财务指标的多变量模型及预测算法

2022-5-6 04:19:17

金融指数的多元模型和波动性检测算法马里奥·博尼诺*Matteo Camelia+Paolo Pigato2022年3月26日摘要我们考虑一个均值回复随机波动率模型，该模型满足金融市场的一些相关风格。我们介绍了一种用于检测波动率峰值的算法，该算法适用于1984-2013年期间道琼斯工业平均指数和金融时报股票交易所100指数的时间序列。基于实证结果，我们提出了该模型的一个双变量版本，对于该模型，我们找到了绝对收益之间交叉资产相关性随时间衰减的显式表达式。我们将我们的理论预测与同一金融时间序列上的经验模型进行了比较，发现了一个极好的一致性。关键词：互相关、跳跃检测、随机波动性、金融时间序列、LongMemory2010数学科目分类：60G44、91B25、91G701简介在过去二十年中，许多研究人员对经济和金融领域及其与统计力学的联系表现出越来越大的兴趣。当使用统计物理学中的数学工具查看金融数据时，会出现许多有趣的现象，这是因为金融市场在某种程度上类似于一个物理“复杂系统”，是大量代理相互作用的结果。我们看到的不是单个代理的行为，而是一些我们认为重要的宏观数量。这一新观点导致人们发现了一些引人注目的实证性质，这些性质在各种类型的金融市场中都可以发现，现在被认为是这些市场的典型事实。

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2022-5-6 04:19:21

这类事实的例子包括标度特性、自相似性、波动率特性（如峰值和聚类）以及长期相关性。在本文中，我们讨论最后两种现象，但我们的观点更多地来自数学金融而非统计力学。我们不看微观行为，而是直接看上面提到的宏观量，尽管我们可以假设所研究的大型麻黄目动物起源于一些小规模的相互作用。为此，我们在连续时间随机波动模型的框架下工作。更准确地说，我们在本文中使用的市场模型是均值回复随机波动率模型，波动率由ajump过程驱动。这意味着我们对去趋势原木价格的处理过程通过dXt=σtdBt演变，其中B是布朗运动，波动率σ=（σt）t∈Ris是以下形式的SDE的平稳解的平方根：dσt=-f（σt）dt+dLt。(1.1)*意大利帕多瓦德格利研究大学材料与应用研究所，地址：意大利帕多瓦I-35121号的里雅斯特63号。马里奥。bonino@outlook.com.+意大利帕多瓦德格利研究大学Matematica Pura ed Applita分校，途经意大利帕多瓦I-35121号的里雅斯特63号。马特奥。camelia@gmail.com.INRIA Nancy&IECL校园科学，英国石油公司70239，54506 Vandouvre-L\'es Nancy-Cedex，Francepaolo。pigato@inria.fr（通讯作者）函数f，我们称之为“均值回归”，具有将波动率推回到其平衡值的作用，而L=（Lt）是一个模拟波动率中噪声的过程，它被视为一个纯跳跃过程（见[10,15,3]）。如果σ是一个路径为loc（R）a.s的独立过程，那么过程X可以被视为布朗运动的随机时间变化：Xt=WI（t），其中I（t）=Rtσsds。

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2022-5-6 04:19:25

[1]中给出的模型就是这种过程的一个例子，这将是本文的重点。该模型的引入正是因为它能够解释上述一些典型事实，即：对数收益分布从幂律到高斯行为的交叉，波动率自相关的缓慢衰减，微分标度和矩的多尺度，同时保持简单的公式和对参数的显式依赖。我们在这里考虑以下两个问题：市场冲击检测算法（波动率峰值）和模型的双变量版本研究。这两个方面是联系在一起的，因为两个指数之间的互相关高度依赖于波动过程跳跃之间的相关性。在简单介绍了[1]中介绍的模型之后，我们提出了检测波动率跳跃的算法。金融时间序列中发现冲击的问题是一个经典问题。例如，GARCH模型（广义自回归条件异方差[4]）被广泛使用，但在实践中，“波动似乎更像是一个跳跃过程，在经历突变之前，它在一段较长的时间内围绕某个值波动”（[20]）。为了解决这个问题，已经开发了政权转换GARCH模型（[11,12]），但它们可能很难实现。因此，更常见的方法是使用一种近似过程，即[13]中介绍的所谓ICSS-GARCH算法。当在连续时间内工作时，估计波动性的经典工具是通过平方收益之和使用价格过程的二次变化近似值（理论结果见[2]或新书[14]）。在这里，我们在这个框架下工作，具体目标是估计冲击。

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2022-5-6 04:19:28

因此，我们的估计器使用平方收益作为ICSS-GARCH算法。然而，ICSS-GARCH算法在收益为正态分布的假设下运行良好。相反，我们的算法基于价格过程二次变化的几何考虑。我们对1984年至2013年道琼斯工业平均指数（DJIA）和英国《金融时报》证券交易所（FTSE）100指数的经验时间序列使用了我们的算法。对输出的一些启发性考虑证实了其在跳跃检测中的有效性。我们发现，该算法估计的波动率峰值大部分由两个指数共享。受两个市场的大多数冲击都是共同的这一事实的启发，我们考虑了该模型的一个双变量版本，其中冲击的联合过程由相关的泊松过程给出。这是我们建模的一个主要依据，因为在波动过程中，长期依赖性严重依赖于冲击时间。事实上，定义dxt=σXtdBXt，d（σXt）=-f（（σXt））dt+dLXt，dYt=σYtdBYt，d（σYt）=-f（（σYt））dt+dLYt，在联合波动率（σXt，σYt）t非常弱的假设下，很容易表现出来∈Rthatlimh↓0corr（| Xh）- X |，| Yt+h- Yt |）=corr（σX，σYt）。如果波动率是[1]中考虑的精确形式，则可以进行显式计算，且（σX，σY）的演化仅取决于lxly和lxly的跳跃。两种资产在某一时间的增量和绝对增量之间的相关性已经得到了广泛的研究，尤其是因为它与系统风险和投资组合管理有着直接的联系（参见[9,6]），但这里我们讨论的是一些更为特殊的问题。我们考虑不同时间绝对增量的互相关，并计算这种相关性如何随着时间差的增加而衰减。Podobnik等人已经解决了这个问题。

