此外，它们在x处相等*, soinfx>1maxfω（x），gω（x）= gω（x）*) =ω+p（ω）- 1)ω. （3.109）考虑满足q=p/（p）的H¨older对（p，q）- 1） 这样p=1+rω- 1ω和q=1+rω- 1.（3.110）这个特殊的H–older对确保了一个最佳的下限T*关于爆炸时间。接下来，定义数量a=pω- ω并引入随机过程mt=pωZtσ（u，Su）√具有二次变量Hmit=pωZtσ（u，Su）vudu的Vudwsu。然后我们可以重写（3.106）如下：Lωt= SωeωhmaxtE经验PMt-嗯+aZtσ（u，Su）vudu. （3.111）应用H¨older不等式和（3.110）中的对（p，q），并取[0，T]的上确界，supt∈[0，T]ELωt≤ SωeωhmaxTsupt∈[0，T]E经验Mt-嗯p×E经验qωpω- 1.σmaxZTvuduq、 （3.112）如果满足Novikov的条件，即经验嗯≤ E经验pωσmaxZTvudu< ∞.（3.112）中两个预期的一致性来自（3.107）-（3.110）和命题3.5。区间[1，ω）的扩展来自Jensen不等式。命题3.13。Letα≥ 1.在假设（A1）和（A3）下，如果T<T*, 存在ω>α，对于所有ω∈ [1，ω）和δT<k-1，以下情况成立：supδt∈（0，δT）supt∈[0，T]E（\'Rt）ω< ∞, （3.113）式中φ（α）=α+p（α- 1） α，ζ=ξσmax和T*如下所示。（1） 当k≤ν（α）ζ，T*=φ(α)ζ - k、 （3.114）（2）当k>а（α）ζ，T*=4k~n（α）ζ。（3.115）证据。为方便起见，定义一个新的随机过程≡ 性爱hmaxt-Zt'σu、 “苏“vudu+Zt”σu、 “苏√“vudWsu. （3.116）自≤“所有人的LTT∈ [0，T]，必须证明T和δT上的上确界的唯一性（\'Lt）ω= SωE经验ωhmaxt+ωZt′σu、 “苏√“vudWsu-ωZt′σu、 “苏“vudu. （3.117）假设T<T*, 和T*从（3.114）到（3.115）。如果k≤ψ（α）ζ，通过连续性参数，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k<~n（ω）ζ和T<~n（ω）ζ- K

（3.118）另一方面，如果k>ψ（α）ζ，通过连续性参数，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k>~n（ω）ζ，T<4k~n（ω）ζ。（3.119）此后，我们如命题3.12所述进行论证，并使用定理3.6来推导（3.117）的t上的上界和δt的完整性。Higham等人[23]证明，对于局部Lipschitz SDE，对于某些p>2，精确解和数值解的pth动量的有界性确保了Euler-Maruyama方法的强均方收敛性。然而，显式欧拉近似的矩界的存在性仍然是一个悬而未决的问题。最近，Hutzenthaler等人[26]研究了超线性增长系数的SDE，并证明了所有p≥ 1，而且据我们所知，力矩约束假设并不满足，对于Heston模型及其扩展，阶矩大于1的离散化方案的一致性尚未确定——文献中的这一差距在Kloeden和Neuenkirch[30]中也被发现——我们的命题3.13是解决这一问题的第一个结果。由于外汇合约的典型收益在汇率中最多呈线性增长，因此必须了解Lto贴现过程的强收敛性，才能将时间离散化误差的收敛性推至零。下列定理可以相对地推广到所有α的Lα情形≥ 1.注意到临界时间T*从（3.103）到（3.104）总是比从（3.114）到（3.115）更大。定理3.14。在（A1）到（A3）的假设下，如果2kfθf>ξfand T<T*, 式中ζ=ξσmaxandT*≡4kζζ<2k+ζ- kζ≥2k，（3.120）贴现过程在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃Rt-“Rti=0。（3.121）证据。

