金融问题强收敛的显式Euler格式

2022-5-6 05:32:10

因此，需要蒙特卡罗技术来估算这些价格，格拉斯曼的书[19]已成为全面概述此类方法及其在金融工程中应用的主要参考。SDE离散格式的经典弱收敛和强收敛结果假设漂移和扩散系数是全局Lipschitz连续的[32]；然而，文献中使用的许多模型，如CIR、CEV、Ait-Sahalia模型，违反了这一假设。出于定价目的，弱误差通常是有效的，但在使用多级蒙特卡罗方法（MLMC）时，需要有强收敛速度，以优化计算复杂性[16,17]。在传统的Euler-Maruyama离散格式中，近似可能会逃出SDE真解的范围。近年来，很多工作都集中在推导具有非Lipschitz连续系数的SDE的限制域方案[4,5,6,24,27,34]。引入了一些修正，如漂移隐式[13]和增量驯服显式欧拉模式[25，定理3.15]；在数学金融的背景下，可以在[31]中找到对这些问题的全面概述。现在一个经典的技巧是应用合适的Lamperti变换，以获得具有恒定扩散系数的anSDE，从而将所有非平滑转换为漂移。

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2022-5-6 05:32:14

在非全局Lipschitz系数的情况下，Alfonsi[3]引入的这一思想在[4,34]中得到了进一步的利用，以获得隐式“Lamperti-Euler”格式的强Lp收敛速度，特别是对于CIR和Ait-Sahaliamodels，以及对于单侧Lipschitz连续漂移和恒定扩散的标量SDE[34]。在充分可微的条件下，ψ>0阶的修正It^o-Taylor格式[29]提供了ψ阶的路径收敛结果-ε（对于任意小的ε>0）。这种方法依赖于类似于[20]中的局部化论证，在离散化过程退出子域时选择辅助裂缝和扩散函数。对于不规则系数，在[20,21,39,35]中更严格的条件下获得了一些强收敛速度。受这些不同方法的激励，我们的主要贡献是为具有非全局Lipschitz系数的SDE提供有效的数值近似。我们首先给出了一个显式Euler格式，该格式具有局部Lipschitz和全局单边Lipschitz漂移系数的SDE投影，其计算量与显式Euler-Maruyama格式相同。我们证明了广泛SDE的强收敛速度，扩大了显式和隐式格式中通常研究的参数范围。在适当的假设下，我们能够通过最优收敛速度获得快速收敛。该计划具有驯服计划家族的一些特征。然而，它的分析不需要重型技术工具。考虑到数学金融的应用，对支持包括在（0，∞). 然而，在一些适当的假设下，这里使用的技术可以扩展到多维情况。

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2022-5-6 05:32:17

一个重要贡献是通过局部Lipschitz连续条件，将方案的选择与域边界处的位移函数的爆炸速率联系起来。据我们所知，到目前为止，在驯服格式的文献中，只有在域的一个边界处的爆炸行为被认为是获得收敛速度的。我们的方案一般同时考虑两个边界。然后，我们将注意力转向具有非全球Lipschitz扩散系数的SDE，这是金融领域经常遇到的情况。在使用改进方案之前，我们对过程应用Lamperti变换，以便将非Lipschitz行为从扩散转移到漂移函数。这使我们能够证明初始过程在ε的L1+ε-范数下的收敛速度≥ 0; 特别是，ε=1的收敛速度可用于MLMC应用，我们将其应用于相关CIR过程的零息债券和看涨期权的定价。特别是，我们能够证明具有非常数平滑系数的CEV/CIR类模型的收敛结果，见第4.2节。重要的是，我们还获得了3/2模型的新收敛结果，见备注4.2。本文其余部分的结构如下。第二节介绍了改进的EulerMaruyama格式，第三节证明了其收敛性。在第4节中，该方案适用于SDE系列，如在数学金融中广泛使用的CIR、3/2和Ait-Sahalia模型，以及金兹堡-朗道方程。第5节给出并讨论了收敛速度的数值结果。注释：在续集中，D是间隔（0，∞). 我们用“Dη”表示域[η，∞), 和“D:=”D。此外，我们定义了区间Dζ：=(-∞, ζ] 和ˇDη，ζ=\'Dη∩Dζ，对于η≤ ζ.

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2022-5-6 05:32:20

我们用C（D）表示D上具有连续导数的二次可微函数空间，用Cb（D）表示C（D）中具有第一和第二有界导数的函数空间。我们将用N+表示严格正整数集。给定一个概率空间(Ohm, F、 P），我们表示Lm(Ohm, F、 P），对于m>0，这组随机变量Z使得kZkm:=E[|Z|m]1/m<+∞. 在续集中，当所考虑的概率空间从上下文中清晰可见时，我们将简单地编写LMS。我们用Eti[X]表示≡ E[X | Fti]给定过滤Fti2定义和假设的条件预期(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是一个过滤概率空间，W=（Wt）t≥0a一维标准（Ft）-适应布朗运动。考虑一个一维随机微分方程，其形式为DYT=f（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y.（2.1）。在本文中，我们将假设如下：（Hy0）：SDE（2.1）允许在D=（0）中存在唯一的强解，∞); 漂移f在D上局部Lipschitz连续，全局单边Lipschitz连续，即存在α，β≥ 0，K>0，这样对于所有（x，y）∈ D:| f（x）- f（y）|≤ K1+|x |α+| y |α+| x |β+| y |β|十、- y |，（2.2）（x）- y）（f（x）- f（y））≤ K | x- y |；（2.3）此外，对于某些K>0:all（x，y），扩散函数γ在D上是K-Lipschitz连续的∈\'D，不等式|γ（x）- γ（y）|≤ K | x- 是的。备注2.1。函数γ也可以在D上定义。然而，假设γ在D上的lipschitz连续性将导致γ在D上的自然延伸。备注2.2。在实践中使用的许多模型中（尤其是在数学金融中的Feller/CIR Diffusion，见第4.1节），这些假设都不满足。然而，变量的适当变化允许我们绕过这一点：考虑一个形式为dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X，（2.4）的SDE，其中过程X取某些域DX中的值 R

