第三个图显示了降低目标ε需要更多步骤NL，并将级别数从3增加到5。第四幅图显示了近似债券价格的标准蒙特卡罗方法（StdMC）和MLMC方法之间的储蓄比率。在标准蒙特卡罗方法和MLMC方法之间，ε=0.00005时，储蓄率为27。我们免费改编[16]中的代码。CIR模型扩展选项：我们考虑进程的CIR模型（Xt）t≥0和（Xt）t≥0，以下随机微分方程的解：dXt=κ（θ- Xt）dt+ξpXtdWt，X=X>0，dXt=κ（θ）- Xt）dt+ξpXtdZt，X=X>0，dWtdZt=ρdt，（5.3），其中W，Z是与-1.≤ ρ ≤ 1和κ，κ，θ，θ，ξ，ξ都是严格的正常数参数。欧洲看涨期权在终端时间T对给定的履约基斯的支付被定义为最大（XT-XT-K、 0）。差价期权用于对冲和投机目的，在商品市场上广泛交易。它们的价格对相关参数特别敏感；随着ρ的增加，价差期权的价格也会增加。例5.1。假设（5.3）的参数为（κ，θ，ξ）=（1,0.06,0.04），（κ，θ，ξ）=（0.8,0.05,0.016），（x，x，ρ，T，K）=（0.05,0.06,0,1,0.001）。我们使用[19，p.124]中的实现，使用N=10000，000的蒙特卡罗路径计算期权价格。差价期权价格及其95%置信区间为0.00310063±0.00000267。我们设置M=4，其中M是MLMC步长的倍数。表1显示了RMSE和目标ε。

“节省”列显示了MLMC计算成本与标准MonteCarlo例程相比的速度倍数。RMSE目标ε比节省0。000046 0.0001 0.456 2.970.000032 0.000050.637 10.610.000018 0.00002 0.921 10.670.000007 0.00001 0.671 40.900.000004 0.000005 0.855 40.97表1：CIR利差选项：RMSE和计算节省，例如5.1。例5.2。假设（5.3）的参数（κ，θ，ξ）=（1,0.06,0.04），（κ，θ，ξ）=（0.8,0.05,0.016），（x，x，ρ，T，K）=（0.05,0.06，-0.7, 1, 0.001). 在这个例子中，我们使用漂移隐式Euler方案计算参考期权价格，使用N=10000，000条路径和2个时间步长。价格及其95%置信区间为0。003711 ± 0.0000032.0 1 2 3 4 5-18-16-14-12-10-8.-6llogM差异损益和损益的差异-Pl-1 PlPl- Pl-10 1 2 3 4 5-9-8.-7.-6.-5.-4.-3llogM |平均值|损益和损益的平均值-Pl-1 PlPl- Pl-不同εε=0.000005ε=0.00001ε=0.00002ε=0.00005ε=0.00010的每级LNLRUNS Nl-610-510-410-310-210-1εε2成本与目标误差的成本节约比率Std MCMLMCF图7:CIR排列选项，ρ=0。MLMC例如5.1。例如5.2，表2显示了RMSE、与目标ε的比率和标准蒙特卡罗的节约系数。RMSE目标ε比节省0。000075 0.0001 0.751 3.390.000037 0.000050.745 12.150.000019 0.00002 0.953 12.20.000007 0.00001 0.707 47.20.000004 0.000005 0.811 47.19表2：CIR价差选项：RMSE和计算节省，例如5.2。备注5.2。对于上述MLMC示例，回忆备注5.1中的常数L，对于上述CIR示例，该常数选择为0.01。修改后的Eulerscheme参数设置为k=1/4，如前所示。感谢作者感谢匿名推荐人的建议，以及斯特凡诺·德马尔科和卢卡斯·斯普鲁奇的宝贵意见。

让·弗朗索瓦0 1 2 3 4 5-18-16-14-12-10-8.-6llogM差异损益和损益的差异-Pl-1 PlPl- Pl-10 1 2 3 4 5-9-8.-7.-6.-5.-4.-3llogM |平均值|损益和损益的平均值-Pl-1 PlPl- Pl-不同εε=0.000005ε=0.00001ε=0.00002ε=0.00005ε=0.00010的每级LNLRUNS Nl-610-510-410-310-210-1εε2成本节约率成本与目标误差标准MCMLMCF图8:CIR排列选项，ρ=-0.7. MLMC例如5.2。Chassagneux感谢ANR拨款Liquirisk ANR11-JS01-0007的财务支持。Antoine Jacquier感谢EPSRC首次拨款EP/M008436/1的财务支持。参考文献[1]安倍晋三，利用MSL-MC定价奇异期权，量化金融11（2011），第9期，1379–1392。[2] Y.Ait Sahalia，《检验即期利率的连续时间模型》，金融研究综述9（1996），第2期，385-426页。[3] A.阿方西，关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散化方案，蒙特卡罗方法和应用11（2005），第4355-384号。[4] ，漂移隐式Euler格式的强一阶收敛性：CIR过程的应用，《统计与概率通讯》83（2013），第2期，602–607。[5] A.Berkaoui，M.Bossy和A.Diop，具有非Lipschitz扩散系数的SDE的Euler格式：强收敛，ESAIM:概率与统计12（2008）。[6] M.Bossy和A.Diop，一维SDE的有效离散化方案，其扩散系数为|x |α，α形式∈ [1/2,1]，技术报告，印度工作文件，2004年。[7] M.Bossy和H.O.Quinteros，《对称化米尔斯泰因方案对于某些CEV类SDE的强收敛性》，arXiv预印本arXiv:1508.04581（2015）。[8] D.Brigo和F.Mercurio，《利率模型理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷》，斯普林格金融，2007年。[9] S.Burgos和M。

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因为Pn是不递减的，R上有1-Lipschitz，所以我们有fn=gopn+`opn，带gopn非递增和`opnK Lipschitz在R上连续。这表明Fnsatifies（2.3）在R上也是一样。步骤2。现在我们使用平滑参数来处理一般情况。让我，r∈ D、 r>l，这样对于所有Dn （左，右）。我们考虑一个序列（μm）m≥1.支持包括在[-l、 l]和定义fm≡ ~nm？F≡R[-l、 l]~nm（u）f（x）- u） 我们观察到，对于所有x，y∈ （l，r），（x）- y） （调频（x）- fm（y））=Z[-l、 l]m（u）{（x）- y） （f（x）- u）- f（y）- u） ）杜≤ K | x- y|Z[-l、 l]~nm（u）du≤ K | x- y |，其中我们使用了（2.3）和rd~nm（u）du=1。由于FMI是平滑的，我们可以应用步骤1来获得，对于所有（x，y）∈ R、 （十）- y） （fm（pn（x））- fm（pn（y）））≤ K | x- y |。让m进入单位，我们得到（x）- y） （f（pn（x））- f（pn（y）））≤ K | x- y |，对于所有x，y∈ R、 这就是证据。