，d和t∈ [0，T]，ξi，btSit+ψi，ltBi，lt=0，ξi，ltSit+ψi，btBi，bt=0（2.40），其中ξi，btSit≤ 0，ξi，ltSit≥ 所以ψi，lt≥ 0和ψi，bt≤ 0代表所有t∈ [0，T]。特别是，即使当等式ξi，lt+ξi，bt=0适用于所有t时，表示第i项资产的净头寸随时为空，由于账户Bi，土地Bi，以及，b、 很明显，这起案件限制性很强，没有实际的吸引力，因此下文不会对其进行分析。2.4.2风险资产头寸的设置现在让我们来研究净额结算惯例（b）。为此，我们假设V（鰕）=V（x，鰕，A）满足vt（鰕）=ψltBlt+ψbtBbt+dXi=1（ξitSit+ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt）=ψltBlt+ψbtBbtwhereψi，lt≥ 0和ψi，bt≤ 0代表t∈ [0，T]对于i=1，2，d和t∈ [0，T]，ξitSit+ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt=0。（2.41）目前的净额结算机制可以解释为：为了对冲的目的，同时持有任何资产的多头和空头头寸是没有意义的；查看第i项资产的净头寸就足够了。例如，如果套期保值者已经持有某项资产的空头头寸，并且需要持有相同规模的多头头寸，那么自然会假定短期头寸首先结束。还要注意的是，条件（2.41）具有相当大的限制性，因为它阻止了对共享同一长期和短期融资账户的所有风险y资产的短期和长期现金头寸进行净额结算。通过定义，第i项资产的多头（或空头）现金头寸对应于ξitSit的正负号。回想一下，我们并没有假设风险资产的价格是非负的。

关于对条件（2.16）的一般评论，也请参见备注2.6，该注释也适用于条件（2.41）。由于不允许同时从资金账户i借贷现金（或不充分，如果ri，b≥ ri，l），我们还假设所有t的ψi，ltψi，bt=0∈ [0，T]，对于i=0，1，d、 这意味着ψlt=（Blt）-1（Vt（ψ））+，ψbt=-（Bbt）-1（Vt（~n））-（2.42）并且，对于每个i=1，2，d、 ψi，lt=（Bi，lt）-1（ξitSit）-, ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+。（2.43）20 T.R.Bielecki和M.Rutkowskin指出了当前设置与第2.4.1节中所述情况之间的本质区别，其中没有假设设置等式ψi，ltψi，bt=0适用于所有T∈ [0，T]。现在，自筹资金的条件为svt（φ）=V（φ）+dXi=1Z（0，t]ξ宫内节育器（Siu+Aiu）+ZtψludBlu+Ztψbudbbudbu（2.44）+dXi=0Ztψi，ludBi，lu+dXi=0Ztψi，budBi，budBi+ata，因此以下结果很简单。推论2。3假设Bi、土地Bi、裸账户流程与借贷利率相对应。我们假设ψi，lt≥ 0，ψi，bt≤ 0和ψi，ltψi，bt=0表示所有i=0，1，d和T∈ [0，T]和等式（2.41）适用于所有i=1，2，d、 那么财富过程V（~n）=V（~n，A）等于，对于所有t∈ [0，T]，Vt（ψ）=ψltBlt+ψbtbb，财富动态为dvt（Ф）=dXi=1ξit（dSit+dAit）+dXi=1（ξitSit）-（比，左）-1dBi，中尉-dXi=1（ξitSit）+（Bi，bt）-1dBi，bt（2.45）+（Vt（ν））+（Blt）-1dBlt- （Vt（~n））-（Bbt）-1dBbt+dAt。注2.9当等式Bi，l=Bi，b=Bi适用于所有i=1，2，d、 那么，可以将公式（2.45）视为公式（2.35）的特殊情况，对于所有i和t，ζit=0∈ [0，T]（另见动力学（2.38））。例2.4在推论2.3的假设下，如果过程Bi，land Bi，bfor i=0，1。