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2022-5-6 04:19:32

在[18]中，他们分析了道琼斯工业指数和theS&P500指数；在[19,21]中，在纳米器件、大气地球物理、地震学和金融等多项研究中发现了震级之间的长期交叉相关性。在我们的框架中，我们找到了绝对回报之间交叉资产相关性衰减的显式公式，具体取决于时滞（见推论3.4）：limh↓0corr（| Xh）- X |，| Yt+h- Yt |）=πCov（SX）DX-1/2，（λYt+SY）DY-1/2pV ar（|N | SDX-1/2）V ar（|N | SDY-1/2）e-λyt所涉及的量是波动率σx和σY的常数参数，除了sx和SY，它们是来自跳跃过程L=（LX，LY）和两个独立随机变量N（标准高斯）和S（指数）的相关指数变量。我们将这一结果与富时指数和道琼斯工业平均指数的两个经验时间序列进行了比较，发现模型的预测与经验结果之间有很好的一致性。特别是，我们发现，从模型和经验数据来看，自相关和互相关的衰减几乎是一致的，尤其是时间缓慢，证实这是一个长记忆过程。另一方面，从经验上看，我们发现富时指数和道琼斯工业平均指数的回报率之间没有显著的互相关，即使是非常小的时滞，这也与模型一致。这并不奇怪，因为这两个指数都有图1：互相关的衰减没有收益的长期自相关，这很容易被认为与我们的模型一致。如前所述，与此相反，绝对收益的互相关衰减非常缓慢（见图1）。事实上，我们的模型在所有这些方面都表现为真实的金融时间序列，这是一个全新的发现。我们提到了Podobnik等人进行的统计分析。

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2022-5-6 04:19:35

在[18,21]中，我们得出了与我们类似的结果，也涉及自相关和交叉资产相关性衰减的相似性。在第2节中，我们介绍了[1]中介绍的模型，并解释了检测波动率跳跃的算法。在第三节中，我们研究了二元模型。在第4节中，我们证明了激励算法的结果和二元模型的结果。2.模型的定义和跳跃的检测在本章中，我们描述了与程式化事实相关的模型和状态属性以及结果。然后，基于价格过程二次变化的性质，我们提出了一种检测市场冲击的算法。2.1给出三个实数D的模型定义∈ (0, 1/2], λ ∈ (0, ∞), σ ∈ (0, ∞), 该模型基于两种随机性来源定义：o布朗运动W=（Wt）t≥0;o 泊松点过程T=（τn）n∈R上的Zof速率λ。我们假设W和T独立。按照惯例，我们标记T的点，使τ<0<τ。要塞≥ 0，我们定义（t）：=sup{n≥ 0：τn≤ t} =#{t∩ （0，t]}.i（t）是t之前泊松过程中的正次数，因此τi（t）是t之前t中最后一点的位置。我们引入过程i=（It）t≥0de finingit=¨σ（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1）二维- (-τ）二维（2.1）如果i（t）=0，我们同意右侧的总和为0。现在我们定义了去趋势原木价格asXt=WI（t）的模型过程。（2.2）观察到I是一个严格递增过程，具有绝对连续的路径，它独立于布朗运动W。因此，该模型可视为布朗运动的独立随机时间变化。我们很快给出了这一定义的动机。注意，对于D=1/2，该模型降低了toBlack&Scholes的波动率‘∑。

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2022-5-6 04:19:39

当D<1/2时，引入时间不均匀性t→ t2Dat乘以τ表示金融时间序列的交易时间，其中在随机时间市场中存在冲击，由我们的泊松点过程建模。市场的反应是在冲击后立即加速动力，随后逐渐放缓，直到新的冲击再次加速动力。这种行为是由函数t引起的→ t2D，D∈ （0，1/2），对于接近0的t，它是陡峭的，对于增加t，它是弯曲的。图2：时间不均匀性将模型定义为时变布朗运动意味着我们可以等效地将其表示为随机波动率模型，其中波动率σt=pI（t）=√2D′σ（t- τi（t））D-1/2，X的演化由dXt=σtdBt给出。为了将波动率写成（1.1）形式的随机微分方程的解，我们可以将其定义为d（σt）=-α（σt）γdt+∞di（t），其中常数为γ=2+2D1- 2D>2，α=1- 2D（2D）1/（1）-2D）σ2/（1）-2D）。这一过程很明确，因为在有限跳跃之后，超线性漂移项瞬间产生有限路径解。我们参考[8]了解该框架中时间变化和随机波动性之间的对应关系，以及更广泛的随机波动性模型。备注2.1。在该模型的最一般版本中，参数σ不是常数。随机变量序列（¨σn）n∈Nis模拟，每个都与相应的跳转关联。这里给出的结果在这种情况下仍然有效，公式稍微复杂一些。在这项工作中，我们假设∑常数，因为对来自金融时间序列的数据进行校准在任何情况下都会导致这种选择。2.2主要特性我们简要回顾了工艺X的一些特性。