修理 > 0并定义事件A=nRt-“Rt> o、 然后监督∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤ 监督∈[0，T]呃Rt-“RtAci+supt∈[0，T]呃Rt-“Rt人工智能。因此，支持∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤  + 监督∈[0，T]ERtA+ 监督∈[0，T]E“RtA.选择一些1<ω<min{ω，ω}并将H¨older不等式应用于配对（p，q）右侧的两个期望值=ω,ωω-1.返回以下上限：supt∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤  +监督∈[0，T]ERωtω+supt∈[0，T]E（\'Rt）ωω监督∈[0，T]PRt-“Rt> 1.-ω.注意，如果ζ≥ 2k，然后pζ- Kπ+arctankpζ- K>√pζ- K≥pζ- ksζ+kζ- k=ζ- k、 此外，如果k<ζ<2k，则pζ- Kπ+arctankpζ- K>pζ- K≥pζ- kskζ1.-kζ=4kζ。因此，命题3.12和命题3.13（α=1）确保了折扣过程及其近似的ω阶矩的有界性。此外，贴现过程的概率收敛是命题3.11的一个简单结果，即国内短期利率为零。最后，采取行动 小到足以得出结论。3.5期权估值我们现在研究当汇率动态由Heston–2CIR++SLV模型控制且假设（A1）至（A3）满足时，计算外汇期权价格的蒙特卡罗估值器的收敛性。作为旁白，请注意，我们在第2节中讨论了其他衍生定价模型，包括股票市场中流行的模型，如何作为特例进行表述。首先，我们考虑欧洲的选择。定理3.15。设P=Ehe-RTrdtdtK- 装货单+ibe欧洲期权的无套利价格，且¨P=Ehe-RT¨rdtdtK-圣+近似值。如果2kfθf>ξf，则limδt→0P-\'P= 0.（3.122）证据。一组简单的不等式给出了以下上界：P-\'P≤ 嗯E-RTrdtdt- E-RT¨rdtdtK- 装货单++ E-RT¨rdtdtK- 装货单+-K-圣+我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEhK- 装货单+-K-圣+我

（3.123）然而，对于任何非负数x和y，|e-十、- E-y|≤ |十、- y |，因此我们可以使用Fubini的理论来获得第一个期望值supt的上界∈[0，T]呃E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我≤ 监督∈[0，T]ZTtEh|gdu- “gdu”idu≤ 托普∈[0，T]呃| gdt- “gdt|i.（3.124）根据命题3.9，右边趋于零。定义A中的两个事件=ST<K和“A”=\'ST<K, 并用J表示（3.123）中的最后一个期望值K- 装货单+-K-圣+A.∩\'A+1A∩\'Ac+1Ac∩\'A+1Ac∩“Aci、 因此，J≤ 嗯装货单-圣A.∩“‘唉’K- 装货单A.∩“Aci+EhK-圣交流电∩“哎≤ 嗯装货单-圣A.∩“Ai+K PA.∩“Ac+ KP交流电∩“A. （3.125）假设δ是一个任意的正数，那么我们有以下事件：A∩“Ac=装货单≤ K- δ∪K- δ<ST<K∩圣≥ K装货单≤ K- δ∩圣≥ K∪K- δ<ST<KN装货单-圣≥ δo∪K- δ<ST<K.就事件发生的概率而言，我们有A.∩“Ac≤ P装货单-圣≥ δ+ PK- δ<ST<K, δ > 0. （3.126）我们可以用一种类似的方式从上面束缚第二个概率，Ac∩“AN装货单-圣≥ δo∪K≤ ST<K+δ=> P交流电∩“A≤ P装货单-圣≥ δ+ PK≤ ST<K+δ, δ > 0. （3.127）对于δ的适当选择，（3.126）和（3.127）右侧的最后一项可以非常小，而根据命题3.11，第一项趋向于零。因此，（3.125）中的两个概率收敛为零，即δt→ 0.最后，fix > 0，让B=|装货单-\'ST|>.我们可以将（3.125）右边的期望约束为：装货单-圣A.∩“哎≤ 嗯装货单-圣A.∩\'ABci+Eh装货单-圣A.∩“阿比≤ KP装货单-圣> + . （3.128）取极限为δt→ 0，使用命题3.11并利用以下事实： 可以任意做出小的结论。定理3.16。设C=Ehe-RTrdtdt装货单- K+ibe欧洲看涨期权的无套利价格，C=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+近似值。如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0C-\'C= 0

