混合随机局部波动的Euler格式的收敛性

2022-5-7 09:31:31

外汇市场随机汇率混合随机局部波动模型Euler格式的收敛性*马蒂厄·马里亚普拉加萨姆*克里斯托夫·赖辛格*摘要我们在外汇市场背景下研究了Heston–Cox–Ingersoll–Ross++随机局部波动率模型，并提出了一种蒙特卡罗模拟方案，该方案将随机波动率分量的完全截断欧拉方案和随机国内外短期利率与汇率的对数欧拉方案相结合。我们建立了Cox–Ingersoll–Ross过程的全截断Euler近似的指数可积性，并找到了这些指数矩的爆炸时间的下界。在完全相关结构和一组关于所谓杠杆函数的现实假设下，我们证明了汇率近似的强收敛性，并推导了一些普通期权和路径依赖期权的Monte Carlo估计的收敛性。然后，我们对一种自动消除障碍的双货币纸币进行了一系列的数值实验。关键词：赫斯顿模型、移位平方根过程、校准、蒙特卡罗模拟、指数可积性、强收敛性数学学科分类（2010）：60H35、65C05、65C30、65N21JEL分类：C15、C63、G131简介近年来，随机局部波动（SLV）模型在金融领域非常流行。它们包含随机波动性成分和局部波动性成分（称为杠杆函数），并结合了两者的优点。据雷恩说。[35]，田等人[37]和范德斯托普等人。

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2022-5-7 09:31:44

[38]与纯局部波动率（LV）或纯随机波动率（SV）模型相比，一般SLV模型允许对欧洲期权进行更好的校准，并提高定价和风险管理性能。我们之所以关注Heston SLV模型，是因为Cox–Ingersoll–Ross（CIR）方差过程因其理想的特性（如均值回归和非负性）在行业中得到了广泛应用，并且因为Semi分析公式可用于调用和放置在Heston模型下，并且可以帮助轻松校准参数。本地波动性成分可以完美校准香草期权的市场价格。同时，随机波动性成分已经提供了内置的微笑和倾斜，提供了粗略的校准，因此相对灵活的杠杆功能有助于完美的校准。为了改进外汇期权的定价和套期保值，我们在模型中引入了短期国内外短期利率。假设固定利率由于其简单性而具有吸引力，并且不会导致期权的严重错误定价*牛津大学数学研究所，牛津OX2 6GG，英国{andrei.cozma，matthieu.mariapragassam，christoph.reisinger}@Math。ox.ac.UK短期到期。然而，实证结果[40]证实，恒定利率假设不适用于长期外汇产品，利率波动的影响可能与较长期限外汇利率波动的影响同样相关。在过去的几年里，在随机波动率和利率的期权定价领域进行了大量的研究。例如，Van Haastrecht等人。

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2022-5-7 09:31:47

[40]通过纳入随机利率，将Sch¨obeland Zhu[36]的模型扩展到货币衍生品，由于过程是高斯的，该模型甚至在完全相关的情况下也受益于分析可处理性，而Ahlip和Rutkowski[1]，Grzelak和Oosterlee[18]以及Van Haastrecht和Pelsser[41]研究了Heston–2CIR/Vasicek混合模型，并得出结论，即使在驱动布朗运动的部分相关性下，完全相关结构也会产生非有效模型。此外，人们越来越感兴趣的是，用随机波动率、局部波动率和随机利率动态对模型的普通期权进行校准。例如，Guyon andLabord\'ere[20]研究了基于蒙特卡罗的校准方法，用于具有随机国内利率和离散股息的三因素SLV股票模型，而Cozma、Mariapragassam和Reisinger[11]以及Deelstra和Rayee[13]研究了具有随机国内和国外利率的四因素混合SLV模型，并提出了不同的方法来校准杠杆函数。Hambly、Mariapragassam和Reisinger[21]采取了不同的路径，并讨论了针对障碍物的双因素LV模型的校准。另一方面，本文将即期汇率定义为每单位外币的本币单位数。Cox等人[10]的模型在短期利率建模时非常流行，因为平方根（CIR）过程允许一个独特的强解，是均值回复和分析可处理的。Cox等人发现条件分布为非中心卡方分布，Broadie和Kaya[8]提出了一种基于可接受抽样的平方根过程的高效精确模拟方案。