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nandehutu2022

2022-5-6 04:19:42

关于证据、更详细的陈述和一些额外的考虑，我们参考[1]。命题2.2（基本属性）。设X为（2.2）中定义的过程。以下断言保持：（1）X具有固定增量。（2） X是一个零均值、连续的平方可积鞅，二次变差hXit=It。（3） X的增量分布是遍历的。（4） E（|Xt|q）<∞ 对于某些（以及任何）t>0，q∈ [0, ∞).我们现在准备陈述一些结果，这很重要，因为它们在我们的模型和引言中提到的程式化事实之间建立了联系。（2.2）中定义的过程X与许多实时序列中经验性检测到的重要事实一致，即：收益率的离散标度、矩的多标度、波动率自相关的缓慢衰减。第一个结果显示，增量（Xt+h-Xt）当h↓ 0，具有重尾极限分布，当h↑ ∞, 具有正态极限分布。这是对数收益分布中交叉现象的精确数学公式，从近似重尾（小时间）到近似高斯（大时间）。定理2.3（扩散比例）。以下分布收敛性适用于任何参数D，λ，σ的选择小时间扩散缩放：（Xt+h）- Xt）√高清---→H↓0f（x）dx:=σ定律√2Dλ-DSD-W、（2.3）其中~ Exp（1）和W~ N（0，1）是独立的随机变量。

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2022-5-6 04:19:46

函数f isf（x）=Z∞dtλe-λtt1/2-D′σ√4Dπexp-t1-2Dx4D′σ.o 大时间扩散缩放：（Xt+h）- Xt）√高清----→H↑∞E-x/（2c）√2πcdx=N（0，c），c=\'）σλ1-2DΓ（2D+1），（2.4）式中Γ（α）：=R∞xα-1e-xdx表示欧拉伽马函数。当D<时，密度f具有幂律尾：Ef（|x | q）=∞ <=> Q≥ Q*:= (1/2 - D）-1.函数f描述了h的渐近定律↓ 0，of xt+h-Xt√h、与Xt+h的密度有不同的尾部行为-Xt，用于固定h（参见命题2.2第4点）。f的这一特性与我们模型的另一个特性有关：矩的多尺度。让我们来定义q- 以时间刻度h:mq（h）：=E（|Xt+h）返回日志的第h时刻- Xt | q）=E（|Xh | q）增量平稳性的最后一个等式。由于不同的标度特性（定理2.3），我们预计mq（h）在某种意义上近似于hqRxqf（x）dx=cqq，对于h↓ 0.对于q<q，这实际上是正确的*, 也就是说，对于q来说- 极限分布的第四个时刻是有限的。问≥ Q*, q-极限分布的第四个时刻是不确定的，它表明一个更快的缩放保持不变，即mq（h）≈ hDq+1。mq（h）标度的这种转变被称为矩的多标度，这是一种在许多时间序列（尤其是金融序列）中经验性地检测到的特性。以下定理表明，对于该模型，多尺度指数是q的依次线性函数。在[8]中，考虑了更一般的随机波动模型中的多尺度问题，发现一个类似的行为在更广泛的类别中是常见的。定理2.4（矩的多重标度）。当q>0时，q- 对数矩返回mq（h）的渐近行为如下↓ 0:mq（h）~Cqhq，如果q<q*cqlhqlogH, 如果q=q*CqhDq+1，如果q>q*对于某些常数Cq∈ (0, ∞) （其显式表达式见[1]）。

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大多数88

2022-5-6 04:19:48

因此，标度指数a（q）isA（q）=limh↓0日志mq（h）日志h=qif q≤ Q*Dq+1如果q≥ Q*我们现在陈述一个关于过程X的波动率自相关的结果，即给定时间距离下收益绝对值的相关性。回想一下，两个随机变量X和Y的相关系数是ρ（X，Y）=Cov（X，Y）pV ar（X）V ar（Y）。对于过程X，引入ξ=（ξt）t≥0，增量绝对值的过程，对于h固定：ξt=|Xt+h- Xt |。那么X的波动率自相关是ρ（t）- s） =林↓0ρ（ξs，ξt）=Cov（ξs，ξt）pV ar（ξs）V ar（ξt）实际上，由于过程是平稳的，我们上面定义的量只取决于时间差- s、定理2.5（波动率自相关）。对于t≥ 0，ρ（t）=πCovSD-1/2，（λt+S）D-1/2V ar（|N | SD）-1/2）e-λtws是参数为1的指数变量，N是标准正态变量，它们相互独立。这个定理表明，波动率自相关的衰减在t=O（1/λ）的多项式和指数之间，t>>1/λ的指数之间。2.3跳跃和二次变化我们现在考虑价格过程的二次变化，也被称为综合波动率。以下考虑的目的是介绍一种检测波动率相关跳跃的算法，该算法在[5]中首次提出，然后在[7,17]中进行了分析。我们知道X的二次变化由I（命题2.2）给出：hXit=It。我们记得，二次变化是收缩分区的平方增量和的概率极限。