，d是绝对连续的，然后（2.45）变成（注意，（2.46）延伸（2.38））dVt（φ）=kXi=1ξitdSit+dAit+dXi=1ri，lt（ξitSit）-dt-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt（2.46）+rlt（Vt（~n））+dt- rbt（Vt（~n））-dt+数据，因此融资成本满足Ftft（魟）=rlt（Vt（魟））+dt- Vt（Vt）-dt+dXi=1ri，lt（ξitSit）-dt-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt。2.4.3部分净额结算的模式l我们将在这里研究净额结算惯例（c）的一个特例，它似乎在实践中具有一定的意义。现在我们假设Bi，l=bl，对于所有i=1，2，我们假设风险y资产中的所有空头头寸，斯代尔股份有限公司。直觉上，这意味着所有正现金流，包括卖空风险资产的收益，都包含在财富中，并转移到Blor Bb的现金账户中。相比之下，风险资产中的多头ca sh头寸将从各自的融资账户Bi，b中获得资金。因此，我们在这里处理的是r isky a资产组合中头寸部分净额结算的情况。本小节中引入的交易框架将被称为部分净额结算的市场模型。通过计算财富过程V（φ）=V（x，φ，A）等于vt（φ）=ψltBlt+ψbtBbt+dXi=1（ξitSit+ψi，btBi，bt）（2.47）估值和对冲融资成本和抵押21，其中，对于每一个i=1，2，d和t∈ [0，T]，过程ψi，bt满足ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+≤ 0.（2.48）注意，由于在等式（2.47）中，我们使用净头寸ξit，而不是ξi，Lt和ξi，bt，因此每个风险资产的多头和空头头寸的作用已经隐含在该等式中。从（2.47）和（2.48）中，我们得到vt（ψ）=ψltBlt+ψbtBbt-dXi=1（ξitSit）-.因为，像往常一样，我们假设ψlt≥ 0和ψbt≤ 0，我们得到以下等式ψlt=（Blt）-1.Vt（φ）+dXi=1（ξitSit）-+, ψbt=- （Bbt）-1.Vt（φ）+dXi=1（ξitSit）--.

（2.49）最后，交易策略的自融资条件（x，魟，A）读数为svt（魟）=V（魟）+dXi=1Z（0，t]ξiud（Siu+Aiu）+dXi=1Ztψi，budBi，bu+ZtψludBlu+Ztψbudbbubbu+At。以下结果给出了当前设置中的财富动态。推论2。4假设Bi，l=bl对于所有i=1，2，d和ψlt≥ 0和ψbt≤ 0代表所有t∈ [0，T]。然后，在假设（2.47）和（2.48）的情况下，V（φ）=V（x，φ，A）的动力学为dVT（φ）=dXi=1ξit（dSit+dAit）-dXi=1（ξitSit）+（Bi，bt）-1dBi，bt+dAt（2.50）+Vt（φ）+dXi=1（ξitSit）-+（Blt）-1dBlt-Vt（φ）+dXi=1（ξitSit）--（Bbt）-1磅。注意，即使在一个额外的假设下，Bi，b=bb，对于所有i=1，2，d、 表达式（2.50）并没有减少到（2.35），因为我们在这里根据假设（2.48）工作，该假设明确说明第i项风险资产中的长期现金头寸完全由账户Bi提供资金，b.示例2.5在推论2.4的假设下，如果除此之外，所有账户过程Bi，landBB都是绝对连续的，那么（2.50）变成（2.50）dxvt（~n）=dXi 1ξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+dAt（2.51）+rltVt（φ）+dXi=1（ξitSit）-+dt- rbtVt（φ）+dXi=1（ξitSit）--因此，融资成本满足Ftft（~n）=rltVt（φ）+dXi=1（ξitSit）-+dt- rbtVt（φ）+dXi=1（ξitSit）--dt-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt。22 T.R.Bielecki和M.Rutkowski3融资成本下的定价上一节的目标是分析关于交易和净额结算的备选方案下自我融资策略的财富动态。在下一步中，我们将提供各种交易规格下市场模型无套利属性的充分条件。值得强调的是，在大多数涉及融资成本和抵押的论文中，这个问题显然被忽视了。

相反，大多数作者是在一个非常模糊的“鞅测度”存在的特殊假设下工作的，他们专注于这个概率测度下的“风险中性估值”。最有可能的是，这些论文中的“鞅测度”应该被解释为“定价”概率测度，它是通过模型校准从市场数据中获得的，而不是可靠的理论构造。因此，现有大量文献在这方面的主要贡献在于对有关保证金账户和违约收尾支付的市场惯例进行了透彻分析，并对风险资产和违约时间的复杂模型进行了数值实现。相比之下，他们的作者对寻找可靠的理论基础，为各种融资和信用风险调整的替代计算寻找所谓的“清洁”价格的兴趣相对较小。显然，这种估值调整的尝试性方法取决于模仿无摩擦市场模式的clas SICS结果。然而，由于当今普遍存在的市场摩擦下财富动态的特殊性，经典方法应该重新审视，因为它的直接应用显然是不合理的。为了澄清这一观点，我们现在将分析经典范式在处理融资成本交易时的适用性。