（3.129）证据。一组简单的不等式给出了以下上界：C-\'C≤ 嗯RT- 柯-RTrdtdt+-“RT- 柯-RT¨rdtdt+我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdt我+嗯RT-“RTi、 （3.130）右边的两个期望值随着δt趋于零→ 0来自（3.124）和定理3。分别为14个。亚洲期权取决于预定时间段内的平均汇率。由于平均汇率的波动性小于基础汇率，因此亚洲期权通常比欧洲期权便宜，并且通常用于货币和商品市场，例如，减少预期以外币支付的公司的外汇风险。对于任何0≤ s≤ T≤ 定义贴现系数：Ds，T=e-Rtsrduduand\'Ds，t=e-Rts’rdudu。（3.131）定理3.17。考虑无套利价格U=Ehe的固定行使亚洲期权-RTrdtdtψ（A（0，T）- （K）+i、 \'U=Ehe-RT¨rdtdtψ（`A（0，T）- （K）+i、 如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0U-“U”= 0.（3.132）这里，A（0，T）表示算术平均值，ψ=±1取决于支付（买入或卖出）。对于连续监测，A（0，T）=TRTStdt和‘（0，T）=TRT’Stdt。证据绝对差异可以从上面用U-“U”≤ 嗯ψ（D0，TA（0，T）- KD0，T）+-ψ（\'D0，T\'A（0，T）- K¨D0，T）+i、 因此，我们得出以下上限：U-“U”≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdt我+嗯D0，TA（0，T）-\'D0，T\'A（0，T）i、 （3.133）我们在（3.124）中推导了第一个预期的收敛性。用富比尼定理，嗯D0，TA（0，T）-\'D0，T\'A（0，T）我≤TEZTD0，TSt-“D0，T”Stdt≤ 监督∈[0，T]呃Dt，TRt-\'Dt，T\'Rti、 三角形不等式得出以下上界：supt∈[0，T]呃Dt，TRt-\'Dt，T\'Rt我≤ ehmaxTsupt∈[0，T]EhRtE-RTtgdudu- E-RTt’gdudui+ehmaxTsupt∈[0，T]呃Rt-“Rt我

（3.134）由于Gd和¨Gd都是非负过程，对于任何大于1的γ，我们都有E-RTtgdudu- E-RTt’gduduγ≤E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu, T∈ [0，T]。将H¨older不等式应用于（3.134）右侧的第一个期望，其中1<ω<ω，γ=ω/（ω）-1） 利用上一个不等式，我们发现∈[0，T]EhRtE-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我≤ 监督∈[0，T]ERωtωsupt∈[0，T]呃E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我知道。（3.135）第一项在（3.134）右侧的收敛是（3.124）和命题3.12（α=1）的结果，而第二项的收敛是由于定理3.14。在离散监控或洪水袭击的情况下，我们遵循完全相同的步骤。障碍期权在包括FXmarket在内的许多场外市场继续受到欢迎。它们的受欢迎程度可以由两个关键因素来解释。首先，障碍期权有助于限制投资者在外汇市场的风险敞口。其次，它们提供了额外的灵活性，能够以比普通期权更低的价格与投资者的市场观点相匹配。定理3.18。考虑一个无套利价格U=Ehe的向上和向外的障碍买入-RTrdtdt装货单- K+{supt∈[0，T]街≤B} i，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+监督∈[0，T]\'St≤Bi、 其中K是执行价，B是障碍。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.136）证据。定义事件A=监督∈[0，T]街≤ B和“A”=监督∈[0，T]\'St≤ B, 然后U-“U”≤ 嗯D0，T-\'D0，T装货单- K+A+-D0，T装货单- K+A.-圣- K+“A我≤B-K+ehmaxTEhE-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEh装货单- K+A.-圣- K+“Ai、 第一项趋向于零（3.124），我们可以将第二项改写为：装货单- K+A.∩“-Ac+1A∩“A-圣- K+A.∩\'A+1Ac∩“A我≤ 嗯装货单- K+A.∩“Aci+Eh圣- K+交流电∩“‘唉’装货单-圣A.∩“哎≤B-K+NPA.∩“Ac+ P交流电∩“Ao+Eh装货单-圣A.∩“唉。

