现在，我们将导出互换期权定价的有效近似公式。该公式中的主要因素是向前测量下驾驶过程的有效特性和运动边界的线性化。该近似值的数值结果将在第8.3节中报告。我们首先介绍一些将在续集中使用的技术工具和假设。我们定义了每k的概率度量IPxk∈ Kx，通过氡-Nikodym densitydIPxkdIPNFt=MvxktMvxk。显然，在这个过程中，时间是不均匀的。更准确地说，我们有一个直接来自命题4.6的结果。具有多条曲线的仿射LIBOR模型23推论7.1。对于每一个X，过程X是一个时间不均匀的过程，其测量值为IPxk∈ 十、 k∈ Kx，带iexk呃，Xti= 经验φk，xt（w）+hψk，xt（w），Xi, 式中φk，xt（w）：=φtψTN-t（vxk）+w- φtψTN-t（vxk）, （7.5a）ψk，xt（w）：=ψtψTN-t（vxk）+w- ψtψTN-t（vxk）, （7.5b）每w∈ Ik，xwithIk，x:=nw∈ Rd:ψTN-t（vxk）+w∈ 伊藤。（7.6）互换期权的价格由（7.1）提供，为简单起见，我们应在续集中考虑t=0时的价格。我们可以将（7.1）改写为以下形式：s+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{f（XTxp）≥0}= B（0，TN）qXi=p+1enhmvxi-1Txp{f（XTxp）≥0}i（7.7）-KxqXi=p+1enhmuxitxp{f（XTxp）≥0}i,其中，回顾（4.1）和（4.2），我们定义了函数f:Rd>0→ R byf（y）=qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易-qXi=p+1KxexpφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易. （7.8）该函数确定互换期权价格的行权边界。现在，由于我们不能显式地计算f（XTxp）的特征函数，我们将遵循Singleton和Umantsev（2002）并用线性函数近似f。近似值。

我们估计了EF（XTxp）≈ef（XTxp）：=A+hB，XTxpi，（7.9），其中常数A，B根据Singleton和Umantsev（2002年，第432-434页）中描述的线性回归程序确定。linehB，XTxpi=-A近似于运动边界，因此A和B相互独立。以下假设将用于互换期权和基本互换期权的定价。假设（CD）。XT的累积分布函数是所有t的连续分布函数∈ [0，TN].24 Z.格巴克、A.帕帕潘托里昂、J.舍恩马克斯和D.斯科夫曼德勒=（Z）表示复数Z的虚部∈ C.现在，我们来看一下这一小节的主要结果。提议7.2。假设A、B由近似值（S）确定，且满足该假设（CD）。付款人掉期期权的时间-0价格，包括交易期限K、期权到期日Txp和掉期到期日Txq，近似为是+（K，Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz- KxqXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz, （7.10）式中，ζxiandeξxiare分别由（7.14）和（7.15）定义。证据从（7.7）中的互换期权价格开始，利用终端测量值Ip与测量值Ipxk和IPxkin（4.8）和（7.3）之间的关系，我们得到S+（K，Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1IExi-1h{f（XTxp）≥0}i- KxqXi=p+1B（0，Txi）IExih{f（XTxp）≥0}i.（7.11）此外，根据Gil Pelaez（1951）的反演公式，并使用假设（CD），我们得到了该公式{f（XTxp）≥0}=+π∞Z=（ζxi（Z））zdz，（7.12）IExi{f（XTxp）≥0}=+π∞Z=（ξxi（Z））zdz，（7.13）对于每个i∈ Kx，我们定义ζxi（z）：=IExi经验izf（XTxp）ξxi（z）：=IExi经验izf（XTxp）.然而，通常无法明确计算上述特征函数，因此我们将按照近似描述线性化运动边界。也就是说，由于X在正向测度下的有效性质，我们用允许显式表达式的函数来近似未知特征函数。

实际上，使用近似，命题4.6和推论7.1，我们得到ζxk（z）≈eζxk（z）：=IExk经验izef（XTxp）= 经验izA+φk，xTxp（izB）+ψk，xTxp（izB），X, （7.14）ξxk（z）≈eξxk（z）：=IExk经验izef（XTxp）= 经验izA+φk，xTxp（izB）+ψk，xTxp（izB），X. （7.15）在（7.11）中插入（7.12）和（7.13）并使用（7.14）和（7.15）wearrive后，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型（7.10）。备注7.3。互换期权的定价本质上是一个高维问题。（7.1）中的期望值对应于d维积分，其中d是驱动过程的维数。然而，运动边界通常是非线性的，难以计算。有关允许显式解决方案的一些例外情况，请参见Brace等人（1997年）、Eberleinand Kluge（2006年）或Keller Ressel等人（2013年，§7.2，§8.3）。或者，你可以用写在2（q）上的零击篮选项来表示交换- p） 标的资产和定价方法；参见Hubalek和Kallsen（2005）或Hurd和Zhou（2010）。这导致了2（q-p） -三维数值积分。相反，本节中得出的近似值只需要计算2（q- p） 一元积分加上常数A、B的计算，大大降低了问题的复杂性。7.2. 基本交换选项的近似公式。在本小节中，我们推导了一个类似的基本互换期权近似定价公式。