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mingdashike22

2022-5-7 09:31:58

然而，他们的算法存在许多缺点，例如复杂性和速度不足，并且不适合为需要在大量时间点上确定汇率值的路径依赖性强的期权定价。此外，在随机局部波动模型中，基础过程之间的相关性使得很难模拟非中心卡方增量以及汇率和短期利率的相关增量（如果适用）。最近，在对短期利率建模时，CIR过程的非负性被认为不太可取。一方面，自2008年金融危机以来，各国央行大幅降低了利率，现在普遍认为利率不必为正。另一方面，如果利率降到远远低于零的水平，那么大量资金将从银行和政府债券中提取，从而严重挤压存款。因此，我们使用Brigo和Mercurio[7]的移位CIR（CIR++）过程对国内外短期利率进行建模。CIR++模型允许短期利率变为负值，并能准确地反映任何观察到的期限结构，同时保留债券、上限、互换期权和其他基本利率产品原始模型的分析可处理性。在目前的工作中，我们提出了Heston–Cox–Ingersoll–Ross++随机局部波动率（Heston–2CIR++SLV）模型来定价外汇期权。独立于相关结构，该模型是非有效的，因此无法提供欧式期权估值问题的封闭式解决方案。有限差分方法在金融领域很流行，当汇率的演变由一个复杂的随机微分方程（SDE）系统控制时，它可以归结为求解一个高维偏微分方程（PDE）。

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2022-5-7 09:32:01

由于维数灾难，这可能很难实现，因为所需的网格点数量随着维数的增加呈指数增长。Monte Carlo算法通常更受欢迎，因为它们能够轻松处理路径相关特征，并且有许多离散化方案可用，比如简单的Euler–Maruyama方案，参见Glasserman[17]。然而，这种离散化有几个缺点，例如近似过程可能会以非零概率变为负值。在实践中，当过程变为负值（称为吸收fix）时，可以将其设置为零，或将其反映在原点（称为反射fix）。Lord等人[32]对文献中迄今为止考虑的欧拉方案（包括完全截断方案）进行了概述。Kloeden和Platen[31]中关于数值模拟收敛性的常用定理要求漂移和扩散系数为全局Lipschitz并满足线性增长条件，而Higham等人[23]将分析扩展到局部Lipschitz SDE的简单Euler格式。标准收敛理论不适用于CIR过程，因为平方根不是零附近的局部Lipschitz。因此，人们采用了其他方法来证明平方根过程中各种离散化的弱收敛性或强收敛性。Deelstra和Delbaen[12]、Alfonsi[2]、Higham和Mao[22]以及Lord等人[32]研究了强大的全局逼近，发现要么存在对数收敛速度，要么根本没有。Berkaoui等人[6]和Dereich等人[14]分别建立了对称化和后向（漂移隐式）Euler-Maruyama（BEM）格式1/2阶的强收敛性，尽管对称化格式的参数范围非常有限。

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2022-5-7 09:32:04

Alfonsi[3]和Neuenkirchand Szpruch[33]最近表明，在不可接近边界点的情况下，通过Lamperti变换获得的SDE边界元格式以1的速度强收敛，而Hutzenthaler等人[27]在不可接近边界点的情况下建立了正的强收敛阶。Hutzenthaler等人[28]针对具有局部Lipschitz漂移和扩散系数的SDE非线性系统，识别了一类停止增量驯服欧拉近似，并证明了它们在一些温和的假设下保持精确解的指数可积性，不像显式、线性隐式或某些驯服欧拉格式，后者很少这样做。然而，Hutzenthaler等人的结果不适用于目前的工作，因为平方根模型中的扩散系数不是局部Lipschitz。在这项工作中，我们首先证明了CIR过程的显式欧拉模式保留了指数可积性，这对于在一个或多个维度上建立具有CIR动力学的SDE系统的欧拉近似矩的有界性起着关键作用。据我们所知，蒙特卡罗算法在随机波动背景下的收敛性尚未确定。Higham和Mao[22]考虑了Heston模型的Euler模拟，其扩散系数中的反射系数可以避免负值。他们研究了停止逼近过程的收敛性，并利用支付函数的有界性证明了欧式看跌期权和向上看涨期权的弱收敛性。然而，海厄姆和毛提到，这些论点不能扩展到处理无限支付。