（3.137）我们可以将（3.128）中的最后一个期望值绑定到findeh装货单-圣A.∩“哎≤ B-P装货单-圣> + ,  > 0.（3.138）因此，根据命题3.11，随着时间的推移，期望值收敛到零。修正δ>0，并遵循[22]中定理6.2的论点，得出∩“Ac监督∈[0，T]圣-圣≥ δ∪B-δ<supt∈[0，T]街≤ B.就事件发生的概率而言，我们有A.∩“Ac≤ P监督∈[0，T]圣-圣≥ δ+ PB-δ<supt∈[0，T]街≤ B. （3.139）我们可以用类似的方式将（3.137）中的第二个概率约束在上面，P交流电∩“A≤ P监督∈[0，T]圣-圣≥ δ+ PB<supt∈[0，T]St<B+δ. （3.140）结论来自命题3.11，因为δ可以任意小。定理3.19。考虑任何类型的无套利价格为U=Ehe的障碍看跌期权-RTrdtdtK- 装货单+Ai，\'U=Ehe-RT¨rdtdtK-圣+“Ai”，其中事件A和“A”取决于屏障的类型。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.141）例如，向下和向内的屏障与设置a相关联=输入∈[0，T]街≤ B.证据绝对差异的上界如下所示：U-“U”≤ 嗯D0，T-\'D0，TK-装货单+A+-D0，TK-装货单+A.-K-圣+“A我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEhK- 装货单+A.-K-圣+“Ai、 第一项趋向于零（3.124），我们可以将第二项限定为（3.137）：呃K- 装货单+A.-K-圣+“A我≤ KnPA.∩“Ac+ P交流电∩“Ao+EhK- 装货单+-K-圣+i、 （3.142）事件A和“A”与障碍物不同（向下和向内、向下和向外、向上和向内、向上和向外），但是可以用与（3.139）和（3.140）相似的方式来表示→0PA.∩“Ac= 0和limδt→0P交流电∩“A= 0（3.143）表示任何类型的屏障。最后，在定理3.15中导出了（3.142）右边最后一项的收敛性，从而结束了证明。定理3.20。

考虑一个向下和向内/向外或向上和向内的障碍看涨期权，套利价格U=Ehe-RTrdtdt装货单- K+Ai，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+“Ai”，其中事件A和“A”取决于屏障的类型。如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0U-“U”= 0.（3.144）证据。绝对差异的上界如下所示：U-“U”≤ 嗯RT- KD0，T+-“RT- K’D0，T+A.∩“‘唉’RT- KD0，T+A.∩“Aci+Eh“RT- K’D0，T+交流电∩“唉。因此，我们以U-“U”≤ 嗯RT-“RTi+KehmaxTEhE-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+EhRTA∩“Aci+Eh”RTAc∩“唉。右手边前两项的收敛分别是定理3.14和（3.124）的结果。将H¨older不等式（ω，γ）应用于最后两项，其中1<ω<min{ω，ω}，我们发现：EhRTA∩“Aci≤ 嗯RTωiωPA.∩“Acγ-安第斯RTAc∩“哎≤ 嗯“RTωiωP交流电∩“Aγ.使用命题3.12和命题3.13（α=1）以及（3.143）中的极限得出结论。外汇市场上最发达的异国情调衍生品包括双屏障期权。定理3.21。考虑一个无套利价格为U=Ehe的双淘汰看涨期权-RTrdtdt装货单- K+{inft∈[0，T]街≥五十、 监督∈[0，T]街≤B} i，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+输入∈[0，T]\'St≥五十、 监督∈[0，T]\'St≤Bi、 其中K为走向，L、B分别为上下两层屏障。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.145）证据。首先，请注意，我们包含以下事件：输入∈[0，T]街≥ 五十、 监督∈[0，T]街≤ B∩输入∈[0，T]\'St≥ 五十、 监督∈[0，T]\'St≤ BC监督∈[0，T]街≤ B∩监督∈[0，T]\'St>B∪输入∈[0，T]街≥ L∩输入∈[0，T]\'St<L.其余的论点紧跟定理3.18，因此被省略。4数值结果在本节中，我们考虑了异国产品的定价问题，尤其是嵌入屏障特征的结构化节点。

