具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

2022-5-6 05:16:24

具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、示例和校准Zorana GRBAC、ANTONIS PAPAPANTOLEON、JOHN SCHOENMAKERS和DAVID Skovmand Abstract。我们引入了一个多曲线框架，该框架将可处理动态和半解析定价公式与正利率和基差相结合。在这个框架下，负利率和正利差也可以得到调节。OIS和LIBOR利率的动态是按照伦敦银行同业拆借利率模型的方法进行规定的，并由广泛而灵活的一类流程驱动。远期措施保留了期权的有效性，这使我们能够推导出上限、互换期权和基础互换期权的傅里叶定价公式。开发了一个具有独立伦敦银行同业拆借利率的模型规范，该规范允许对资本定价系统进行高效准确的校准。1.导言最近的金融危机导致利率市场发生范式转换事件，因为过去密切匹配的利率之间出现了巨大的利差；请参见图1.1以获取说明。例如，我们可以观察到，在信贷紧缩之前，三个月期银行同业拆借利率和相应的隔夜指数掉期（OIS）利率之间的利差不是零，但可以安全地忽略不计。三个月期与六个月期的掉期利差也是如此。然而，自2007年8月以来，这些价差一直在随时间随机变化，很大程度上可以忽略，而且还取决于期限长度。

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2022-5-6 05:16:27

因此，由于引入了所谓的多曲线利率模型，单一利率曲线既可用于贴现，也可用于产生未来现金流的假设受到了严重挑战。在多曲线框架中，一条曲线用于贴现目的，通常的选择是OIS曲线，然后构建尽可能多的LIBOR曲线和市场期限（例如1m、3m、6m和1y），以产生未来现金流。OIS和每个LIBOR利率之间的差异通常被称为基础利差或简单的基础利差。有几种方法可以对曲线进行建模，并对排列进行不同的定义。一种方法是直接对OIS和LIBOR利率建模，从而得出易于处理的定价公式，但利差的信号更难控制，可能会变成负值。另一个2010年数学科目分类。91G30、91G20、60G44。关键词和短语。多曲线模型、伦敦银行同业拆借利率、OIS、基差、有效的伦敦银行同业拆借利率模型、上限、互换期权、基差互换期权、校准。我们感谢法比奥·默库里奥和史蒂文·什里夫的宝贵讨论和建议。我们还感谢卡斯商学院、伦敦帝国理工学院、伦敦数学金融研讨会、卡内基梅隆大学和帕多瓦大学的与会者的评论。所有作者感谢DFG研究中心Matheon、E5和E13项目提供的财政支持。2 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand的方法是直接模拟OIS和利差，并推断LIBOR的动态；这赋予了利差的积极性，但定价公式通常不那么容易处理。我们参考Mercurio（2010b，第11-12页）详细讨论了每种方法的优缺点。

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2022-5-6 05:16:30

此外，价差存在各种定义：Mercurio（2010a）使用的是加性价差，Henrard（2010）提出的是乘法价差，Andersen和Piterberg（2010）使用的是瞬时价差；werefer向Mercurio和Xie（2012）介绍了每种定义的优点。关于多曲线模型的文献正在迅速增长，所提出的不同模型可分为上述类别之一。此外，根据建模方法，还可以区分短期利率模型、希思-杰罗-莫顿（HJM）模型和具有多条曲线的伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）。根据这些模型的特点，短期利率和HJM模型中出现的息差是瞬时的，并且以加法形式给出。我们参考Bianchetti和Morini（2013）对几种多曲线模型的详细概述。在短期利率框架中，我们提到Kenyon（2010年）、Kijima、Tanaka和Wong（2009年）以及Morino和Runggaldier（2014年），其中对加性短期利率利差进行了建模，从而对利率衍生品价格进行了乘法调整。例如，Fujii、Shimada和Takahashi（2011年）、Cr\'epey、Grbac和Nguyen（2012年）、Moreni和Pallavicini（2014年）、Cr\'epey、Grbac、Ngor和Skovmand（2015a）以及Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2014年）提出了HJM型模型。Mercurio（2009）、Bianchetti（2010）和Henrard（2010）的模型是在LMM设置中开发的，Nguyen和Seifred（2015）以及Cr\'epey、Macrina、Nguyen和Skovmand（2015b）提出了Flesaker和Hughston（1996）框架的多重曲线扩展。通常，多曲线模型解决了同一货币下不同利率曲线的问题，然而，Fujii等人的论文。

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2022-5-6 05:16:33

（2011）研究跨货币设置中的多曲线模型。菲利波维奇和特罗尔（2013）对多笔交易现象进行了全面的经济计量分析，并将利差分解为信贷风险和流动性风险组成部分。在最近的工作中，Gallitschke、M¨uller和Seifried（2014）构建了银行间利率的结构模型，为基差的出现提供了内生解释。危机带来的另一个重要变化是金融市场出现了重大的交易对手风险。在本文中，我们考虑利率衍生品的清洁估值，这意味着我们不考虑合同中涉及的交易对手的违约风险。正如inCrèepey等人（2015a）和Morino and Runggaldier（2014）所解释的，这有助于校准与完全抵押合同相对应的市场数据。然后，由于交易对手和两个特定交易对手的融资风险而导致的价格调整可以在清洁价格的基础上获得，参见Cr\'epey et al.（2015a）、Cr\'epey et al.（2015b），尤其是Papapantoleon和Wardenga（2015），以在有效的LIBOR模型中进行计算。我们还要提到，文献中还存在各种其他框架，其中不同的曲线被同时建模，例如，在处理跨货币市场时（参见Amin和Jarrow 1991），或在考虑信用风险时（参见Bielecki和Rutkowski的书，具有多条曲线的仿射LIBOR模型32002 2004 2006 2008 2009 2010 2013 2015020460801001401160180200基点3m欧元LIBOR-OIS（EONIA）spreadSpot三年期300万欧元/600万欧元基础掉期Spread2002 2004 2005 2006 2008 2009 2010 2012 2015020406801001401601160180200基点300万欧元伦敦银行同业拆借利率-OIS（EONIA）spreadSpot 3年期300万欧元/600万欧元基础掉期展布图1.1。从2004年1月到2010年4月的蔓延发展（2002年2月）。