具体而言，在第3.1节和第3.2节中，我们将分别解决两个不同但相关的问题。我们的第一个问题是：给定一个市场模型和一个具有外生特定市场价格的合同a，套期保值者是否有可能通过在a中持有长期套期保值头寸，同时在同一合同中持有短期非套期保值头寸来产生风险收益（注意，a的市场价格水平与该合同无关）？如果是这种情况，该模型对套期保值者来说显然是不可行的，因为对于合同a的任何水平的市场价格，套期保值者都能够保证自己的无风险收益。否则，我们说一个模型对于套期保值者来说，对于给定的合同a是无套利的，当该理想属性适用于包含a的足够大的一类合同时，模型的BILITYRISE水平就确定了。第二个问题是：假设模式l对套期保值者而言对于合同a（或包含a的某类合同）是无套利的，我们想描述套期保值者的所有可能水平，这样，套期保值者就无法通过以p价出售合同并实施智能交易策略来获得无风险收益（，a）？满足该属性的任何数字p都被称为a合同的公平套期保值者价格。因此，我们认为第一个问题涉及套期保值者通过在a合同中以外生给定的市场价格p（和市场价格）背对背设定头寸，从而获得无风险收益的可能性-p代表-A） 第二个问题是hedg er以p的价格直接出售合同A时的情况。让我们注意到，如何量化“风险收益”的问题也应该仔细分析，尤其是在借贷关系不同的情况下。

多亏了正式的沟通，我认为我们也会给出合理的解释。然而，应该承认的是，我们并没有为非线性和不对称定价背景下出现的所有问题提供满意的解决方案，因此仅概述了几个重要组织。3.1套期保值者在融资成本下的套利融资成本下模型的无风险资产是一个非常重要的概念，即使涉及到无抵押账户（抵押品）。然而，在某些情况下，确实可以使用对套利机会的谨慎描述和适当定义的“鞅测度”来处理。让我们强调一下，在目前的体系中，鞅测度的概念远不明显，其定义将取决于采用的市场惯例。具体而言，对于每一个特定的市场估值和对冲融资成本和抵押，需要明智地选择一个定义，以使这一一般概念对我们的目的有用，即验证给定的市场模型是否无套利，以及是否对衍生品进行估值。3.1.1一般市场模型一般市场模型是指包含但不限于上一节中考虑的所有交易安排的一般模型类别。我们只假设财富过程V（x，~n，A）和贴现财富bv（x，~n，A）的概念已经明确，其中贴现因子的选择是相当随意的，因此可能取决于特定的情况。

因此，第2节中介绍的所有市场模型现在应视为通用市场模型的特定实例。由于在一般市场模型中，借贷账户、银行账户和银行账户原则上可能不同，因此净财富由定义2.5的以下自然扩展定义。有关净财富概念的解释，请参见第2.2节。定义3。1交易策略y（x，~n，A）的净财富Vnet（x，~n，A）由等式Vnet（x，~n，A）=V（x，~n，A）+V（0，e~n，-A） 式中（0，e~n，-A） 独特的自我融资策略是否满足以下条件：（i）V（0，eа，-A） =-A、 （ii）每i=1，2，…，等式ξit=ψit=0成立，d和所有t∈ [0，T]，（iii）eψlt≥ 0，eψbt≤ 0和ψlteψbt=0表示所有t∈ [0，T]。我们注意到，vnet（x，~n，A）=V（x，~n，A）+V（0，e~n，-A） =x+A- A=xso初始净财富Vnet（x，~n，A）独立于p。鉴于假设2.3，当使用净财富的c概念时，我们s etA=0。根据财务解释，初始现金流和-如果A和A的市场价格-一位令人满意的首相(-A） =-pm（A），所以这个假设是合理的（尽管它稍微降低了我们方法的通用性）。下面的结果是引理2.1的一个扩展，在一个假设了ris ky资产中某种形式的头寸设置的模型中也是有效的。引理3。以下等式适用于所有t∈ [0，T]，Vnett（x，~n，A）=Vt（x，~n，A）+Ut（A）（3.1），其中有限变量U（A）的G适应过程是以下等式的唯一解Ut（A）=Zt（Blu）-1（Uu（A））+dBlu-Zt（Bbu）-1（Uu（A））-dBbu- 在（3.2）证据。我们在（2.33）和（2.34）中设置ξit=ψit=0。然后过程Vt:=Vt（0，eψl，eψb，-A） 满足性vt=eψltBlt+eψbtBbtandVt=Zt（Blu）-1（Vu）+dBlu-Zt（Bbu）-1（Vu）-dBbu- 在因此引理的断言如下。