该近似值的数值结果将在第8.4节中报告。与互换期权的情况类似，我们可以将基本互换期权（7.2）的时间-0价格改写如下：BS+（S，Txpq，Txpq）==B（0，TN）qXi=p+1伊恩Mvxi-1Txp{g（XxTp）≥0}- 伊恩MuxiTxp{g（XxTp）≥0}-qXi=p+1伊恩Mvxi-1Txp{g（XTxp）≥0}- SxIENMuxiTxp{g（XTxp）≥0},（7.16）我们定义了函数g:Rd>0→ R byg（y）=qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易-qXi=p+1expφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易-qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易+qXi=p+1SxexpφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易, （7.17）确定基础互换期权价格的行权边界。在Singleton andUmantsev（2002）之后，这将由一个线性函数来近似。近似值（BS）。我们估计（XTxp）≈ 例如（XTxp）：=C+hD，XTxpi，（7.18）26 Z.GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand，其中C和D通过线性回归确定。提议7.4。假设C、D由近似值（BS）确定，且假设（CD）满足。带价差S、期权到期日Txp=Txp和掉期到期日Txq=Txq的基差互换期权的时间-0价格近似为FBS+（S、Txpq、Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz-qXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz- B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz（7.19）+SxqXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz,式中，对于l=1,2，ζxliandeξxliane由（7.20）和（7.21）定义。证据从（7.16）中给出的基础互换期权价格表达式开始，我们遵循与上一节相同的步骤：首先，我们使用终端度量值Ip和度量值IPxk，IPxk之间的关系，得出类似于（7.11）的表达式。第二，我们用（7.18）中的eg来近似g。

第三，我们定义了可以显式计算的近似特征函数：eζxli（z）：=IExli经验izeg（XTxlpl）= 经验izC+φi，xlTxlpl（izD）+ψi，xlTxlpl（izD），X, （7.20）eξxli（z）：=IExli经验izeg（XTxlpl）= 经验izC+φi，xlTxlpl（izD）+ψi，xlTxlpl（izD），X, （7.21）对于l=1，2。最后，把所有的部分放在一起，我们得出了基差互换期权价格的近似公式（7.19）。8.数值示例和校准本节的目的有两个：一方面，我们演示如何根据市场数据校准多曲线伦敦银行同业拆借利率模型，另一方面，我们测试互换期权和基础互换期权近似公式的准确性。我们首先讨论如何建立一个模型，当期权具有不同的基本期限时，该模型可以同时影响资本资产的波动性。接下来，我们使用校准的模型和参数对swaption和basis swaption近似公式（7.10）和（7.19）进行数值测试。在最后一小节中，我们建立了一个简单的模型，并在一个可以被感兴趣的读者轻松复制的设置中计算出精确和近似的互换期权和基本互换期权价格。具有多条曲线的仿射LIBOR模型278.1。具有依赖率的规范。构建模型的方法有很多种，其代价通常是在节约和可购买性之间。我们在这里选择了一种高度参数化的方法，该方法侧重于拟合能力，因为我们认为它最好地证明了我们模型的实用性。

特别是，我们想表明，由正向过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型确实可以很好地根据市场数据进行校准。此外，从一个复杂的规范到一个简单的规范通常比反之更容易。我们在下面提供了一个模型规范，其中伦敦银行同业拆借利率由共同和特殊因素驱动，适用于按市场数据进行顺序校准。起点是重新考虑伦敦银行同业拆借利率sin（4.3）的表达式：1+δxLxk（t）=Mvxk-1t/Muxkt（8.1）=expφTN-t（vxk-1) - φTN-t（uxk）+ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk），Xt.根据命题4.2，当驱动过程的维数大于1时，向量vxk-1和uxkare不完全由初始期限结构决定。因此，我们可以通过改变序列（uxk）和（vxk）的结构来浏览不同的模型规格。备注8.1。以下观察结果可以为伦敦银行同业拆借利率创建一个（指数）线性因素结构，其中包含所需的尽可能多的常见和特殊因素。考虑一个Rd>0值的有效进程X=（X，…，Xd），（8.2），并表示向量vxk-1，uxk∈ Rd>0byvxk-1=（vx1，k-1.vxd，k-1） 和uxk=（ux1，k，…，uxd，k）。（8.3）选择子集Jk {1，…，d}，设置vxi，k-1=uxi，kfor all i∈ 假设{Xi}i∈jk独立于{Xj}j∈{1，…，d}\\Jk。然后，根据（8.1）和凯勒·雷塞尔（2008年，第4.7号提案），Lxkwill也将独立于{Xi}i∈Jkand将只依赖于{Xj}j∈{1，…，d}\\Jk。使用相同的随机变量或不同的随机变量构建模型；另见第4.1节。让x，x∈ 然后考虑榫结构Tx，Tx其中Tx 德克萨斯州。考虑中的数据集包含在每个期限的M个不同日期到期的Caplet，其中M小于Tx和Tx中的期限点数。