受欢迎的外汇异国情调产品包括电力反向双货币纸币（PRDC）[9]，尤其是长期（如30年）和远期累加器[42]。增加随机利率可以改善中长期到期合同的定价。此外，虽然普通的PRDC可以被视为一条普通期权，但添加随机局部波动性动态可以改善合同某些变体的定价，比如触发式PRDC（具有淘汰功能的PRDC）。此后，我们考虑一种自动消除障碍的双货币票据（ABDC），该票据以欧元-美元货币对为索引，以美元为本国货币，以欧元为外币，按季度支付息票。虽然屏障双货币票据通常是短期投资，但我们研究了一种具有嵌入式自动可赎回票据结构的中期替代方案。对于名义N（美元）、汇率（罢工）K和到期T，合同的生命周期如下所述。（1） 为汇率S制定了月度融资计划，以便：o如果S越过上限BUO，则提前赎回合同并支付优惠券。提前赎回时间用τ表示，在没有敲打事件的情况下，提前赎回时间可以是有限的如果S越过下行障碍BDI，则卖空合约在到期时激活。敲击时间用τKI表示。（2） 如果S高于BDI，则在息票日期{ti，i=1，…，M}每季度支付一次息票C（以美元计，以名义利率的百分比计），共计M个期间，这样累计息票（以美元计）的到期日为nmxi=1ddtidtc1ti<τERSti>BDI+NDdτERDdTCERτER≤T

（4.1）（3）到期时，如果S低于K，下行屏障已被激活，且未发生提前赎回，则名义利率按K转换为欧元。该产品适合希望通过承担名义价值转换为外币的风险，跑赢货币市场账户的投资者。自动调用功能由于提前终止而降低了产品的价格，以防汇率越过向上和向外的壁垒，而向下和向内的壁垒功能以增加净现值（NPV）为代价提供了转换风险保护。因此，如果投资者预计未来市场波动较小，这意味着由于提前赎回和转换的机会增加，NPV较低，那么在当前动荡的市场条件下，他们会发现该产品具有吸引力。在一个较长的时间范围内，一个非常稳定的市场将是投资者的最佳结果，因为他们将获得所有的息票，而不转换到期时的名义利率。如果转换在到期时发生，投资者将收到N/K欧元，以换取名义N欧元。如果投资者将该金额转换为美元，则损失为N圣公会- 1.. 因此，产品的盈亏（PnL）为nmxi=1DdtiDdTC 1ti<τERSti>BDI+NDdτERDdTCERτER≤T-NK（K）- ST）+τKI≤T<τER。（4.2）因此，本产品为无资本担保的收益增加合同。应计耦合有时在到期时转换为名义利率K。最后，合同的NPV（名义利率的百分比）为NPV=E“MXi=1DdtiC 1ti<τERSti>BDI+DdτERCERτER≤T-DdTK（K- ST）+τKI≤T<τER#，（4.3），其中预期是在风险中性度量下进行的。