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2022-5-7 09:32:07

我们在不同的Euler格式下工作，通过证明真解及其逼近的矩的一致性，以及后者的强收敛性，克服了这个问题。Heston模型的Euler近似的矩界的存在对于导出强收敛性非常重要[23]，直到现在，这一直是一个长期存在的开放问题。此外，混合Heston型随机局部波动模型矩界的存在性在校准程序中起着重要作用[11]。在本文中，我们研究了具有CIR++短期利率的Heston随机局部波动模型，并检验了蒙特卡罗算法对平方波动率和两个短期利率的完全截断（FTE）离散化，以及对汇率的对数欧拉离散化的收敛性。我们更喜欢Lord等人提出的完全截断方案。[32]因为它保留了原始过程的积极性，易于实现，并且在经验上可以产生所有显式Euler格式中最小的偏差，并且优于Kahl和J¨ackel[29]以及Ninomiya和Victoir[34]的准二阶格式。我们也选择了TE方案而不是BEM方案，因为后者只适用于通常不现实的受限参数区域，因为BEM方案相当于Kahl和J¨ackel采用的隐式Milstein方法，在时间步长上为一阶，由于国外短期利率动态中的量子修正项将导致收敛分析中的技术挑战。Andersen[4]的二次指数（QE）方案使用矩匹配技术来逼近非中心卡方分布平方根过程，是FTE方案的有效替代方案，FTE方案通常产生较小的偏差，但代价是更复杂的实现。

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2022-5-7 09:32:12

实证结果表明，在严重违反Feller条件的情况下，QE方案优于FTE方案[39]，而当Feller条件满足时，这两个方案表现相当好，因为即使每年只使用几个时间步，与FTE方案的偏差也很小。由于QE方案没有自然地扩展到涉及多个相关平方根过程（如本文研究的过程）的多维Heston型模型，我们在随后的收敛性分析中更倾向于FTE方案。总之，据我们所知，本文首次建立：（1）CIR过程FTE方案的指数可积性；（2） Heston型模型逼近格式的阶矩大于1的有界性；（3）具有随机局部波动率（具有有界和Lipschitz杠杆函数）和随机CIR++短期利率模型的逼近方案的强收敛性；（4）具有无限支付的期权的弱收敛性，尤其是欧洲、亚洲和障碍合同（直到关键时刻）。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们将介绍该模型，并讨论假设假设和有效校准。在第3节中，我们首先定义了模拟方案，并讨论了主要定理。然后，我们研究了平方根过程的完全截断格式的一致指数可积性，并证明了交换率近似的收敛性。我们通过建立蒙特卡罗模拟的收敛性来结束本节，以计算欧洲、亚洲和障碍期权的预期贴现收益。在第4节中，我们进行了数值实验来证明我们选择的模型和收敛速度。

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2022-5-7 09:32:21

最后，第5节包含一个简短的讨论。2.准备工作2。1模型定义在最一般的形式中，我们考虑了外汇市场中的一个模型，即即期外汇汇率S、外汇汇率v的平方波动率、国内短期利率Rd和国外短期利率rf。除非另有说明，在本文中，下标和上标“d”和“f”分别表示国内和国外。考虑一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 P）并假设在国内风险中性度量Q下，基础过程的动力学由以下SDE系统控制：dSt=rdt- rftStdt+σ（t，St）√vtStdWst，S>0，dvt=k（θ- vt）dt+ξ√vtdvt，v>0，rdt=gdt+hd（t），dgdt=kd（θd- gdt）dt+ξdqgdtdWdt，gd>0，rft=gft+hf（t），dgft=kfθf- kfgft- ρsfξfσ（t，St）qvtgftdt+ξfqgftdWft，gf>0，（2.1），其中{Ws，Wv，Wd，Wf}是标准布朗运动，σ是杠杆函数，hd和hf是时间的确定函数。均值回归参数k、kd和kf，长期均值参数θ、θ和θf，以及波动率参数ξ、ξ和ξ都是正实数。（2.1）中外国短期利率漂移的quanto修正项来自于从外国风险中性指标向国内风险中性指标的变化[9]。另一方面，对于Hull-White短期利率过程，从国内现货衡量改为国内T-远期衡量会导致问题的维度降低，因为短期利率的差异系数不取决于利率水平[19]。由于CIR短期利率流程并非如此，我们更愿意在国内即期措施下工作。请注意，如果我们设置σ=1，上述系统可能会崩溃为Heston–2CIR++模型，如果我们设置k=ξ=0，则会崩溃为随机短期利率的局部波动率模型。