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2022-5-6 05:16:36

多曲线世界中的模型通常从这些框架中获得灵感。本文的目的是建立一个多曲线伦敦银行同业拆借利率模型，该模型将可处理的模型动力学和半解析定价公式与正利率和基差相结合。Keller Ressel、Papapantoleon和Teichmann（2013）提出的有效LIBORrates模型的框架是为这项任务量身定制的，因为它允许我们直接对大于OIS的LIBORrates进行建模。换句话说，利差的非负性是自动确保的。同时，动态由广泛而灵活的流程类别驱动。与singlecurve的情况类似，在所有远期措施下都保留了有效性，这导致了流动利率衍生品的半分析性定价公式。特别是，caplet的定价与单曲线设置一样简单，而模型结构允许使用练习边界的线性化，为交换选项和基础交换选项的定价推导出高效准确的近似值。此外，该模型为各种罢工和到期日的caplet价格系统提供了充分的校准结果。本文的结构如下：在第2节中，我们回顾了一个有效过程的主要性质和大于1的有序鞅的构造。第3节介绍了多曲线利率设置。第4节介绍了多期伦敦银行同业拆借利率模型，并讨论了其主要性质，尤其是产生正利率和利差的能力以及分析的可处理性（即保留有效性质）。本文还提出了一个允许负利率和正利差的模型。第5节我们研究了一类有效的伦敦银行同业拆借利率模型和一类伦敦银行同业拆借利率市场模型（由半鞅驱动）之间的联系。

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2022-5-6 05:16:39

第6节和第7节专门讨论流动性最强的利率衍生品的估值，如4 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand掉期、上限、掉期期权和基础掉期期权。在第8节中，我们构建了一个多币种伦敦银行同业拆借利率模型，其中利率由共同和特殊因素驱动，并根据市场数据进行校准。此外，我们还对swaption和basis swaption近似公式的准确性进行了数值测试。第9节包含了一些结论和对未来研究的评论。最后，附录A提供了IBOR利率之间终端相关性的明确公式。2.仿射过程本节简要回顾了一个过程的主要性质以及大于1的有序鞅的构造。更多细节和证据见Keller Ressel等人（2013）及其参考文献。让(Ohm, F、 F，IP）表示完全随机基，其中F=（Ft）t∈[0，T]和T表示某个特定的时间范围。考虑一个随机过程X满足：假设（a）。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个保守的、时间齐次的、随机连续的马尔可夫过程，其值为D=Rd>0和（IPx）x∈关于概率测度的Da族(Ohm, F），这样X=X，几乎可以确定每X∈ D.设置它：=nu∈ Rd:IExehu，XTi< ∞, 为了所有的x∈ 我们假设（i）0∈ 我oT、我在哪里oTdenotes它的内部（关于由Rd上的欧几里德范数导出的拓扑）；（ii）x的条件矩母函数与x呈指数依赖关系；也就是说，存在确定性函数φt（u）：[0，t]×IT→ R和ψt（u）：[0，t]×IT→ 这样的话exphu，Xti= 经验φt（u）+hψt（u），xi, （2.2）对于所有（t，u，x）∈ [0，T]×IT×D。这里h·，·i表示rdx上的内积和关于IPx的期望。此外，它认为 ITT≤ T，cf。

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2022-5-6 05:16:42

凯勒·梅尔霍夫（2015，定理2.14）。换句话说，如果你∈ 是这样的ehu，XTi< ∞, 然后IExehu，Xti< ∞ 每一个t≤ T函数φ和ψ满足以下常微分方程组，即广义Riccati方程组tφt（u）=F（ψt（u）），φ（u）=0，（2.3a）对于（t，u），tψt（u）=R（ψt（u）），ψ（u）=u，（2.3b）∈ [0，T]×它。函数F和R是L’evy–Khintchine形式：F（u）=hb，ui+ZD呃ξ，ui- 1.m（dξ），（2.4a）Ri（u）=hβi，ui+dαiu，uE+ZD呃ξ，ui- 1.- 胡，你好（ξ）我ui（dξ），（2.4b）具有多条曲线的仿射LIBOR模型，其中（b，m，αi，βi，ui）1≤我≤dare容许参数和hi:Rd>0→ Rdaresuitable截断函数。对于所有0，函数φ和ψ也满足半方程φt+s（u）=φt（u）+φs（ψt（u））（2.5a）ψt+s（u）=ψs（ψt（u））（2.5b）≤ t+s≤ u和T∈ 在初始条件φ（u）=0和ψ（u）=u.（2.6）的情况下，我们参考杜菲、菲利波维奇和沙切迈耶（2003）了解所有细节。以下定义将在续集中使用，其中1:=（1，1，…，1）。定义2.1。设X是一个满足假设（a）的过程。定义γX:=supu∈信息技术∩Rd>0IEehu，XTi. （2.7）数量γx衡量一个有效过程拟合利率初始期限结构的能力，并等于数学金融中使用的几种模型的精度，如CIR过程和由子排序器驱动的OU模型；参见Keller Ressel等人（2013年第8节）。伦敦银行同业拆借利率模型的一个重要组成部分是参数化鞅的构造，这些鞅大于或等于1，并在该参数中增加（另见Papapantoleon 2010）。引理2.2。考虑一个满足假设（a）和letu的有效流程X∈ 信息技术∩ Rd>0。然后进程Mu=（Mut）t∈[0，T]带mut=expφT-t（u）+hψt-t（u），Xti, （2.8）是一个鞅，大于或等于1，映射为u7→ 兵变在增加∈ [0，T]。证据考虑随机变量YuT:=ehu，XTi。

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2022-5-6 05:16:45

自从你∈ 信息技术∩我们知道YuTis大于1且可积。然后，从X的马尔可夫性质，（2.2）和条件期望的塔式性质，我们推导出thatMut=IE埃胡，XTi |英尺= 经验φT-t（u）+hψt-t（u），Xti, （2.9）是鞅。此外，很明显，Mut≥ 1为所有t∈ [0，T]，而订单≤ 五==> 穆特≤ MvtT∈ [0，T]，（2.10）遵循Yu的顺序，表示Mut=IE[YuT | Ft]。3.多曲线LIBOR设置我们首先介绍多曲线LIBOR模型的符号和主要概念。我们将遵循Mercurio（2010a）中引入的方法，该方法同时已成为行业标准。LIBOR-OIS利差现在取决于期限，这意味着我们不能再使用单一的期限结构。因此，我们从一个等距离的时间结构T={0=T<T<····<TN}开始，其中tk，k∈ K:={1，…，N}，表示在市场上交易的资产的到期日。接下来，我们考虑具有等距时间点的T的不同子集，6 Z.GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS和D.Skovmandtttttttt··Tn-1TNTXTX··TXNXTX··TXNXTX图3.2。不同基调结构的说明。i、 e.不同的基调结构Tx={0=Tx<Tx<···<TxNx}，其中x∈X:={X，X，…，xn}是一个表示基调结构的标签。通常，我们有X={1,3,6,12}个月。我们用δx=Txk表示基期长度-Txk-1，每x∈ X.设Kx:={1，2，…，Nx}表示与期限结构Tx相关的所有下标的集合。我们假设Tx T和TxNx=TNforall x∈ X.图3.2显示了不同结构之间可能存在的关系的图解。例3.1。基调结构的自然构造如下：LetT={0=T<T<····<TN}表示离散时间结构，其中tk=kδ表示k=1，N和δ>0。设X={1=X，X。