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nandehutu2022

2022-5-6 05:32:24

当σ-1在DX上定义良好且连续可微，X的Lamperti变换定义为F（X）≡Rxσ（z）-1dz，它的引理意味着这个过程定义为路径byY:=F（X）满足F（2.1）≡ Fu+Fσ和γ≡ Fσ是常数。让n∈ N+为固定正整数，T>0为固定时间范围。用π定义区间[0，T]的划分：={0=T<T<…<tn=T}，其中最大值=0，。。。，N-1（ti+1- ti）=:h=O（1/n）。对于闭区间C R、我们定义pC:R→ C作为C上的投影算子。为了便于记法，我们也让pn:=pDn，即x∈ R、 pn（x）=N-K∨ 十、∧ nk，Dn=ˇDn-k、如果α>0，β>0n-K∨ x，Dn=\'Dn-kifα=0，β>0x∧ nk，Dn=Dnkifα>0，β=0x，如果α=β=0，Dn=\'D。（2.5）在下文中，我们用C表示一个正常数，该常数仅取决于K，T，α，β，y，但其值可能会随着行的变化而变化。我们用Cpif表示它，它依赖于一个额外的参数p。我们现在介绍离散化过程^Y的显式方案：定义2.1。设置^Y:=Yand表示i=0，N- 1，^Yti+1:=^Yti+fn（^Yti）hi+1+’γ（^Yti）Wi+1，hi+1:=ti+1- ti，Wi+1:=Wti+1- Wti，fn:=fo Pn和γ：=γo p-D.备注2.3。（i）对于某些应用，强制方案在一个域中取值可能是有趣的，例如区间\'D，\'Dη，Dζ，甚至是71dη，ζ。为此，我们介绍了之前方案的一些扩展。尽管我≤ n、我们定义了Yti:=Pd（^Yti），~Yti:=Pdη（^Yti），Yti:=pDζ（^Yti）和71yti:=Pdη，ζ（^Yti），对于一些η，ζ>0待以后确定，详情见推论3.1。在命题3.3中，我们证明了这些修正的有限矩和有限反矩。（ii）观察对于α=β=0，^Y是通常的Euler-Maruyama方案，直到投影到¨D。以下引理显示了初始漂移f的性质如何转化为新的投影漂移fn（附录A中的证明）：引理2.1。

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2022-5-6 05:32:28

对任何人来说∈ N+，组成fn≡ FoPn是Lipschitz连续的，Lipschitz常数L（n）=2K（1+nkβ{β>0}+nkα{α>0}），且单侧Lipschitz连续，Lipschitz常数K与f相同。备注2.4。对任何人来说∈ N+，因为fn和γ是Lipschitz连续的，一个简单的推导表明定义为2.1的方案满足最大值=0，。。。，nk^Ytik<∞. 由于fn的Lipschitz常数依赖于n，因此n中的界是先验非均匀的。我们现在引入以下假设，这意味着L（n）h≤ C、为了alln∈ N+，它将局部Lipschitz指数α和β与特定结构域Dn：（Hp）的大小联系起来：严格正常数k，k满足2βk≤ 1和2αk≤ 1.我们需要额外的假设来证明我们的方案的强收敛速度：下面（Hy1）根据局部Lipschitz指数α和β对过程Y的矩施加条件，以获得最小收敛速度。我们应该进一步对f和γ施加正则条件，以获得更好的收敛速度。（Hy1）：（Hp）成立，并且存在q>2（α+1）和q>2β这样的支持∈[0，T]Eh | Yt | q+| Yt|-齐∞ .（Hy2）：（Hy1）保持，漂移函数f为C（D）类，且为SUPT∈[0，T]E“|γ（Yt）f（Yt）|+f（Yt）f（Yt）+γ（Yt）f（Yt）#< ∞.

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2022-5-6 05:32:32

（2.6）对于隐式格式，在[34]假设（Hy2）中导出了强收敛速度；受本文启发，我们的动机是恢复定义2.1.3中显式方案的强收敛率收敛结果在本节中，我们证明定义2.1中的方案在上述一些假设下的强收敛率；这个结果来自对过程Y和f（Y）的正则性的估计，以及格式的离散化误差。下面，我们给出了一般情况下α，β的结果≥ 0，但在证明中，我们仅限于最复杂的情况α>0，β>0.3.1初步估计前两个结果与将真解Y投影到Dn上的误差有关。引理3.1。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，无论如何∈ [0，T]，E|Yt- pn（Yt）|≤ Cq，qnk（q+2）{β>0}+nk（q-2){α>0},其中q，qare由（Hy1）给出。证据无论如何∈ [0，T]，我们可以写|Yt- pn（Yt）|≤n2kPYt<nk+ Eh | Yt |{Yt>nk}i.集η=q/2和θ=q/（q）- 2），它的共轭指数。霍尔德不等式yieldsEh |Yt |{Yt>nk}i≤ Eh | Yt | qi1/ηP{Yt>nk}1/θ。利用（Hy1）和集合等式{Yt>nk}={Yqt>nkq}，马尔可夫不等式意味着Eh | Yt |{Yt>nk}i≤ Cqn-k（q）-2). 同样地，由于{Yt<n-k} ={Y-qt>nkq}，马尔可夫不等式产生P（Yt<n-（k）≤ Cqn-kq，引理如下。2艾玛3.2。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，无论如何∈ [0，T]，E|f（Yt）- fn（Yt）|≤ Cq，qnk（q）-2(β-1））{β>0}+nk（q-2(α+1)){α>0}=: K（n，q，q），其中q，qare由（Hy1）给出。证据使用（2.2），我们观察到| f（Yt）- fn（Yt）|≤ C1+| Yt|-2β+| Yt | 2α|Yt- pn（Yt）|≤ C1+| Yt|-2βn2k{Yt<n-k} +C1+| Yt | 2α|Yt{Yt>nk}=A+A.集合η：=q/（2β）和θ：=q/（q）- 2β). H"older不等式然后屈服[A]≤Cn2kP{Yt<n-k} +Cqn2kE|Yt|-Q1/ηP{Yt<n-k} 1/θ和（Hy1）加上马尔可夫不等式意味着E[A]≤ Cqn-k（q）-2(β-1)).

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2022-5-6 05:32:36

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nandehutu2022

2022-5-6 05:32:40

漂移函数f由（Hy2）构成C（D）类，它在区间[ti，ti+1]上的公式简化为f（Yti+1）- f（Yti）=Zti+1tif（Yt）f（Yt）+f（Yt）γ（Yt）dt+Zti+1tif（Yt）γ（Yt）dWt。平方和应用Cauchy-Schwarz不等式|f（Yti+1）- f（Yti）|≤Zti+1tiE“|γ（Yt）f（Yt）|+hf（Yt）f（Yt）+γ（Yt）f（Yt）#dt和（ii）来自（2.6），[ti，ti+1]上的直接积分和求和。23.2收敛结果我们在这里考虑真实过程Y和离散过程^Y之间的离散误差。让我们介绍以下符号：δYi:=Yti-^Yti，δnfi:=fn（Yti）- fn（^Yti），Δγi:=γ（Yti）- γ（^Yti）。（3.2）以下关键命题提供了平方差|δYi |的界，它同时依赖于分区大小和正则性（在（3.1）的意义上），并将在定理3.1中进一步定义。提议3.1。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变，那么maxi=0，。。。，氖|δYi|≤ CK（n，q，q）+Rπ[f（Y）]+Rπ[Y], （3.3）式中，q，qare由（Hy1）给出。证据1.我们首先表明，方案和解之间的全局误差由下面定义的局部截断误差之和控制。事实上，观察Yti+1=Yti+fn（Yti）hi+1+\'-γ（Yti）Wi+1+ζdi+1+ζWi+1，对于i≤ N- 式中ζdi+1:=Zti+1ti（f（Yt）- fn（Yti））dt，ζwi+1:=Zti+1ti（γ（Yt）- γ（Yti）dWt=Zti+1ti（γ（Yt）- γ（Yti））dWt。最后一个等式来自这样一个事实：Y取D中的值，并且对于所有i而言，\'γ（Yti）=γ（Yti）≤ N