换句话说，只有M个到期日与校准相关。OIS和LIBOR利率的动态由一个有效进程的元组驱动dxit=-λi（Xit）- θi）dt+2ηiqXitdWit+dZit，（8.4）dXct=-λc（Xct）- θc）dt+2ηcpXctdWct，（8.5）对于i=1，M、 其中xC表示第i个成熟度的共同和特殊因素。这里是Xi∈ R> 0，λi，θi，ηi∈ R> 对于0c，i=1，M、 还有Wc，W，WM是独立的布朗运动。此外，Ziare28 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDux `（M）=~ux`（M）0。0\'ux`（米）ux`（M）-1=~ux`（M）-10 . . . 0\'ux`（米）-1.ux`（M）-2=~ux`（M）-20 . . . 0\'ux`（米）-2.ux`（M）-3=~ux`（M）-30 . . . 0\'ux`（米）-3.ux`（M）-1)=~ux`（M）-1)0 . . . 0 0\'ux`（米）-1） \'ux`（M）-3.ux`（M）-1)-1=~ux`（M）-1)-10 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-1“ux”（米）-3.ux`（M）-1)-2=~ux`（M）-1)-20 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-2“ux”（米）-3.ux`（M）-1)-3=~ux`（M）-1)-30 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-3“ux”（米）-3.ux`（M）-2)=~ux`（M）-2)0 . . . 0\'ux`（M-2） \'ux`（M）-1)-3“ux”（米）-3......................ux`（1）=~ux`（1）~ux`（1）~ux`（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.........................ux=~ux\'ux\'ux`（2）-3.\'ux`（M）-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.图8.4。该序列包含拟议的“对角线加公共”因子结构。在这个特殊的例子中，x=3个月，小囊在整年内成熟。具有常数强度的独立复合泊松过程和平均值为ui的指数分布跳跃，对于i=1，M因此，整个过程的维度为M+1:X=Xc，X，XM, （8.6）和工艺特定参数的总数等于5M+3。有效过程Xc，X，因此，使用命题4，它们是相互独立的。7在Keller-Ressel（2008）中，函数φ（Xc，Xi），分别是ψ（Xc，Xi），已知函数φXc和φXi，分别是ψXc和ψXi，用于∈ {1，…，M}。

后者由Grbac和Papapantoleon提供（2013年，Ex.2.3）。为了创建一个“对角线加公共”的因素结构，其中每个期限的每个费率由一个特殊因素Xian和公共因素Xc驱动，我们将使用备注8.1。我们从最长的成熟期开始，它由特质因子Xm和公因子Xc驱动。然后，在下一个caplet到期日，我们加入独立特质因子XM-1，我们通过“冻结”对应于该因子的uxandvx值来抵消xm的贡献。重复进行施工，UX和vx的结果结构如图8.4和8.5所示，其中特定“对角线”下方的UX元素被“冻结”为最新设定值，并复制到vx。这些结构产生了期望的特性，即每个速率都由一个特殊的和共同的因素驱动，而它们不违反vxk≥ uxk≥ uxk+1，源自命题4.1和4.2。在图8.4和8.5中，`（k）：=k/δxf或k=1，M、 也就是说，该函数将到期日映射为期限点。此外，这些矩阵中的所有元素都是非负的，uxNx=vxNx=0∈ RM+1。具有多条曲线的仿射LIBOR模型29vx`（M）=~vx`（M）0。0英寸vx英寸（米）vx`（M）-1=~vx`（M）-10 . . . 0英寸vx英寸（米）-1.vx`（M）-2=~vx`（M）-20 . . . 0英寸vx英寸（米）-2.vx`（M）-3=~vx`（M）-30 . . . 0英寸vx英寸（米）-3.vx`（M-1)=~vx`（M-1)0 . . . 0 0英寸vx`（M-1） \'ux`（M）-3.vx`（M-1)-1=~vx`（M-1)-10 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-1“ux”（米）-3.vx`（M-1)-2=~vx`（M-1)-20 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-2“ux”（米）-3.vx`（M-1)-3=~vx`（M-1)-30 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-3“ux”（米）-3.vx`（M-2)=~vx`（M-2)0 . . . 0’vx`（M-2） \'ux`（M）-1)-3“ux”（米）-3.vx`（M-2)-1=~vx`（M-2)-10 . . . 0’vx`（M-2)-1“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3......................vx`（1）=~vx`（1）~vx`（1）~ux`（2）-3.

