有限体积交替方向隐式方法

2022-5-26 23:22:27

随机局部波动模型校正的有限体积交替方向隐式方法* 1和Jacques Du ToitDepartment of Mathematics and Computer Science，University of Antwerp，Middelheimlaan 1，B-2020 Antwerp，Belgium。电子邮件：maarten。wyns@uantwerpen.be；英国曼彻斯特牛津街Peter House数字算法集团，M1 5AN。电子邮件：jacques@nag.co.uk.August7，2018AbstractCalibration随机局部波动率（SLV）模型到其基础局部波动率模型通常通过数值求解二维非线性前向Kolmogorovequation来执行。我们提出了一种新的有限体积（FV）离散方法，用于一般一维和二维正演Kolmogorov方程的数值解。FV方法不需要转换PDE。这构成了SLV模型校准的主要优势，因为相关PDE系数通常是非光滑的。此外，FV离散化的关键特性是数值总质量守恒。将FV离散化应用于SLV模型的标定，得到一个非线性常微分方程组。数值时间步进由Hundsdorfer–Verwer ADI格式执行，以提高计算效率。常微分方程系统中的非线性通过引入内部迭代来处理。给出了大量的数值实验，说明了校准程序的有效性。关键词：随机局部波动；正演Kolmogorov方程；有限体积离散化；ADImethods；标定2010年AMS主题分类：35K5597m30.1简介在当代金融数学中，随机局部波动率（SLV）模型构成了最先进的模型，用于描述资产价格过程，尤其是外汇（FX）汇率，参见示例【21，28】。

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2022-5-26 23:22:30

设Sτ表示时间τ的汇率≥ 0，并给定点值Sbe。对于汇率建模，我们考虑转换Xτ=log（Sτ/S），因为转换变量Xτ更好地反映了汇率Sτ和1/Sτ之间的二元性，其中后一个是本币和外币角色互换时的汇率。在本文中，我们考虑这种类型的SLV模型dXτ=（rd- 射频-σSLV（Xτ，τ）ψ（Vτ））dτ+σSLV（Xτ，τ）ψ（Vτ）dW（1）τ，dVτ=κ（η- Vτ）dτ+ξVατdW（2）τ，（1.1）*通讯作者。ψ是R+上的非负函数，ψ（0）=0，α，κ，η，ξ严格正参数，dW（1）τ·dW（2）τ=ρdτ，-1.≤ ρ≤ 1和给定的即期值X=0，V。非负函数σSLV（X，τ）称为杠杆函数，常数rd，rf，分别表示本币和外币的无风险利率。很容易看出，过程Vτ总是非负的。文献[1]表明，当0<α<1/2时，可获得边界Vτ=0，当2κη<ξ时，可获得边界Vτ=0。对于α>1/2，它认为Vτ=0是一个不可达到的边界。此外，Vτ=∞ 是所有α>0的值都无法达到的边界。选择ψ（v）=√v、 α=1/2对应于基于赫斯顿的SLV模型，选择ψ（v）=v，α=1对应于[28]中描述的SLV模型。SLV模型是局部波动率（LV）模型和随机波动率（SV）模型的自然组合，[21，28]。前一类模型可用随机微分方程（SDE）dXLV描述，τ=（rd- 射频-σLV（XLV，τ，τ））dτ+σLV（XLV，τ，τ）dWτ。（1.2）函数σLV（x，τ）称为局部波动率函数，可通过Dupireformula【4】确定，以便LV模型再现欧洲看跌期权的已知市场价格。

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2022-5-26 23:22:33

由于LV模型完全由欧洲看涨期权和看跌期权的市场价格决定，因此它在匹配市场动态方面没有灵活性。与（1.1）相对应的基本pureSV模型由SDEs系统给出dXSV，τ=（rd- 射频-ψ（VSV，τ））dτ+ψ（VSV，τ）dW（1）τ，dVSV，τ=κ（η- VSV，τ）dτ+ξVαSV，τdW（2）τ，（1.3），其中函数ψ和参数需要满足上述相同的限制条件。SV模型通常非常适合反映远期波动率，但它们通常无法准确捕捉波动率微笑，参见示例【30】。通过将LV模型的特征与SV模型的特征相结合，SLV模型能够匹配市场动态并再现欧洲看涨期权和看跌期权的市场价格。如果杠杆函数等于1，则SLV模型将简化为SV模型（1.3）。如果参数ξ等于零，则SLV模型简化为纯LV模型。在金融实践中，参见[2，28]，首先确定SV参数κ、η、ξ、ρ，从而使基础SV模型与当前市场动态相匹配。然后，对杠杆函数σSLV（x，τ）进行校准，以使SLV模型和基础LV模型确定非路径依赖欧洲期权的相同公允价值。然后，由于LV模型被精确校准为普通期权的已知市场价格，因此SLV模型也复制了欧洲看涨期权和看跌期权的已知市场价格。设p（x，v，τ；x，v）表示SLV模型（1.1）下（xτ，vτ）的节理密度，设pLV（x，τ；x）表示（1.2）下XLV，τ的密度。众所周知，参见[9，27]，SLV模型（1.1）和LV模型（1.2）都定义了Sτ的相同边缘分布，即pLV（x，τ；x）=Z∞p（x，v，τ；x，v）dv，（1.4）对于τ>0，如果σLV（x，τ）=E[σSLV（xτ，τ）ψ（vτ）| xτ=x]=σSLV（x，τ）E[ψ（vτ）| xτ=x]。

