差异分布。

因此，初等计算给出[N（t）- N（Tl）|N（t）=l]=∞Xk=0kZe-λtx（λtx）kk！1.- x） l-1B（1，l）dx=λt1+landE[（N（t）- N（Tl））（N（t）- N（Tl）- 1） |N（t）=l]=∞Xk=0k（k- 1） 泽-λtx（λtx）kk！1.- x） l-1B（1，l）dx=2λt2+3l+l。将这些项乘以P（N（t）=l）=e-λt（λt）ll！对l求和得到上面的公式。引理3.15。设u=u（t）=u（t，x）表示任何过程δvnr，δVn，ir，i=1，2，3。此外，假设序列vnr（0）在L中一致有界。那么有一个常数C独立于N或t，这样Ehku（t）kLi≤ Cn（1+t+t），T∈ [0, ∞).证据让我们首先考虑一些i=1，2，3，r=a，b的u=δVn，ir。注意，对于一些随机变量ωi和πi，我们有一些标度常数 （或等于五/x或等于√v） u（t，x）=N（t）Xi=NeτeN（t）我Rn（eτneN（t））+πi（x） ωi,aseξr，i中的iis常数和ξr，i=1。

G表示除（ωi）i以外的所有随机性源生成的σ-代数∈N+，我们有（t，x）i=EN（t）Xi，i=NeτeN（t）例如[ωiωi]iRn（eτneN（t））+πi（x） 1IRn（eτneN（t））+πi（x） +N（t）Xi=NeτeN（t）EGhωⅢRn（eτneN（t））+πi（十）= EN（t）Xi，i=NeτeN（t）我Rn（eτneN（t））+πi（x） 1IRn（eτneN（t））+πi（x） E[ω]+N（t）Xi=NeτeN（t）我Rn（eτneN（t））+πi（x） 呃ωi.此外，除（πi）i外，所有随机性源生成的σ-代数的条件∈N+，我们可以用类似于（3.1）Ehu（t，x）i的方式束缚≤ E“E[ω]kfkL∞十、N（t）- NeτeN（t）N（t）- NeτeN（t）- 1.hR（eτeN（t））-M、 R（eτeN（t））+Mi（x）++EhωikfkL∞十、N（t）- NeτeN（t）hR（eτeN（t））-M、 R（eτeN（t））+Mi（x）#.具有状态依赖价格动态的极限订货簿的函数极限定理+因此，在引理3.14中，我们得到了Ehku（t）kLi≤ CxEhN（t）- NeτeN（t）N（t）- NeτeN（t）- 1.i+xEhN（t）- NeτeN（t）我= Cxλuh1- （1+tu）e-uti+xλuh1- E-uti！≤ Cnnn+√nnn！= Cn+√N.现在我们回想起来=五、n=x-3如果i=1，2和= v=n-2如果i=3。δVnR估计的证明与引理3.4的证明完全相同，考虑到δVn的适当估计，如上所述。把这些引理和定理3.12中的结果结合起来，我们现在可以证明体积密度的收敛性。我们用（A，B）表示价格过程序列的累积点。Expost，我们将看到极限是唯一的，因此我们实际上不需要使用这样的asub序列。定理3.16。过程的顺序安，Bn，vna，vnb很紧。给定一个子序列（An，Bn，vna，vnb）=> （A，B，va，vb）用于某些卷处理和vb。然后（3.13）vr（t，·）=vr，0（·）+ZtE[ωPr]fPr（·- 卢比）- E[ωCr]fCr（·- Rs）vr（s，·）ds+Vr（t，·），t≥ 0.Va和Vbare鞅w.r.t。