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2022-5-7 09:32:24

标准的赫斯顿SLV模型是特殊情况kd=ξd=kf=ξf=hd，f=0。我们也可以把（2.1）看作是股票市场中的一个模型，股票价格过程S，随机利率Rd和随机股息收益率rf，在这种情况下，量子修正项消失。我们考虑布朗驱动{Ws，Wv，Wd，Wf}之间的完全相关结构，即对常数相关矩阵∑不作假设，其中∑=1ρsvρsdρsfρsv1ρvdρvfρsdρvd1ρdfρsfρvfρdf. （2.2）此外，我们在以下假设下工作：（A1）杠杆函数是有界的，即存在一个非负常数σmax，因此，对于所有∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 我们有≤ σ（t，x）≤ σmax.（2.3）（A2）存在非负常数A、B和正实数α，因此，对于所有t，u∈ [0，T]和x，y∈ [0, ∞), 我们有|σ（t，x）- σ（u，y）|≤ A | t- u |α+B | x- y |。（2.4）（A3）存在一个非负常数hmax，对于所有t∈ [0，T]和我∈ {d，f}，我们有| hi（t）|≤ 嗯最大。（2.5）因此，根据[11]，我们假设σ在t和St.的Lipschitz中是有界的、H¨older连续的，为了使杠杆函数与买入和卖出价格一致，它必须由公式（2.9）给出，该公式取决于校准的Dupire局部波动率。在实践中，localvolatility函数通常是从Dupire公式的离散化版本中获得的离散值的插值。因此，从实用的角度来看，杠杆函数是Lipschitz连续的，并且有界于[0，T]×[xmin，xmax]形式的R+的紧致子集上，而且σ（T，x）=σT∧ T、 xminx≤xmin+x1x∈（xmin，xmax）+xmaxx≥最大值. （2.6）那么σ是全局Lipschitz连续的，第二个假设在α=1时成立。我们还认为hd，票价有限制。

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kedemingshi

2022-5-7 09:32:28

根据[7]，为了完美拟合利率的初始期限结构，两个转移函数中的每一个都必须由（远期）市场瞬时远期利率和时间的连续函数之间的差异给出。然后hd，分段连续，第三个假设成立。2.2模型校准对4因素Heston–2CIR++SLV模型（2.1）的校准至关重要，是有效定价衍生品合同的一个强制性步骤。在[11]中，我们考虑了四因素SLV模型，并提出了一种新的校准方法，该方法建立在[20]的粒子方法基础上，结合了一种新的高效方差缩减技术，该技术利用PDE校准来提高其稳定性和准确性。[11]中的数值实验表明，该方法几乎可以从相关的2因子SLV模型中恢复标定速度，且具有确定性速率。这里我们假设一个偏相关结构，其中只有ρsv、ρsda和ρsf可能不为零，并用dda和dft表示与各自货币市场账户相关的国内外贴现因子，即任何∈ [0，T]，滴滴涕=e-RTRDUDU和Dft=e-Rtrfudu。（2.7）除了（2.1）之外，我们还考虑了纯局部波动（LV）模型dSLVt=fdt- 快速傅立叶变换SLVtdt+σLVt、 SLVtSLVtdWst，SLV=S，（2.8）其中i∈ {d，f}，fit=-tlog Pi（0，t）是指到期日t在时间0的市场瞬时远期利率，Pi（0，t）是指到期日t在时间0的市场零息票债券价格。假设LV模型（2.8）已校准，且σLV已确定。校准程序的主要组成部分是用局部波动函数σLV表示杠杆函数σ。我们在[11]中证明的定理中陈述了完美校准到普通选项的必要和充分条件。定理2.1（文献[11]中的定理1]）。