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2022-5-26 23:22:36

（1.5）如果可以确定上述条件预期，并且如果杠杆函数由（1.5）定义，则两个模型对非路径依赖型欧洲期权产生相同的公允价值，因此SLV模型被精确校准为普通期权的市场价格。然而，这非常重要，因为条件期望本身取决于杠杆函数。在过去的几年中，为了近似（1.5）中的条件期望和近似适当的杠杆函数，已经提出了各种数值技术，例如[2，5，11，24，30]。[11，30]中的作者使用了蒙特卡罗技术，而[2，5，24]中使用了偏微分方程（PDE）方法。本文考虑PDE方法。对于有效校准，条件检验通常重写为，cf[2，5，24]，e[ψ（Vτ）| Xτ=X]=R∞ψ（v）p（x，v，τ；x，v）dvR∞p（x，v，τ；x，v）dv。（1.6）可以看出，如[25]，节理密度函数满足前向Kolmogorovequationτp=x个σSLVψ（v）p+x个v（ρξσSLVψ（v）vαp）+vξv2αp-x个（rd- 射频-σSLVψ（v））p-v（κ（η- v） p），（1.7）表示x∈ R、 v>0，τ>0，初始条件p（x，v，0；x，v）=δ（x）δ（v- 五）其中δ表示狄拉克δ函数。一旦已知节理密度p，就可以通过计算（1.6）中的积分轻松确定平均函数，并且SLV模型将精确校准为LV模型。通过组合（1.5）、（1.6）和（1.7），可以很容易地看出，为了执行校准，必须求解高度非线性PDE。在金融数学中，类型（1.7）的对流扩散方程通常通过有限差分方法进行离散，参见示例[2，24]。然而，如果参数α小于或等于1/2，则认为Vτ=0是可以实现的，并且在V=0时确定适当的边界条件是一项非常重要的任务。

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2022-5-26 23:22:39

此外，有限差分方法通常不是质量守恒方法，其中质量守恒是正向Kolmogorov方程的一个关键特性。[5]中提出的有限体积法解决了上述问题。然而，后一种方法利用了原始PDE（1.7）的变换，其中包含杠杆函数的导数。由于杠杆函数通常是非光滑的，并且只在有限的点上已知，这可能会导致不良（不稳定）行为。在本文中，我们将介绍一种有限体积交替方向隐式离散方法，用于（1.7）类型的一般、非转换的前向Kolmogorov方程的数值解。离散化使用线的一般方法（MOL），参见【20】。PDEI首先在空间变量中离散，产生了大型的标准差分方程（ODE）系统。这些所谓的半离散系统随后通过应用合适的隐式时间步进法进行求解。空间离散采用有限体积法，以保持总数值质量等于1，并以自然方式处理边界条件。由于PDE（1.7）是多维的，时间离散化由交替方向隐式（ADI）格式执行，更准确地说是Hundsdorfer–Verwer（HV）格式。与标准（非分裂）隐式时间步进方法相比，这可以产生很大的计算优势。最后，为了将SLV模型校准为LV模型，引入了一个内迭代，以处理从（1.6）插入（1.7）的非线性。本文其余部分概述如下。第2节介绍了有限体积离散化，用于一般1D和2D正演Kolmogorov方程的空间离散化。

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2022-5-26 23:22:42

有限体积离散化的性能通过大量的数值实验得到证明。空间离散化产生了一个大型常微分方程组。在第3节中，采用了ADI时间离散格式，以提高该ODE系统数值解的计算效率。在第4节中，有限体积离散化用于SLV模型的校准，从而产生一个大型非线性常微分方程系统。ADI格式用于该常微分方程组的数值解，并描述了处理非线性的迭代过程。第5节介绍了数值实验，以说明所获得校准程序的性能，最后第6节得出结论。2正向Kolmogorov方程的空间离散在一般MOL方法中，PDE首先通过有限差分（FD）或有限体积（FV）方法在空间变量中进行离散。在这一节中，对一个一般的二维前向Kolmogorov方程进行了空间离散化τp+x（up）+y（up）=x个σp+x个y（ρσσp）+yσp, （2.1）x，y∈ R、 τ>0，其中σ、σ、u、u是x、y、τ的实系数函数。此外，函数σ，σ必须是非负的，并且假设存在值sx，Ysuch，初始函数由p（x，y，0）=δ（x）给出-十） δ（y- Y）。由于系数的形式，空间域可能受到自然限制。例如，如果u（x，y，τ）=κ（η- y） σ（x，y，τ）=ξyα，具有κ，η，ξ，α严格正常数，那么y方向上的域自然限制为y≥ 0，参见PDE（1.7）。由于正向Kolmogorov方程的解代表了一个潜在随机过程的密度，质量守恒是一个基本性质，使用FV模式是合适的。

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2022-5-26 23:22:46

虽然金融衍生工具方法在金融领域广为人知，但金融衍生工具方法在金融领域的应用并不常见，我们很快就能回忆起其基本思想。2.1有限体积离散化简介有限体积法最初用于求解守恒定律，或更一般地用于求解保守形式的偏微分方程。例如，考虑一维保守PDEτp+x（a（p，x，τ）p）=x个b（p，x，τ）xp系统, （2.2）对于x∈ Ohm, τ>0，其中Ohm 是R中的一个区间。方程（2.2）的两侧可以在一个区间（更一般地说，是一个单元格）上积分为xO，以便得到τZxuxlpdx=f（p，xl，τ）- f（p，xu，τ），（2.3），其中f（p，x，τ）是由f（p，x，τ）=a（p，x，τ）p给出的函数- b（p，x，τ）xp。函数f通常称为p的flux，f（p，x，τ）| x=xl，f（p，x，τ）| x=xu表示单元格左右边界的flux【xl，xu】。关系式（2.3）表明，p的总积分（通常表示质量、动量或一些类似的量）会随着单元上的流量差异而变化。如果在有界域[xmin，xmax]上考虑方程（2.2），并且我们假设所有τ的f（p，xmin，τ）=f（p，xmax，τ），即左边界处的flux与右边界处的flux精确匹配，则pover[xmin，xmax]的空间积分在时间上是常数。这意味着总质量或动量守恒。如果空间域Ohm 如果区间[xmin，xmax]足够宽，那么通常会有f（p，xmin，τ）≈ f（p，xmax，τ）≈ 0表示所有τ>0。为了构造数值FV格式，我们从空间域的离散化开始。如果空间域是无界的，则需要将其截断为一个宽的、有限的区间[xmin，xmax]。然后，考虑感兴趣域的离散化xmin=x<x<···<xm=xmax，并表示xi=xi- xi-1，用于2≤ 我≤ m、以及x=xm+1=0。