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2022-5-6 05:32:43

因此，将差值δYi+1gives |δYi+1 |=|δYi |+2δYiδnfhi+1+2δYiδγiWi+1+2δYiζdi+1+2δYiζWi+1（3.4）+δnfhi+1+δγiWi+1+ζdi+1+ζWi+1 |。使用简单标识Eti2δYiδγiWi+1+2δYiζWi+1= 0和杨氏不等式的一个应用|δYi+1|≤ （1+Ch）E|δYi|+ CE“|Δnfhi+1 |+|Δγi | hi+1++Etiζdi+1|h+|ζdi+1 |+|ζwi+1|#≤1+Ch+CL（n）hE|δYi|+ 行政长官“Etiζdi+1h+|ζdi+1 |+|ζwi+1 |#，因为Fn是单侧Lipschitz连续的（引理2.1），全局Lipschitz连续，Lipschitz常数为L（n），γ是Lipschitz连续的。在（Hp）下，L（n）h≤ C迭代yieldsmaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ CnXj=1EEtjhζdjih+|ζdj+|ζwj|(3.5)≤ CnXj=1E“|ζdj | h+|ζwj |#（3.6）2.我们现在提供全局截断的显式误差。由于γ是K-Lipschitz，我们有|ζwi+1|≤ CRti+1tiE|Yt- Yti|dt和hencentxi=1E|ζwi|≤ CRπ[Y]。（3.7）我们现在计算E的上界|ζdi+1|. 自ζdi+1:=Zti+1ti（f（Yt）-fn（Yti））dt=Zti+1ti（f（Yt）-f（Yti））dt+Zti+1ti（f（Yti）-fn（Yti））dt，（3.8）Cauchy-Schwarz不等式yieldsEh |ζdi+1 |i≤ 中国Zti+1tiE|f（Yt）- f（Yti）|dt+hE|f（Yti）- fn（Yti）|,引理3.2意味着E|ζdi+1|≤ Ch（Rti+1tiE）|f（Yt）- f（Yti）|dt+hK（n，q，q））和HPNI=1E|ζdi|≤ C（K（n，q，q）+Rπ[f（Y）]）。将其与（3.6）和（3.7）相结合，得出结论。2标记3.1。用于证明命题3.1的方法特别依赖于（3.4），这将我们的结果限制在Lsetting上。当p>2时，我们将这个结果推广到lp设置，以供进一步研究。获得这样一个扩展将使第4节中的结果得到非常有趣的改进。我们保持了上述结果的一般性，没有先验地假设漂移函数属于C（D）。如果我们考虑常数微分和（Hy2），我们可以使用（3.5）而不是之前证明的第一部分中的（3.6）来恢复更好的上限，并证明一阶强收敛速度。

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2022-5-6 05:32:46

这将在下面的提案3.2中说明。我们现在陈述我们论文的主要结果，即（3.2）中定义的δyi的强比率。定理3.1。假设（Hy0）成立，那么不等式maxi=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr（3.9）保持r=min(-βq+2，-αq-2）通过设置（k，k）=（q+2，q）在（Hy1）下大于0-2） r=min（，q+24β-,Q-24α-) > 通过设置（k，k）=（2β，2α），在（Hy2）下为0。证据1.假设（Hy1）。将引理3.3和引理3.4（i）与（3.3）yieldsmaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ C（K（n，q，q）+L（n）h+h）；≤ Cq，q（h1）-2βk+hk（q+2）-2βk+h1-2αk+hk（q-2)-2αk+h）。为了平衡误差项，设置k=q+2和k=q-2.观察到在（Hy1）下，（Hp）适用于此参数选择。因此，我们得到maxi=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr，r=min(-βq+2，-αq-2），r>0.2。假设（Hy2）。引理3.3和引理3.4（ii）（3.3）implemaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ C（K（n，q，q）+h）。设置k=2β，k=2α产生最大值=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr，其中r=min（1/2，q+24β-1/2，q-24α- 1/2). 由于（Hy2）意味着（Hy1），我们观察到r>0。2我们现在陈述与备注2.3中定义的方案扩展相关的收敛结果。推论3.1。假设（Hy0）成立。然后近似值（~Yti）i≤nand（Yti）i≤如备注2.3所示，满意度xi=0，。。。，N基蒂-\'\'Ytik+kYti-~Ytik+kYti-Ytik≤ Cq，qhr，保持r=min(-βq+2，-αq-2）通过设置（k，k）=（q+2，q）在（Hy1）下大于0-2） r=min（，q+24β-,Q-24α-) > 通过设置（k，k）=（2β，2α），在（Hy2）下为0，其中η：=h2r/qandζ：=h-2r/（q）-2).证据在证明之后，计算左侧三个量的上界。尽管我≤ n、由于p’Dis 1-Lipschitz连续，我们可以写|Yti-“Yti|= Eh|p|D（Yti）- p’D（^Yti）|i≤ 呃| Yti-^Yti | i=E |δYi |，以及kYti的上界-“-Ytikfollows自定理3.1。现在设置η=h2r/q。

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2022-5-6 05:32:49

因为我≤ n、呃| Yti-|i|Yti≤ 2.呃| Yti- p|Dη（Yti）|i+Eh|p|Dη（Yti）- p\'Dη（^Yti）|i≤ 2.呃| Yti- p|Dη（Yti）|i+Eh|Yti-^Yti|i≤ Cq，q呃| Yti- p\'Dη（Yti）|i+h2r, （3.10）其中最后一个不等式来自定理3.1。对引理3.1进行简单的修改，可以得到Eh | Yti- p’Dη（Yti）|i≤ Cqηq，它给出了第二个界。同样，对于我来说≤ n、平等- pDζ（Yti）|]=E[| Yti- ζ|{Yti>ζ}成立，应用霍尔德不等式得到E[|Yti]- pDζ（Yti）|]≤ Cqζ-（q）-2). 选择ζ=h-2r/（q）-2）证据结束了。2标记3.2。对于在整条实线上定义的SDE，已使用驯服的显式格式证明了强收敛速度[27,37]。作者假设漂移满足（2.2）和（2.3）局部Lipschitz指数α∈ (0, ∞), β=0，D=R，其差值为K-Lipschitz。在这些假设下，（2.1）有一个独特的解决方案[33]。我们的修改方案和对投影的轻微修改，即pn（x）≡ -nk∨ 十、∧ 这种情况可以适用于本案。我们现在证明，对于经典的Euler格式，如果扩散系数为常数，我们的修正格式可能具有一阶强收敛速度。这在实践中可以观察到，如第5.1节所示。这也表明，当扩散系数不是常数时，类似修改的Milstein方案将具有一阶强收敛速度。提议3.2。假设γ（x）≡ 对于所有x，γ>0∈ D、而q>6β的（Hy0）- 2和q>6α+2和（Hy2）保持。那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kYti-\'\'Ytik+kYti-~Ytik+kYti-Ytik≤ Cq，qh，其中我们设置η：=h2/qandζ：=h-2/（q）-2）在Y和Y的定义中。证据该证明类似于命题3.1证明中的第2步，但使用了Sharper上界（3.5）。

