然后是b∈ Bl,c∈ Cl和g∈ C′b（X；Rd），因此a=b⊕ c+T′（g）。定义g∈ C′\'b（X；Rd）by，g（ρ）：=g（ρ）- g（ρ（X）δ），ρ∈ C′b（X；Rd）。约束最优传输25在上述情况下，请注意，对于ρ∈ C′b（X；Rd），ρ（A）∈ Rd对于X的任何Borel子集A。在坐标形式中，g（ρ（X）δ）=dXi=1ρ（i）（X）g（i）（δ）。那么，对于任何η∈ C′l,g（T′（η）（X）δ）=dXi=1T′（i）（η）（X）g（i）（δ）=g（δ）·ZOhm（十）- y） η（dx，dy）。观察T′（g）（η）=g（T′（η））=g（T′（η））- g（T′（η）（X）δ）=T′（g）（η）- g（δ）·ZOhm（十）- y） η（dx，dy）=T′′（g）（η）+b（ηx）+c（ηy），其中b（α）：=-g（δ）·ZXxα（dx），α∈ C′X，~C（ρ）：=g（δ）·ZYyρ（dy），ρ∈ C′Y.集合b：=b-b，c：=c-c.那么，a=b⊕ 对于任何常数c，c+T′（g）和g（cδ）=0∈ Rd.由于u和ν为凸序，ZXxu（dx）=ZYyν（dy）。因此，（b⊕ c） （u×ν）=（b⊕ c） （u×ν）=0。对于任何β∈ C′Y，设置ηβ：=δ×β。我们直接计算γ∈ Cb（X；Rd），T′（ηβ）（γ）=-γ（0）·ZYyβ（dy）=：δ（γ）·cβ=> T′（i）（ηβ）=c（i）βδ，i=1，d、 因此，T′（g）（ηβ）=g（T′（ηβ））=g（cβδ）=0。Setb（α）：=b（α）- b（δ）α（X）c（β）：=c（β）+b（δ）β（Y）。那么，由于ηx（x）=ηy（y）=η（x×y），对于η∈ C′l,（b）⊕ c） （η）=b（ηx）+c（ηy）=b（ηx）+c（ηy）- b（δ）[ηx（x）- ηy（y）]=b（ηx）+c（ηy）。因此，三重态（b、c、g）满足b⊕ c+T′（g）=b⊕ 对于任何c，c+T′（g）=A，b（δ）=g（cδ）=0∈ Rd.尤其是，c（β）=a（ηβ），β∈ 因此，kckC′Y≤ kakX′）=1。设Q（α）是ηx=α的所有鞅测度η的集合。那么，对于任何η∈ Q（α），b（α）=a（η）- c（ηy）。因此，kbkC′Y≤ 2、此外，（b）⊕ c） （u×ν）=（b⊕ c） （u×ν）=0.26 Ekren&S onerSet b（α）：=b（α）-b（u）α（X），c（β）：=c（β）-c（ν）β（Y）。根据他们的定义，b（u）=c（ν）=0。我们利用这些得出结论，对于任何η∈ C′l,（b）⊕ c） （η）=（b⊕ c） （η）- （b）⊕ c） （u×ν）η(Ohm) = （b）⊕ c） （η）。上述方程式表示A=b⊕ c+T′（g）和b∈ Bl,u，c∈ Cl,ν。

此外，kbkC′X≤ 4，kckC′Y≤ 因此（8.3）适用于c*= 4和Bl+ Cl+ M是正则凸的。第二步：在这一步中，我们证明了B的正则凸性l+ Cl+ M意味着它等于Hmot。很明显Bl+ Cl+ M Hmot。对于矛盾，假设上述包含是严格的。通过正则凸性，存在∈ Hmotandη∈ C′l这样的话，苏帕∈Bl+Cl+Ma（η）<a（η）。（8.4）通过线性，上述不等式的左侧等于零，因此η∈ （B）l+ Cl+ M）⊥. 自（B）起l+ Cl+ M）⊥ H⊥mot，我们得出的结论是η∈ H⊥莫特。但是∈ Hmotand因此，a（η）=0。这与（8.4）相矛盾。因此，（8.2）成立，这个定理的证明是完整的。8.4。极轴集。设Nmotbe的所有Borel子集Z的集合Ohm 对于每个η，η（Z）=0∈ Qmot公司。I（χZ）是立即的∈ Kmot每Z∈ Nmot。然而，不清楚I（χZ）是否属于集合Bl+ Cl+ M、 因此，如【8】所述，这些集合必须用于对冲集合。另一方面，χAare型函数未包含在原始对偶集Hmot中。这一观察结果表明，集合I（Hmot）+X′的对偶性是不可预期的。事实上，[8]的示例8.1，Bb中的一个类似反例(Ohm) 已构建。此示例显示了Bb中的对偶间隙(Ohm), 当对偶元素不包含带A的形式χA的函数时∈ Nmot。因此，我们需要通过至少添加概率度量Qmot集的极化集Nmot来扩充对偶元素集。等价地，我们需要考虑所有的等式和不等式Qmot-准肯定；c、 f.[31，32]。我们通过提供前面在两个单独示例中讨论的一些极性集的构造来结束本节。在这两个例子中，我们仅限于一维情况X=Y=R。例子8.3。设u，ν相对于Lebesguemeasure绝对连续。