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2022-5-6 04:19:51

因此，I的自然估计量是X的adense采样的平方增量之和（关于这类估计量的一致性和收敛速度的许多结果，请参见[14]）。另一方面，过程I是分段凹的；事实上，我们还记得，这种过程是由it=\'σ定义的（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1）二维- (-τ）二维很明显，在连续两次冲击之间，这个过程是凹的。我们计算时间T，并考虑由qt（T）定义的后向差异商：=IT- 信息技术-tt。这个量以T为条件，增加到T之前的最后一次冲击时间，因此在T=T时有一个局部最大值-τi（T）。此外，它的导数在电击后非常大，但随着时间的推移会迅速衰减。因此，我们预计QT（s）<QT（T-τi（T））如果s∈ （T）-τi（T），T-τi（T）-五十），对于一些L>0的人。我们在这里提出了一个基于以下思想的算法：如果我们选择M>0，那么τi（T）-1<T- M<τi（T）<T和T- M“比τi（T）更接近τi（T）-1“，然后是间隔（t）内QT（t）的全球最大值- M、 T）应在T=T时达到- τi（T）。4.1中说明并证明了这一事实的几何性质。由于X的二次变化的自然估计量是Xt的平方增量的平均值，我们引入以下估计量：VT（k）：=kkXi=1（Xt）-i+1- XT-i）条件作用于T，我们有{VT（k）|T}=kkXi=1En（XT-i+1- XT-i） | To=kkXi=1En机智-i+1- 机智-我|To=kkXi=1（它- 信息技术-k） =QT（k）由于我们无法直接在历史数据上观察QT，因此我们使用vt作为近似值，并实现了一种算法，以确定实现的跳跃时间。2.4波动性跳跃的检测我们现在描述算法的实现和应用。我们开始介绍一些符号。

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2022-5-6 04:19:54

财务指数时间序列将用（si）0表示≤我≤N、而去趋势对数时间序列将由（xi）250表示≤我≤N、式中xi:=log（si）-\'d（i）和\'d（i）：=Pi-1k=i-250log（si）；我们观察到，不可能定义XII<250。我们定义（y（i））0≤我≤是相应的交易日期序列。我们还介绍了VNascVN（k）：=kkXi=1（xN）的经验估计-i+1- xN-i）现在，假设我们想知道时间序列中最后一次冲击是什么时候发生的。其思想是选择一个合适的整数M，使0<M≤ 然后看看序列（cVN（k））N-M≤K≤自然达到最大限度。这就引出了以下定义。定义2.6。设（si），（xi），（yi），N，M如上；给定一个整数N，使得M≤~N≤ N、我们定义k（~N，M）：=argmax~N-M≤K≤~NkkXi=1x~N-i+1- x~N-我.这个数量是对y)N之前最后一次冲击时间距离的估计。我们定义了alsobi（)N，M）：=N-bk（~N，M）+1，我们对上一次冲击时间估计的指数的估计，以及因此我们对yNisbτ（~N，M）之前的上一次冲击时间的估计：=ybi（~N，M）.值得将我们的算法与所谓的ICSS-GARCH算法进行比较。在[20]之后，我们可以如下描述ICSS-GARCH算法。考虑到一系列的财务回报，rn，用平均值0，我们定义了累积平方和Ck=Pki=1和letDk=CkCn-千牛，1≤ K≤ n、 D=Dn=0如果序列r，Rn的方差为常数，那么序列D，Dn应该在0左右振荡。然而，如果方差出现震荡，序列应该在该点附近表现出极端行为。我们注意到，这两种算法都使用收益平方和来检测波动性冲击。然而，ICSS-GARCH算法在收益为正态分布的假设下运行良好，但不适用于重尾分布，如[20]所示。

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2022-5-6 04:19:57

相反，我们的算法基于几何方面的考虑：它定位的冲击来自于这样一个事实：我们的回报是由布朗运动的分段凹时间变化给出的。在随机波动率模型中，分段凹时间变化的假设是合理的。事实上，为了重现波动性的跳跃，我们可以引入一个过程，使波动性在冲击发生时强烈增加，然后随着时间慢慢衰减。对于本文概述的实证讨论，我们使用了从1984年4月2日到2013年7月6日的道琼斯工业平均指数和富时指数，因此N=7368。1950年1月3日至2013年7月23日期间，对标准普尔500指数进行了类似的数据分析，发现了类似的结果，并确认了该方法对综合指数的有效性。本文中给出的所有计算和图片都是使用MatLab软件获得的[16]。图3给出了估算上次冲击时间的经验程序示例。图3:k=1时的量子化曲线，2000年（M=2000）。N已被选中，因此y将在2011年5月10日。峰值对应于2008年9月15日，也就是雷曼兄弟银行破产的那一天。为了确认冲击时间的估计值是正确的，我们可以在接近冲击时间时重复该程序，放弃最后一次观察，或放弃一些最后的观察。如果最后一次冲击时间的估计是确定的，那么我们有一个明确的迹象表明存在冲击（见图4–（a））。我们注意到，当在考虑的时间间隔内出现多个冲击时，如果我们充分利用y/Nclose（同样，这是由引理4.1激发的），最近的一个冲击被发现为^V的最大峰值。