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2022-5-6 05:32:52

由于扩散函数是恒定的，Pni=1E|ζwi|isnull，使用（3.8）和引理3.2，我们可以编写|δYi|≤N-1Xi=0E“|ζdi+1 |+（Eti）ζdi+1)h#（3.11）≤ K（n，q，q）+n-1Xi=0E“Zti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt+HEtiZti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt#.此外，它的引理意味着zti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt=Zti+1tiZttif（Yu）f（Yu）+f（Yu）γdu+Zttif（Yu）γdWu我们可以将其重写为zti+1tiZttif（Yu）f（Yu）+f（Yu）γdudt+Zti+1ti（ti+1- t） f（Yt）γdWt。在（Hy2）下，我们很容易得到（3.11）thatmaxiE|δYi|≤ C（K（n，q，q）+h）。然后，通过设置（k，k）=（2β，2α）并使用q>6β这一事实，该命题随后成立- 2和q>6α+2，来自引理3.2。基蒂的声明-“Ytik，kYti-~Ytik，kYti-Ytik，与推论3.1中的论证相同。23.3模式的矩性质为了以后使用，我们证明了我们的近似具有一致有界的二阶矩，这就完成了备注2.4的结果。引理3.5。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，对于q，q由（Hy1）给出，maxi=0，。。。，内伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊≤ 对于Y，ζ：=h-2r/（q）-2）对于Y，η：=h2r/q，回想备注2.3，r=min(-βq+2，-αq-2） >0，在（Hy2）下r=min（，q+24β）-,Q-24α-) > 0，且q>6β- 2，q>6α+2和γ（·）≡ γ>0，r=1。证据自从|^Yi|≤ 2（| Yti）-^Yti |+|Yti |），（Hy1）和定理3.1暗示着eh | Yti | i≤ 2.呃| Yti-^Yti | i+E|Yti|≤ Cq，q（h2r+1）≤ Cq，qholds适用于任何i≤ n、这证明了这个说法。“Y”、“Y”和“Y”的陈述来自推论3.1或命题3.2。2我们现在考虑备注2.3中定义的修正Y和Y，并证明它们的一些有限矩或反矩，扩展了之前的结果。提议3.3。

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2022-5-6 05:32:56

假设（Hy0）保持并让ζ：=h-2r/（q）-2） η：=h2r/q，其中q和qare由（Hy1）给出。（i）如果（Hy1）成立，那么maxi=0，。。。，奈埃及≤ Cp、q、qfor all p∈ [1，（q- 1) ∨ 2];（ii）如果（Hy1）与q保持一致≥ 4，那么maxi=0，。。。，嗯-ptii≤ Cp、q、qfor all p∈ [1，q- 3].证据1.我们首先证明（i）。我们注意到p的结果∈ [1,2]直接遵循引理3.5。我们现在假设1<p≤ Q- 1，我们引入集合Ai:={Yti≤ ζ} 和Bi:={|δYi |>1}，其中δYi:=Yti- 伊蒂。然后我们观察到Ypti=YptiAci+YptiAi∩Bci+YptiAi∩Biand deal，每个条款分别在右边。自从Yti≤ ζ通过定义，我们计算第一项的EhYptiAcii≤ E伊普蒂≤ Cp.（3.12）表示第二项，如|δYi |≤ 1关于Bci，我们获得了YptiAi∩Bcii≤ Cp（1+E伊普蒂) ≤ Cp.（3.13）对于最后一项，我们首先观察到，对于非负y，yandθ6=1，（y）θ- yθ=θZ(1 - λ） y+λyθ-1dλ（y）- y）。（3.14）使用上述等式y=Yti，y=Yti和θ=p，我们计算出| 728; Ypti- |≤ Cp（Yp-1ti+Yp-1ti）|δYi |。然后从YptiAi∩Bi≤ Ypti+|Ypti- Ypti|1Ai∩Bi，我们观察到，呃YptiAi∩Bii≤ Cp+Cp（1+ζp）-1） Eh |δYi | 1 |δYi |>1i≤ Cp+Cp（1+ζp）-1）根据推论3.1，我们得到了EhYptiA∩毕≤ Cp（1+ζp）-1h2r）≤ Cp.（3.15）通过将之前的不等式与（3.12）和（3.13）相结合，得出第一个陈述的证明。2。我们现在证明（ii）。我们假设p∈ [1,3]- 3] 那q≥ 4.我们介绍了set)Ai={Yti≥ η} 和∧Bi={|δ| Yi |>η}，其中δ| Yi:=|Yti- 伊蒂。

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2022-5-6 05:32:58

我们观察到-pti=~Y-ptiAci+~Y-ptiAi∩~Bci+~Y-ptiAi∩比。我们将分别对出现在上述等式右侧的每一项的期望值进行上界。第一个学期，从Aci开始，Yti≤通过定义，我们得到-ptiAcii≤ 嗯-ptiAcii≤ 第二学期，注意到-~Yti=δYiYtiYti，由（Hy1）计算-ptiAi∩■Bcii≤ CpE“Y-pti+δYiYtiYtip~Ai∩■Bci#≤ Cp，从Ai开始∩~Bci，|δ| Yi |≤ ηandYti≤η. 对于最后一个学期，我们计算了它-ptiAi∩~Bii≤ CpEhY-pti+|Y-pti- Y-pti | 1 | Ai∩通过使用（3.14），我们得到-ptiAi∩~Bii≤ Cp（1+Eh）Y-P-1ti+Y-P-1ti）|δ| Yi | 1 | Ai∩~Bii≤ Cp（1+η）-（p+1））Eh |δYti | 1{|δYi |>η}i.使用Cauchy-Schwarz不等式，然后应用Chebyshev不等式，得到-ptiAi∩~Bii≤ Cp（1+η）-（p+3））h2r≤ Cp，它总结了这一步的证据。24应用作为第一个例子，我们现在将我们的结果应用于文献中广泛使用的各种随机微分方程。4.1 CIR模型我们考虑Feller扩散[14]，定义为唯一的强解todXt=κ（θ）- Xt）dt+ξpXtdWt，X=X>0，（4.1），其中W是布朗运动，κ、θ、ξ是严格正常数参数。该过程广泛应用于数学金融中，既用于利率建模[10]，也用于股票价格过程的瞬时方差[22]。在Feller条件ω：=2κθ/ξ>1下，X几乎肯定是严格正的，这意味着Lamperti变换Y=√X满足度=f（Yt）dt+c dWt，Y=√x> 0，（4.2）其中f（x）≡ a/x+bx，a:=（4κθ）- ξ） /8，b:=-κ/2，c:=ξ/2；（4.3）此外，当伐木条件保持时，a>0。由于X=Y，证明过程Y的离散化方案的收敛速度将允许我们获得过程X的收敛速度。