考虑由uu（x）=ZR | x定义的势函数- t |u（dt），uν（x）=ZR | x- t |ν（dt）。假设存在x∈ R使得所有x 6的uu（x）<uν（x）=x，uu（x）=uν（x）。然后，集合A=(-∞, x） ×（x，∞) 在Nmot中。Seta（x，y）=y- x |- |x个- x |-x个- x | x- x |（y）- x） ，当x 6=x且we seta（x，y）=y时，约束最优传输27- x |，如果x=x。也让a：=I（a）。注意，通过绝对值函数的凸性≥ 0且a上的a>0。因此，对于所有n≥ 0存在nn≤ 0，使NA+nn∈ Hmot+X′\'- Kmot逐渐收敛到I（χA）。因此，根据单调收敛定理，这种收敛也是弱的*拓扑结构。因此，I（χA）∈Hmot+X′\'-*= 国民党。示例8。4、我们现在通过极集合解释[8]中示例8.1中的对偶间隙。利用ba中的等位基因集可以证明二元间隙的存在(Ohm) 这是鞅，有边线u和ν。在本例中，我们假设u=ν=λ，其中λ是[0，1]上的勒贝格度量。那么，唯一的鞅耦合Q*是对角线上的均匀概率分布：={（x，x）：x∈ [0，1]}。因此，D的补码Dc是度量集Q={Q的极性集*}.对于k≥ 2，设ηkbe为setDk上的一致概率测度=（x，x+k）：x∈ [0，1-k].因为dcs是一个极性集，所以我们有I（χDc）∈ 国民党。另一方面，我们声称i（χDc）/∈Bl,λ+Cl,λ+M+X′\'-.（8.5）根据定理4.1，这将证明当使用B时，对偶间隙的存在l,λ+Cl,λ+M+X′\'-作为对冲策略。我们证明了（8.5），证明了对于所有（b，c，g，n）∈ Bl,λ×Cl,λ×C′b（R；R）×X′\'-lim supk有以下估计→∞b（ηkx）+c（ηky）+T′（g）（ηk）+n（ηk）- ηk（直流）≤ - 1注意，ηKx和ηKy在总变化中收敛到λ。此外，sup | g|≤1T′（ηk）（g）≤ sup | g|≤1.Zg（x）（y）- x） ηk（dx，dy）≤Z | y- x |ηk（dx，dy）≤CKK其中CKK是一个正有界常数序列。

因此，limk→∞T′（g）（ηk）=limk→∞g（T′（ηk））=0。这意味着Lim supk→∞b（ηkx）+c（ηky）+T′（g）（ηk）+n（ηk）- ηk（直流）≤ lim SUP公司→∞-ηk（Dc）=-因此，（8.5）认为并暗示强者和弱者*setB的关闭l,λ+Cl,λ+M+X′\'-是不同的。鉴于主要的对偶定理和Kmot的特征，我们得出结论，如果在对偶问题的定义中仅使用上述集合，将存在对偶缺口。28 Ekren&S oner9。凸包络假设X=Y是Rd的闭凸子集。基于前面章节的结果，我们定义了双C′中的凸性概念。回忆起那辆车，c(Ohm) 是紧支撑的所有可数加性Borelmeasures的集合，且ca+r，c(Ohm) 是其积极因素。SetM+：=M∩ （C′）l)+, 和Mc，+：=M∩ C′+=米∩ 钙+r，c(Ohm).定义9.1。我们叫c∈ C′′（X）凸if（C⊕ (-c） ）（η）≤ 0， η∈ Mc，+。为了获得凸性的等价刻画，我们回顾α∈ M（X）与β为凸序∈ M（X）并写入α≤cβif且仅ifZXφdα≤ZXφdβ，对于每个φ：x7→ R凸面。以下内容直接来自于Strasen的结果【33】。提案9.2。b∈ C′\'l（十） 凸当且仅当b（α）≤ b（β）对于所有测量值α，β∈ 凸序的M（X）t。此外，如果X=Rdand如果b∈ C′\'l（Rd）isconvex，则存在g∈ C′b（Rd；Rd）使得b（ηx）≤ b（ηy）+T′（g）（η）， η∈ （C′）l(Ohm))+.证据第一句话直接来自Strassen【33】。实际上，如果度量η∈ Mc，+然后ηx∈ ca+c，r（X），ηy∈ ca+c，r（Y），它们是凸序的。相反，如果α，β∈ M（X）∩ca+c，r（X）为凸序，则存在η∈ Mc，+使得ηx=α，ηy=β。然后，根据C′中cac，r（X）的密度得出一般性结论l（十） 。现在假设X=Y=Rd。