下一个定义是套利机会的经典定义的扩展，当使用带有融资成本的基本模型时，套利机会是可发行的。让我们强调一下，我们这里只考虑套利机会的基本概念。对于无套利条件的替代版本的详尽研究，感兴趣的读者可以参考Fo ntana[20]最近的论文。24 T.r.Bielecki和M.RutkowskiLet x是任意实数。我们用V（x）表示自融资策略（x，~n，0）的财富过程，其中，除了ψ（分别为ψ和ψ），ψ是所有成分都等于零的组合，借贷利率不同。很容易看出，财富过程v（x）是由x唯一确定的，具体而言，这些条件等于xB（分别为x+Bl）-十、-Bb）。无论如何∈ （0，T），随机变量Vt（x）代表套期保值者初始捐赠x在T时的未来价值。对于给定的合同a，如果通过对动态投资组合的巧妙选择，套期保值者可以在T时产生比其初始捐赠的未来价值更高的净财富，则会产生一个任意年龄机会。交易策略的可接受性问题需要针对手头的每个模型进行检查（例如，参见定义3.4）。定义3。

2当满足以下条件时，可接受的交易策略（x，~n，A）是套期保值者关于A的套利机会：P（VnetT（x，~n，A）≥ VT（x））=1，且p（VnetT（x，ν，A）>VT（x））>0。定义3.2表明，初始捐赠x的套期保值者可以通过签订合同a产生一个任意地理机会，前提是他可以找到一个可接受的策略（x，魟，a），并且在合同到期日T的净财富始终不小于VT（x），并且以正概率比VT（x）大。让我们考虑一下经典情况，当Bl=Bb=Bi，l=Bi，b=b代表所有i。然后，对于任何合同，由于经典环境中自融资策略的可加性，对于任何自融资策略y（x，ν，A），我们得到vnet（x，ν，A）- V（x）=V（x，φ，A）+V（0，eφ，-（A）- V（x，~n，0）=V（0，~n+e）- ν，0）=V（0，b），其中V（0，b）是交易策略b的财富过程，通常意义上是自我融资。此外，如果bа是经典se中的任何自我融资交易策略，那么我们可以设置x=0和A=0，这样V（0，bа）=Vnet（0，bа，0）。备注3.1公平地承认，定义3.2只是在降低潜在交易对手的融资成本和信贷质量的情况下，获得更普遍的套利机会的第一步。

一种更复杂的方法依赖于两个相对的动态对冲头寸的比较，因此我们最终会得到以下条件：一个扩展的套利机会是一对（x，~n，A）和（x，e~n，-A） 其中x+x=x和p（VT（x，φ，A）+VT（x，eφ，-（A）≥ VT（x））=1，P（VT（x，φ，A）+VT（x，eφ，-A） >VT（x））>0。这种更普遍的观点意味着，利用两个信誉相同或不同的潜在交易对手的存在，也可以创造套利机会。扩展定义要求在OTC中采用背对背的定价，且具有相同的合同特征，但由不同的交易对手发起。因此，最小交易模型现在包括套期保值者和他的两个交易对手。关于这方面的进一步结果，请参见Nie a and Rutkowski[33]w中的第3.2节，这里详细研究了部分网状模型。支持定义3.2的因素可以概括为以下几点：o在市场模型的特定情况下，其实施相对容易，o它产生了明确的财务条件，以及o最后但并非最不重要的是，它可以用于澄清和证明在具有融资成本的市场的一般设置中使用鞅测度的概念，抵押和违约。综上所述，虽然定义3.2可能会更加明确，但它似乎是处理非线性交易环境中套利问题的有效工具。使用定义3.2，我们现在可以引入套利风险模型的概念，或者针对特定模型可以涵盖的所有合同，或者通过选择我们感兴趣的第一类a类合同。