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2022-5-26 23:22:50

确定中点xi-0.5=xi-xi=xi-1+XI代表2≤ 我≤ m、然后让Ohmi=【xi】-0.5，xi+0.5]be单元格，对于i=1，2，m其中，我们定义x0.5：=X和xm+0.5：=xm。这将生成一个以顶点为中心的网格，其中包含单元顶点xi-0.5。我们现在可以考虑由pi（τ）=xi+0.5定义的细胞平均pi（τ）- xi-0.5ZOhmip（x，τ）dx，这通常是FV方案近似的数量。如果我们假设网格是光滑的xi+1-xi=O(x）在哪里x表示最大网格宽度，则单元平均pi（τ）是p（xi，τ）的二阶近似值。区分τ中的pi（τ）并使用（2.3）给出spi（τ）=f（p，xi-0.5，τ）- f（p，xi+0.5，τ）xi+0.5- xi-0.5（2.4），这只是说明守恒性质的另一种方式，因为如果我们对所有单元格求和并及时提取导数，我们会发现τmXi=1pi（τ）（xi+0.5- xi-0.5）=0，前提是f（p，xmin，τ）=f（p，xmax，τ）。方程（2.4）通常作为数值离散化的起点。用pi（τ）表示≈ pi（τ），对于1≤ 我≤ m、单元格的数值近似值取平均值，并设P为包含这些近似值的向量。然后用pi（τ）=fi定义数值离散化-0.5（P，τ）-fi+0.5（P，τ）xi+0.5- xi-0.5=[fi-0.5（P，τ）-fi+0.5（P，τ）]xi+xi+1，（2.5），其中fi±0.5是近似于精确fluxes f（p，xi±0.5，τ）的数值fluxes。通过对类型（2.5）进行离散化，很容易得出总数值积分（质量）mXi=1Pi（τ）（xi+0.5- xi-如果f0.5（P，τ）=fm+0.5（P，τ），则0.5（2.6）在时间上保持不变。很明显，（2.4）中的确切fluxes涉及细胞边界xi±0.5处的未知函数p。因此，我们用fi±0.5（P，τ）=a（Pi±0.5，xi±0.5，τ）Pi±0.5定义数值流量- b（Pi±0.5，xi±0.5，τ）Px，i±0.5，（2.7），其中Pi±0.5（τ）近似于精确值p（xi±0.5，τ），Px，i±0.5（τ）近似于xp（x，τ）| x=xi±0.5。

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2022-5-26 23:22:53

由于单元平均值是p的二阶近似值，因此可以使用近似值pica确定Pi±0.5和Px，i±0.5。从周围管道在单元边界处计算后特值的方式在很大程度上决定了数值格式的特征。最后，在（2.5）中插入（2.7）得到一个（可能是非线性的）常微分方程系统，该系统通过适当的时间积分程序进行求解。回想一下，质量守恒是前向Kolmogorov方程的一个基本性质，使用FV格式是合适的。然而，类型（2.1）的正向Kolmogorov方程不是保守形式，因此不可能直接应用标准FV模式。此外，以保守形式重写PDE（2.1）将涉及系数函数的导数，这在一般实际应用中是未知的。在本节剩余部分中，引入了基于FV的非变换PDE（2.1）中空间导数的离散化，以确保总质量守恒。我们首先解释了一般一维正向Kolmogorov方程的解，然后将其推广到二维情形。2.2一维前向Kolmogorov方程标准的一维前向Kolmogorov方程也不是以保守形式编写的，其解代表潜在随机过程的密度函数。本小节介绍了基于FV的一般一维方程离散化τp+x（up）=x个σp, （2.8）对于x∈ R、 τ>0，其中σ，u是x和τ的实函数，σ非负且初始函数由p（x，0）=δ（x）给出- 十）对于某些实际X，通常在有限网格上应用FD或FV方法进行空间离散。

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mingdashike22

2022-5-26 23:22:58

因此，必须将空间域截断为[xmin，xmax]，其中边界选择得离x足够远，因此运行误差可以忽略不计。回想一下，σ，u的形式可以自然地将PDE的空间域限制为例如x≥ 在后一种情况下，下边界自然定义为xmin=0。如前所述，定义空间网格xmin=x<x<…<xm=xmax，letxi=xi- xi-1网格宽度，带x=xm+1=0，定义-0.5=xi-xi=xi-1+XI代表2≤ 我≤ m、 x0.5=X和xm+0.5=xm。这将生成一个以顶点为中心的网格，其中包含单元格Ohmi=【xi】-0.5，xi+0.5]。设Pi（τ）表示精确单元平均值的近似值spi（τ）=xi+0.5- xi-0.5ZOhmip（x，τ）dx，设P为包含这些近似值的向量。与上一节类似（见方程式（2.4）和（2.5）以及[20]），我们定义了公式pi（τ）=[fi-0.5（P，τ）-fi+0.5（P，τ）]xi+xi+1（2.9），其中数值flux由fi±0.5（P，τ）=fa，i±0.5（P，τ）+fd，i±0.5（P，τ），其中fa，i±0.5（P，τ）≈ u（xi±0.5，τ）p（xi±0.5，τ），（2.10）和fd，i±0.5（p，τ）≈ -x个σ（x，τ）p（x，τ）|x=xi±0.5。（2.11）为了便于表述，从现在起，我们省略参数对τ的依赖性，并将ui±0.5=u（xi±0.5，τ）和σi=σ（xi，τ）。注意，f0,5（P，τ），分别为fm+0.5（P，τ），对应于边界xmin=x处的flux，分别为xmax=xm。PDE（2.8）的平流部分以保守形式书写。对于内部单元边界，即xi-0.5带2≤ 我≤ m、我们考虑二阶中央FV方案，参见[20]，并定义fa，i-0.5（P，τ）in（2.10）asfa，i-0.5（P，τ）=ui-0.5Pi-1（τ）+π（τ）。差异部分并非以保守形式编写，因此不可能将标准FV方案直接应用于该术语。（2.11）的二阶FV方案的想法，参见示例。

