在本节中，FV-ADI方法与内部迭代结合使用，以近似相应的杠杆函数和密度函数。为了使用FV-ADI离散化，首先必须定义空间和时间网格。由于正向Kolmogorov方程的初始函数在spotvalue（X，V）周围高度非光滑，并且感兴趣的区域也位于该值周围，因此很自然地考虑集中在该值（X，V）周围的非均匀笛卡尔网格。如果从SLV模型中选择的参数α小于或等于1/2，则可以达到自然边界Vτ=0，并且概率质量在边界V=0处累积。然后，自然需要在该边界处的v方向上附加较小的网格宽度。非uniformgrids定义了体积平均值通过FV方案近似的体积。分别用m表示x方向和v方向上的空间网格点数量。我们考虑空间网格xmin=x<x<···<xm=xmax，0=v<v<··<vm=Vmax，这与文献[10]中描述的相似，因此存在指数i，jsuch（xi，vj）=（x，v）。表示其相应的网格宽度xivjand定义卷Ohmi、 j=【xi】-0.5，xi+0.5]×[vj-0.5，vj+0.5]，其中值xi-0.5，vj-0.5的定义与第2节中的定义类似。空间网格是均匀底层网格连续变换的结果，可以表明相关网格是光滑的。选择的值xmin、xmax、Vmax应远离点值，以便应用第2节中的边界条件。对于（X，V）=（0，0.0348）的情况，图8中已经显示了小样本值m=2m=50的空间网格示例。

对于时间离散化，我们始终考虑均匀网格τn=nτ，其中步长为τ=T/N，N表示总时间步数。一旦确定了空间网格和相应的体积，将应用第2节中的FV离散化。这就产生了一个普通微分方程sp（τ）=a（τ）P（τ）=（a（τ）+a（τ）+a（τ））P（τ）（0≤ τ≤ T），（4.1），给定矩阵A（τ）、A（τ）、A（τ）和初始函数定义viaPi，j（0）=xi-1个+xivj公司-1个+vjif（i，j）=（i，j），其他0。然而，矩阵A，A包含未知函数σs，表示空间网格点。Pi（τ）可与数值积分技术结合使用，以近似条件期望值（1.6），从而获得相关杠杆函数。我们选择使用梯形规则进行数值积分，并确定近似值：ei（τ）=Pmj=1ψ（vj）Pi，j（τ）vj公司+vj+1Pmj=1Pi，j（τ）vj公司+vj+1≈ E[ψ（Vτ）kXτ=xi]，（4.2），其中我们回顾到v=vm+1=0。将近似值（4.2）插入到（4.1）中，得到一个非线性常微分方程组。作为最后一步，ODE系统（4.1）使用第3节中的时间步进模式和内部迭代进行时间离散，以处理非线性，参见【28】。通过应用HVscheme，条件期望（4.2）自然地被其完全离散的版本sen代替，i=Pmj=1ψ（vj）Pn，i，jvj公司+vj+1Pmj=1Pn，i，jvj公司+vj+1，（4.3），我们通过σSLV（xi，τn）=σLV（xi，τn）pEn，即（4.4）定义杠杆函数σSLVat空间和时间网格。很容易看出，在初始时间水平，即n=0时，表达式（4.3）仅在i=i时定义。为了使校准程序可行，我们将0，i=ψ（V）设为1≤ 我≤ m、 对于严格正的时间水平，即n>0时，精确密度p（xi，vj，τn）始终为非负。

然而，通过执行空间和时间离散化，一些值Pn、i、jbecome（稍微）可能为负值。为了防止数值解出现不良行为，校准程序中的表达式（4.3）替换为en，i=Pmj=1ψ（vj）| Pn，i，j|vj公司+vj+1Pmj=1 | Pn，i，j|vj公司+vj+1用于1≤ 我≤ m、 n>0。（4.5）理论上，（4.5）的分母（因此也是提名者）可能等于零，并且完全离散的条件期望是不确定的。在这种情况下，我们假设条件期望在时间上是局部常数，并且设置为En，i=En-1，i.让Q≥ 我是一个有天赋的人。对于SLV模型到LV模型的实际校准，我们采用以下数值程序。对于n为1到n，dolet Pn=Pn-1b是P（τn）的初始近似值；对于q为1到q do（a），将条件期望E[ψ（Vτn）| Xτn=xi]近似为（4.5）；（b） 用公式（4.4）定义x方向网格上的σSLV（·，τn）；（c） 通过对τn中的（4.1）执行数字时间步长来更新Pn-1至τn；无论何时从τn开始的时间步结束-1对于τn，将HV格式替换为隐式Euler格式的两个半时间步骤，首先对τn的子步骤执行上述内部迭代-1至τn-1/2=τn-1+τ/2，得出P（τn）的近似值-τ/2）和σSLV（·，τn-τ/2）。接下来，对τn的子步执行内部迭代-τ/2到τn，得出P（τn）和σSLV（·，τn）的近似值。完成上述时间步进和迭代程序后，在x方向的网格上用σSLV（·，τ）替换σSLV（·，0）的原始近似值。这似乎更现实，因为最初的近似值实际上仅对indexi=i有效。图11：源自实际欧元/美元普通期权数据的局部波动函数（截至2016年3月2日的市场数据）。