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可人4

2022-5-6 05:33:01

在下面的推论中，我们应用定理3.1来提供kδYikand kδXik的界，其中δXi:=Xti-^Xti=Yti-^Yti。推论4.1。对于ω>2，maxi=0，。。。，n（kδYik+kδXik）≤ Crhrholds，在哪里R∈,-ω + 1, 如果2<ω≤ 3，r=1/2，如果3<ω≤ 如果ω>5，r=1。（4.4）证据。首先考虑kδYik的界。Y的漂移是单边Lipschitz连续的，局部Lipschitz连续，指数α=0和β=2，扩散是恒定的，因此Lipschitz连续。从[13，第5页]我们知道∈[0，T]E（|Xt|p）<+∞ 对于所有人p>-2κθ/ξ，因此∈[0，T]E（| Yt）|-`) < +∞ 对于所有的`<4κθ/ξ=2ω。（4.5）在2<ω的情况下≤ 3.我们选择q∈ （4,2ω）和fix k=1/（q+2），因此（Hp）保持不变（由于α=0，不需要kis条件）和（Hy1）也保持不变。从定理3.1可以看出，收敛速度由r:=1/2给出-β/（q+2）。我们很容易计算，因为β=2∈ (,-ω+1），取决于q的选择∈ (4, 2ω).现在考虑情况3<ω。我们计算E（|f（Yt）f（Yt）+cf（Yt）|）≤CE（|Yt |+|Yt）|-6) ≤ 等等。将前面的不等式与（4.5）相结合，我们得到了（Hy2）成立的条件。如果3<ω≤ 5，fix q∈ （6，2ω）设k=1/4，则r=min（1/2，（q+2）/8-1/2）=定理3.1中的1/2。ω>5的情况直接遵循命题3.2，因为存在一个q∈ （10，2ω）使得EhY-qti<∞ 无论如何∈ [0，T]乘以（4.5）。现在我们证明了差异δXi的推论。Cauchy-Schwarz不等式和上述结果意味着[|δXi |]=Eh |（Yti-^Yti（Yti+^Yti）|i≤rE（|δYi |）Eh | Yti+^Yti | i≤ CrhrqE（|Yti |）+E（|^Yti |）≤ Crhr，因为E（|Yti|）和E（|Yti|）是[24，引理3.2]和引理3.5]的定义。2定义δXi:=Xti-Xti，其中Xti:=Yti，回想备注2.3。我们现在考虑过程X的离散格式收敛的一般1+ε-范数。推论4.2。假设ω>2和fixε≥ 0

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2022-5-6 05:33:04

然后最大值=0，。。。，nkδXik1+ε≤ Cr，εhr/（1+ε），定义如（4.4）所示，其中我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在X=Yin的定义中，注释2.3。证据尽管我≥ 0，我们有kδXik1+ε1+ε=Eh | Xti-Xti | 1+εi=Eh | Yti-Yti | | Yti-Yti |ε| Yti+Yti | 1+εi≤ 基蒂-YtiksE|Yti |+|Yti|2+4ε.从（4.5）中，我们得到了E|Yti | 2+4ε< C. 同样地，由于Eh|Yti|qi+∞, 我们从命题3.3（i）中得出，Eh |Yti | 2+4εi<Cr，ε。这个矩界，加上推论3.1（或命题3.2，当r=1）和上述不等式，导致tokδXik1+ε1+ε≤ Cr，εhr。2标记4.1。据我们所知，在[28]中，使用隐式Euler格式获得了参数ω范围内的最佳收敛结果，另见其中的参考文献。在本文中，ω属于（0.5，∞) 而我们的结果对ω是有效的∈ (2, ∞). 我们的方案的主要优点是其明确的性质，允许我们检索非常数系数的收敛结果，如下一节所示。在这方面，我们还要提到最近关于对称性Milstein方案的论文[7]。4.2局部光滑系数我们现在考虑一个形式为（2.4）的随机微分方程，具有漂移函数u（x）≡ u（x）- u（x）x，其中u，u：D→ R、扩散函数σ（x）≡ γxν，其中γ>0且ν∈ [1/2, 1]. 该模型包括费勒扩散模型（见第4.1节）和CEV模型[11]，两者都广泛用于数学金融。对于特殊情况ν=1，扩散函数为K-Lipschitz，只要漂移函数u的（2.2）和（2.3）保持不变，我们的方案就直接适用于过程X。我们现在关注的是案件∈ [1/2,1]兰帕蒂变换读取F（x）≡Rxdy/σ（y）≡γ(1-ν） x1-ν、带逆F-1（y）≡ [γ(1 - ν） y]1-ν. 过程Y=F（X）是dYt=F（Yt）dt+dWt的解，其中Y=F（X）和F（Y）≡uF-1（y）σ（F）-1（y））-σF-1（y）.