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2022-5-26 23:23:02

[20] ，由definingfd，i概括-0.5（P，τ）=-σiPi（τ）-σi-1Pi-1（τ）xifor 2≤ 我≤ m、很容易看出σip（xi，τ）-σi-1p（xi-1，τ）xi是的二阶近似值xi点的x（σp）-0.5这解释了这种离散化的选择。将这些表达式插回（2.9）中，我们得到pi（τ）=σi-1Pi-1（τ）xi(xi+xi+1）-σiPi（τ）xixi+1+σi+1Pi+1（τ）xi+1(xi+xi+1）（2.12）+ui-0.5Pi-1（τ）+π（τ）- ui+0.5Pi（τ）+Pi+1（τ）xi+xi+1，用于2≤ 我≤ m级- 请注意，通过在非均匀空间网格上应用二阶中心FD格式，参见[14]，在x（σp），一个将以相同的离散化结束。为了完成这种半离散化，还必须在截断域的边界处进行定义，以确保总质量守恒。假设p代表密度函数，那么z∞-∞p（x，τ）dx=1，τ>0，henceZ∞-∞τpdx=Z∞-∞h类x个σp-x（up）idx=0。假设[xmin，xmax]选择得足够宽，上述条件可近似为x个σp- （up）x=xmaxx=xmin=0，反映了间隔[xmin，xmax]上的总流量为零的事实。如上所述，对于某些系数函数的选择，空间域自然受到限制。例如，如果thePDE（2.8）源于非负过程，则xminca应设置为零。上述无flux边界条件仍然适用于自然限制域。从理论上讲，可能在其中一个边界处存在正flux，而在另一个边界处存在完全相同的负flux。然而，由于该解表示密度函数，因此更现实的做法是，在每个边界处都没有质量进出。

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kedemingshi

2022-5-26 23:23:06

有鉴于此，我们假设以下边界条件成立：x个σp- （up）x=xmin=0，（2.13）x个σp- （up）x=xmax=0。第一个条件的数值等价物是，x=x最小值时的flux为零，即f（P，τ）≡ f0.5（P，τ）=0。这可以通过创建重影点x=x来实现-X并使用（2.13）通过σP（τ）确定重影点处σP（τ）的值-σP（τ）2x个- uP（τ）=0，其中我们利用了单元平均值形成点值的二阶近似值这一事实。转向（2.11），我们定义了不同的流量fd，0.5at xasfd，0.5（P，τ）=-σP（τ）-σP（τ）2x=-uP（τ）。由于xis是第一个单元格的左边界，因此从前倾部分开始的边界x上的flux（见（2.10））可以近似为fa，0.5=uP（τ）。将这些表达式插入（2.9）中，我们得到p（τ）=-f1.5（P，τ）x+x=-f1.5（P，τ）x、（2.14）可以类似地处理xmax处的边界条件，以获得pm（τ）=fm-0.5（P，τ）xm。（2.15）通过以这种方式执行边界条件的离散化，可以得出f0.5（P，τ）=fm+0.5（P，τ），并且我们确保质量在数值格式中守恒。结合（2.12）、（2.14）和（2.15），我们可以看到，对于给定矩阵A（τ），对于τ>0，总离散化可以写成ODEP（τ）=A（τ）P（τ）（2.16）的系统。由于Pi（τ）代表细胞平均值，因此很自然地定义初始向量asPi（0）=xi+xi+1if X∈ 【xi】-0.5，xi+0.5]，否则为0。一般来说，常微分方程组（2.16）的精确解不能用解析方法计算，只能依靠数值方法来近似。由于上述离散化往往导致Stiff半离散系统，因此广泛考虑了合适的隐式时间步进格式，如Crank–Nicolson格式，参见示例【29】。2.3数值试验在本小节中，通过考虑两个实际示例来测试FV离散化的性能。

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2022-5-26 23:23:09

作为第一个示例，考虑SDEdSτ=（rd- rf）Sτdτ+σBSSτdWτ，σBS>0，对应于经典的Black-Scholes模型。然后，准确地知道基础密度，并由p（s，τ）=σBS给出√τφ日志（秒）- （rd- 射频-σBS）τσBS√τs、对于s>0，τ>0，（2.17），其中φ（x）是标准正态分布随机变量的密度函数。（2.17）中的密度函数p（s，τ）满足PDEτp=sσBSsp-s（（rd- rf）sp），对于s，τ>0，p（s，0）=δ（s-S）。该PDE的形式为（2.8），具有空间域的自然限制。请注意，对于数值实验，我们没有应用第1节中的对数变换来获得非常数系数，这使得问题更具挑战性。首先，空间域被截断为[Smin，Smax]=[0，30S]，我们通过使用统一网格的sinh变换定义非统一网格Smin=s<·····<Smax，参见[14]。图1显示了S=100、m=50和S=0到S=5的值的空间网格，以说明点S=S周围较小的网格宽度。应用第2.2小节中的FV离散化，然后得出精确值P（si，τ）的近似值Pi（τ）。s0 100 200 300 400 500图1：Black–Scholes示例中s=Sf周围的非均匀网格图，实际值s=100，m=50。当试图确定数值方法相对于参考解的性能时，重要的是要注意计算值的计算环境，并了解对比较的影响。我们的计算采用64位IEEE浮点算法。由于前向Kolmogorov方程的解是一个概率密度函数，因此解的大小在计算域上变化很大。

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mingdashike22

2022-5-26 23:23:12

这对于初始条件（Dirac delta）尤其如此，对于具有可达到边界的自然有界随机过程，通常情况下，对于0<α的c.f.theSLV模型（1.1），情况也是如此≤ 1/2。由于IEEE floating point有固定长度尾数，因此密度函数无法在整个域内统一表示为高绝对精度。在密度函数较大的地区，只能达到较高的相对精度（正确的位数）。此外，由于数值解是通过隐式时间步进获得的，因此在精确解较小的区域，我们不应期望数值密度具有较高的相对精度。这是因为在求解线性系统时，我们将许多不同量级的项组合在一起，然后将它们相加，这在IEEE算法中会导致相对精度的损失。因此，在比较数值解和参考解时，我们采用了一种混合绝对相对误差度量：当参考解大于1时，我们使用相对误差；如果参考解小于1，则使用绝对误差；我们取整个域的最大误差值。更准确地说，让i（米）=p（si，T）-Pi（T）p（si，T）如果p（si，T）>1，| p（si，T）- Pi（T）|其他。总混合空间误差由以下公式确定：（m） =最大值1≤我≤m级i（m）。1的值有点任意。然而，只要交叉值不太小，结果对交叉值就不太敏感。在实际实验中，通过采用具有大量步长的Crank–Nicolson时间步进方案来近似Pi（T）值，使得时间离散误差可以忽略不计。在图2的左图中，显示了相关情况下的总混合空间误差，其中rd=0.03，rf=0.01，σBS=0.2，T=1，空间网格点的数量m={50，100，…，1000}。