\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.vx`（1）-1=~vx`（1）-1“ux”（1）-3“ux”（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.........................vx=<<vx>>ux`（1）-3“ux”（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.图8.5。序列VX类似于toux。在这个特殊的例子中，x=3个月，并且在整年内完成。在Tx的每个期限日期都不可用的情况下，装箱要素是唯一对定价能力有影响的要素。共同因素的影响由vxk之间的差异决定-1和uxk。如果我们设置vxk-1=~uxk，从备注8.1可以看出，lxk独立于公因子xc，因此仅由相应的特质因子Xi确定，k=`（i）。如果vxk和uxkar的值是预先确定的，则剩余值（\'uxk）k=1，。。。，Nxand（`vxk）k=1，。。。，Nx由OIS和LIBOR利率的初始期限结构唯一确定；再次参见命题4.1和4.2。该模型结构与vxk一致-1.≥ uxk-1.≥ uxkif和仅当序列ux和ux减少时，~vxk≥ <<uxkand>>vxk≥ \'-uxkfor everyk=1，Nx。此外，该结构将与备注4.5中描述的“正常”市场状况相一致，前提是vxk∈ [~uxk，~uxk-1] 和“vxk”∈ [\'uxk，\'uxk-1] 每k=1，Nx。xtenor的相应矩阵以类似的方式构造。更准确地说，ux是通过简单地从ux复制相关行来构建的。同时，对于vxk元素（`vxk）k=0，。。。，引入NX是为了确定x初始伦敦银行同业拆借利率期限结构，以及元素（~vxk）k=0，。。。，这些因素决定了共同因素的作用。为了简洁起见，我们在图8.6和8.7中仅展示了这些矩阵中的四行。8.2. 校准caplet数据。我们用于校准的数据来自2013年5月27日从彭博社收集的欧元市场。

这些市场数据对应于完全抵押的合同，因此被认为是“干净的”。彭博社提供欧元银行同业拆借利率的合成零息票债券价格，以及按照Akkara（2012）中描述的方式构建的OIS利率。在《我们的30》中，Z.格巴克、A.帕帕潘托里昂、J.舍恩马克斯和D.斯科夫曼杜`（M）=~ux`（M）0。0 0\'ux`（米）ux`（M）-1=~ux`（M）-20 . . . 0 0\'ux`（米）-2.ux`（M）-1)=~ux`（M）-1)0 . . . 0\'ux`（M-1） \'ux`（M）-3.ux`（M）-1)-1=~ux`（M）-1)-20 . . . 0\'ux`（M-1)-2“ux”（米）-3.图8.6。ux的前四行。在这个特殊的例子中，x=6个月，小囊在整年内成熟。vx`（M）=~vx`（M）0。0 0英寸vx`（米）vx`（M）-1=~vx`（M）-10 . . . 0 0英寸vx`（米）-1.vx`（M-1)=~vx`（M-1)0 . . . 0’vx`（M-1） \'ux`（M）-3.vx`（M-1)-1=~vx`（M-1)-10 . . . 0’vx`（M-1)-1“ux”（米）-3.图8.7。vx的前四行。在这个特殊的例子中，x=6个月，小囊在整年内成熟。0 2 4 6 8 10 120.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02 300万欧元或600万欧元的初始零息票利率图8.8。零息票利率，欧元市场，2013年5月27日。例如，我们将只关注3个月和6个月的期限。零息票债券价格被转换为零息票利率，并绘制在图8.8中。Cap价格使用Evin（2012）中描述的算法转换为caplet隐含波动率。隐含波动率是在使用Black（1976）公式时使用OIS贴现计算的。我们处置的caplet数据与3个月和6个月的期限结构有关。更准确地说，在欧元区，3个月期限的上限仅在2年内报价，而6个月期限的上限从3年及以后的到期日报价。此外，我们的期权价格仅适用于与整年相对应的到期日，而不是每个期限点。据彭博社报道，我们有14次罢工，从1%到10%不等。

我们根据caplet数据对到期日1、2、，10年，OIS零息债券B（·10.5）确定了最终计量。我们预先确定参数（ux），（ux），（vx）和（vx）的值，以及过程Xc的参数。XCIS的影响我们发现，与选择10年作为最终到期日相比，使用该数字进行校准时，模型的性能稍好。具有多条曲线的仿射LIBOR模型，由ux`（i）和vx`（i）之间的价差确定-1，以及<<ux`（i）和<<vx`（i）-1对于3m和6m男高音帽，我们将通过设置<<ux=·····=<<uxNx来简化-1=常数。常数uc，以及vx，~VxNx和~vx，Vxnx不是由初始术语结构确定的，必须以其他方式确定（例如，通过校准Swaption或Basis Swaption）。它们也不能完全自由选择，必须验证这些程序中的uxk、uxk和vxk、vxk值是否满足必要的不等式，即vxk-1.≥ uxk-1.≥ uxk。考虑到这一点，我们选择这些值的方式是，XC约占LIBOR利率从第4个到期日到第10个到期日的总方差的50%，约占第1个到期日到第3个到期日的总方差的10%。我们通过实验验证了这种特殊的依赖结构选择对以下部分的结果没有定性影响。或者，可以将这些参数校准为衍生工具，如互换期权、基本互换期权或部分由伦敦银行同业拆借利率的依赖结构决定的其他衍生工具。然而，由于利率衍生产品市场仍然高度分割，因此对小规模资产和互换期权的联合校准是一个长期的挑战，参见。