我们假设在（2.1）中规定的这种测量下的S的动态。接下来，考虑表3中的合同参数以及经校准的模型参数和杠杆函数，以及[11]中2016年3月18日的欧元兑美元市场数据。假设每月在完工日期对障碍物进行监控，并按季度支付优惠券。我们采用第3节中定义的蒙特卡罗模拟方案，每年5×10个样本路径和376个时间步来为该合同定价，数值结果如表4所示。请注意，我们计算了与参考模型（即Heston–2CIR++SLV模型）相关的保费变动百分比（NPV）。表3：可自动清除障碍物的双币种票据的合同参数，其中名义N为inUSD，到期T为年，罢工K和障碍物Buoa和BDIare为S的百分比，couponsC和Cerre为美元，N.N.T SK BUOBDIC CER100000 5Y的百分比为1.1271 105%100%95%2.5%1.5%。表4：合同的NPV为N的百分比，95%蒙特卡罗置信区间，表3所示的四因素混合SLV模型（2.1）、具有确定率的二因素SLV模型和LV模型（2.8）下的可自动消除障碍双货币的早期赎回和敲入概率以及净现值的百分比变化。模型净现值95%置信区间。基普。ChangeHybrid SLV 1.7247（1.7228，1.7265）95.1%19.5%–SLV 1.7456（1.7438，1.7474）95.1%19.5%+1.21%LV 1.2079（1.2062，1.2097）95.9%19.5%-29.96%我们从表4中推断，2因素SLV模型下的合同价格比4因素SLV模型下的合同价格高1.21%，而两种模型下的提前赎回和敲入概率相同。这表明，即使合同到期5年，随机利率也会对合同价格产生重大影响。

我们还从表4中推断，在LV模型（2.8）下，合同定价过低，提前赎回概率被高估。此外，我们在[11]中根据2016年3月18日的欧元兑美元市场数据校准了四因素SLV和SV模型，并观察到前者与普通期权几乎完美匹配，而后者则差。总之，我们注意到两件事。首先，在随机局部波动动态下，为具有障碍特征的外来产品定价至关重要。众所周知，纯SV模型低估了淘汰概率，而纯LV模型高估了淘汰概率，合同的真实价格被认为介于纯SV和纯LV模型价格之间。在我们的案例中，无淘汰概率的微小差异（由合同生命周期内拆下的优惠券数量所反映）可能会导致净现值中的abig差异，这解释了需要使用SLV模型来改善定价绩效。第二，在SLV模型中加入随机利率仅在中长期结构性票据定价时相关，其中随机利率的影响更为明显。在即期汇率和短期汇率之间存在非零相关性的情况下，随机汇率对合同价格的影响预计将增加。无淘汰可能性的微小差异会导致NPV的巨大差异，因为它是由合同生命周期内分离的优惠券数量决定的。我们可以将模型（2.1）扩展到多因素短期利率，在为利率明确出现在支付中的异国产品定价时，例如，带有支付的差价期权装货单- 党卫军- 书信电报- K+, （4.4）其中LTT指的是截止日期T的伦敦银行同业拆借利率。

在这种情况下，第2节描述的校准算法仍然可以应用，由于模拟方案更复杂，因此计算成本更高。我们以蒙特卡罗模拟模式的经验收敛性分析来结束本节。由于乘积可以分解为一阶外显子的线性组合，因此蒙特卡罗估计量的理论收敛性（无速率）自动遵循第3节中的分析。表5中的数据表明时间离散误差的一阶收敛性。另外，请注意，在连续监测障碍的情况下，我们可以使用布朗桥技术来恢复一阶收敛。表5：不同时间步数（每年）和5×10样本路径（标准偏差为9.29×10）下，表3中规定的合同NPV的蒙特卡罗估计值-4） ，与之前NPV估计的差异以及经验收敛顺序。时间步长NPV差异顺序12 1.9081–24 1.8110 0.0971–48 1.7623 0.0487 0.99696 1.7388 0.0234 1.057192 1.7285 0.0103 1.184本节的经验发现证明了随机局部波动动力学以及随机短期利率动力学对长期奇异外汇产品定价的重要性。此外，我们对一个这样的产品验证了蒙特卡罗模拟方案的收敛性。5结论目的是建立混合随机局部波动模型的欧拉格式的强收敛性。我们所知的唯一一项与这个问题相关的先前发表的工作是[22]，它证明了在Heston的模型和有界支付的期权的背景下，欧拉离散化的收敛性。