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2022-5-26 23:23:15

相应的数值解形式=200如图2的右图所示。收敛图清楚地表明，对于当前的初边值问题，theFV离散化是二阶收敛的。作为第二个例子，我们考虑Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程，参见[3]，dVτ=κ（η- Vτ）dτ+ξpVτdWτ，其中κ、η、ξ是严格的正参数。相应的密度函数由，seee给出。g、 [3]，p（v，τ）=ce-u-u（uu）q/2Iq（2√uu），（2.18），其中c=2κξ（1-e-κτ），u=cVe-κτ，u=cv，q=2κηξ- 1,1/m10-310-210-1总体混合空间误差10-710-610-510-4 FV模式的收敛性0 50 100 150 200PN00.0050.010.0150.02数值密度图2：1D Black-Scholes模型内的收敛结果。参数值arerd=0.03，rf=0.01，σBS=0.2，T=1。v0 0.1 0.2图3：CIR示例中v=0和v=v周围的非均匀网格图，实际值v=0.0625，m=50。Iq（·）是第一类q阶的修正贝塞尔函数。请注意，q的值与所谓的费勒条件直接相关，即Vτ=0是可附加的。密度函数（2.18）满足正向Kolmogorov方程τp=vξvp-v（κ（η- v） p），（2.19）对于v，τ>0，其中p（v，0）=δ（v- 五）。很容易看出，如果伐木条件被违反，即如果q<0，则（2.18）中的密度在v=0时没有定义，并且随着v趋于零，密度函数趋于一致。此外，在v=0左右，PDE（2.19）是强对流占优的，这对数值离散化方法来说非常具有挑战性。域被截断为[Vmin，Vmax]=[0，15]，非均匀网格0=v<v<··<vm=Vmaxis，通过使用均匀底层网格的sinh变换定义。

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2022-5-26 23:23:19

空间网格如图3所示，V=0.0625、m=50和V=0到V=0.2的值用于净化V=0和V=V周围的较小网格宽度。之后应用FV离散化，从而得出近似值Pj（T），（1≤ j≤ m）。回想一下，如果q<0，则密度函数趋向于完整，因为v趋向于零，而在v=0时，没有定义精确的密度函数。通过增加空间网格点m的数量，第二个网格点v的值结束为零，并且很难充分比较p（v，T）和p（T）之间的差异。鉴于此，我们选择在相似的空间域上计算误差。如果空间网格点m的总数为50，则设Vlow为最小的非零网格点，即点v。然后，我们用Maxj定义总的混合空间误差≤j≤m级j（m），其中，对于给定的m，jis是最低指数，使得vj≥ 沃兰德j（米）=p（vj，T）-Pj（T）p（vj，T）如果p（vj，T）>1，| p（vj，T）- Pj（T）|其他。1/m10-310-210-1总体混合空间误差10-510-410-310-210-1 FV模式的收敛0.2 0.4 0.6 0.8 1PN012345数值密度图4：CIR模型内的收敛结果。参数由集合A给出。近似值Pj（T）是通过考虑大量时间步长来确定的，因此时间离散化误差可以忽略不计。请注意，确定Vlow的选择m=50并不重要。只要通过实验中考虑的最粗网格之一定义VLOW，数值实验的结论基本不变。对于实际实验，我们考虑了两组参数：κηξVTSet A 5 0.16 0.9 0.0625 0.25 set B 1.15 0.0348 0.39 0.0348 0.25这些参数集取自[7]，也用于[26]。对于集合A，q=0.98，方差过程保持严格正。对于集合B，我们有q=-可达到0.47和Vτ=0。

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2022-5-26 23:23:22

在图4和图5的左图中，分别显示了集合A和集合B的参数以及空间网格点的数量m={50，100，…，1000}的总混合空间误差。在右图中，m=200时显示了相应的数值解。收敛图表明，对于当前的初边值问题，FV离散化是收敛的。其他实验表明，如果满足Feller条件，FV离散化是二阶收敛的。如果q<0，收敛阶可以降到一阶。此外，所有实验都证实，即使严重违反伐木条件，总数值质量（2.6）始终保持等于1。2.4二维前向Kolmogorov方程在本小节中，一维情况下的FV离散化用于确定一般二维前向Kolmogorov方程的空间离散化（2.1）。假设空间域被截断为[xmin，xmax]×[ymin，ymax]，xd方向上的空间网格点（分别为y方向）由xmin=x<x<…<xm=xmax，分别为ymin=y<y<…<ym=ymax。允许xi=xi- xi-1和yj=yj- yj公司-1be空间网格宽度，其中x=xm+1=y=ym+1=0，确定体积Ohmi、 j：=[xi-0.5，xi+0.5]×[yj-0.5，yj+0.5]，其中xi±0.5，yj±0.5的定义与一维情况类似。1/m10-310-210-1总体混合空间误差10-510-410-310-210-1 FV模式的收敛0.2 0.4 0.6 0.8 1PN0102030数值密度图5：CIR模型内的收敛结果。参数由集合B给出。我们现在可以考虑由pi，j（τ）定义的单元平均值、体积平均值、pi，j（τ）的二维等效值=|Ohmi、 j | ZOhmi、 jp（x，y，τ）dxdy，带|Ohmi、 j |=（xi+0.5）-xi-0.5）（yj+0.5-yj公司-0.5）相应体积的面积。

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2022-5-26 23:23:27

volumeaverage pi，j（τ）再次是p（xi，yj，τ）的二阶近似值，前提是底层网格是平滑的，并且是通过FV离散化近似的量。已经证实|Ohmi、 j|τpi，j（τ）=Zyj+0.5yj-0.5x个σp- upx=xi+0.5x=xi-0.5dy（2.20a）+Zxi+0.5xi-0.5yσp- upy=yj+0.5y=yj-0.5dx（2.20b）+h[ρσσp]| x=xi+0.5x=xi-0.5iy=yj+0.5y=yj-0.5，（2.20c），二维离散化基于近似值|Ohmi、 j|τpi，j（τ）≈x个σp- upx=xi+0.5x=xi-0.5y=yjyj+yj+1（2.21a）+yσp- upy=yj+0.5y=yj-0.5x=xixi+xi+1（2.21b）+h[ρσσp]| x=xi+0.5x=xi-0.5iy=yj+0.5y=yj-0.5。（2.21c）方程式（2.20）包括几个与第2.1和2.2小节中的flux项类似的flux项。它反映了一个事实，即p在体积上的总积分仅因体积边界上的流体差异而变化。这与（2.3）的一维解释完全类似。如果空间域边界上的总flux为零，即if0=Zymaxyminx个σp- upx=xmaxx=xmindy+Zxmaxxminyσp- upy=ymaxy=ymindx+[ρσσp]| x=xmaxx=xminy=ymaxy=ymin，那么整个区域上p的总积分在时间上是常数。设Pi，j（τ）表示精确值Pi，j（τ）的近似值，用P（τ）表示m×mmatrix，条目为Pi，j（τ）和letP（τ）=vec[P（τ）]，其中vec[·]表示通过将任何给定矩阵的后续列置于彼此下方而将其转化为向量的运算符。粗体符号的引入只是为了表示近似的矩阵形式和向量形式之间的细微差别。