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2022-5-6 05:16:48

. . , xn} N、我们假设xkis是所有k=1的N的除数，n、接下来，为everyx设定∈ XTxk=k·δ·x=：kδx，对于k=1，Nx:=N/x，其中显然是Txk=tx。然后，我们可以考虑T的不同子集，即不同的基调结构Tx={0=Tx<Tx<·Tx<·TxNx}，它们满足BY构造Tx 对于所有x，Tx=T和TxNx=Nx·δ·x=TN∈ X.我们将OIS曲线视为贴现曲线，遵循完全抵押合同的标准市场惯例。模型校准续集中考虑的上限和互换期权的市场价格确实是在完全抵押的假设下报价的。有关多重曲线设置中折扣曲线选择的详细讨论，请参见Mercurio（2010a）和Hull and White（2013）。贴现系数B（0，T）从市场OIS利率中扣除，并针对每个可能的到期日T进行定义∈ TviaT 7→ B（0，T）=BOIS（0，T）。我们用B（t，t）表示贴现因子，即到期日t时零息债券的价格，假设其与相同到期日的相应零息债券一致。我们还假设我们所有的建模对象都生活在完全随机的基础上(Ohm, F、 F，IPN），其中IPN表示终端正向度量，即与数字B（·TN）相关联的马丁格尔度量。相应的期望值用IEN表示。然后，我们为每对x（x，k）引入与数字B（·Txk）相关的前向测度ipxk∈ X和k∈ Kx。相应的期望值用IExk表示。具有多条曲线7的远期计量IPxkAFFINE LIBOR模型相对于IPN是绝对连续的，并以通常的方式定义，即通过Radon–Nikodym densitydIPxkdIPN=B（0，TN）B（0，Txk）B（Txk，TN）。（3.1）备注3.2。自德克萨斯州以来存在一个l∈ K和a K∈ Kxsuch表示Tl=Txk。

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2022-5-6 05:16:51

因此，相应的数值和远期指标是一致的，即B（·，Tl）=B（·，Txk）和IPl=IPxk。再次参见图3.2。接下来，我们定义了多曲线伦敦银行同业拆借利率设置中的两个主要建模对象：远期OIS利率和远期伦敦银行同业拆借利率。我们还定义了这两种速率之间的加法和乘法价差。让我们用L（Txk）表示-1，Txk）Txk时的即期伦敦银行同业拆借利率-1四个时间间隔[Txk-1，Txk]，这是一种FTxk-1-给定随机基上的可测随机变量。定义3.3。时间间隔[Txk]的time-t正向OIS速率-1，Txk]由fxk（t）定义：=δxB（t，Txk）-1） B（t，Txk）- 1.. （3.2）定义3.4。时间间隔[Txk]的time-t远期伦敦银行同业拆借利率-1，Txk]由xk（t）=IExk定义L（Txk-1，Txk）|英尺. （3.3）远期伦敦银行同业拆借利率是指应与未来即期伦敦银行同业拆借利率交换的固定利率，以便远期利率协议的初始值为零。因此，该利率反映了市场对未来即期伦敦银行同业拆借利率价值的预期。注意，在时间t=Txk时-1我们有LXK（Txk-1） =IExkL（Txk-1，Txk）| FTxk-1.= L（Txk-1，Txk），（3.4），即该利率与相应期限的即期伦敦银行同业拆借利率一致。备注3.5。在单曲线设置中，（3.2）是前向伦敦银行同业拆借利率的定义。然而，在多曲线设置中，我们有thatL（Txk-1，Txk）6=δxB（Txk-1、Txk）- 1.因此，OIS和LIBOR利率不再相等。定义3.6。伦敦银行同业拆借利率和OIS利率之间的利差由xk（t）确定：=Lxk（t）- Fxk（t）。（3.5）让我们也提供一种基于乘法而非加法分解的价差替代定义。定义3.7。伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）和其他利率之间的乘法利差由1+δxRxk（t）：=1+δxLxk（t）1+δxFxk（t）定义。（3.6）8 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D。

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能者818

2022-5-6 05:16:56

OIS和LIBOR利率动态演变的斯科夫曼德模型，以及它们的利差，应满足经济计量、套利要求及其各自定义的某些条件。总体而言，这些数据与市场观察结果一致。我们将其表述为以下模型要求：（M1）Fxk（t）≥ 0和Fxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].（M2）Lxk（t）≥ 0和Lxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].（M3）Sxk（t）≥ 0和Sxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].这里M（IPxk）表示IPxk鞅集。备注3.8。如果加性扩散为正，则乘性扩散也为正，反之亦然。4.多曲线仿射伦敦银行同业拆借利率模型我们接下来描述了多曲线利率设置的有效伦敦银行同业拆借利率模型，并分析了其主要性质。特别是，我们表明，该模型产生正利率和利差，即它满足建模要求（M1）-（M3），并且在分析上可处理。在这个框架中，OIS和Liborrate是按照KellerRessel等人（2013年）提出的有效LIBOR模型进行建模的。让X成为定义在(Ohm, F、 F，IPN），满足假设（A），从标准值1开始。考虑一个固定的x∈ 我们按照引理2.2：取两个向量序列（uxk）k构造了两个参数化的矩阵族∈Kxand（vxk）k∈Kx，并定义IPN鞅Muxkand MvxkviaMuxkt=expφTN-t（uxk）+hψTN-t（uxk），Xti, （4.1）和MVxkT=expφTN-t（vxk）+hψTN-t（vxk），Xti. （4.2）多曲线伦敦银行同业拆借利率模型假设，与x-期限相关的OIS和伦敦银行同业拆借利率按照1+δxFxk（t）=Muxk演变-1muxkT和1+δxLxk（t）=Mvxk-每k=2。