我们建立了贴现汇率近似的强L-收敛性（无速率），对于所有p≥ 1，尽管是在更严格的到期条件下，这在证明蒙特卡罗模拟对无边界支付期权估值的收敛性时特别有用。本文进行的分析可以扩展到其他金融衍生工具，包括数字期权、远期启动期权和双不接触二进制期权，仅举几例。此外，我们可以考虑对短期利率模型进行多因素扩展，在这种情况下，收敛性分析适用于对证明进行一些轻微修改。然而，一些尚未解决的问题仍然存在，比如CIR过程的完全截断格式的精确强收敛速度，或者本文研究的DES类型的格式的强收敛速度。除了这些本身有趣且实际相关的问题外，高阶模拟还可以使用多级模拟，如[16]中所述，对预期财务收益的估计有实质性的提高。参考文献[1]R.Ahlip和M.Rutkowski，赫斯顿随机波动率模型和CIR利率下的外汇期权定价，量化金融，13（2013），第955-966页。[2] A.阿方西，关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散化方案，蒙特卡罗方法和应用，11（2005），第355-384页。[3] A.Alfonsi，《漂移隐式Euler格式的强一阶收敛性：对CIR过程的应用，统计学和概率字母》，83（2013），第602-607页。[4] L.Andersen，《Heston随机波动率模型的简单有效模拟》，计算金融杂志，11（2008），第1-42页。[5] 安徒生和V。

皮特堡，《随机波动模型中的瞬间爆炸》，金融学与随机学，11（2007），第29-50页。[6] A.Berkaoui，M.Bossy和A.Diop，非Lipschitz差分SDE的Euler格式：强收敛，ESAIM:概率与统计，12（2008），第1-11页。[7] D.Brigo和F.Mercurio，《分析可处理和时间齐次短期利率模型的确定性转移扩展》，金融与随机，5（2001），第369-387页。[8] M.Broadie和O.Kaya，《随机波动和其他有效跳跃扩散过程的精确模拟》，运筹学，54（2006），第217-231页。[9] I.J.Clark，《外汇期权定价：从业者指南》，Wiley，2011年。[10] J.Cox、J.Ingersoll和S.Ross，《利率期限结构理论》，计量经济学，53（1985），第385-407页。[11] A.Cozma、M.Mariapragassam和C.Reisinger，用一种新的控制变量粒子方法校准一个4因子混合局部随机波动率模型。工作文件，2016年。[12] G.Deelstra和F.Delbaen，《带随机漂移项的离散随机（利率）过程的收敛性》，应用随机模型和数据分析，14（1998），第77-84页。[13] G.Deelstra和G.Rayee，《长期外汇衍生品的局部波动定价模型》，应用数学金融，20（2013），第380-402页。[14] S.Dereich，A.Neuenkirch和L.Szpruch，Cox–Ingersoll–Ross过程强近似的欧拉型方法，伦敦皇家学会学报A，468（2012），第1105–1115页。[15] S.S.Dragomir，《Gronwall型不等式及其应用》，新星科学出版社，2003年。[16] M.B.Giles、D.J.Higham和X.Mao，《分析具有非全球Lipschitz支付的期权的多级蒙特卡罗》，金融与随机，13（2009），第403-413页。[17] P.Glasserman，《金融工程中的蒙特卡罗方法》，第卷。