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2022-5-7 09:32:31

如果模型（2.1）下的现货过程边际密度函数在空间上是连续的，并且在假设（A1）和（A3）下，模型（2.1）下的买入价格与任何履约K和到期T<T的市场报价相匹配*当且仅当σ（T，K）=E滴滴涕| ST=KEDdTvT | ST=K（σLV（T，K）+KCLVKEhDdTrfT- 快速傅立叶变换装货单- K+我- K EhDdTrdT- fdT装货单≥Ki+K EhDdTrfT- 快速傅立叶变换装货单≥基), （2.9）如果CLVis是模型（2.8）下的买入价，则所有预期均在国内风险中性测量值下，ν=2+√2，ζ=ξσmax和T*如下所示。（1）当k<ψζ，T*=pаζ- Kπ+arctankp~nζ- K. （2.10）（2）当k≥ ηζ，T*= ∞. （2.11）该结果将[20]中的公式推广到随机外国短期利率。Deelstra和Rayee[13]获得了一个类似的公式，用于具有赫尔-怀特短速率过程的4因子SLV模型。推导过程中的一个重要步骤是随机积分≥Kσ（t，St）√VTDDTSTDWST是一个真正的鞅。一方面，T*是贴现现货过程DdtSt第二时刻爆炸时间的下限（见命题3.12）。另一方面，Heston模型的动量可以在有限时间内爆炸[5]，这一特性由Hestontype模型继承（2.1）。也请注意定理3.1和3.6，关于数值近似的可能力矩爆炸。因此，公式（2.9）可能不适用于模型参数的某些值和大到期日T。然而，在实践中，T*它很大。例如，按照我们对[11]中欧元兑美元市场数据的校准程序，我们发现*= 28.6.另一方面，请注意，如果模型（2.1）中的波动率是纯局部的，即，如果v=1，我们在[9]中恢复公式，而如果两个短期利率是确定性的，即，如果gd=gf=0，我们在[20,35]中恢复公式，即σ（T，K）=σLV（T，K）pE[vT | ST=K]。（2.12）在第4节的计算中，我们假设一个简单的相关结构，其中只有ρsv可能非零。

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2022-5-7 09:32:35

我们使用五步校准程序，详细说明见[11]。首先，我们校准LV模型（2.8）并确定σLV。我们还通过PDE方法，使用公式（2.12）和文献[9,35]中的结果，用确定性比率校准了相关的2因素SLV模型。独立地，我们在各自的市场下校准了两个CIR++过程。然后，我们通过校准相关的4因子SV模型（即Heston–2CIR++SV模型）来确定Heston参数，该模型使用[1]中的买入价封闭式解决方案，扩展到CIR++过程，并使用上述校准中的其他参数。最后，我们通过使用[20]中的粒子方法，并使用确定性速率作为控制变量的校准2因子SLV模型对其进行扩展，来校准Heston–2CIR++SLV模型（2.1）中的σ。对于可能具有非零ρsda和ρsf的部分相关结构，我们可以使用即期汇率和短期零息票债券之间相关性的历史值，并将买入价格的近似公式[18]从三因素Heston–CIR模型扩展到四因素Heston–2CIR++模型。3.收敛性分析。1模拟方案我们采用[32]中的全截断欧拉（FTE）方案来离散方差和两个短速率过程。考虑CIR processdyt=ky（θy- yt）dt+ξy√ytdWyt。（3.1）设T为所考虑期权的到期日，并创建一个均匀分布的gridT=NδT，tn=NδT，N∈ {0，1，…，N}。首先，我们引入了离散时间辅助过程&ytn+1=~ytn+ky（θy）- 其中y+=max（0，y）和δWytn=Wytn+1- Wytn，及其连续时间插值yt=~ytn+ky（θy- ~y+tn）（t- tn）+ξyqy+tn怀特- Wytn, （3.3）对于任何t∈ [tn，tn+1]，如[22]所示。然后，我们定义了当t∈ [tn，tn+1]。