Brigo and Mercurio（2006）或Ladkau、Schoenmakers和Zhang（2013），我们将把这个问题留给未来的研究。0.05 0.10.80.911.11.21.3成熟度=1临界挥发度0.05 0.10.80.911.11.21.3成熟度=2临界挥发度0.05 0.10.60.620.640.660.68成熟度=3临界挥发度0.05 0.10.50.520.540.560.58成熟度=4临界挥发度0.05 0.10.40.450.50.55成熟度=0.05临界挥发度0.10.10.50.480.45临界挥发度=4临界挥发度0.10.350.40.450.5成熟度=7显著波动率0.05 0.10.350.40.450.5成熟度=8显著波动率0.05 0.10.250.30.350.40.45成熟度=9显著波动率模型市场图8.9。3（1-2年到期）和6（2-9年到期）月期欧元银行同业拆借利率的Caplets的市场和模型隐含波动率。32 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.Schoenmakes和D.Skovmand图8.4-8.7中总结的模型结构具有优势，即可以从最长成熟度开始，然后向后，一次一个成熟度依次校准小囊。在校准程序中，使用到期日Txi将每个特殊过程的参数设定为caplet价格，同时选择uxi、Uxian和vxi，vxi以匹配初始OIS和LIBOR利率的相应值。Caplet是pricedusing公式（6.5），参数是使用市场和模型隐含波动率之间的标准最小二乘法来确定的。图8.9显示了小囊填充的结果。我们可以观察到，在整个期限结构中，该模型在不同类型的波动率方面表现非常好，而在期限1-3的极端冲击方面只有小问题。

然而，这些问题主要是表面性的，因为这些价格以及更重要的是，这些合同的增量无论如何都非常接近于零，这使得该地区的任何模型误差在经济上都无关紧要。8.3. 互换期权价格近似。接下来的两节将对第7.1节和第7.2节中推导的交换期权和基本交换期权价格近似公式的有效性进行数值测试。我们将进行MonteCarlo研究，将真实价格与线性边界近似公式进行比较。使用的模型参数来源于前一节中描述的市场数据的校准。让我们将真实价格和近似价格表示为：S+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{f（XTxp）≥0},eS+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{ef（XTxp）≥0},其中f和f分别在（7.8）和（7.9）中定义。S+（K，Txpq）的蒙特卡罗（MC）估计用^S+（K，Txpq）表示，我们将其称为“真实价格”。我们将形成另一个MC估计量^eS+（K，Txpq），而不是使用傅里叶方法计算+（K，Txpq）。这样做的优点是，当使用相同的实现来计算两个MC估计量时，差异^S+（K，Txpq）-^eS+（K，Txpq）是对线性二次近似引起的误差的估计，模拟偏差的影响最小。掉期期权价格在执行期和到期日之间存在很大差异，因此我们将用隐含波动率（使用OIS贴现）来表示真实价格和近似价格之间的差异，这将更好地证明任何潜在错误的经济意义。我们为三种不同的基础掉期定价。

3m基本期限的结果已展示。所有校准和选择的参数值以及校准矩阵uxj、vxjforj=1、2可根据要求从作者处获得。我们使用每年10个离散步骤的500万条X路径构造蒙特卡罗估计。在每个离散化步骤中，使用Glasserman（2003，§3.4.1）算法模拟连续部分，而使用Glasserman（2003，第137–139页）处理跳跃部分，跳跃大小分布从对数正态变为指数。具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型330.005 0.01 0.015 0.02 0.0250.40.420.440.460.480.5S期权2Y2ystrikei隐含波动率0.005 0.01 0.015 0.02 0.02502468x 10-bp0中的3Swaption 2Y2YStrikeError。01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040.160.180.20.220.24Swaption 2Y8ystrike隐含波动率0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0400.050.10.150.2Swaption 2Y8YStrikeError在bp0中。0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.160.170.180.190.20.210.22Swoption 5Y5ystrikeImpled Volatility 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.020.040.060.080.1Swoption 5Y5YStrikeError in BPTrueApproximationTrueApproxionTrueApproxionFigure 8.10。3m互换期权的隐含波动率和绝对误差。如图8.10所示。6m期互换的相应结果存在误差，误差约为此处所示图表中水平的一半，为简洁起见，已省略。在图8.10的左侧，绘制了真实价格和近似价格的隐含波动率水平。罢工被选择在基础公平互换利率现货价值的60%到200%之间，这是产品报价的正常范围。右侧显示了两个隐含波动率在基点上的差异（即乘以10）。

正如Schrager和Pelsser（2006）中也记录的那样，近似值的误差通常会随着基础掉期中的付款数量而增加。这里的情况也是如此，但在所有情况下，错误的程度都很低。在正常市场中，买卖价差通常在10到300个基点之间（在货币水平上），因此即使是最高的误差也太小，不具有任何经济意义。即使是包含32笔付款的2Y8Y掉期期权也是如此。8.4. 基础互换期权价格近似值。为了测试基交换选项的近似公式，我们将遵循与上一小节相同的方法。也就是说，我们计算了以下两个34 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand期望值的MC估计值：BS+（S，Txpq，Txpq）=B（0，TN）IEN“qXi=p+1Mvxi-1Txp- MuxiTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp- SxMuxiTxp!{g（XTp）≥0}#，fBS+（S，Txpq，Txpq）=B（0，TN）IEN“qXi=p+1Mvxi-1Txp- MuxiTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp- SxMuxiTxp!{eg（XTp）≥0}#，其中Sx=1-δxS，而g和eg在（7.17）和（7.18）中定义。使用相同的实现，我们绘制了以基点衡量的两种价格之间的水平、绝对和相对差异，作为三种不同基础互换价差的函数。在货币水平上，利差的选择范围从50%到200%，即将基础基础基础Swap设置为零值的利差，再次参见（6.4），SAT M:=S（Txpq，Txpq）。数值结果如图8.11所示。我们选择这些到期日来代表两种一般模式。首先，误差往往会随着基差互换的长度而增加，这可以通过比较2Y8Y、5Y5Y和6Y2Y合约的误差来说明。