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2022-5-6 05:33:08

（4.6）为了使函数u和σ满足所需条件，我们假设：（Hs0）：ν∈ [1/2,1]和u，u是有界的，属于Cb（D）和limx↑+∞u（x）≥ 0.对于参数ν：（Hs1）：ν，我们区分了两种情况∈ （1/2,1）和u（0）>0。（Hs2）：ν=1/2，存在¨x>0，使得2u（x）/γ≥ 1对于所有的0<x<x，我们现在证明一个收敛速度，作为定理3.1的推论。命题4.1（局部光滑系数）。假设（Hs0）成立。那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kδXik+kδXik1+1+≤ Cr，人力资源部， ≥ 0，用1。如果（Hs1）保持不变，r=1.2。如果（Hs2）和2u（0）/γ=：ω>3保持，r∈ (, 1/2 - 1/ω）如果3<ω≤ 4，r=1/2if 4<ω≤ 如果ω>6，r=1。在这两种情况下，我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在定义X=Y时，重新定义备注2.3。证据在[12，命题3.1]中，De Marco证明了在（Hs0）下，（2.4）存在一个唯一的强解，它保持在[0，∞) 几乎可以肯定。此外，他还表明（Hs1）和（Hs2）进一步暗示P（τ=∞) = 1，其中τ是过程X第一次达到零的时间。我们记得，一旦我们进行了兰帕蒂变换，扩散函数是一个常数。我们将证明分为几个部分：在（i）中，我们证明了漂移函数f是单边ipschitz连续的；在（ii）中，我们证明f是局部Lipschitz连续的，henceconclude证明（2.2）和（2.3）成立。这是基于对（4.6）中f.（i）的导数的直接研究得出的结论，对于所有x∈ D、 f（x）=μ（x）-νa)u（x）x-1.-ν- a|u（x）x1-ν- (1 - ν） u（x）+ν2（1）- ν） x-2，（4.7）式中a=[γ（1- ν)]1-对于g=u、u、u或u，我们设置＠g（x）：=go F-1（x）=g（ax1-ν），为了所有的x∈ D.如果ν∈ （，1），在（Hs0）和（Hs1）下，我们有那个酸橙→+∞f（y）=-∞ （从那时起）≥ 0）和limy→0f（y）=-∞ 同样（因为u（0）>0和ν>）。如果ν=，在（Hs0）和（Hs2）下，我们从与之前thatlimy相同的参数推导→+∞f（y）=-∞.

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2022-5-6 05:33:11

在这种情况下，我们得到limy→0f（y）=-∞ 因为u（0）γ≥.（ii）我们现在证明f是局部Lipschitz连续的。根据（4.7）和关于u、u、u和u的边界假设，我们得到| f（x）|≤ C（1+x1）-ν+x-1.-ν+x-2），为了所有的x∈ D观察这一点∈ [1]，x-2.≤ 1+x-1.-ν、为了所有的x∈ D、我们得到f是局部Lipschitz连续的，α=β=1/（1）- ν).将此与（i）结合起来，我们可以得出（2.2）和（2.3）成立的结论。现在我们证明推论中的陈述1和陈述2。1）假设（Hs1）。因为局部Lipschitz指数是α=β=1/（1）- ν），fix k=k=（1）- ν） /2，因此（Hp）保持不变。根据[12]，E（监督）∈[0，T]| Xpt |）和E（支持）∈[0，T]| Xt|-p）对所有p>0的情况都是确定的；因此，E（支持）∈[0，T]| Yt|-q）对于所有元素，maq>1。我们注意到f属于C（D）类，而（Hy2）成立，因此r=1来自命题3.2。kδXik1语句的证明+根据推论4.2.2）证明中的相同公式，假设（Hs2）成立，并让2u（0）/γ=：ω>3。这里，α=0，β=0。那么maxt∈[0，T]E（|Xt）|-p）对于所有p<ω- 1[12，引理3.1]，依此类推∈[0，T]E（| Yt）|-`) 对于所有`<2（ω）- 1). 修正q∈ (4, 2(ω - 1））并设置k=1/（q+2），使其保持（Hp）和（Hy1）。根据定理3.1，r=1/2-β/（q+2）∈ (,-ω）坚持住。进一步假设4<ω≤ 6.注意漂移函数f属于C（D）类。修正q∈ （8，2ω）和k=1/4，所以（Hp）保持不变。通过对参数的假设，可以得出∈[0，T]E（| Yt）|-6） =最大值∈[0，T]E（|Xt）|-3）是有限的，因此（Hy2）成立。根据定理3.1，r=min（1/2，（q+2）/8- 1/2) > 1/2.最后，在ω>6的情况下，我们可以应用命题3.2，得出r=1的结论。kδXik1语句的证明+与推论4.2中的论点相同。2在CIR模型中，我们使用[13]中过程Y的有限反矩，得到了3<ω<5的r=1/2。

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2022-5-6 05:33:14

对于命题4.1中的一般情况，我们假设r=1/2时4<ω<6。在下一个推论中，我们施加额外的假设，以恢复与前一节中伐木差异相同的参数约束。提议4.2。假设（Hs0）和（Hs2）。此外，让我们*, B*> 0应为u（x）≥ A.*和u（x）≤ B*为了所有的x∈ D=（0，∞). 那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kδXik+kδXk1+1+≤ Cr，人力资源部， ≥ 0，如果3<ω：=2u（0）/γ，则r=1/2≤ 如果ω>5，r=1。我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在定义X=Y时，回想备注2.3。证据根据对u和u的假设，存在*, B*> 0，以使其不合格u（x）- u（x）x≥ A.*- B*x位于域D中。我们将Z定义为带有漂移a的过程*- B*x（而不是u（x）- u（x）x）和扩散σ（x）≡ γx1/2。因此，根据比较定理（见[30，第5.2节]），不等式Xt≥ ZTT适用于所有人∈ [0，T]几乎可以肯定，因此E（| Xt|-p）≤ E（| Zt）|-p）对于所有p>0的情况都是如此。现在，Z显然是一个Feller微分，根据ω的假设，它遵循maxt∈[0，T]E（| Zt）|-3）现在是最后一天。结果直接来自推论4.1的第二部分。kδXik1语句的证明+与推论4.2中的论点相同。24.3 3/2模型3/2过程X=（Xt）t≥0[23]是XT=cXt（c）的解决方案- Xt）dt+cX3/2tdWt，X=X>0，（4.8），c，c>0。引入量ω：=2+2c/c。伐木扩散和3/2过程的关系如下：图F（y）≡ Y-1/2产生的CIR过程Y:=F（X），如（4.2）和（4.3）所示，参数a:=（4c+3c）/8，b:=-cc/2和c:=-c/2。存在性和唯一性可以从Feller扩散和maxt的性质中得到∈[0，T]E（|Xt | p）是所有p<ω的定义。推论4.3（3/2模型）。让Y:=X-1/2.