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2022-5-26 23:23:31

与第2.1和2.2小节中的一维离散化类似，我们通过引入数值fluxespi，j（τ）=[fi-0.5，j（P，τ）- fi+0.5，j（P，τ）]xi+xi+1（2.22a）+[fi，j-0.5（P，τ）- fi，j+0.5（P，τ）]yj+yj+1（2.22b）+Xi，j=0(-1） i+jfm，i-0.5+i，j-0.5+jxi+xi+1yj+yj+1，（2.22c）用于1≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、为了便于表述，表示u1，i±0.5，j=u（xi±0.5，yj，τ），σ1，i，j=σ（xi，yj，τ），u2，i，j±0.5=u（xi，yj±0.5，τ），σ2，i，j=σ（xi，yj，τ），σ1，i±0.5，j±0.5=σ（xi±0.5，yj±0.5，τ），σ2，i±0.5，j±0.5=σ（xi±0.5，yj±0.5，τ）。由于（2.21）中流体的实际形式与第2.4节中流体的形式完全相似，我们将数值流体定义为fi±0.5，j（P，τ）=fa，i±0.5，j（P，τ）+fd，i±0.5，j（P，τ），带fa，i-0.5，j（P，τ）=u1，i-0.5，jPi-1，j（τ）+π，j（τ）≈ u1，i-0.5，jp（xi-0.5，yj，τ），和fd，i-0.5，j（P，τ）=σ1，i-1，jPi-1，j（τ）-σ1，i，jPi，j（τ）xi≈ -x个σ（x，yj，τ）p（x，yj，τ）|x=xi-0.5，对于2≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m。

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2022-5-26 23:23:35

Moreoverfi，j±0.5（P，τ）=fa，i，j±0.5（P，τ）+fd，i，j±0.5（P，τ），其中fa，i，j-0.5（P，τ）=u2，i，j-0.5Pi，j-1（τ）+π，j（τ）≈ u2，i，j-0.5p（xi，yj-0.5，τ），和FD，i，j-0.5（P，τ）=σ2，i，j-1Pi，j-1（τ）-σ2，i，jPi，j（τ）yj公司≈ -yσ（xi，y，τ）p（xi，y，τ）|y=yj-0.5，对于1≤ 我≤ m、 2≤ j≤ 最后，对于混合空间导数，我们定义为-0.5，j-0.5（P，τ）=ρσ1，i-0.5，j-0.5σ2，i-0.5，j-0.5Pi-1，j-1（τ）+π-1，j（τ）+π，j-1（τ）+π，j（τ）≈ ρσ（xi-0.5，yj-0.5，τ）σ（xi）-0.5，yj-0.5，τ）p（xi）-0.5，yj-0.5，τ），（2.23）对于1≤ 我≤ m+1，1≤ j≤ m+1，其中假设P0，j（τ）：=P1，j（τ），Pm+1，j（τ）：=Pm，j（τ），Pi，0（τ）：=Pi，1（τ），Pi，m+1（τ）：=Pi，m（τ），（2.24），使得一般公式在空间域的边界处自然扩展。数值flux项（2.23）可以看作是先在x方向，然后在y方向对前倾部分进行离散化的结果。半离散化通过定义边界条件和截断域边界处的离散化来完成。因为p又是一个密度函数，所以z∞-∞Z∞-∞τpdxdy=0。插入PDE（2.1）的右侧，可以将其重写为0=Z∞-∞Z∞-∞h类x个σp-x（up）idxdy+Z∞-∞Z∞-∞h类yσp-y（up）idydx+Z∞-∞Z∞-∞x个y（ρσσp）dxdy。与一维情况类似，假设边界的选择充分远离点值（X，Y），或者通过空间域的自然截断来定义边界。然后，上述条件近似为0=Zymaxyminx个σp- upx=xmaxx=xmindy+Zxmaxxminhyσp- upiy=ymaxy=ymindx+zymaxyminzxmaxminx个y（ρσσp）dxdy。（2.25）注意，通过假设ρσσp | x=xmin，y=ymin=ρσσp | x=xmin，y=ymax=ρσσp | x=xmax，y=ymin=ρσp | x=xmax，y=ymax=0，（2.26）与混合导数项相对应的最后一个积分始终等于零。接下来，我们概括了边界上没有fluxes的想法，即。

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2022-5-26 23:23:39

在边界上没有任何物质进入或流出。有鉴于此，假设应满足以下边界条件：x个σp- （up）x=xmin=0，表示ymin≤ y≤ ymax，x个σp- （up）x=xmax=0，对于ymin≤ y≤ ymax，hyσp- （up）iy=ymin=0，对于xmin≤ x个≤ X最大，hyσp- （up）iy=ymax=0，对于xmin≤ x个≤ X最大值。通过将该边界条件与假设（2.26）相结合，可以得出满足条件（2.25）。对于截断域边界处（2.21a）和（2.21b）中一维流体的离散化，推广了一维情况下的方法。通过对边界条件进行类似的离散化，最终得到的数值flux在边界处为零，即f0.5，j（P，τ）=fm+0.5，j（P，τ）=fi，0.5（P，τ）=fi，m+0.5（P，τ）=0，对于1≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、混合导数项产生的流量，见（2.21c），在边界处使用（2.23）和（2.24）进行离散。很容易验证，如果0=ρσ1,1,1σ2,1,1P1,1（τ）=ρσ1,1，mσ2,1，mP1，m（τ）=ρσ1，m，1σ2，m，1Pm，1（τ）=ρσ1，m，mσ2，m，mPm，m（τ），这是（2.26）的半离散版本，那么空间域边界上的总数值通量等于零，总数值质量在时间上保持不变，即mXi=1mXj=1Pi，j（τ）|Ohmi、 j |=常数，对于τ≥ 如上所述，一些过程是自然有界的，例如，第1节中的一般方差过程永远不会变为负。例如，假设与PDE（2.1）中的y变量相对应的过程从下面开始有界。那么，yminis自然等于这个下边界。此外，该下边界是可以达到的（参见第1节中α<1/2的方差过程），概率质量可以叠加在该边界上。这可能会导致该边界附近混合导数项近似的不稳定性。