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2022-5-6 05:16:59

、NX和t∈ [0，Txk-1].在以下三个命题中，我们展示了如何从OIS和LIBOR利率的任何给定初始期限结构构建多个有效的LIBOR模型。提议4.1。考虑时间结构T，设B（0，Tl），l∈ K、是非负OIS贴现因子的初始期限结构，并假设B（0，T）≥ ··· ≥ B（0，TN）。如果γX>B（0，T）/B（0，TN），则存在一个递减序列u≥U≥ ··· ≥ uN=0∩ Rd>0，因此对于所有l，Mul=B（0，Tl）B（0，TN）∈ K.（4.4）如果γX=∞, 多曲线伦敦银行同业拆借利率模型可以拟合OIS利率的任何初始期限结构。（2）如果X是一维的，则序列（ul）为l∈Kis独一无二。（3）如果所有初始OIS速率均为正值，则序列（ul）l∈Kis在严格降低。证据见Keller-Ressel等人（2013）中的命题6.1。在确定OIS贴现因子的初始期限结构后，我们希望确定LIBOR利率的初始期限结构，该利率现在取决于期限。因此，对于每个k∈ Kx，we setuxk:=ul，（4.5），其中l∈ K等于Tl=Txk；见备注3.2。一般来说，我们有l=kTx/T，而在例3.1的设置中，我们只有l=kx，即uxk=ukx。提议4.2。考虑命题4.1的设置，即固定x∈ X和相应的榫结构Tx。设Lxk（0），k∈ Kx是非负伦敦银行同业拆借利率的初始期限结构，并假设每k∈ KxLxk（0）≥δxB（0，Txk）-1） B（0，Txk）- 1.= Fxk（0）。（4.6）以下陈述成立：（1）如果γX>maxk∈Kx（1+δxLxk（0））B（0，Txk）/B（0，TxN），则存在一个序列vx，vx，vxNx=0∩ Rd>0，这样vxk≥ uxkandMvxk=（1+δxLxk+1（0））Muxk+1，对于所有k∈ Kx\\{Nx}。

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2022-5-6 05:17:02

（4.7）特别是，如果γX=∞, 然后，多曲线伦敦银行同业拆借利率模型可以拟合任何伦敦银行同业拆借利率的初始期限结构。（2）如果X是一维的，那么序列（vxk）k∈Kxis是独一无二的。（3）如果所有初始利差均为正值，则vxk>uxk，适用于所有利差∈ Kx\\{Nx}。证据与前一个命题类似，通过设定初始伦敦银行同业拆借利率，我们可以获得序列（vxk）k∈KX满足（1）-（3）。不等式vxk≥ UXK直接来自（4.6）。提案4.3。考虑前面命题的设置。然后我们有：（1）Fxkand-Lxkare-IPxk鞅，对于每k∈ Kx。（2） Lxk（t）≥ Fxk（t）≥ 0，每k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].证据自从Muxkand Mvxkare IPN鞅和密度过程放松了DipxKDIPN提供的测度IPN和IPxkis以来Ft=B（0，TN）B（0，Txk）B（t，Txk）B（t，TN）=MuxktMuxk，（4.8）我们从（4.3）得到1+δxFxk∈ 因为（1+δxFxk）Muxk=Muxk-1.∈ M（IPN）。（4.9）10 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand，类似地，1+δxLxk∈ 因为（1+δxLxk）Muxk=Mvxk-1.∈ M（IPN）。（4.10）序列（uxk）和（2.10）的单调性产生了thatMuxk-1.≥ Muxk。此外，从不等式vxk≥ UXK与（2.10）再次结合，它遵循Mvxk≥ Muxk，为了所有人∈ Kx。因此，1+δxLxk≥ 1+δxFxk≥ 1.因此，OIS利率、LIBOR利率和相应的利差不是负IPxk鞅。备注4.4。上述命题提供了一个具有多条曲线的有效伦敦银行同业拆借利率模型的理论构建，给定任意x的债券价格B（0，Txk）和伦敦银行同业拆借利率Lxk（0）的初始期限结构∈ X和k∈ Kx。初始项结构决定了序列（uxk）和（vxk），但不是以唯一的方式，只要驱动过程的尺寸严格大于1，这在应用中通常是如此。这为模型的实现提供了极大的自由。

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2022-5-6 05:17:05

例如，将向量（uxk）和（vxk）的某些分量设置为零，可以排除驱动过程的相应分量，从而决定驱动过程X的哪些分量将影响OIS利率，分别是LIBOR利率。此外，如果假设X的组成部分相互依赖，则可以创建一个因子模型，其中包含每个OIS和LIBOR利率以及各种其他特定结构的公共和特殊组成部分。在第8.1节中，我们提供了有关该问题的更多细节，具体请参见备注8.1。备注4.5。现在让我们更仔细地看看序列（vxk）和（uxk）之间的关系。命题4.1和4.2暗示uxk-1.≥ uxkandvxk≥ UXK适用于所有k∈ Kx。然而，我们不知道VXK的订购情况-1，或者序列（vxk）是否单调。Libor利差的市场数据表明，在“正常”的市场情况下∈ [uxk，uxk-1].更准确地说，一方面，我们有vxk≥ UXK因为伦敦银行同业拆借利率利差为非负。另一方面，如果vxk>uxk-1，则LIBOR利率将比OIS利率高出两倍以上，从同一日期开始，间隔为OIS利率的两倍。这与正常的市场行为相矛盾，hencevxk∈ [uxk，uxk-1] 因此，序列（vxk）也将减少。参数（vxk）和（uxk）的顺序如图4.3（上图）所示。然而，“正常”市场情况与“极端”情况交替出现，即利差高于OIS利率。在图4.3的底部图中，我们绘制了另一种可能的参数顺序（vxk）和（uxk），对应于这种非常高的价差情况。

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2022-5-6 05:17:08

直观地说，相应模型排列的值取决于参数（vxk）和（uxk）之间的距离，尽管是非线性的。下一个结果涉及多曲线自由行模型的一个重要特性，即其分析可处理性，即模型结构在不同的远期措施下保持不变。更准确地说，过程X在任何前瞻性度量下都是有效的，尽管其“特征”变得依赖于时间。我们参考菲利波维奇（2005）的时间不均匀过程。该性质在推导具有多条曲线110=uxnx的可跟踪仿射LIBOR模型中起着关键作用-1vxNx-1.uxkvxkuxk-1.uxvx0=uxNxuxNx-1.uxk。uxvx。vxNx-1.VxK图4.3。（uxk）和（vxk）两种可能的顺序。在接下来的章节中，利率衍生品的定价公式，因为这意味着在任何远期措施下，任何伦敦银行同业拆借利率集合的规律都是已知的。凯勒·雷塞尔等人（2013年，参见等式（6.14）及其证明）给出了下面的结果，不过，为了完整性，我们在这里提供了一个简短的证明。在第5节中，我们还提供了另一种证据，证明Nx是一种有效的分歧。提案4.6。对于每一个X，过程X是一个时间不均匀的过程，其测量值为IPxk∈ X和k∈ Kx。特别是呃，Xti= 经验φk，xt（w）+hψk，xt（w），Xi, 式中φk，xt（w）：=φtψTN-t（uxk）+w- φtψTN-t（uxk）, （4.12a）ψk，xt（w）：=ψtψTN-t（uxk）+w- ψtψTN-t（uxk）, （4.12b）每w∈ Ik，xwithIk，x:=nw∈ Rd:ψTN-t（uxk）+w∈ 伊藤。（4.13）证据。