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2022-5-6 04:20:00

当我们进一步研究时，选择的峰值不一定是最近的，如图4–（b）所示。图4:k=1时的数量CvN（k）曲线图，2000年（M=2000），适用于DJIA。在每个图中，我们在20个工作日内换班4次。在（a）中，选择了N，因此y是10/05/11（红色）、11/04/11（黄色）、14/03/11（绿色）和11/02/11（蓝色）。这四个maxima都位于2008年9月15日，也就是莱曼兄弟银行破产的那一天，这证实了那里存在的冲击。在（b）中，选择了N，因此y是2012年2月27日（红色）、2012年1月27日（黄色）、2011年12月28日（绿色）和2011年11月29日（蓝色）。我们可以看到，当y接近2011年5月8日（欧洲主权债务危机）时，这个日期对应于^V的最大值，而当我们进一步移动时，最大值再次出现在2008年9月15日。（a）（b）为了得到更清晰的结果，我们稍微调整了程序。当计算bk（~N，M）时，忽略总和的最后20个元素。按顺序排列，而不是将bk（~N，M）计算为argmaxfor ~N- M≤ K≤~N，我们删除该系列的最后20个元素。通过这种方式，我们只能定位至少20天的冲击，但我们消除了冲击后可能立即出现的大波动，这可能会导致算法中的一些不稳定性。为了定位给定时间序列中的所有过去的冲击，我们计算了N=N，M、然后介绍下面的顺序。定义2.7。鉴于定义2.6中的数量，我们引入冲击时间序列asbh（（xi）250≤我≤N、 M）：=bi（~N，M）M≤~N≤最后，为了清楚地了解相关冲击在时间序列中的位置，我们可以绘制序列bh（（xi）250中每个元素的发生次数≤我≤N、 M）。如果某个日期出现的次数超过某个阈值，我们可以选择将其视为震惊日期。表1包含了我们估计的冲击日期。

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2022-5-6 04:20:03

在图5中，我们可以看到图形证据，即FTSE和道琼斯工业平均指数的最大值都集中在一小部分天数上，这支持了该方法的有效性。阈值的选择尚未完全确定，我们基于两个标准。首先，估计的冲击次数应与泊松过程的预期跳跃次数一致（其速率在第3节中进行了校准）。其次，我们看到在这两个系列中，everydate都有一些小的或非常大的事件。更明确地说，对于DJIA，只有3个日期被发现大约50次，而所有其他日期被发现超过80次或少于25次。类似地，对于富时指数，只有两个日期被发现大约50次，而其他所有日期被发现超过80次或不到20次。因此，我们有理由将真实地震视为发生次数超过80次的地震，而不太清楚如何考虑发生次数约为50次的地震。在任何情况下，这些选择都与泊松过程的预期跳数一致。另一个选择震惊日期的问题是，有时两个或两个以上非常接近的日期被发现的次数相当多。在这种情况下，我们认为它们与相同的冲击有关。这些日期在表1中用“稀疏”一词标记，我们在表1中报告了估计日期。图5：冲击时间；x轴：增加时间指数；y轴：y（i）=i（a）FTSE冲击次数（b）DJIA冲击次数下实现最大^V的次数备注2.8。在这一点上，人们自然会怀疑这两个指数中的冲击之间是否存在关系，一个简单的实验就是尝试将这两个图形叠加（见图6）。

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2022-5-6 04:20:07

我们得到的是一个明确的迹象，表明这两个系列的冲击时间几乎是一致的，只是震级（或证据）不同，并且只有很少的冲击出现在两个指数中的一个。这是选择双变量过程波动率的一个重要提示，下一节将讨论这个问题。图6：常见跳跃：图5（a）和（b）3的重叠-二元模型3。1二元模型的定义我们在此研究二元模型（X，Y）=（Xt，Yt）t的绝对收益之间的相关性衰减≥第2节中定义的模型的0。我们需要以下数量：表1:DJIA14/10/87 15/09/8724/01/8926/09/89 11/10/89（有问题，53）09/01/9601/07/96（有问题，54）13/03/97（稀疏）08/08/9722/10/97（有问题，48）16/10/9704/08/98 31/07/9830/12/99 04/01/0009/01/01/09/03/01/0112/06/02/07（有问题，43/07/07）57/07/0804/01/08（稀疏）03/09/08 15/09/0805/08/11 05/08/11o两个布朗运动WX=WXtT≥0和WY=怀特T≥0;o R:TX=（τXn）n上的两个泊松点过程∈Zand TY=（τYn）n∈Z、分别为λx和λY；o正常数DX，DY，“∑x”和“∑Y”。棘手的一点是泊松过程的定义，我们想要依赖但不同的泊松过程。Weintroduce Ti，i=1,2,3，强度为λi，i=1,2,3的独立泊松过程。然后我们定义x=T∪T、 TY=T∪T

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2022-5-6 04:20:09

这也是泊松过程，强度为λ+λ和λ+λ，如果不是退化的，它们是相互依赖的。我们想要一个相关系数ρ∈ [-1，1]也在布朗运动之间，因此我们引入两个独立的布朗运动WX，~W，和definewyt=ρWXt+p1- ρWt。Wy和Wx之间的相关性在本文中不起作用，但参数ρ对于同时增加X和Y的相关性很重要，这可能是一个值得考虑的方面。我们假设二维布朗函数W=（WX，WY）和二维时变T=（TX，TY）是独立的。第2节关于边缘一维过程的要求得到满足，我们可以定义X和Y asXt=WXIXt，Yt=WyIyt，其中随机时间变化IX和IyTar的定义如（2.1）所示。正如我们在备注2.8中所注意到的，这一定义的动机是，在经验数据中，两个指数中的一个指数的冲击发生通常与另一个指数的波动峰值重合。3.2绝对对数回归的协方差和相关性对于给定的时间h，我们设置ξt=|Xt+h- Xt |，ηt=|Yt+h- Yt |，时间t时X和Y的收益的绝对值。关于时滞h变为0时ξ和ηtas之间协方差的渐近行为的以下结果在第4.2节中得到证明。定理3.1（绝对对数收益的协方差）。让过程（X，Y）如上所述定义。然后，对于任何t>s>0，以下公式成立：limh↓0Cov（ξs，ηt）h=4′σX′σY√DXDYπCov(-τX）DX-1/2，（t- s- τY）DY-1/2E-λY（t）-s）备注3.2。