由（A，B，va，vb）生成的过滤及其二次协方差对角化。更准确地说，给定测试函数φa，φla，φb，φkb∈ E、 那么对任何人来说≤ 我≤ l、 一,≤ J≤ 我们有hdφia，VaE，Dφjb，VbEit=0，t≥ 0.证明。回想一下（An，Bn，bvna）（u）=（An，Bn，vna）o ηnu。由于时间变化过程几乎肯定会在紧时间间隔上一致收敛到恒等式，因此引理C.5和定理3.12得出（An，Bn，bvna）=> （A、B、va）。另一方面，与命题3.6类似，我们从引理3.13推导出（An，Bn，vna）的紧度。此外，引理3.15意味着（An，Bn，vna）的极限与（An，Bn，bvna）的极限一致，即（A，B，va）。这意味着（An，Bn，vna）的C-紧密性，从而推论出（An，Bn，vna，vnb）的C-紧密性。最后，我们验证（An，Bn，vna，vnb）=> （A，B，va，vb）如定理3.12所示，即再次引用引理A.2。极限中二次协变量的对角化是清楚的，因为二次协变量在每个水平n上是对角的。4.主要理论的极限价格过程证明的特征到目前为止，我们已经证明了过程序列（Bn，An，vna，vnb）是C紧的。由于Yr是vr、ntogether和Rn的连续函数，因此（Bn、An、vna、vnb、Ya、n、Yb、n）也是紧的。因此，30个CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Quany累积点（Yr）的（Yr，n）形式如下：（4.1）Yrt=hvr（t，·），νr（·）- （A，B）是价格过程序列的一个薄弱累积点。在本节中，我们首先描述了流程（A、B）；然后我们刻画了全极限动力学，并证明了收敛到唯一极限。4.1. 限制价格过程的收敛。

为了描述极限价格动态，请注意，价格过程满足Rn=Rn+xnbntcXi=1ξnr，i=Rn+Ztbr（Bns，Ans，Yb，ns，Ya，ns）ds+Mnr（t）+Snr（t），（4.2）带Mnr（t）BxnbntcXi=1ξnr，i- 埃夫尼-1nξnr，我！信噪比（t）BZtbnr（Bns）-, Ans-, Yb，ns-, 是的-) ds-Ztbr（Bns，Ans，Yb，ns，Ya，ns）ds。表示ZnsB（Bns，Ans，Yb，ns，Ya，ns），我们有t（信噪比）≤ 总工程师Ztbnr（Zns）-) - br（Zns）-)ds+ 总工程师Ztbr（Zns）-) - 溴（硫化锌）ds+ o（1）≤ Cbnr- brL∞+ o（1），鉴于以下事实：∈ C（R；R）与极限过程的连续性B、 A，Yb，是的, 我们将支配收敛定理应用于第一个不等式右侧的第二项。鉴于假设2.3，这意味着limn→∞E | Snr（t）|=任何t>0时的0。通过引理A.2，鞅Mr（r=A，b）的二次共变分（4.3）h（Mb，Ma）在分布上收敛=Rtσb（Bs，As，Ybs，Yas）dsRtσaσ>b（Bs，As，Ybs，Yas）dsRtσaσ>b（Bs，As，Ybs，Yas）dsRtσa（Bs，As，Ybs，Yas）ds, T≥ 事实上，引理的条件（A.1）在假设2.3中是正确的，而条件（A.2）在标度中是明确的xn=1/√n、 最后，（A.3）是微不足道的，因为跳跃甚至是一致有界的。由于我们在（4.2）中有漂移和鞅部分的联合紧度，我们得出结论，限价过程的形式必须是：At=A+Ztba（Bs，As，Ybs，Yas）ds+MatBt=B+Ztbb（Bs，As，Ybs，Yas）ds+Mbt，t≥ 0.（4.4）具有状态相关价格动态的极限订单簿的函数极限定理+4.2。极限动力学的表征。它仍然需要描述完整的极限动力学。由于已经确定了各自的有界变差部分，我们需要证明鞅部分可以用四个独立的布朗运动来表示。