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mingdashike22

2022-5-7 09:32:39

设“v”和“gd”分别为v和gd的FTE离散化。考虑到外国短期利率漂移中存在的量子修正项，我们大致定义了gft=~gftn+hkfθf-kf~gftn+-ρsfξfσ田纳西州qv+tn~gftn+i（t）-tn）+ξfq~gftn+Wft-Wftn, （3.6）式中，S是下文定义的S的连续时间近似值，以及（^gft）=~gft+（3.7）gft=~gftn+（3.8）无论何时∈ [tn，tn+1]对于我来说∈ {d，f}，国内外短期利率离散化为`rit=`git+hi（t）。（3.9）最后，我们使用Euler–Maruyama方案离散对数汇率。设x和¨x为实际和近似的对数过程，设¨S=e¨x为S的连续时间近似。此外，定义h=hd- 高频。然后离散方法读取：\'xtn+1=\'xtn+Ztn+1tnh（u）du+“-gdtn- “gftn-σ田纳西州“vtnδt+σ田纳西州√\'vtnδWstn。（3.10）然而，我们发现使用连续时间近似值“xt=”xtn+Zttnh（u）du很方便+“gdt- “gft-σt、圣“vtT- tn+ σt、圣√“vtWst，（3.11）其中Wst=Wst- wstand′σt、圣= σtn，Stn无论何时∈ [tn，tn+1）。因此，\'xt=x+Zt“rdu- \'\'rfu-σu、 “苏“似曾相识du+Zt′σu、 “苏√“vudWsu。（3.12）注意，连续时间近似的收敛性确保了离散方法在网格点处精确地逼近真实解。利用它的^o公式，我们得到了^St=s+Zt“rdu- \'\'rfu“苏都+Zt”σu、 “苏√“vu”SudWsu。（3.13）与标准欧拉格式相比，我们更喜欢对数欧拉格式来离散汇率过程，因为当σ为常数时，前者保持正性，并且在S方向上不产生离散偏差。此外，如果v、gd和gf也是常数，那么log-Euler格式是精确的。3.2主要理论定义了期权的无套利价格及其在（3.13）下的近似值，U=Ehe-RTrdtdtf（S）i，（3.14）`U=Ehe-RT¨rdtdtf（¨S）i。

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何人来此

2022-5-7 09:32:42

（3.15）支付函数f可能取决于基础流程的整个路径，预期在国内风险中性措施下。定理3.1。如果在假设（A1）到（A3）下2kfθf>ξfand，则以下陈述成立。（1）（3.15）中定义的欧式看跌期权、向上和向外看跌期权和任何看跌期权的近似值收敛为δt→ 0.（2）如果ζ=ξσmaxandT<T*≡4kζζ<2k+ζ- kζ≥2k，（3.16）则（3.15）中定义的欧式看涨期权、亚式期权、向下和向内/向外看涨期权以及向上和向内看涨期权的近似值收敛为δt→ 0.备注3.2。如果假设（A1）成立，那么为了本文的目的，我们选择杠杆函数的最小上界，即σmax=supσ（t，x）|t∈ [0，T]，x∈ [0, ∞). （3.17）备注3.3。如果汇率和外国短期汇率动态相互独立，即如果ρsf=0，则外国短期汇率漂移中的量子修正项消失，定理3.1与费勒条件2kfθf>ξf无关，尽管有更简单的证明。如果国内和国外的短期利率在期权的整个有效期内保持不变，并且如果σ（t，x）=1表示所有的t∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 然后方程组（2.1）简化为赫斯顿模型，定理3.1适用于ζ=ξ。这将海姆和毛[22]的收敛结果扩展到了具有无限支付的期权。备注3.4。田等人。

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2022-5-7 09:32:54

[37]使用10个期限结构和最长5年的期限，根据欧元兑美元的市场隐含波动率数据校准了赫斯顿SLV模型的期限结构参数。表1中的数据表明，（3.16）中的条件在实践中通常是满足的，无论是短期还是长期。表1:2012年8月23日欧元兑美元市场数据的校准赫斯顿SLV参数[37]。tkξσmaxζT*1个月0.885 0.342 1.600 0.547 11.8年5年0.978 0.499 1.300 0.649 9.3年在[11]中，Heston–2CIR++SLV模型根据2016年3月18日的欧元-美元市场数据进行了校准，期限最长为5年。表2中的数据表明，（3.16）中的条件即使对于非常长的到期日也是满足的。此外，表2的以下参数值为：2016年3月18日欧元兑美元市场数据的校准Heston–2CIR++SLV参数[11]。tkξσmaxζT*5年1.412 0.299 1.399 0.418 32.3年短期利率过程恢复：kf=0.011，θf=1.166，ξf=0.037，因此伐木条件也成立，即2kfθf=0.0257 0.0014=ξf。在股票市场中，平均回归速度通常比波动率的波动率大几倍。例如，Hurn等人[25]在1990年1月至2011年12月期间使用两种货币期权组合对标准普尔500指数的赫斯顿模型进行了校准，发现k=1.977 0.456 = ξ. 此外，我们通常有ζ<1，因此（3.16）中的条件甚至适用于更长的到期日。3.3平方根过程为了证明（3.13）中近似方案的收敛性，我们首先需要检查高于实际过程和离散过程1阶矩的稳定性。然而，这个问题与CIR过程及其近似的指数可积性直接相关。

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