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2022-5-26 23:23:42

为了解决这一问题，例如，如果可以获得边界ymin，则y方向的中心FV方案用于ymin处的“混合导数fluxes”（2.21c+yare被First orderforward方案取代。更准确地说，上面的fm，i±0.5,1.5（P，τ）被fm，i代替-0.5,1.5（P，τ）=ρσ1，i-0.5,1.5σ2，i-0.5,1.5Pi-1,2（τ）+π，2（τ），对于1≤ 我≤ m+1，其中P0,2（τ）：=P1,2（τ），Pm+1,2（τ）：=Pm，2（τ）。总体空间离散化（2.22）产生了一个大型微分方程组。通过使用Kronecker积，该微分方程组可以写成一个方程组，其中，对于τ>0且给定矩阵a（τ），desp（τ）=a（τ）P（τ），（2.27）。与一维情况类似，由于值spi，j（τ）可以被视为单元平均值p（xi，yj，τ）的近似值，因此很自然地将初始向量定义为p（0）=vec[p（0）]，其中pi，j（0）=|Ohmi、 j | if（X，V）∈ Ohmi、 j，其他0。请注意，矩阵A可以拆分为asA=A+A+A，其中A分别表示第一、第二个空间维度中空间导数的离散化。矩阵表示（2.1）中混合空间导数项的离散化。可以很容易地验证，Ais三对角、Ais基本三对角和AHA通常是每行和每列九个非零元素。在第3节中，该结构用于对一般常微分方程系统进行有效的时间离散化（2.27）。s10 100 200 300 400 500S201002000300400500图6:Black–Scholes示例中（S1,0，S2,0）周围非均匀网格的图示和实际值S1,0=S2,0=100，m=m=50.2.5数值试验在本节中，2D FV离散化的性能针对两个实际示例进行了测试。

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mingdashike22

2022-5-26 23:23:46

在第一个实验中，我们考虑了可以用SDEs系统描述的二维Black-Scholes模型dS1，τ=rS1，τdτ+σ1，BSS1，τdW（1）τ，dS2，τ=rS2，τdτ+σ2，BSS2，τdW（2）τ，dW（1）τ·dW（2）τ=ρdτ，-1.≤ ρ≤ 1和r，σ1，BS，σ2，BS严格正常数。相应的正向Kolmogorov方程如下所示：τp=sσ1，BSsp+ss（ρσ1，BSσ2，BSssp）+sσ2，BSsp-s（rsp）-s（rsp），对于s，s，τ>0且p（s，s，0）=δ（s- S1,0）δ（s- S2,0），对于给定值S1,0，S2,0。精确解在解析上是已知的，可以写成asp（s，s，τ）=n（log（s/S1,0），log（s/S2,0），τ）ss，对于s>0，s>0，τ>0，此时n（x，y，τ）是二维正态分布随机变量的密度函数，其均值μ和协方差矩阵∑由μ给出=（r）-σ1，BS）τ（r-σ2，BS）τ, ∑=σ1，BSτρσ1，BSσ2，BSτρσ1，BSσ2，BSτσ2，BSτ.与第2.3小节中一维数值实验中的域截断类似，空间域被截断为[S1，min，S1，max]×[S2，min，S2，max]=[0，30S1,0]×[0，30S2,0]。笛卡尔空间网格（s1，i，s2，j），用于1≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、通过在两个空间维度上考虑第2.3小节中的空间网格来构建。图6中，对于S1,0=S1,0=100和m=m=50，该空间网格在区域[0，5S1,0]×[0，5S2,0]内显示。第2.4小节的FV离散化定义了FV模式的近似值1/m110-310-210-1总体混合空间误差10-710-610-510-4图7：2D Black-Scholes模型内的收敛结果。

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2022-5-26 23:23:49

参数值为r=0.03，σ1，BS=0.2，σ2，BS=0.25，ρ=-0.7，T=1。Pi，j（τ）到p（s1，i，s2，j，τ），我们计算总混合空间误差max1≤我≤m、 1个≤j≤m级i、 j（m），其中i、 j（米）=p（s1，i，s2，j，T）-Pi，j（T）p（s1，i，s2，j，T）如果p（s1，i，s2，j，T）>1，| p（s1，i，s2，j，T）- Pi，j（T）| else。通过应用Hundsdorfer–Verwer时间步进法（见第3节）和大量时间步进计算值Pi，j（T），从而使时间离散化误差可以忽略不计。图7显示了实际参数值Sr=0.03，σ1，BS=0.2，σ2，BS=0.25，ρ=-0.7，T=1，对于空间网格点的数量SM=m={50，100，…，500}。收敛图表明，对于当前的初边值问题，FV离散化是二阶收敛的。对于第二个例子，我们考虑了流行的赫斯顿模型[13]，即带有ψ（v）的SV模型（1.3）=√v和α=1/2。基本密度函数满足正向Kolmogorovequationτp=x个副总裁+x个v（ρξvp）+vξvp-x个（rd- 射频-v） p-v（κ（η- v） p），（2.28）表示x∈ R、 v>0，τ>0，初始条件p（x，v，0）=δ（x）δ（v- 五）其中X=0，Vis给定。据我们所知，文献中没有密度函数p满足（2.28）的分析解。为了测试FV离散化的性能，我们使用[7]中描述的另一种离散化方法计算参考解。后一种方法基于重写p（x，v，τ）=p（x，τ| VSV，τ=v）p（v，τ），（2.29），其中p（v，τ）表示波动过程的一维密度，p（x，τ| VSV，τ=v）表示给定方差值VSV，τ=v的xτ的条件密度。