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2022-5-6 05:17:11

使用正向测量之间的密度过程，见（4.8），我们得到了呃，Xti财政司司长= IENhehw，XtiMuxkt/MuxksFsi=IENhexpφTN-t（uxk）+hψTN-t（uxk）+w，XtiFsi/Muxks=expφTN-t（uxk）- φTN-s（uxk）+φt-s（ψTN）-t（uxk）+w）×expDψt-s（ψTN）-t（uxk）+w）- ψTN-s（uxk），XsE，（4.14），其中上述预期对每w∈ Ik，x；召回（2.1）。这表明，在IPxk下，X是一个时间不均匀的过程，而（4.11）则通过在（4.14）中替换s=0，并使用流量方程（2.5）。备注4.7。在所有正向度量下，保持驾驶过程的有效性是所有正向价格模型共享的稳定性，其中过程1+δxFxk=B（·Txk）-1） B（·，Txk）被建模为驱动过程的确定性指数变换。这与后续正向测量之间测量值变化的密度过程有关，具体为DIPxk-1dIPxkFt=B（0，Txk）B（0，Txk）-1） B（t，Txk）-1） B（t，Txk）=1+δxFxk（t）1+δxFxk（0），见（4.8），具有相同的指数形式，并保证在执行测量变化时，驱动过程保持在同一等级。我们参考Eberlein12 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDand Kluge（2007）的一个例子，了解在所有远期措施下由时间非齐次L’evy过程驱动的远期价格模型。伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）的精神中的模型，即远期汇率FXK，被建模为指数，不具备这种特性。这些模型中的测量变化产生了驱动过程特征中出现的随机项δxFxk1+δxfxkap（更准确地说，在跳跃随机测量的漂移和补偿器中），在任何不同于终端测量的正向测量下，这破坏了模型的分析可跟踪性。

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2022-5-6 05:17:16

通常通过将这些项的值冻结在其初始值δxFxk（0）1+δxFxk（0）-一种被称为冻结漂移的近似值，来重新建立可跟踪性。众所周知，这种近似在许多现实环境中是不可靠的；参见Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2012）及其参考文献。另一方面，在LMMs中，Fxkis利率的积极性得到了保证，而在远期价格模型中，通常情况可能并非如此。由于其特殊的结构，伦敦银行同业拆借利率模型能够协调这两个属性：利率FX的正性和所有远期措施下驱动过程的结构保留。我们请感兴趣的读者参阅Keller Ressel等人（2013）第3节中关于这个问题的详细讨论。最后，应该强调的是，在当前的市场情况下，观察到的OIS利率也有负值，但这种情况很容易被纳入有效的LIBOR模型中；参见下文第4.1节。备注4.8（单曲线和确定性排列）。通过为所有x设置vxk=UXKF，多曲线自由基模型很容易简化为其单曲线对应模型（参见Keller Reselet al.2013）∈ X和k∈ Kx。另一个有趣的问题是，利差是否可以是确定性的，或者类似地，利差率是否可以是OIS利率的确定性转换。例如，考虑一个二维驱动过程X=（X，X），其中xis是任意一个过程，而X是常数过程（即Xt）≡ 十）。然后，通过设置UXK-1=（ux1，k）-1,0）和vxk=（ux1,k-1，vx2，k-1） ux1，k在哪里-1，vx2，k-1> 我们到达1+δxLxk（t）=（1+δxFxk（t））evx2，k-1.X.因此，伦敦银行同业拆借利率是OIS利率的一种确定性转换，尽管（3.5）中定义的利差Sxka不是确定性的。在这种情况下，（3.6）中定义的乘法传播Rxkde显然是确定性的。4.1.

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2022-5-6 05:17:19

一个负利率和正利差的模型。multiplecurve a ffine LIBOR模型产生正利率和利差，这与典型的市场观察结果一致。然而，在当前的市场环境中，已经观察到负利率，而息差仍然是正的。在这种设置中，负利率（以及利差，如果需要）可以通过考虑，例如，Rdin上的一个有效流程而不是Rd>0或“转移”的正有效流程，其中支持（X）∈ [a，∞)a<0。具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型13为了说明有效伦敦银行同业拆借利率模型的灵活性，我们提供了一个明确的规定，允许负OIS利率，同时仍保持正利差。它基于特定的驱动过程选择和对矢量UXK和vxk的适当假设。回忆一下Remark4。4.如果驱动过程是多维的，我们在确定初始期限结构时，在选择参数UXK和VXK方面有一定的自由度，我们将在这里加以利用。从（4.3）中的有效伦敦银行同业拆借利率模型开始，我们得到了一个theOIS利率FX的表达式，我们将推导（3.6）中定义的乘法利差Rxka的表达式。我们选择乘法价差作为更方便的量，而不是加法价差Sxkin（3.5），但显然，通过结合（3.5）和（3.6），加法价差和异方差率可以很容易地恢复加法价差，反之亦然。此外，两个吊具都有相同的符号，即Rxk≥ 0当且仅当Sxk≥ 0.下面的模型规格除了可以确保价差相对于期限长度的单调性，这也是市场上观察到的一个典型特征。更准确地说，这意味着对于任意两个TenorsTX和Tx 德克萨斯州，即。

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2022-5-6 05:17:22

这样δx≤ δx，利差具有以下性质：对于所有k∈ KX和j∈ Kxsuch[Txk]-1、Txk）[Txj-1，Txj）和Txk-1=Txj-1.我们有Rxk（t）≤ Rxj（t），对于所有t≤ Txk-1.也就是说，期限越短，价差越低。例如，在与3个月期同时开始的6个月期中，3个月期的差价低于6个月期的差价。根据（4.3），每x的OIS比率为Fxk∈ X和每k∈ Kx，由1+δxFxk（t）=Muxk提供-1tMuxkt，（4.15），其中我们注意到uxk=ul，对于l，Txk=Tl。这个过程是一个IPXK的构造。乘法扩散系数Rxk（t）现在取m1+δxRxk（t）=1+δxLxk（t）1+δxFxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t，（4.16）这是一个IPxk-1-构造鞅。现在，让我们介绍一种可能的驱动过程选择，它允许适应Fxk（t）∈ R、在保持Rxk（t）的同时∈ R> 0，以及确保价差相对于期限长度的单调性。我们假设远期OIS利率的初始期限结构为Fxk（0）∈ R和乘法读物Rxk（0）∈ R> 对于每个固定x和所有k，都给出0∈ Kx。此外，我们假设初始价差相对于基调是单调的，即每两个基调x和x都是δx≤ δx，我们有Rxk（0）≤ Rxj（0），对于所有k∈ KX和j∈ KXK和Txk-1=Txj-1.为了确定想法，我们只考虑状态空间R×R>0上的二维有效过程x=（x，x），这样x和x是独立的。该结构可以很容易地扩展到d维a ffine过程14 Z.GRBAC、a.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和d.SKOVMANDon Rn×Rm>0，其中n+m=d，使得前n个组分独立于后m个组分。