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2022-5-6 04:20:13

利用TX和TY的定义和泊松过程的性质，可以将此表达式改写为LIMH↓0Cov（ξs，ηt）h=π′σX′σY√DXDYλX1/2-DXλY1/2-DY×Cov（SX）DX-1/2，（λY（t）- s） +SY）DY-1/2E-λY（t）-s）。这里Sx和Sy是参数1的相关指数变量，定义如下。我们设置（λ+λ）S1，X=（λ+λ）S1，Y~ exp（λ），S~ 经验λλ+ λ, s~ 经验λλ+ λ,S1，X，S，S实际上是独立的。我们定义了SX:=min{S1，X，S}和SY:=min{S1，Y，S}。备注3.3。如果不是绝对回报，而是简单回报，我们会发现↓0Cov（Xs+h）-Xs，Yt+h-Yt）=0，适用于任何s 6=t。我们的模型与这样一个事实相一致，即即使对于非常小的时间滞后，回报的经验互相关也不显著，就像对于自相关一样。从这个定理，我们得到了绝对对数收益率之间相关性的渐近估计，当时间尺度变为0时。回想一下，ξ和η之间的相关系数定义为ρ（ξs，ηt）=ρ（|Xs+h）- Xs |，| Yt+h- Yt |）=Cov（ξs，ηt）pV ar（ξs）V ar（ηt）。推论3.4（交叉资产相关性的衰减）。对于上面定义的过程（X，Y），对于anyt>s>0，以下表达式为h↓ 0:林↓0ρ（ξs，ηt）=πCov（SX）DX-1/2，（λY（t）- s） +SY）DY-1/2pV ar（|N | SDX-1/2）V ar（|N | SDY-1/2）e-λY（t）-s）其中s表示参数1的指数变量，N表示标准正态变量，它们相互独立。注释3.2对SX和Sy进行了定义。备注3.5。假设X和Y是由两个不同布朗运动的相同时间变化产生的，即IX=IY=：i，或：DX=DY=D，TX=TY=T，\'σX=\'σY=\'σ。在这种情况下，交叉资产相关性衰减的表达式为imh↓0ρ（ξs，ηt）=πCov\'\'σSD-1/2，¨σ（λ（t-s） +s）D-1/2E-λ（t）-s） V ar（‘σ| N | SD）-1/2），这正是自相关衰减的表达式（参见定理2.5）。

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2022-5-6 04:20:15

这与我们在经验金融数据上看到的非常接近。3.3实证结果我们考虑了1984年4月2日至2013年7月6日期间的道琼斯工业平均指数和富时指数。对于数据分析，我们使用软件MatLab[16]。接下来的内容取决于增量x的遍历性（命题2.2-（3））。我们开始分别考虑这两个系列。我们选择了一些与程式化事实相关的重要量，并将其用于校准：我们考虑了多尺度系数C、多尺度指数A（q）、波动率自相关函数ρ（t）。校准程序在[1,17]中有详细描述。我们发现以下参数估计值。富时：D≈ 0.16; λ ≈ 0.0019; σ ≈ 0.11.迪亚：D≈ 0.14; λ ≈ 0.0014; σ ≈ 0.127.在图7中，我们展示了经验多尺度指数与使用这些参数的模型预测的对比。我们对多尺度指数的估计似乎被经验曲线抹平了。由于对模型每日增量的模拟产生了一个类似于经验性克隆的图形，这种轻微的不一致可能是因为理论线显示了h的极限↓ 0，而经验数据来自每日样本。图8涉及波动率自相关。衰减介于多项式和指数之间，考虑到它们非常普遍，经验数据非常适合。图7：多尺度指数（a）FTSE（b）DJIAWe现在显示我们模型的对数收益分布：pt（·）=P（Xt∈ ·) = P（Xn+t）-Xn∈ ·)对于t=1天，以及类似的经验量。我们没有一个明确的pt解析表达式，但我们可以很容易地从数值上得到它。图（9）显示了分布的体积和集成细节。

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2022-5-6 04:20:18

考虑到这些曲线是一个测试后验曲线，并且没有使用这些分布估计任何参数，我们发现这种一致性是显著的！我们在备注2.8中看到，我们对富时指数和道琼斯工业平均指数中的冲击的估计是严格相关的：一个指数中冲击的发生往往与另一个指数中冲击的发生同时发生。因此，尝试对交叉资产相关性进行粗略建模的第一个想法是，为FTSE提供Tf跳跃过程，为DJIA提供Td跳跃过程，使其成为同一过程。从备注3.5以及富时指数和道琼斯工业平均指数的D和‘∑非常相似的事实来看，我们预计道琼斯工业平均指数波动率自相关的衰减、富时指数波动率自相关的衰减以及绝对收益的交叉资产相关性的衰减将显示出类似的行为。如果我们绘制这些数量（见图10），并与[18]的经验结果相一致，这正是结果。在这个粗略的假设下，我们对交叉资产相关性的估计与我们对富时指数或道琼斯工业平均指数波动率自相关衰减的预测一致，或者两者之间的平均值一致。我们可以更好地使用第3节开头描述的二元跳跃过程I=（IX，IY）。我们需要估计强度λ、λ、λ，受估计参数的约束。图8：波动率自相关（a）FTSE对数图（b）DJIA对数图（c）FTSE对数图（d）一维模型的DJIA对数图。将bγh（t）定义为h天内的经验相关系数：bγh（t）=corr（|xf·+h- xf·|，|xd·+t+h- xd·+t |）。其中XF和XD是FTSE和DJIA系列的去趋势日志返回。