给定b∈ C′\'l（Rd），负债：=b⊕ (-b） 。然后，根据凸性的定义和命题7.2，b是凸的当且仅当ifa∈ D+（C′）l)-. 因此，存在g∈ C′\'b（Rd；Rd）对于任何η∈ M+，b（ηx）- b（ηy）=a（η）≤ T′（g）（η）。以下是经典定义的自然延伸。虽然可以对更大的类别C′进行定义，但我们仅限于Cl（十） 简化演示文稿。定义9.3。对于任何b∈ C′\'l（十） 其凸包络定义为，bc（α）：=inf{b（ηy）：η∈ M+，ηx=α}，α∈ （C′）l（十） ）+，对于一般α∈ C′l（十） ，bc（α）：=bc（α+）- bc（α-).引理9.4。对于任何b∈ Cl（十） ，bc∈ Cl（十） 。此外，kbkC′l（十） =kbckC′\'l（十） 对于每个α≥ 0bc（α）=sup{c（α）：c是凸的，c≤ b}。约束最优运输29Proof。对于α∈ （C′）l（十） ）+setQ（α）：={η∈ M+：ηx=α}。我们声称对于任何α，β∈ （C′）l（十） ）+，（9.1）Q（α）+Q（β）=Q（δ），其中δ：=α+β。事实上，夹杂物Q（α）+Q（β） Q（δ）直接来自定义。对于任何Borel子集A 十、 setzα：=dαdδ，zβ：=dβdδ，δ=α+β。那么，zα和zβ都是第一个变量x的Borel函数。此外，zα（x），zβ（x）∈ [0，1]和zα+zβ≡ 1、对于任何η∈ Q（δ），设置ηα（A）：=ZAzα（x）η（dx，dy），ηβ（A）：=ZAzβ（x）η（dx，dy）。很明显，ηα，ηβ∈ （C′）l)+. 对于任何h∈ Cl（十） 和η∈ Q（δ），我们计算zxh（x）ηαx（dx）=ZOhmh（x）ηα（dx，dy）=ZOhmh（x）zα（x）η（dx，dy）=ZXh（x）zα（x）ηx（dx）=ZXh（x）zα（x）δ（dx）=ZXh（x）α（dx）。因此，我们得出结论ηαx=α。也适用于任何γ∈ Cb（X；Rd），ZOhmT（γ）dηα=ZXzα（x）γ（x）·ZY（x- y） η（dx，dy）= 因此，ηα∈ Q（α）。类似地，可以证明ηβ∈ Q（β）。由于ηα+ηβ=η，这证明了权利要求（9.1）。映射α的线性∈ C′l（十） 到bc（α）现在直接来自定义和（9.1）。同样，从定义上看，norm语句是直接的。10

附录：正则凸集在本附录中，我们陈述了正则凸性条件的一个轻微扩展，该条件在[26]中得到了证明。设E为任意Banach空间。首先请注意，集合K∈ E′是正则凸的当且仅当它在弱*拓扑和是凸的。下面的结果是[26]定理7的直接推论，并在我们的论证中重复使用。引理10.1。让K E′。假设对于每个R>0，存在一个regularlyconvex集LRso thatK∩ BR公司 LR公司 K、 其中BRis是E′中以半径R为中心的闭合球。那么，K是规则凸的。30 Ekren&S onerProof。设U是有界的，正则凸的，br是一个包含U的球。然后，我们得到了包含sk的集∩ U K∩ BR公司 LR公司 K、 因此，K∩ U=LR∩ U、 由于LRU和U都是规则凸的，所以它们的交点也是规则凸的。因此，对于非常规则的凸，有界的U，K∩ U是规则凸的。根据定理7[26]，这证明了K的正则凸性。确认。作者感谢Matti Kiiski的许多评论和富有成果的讨论，并感谢匿名评论员的宝贵评论。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock和W.Schachermayer，《资产定价基础理论和超级复制定理的无模型版本》，数学金融，26（2），233–251，（2016）。[2] C.D.Aliprantis和K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》，Springer，第3版，（2006年）。[3] L.Ambrosio，《关于最优运输问题的课堂讲稿》，《旋转界面的数学方面》，马德拉（Pt）CIME暑期学校，P.Colli和J.Rodrigues编辑，1812，Springer，1–52，（2003）。[4] D.Bartl、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi，《具有可数多个边缘约束的增凸泛函的对偶性》，即将出版的《Banach数学分析杂志》。[5] S.Biagini，B.Bouchard，C。