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2022-5-6 05:17:25

远期OIS利率将由驱动过程X的两个组成部分驱动，对于价差，我们将仅使用第二个组成部分X，其取值为R>0，以确保非负性。这可以通过对参数Svxk施加适当的假设来实现。我们把建筑分成两步。第一步。鉴于远期OIS利率的初始期限结构，Fxk（0）∈ R、外汇固定x和所有k∈ Kx，我们应用命题4.1并找到一个序列（uxk） R×R>0，使模型（4.15）符合初始期限结构。注意uxk，k∈ Kx，无需订购，Fxk（t）∈ R、对于任何t.步骤2。接下来，给定乘法利差Rxk（0）的初始项结构∈R> 0，对于每个固定x和所有k∈ Kx，我们使用（3.6）计算初始伦敦银行同业拆借利率Lxk（0）。应用命题4.2，我们可以找到一个序列（vxk） R×R>0使得每k∈ Kx，vxk-1=（vx1，k-1，vx2，k-1）满足vx1，k-1=ux1，k-模型（4.16）确定了初始期限结构。请注意，尽管我们在这里固定了第一个组件vx1，k-1个矢量vxk-1，命题4。2确保仅使用第二个组件vx2，k就可以确定初始期限结构-1.该产量1+δxRxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t=expφTN-t（ux1，k-1） +φTN-t（vx2，k-1） +ψTN-t（ux1，k-1） Xt+ψTN-t（vx2，k-1） Xt经验φTN-t（ux1，k-1） +φTN-t（ux2，k-1） +ψTN-t（ux1，k-1） Xt+ψTN-t（ux2，k-1） Xt=经验φTN-t（vx2，k-1） +ψTN-t（vx2，k-1） Xt经验φTN-t（ux2，k-1） +ψTN-t（ux2，k-1） Xt, （4.17）由于X和X的独立性，参见Keller Ressel（2008年，第4.7号提案）。因此，Rxkis仅由x驱动，且初始值Rxk（0）∈R> 0表示vx2，k-1.≥ ux2，k-1对于所有k。

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2022-5-6 05:17:29

因此，我们有Rxk（t）∈ R> 0表示所有t，紧随其后的是（4.17）。最后，我们还需要证明，初始价差相对于Rxk（0）的单调性≤ Rxj（0）表示在所有时间t的单调性，Rxk（t）≤ Rxj（t），适用于上述所有x，x和k，j。首先要注意的是Txk-1=Txj-1=TLUXK-1=uxj-1=uland相应的Muxk-1t=Muxj-1t。（4.18）因此，Rxk（0）≤ Rxj（0）意味着Mvxk-1.≤ Mvxj-1比（4.16）。这反过来会产生vxk-1.≤ vxj-1，或者更准确地说是vx2，k-1.≤ vx2，j-1since vx1，k-1=ux1，k-1=ux1，j-1=vx1，j-1.因此，Rxk（t）≤ Rxj（t），对于所有t，自1+δxRxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t≤Mvxj-1tMuxj-由于（4.18），1t=1+δxRxj（t）。具有多条曲线的仿射LIBOR模型155。与伦敦银行同业拆借利率市场模型的联系在本节中，我们将阐明有效的伦敦银行同业拆借利率模型与“经典”伦敦银行同业拆借利率市场模型之间的关系，参见桑德曼、桑德曼和米尔森（1995年）以及布拉斯、G,阿塔雷克和穆塞拉（1997年），以及Mercurio（2010a），将伦敦银行同业拆借利率市场模型扩展到多条曲线。即使在Keller-Ressel等人（2013年）的单曲线框架中，也尚未对这种关系进行研究。更准确地说，我们将在Jamshidian（1997）的一般半鞅LIBOR市场模型中嵌入多个有效LIBOR模型（4.3），并推导出OIS和LIBOR利率的相应动力学。为了简洁起见，我们将专注于一个有效的差异化过程，以便在没有太多技术细节的情况下公开想法。对于一个带有跳跃的有效过程的概括是直接的，留给感兴趣的读者。状态空间D=Rd>0上的一个有效扩散过程是SDEdXt=（b+BXt）dt+σ（Xt）dWNt的解X=xxx，X=X，（5.1），其中wn是D维IPN布朗运动。系数b，b=（β。

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mingdashike22

2022-5-6 05:17:32

，βd）和σ必须满足Rd>0的有效争议的受理条件，见菲利波维奇（2009年，第10章）。也就是说，漂移向量满足b∈ Rd>0，βi（i）∈ R和βi（j）∈ R> 0适用于所有1≤ i、 j≤ d、 i6=j，（5.2），其中βi（j）表示列向量βi的第j个元素。此外，扩散矩阵σ：d→ 对于所有z，Rd×Dsatiesσ（z）σ（z）T=dXi=1αizi∈ D、（5.3）其中α是所有1的对称正半限定矩阵≤ 我≤ d、例如αi（ii）∈ R> 0和αi（jk）=0表示所有1≤ i、 j，k≤ d、 i6=j，k.（5.4）这里，αi（jk）表示矩阵αi的第j个条目。因此，有效扩散过程X由dxit=（b+BXt）idt+qXitσidWNt（5.5）对所有i=1，d、我在哪里=√αi（ii）·ei（单位向量）。OIS动力学。我们首先计算OIS比率的动态。在上一节中，我们考虑固定的x∈ 利用IPN鞅Muxkin（4.1）的结构，我们得到了dMuxkT=MuxktψTN-t（uxk）dXt+。dt。（5.6）因此，将It^o的乘积规则应用于（4.3）并使用（5.6）得到dfxk（t）=δxdMuxk-1tMuxkt=δxMuxk-1吨ψTN-t（uxk-1)-ψTN-t（uxk）dXt+。dt=δx（1+δxFxk（t））ψTN-t（uxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。dt。16 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand因此，OIS费率满足以下SDEdFxk（t）Fxk（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）ψTN-t（uxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。dt（5.7）对于所有k=2。。。，Nx。现在，使用（5.5）中的有效过程X的动力学，我们得出dfxk（t）Fxk（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）dXit+。dt=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）qXitσidWNt+。dt=：Γx，k（t）dWNt+。dt，（5.8），其中我们定义了波动性结构Γx，k（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）qXitσi∈ Rd>0。