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2022-5-6 04:20:21

最小化该量与理论互相关（定理2.5）之间的适当距离，我们得到λ=0.0014；λ= 0.0005; λ= 0.在图11中，我们绘制了我们的模型预测与交叉资产相关性的经验衰减，对于t=1。。，400天。我们的估计值为λ=0这一事实意味着，当富时指数的冲击由道琼斯工业平均指数的冲击加上一些额外的冲击（由Aspaser Poisson过程给出）给出时，我们与实际数据的最佳拟合就得到了。由于样本量较小，这些估计过于粗略，无法进行更多的定量考虑，但有人可能会认为，道琼斯工业平均指数中的冲击总是决定富时指数中的波动，而富时指数中可能存在冲击，这并不意味着道琼斯工业平均指数的经验方差会显著增加。4.技术成果4。1二次变量的几何性质回想一下，我们定义了后向差异商qt（t）=IT- 信息技术-tt，It=hXit。图9：对数收益率分布（a）富时指数成交量（b）道琼斯工业平均指数成交量（c）富时指数成交量（d）道琼斯工业平均指数成交量图10：经验相关性比较（a）对数图；三分之一的点绘制为（b）对数图；对于t≥ 20，三分之一的点被认为是路径，QT（·）有一些很好的几何性质，保证在T之前的最后一个跳跃时间存在一个“孤立”的最大值。为了简化符号，我们设置m:=T- τi（T），α：=τi（T）- τi（T）-1，K=二维1.-2D。（4.1）图11:FTSE和DJIA交叉资产相关性（a）对数图（b）对数图下列引理表明，如果m足够小，QT（·）在m处达到最大值。此外，减小m时，m处的QT（·）值任意大于连续最小值处的值。引理4.1。设m，α，K如（4.1）所示。如果m<Kα，那么（1）m是QT（·）的局部最大值（2）QT（·）在点γ处（m，m+α）达到其最小值。

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2022-5-6 04:20:26

此外，QT（·）在（0，m）上增加，在（m，γ）上减少。（3）以下限值为Sqt（m）- QT（γ）m→0+----→ +∞证据（1） QT（t）处处是连续的，它是可微的，但在{t-τn}n∈N.证明它在m=T时达到最大值-τi（T）我们证明在m处，左导数大于0，右导数小于0。导数为qt（t）=σ2D（t- T- τi（T）-1）二维-1t- （它- 信息技术-t） t，t∈ （m，m+α）和qt（t）=σ2D（t- T- τi（T））2D-1t- （它- 信息技术-t） t，t∈ （0，m）（4.2）由于Isis为分段凹形，因此- 信息技术-t<I（t- t）从（4.2）我们得到QT（t）>0 in（0，m）。另一方面→m′σ2D（T- T- τi（T）-1）二维-1t- （它- 信息技术-t） t=’σm2Dα2D-1米- m2D=: L′σ（α，m）（4.3）L′σ（α，m）具有以下性质L′σ（α，m）=0<=>m=α二维1.-2Dlimm→0+L′σ（α，m）=-∞林姆→+∞L′σ（α，m）=+∞这意味着当且仅当m<Kα时，右导数小于零，因此QT（t）在m当且仅当m<Kα时达到局部最大值。（2）注意，QT∈ C∞（（m，α+m））a.s。。这个区间的二阶导数是q（2）T（T）=σ2D（2D- 1）（T）- T- τi（T）-1）二维-2t-2QT（t）tThus QT（t）=0意味着Q（2）t（t）>0，那么所有的驻点都是极小值。此外，qt只能有一个事实上存在的最小值，因为从（4.3）我们可以得到limt→T-τi（T）QT（T）<0andlimt→T-τi（T）-1QT（t）=+∞让γ∈ （m，α+m）是QT（t）达到其最小值的点。显然，qt在（m，γ）上减少，我们已经证明qt在（0，m）上增加。（3）定义qt（m）- QT（γ）>QT（m）- QT（α+m）Letξ=τi（T）-1.- τi（T）-2.