为此，我们确定了许多测试函数φa。。。，φma，φb。。。，φlb，考虑过程向量Bn，An，Dvna，φaE，vna，φma,Dvnb，φbE，Dvnb，φ\'bE伴随着一个薄弱的积累点B、 A，Dva，φaE，va，φma,Dvb，φbE，Dvb，φ\'bE.由于Yb，nand Ya，nare是通过将体积密度与测试函数进行积分得到的，因此不将它们包含在上述向量中不会造成一般性损失。假设所有测试函数都是严格正的，因此一般性也没有损失。让Zirde注意processDvr的鞅部分，φirE。从命题3.8、定理3.16和泊松过程nn和Nnr（r=a，b）的独立性，我们得出结论，对于r，~r∈ {a，b}，（4.5）hZir，Zjrit=Ztσ（φir）（Rs）σ（φjr）（Rs）ds，hZia，Zjbit=0。hZir，Mrit=0，t≥ 0.鞅部分的协方差结构如推论A.3所示，其中Ft为矩阵，行为σA（Bt，At，Ybt，Yat）和σb（Bt，At，Ybt，Yat），σit:=σ（φia）（At），τlt:=σ（φlb）（Bt）。由于测试函数是严格正的，我们由此推论得出结论，存在独立的维纳过程ESEW、WA和Wb（eW是二维的），因此弱积累点的分布与耦合的SDEsdAt=ba（Bt，At，Ybt，Yat）dt+σa（Bt，At，Ybt，Yat）deWt系统的分布相同；A=A；dBt=bb（Bt，At，Ybt，Yat）dt+σb（Bt，At，Ybt，Yat）deWt；B=B；vb（t，·）=vb，0（·）+ZtE[ωPb]fPb（·- Bs）- E[ωCb]fCb（·- Bs）vb（s，·）ds+√2EhωNbiZtfNb（·- Bs）dWb（s），t≥ 0;va（t，·）=va，0（·）+ZtE[ωPa]fPa（·- As）- E[ωCa]fCa（·- As）弗吉尼亚州（南部，·）ds+√2EhωNaiZtfNa（·- As）dWa（s），t≥ 0将体积密度函数与我们的测试函数集成后。

尤其是推论。3驱动维纳过程不取决于测试功能的选择。有限维随机方程[7]的标准结果保证了上述耦合系统确实允许L中的唯一适配解（B、a、Yb、Ya、va、vb）(Ohm; C（[0，T]；R×（L）））表示任何T>0。两小时后-1值随机变量具有相同的分布，如果关于任何有限测试函数集合的内积具有相同的分布，这表明（Bn，An，Yb，n，Ya，n，vna，vnb）=> （B，A，Yb，Ya，va，vb），从而完成了我们主要结果的证明。32克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟·丘勒马克4.1。“顶部体积”遵循带漂移的二维布朗运动；对于r=a，b，Yrt=hvr，0（·），νi+ZtE[ωPr]hfPr，νri+frsds+√2E[ωNr]ZthfNr，аridWr（s）-Zthvr（s，·），Dr（·）- Rs）σr（Bt，At，Ybt，Yat）露水（s）i，t≥ 其中frt:=*vr（t，·），trnσrσr（Bt，At，Ybt，Yat）Dаr（·）- Rt）o- br（Bt、At、Ybt、Yat）D~nr（·- （右）+- E[ωCr]DfCr（·）vr（t，·），νrE。附录A.关于随机过程极限特征的一个结果在这个附录中，我们建立了一个关于用布朗积分描述随机过程极限的结果。具体地说，我们假设给定一系列随机过程（Xn，Zn）（跳跃时间为k/n的分段常数），zntbbntcxk=1Znk，这样的话[Znk]=0EBnk/nhZnk(Znk）>i=nσnσ>nXnk/n，kn！其中Bnk/nBσXn，Xnk/n，锌，Znk-1.这些过程可能是多维的。假设A.1。

设σ为连续函数，并假设以下假设成立（适用于任何固定t>0的情况）：kσn- σkL∞N→∞----→ 0，kσkL∞< ∞,（A.1）EbntcXk=1ZnkN→∞----→ 0，（A.2）supn∈氖高级大床房≤bntcZnk< ∞.（A.3）注意，（A.1）直接暗示（A.4）ENbntcXk=1σnσ>nXnk/n，kn！-bntcXk=1σσ>Xnk/n，kn！N→∞----→ 0，具有状态相关价格动态的极限订单书的函数极限定理+引理A.2。假设（Xn）是C紧的，并且在某个概率空间上存在随机过程X和Z，例如（Xn，Zn）=> （X，Z）。如果满足假设A.1，则Z具有二次变化[Z]t=Ztσ（Xs，s）σ（Xs，s）>ds，t≥ 此外，Z是一个鞅w.r.t.由X和Z证明生成的过滤。由（A.3）可知，鞅满足Jacod和Shiryaev[19，推论VI.6.30]的条件。因此，我们发现Zn和它们的二次协变量过程[Zn]都弱收敛，[Zn]的极限是序列Zn的极限过程Z的二次协变量。象征性地锌，锌N→∞=====>（Z，[Z]）。通过Xn的C-紧性，我们可以将Xn加入到收敛中，得到Xn，Zn，锌N→∞=====>（X，Z，[Z]）。因此，我们只剩下确定[Z]t=limn→∞bntcXk=1Znk(Znk）>。为此，根据斯科罗霍德引理，我们可以假设（根据需要改变概率空间）为（Xn，Zn，[Zn]）→ （X，Z，[Z]）另请注意锌T-Zt（σ∑>）（Xs，s）ds#≤EbntcXk=1Znk(Znk）>-nbntcXk=1σ>Xk/n，kn！+ EnbntcXk=1σ>Xk/n，kn！-Ztσ>（Xs，s）ds.利用σ和（A.1）的连续性，第二项立即从支配收敛收敛到0。