第二种模式与合同中的大部分付款何时支付有关。我们可以注意到，2Y2Y合同的误差远大于相应6Y2Y合同的误差，尽管两者包含相同的付款数量。此外，我们还可以看到，2Y2Y合同比2Y8Y合同有更大的误差，尽管两者的到期日相同，后者的付款额更多。这种反常的结果可以用利率期限结构的凸性来解释。在图8.8中，我们可以注意到，2Y2Y合同的大部分付款落在条款结构的一个特别弯曲的区域。这将导致更非线性的运动边界，从而导致线性边界近似的相对恶化。然而，必须强调的是，误差仍然处于经济上不明显的水平，在价格水平特别低的地区，最大相对误差为0.4%。备注8.2。命题7.2和命题7.4中的近似公式可用于校准交换选项和基础交换选项。这些近似值的误差界在闭合形式下不可用，因此无法保证整个参数空间的精度。在pricingis中，任何期望的精度都可以通过蒙特卡罗方法实现，这意味着近似公式的精度始终可以通过数值验证。然而，当执行完全校准时（可能需要几百次迭代才能在数值优化过程中实现收敛），蒙特卡罗方法比解析近似慢。

因此，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型350.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30246810基础互换期权2Y2YS在pct基点0中展开。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-3绝对误差扩散在pct基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.10.20.30.4 pct.pct中的相对误差分布0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3020406080基础互换选项2Y8Y分布在pct.基点0中。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.60.811.21.41.6x10-4绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-3 pct.pct.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.360657075基准互换选项5Y5Y在pct.基准点0中的相对误差分布。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.324681012x 10-5绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3012x10-4 pct.pct.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3152025303540基准互换选项6Y2Y在pct中的相对误差分布0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.522.5x 10-5绝对误差分布（以百分比为单位）。基点0。05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.300.511.5x 10-4 pct.pct.TrueApproximation中的相对误差分布图8.11。3-6百万基差互换期权的基点价格、绝对和相对误差。为了校准互换期权价格，人们更喜欢近似法而不是蒙特卡罗法。然后，可以进行蒙特卡罗模拟（仅一次），以验证近似值对于数值优化找到的参数也是正确的。我们还要提到，在典型的校准程序中，可接受的误差约为2%，远高于近似公式的误差，否则存在数据过度拟合的风险。8.5. 一个简单的例子。本节的目的是提供一个简单的示例，帮助读者直观了解模型的数值实现。

我们提供了一个完整构造且更易于管理的数值示例，用于将模型参数UXK和VXK设置为初始术语结构，读者可以自己复制，而不是第8.3节和第8.4节中的完整校准示例。此外，我们在这个简单的设置中展示了如何计算近似值（S）和（b）。我们首先选择一个简单的双因素模型X=（X，X），dxit=-λi（Xit）- θi）dt+2ηiqXitdWit+dZit，i=1，2，（8.7），其中我们设置i Xiλiθiηiνiui1 0.5000 0.1000 1.5300 0 0.2660 0 02 9.4531 0.0407 0.0591 0.4640 0.0074 0.249936 Z。GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS，和D.Skovmand初始期限结构由零息票率R（T）R（T）=β+β1的Nelson-Siegel参数化构建- E-γTγT+β1.- E-γTγT- E-γT. （8.8）我们将自己的期限限制为两个月，X对应于3个月，X对应于6个月。我们根据以下参数构造初始曲线曲线曲线CurveββγOIS 0.0003 0.01 0.07 0.063m 0.0032 0.01 0.07 0.066m 0.0050 0.01 0.07 0.06特别是，我们使用（8.8）通过表达式LXK（0）=δx构造初始3个月和6个月的伦敦银行同业拆借利率曲线经验(-Rx（Tk-1） Tk-1） 经验(-Rx（Tk）Tk）- 1.,对于x=3m和6m，以及第三个用于构建与systemB（0，Tk）=exp一致的初始OIS曲线-ROIS（Tk）Tk.此外，我们通过以下简单方式构造矩阵uxjand vxjin：k=（uc¨uxk），k=1，Nx（8.9）uxk=uxkδx/δx，k=1，Nx（8.10）vxk=（~vxc-vxk），k=0，Nx- 1（8.11）vxk=（~vxcvxk），k=0，Nx- 1（8.12）和uxNx=uxNx=0，其中¨uxjk，¨vxjk∈ R> 0表示j=1，2。键B（·，4.5）定义了终端测量，因此Nx=18和Nx=9。我们设置uc=0.0065、~vxc=0.007和~vxc=0.0075。然后，可以使用方程（4.4）和（4.6）唯一地确定剩余值，即通过拟合初始项结构。