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2022-5-6 05:33:17

那么，maxi=0，。。。，nkδYik≤ Chr，withr∈ (,-w+1）如果ω∈ （2,3），如果3<ω，r=1/2≤ 如果ω>5，r=1。证据根据CIR系数，我们有ω=2+2c/c=2κθ/ξ。我们直接应用推论4.1来获得期望的结果。2我们现在使用修正X（回忆备注2.3）为3/2过程X建立一个收敛结果。提案4.3。设ω>3和fixε≥ 如果3+2ε<ω，那么max=0，。。。，nkXti-~Xtik1+ε≤ Cr，εhr2（1+ε），ω的r=1/2≤ ω>5时r=1，其中η=hr/（2ω）。证据接下来就是Kxti-~Xtik1+ε1+ε=Eh | Xti-~Xti | 1+εi=E|Yti-~Yti | 1+ε= E“（Yti）-~Yti）（Yti+~Yti）Yti~Yti1+ε#≤ 基蒂-~YtiksE（Yti+~Yti）2+4ε| Yti | 4+4ε| Y4+4εti≤ CεkY-~Y krEh | Y | | Y4+4ε+| Y | 4+4ε| yi，我们使用杨氏不等式得到最后一个不等式。我们现在开始计算-~Xtik1+ε1+ε≤ CεkYti-| YtikrEh | | Yti∧ Yti|-（6+4ε）i≤ CεkYti-~YtikrEh | Yti|-（6+4ε）+|Yti|-（6+4ε）i.由于3+2ε<ω，因此E|Yti|-(6+4ε)以常数为界。此外，对于η=hr/（2ω）（q是这样的，q<2ω），可以得出Eh | | Yti|-（6+4ε）i≤ η-（6+4ε），因此|-（6+4ε）i≤ Cε，ωh-r/2，与3+2ε<ω和推论3一起。1（或命题3.2，如果r=1），得出结论。2标记4.2。最后一个推论证明了3/2模型的Lp界（p>1），并改进了现有文献中ω>3的强收敛速度。更具体地说，在L-情况下，Neuenkirch和Szpruch[34，命题3.2]显示了ω>12时使用漂移隐式格式的收敛速度，Sabanis[36，定理2]给出了ω的收敛速度0.5∈ (6, ∞). 对于这些，ω-4的收敛速度也提高了∈ （5，6）。或者，我们确实可以使用命题3.3来获得更高的收敛速度，但是所需的参数ω更大：推论4.4。让ω>9+4ε∨ 5对于某些固定ε≥ 0.然后最大值=0，。。。，nkXti-~Xtik1+ε≤ Cε，ωh1/（1+ε）。证据

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2022-5-6 05:33:22

根据命题4.3证明中的计算，我们得到了kxti-~Xtik1+ε1+ε≤ CεkYti-~YtikrEh | Yti|-（6+4ε）+Eh |Yti|-（6+4ε）ii；使用命题3.3（ii），术语Eh | | Yti|-（6+4ε）iI由一个依赖于ω和ε的常数限定，因为6+4ε<q- 3 < 2ω - 3.此外，由于ω>5，我们得到了thatkYti-~Ytik≤ Ch，来自（4.4）和与命题3.2.4.4的证明相同的论点，在Ait-Sahalia利率模型[2]中，X是下一步的解决方案=A.-1Xt- a+aXt- aX%tdt+γXρtdWt，X=X>0，（4.9），其中所有常数参数均为非负，ρ，%>1。从[38]可知，（0，∞), 兰帕蒂变换Y:=X1-ρsatis fiesdyt=f（Yt）dt+（1-ρ） γdWt，Y=x1-ρ> 0，（4.10）带f（x）≡ (1 - ρ)A.-1x-1.-ρ1-ρ- 斧头-ρ1-ρ+ax- 斧头-ρ+%1-ρ-ργx-1..推论4.5。如果%+1>2ρ，那么maxi=0，。。。，nkδYik≤ Ch.证明。直接差异收益SF（x）=-A.-1（1+ρ）xρ-1+aρxρ-1+a（1- ρ) -a(-ρ+%）x-R-1ρ-1.-ργ(ρ - 1） x-2.我们有limx↓0f（x）=limx↑∞f（x）=-∞, 因此sup0<x<∞f（x）是连续的，因此f是单面Lipschitz连续的。此外| f（x）|≤ C（1+xρ）-1+x-%-1ρ-1）当x>0时，f是局部Lipschitz连续的，α=2/（ρ）- 1） β=（%-1)/(ρ -1). 这种差异是恒定的，因此Lipschitz是连续的。使用漂移的locallyLipschitz连续性质，fix k=1/（2β）和k=1/（2α）。我们重新定义，如果%+1>2ρ，那么maxt∈[0，T]E（|Xt | p）和maxt∈[0，T]E（|Xt）|-p）对于Allp6=0[38，引理2.1]是有限的，所以（Hy1）成立。差异收益sf（x）=-2a-1(ρ + 1)ρ - 1x3-ρρ-1+aρ- 1x2-ρρ-1+a(-ρ + %)(% -1)ρ - 1x-%+ρ-2ρ-1+ ργ(ρ -1） x-3.由于f属于C（D）且（2.6）由[38，引理2.3]确定，那么（Hy2）成立。固定q>6β-2和q>6α+2。然后，通过命题3.2，证明了该陈述。2我们现在计算Ait Sahalia过程X的强收敛速度。

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2022-5-6 05:33:25

我们需要控制近似值在0和at附近的行为∞. 为了做到这一点，我们引入了修正系数Xti:=Y1-ρ式中，ˇYti=p\'Dηo pDζ（^Yti）=pˋDη，ζ（^Yti），η和ζ将在稍后确定。推论4.6。如果%+1>2ρ，那么 ≥ 0，最大值=0，。。。，nkXti-ˇXtik1+≤ Ch1+η：=h2/q，ζ=h-Q-2和q=3+4ρ（1+)/(1 - ρ），q=4 + 1.证据。命题3.3 yieldsE[|Δ|Xti | 1]的类似方法+] ≤ CEh | Yti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +| Yti | 4+ |ˇYti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +||Yti|4我（E |Δ|Yti |），其中Δ|Xti=Xti-XtiandΔYti=Yti-ˇYti。由于ρ>1和%+1>2ρ，E[|Yti | 4ρ（1+)/(1-ρ） +| Yti | 4] 现在是最后一天。注意到这一点≤Y+η，Y≤~Y+ζ，利用命题3.3，我们得到E|ˇYti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +||Yti|4≤ C.此外，我们计算| Yti-ˇYti|≤ |Yti- p\'Dη（Yti）|+|p\'Dη（Yti）- p’Dηo pDζ（^Yti）|≤ |Yti- p\'Dη（Yti）|+|Yti- pDζ（Yti）|+|Yti-^Yti|忆及pDη和pDζ是1-Lipschitz。使用类似于循环3.1证明中的参数，我们得到（E |Δ|Yti |）≤ 结果如下。2标记4.3。在[34]中，作者使用隐式格式证明了参数相同时的一阶L-收敛速度。5数值结果在本节中，我们通过数值证实了CIR模型、带乘性噪声的一维随机Ginzburg-Landau方程和Ait-Sahalia模型的修正欧拉模式的强收敛速度。对于过程X，用^X（j）T表示时间T处的修正Euler Maruyama近似，用X（j）T表示闭式解（或参考解），使用相同的布朗运动路径（jthpath）。经验平均绝对误差E定义为：=MMXj=1 | X（j）T-^X（j）T |，在M个样本路径上，我们将其设置为M=10000。对于不同的N值，使用等距时间网格，步长h:=T/2N。