Kardaras和M.Nutz，《连续过程的鲁棒基本定理》，数学金融，即将出版。[6] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限：大众运输方法》，《金融与随机》，17，477–501，（2013）。[7] M.Beiglb¨ock、C.Leonard和W.Schachermayer，《Monge-Kantorovich输运问题的一般对偶定理》，ESAIM：概率与统计，16306-323，（2012）。[8] M.Beiglb¨ock、M.Nutz和N.Touzi，《线上鞅最优运输的完全对偶》，《概率年鉴》即将出版。[9] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，《应用概率年鉴》，25（2），823859，（2015）。[10] M.Burzoni、M.Fritelli和M.Maggis，不确定性、金融和随机条件下离散时间市场的通用套利聚合器。[11] M.Burzoni、M.Fritelli和M.Maggis，《无模型超边缘对偶》，应用概率年鉴，即将出版。[12] P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi，《稳健定价和hedgingin离散时间的对偶公式》，预印本arXiv:1602.06177，（2015）。[13] P.Cheridito，M.Kupper和L.Tangpi，《带可数加法测度的递增凸函数表示》，预印本arXiv:1502.05763v1，（2015）。[14] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《稳健套期保值和连续时间鞅最优运输》，概率论及相关领域，160（1-2），391–427，（2014）。[15] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《比例交易成本稳健对冲》，《金融与随机》，18（2），327–347，（2014）。[16] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《Skorokhod空间中的鞅最优运输，随机过程与应用》，125（10），3893–3931，（2015）。[17] A.Galichon、P.Henry Labord\'ere和N。

Touzi，《stoc-hastic对无风险边界的控制方法及回溯期权的应用》，《应用概率年鉴》，24（1），312–336，（2014）。约束最优运输31[18]G.Guo，X.Tan和N.Touzi，在Korokhod空间上鞅t运输的紧性和对偶性，预印本，（2015）。[19] G.Guo，X.Tan和N.Touzi，《关于最优Skorokhod嵌入问题的单调性原理》，预印本，（2015）。[20] D.Hobson，《回望期权的稳健对冲》，《金融与随机》，2（4），329–347，（1998）。[21]D.Hobson和A.Neuberger，《前向启动选项的鲁棒边界》，MathematicalFinance，22，31–56，（2012）。[22]Z.Hou和J.Ob l'oj，《连续时间内稳健定价套期保值二元性》，预印本，（2015年）。【23】S.Kaplan，《C（X）的双倍体》，北荷兰，数学系列101，（1984）。[24]L.Kantorovich，《论大众的易位》，C.R.（Doklady）Acad。Sci。URSS（N.S.），37199-201，（1942年）。H.G.Kellerer，《边缘问题的对偶定理》，Z.Wahrsch。Verw公司。Gebiete，67（4），399–432，（1984年）。[26]M.Krein和V.ˇSmulian，《关于BanachSpace共轭空间中的正则凸集》，《数学年鉴》，41（3），556–583，（1940）。【27】G.Monge，拉卡德历史研究所《eblais et des Remblais理论备忘录》。巴黎科学院，666-704，（1781）。【28】M.Nutz和F.Stebegg。Canonical Supermartingale联轴器，arXiv预印本XIV:1609.02867，（2016）。[29]T.S.Rachev和R.R¨uschendorf，《大众运输问题：第一卷：理论》，斯普林格科学与商业媒体出版社（1998年）。【30】W.Rudin，《功能分析》，McGraw-Hill，Inc.，第二版，（1991年）。【31】H.M.Soner、N.Touzi和J.Zhang，《二阶目标问题的对偶公式》，《应用概率年鉴》，23（1），308–347，（2013）。【32】H.M.Soner、N.Touzi和J。

张，二阶后向SDEs的适定性，概率论及相关领域，153，149–190，（2012）。【33】V.Strassen，《给定边缘概率测度的存在》，《数学统计年鉴》，36（2），423–439，（1965年）。【34】Y.Yoshida，《功能分析》。数学经典。6，柏林斯普林格·维拉格（Springer Verlag），1995年。[35]C.Villani，《优化交通：新旧》，斯普林格·维拉格，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 338，海德堡，（2009）。[36]D.Zaev，关于带有附加线性约束的Monge-Kantorovich问题，数学注释98.5-6（2015）：725-741。ETH Z¨URICH，F¨UR MATHEMATIK部门，R¨AMISTRASSE 101，CH-8092，Z¨URICH，SWITZERLAND，电子邮件IBRAHIM。EKREN@MATH.ETHZ.CH.ETH瑞士Z¨URICH，R¨AMISTRASSE 101，CH-8092，F¨UR MATHEMATIK系，瑞士Z¨URICH，和瑞士金融研究所，EMAIL METE。SONER@MATH.ETHZ.CH.