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2022-5-6 04:20:30

我们得到qt（m）- QT（α+m）=IT- IτI（T）T- τi（T）-信息技术- IτI（T）-1T- τi（T）-1= σm2D+α2Dm-m2D+α2D+ξ2Dm+α传递到limitQT（m）- QT（α+m）=σ（α2D+1+m2Dα- mξ2D）m（m+α）m→0+----→ +∞然后林姆→0+QT（米）- QT（γ）=+∞.4.2定理3.1关于绝对对数返回之间协方差的证明要求Wx和Wy的增量与不相交的时间间隔无关，Wx和W是独立的布朗运动。所以对于h<t- sCov（ξs，ηt）=E（|Xs+h）- Xs | | Yt+h- Yt |）- E | Xs+h- Xs | E | Yt+h- Yt |=E|WX | qIXs+h- IXs | W | qIYt+h- IYt- E|WX | qIXs+h- IXsE|~W | qIYt+h- IYt并使用独立Cov（ξs，ηt）=（E | WX |）CovqIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt=π冠状病毒qIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt.根据我们对TX和TY的选择，我们得到了（IX，IY）增量的平稳性qIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt= 冠状病毒qIXh，qIYt-s+h- IYt-s.雷卡利＝’σ（h）- τi（h））2D+i（h）Xk=1（τk- τk-1）二维- (-τ）二维几乎可以肯定的是，对于足够小的h，i（h）=i（0）=0，因此右手中的和消失，a.s.limh↓0Ihh=limh↓0′σ（h）- τi（h））2D- (-τ） 2Dh=\'σlimh↓0（h- τ）二维- (-τ） 2Dh=2D′σ(-τ）二维-1和类似的LimH↓0It+h- Ith=2D′σ（t- τi（t））2D-1.下一个引理4.2表示族的一致可积性IXhh:h∈ (0, 1],（IYt+h）- 伊思：h∈ （0，1]），因此我们首先应用协方差的双线性，然后取其内部的极限，得到LimH↓0CovqIXh，qIYt+h- IYth=Cov林↓0里克斯，林↓0sIYt+h- 伊思= 2.√DXDY′σX′σYCov(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2.将协方差中的右项乘以{iY（t）=0}的特征函数，再加上其补码Cov的特征函数，我们可以得到这个量的更好表示(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2{iY（t）=0}+ 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2{iY（t）>0}第二个和是0，因为（t-τYiY（t））DY-1/2{iY（t）>0}是GY>0可测量的，其中GY>0=？（τYk:k>0），GY>0与τ无关。

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2022-5-6 04:20:34

因此，利用1{iY（t）=0}是GY>0可测量的事实，因为o是1{iY（t）>0}，我们得到了cov(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2{iY（t）=0}= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2E{iY（t）=0}= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2E-λYt，证明了该定理。以下结果用于定理3.1的证明。回想一下，0<D<1/2。引理4.2。一类随机变量IXhh:h∈ (0, 1]对于δ<1，有界于Lδ-2D。证据RecallIt=\'σ（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1）二维- (-τ）二维分解E（Iδt）E（Iδt）=E（Iδt | I（t）=0）P（I（t）=0）+∞Xk=1E（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k）在I（t）=0上条件化，并使用凸性，It=\'σ（t）- τ）二维- (-τ）二维≤ 2D′σ(-τ）二维-1在t=0的右邻域中。SoE（Iδt | I（t）=0）≤ （2D）δ′σ2δE(-τ） δ（2D）-1)tδ≤ δ<1的Ctδ-2D，自从-τ是一个指数分布的随机变量。条件作用于i（t）=k，k≥ 1，再次使用凸性≤ σ（t）- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1） 2D+（t）- τ）二维- (-τ）二维≤ σ（t）- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1） 2D+2D(-τ）二维-1t.通过Jensen不等式和2D<1的事实- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1）二维≤ k（t）- τk）+Pkj=2（τj）- τj-1） k！二维≤ Ktk然后呢≤ \'\'σ2D(-τ）二维-1t+ktk2D！。现在，假设≤ 1，对于合适的正常数Cand CE（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k），我们有≤ Cλkk！tδ+Ckδ（1-2D）λkk！t1+2Dδ。回忆δ<1-2D。所以δ<1+2Dδ，所以t1+2Dδ≤ tδ，然后是（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k）≤C+Ckδ（1）-2D）λkk！tδ。因此（Iδt）≤“C+∞Xk=1Cλkk#tδ≤ Ctδ，其中Cd为正常数。SonIXtt:t∈ （0，1）ois以Lδ为界。5致谢我们感谢Paolo Dai Pra的不断指导和建议。参考文献[1]A.Andreoli，F.Caravenna，P.D.Pra和G.Posta。金融系列中的标度和多标度：一个简单的模型。应用概率的进展，44（4）：1018–10512012。[2] O.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。

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大多数88

2022-5-6 04:20:38

已实现波动的计量经济学分析及其在估计随机波动模型中的应用。《皇家统计学会期刊》B辑，64（2）：253-280，2002年。[3] O.E.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。基于非高斯ornstein-uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。《皇家统计学会期刊》B辑，63（2）：167-2412001。[4] 博勒斯列夫。广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，31:307-3271986。[5] Bonino，M.波动冲击下的投资组合分配和监控。硕士论文，帕多瓦大学，2011年。[6] C·T·布朗利和R·F·恩格尔。系统性风险度量的波动性、相关性和尾部。可从SSRN 16112292012获得。[7] Camelia，M.Variazione quartica di processi stocastici：联合国应用。本科毕业论文。，page Universit\'a degli Studi di Padova，2012年。[8] P.戴普拉和P.皮加托。随机波动率模型中矩的多重标度。随机过程。应用程序。，125:3725–3747, 2015.[9] P.Embrechts、A.McNeil和D.Straumann。风险管理中的相关性和依赖性：特性和陷阱。《风险管理：风险价值及以后》，第176-223页，2002年。[10] V.法森、C.吉隆坡伯格和A.林德纳。随机波动率模型的极值行为。InStochastic Finance，第107-155页。斯普林格，2006年。[11] S.F.格雷。将利率的条件分布建模为一个制度转换过程。《金融经济学杂志》，42（1）：27-62，1996年9月。[12] Z.他和J.M.马尤。实时检测garch模型中的结构断裂。《计算统计与数据分析》，54（11）：2628–26402010。[13] C.包括安和条子。使用累积平方和对方差变化进行回顾性检测。J.艾默尔。统计学家。协会，89:913–923，1994年。[14] J·贾科德和P·E·普罗特。

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