我们继续进一步拆分第一学期：EbntcXk=1Znk(Znk）>-nbntcXk=1σ>Xk/n，kn！≤ EbntcXk=1Znk(Znk）>-nbntcXk=1σnσ>nXnk/n，kn！+ EnbntcXk=1σnσ>nXnk/n，kn！-nbntcXk=1σσ>Xnk/n，kn！+ EnbntcXk=1σσ>Xnk/n，kn！-nbntcXk=1σ>Xk/n，kn！关于I，注意随机变量的序列Znk(Znk）>-nσnσ>nXnk/n，kn！34 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiusatify E[Cnk]=0，如果k，l，cov（Cnk，Cnl）=0。此外，由于Cnkis从Znk(Znk）>通过服从条件期望，即znki是矩阵空间上标准内积的方差的上界，其中cov（Cnk，Cnl）B EhDCnk，CnlEi，var[Cnk]B EhDCnk，cnkei。因此，由Jensen不等式和（A.2）I≤武特bntcXk=1Cnk=vutbntcXk=1var[Cnk]≤vutbntcXk=1EZnkN→∞----→ 0.II通过（A.4）收敛到0。对于III，请注意被积函数通过XntoX的收敛收敛收敛于a.s.，而期望的收敛遵循支配收敛。最后，请注意如果（X，Z，[Z]）=十、 Z，R·∑∑>（Xs，s）ds在定律中，我们必须将[Z]=R·∑∑>（Xs，s）ds作为随机变量，也就是说，在应用斯科罗霍德引理之前，所提出的等式实际上也适用于原始概率空间。我们剩下来证明极限过程Z是一个（局部）鞅w.r.t.由（X，Z）生成的过滤。请注意，如果我们能证明族（Znt）n的一致可积性，这将伴随[19，命题IX.1.10和IX.1.12]的组合∈N+；T∈任意区间[0，T]的随机变量的[0，T]。这源于（A.1）assupnsupt∈[0，T]EZnt≤ supnbnTcXk=1EZnk≤ supnnbnTcXk=1kσnkL∞≤supnkσnkL∞!T<∞. 前面的引理表明Z可以表示为布朗积分。

由于鞅的二次变分一般不确定其分布，我们现在证明我们可以找到一个多维布朗运动，即Zt=Z+Ztσ（Xs，s）dWs。虽然可能是标准的，但我们无法找到直接适用于我们情况的本声明参考。因此，我们给出了主定理中表示步骤所需的特例的形式证明。推论A.3。设Z=（ZA，ZB，ZC）是一个连续的局部鞅，取值于Rd+n+m，使得微分二次协变满足[Z]=零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时对于d×d维可逆过程F，式中At=FtF>t，其中bi，jt=σitσjt，i，j=1，n、 Cl，kt=τltτkt，l，k=1，m、 具有状态相关价格动态+的极限订货簿的函数极限定理，分别适用于取Rn>0和Rm>0值的过程σ、τ。然后我们可以找到一个（d+2）维标准布朗运动（W，U，V），这样zat=ZA+ZtFsdWs，ZBt=ZB+Ztdiagσs，σnsdUs，ZCt=ZC+Ztdiagτs，τmsdVs。推论A.3的证明建立在L’evy对布朗运动的刻画的以下多变量扩展之上。结果似乎是标准的；我们提供了完整性证明（摘自[27]）。定理A.4。设X是一个l维连续局部鞅，二次协变量Hxit=∑且X=0。假设∑是确定性的，∑=0，对于任何a∈ 我们有7个→ a> ∑tai是连续且不断增加的。那么对于任何0≤ s<t增量Xt- x独立于f，并根据N（0，∑t）分布- ∑s）。证据选择一个∈ Rd并设置Y=aTX，使[Y]t=aT∑ta。进程mt=f（Yt，[Y]t）≡ expiYt+[Y]t！=在∑ta处expiaTXt+！以| Mt|为界≤ exp（在∑ta/2处）。