《随机建模与应用概率》第53期，斯普林格，2003年。[18] L.A.Grzelak和C.W.Oosterlee，关于随机利率的Heston模型，暹罗金融数学杂志，2（2011），第255-286页。[19] L.A.Grzelak和C.W.Oosterlee，关于随机波动和相关利率的跨货币模型，应用数学金融，19（2012），第1-35页。[20] J.Guyon和P.Henry Laborder，微笑校准问题解决了。SSRN。1885032,2011.[21]B.Hambly、M.Mariapragassam和C.Reisinger，Brunick&Shreve-Markovian预测下的障碍期权正向方程，定量金融，16（2016），第827-838页。[22]D.J.Higham和X.Mao，涉及均值回复平方根过程的蒙特卡罗模拟收敛，计算金融杂志，8（2005），第35-62页。[23]D.J.Higham，X.Mao和A.M.Stuart，非线性随机微分方程的Euler型方法的强收敛性，暹罗数值分析杂志，40（2002），第1041-1063页。[24]T.R.赫德和A.库兹涅佐夫，《随机积分、马尔可夫过程和相关场的拉普拉斯变换的显式公式》，14（2008），第277-290页。[25]A.S.Hurn，K.A.Lindsay和A.J.McClelland，《利用期权价格数据估计随机波动率模型的参数》，商业与经济统计杂志，33（2014），第579-594页。[26]M.Hutzenthaler，A.Jentzen和P.E.Kloeden，《具有非全局Lipschitz连续系数的随机微分方程的Euler方法在有限时间内的强散度和弱散度》，皇家学会学报A，467（2011），第1563-1576页。[27]M.Hutzenthaler，A.Jentzen和M.Noll，Cox–Ingersoll–Ross过程和Bessel过程的强收敛速度和时间正则性，具有可接近的边界。工作文件，arXiv:1403.6385v1，2014年。[28]米。

Hutzenthaler，A.Jentzen和X.Wang，非线性随机微分方程数值逼近过程的指数可积性。工作文件，arXiv:1309.7657v2，2014年。[29]C.Kahl和P.J¨ackel，《随机波动率模型的快速强近似蒙特卡罗方法》，数量金融，6（2006），第513-536页。[30]P.Kloeden和A.Neuenkirch，《数学金融中随机微分方程数值方法的收敛性》，载于《计算金融的最新发展：基础、算法和应用》，T.Gerstner和P.Kloeden主编，世界科学出版社，2012年。[31]P.E.Kloeden和E.Platen，《随机微分方程的数值解》，斯普林格，第三版，1999年。[32]R.Lord、R.Koekkoek和D.van Dijk，《股票波动率模型有偏模拟方案的比较》，量化金融，10（2010），第177-194页。[33]A.Neuenkirch和L.Szpruch，域中定义的标量SDE的一阶强近似，Numerische Mathematik，128（2014），第103-136页。[34]S.Ninomiya和N.Victoir，《随机微分方程的弱近似及其在衍生品定价中的应用》，应用数学金融，15（2008），第107-121页。[35]任耀强，D.马丹，钱文强，嵌入式局部波动模型的校准和定价，风险杂志，（2007），第138-143页。[36]R.Sch¨obel和J.Zhu，《具有奥恩斯坦-乌伦贝克过程的随机波动性：扩展》，欧洲金融评论，3（1999），第23-46页。[37]田烨，朱梓，李G，F.Klebaner和K.Hamza，用astochastic局部波动率模型校准和定价，衍生工具杂志，22（2015），第21-39页。[38]A.van der Stoep，L.A.Grzelak和C.W.Oosterlee，《Heston随机局部波动模型：有效蒙特卡罗模拟》，国际理论与应用金融杂志，17（2014），pp。

1–30.[39]A.Van Haastrecht，随机波动率和随机利率下的长期期权定价，阿姆斯特丹大学博士论文，2010年。[40]A.Van Haastrecht，R.Lord，A.Pelsser和D.Schrager，用随机利率和随机波动率定价长期股权和外汇衍生品，保险：数学和经济学，45（2009），第436-448页。[41]A.Van Haastrecht和A.Pelsser，《随机利率和随机波动下外汇、通货膨胀和股票期权的一般定价》，量化金融，11（2011），第665-691页。[42]U.Wystup，外汇期权和结构性产品，Wiley，2007年。