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2022-5-26 23:23:54

在[7]中，与p（x，τ| VSV，τ=v）对应的特征函数ψ（ω| VSV，τ=v）=E[exp（iωXSV，τ）| VSV，τ=v]以半解析形式给出，并指出p（v，τ）由（2.18）给出。通过使用COS方法[6]，我们近似条件密度函数p（x，τ| VSV，τ=v）和参考溶液前缀，然后通过（2.29）定义。x-2-1 0 1 2v00.050.10.150.2图8：赫斯顿示例中（x，V）周围非均匀网格的图示，以及实际值x=0，V=0.0625，m=2m=50。在数值实验中，我们选择将x方向的域截断为[x-对数（30），X+对数（30）]。与CIR示例类似，v方向的空域被截断为[0，15]。我们考虑空间网格-log（30）=x<x<···<xm=log（30），0=v<v<···<vm=15，m=2m，这与[10]中描述的相似，因此存在（xi，vj）=（x，v）的指示i，jsuch。在图8中，显示了X=0、V=0.0625和样本值m=2m=50的空间网格。然后应用FV离散化得到p（xi，vj，τ）的近似值Pi，j（τ）。根据方程式（2.29）和CIR示例，如果q=2κηξ-1<0，则密度函数可能趋于一致，因为v趋于零，并且在v=0时，没有定义精确的密度。与第2.3小节中的注释类似，可以很容易地看出，对p（xi，v，T）和Pi，2（T）之间的差异进行充分比较，然后很难增加m的值。因此，在类似的空间域上计算误差。如果v方向上的网格点总数为m=50，则让Vlow再次成为v方向上最小的非零网格点。

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2022-5-26 23:23:57

对于给定的m，让jbe为最小索引，使得vj≥ Vlow并用max1定义总混合空间误差≤我≤m、 j≤j≤m级i、 j（m），其中i、 j（米）=pref（xi、vj、T）-Pi，j（T）pref（xi，vj，T）如果pref（xi，vj，T）>1，| pref（xi，vj，T）- Pi，j（T）| else。通过应用Hundsdorfer–Verwer时间步长法（见第3节），以较小的时间步长再次近似值Pi、j（T），从而使时间离散化误差可以忽略不计。对于实际的数值实验，我们考虑第2.3小节中使用的两组参数的扩展。扩展也取自[7]，在[26]中使用，并由κηξρrdrfXVTSet C 5 0.16 0.9 0.1 0.1 0 0 0 0 0 0.0625 0.25集D 1.15 0.0348 0.39-0.64 0.04 0 0 0 0.0348 0.251/m1=1/（2m2）10-310-210-1总混合空间错误10-310-210-1100 FV模式的收敛210xNumerical density-1-200.10.2v0.30.4051015200.5NFigure 9：HEST内的收敛结果在模型上。参数由集合C.1/m1=1/（2m2）10-310-210-1 FV模式的总体混合空间误差10-210-1100101收敛0.50xNumerical density-0.500.10.2v0.30.420025010015000.5nfigure 10：Heston模型内的收敛结果给出。参数由集合D给出。回想一下，对于集合C，q=0.98，对于集合D，q=-0.47。在图9和图10的左图中，分别显示了SetC参数、集合D和空间网格点数量m=2m={50，100，…，500}的总混合空间误差。在右图中，显示了m=2m=200时的相应数值解。收敛图表明，对于当前的初边值问题，FV离散是收敛的。其他实验再次表明，如果满足Feller条件，FV离散化是二阶收敛的。如果q<0，收敛阶可以降到一阶。

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2022-5-26 23:24:00

请注意，对于不同的VLOW值，只要通过实验中考虑的最粗网格之一进行定义，数值实验的结论基本上不会改变。二维测试还证实，即使严重违反Feller条件，总数值质量确实始终保持为1。3 ADI方法的时间离散通常情况下，用FV方法对含时对流扩散方程的初边值问题进行空间离散会导致W（τ）=F（τ，W（τ））（0≤ τ≤ T），W（0）=W，给定向量值函数F：[0，T]×Rm→ Rmand给定向量W∈ rm其中m是卷数。当函数F源于多维偏微分方程的半离散化时，经典的隐式时间步进格式，如Crank-Nicolson格式，往往非常耗时。对于此类半离散系统的有效时间离散化，广泛考虑了交替方向隐式（ADI）类型的算子分裂格式。在过去几十年中，针对对流扩散方程中存在混合空间导数的情况，研究了几种ADI格式。特别是在金融数学领域，混合导数项无处不在。它们产生于潜在随机过程之间的相关性，参见一般SLV模型（1.1）。在本文中，我们考虑了最先进的Hundsdorfer–Verwer（HV）方案[19，31]，该方案属于ADI类型。

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2022-5-26 23:24:05

假设半离散算子F源于二维对流扩散方程的半离散化，并且假设F可以分解为F（τ，w）=F（τ，w）+F（τ，w）+F（τ，w）+F（τ，w）（0≤ τ≤ T、 w∈ Rm），其中Fre表示混合空间导数项，F分别表示第一个和第二个空间方向上的所有空间导数项。设θ>0为给定参数，N≥ 1时间步数和τn=nτ带τ=T/N。然后，HV方案将近似值Wnto W（τN）依次定义为N=1、2、3、，N到Y=Wn-1+τF（τn-1，Wn-1），Yl=Yl-1+θτ（Fl（τn，Yl）- Fl（τn-1，Wn-1）），l=1，2，eY=Y+τ（F（τn，Y）- F（τn-1，Wn-1）），eYl=eYl-1+θτ（Fl（τn，eYl）- Fl（τn，Y）），l=1，2，Wn=eY。（3.1）HV方案（3.1）从一个显式Euler预测器阶段开始，然后是两个隐式但单向的校正阶段。然后执行第二个显式阶段，然后再执行两个隐式单向校正器阶段。包含混合空间导数项的算子F总是以显式方式处理。隐式阶段仅处理一个空间维度中的空间导数。与经典的非分裂隐式时间步进方法相比，这可以带来一个主要的计算优势。最近，与具有混合导数项的多维对流扩散方程相关，已推导出HV格式的各种正稳定性结果，如[15、16、17]。随后，证明了[18]，在一些自然稳定性和光滑性假设下，HV格式无论何时应用于具有混合导数项的半离散二维对流扩散方程，都是关于时间步长的二阶收敛的。

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