我们得到了具有多条曲线的仿射LIBOR模型，我们得到了有多条曲线的仿仿射LIBOR模型，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了，我们得到了有多个曲线的，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有，有0.0010039 0.005132而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.0000.280.009.0000，而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.000280.0010.009.0000.450.009.0000.280.0000.0010.450.0010.280.009.0000.0000.280.0010.450.0000，而对于市场，我们可以观察到的序列是CH910.0010.000280.009.0000.009.0000.0000.0000.280.280.009.0000.009.0000.0000.280.0000.0000.0000；再次参见备注4.5.8.5.1。Swaption近似。让我们考虑一个基于3个月期利率的2年期掉期期权，即第7.1节中p=8和Q=16表示的掉期期权。

我们进行了与第8.3节相同的蒙特卡罗研究，并报告了四种不同打击的结果：打击（K）^S+错误IV（%）IV错误a B0。18.1596 1 1）0 0.0235355 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 1 1 1 1 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2.2144 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10（使用OIS折扣）使用true（7.8）中定义的运动边界错误：=|^S+（K，Tx8,16）-^eS+（K，Tx8,16）|，其中^eS+（K，Tx8,16）表示使用（7.9）中定义的近似行使边界对价格（以基点为单位）进行的估计IV错误=|IV-fIV |，其中fIV表示从^eS+（K，Tx8,16）计算得出的隐含波动率（带OIS贴现）。oA.∈ R和B∈ r确定（7.8）中函数f定义的运动边界的线性近似值：f（y）≈ A+hB，易。应用Singleton和Umantsev（2002年，第432-434页）中的程序，我们首先使用38 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDGaussian近似计算X（1）的上下分位数。我们求解xl和xuinfhqX（1）（0.05），xli= 0和fhqX（1）（0.95），徐= 0.然后，通过拟合直线A+hB，yi=0，通过两点yl=hqX（1）（0.05），xlian和yu=hqX（1）（0.95），xui计算A和B。8.5.2. 基交换近似。让我们也考虑一个2Y2Y基准互换期权。这是一种选择，可以进行基础互换，支付3个月的伦敦银行同业拆借利率加上展期利率，并获得6个月的伦敦银行同业拆借利率，从第2年开始，到第4年结束。

我们再次进行了与第8.4节相当的蒙特卡罗研究，得到了价差^BS+价格误差cD0。0010945 13.778 2.103e-06-7.7191（15.7514）0.0019458 3.7972 4.784e-05-14.0029（15.7694）0.0027971 0.64406 9.364e-05-20.2158（15.7868）0.0036484 0.080951 5.852e-05-26.3597（15.8037），其中o^BS+：=^BS+（S，Tx8,16，Tx4,8）表示使用定义的真实边界点估算价格价格错误：=|^BS+（S，Tx8,16，Tx4,8）-^fBS+（S，Tx8,16，Tx4,8）|，其中类似地，^fBS+（K，Tx8,16，Tx4,8）表示使用（7.18）中定义的近似行使边界对价格（基本点）进行的MC估算C∈ 研发∈ r确定（7.17）中函数g定义的运动边界的线性近似值：g（y）≈ C+hD，易。再次应用相同的程序，我们首先计算X（1）的上分位数和下分位数，并求解xl和xuinghqX（1）（0.05），~xli= 0和ghqX（1）（0.95），~xui= 0.然后，通过拟合直线C+hD，~yi=0，通过两点~~yl=hqX（1）（0.05），~xlian和~~yu=hqX（1）（0.95），~xui计算C和D。这些简单的例子再次强调了第7.1节和第7.2.9节中提出的线性边界近似的准确性。结语和未来研究最后，让我们用一些进一步强调伦敦银行同业拆借利率模型的优点和未来研究的一些主题的评论来结束。考虑以下异国情调的产品：一笔贷款，涉及一个月的名义利率为1美元，结构为T={0=T<T<····<TN}，可选择支付利息。根据以下方案：在T=0时，产品持有人可在一、三、四个月后签订合同支付第一笔利息，或六个月（只要不超过到期日，具有多条曲线的FFINE LIBOR模型）。

接下来，在第一个结算日，持有人可以再次选择一个月、三个月或六个月后（但不超过TN）结算的一个月、三个月或六个月LIBOR。她/他继续工作，直到最后一笔款项在TN结算，并且名义上的款项被退还。显然，在单曲线（危机前）伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）中，该产品在t=0时的价值将为零。然而，在多曲线世界中，该产品的定价非常重要。特别是，这种评估将涉及[Ti，Tj]，0期间任何伦敦银行同业拆借利率的动态≤ 我≤ J≤ Nwhere Tj- 平分一、三或六个月。事实上，本文提出的具有多条曲线的伦敦银行同业拆借利率模型是为这个问题量身定制的，因为它在任何次期限结构上产生了“内部一致”的伦敦银行同业拆借利率和OIS利率。这意味着，对于所有次基期结构，利率具有相同类型的动态，并且在任何前瞻性措施下，驱动过程仍然是有效的。据我们所知，这是文献中唯一一个自然产生这种一致性的多期LIBOR模型，适用于所有不同的时期。然而，该产品定价的全部细节超出了本文的范围。“内部一致性”的特性已经在单曲线模型中有所体现。更准确地说，“经典”伦敦银行间同业拆借利率市场模型中的伦敦银行间同业拆借利率动态是通过基于特定期限结构设定伦敦银行间同业拆借利率系统的“自然”波动结构来确定的。因此，伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）的波动率（例如双周期）很难立即确定，因为它们包含较短周期的伦敦银行同业拆借利率。