即期汇率S=1.08815.5数值试验在本节中，校准程序的有效性通过将其应用于实际示例来说明。在此，我们选择考虑流行且具有挑战性的基于Heston的SLV模型，即带有ψ（v）的SLV模型（1.1）=√v和α=1/2，用于描述欧元/美元汇率的演变。如引言所述，在金融实践中，通常首先确定基本SV模型的SV参数，并定义LV函数，以便LV模型再现欧洲看涨期权和看跌期权的已知市场价格。之后，校准程序旨在将SLV模型与其基础LV模型相匹配，即获得相等值（1.4）。在本文中，我们假设SV参数和LV函数已知，然后应用第4节中的校准程序。通过比较LV模型和SLV模型的密度以及相应的吸光度值，说明了该性能。对于实际实验，我们考虑以下SV参数集：κηξρT VSet E 5 0.16 0.9 0.1 0.25 0.0625 set F 1.15 0.0348 0.39-0.64 0.25 0.0348套G 1.50 0.0154 0.24-0.11 1 0.0154集合E和F与集合C和D中的SV参数相对应，并取自【7】。集合G取自【2】，对应于相关到期日的欧元/美元汇率（截至2008年9月16日的市场数据）。对于集合E，它认为q=2κηξ- 1=0.98，过程Vτ严格为正。对于集合F和集合G，它认为q=-分别为0.47，q=-0.20，使得Vτ=0是可以达到的。LV模型完全由LV函数、无风险利率和即期值S决定。我们假设无风险利率为byrd=0.02，rf=0.01，LV函数如图11所示。

相关LV函数源自实际的欧元/美元普通期权数据（截至2016年3月2日的市场数据），并通过使用SSVI类型的隐含波动率插值方法构建[8]。相应的即期汇率为S=1.08815。x-3-2-1 0 1 2 3PLV，LV模型内的N02468密度函数，T=0.25x-3-2-1 0 1 2 3PLV，LV模型内的N01234密度函数，T=1图12：通过应用第2.2小节中的FV离散化（m=400），对密度函数pLV（x，0.25）（左）和pLV（x，1）（右）进行近似。注意，即使给出了LV函数，通常也没有密度函数pLVor选项值的分析表达式。然而，众所周知，密度函数满足一维前向Kolmogorov方程τpLV=x个σLVpLV-x个（rd- 射频-σLV）pLV,对于x∈ R、 τ>0。通过应用第2.2小节中描述的FV离散化，可以确定精确密度值PLV（xi，τ）的近似值PLV，i（τ）。然后，通过应用合适的时间步进方法，获得pLV（xi，T）的完全离散近似值pLV，N，iof。在图12中，后一种近似值显示为τ=0.25，分别为τ=1和实际值m=400。一旦规定了基础SV模型和LV模型，则可采用第4节中的校准程序。对于实际实验，我们考虑离散化参数SM=400，m=200，τ=1/200，θ=+√3，Q=2。图13显示了集合G的离散杠杆函数。为了说明校准的性能，我们首先考虑（1.4）的离散版本。更准确地说，将LV模型的离散数值密度PLV，N，If与PSLV，N，i：=mXj=1PN，i，j进行比较vj公司+vj+1，可以看作是z的完全离散近似∞p（xi，v，T）dv，在应用梯形规则进行数值积分后，在SLV模型内。

在图14的左图中，显示了三组参数中每个参数的近似值PSLV，NAR。在右图中，相应的差异PLV，N- PSLV，Nare绘制。请注意，集合E和集合F的最终时间T=0.25，集合G的最终时间T=1。从图14可以看出，完全离散的数值密度之间的差异非常小，因此校准程序表现良好。校准程序的主要目标是确定杠杆函数，使LV模型和SLV模型为非路径依赖的欧洲确定相同的公允价值。图13：杠杆函数源自校准程序，局部波动函数来自图11，SV参数来自集合G，值m=400，m=200，τ=1/200，θ=+√3，Q=2。选项。如果杠杆函数由（1.5）定义，则其适用于支付u（x），x的suchan期权的公允价值（FaV）∈ R、 到期时T thatFaV=e-rdTZ公司∞-∞pLV（x，T）u（x）dx=e-rdTZ公司∞Z∞-∞p（x，v，T）u（x）dxdv。给定近似值PLV、Nand和PN，通过应用梯形规则的数值积分，可以很容易地近似相关FaV。就SLV模型而言，可以看出，通过Pn和梯形规则定义近似FaV与通过PSLV和梯形规则定义FaV是等效的。分别用FaVLV、FaVSLV表示通过PLV、N、PSLV、N获得的近似公允值。现在，我们比较一组欧洲看涨期权的近似值，其中k=0.75S、0.8S、0.9S、S、1.1S、1.2S、1.25S。当罢工相对S增加时，欧洲看涨期权的公允价值趋于零，很难充分比较近似值。在金融实践中，欧洲看涨期权和看跌期权通常以隐含波动率的形式报价。