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2022-5-6 05:33:28

通过在对数尺度上绘制E与离散化步数的关系图来计算强错误率，然后使用线性回归来检索强收敛率r。5.1 CIR模型Lamperti变换漂移隐式平方根Euler方法（见[13,34]）为i=0，N- 1 byYti+1=Yti+cWi+12（1）- bhi+1+s（Yti+c）Wi+1）4（1）- bhi+1）+ahi+11- bhi+1，Y=√x> 0，在（4.3）中定义了a、b、c。通过设置Xti=YTI来恢复CIR/Feller差异≤ n、我们将修改后的显式Euler格式与作为参考解的隐式格式（具有大量时间步长）进行了比较。我们计算了CIR过程的强收敛速度，其中隐式模式被用作参考解。集合（κ，θ，ξ，T，x）=（0.125ω，1，0.5，1，1），例如2κθ/ξ=ω。考虑了ω=（1,1.5,2,2.5,3,3.5,4）情况。使用N=12计算参考解。图1显示了CIR过程的收敛速度r，根据推论4.1，在修正方案中k=1/4。在推论中，我们证明了当3<ω时，1/2的强收敛速度≤ ω>5时，andr=1。确定系数R，图1:CIR模型：E相对于步数（对数标度）的优度。直线，所有ω都在0.998以上。我们观察到，ω>1的格式在数值上达到了1阶，这比我们证明的界要好。备注5.1。定义2.1中引入的预测值可以修改为pn（x）：=Ln-K∨十、∧当L，U>0时，适当选择常数。如果过程具有极端初始条件或平均状态，并且不影响收敛结果，则这是有益的。对于小x，直观地使用备注5.1中的投影来实现快速收敛（尽管不影响渐近行为）。

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2022-5-6 05:33:31

设置（κ，θ，ξ，T）=（0.375,1,0.5,1），使得2κθ/ξ=3。在图2中，我们让x在0.05和1之间变化。2以0.05为增量。我们使用投影pn（x）=n来比较k=1/4时获得的误差-K∨x和pn（x）=√xn-K∨x、通过使用投影pn，小x.5.2 Ginzburg-Landau方程可以获得较小的误差考虑一维随机Ginzburg-Landau SDE[32，第4章]，其中过程x是下一步的唯一强解=-Xt+λ +σXtdt+σXtdWt，X=X>0，对于λ，σ≥ 0，它允许闭式解xt=xexp（λt+σWt）q1+2xRtexp（2λs+2σWs）ds。（5.1）图2：N=10的绝对误差（对数标度）。本SDE是Ait Sahalia过程的一个特例（a-1，a，a，a，%，ρ）=（0，0，λ+σ/2，1，3，1）。对于这种参数选择，%+1>2ρ，因此所有t∈ [0，T]，溶液停留在（0，∞) 几乎可以肯定。漂移函数满足（2.2），其中（α，β）=（2，0），例如在修改方案中设置k=1/4。此外，漂移是单侧Lipschitz连续的，扩散是单侧Lipschitz连续的。因此，这个例子的理论收敛性可以在速率r=1时得到，也可以在备注3.2中得到。Ginzburg-Landau强收敛：对于这种SDE，在定义E时使用封闭形式的解来计算强收敛率r。图3显示了使用修正方案的平均绝对误差E，参数（σ，λ，T，x）=（1，1/2，1，1）。经验速率达到0.53（与standardEuler方案相同），低于预测速率1。这可以解释，因为我们将（5.1）中的积分近似为求和。Ginzburg-Landau-Euler-Maruyama发散：我们考虑了Ginzburg-Landau SDE的一个例子，其中标准Euler-Maruyama格式发散，并将结果与修改的显式格式进行比较。

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2022-5-6 05:33:34

固定参数（σ，λ，T，x）=（7，0，3，1），如[26]所示，作者证明了经典的力矩爆炸-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3.-2.-10N，其中2N步使用平均绝对误差（对数2标度）E-M与真解（2N）：平均绝对误差[re，rm]=[0.53082,0.53082]。M=100。经典欧拉修正欧拉图3:Ginzburg-Landau模型：平均绝对误差E vs N（对数标度）。Euler Maruyama方案，见[26，表1]。图4显示了classical4 6 10 12 16 18的错误E-505101520N，其中2N步使用平均绝对误差（对数2标度）E-M与真解（2N）：平均绝对误差，rm=0.43004。M=100。经典欧拉修正欧拉图4：平均绝对误差E与步数（对数标度）。对于不同的N，修改后的方案。对于修改后的方案，设置k=1/4。改进的欧拉格式收敛速度rm=0.43。对于一系列步长，经典Euler格式会爆炸，如[26]中所证明的那样（注意：图中非常大且NaN值设置为2，以说明经典格式的爆炸）。改进后的方案似乎更加稳健。5.3 Ait-Sahalia模型Ait-Sahalia模型的强收敛速度是使用大量步骤的参考解计算的。考虑参数（a）-1，a，a，a，γ，x）=（1，1，1，1，1，1），和（%，ρ，T）=（2，3/2，1）。从这些参数中，注意α=4和β=2。固定k和k，使2βk=1和2αk=1，使（Hy1）保持不变。图5显示了E与步骤数（对数图）的对比，其中2个步骤用于参考解决方案。

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2022-5-6 05:33:37

Ait Sahalia的经验收敛速度r=1.25可以通过我们使用参考溶液而非真实溶液的事实来证明。图5:Ait-Sahalia模型：平均绝对误差vs N（对数标度）。5.4 mlmc我们结合了修正的欧拉方案和Giles引入的多级蒙特卡罗方法[16,18]。最初的论文侧重于近似Lipschitz连续支付的预期值。MLMC方法也适用于数字、回溯和障碍期权[17]。多模式MLMC技术使用不同的分离方案，以进一步提高计算效率[1]。MLMC技术的使用也被用于计算希腊语[9]。我们的目标是期权价格的均方根误差（RMSE）为O（ε）。使用统一的Maruyama方案，期权价格的均方误差为C/N+Ch，其中N是蒙特卡罗路径数，h是离散化的步长。通过选择n:=O（ε）-2），h:=O（ε），总成本为O（ε）-3).MLMC背后的想法是在不同的模拟水平上使用不同的时间步。我们将每一级的时间步数增加一个因子M，其中l级使用大小为hl:=T/Ml的Mlsteps。我们将PLL定义为l级支付的数值近似值，对于l=0，五十、其中L是最大级别数。通过期望算子的线性，我们注意到E[PL]=E[P]+LXl=1E[PL- Pl-1] ，（5.2）其中l级和l级的支付近似差异- 1是对两个层次的相同布朗路径的估计。支付差异的方差，Vl:=V（Pl- Pl-1），随着级别的增加而迅速降低，并且已经证明对于Lipschitz连续支付的欧式期权，VL收敛到零的速度与方案的强收敛速度一样快。在每一层l上，我们模拟NLPATH并估计E[Pl]- Pl-1].

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