相反，在单曲线有效的伦敦银行同业拆借利率模型中，伦敦银行同业拆借利率的动态是通过与不同的基本期限相关的鞅比率来确定的，因此，我们以内部一致的方式同时确定了所有可能的伦敦银行同业拆借利率的动态。然而，这枚硬币的另一面是，正确选择驱动过程，以及对所需的伦敦银行同业拆借利率模型进行有效校准，绝非小事。事实上，这些问题需要开发新的方法，从而提供一个新的研究方向。因此，本文中的校准实验被认为是初步的，只是为了证明具有多条曲线的伦敦银行同业拆借利率模型的潜在灵活性。附录A.终端相关性本附录致力于终端相关性的计算。表达“终端相关性”的含义与Brigo and Mercurio（2006，§6.6）中的相同，即它总结了固定终端时间点两个LIBOR利率之间的依赖程度。在这里，驱动过程是一个整体过程，而不仅仅是第5.4节所述的差异。我们首先介绍一些简写符号Φxk（t）：=φTN-t（vxk-1) - φTN-t（uxk），ψxk（t）：=ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk），Φx，xk，k（t）：=Φxk（t）+Φxk（t），ψx，xk，k（t）：=ψxk（t）+ψxk（t），40 Z.GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS和D.Skovmandk∈ KX和kl∈ kxl表示l=1，2。然后，我们从（4.3）得到1+δxlLxlkl（Ti）=Mvxlkl-1Ti/MuxlklTi=expΦxlkl（钛）+ψxlkl（Ti），XTi, （A.1）对于l=1、2和Ti≤ Txk-1.∨ Txk-1.我们还表示在度量IPNas遵循ΘTi（z）=IEN的情况下，x的矩生成函数呃，XTii= 经验φTi（z）+hψTi（z），Xi.

（A.2）因此我们得到了那个-1Ti/MuxkTii=eΦxk（Ti）ΘTiψxk（Ti）, （A.3）伊恩Mvxk-1Ti/MuxkTi= e2Φxk（Ti）ΘTi2ψxk（Ti）, （A.4）伊恩Mvxk-1Ti/MuxkTi·Mvxk-1Ti/MuxkTi= eΦx，xk，k（Ti）ΘTiψx，xk，k（Ti）. （A.5）在相关性定义中插入上述表达式并进行一些繁琐但简单的计算后，终端相关性的公式如下：Lxk，Lxk（A.1）=CorrMvxk-1Ti/MuxkTi，Mvxk-1Ti/MuxkTi=ΘTiψx，xk，k（Ti）- ΘTiψxk（Ti）ΘTiψxk（Ti）qΘTi2ψxk（Ti）-ΘTiψxk（Ti）qΘTi2ψxk（Ti）-ΘTiψxk（Ti）.参考资料。阿克卡拉。彭博社的OIS贴现和双曲线剥离方法。技术文件，彭博社，2012年。K.阿明和R.贾罗。根据随机利率对外币期权进行定价。《国际货币与金融》，1991年10:310-329。安徒生和皮特堡。利率建模，3卷。大西洋金融出版社，2010年。比安切蒂先生。两条曲线，一个价格。风险，第74-80页，2010年8月。编辑M.比安切蒂和M.莫里尼。金融危机后的利率模型。风险账簿，2013年。T.R.比莱基和M.鲁特科夫斯基。信用风险：建模、估值和对冲。斯普林格，2002年。F.黑色。商品合同的定价。J.Financ。经济。，3:167–179,1976.A.Brace、D.G,atarek和M.Musiela。利率动态的市场模型。数学《金融》，1997年7:127-155。D.布里戈和F.莫丘里奥。利率模型：理论与实践。斯普林格，第二版，2006年。S.Cr\'epey、Z.Grbac和H-N.Nguyen。银行间风险的多曲线HJM模型。数学财务部。经济。，6:155–190, 2012.S.Cr\'epey、Z.Grbac、N.Ngor和D.Skovmand。L’evy HJM多重曲线模型及其在CVA计算中的应用。定量。《金融》，15:401–4192015A。具有多条曲线41S的仿射LIBOR模型。克雷佩、A·麦克里纳、T·M·阮和D·斯科夫曼德。

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Juni 13610623德国柏林电子邮件地址：papapan@math.tu-柏林。deAFFINE LIBOR多曲线模型43 Weierstrass应用分析与随机研究所，德国柏林Mohrenstrasse3910117电子邮件地址：schoenma@wias-柏林。哥本哈根商学院金融系，索尔伯格广场3号，2000弗雷德里克斯堡，登马克电子邮件地址：dgs。fi@cbs.dk