将连续半鞅的It^o引理应用于f给定的mt=f（Yt，[Y]t）dYt+f（Yt，[Y]t）d[Y]t+f（Yt，[Y]t）d[Y]t=iMtdYt。作为[0，T]上的有界局部鞅，M是（真）鞅。所以，E[exp（iaT（Xt- Xs）| Fs]=E[Mtexp(-iaTXs- 在∑ta/2）| Fs]=Msexp时(-iaTXs- aT∑ta/2）=exp（aT∑s- ∑t）a/2）。这是多元正态分布的特征函数，独立于Fs，均值为零，协方差矩阵∑t- ∑s，根据需要。推论A.3的证明。定义W、eU、eV流程，分别采用WTBZTF的Rd、Rn、Rm值-1sdZAs，eUtBZtdiag（σs）-1.（σns）-1.dZBs，eVtBZtdiag（τs）-1.（τms）-1.dZCs。36 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO QIUWe计算联合过程的二次协变量W、 欧盟，eV. 任何一个≤ i、 j≤ d我们有dhwi，Wjit=dXν，u=1（F-1t）i，ν（F）-1t）j，udDZi，ZjEt=dXν，u=1（F-1t）i，νAi，jt（F）-1t）j，udt=δi，jdt。另一方面，分别利用BTC和Ct的结构，我们得到了任意1≤ i、 j≤ n和1≤ l、 k≤ mdheUi，eUjit=dheVl，eVkit=dt。cross termshWi、eUji、hWi、eVli、heUj、eVlivanish。因此，过程（W，eU，eV）的二次协变量是确定性矩阵值过程∑t=tId0 00 En0 Em,其中ek表示k×k矩阵，所有条目均等于1。正如我们可以立即看到的那样→ a> ∑ta是连续的，并且对于任何a都是递增的∈ Rd+n+m，定理A.4暗示W、 欧盟，eV是增量按N（0，∑t）分布的阿加西过程吗- ∑s）。矩阵∑的特殊结构表明W是d维标准布朗运动，而U和V的所有分量分别是相同的一维布朗运动。因此，我们可以选择U-BeU，V-BeV，并得出结论。备注A.5。推论A.3的条件显然可以放宽。例如，在任何时候，至少有一个非负过程σ。

，σ为严格正。另一方面，如果它们都相同地消失，那么我们可能无法在相同的概率空间上找到合适的布朗运动。因此，在非常规情况下，我们需要削弱陈述，以提高分布的质量，并使用类似于[24]的技术得出结果。附录B.引理3.11的技术证明。我们证明（3.10）；第二个断言也类似。在不损失一般性的情况下，我们假设E[ωC]=1。对于每个人来说∈ （n，t）带n∈ N+，我们选择kns∈ 就是这样∈ [kns+1n，kns+2n）。对于s∈ （0，n），把kns=0。为了简单起见，我们设置evn（s，x）=1-α+αvn（s，x），带α∈ {1, 0}. 然后是SUPX∈重新Ztgn（s，x）- E[ωC]fC（x）- 卢比）evn（s，x）ds≤2杯∈重新ZtfC（x-\'\'Rnknsn）- fC（x）- Rs）！evn（s，x）ds+ 2杯∈重新Ztgn（s，x）- fC（x）-“Rnknsn）！evn（s，x）ds:= 2(Γ+ Γ).由于fCis Lipschitz连续且在紧致区间外消失，因此存在常数C<∞使Γ=supx∈重新ZtfC（x-\'\'Rnknsn）- fC（x）- Rs）！evn（s，x）ds具有状态依赖价格动态的极限订货簿的函数极限定理+≤C supx∈REZt | evn（s，x）| ds EZt | Rs-\'-Rnknsn|∧ 1ds。因此，引理3.4，Γ→ 0作为n→ ∞ 由于a.s。