设σimp，LV，分别为σimp，SLV，表示与FaVLV，分别为FaVSLV对应的隐含波动率（单位%）。在以下步骤中，通过计算绝对隐含挥发率误差来测试校准程序的性能imp=|σimp，LV- σimp，SLV |。表1给出了不同SV参数集的这些误差，取相同的m、m、m值，τ、 θ，Q如上所述。稍大的值与T=1相比，impfor T=0.25可以从以下事实来解释：当到期日较低时，隐含波动率对公允价值的变化更为敏感。表1中的结果证实，校准程序运行良好。它们表明，完全离散的杠杆面确实已定义，因此SLV模型能够准确再现欧洲看涨期权的已知市场价格。6结论随机局部波动率（SLV）模型构成了描述资产价格过程的最新模型。然而，他们对基础局部波动率模型的校准非常重要。它包含非线性前向Kolmogorov方程的解。

一般情况下，SLV模型中没有分析LX-3-2-1 0 1 2 3PSLV，N02468密度函数x-3-2-1 0 1 2 3PLV，N-PSLV，N×10-4-6-4-20246校准错误集E中密度的说明。x-3-2-1 0 1 2 3PSLV，N×10-3-6-4-2024 SLV模型中密度函数x-3-2-1 0 1 2 3PLV，N-PSLV，N×10-3-6-4-2024校准错误集F.x-3-2-2中密度的说明1 0 1 2 3PSLV，N01234 SLV模型内的密度函数X-2 0 2PLV，N-PSLV，N×10-4-1-0.500.51校准误差图G中密度的图示。图14：每个参数集和值m=400，m=200的完全离散密度函数PLV，Nand PSLV的比较，τ=1/200，θ=+√3，Q=2。T=0.25套E套F T=1套GK/Sσimp，低压小鬼impσimp，LVimp0.75 19.18 0.1005 0.1208 21.94 0.00210.80 18.40 0.0212 0.0454 20.20 0.00150.90 15.01 0.0033 0.0154 16.65 0.00081.0 11.26 0.0011 0.0030 13.14 0.00041.10 11.59 0.0011 0.0153 11.38 0.00031.20 13.20 0.0009 0.0937 11.77 0.00031.25 14.03 0.0006 0.1888 12 0.0003表1：近似值的比较ED隐含波动率σimp，LV和σimp，SLVF值SM=400，m=200，τ=1/200，θ=+√3，Q=2。解决方案是可用的，并且依赖于数值方法来近似精确解。在这里，我们介绍了一种有限体积交替方向隐式方法来数值求解一般的一维和二维正向Kolmogorov方程。有限体积空间离散化不需要对偏微分方程进行变换，这在SLV模型的校准中是一个主要优势，并以自然方式处理边界条件。此外，有限体积方案保留了密度函数的总质量始终等于1的重要性质。我们对相关实际应用的数值实验证实，相关的空间离散化是收敛的。

时间离散化使用Hundsdorfer–Verwer ADI格式执行。通过将半离散系统拆分为表示不同空间维度中空间导数的不同部分，以及通过在隐式子步中仅处理一个空间维度中的空间导数，可以实现主要的计算优势。通过引入内部迭代，处理随机局部波动率模型校准过程中的非线性。数值实验表明，所提出的标定方法性能良好。校准后的随机局部波动率模型在密度函数和欧式看涨期权的隐含波动率方面几乎完全符合基础局部波动率模型。资助第一作者的工作得到了佛兰德研究基金会博士奖学金的资助。参考文献【1】L.B.G.Andersen和V.V.Piterbarg，《随机波动率模型中的矩爆炸》，金融斯托克。11（2007），第29-50页。[2] I.J.Clarke，《外汇期权定价：从业者指南》，John Wiley&Sons，2011年。[3] J.C.Cox、J.E.Ingersoll和S.A.Ross，《利率期限结构理论》，计量经济学53（1985），第385-407页。[4] B.杜皮尔，《微笑定价，风险》，1月（1994），第18-20页。[5] B.Engelmann、F.Koster和D.Oeltz，《Heston随机局部挥发模型的校准：有限体积方案》，SSRN 1823769（2012）提供。[6] F.Fang和C.W.Oosterlee，《基于Fouriercosin级数展开的欧式期权定价新方法》，SIAM J.Sci。计算机。31（2008），第826-848页。[7] F.Fang和C.W.Oosterlee，Heston模型下百慕大和barrieroption基于傅立叶的估值方法，暹罗J.金融数学。2（2011），第439-463页。[8] J.Gatheral和A.Jacquier，《无套利SVI波动率表面》，Quant。

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