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2022-5-6 05:17:36

（5.9）另一方面，我们从离散复合远期利率的一般理论（参见Jamshidian 1997）中了解到，OIS利率应满足以下SDE，即终端测度IPNdFxk（t）Fxk（t）=-NxXl=k+1δxFxl（t）1+δxFxl（t）hΓx，l（t），Γx，k（t）idt+Γx，k（t）dWNt，（5.10）对于波动性结构Γx，kgiven in（5.9）。因此，我们通过等式Wx，k:=WN直接得到了与终端布朗运动有关的IPxk布朗运动Wx，kis-NxXl=k+1·ZδxFxl（t）1+δxFxl（t）Γx，l（t）dt=WN-NxXl=k+1dXi=1·ZψiTN-t（uxl）-1) - ψiTN-t（uxl）qXitσidt。（5.11）此外，IPXK下X的动力学形式为dxit=（b+BXt）idt+qXitσidWx，kt+σiqXitNxXl=k+1dXj=1ψjTN-Tuxl-1.- ψjTN-t（uxl）qXjtσjdt=bi+（BXt）i+NxXl=k+1ψiTN-t（uxl）-1) - ψiTN-t（uxl）Xit |σi |！dt+qXitσidWx，kt，（5.12）对于所有i=1，d、最后一个等式为命题4.6提供了另一种证明，即在有效扩散的设置中，因为它明确表明，在IPxk下，X是一个时间不均匀的有效扩散过程。我们还应该注意，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型（5.11），即终端和远期布朗运动之间的差异不依赖于“经典”伦敦银行同业拆借利率市场模型中的其他远期利率。如备注4.7所述，forwardprice模型共享同一物业。因此，我们得出了以下OIS汇率的IPxk动态：Fxk（t）Fxk（t）=Γx，k（t）dWx，kt（5.13），波动性结构为Γx，kP由（5.9）提供。Γx，k的结构表明模型中存在一个内在的变化，而波动性结构由ψ和σ决定。伦敦银行同业拆借利率动态。接下来，我们推导出与相同期限相关的伦敦银行同业拆借利率的动态。使用（4.3），（4.2）并重复上述相同步骤，我们得到以下dlxk（t）Lxk（t）=δxLxk（t）dMvxk-1tMuxkt=δxLxk（t）Mvxk-1吨ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。

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2022-5-6 05:17:39

dt=1+δxLxk（t）δxLxk（t）dXi=1ψiTN-t（vxk-1)-ψiTN-t（uxk）qXitσidWNt+。dt，对于所有k=2。。。，Nx。与（5.9）类似，我们引入了波动率结构∧x，k（t）：=1+δxLxk（t）δxLxk（t）dXi=1ψiTN-t（vxk-1)-ψiTN-t（uxk）qXitσi∈ Rd>0，（5.14），然后获得Lxk的以下IPxk动力学Lxk（t）Lxk（t）=∧x，k（t）dWx，kt，（5.15），其中Wx，kis是（5.11）给出的IPxk布朗运动，而x的动力学由（5.12）提供。传播动力学。使用这个Sxk=Lxk- Fxk，Libor和OIS利率在正向测量IPxkin（5.13）和（5.15）下的动态，以及（5.9）和（5.14）中的波动性结构，经过一些直接计算，我们得出了DSxk（t）=Sxk（t）Υt（vxk-1，uxk）+1+δxFxk（t）δxΥt（vxk-1，uxk-1)dWx，kt，其中Υt（w，y）：=dXi=1ψiTN-t（w）-ψiTN-t（y）qXitσi.（5.16）18 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMAND5。4.瞬时相关性。通过推导OIS和LIBOR利率满足的SDE，可以快速提供各种利息量的公式，例如OIS和LIBOR利率或不同到期日或期限的LIBOR利率之间的瞬时相关性。例如，我们发现，在TX和TXL到期的伦敦银行同业拆借利率之间的瞬时相关性是由Corrt试探性地描述的Lxk，Lxl=dLxk（t）Lxk（t）·dLxl（t）Lxl（t）rdLxk（t）Lxk（t）·dLxk（t）Lxk（t）rdLxl（t）Lxl（t）·dLxl（t）Lxl（t）因此我们得到了相应的结果Lxk，Lxl（5.15）=h∧x，k，∧x，li |∧x，k |∧x，l |=Pdi=1ψiTN-Tvxk-1.- ψiTN-t（uxk）ψiTN-Tvxl-1.- ψiTN-t（uxl）Xi |σi | rPdi=1ψiTN-Tvxk-1.- ψiTN-TuxkXi |σi |×rPdi=1ψiTN-Tvxl-1.- ψiTN-TuxlXi |σi |。对于其他瞬时相关性，例如Corrt，也可以推导出类似的表达式Fxk，Lxk还是畜栏Lxk，Lxk.瞬时相关性对于描述不同伦敦银行同业拆借利率之间的（瞬时）相关性非常重要。

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mingdashike22

2022-5-6 05:17:42

例如，在伦敦银行同业拆借利率市场模型中，瞬时相关矩阵的秩决定了驱动模型所需的因素数量（例如布朗运动）。附录A.6中提供了伦敦银行同业拆借利率之间终端相关性的明确表达式。掉期和caps6的估值。1.利率和基差互换。我们首先介绍了一种固定付款人利率掉期，其名义金额标准化为1，固定付款与伦敦银行同业拆借利率挂钩的浮动付款进行交换。伦敦银行同业拆借利率是预先设定的，付款是拖欠的，同时为了简单起见，我们假设浮动分期付款的时间和频率与固定分期付款的时间和频率一致。交换在时间txp启动≥ 0，其中x∈ X和p∈ Kx。付款日期的集合由Txpq表示：={Txp+1<····<Txq}，固定利率由K表示。然后，互换的时间t值，即t≤ Txp由t（K，Txpq）=qXk=p+1δxB（t，Txk）IExk给出L（Txk-1、Txk）- K |英尺= δxqXk=p+1B（t，Txk）（Lxk（t）- K）。（6.1）具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型19因此，公平掉期利率Kt（Txpq）由Kt（Txpq）=Pqk=p+1B（t，Txk）Lxk（t）Pqk=p+1B（t，Txk）提供。（6.2）基差掉期是利率市场上的新产品，其价值反映了不同期限的伦敦银行同业拆借利率之间的差异。基差互换是一种aswap，在这种互换中，两个与不同期限的伦敦银行同业拆借利率相关的流动支付流被交换。例如，在300万-600万基础掉期中，每季度支付（收到）300万伦敦银行同业拆借利率，每半年支付（收到）600万伦敦银行同业拆借利率。在续集中，我们假设这两个费率都是提前设定的，并且是拖欠的；当然，关于basisswap的两个分支的支付也存在其他约定。有关基差掉期的更详细说明，请参见Mercurio（2010b，第5.2节）或Filipovi\'c和Trolle（2013，第2.4节和附录F）。

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2022-5-6 05:17:46

请注意，在危机前的情况下，由于不同期限的利率之间存在无套利关系，此类产品的价值在任何时间点都将为零；例如，参见Crèepey、Grbac和Nguyen（2012）。让我们考虑一个与Txpq表示的两个期限结构相关的基差互换：={Txp<…<Txq}和Txpq:={Txp<…<Txq}，其中Txp=Txp≥0，Txq=Txq和Txpq Txpq。再次假设名义金额为1，掉期在Txp时开始，而第一笔付款分别在Txp+1和Txp+1时到期。基础掉期利差是固定利率，在较短的期限内加入到付款中。更准确地说，对于X期限，浮动利率L（Txi-1，Txi）在期限日期Txi由L（Txi）代替-1，Txi）+S，对于每一个i∈ {p+1，…，q}。对于0，给出了这种协议的时间t值≤ T≤ Txp=Txp，byBSt（S，Txpq，Txpq）=qXi=p+1δxB（t，Txi）IExiL（Txi-1，Txi）|英尺-qXi=p+1δxB（t，Txi）IExiL（Txi-1，Txi）+S | Ft=qXi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）-qXi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）+S. （6.3）我们还希望计算公平基础掉期价差St（Txpq，Txpq）。这是使基差交换值在时间t等于零的分布，即通过求解BSt（S，Txpq，Txpq）=0得到。我们得到st（Txpq，Txpq）=Pqi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）-Pqi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）Pqi=p+1δxB（t，Txi）。（6.4）公平掉期利率和基差的公式可用于从市场数据中提取伦敦银行同业拆借利率的初始值，见Mercurio（2010b，§2.4）。6.2。帽子。在多曲线伦敦银行同业拆借利率模型中对小规模资产进行估值，从而对小规模资产进行估值是一项简单的任务，其复杂性等于单曲线伦敦银行同业拆借利率模型中对小规模资产进行估值的复杂性；与Keller-Ressel等人（2013年）的7.1号提案进行比较。这有两个原因：20年代的Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D。

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2022-5-6 05:17:50

SKOVMAND一方面，伦敦银行同业拆借利率是直接建模的，见（4.3），与Mercurio（2010a）相反，在Mercurio（2010a）中，伦敦银行同业拆借利率隐式建模为OIS利率和利差之和。在我们的方法中，caplet的估值仍然是一个一维问题，而在后一种方法中，它变成了OIS利率和价差的“篮子”期权。另一方面，在任何远期措施下，驱动过程都是有效的，参见命题4.6，该命题允许将傅立叶方法应用于期权定价。在续集中，我们将为任何多曲线LIBOR模型推导半显式定价公式。让我们指出，我们不需要像LIBORmarket模型中的跳跃那样“冻结漂移”（见备注4.7）。提议6.1。考虑一个带有K号线的x-高音帽，它放出δx（L）（Txk-1、Txk）- K） +在时间Txk。时间-0价格由c（K，Txk）=B（0，Txk）2πZRK1提供-R+iwxΘWxk-1（R）- iw）（R）- iw）（R）- 1.- iw）dw，（6.5）代表R∈ (1, ∞) ∩eIk，x，假设（1，∞) ∩eIk，x6=, 式中Kx=1+δxK，ΘWxk-1由（6.7）给出，而seteIk，xis定义为aseIk，x=nz∈ R:（1）- z） ψTN-Txk-1（uxk）+zψTN-Txk-1（vxk-1) ∈ 伊藤。证据使用（3.3）和（4.3）caplet等式c（K，Txk）=δxB（0，Txk）IExk的时间-0价格（L）Txk-1、Txk）- （K）+= δxB（0，Txk）IExk（Lxk（Txk）-1) - （K）+= B（0，Txk）IExkhMvxk-1Txk-1/MuxkTxk-1.- Kx+i=B（0，Txk）IExkheWxk-1.- Kx+i、 whereWxk-1=对数Mvxk-1Txk-1/MuxkTxk-1.= φTN-Txk-1（vxk-1) - φTN-Txk-1（uxk）+ψTN-Txk-1（vxk-1) - ψTN-Txk-1（uxk），XTxk-1.=: A+hB，XTxk-1i。（6.6）现在，使用Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010，Thm 2.2，Ex.5.1），我们直接到达（6.5），其中ΘWxk-1确定随机变量Wxk的IPxk矩母函数-1，即代表z∈eIk，x，ΘWxk-1（z）=IExkezWxk-1.= IExk经验z（A+hB，XTxk）-1i）= 经验zA+φk，xTxk-1（zB）+ψk，xTxk-1（zB），X.

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2022-5-6 05:17:55

（6.7）最后一个等式来自命题4.6，指出z∈eIk，ximplieszB∈ Ik，x。具有多条曲线的仿射LIBOR模型217。掉期期权和基础掉期期权的估值本节专门讨论利率和基础掉期期权的定价，换句话说，是掉期期权和基础掉期期权的定价。在第一部分中，我们利用多曲线有效利率模型的结构，提供了互换期权和基础互换期权估值的一般表达式。在接下来的两部分中，我们通过进一步利用模型性质，即在任何正向测度下保持有效结构，并应用Singleton和Umantsev（2002）提出的线性边界近似，推导出了交换期权和基础交换期权定价的有效且准确的近似值。与Caplet的定价类似，我们也不必“冻结漂移”，而在特殊情况下，我们甚至可以导出封闭或半封闭形式的解决方案（参见Keller-Ressel等人2013年第8节）。让我们首先考虑一个付款人掉期期权，其执行利率为K，行权日期为TXP，固定利率掉期从TXP开始，到期日期为atTxq；第6.1节对此进行了定义。互换期权可以被视为固定支付序列δx（KTxp（Txpq）- K） +在付款日期XP+1收到，Txq；见Musiela和Rutkowski（2005年，第13.1.2节，第524页）。此处，kTxp（Txpq）是在Txp时基础掉期的掉期利率，参见（6.2）。请注意，付款人（代表接收人）互换期权到卖出期权（代表。

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