请注意，原则上，无套利资产可能取决于套期保值者的初始捐赠x.估值和对冲融资成本和抵押25定义3。3我们认为，对于a类金融合同，只要在套期保值者可接受的所有交易策略类别中不存在与a类合同相关的套利机会，一般市场模型对套期保值者而言是无套利的。换句话说，一个模型是无套利的，如果它适用于任何合同∈ 对于套期保值者，A和任何可容许的策略（x，~n，A），我们有VnetT（x，~n，A）=VT（x）= 1或PVnetT（x，~n，A）<VT（x）> 0.让我们强调，如果一个模型对套期保值者来说是无套利的，那么它对交易对手来说也不一定是无套利的。还可以观察到，在经典案例中，当Bl=Bb=Bi、l=Bi、b=b代表所有i时，定义3.3简化为套利自由市场模型的经典定义。因此，正如预期的那样，如果交易策略中没有摩擦，或者至少不影响手头的合同类别，因此可以安全地忽略，那么本文开发的方法符合标准套利定价理论。3.1.2具有融资成本的基本模型请让我们详细说明上一小节中引入的概念，以及第2.2节中现金账户B=B的融资成本的基本模型。我们现在有了VT（x）=xB，因此定义3.2 beco-meP的条件（VnetT（x，~n，A）≥ xBT）=1，P（VnetT（x，ν，A）>xBT）>0（3.3）或，e相当于P（eVnetT（x，ν，A）≥ x） =1，P（eVnetT（x，~n，A）>x）>0其中净财富Vnet（x，~n，A）由定义2.5或引理2.1给出。对于任意的自我融资交易策略（x，~n，A），等式（2.23）yieldseVnett（x，~n，A）=x+dXi=1Z（0，t]ξiuebiubsi，cldu+dXi=1Zt（ψiu+ξiubSiu）deBiu。

（3.4）因此，我们观察到，为了检验基本模型的无套利性质，必须考虑初始值为零的交易策略。换句话说，基本模型的无套利属性并不取决于套期保值者的初始禀赋。请注意，根据（3.4），风险资产的套期保值是不受限制的，这意味着每项风险资产都可以从任意的现金融资账户中获得资金。此外，我们通常假设策略（x，~n，a）需要满足某种形式的可接受性。在有资金成本的基础模型框架内，我们对可接受的策略类别进行了以下定义：；它们通常被称为astame策略。定义3。4无论何时，只要被清算的净财富过程sseVnet（x，~n，A）从下方以一个常数为界，套期保值者都可以采用自融资交易策略（x，~n，A）。贴现净财富过程Vnet（x，~n，A）从下到下以常数为界的条件是一个常见的可容许性要求，这确保了，如果过程Vnet（x，~n，A）是某个等价概率测度下的局部鞅，那么它也是一个超鞅。众所周知，即使在Black和Scholes模型的经典情况下，这种技术假设也无法避免。让我们强调一下，折扣系数的选择在定义3.2中没有具体说明。如果定义3.4中提到的一个常数等于零，因此可接受策略的净财富必然保持非负，则必须在不进行任何贴现的情况下考虑净财富，因此在定义3.2中选择贴现因子显然无关紧要。否则，这一选择将取决于研究中的问题和模型（例如，参见Pro position 3.3）。引理3。

2假设对于任何可接受的交易策略（μ，A），存在一个概率m measurepμ，Aon(Ohm, GT）使得eP~n，Ais等价于P，而processeVnet（x，~n，A）是一个（eP~n，A，G）局部鞅。那么，对于套期保值者来说，具有融资成本的基本市场模型是无套利的。26 T.R.Bielecki和M.RutkowskiA概率测度Eep~n，Ais然后为过程网（x，~n，a）调用了一个等价的局部鞅测度（ELMM）。当然，引理3.2的有效条件在一般情况下很难检验，因此它似乎没有实际意义。为此，我们将搜索更明确的条件，这些条件相对容易验证。它们指的是，对于给定的交易框架和研究中的有效大类合约，存在某种通用的等价局部鞅测度。为此，我们将首先重新审视套利机会和套利价格的概念，因为正如我们将在下文中讨论的那样，经典定义并不能充分反映当前的总体框架。特别是，我们表明，对市场模型无套利性质的研究不能与对给定类别合约的套期保值策略的分析分开。这是因为与合约（即外部现金流A）相关的流入或流出现金流的存在可能对财富过程的动态产生非加性影响，从而也对套期保值者交易活动的总收益和/或损失产生影响。显然，如果存在Bk6=B，那么就会出现套利机会。实际上，通过取ξ=…=每j的ξd=0和ψj=0，j=k除外。

然后我们得到了evnet（x，~n，A）=x+ZtψkudeBkuand，因此我们可以看到，对于过程evnet（x，~n，A），一般来说，并不保证等价的局部鞅measurep~n，afo的存在。因此，需要对交易策略和/或融资利率类别施加附加条件，以确保具有融资成本的基本模型是套利利率。因此，在下一个结果中，我们排除了对任何r isky资产进行混合融资的可能性。回想一下，如果所有t的等式ψitBit+ξitSit=0满足，则条件（2.15）成立∈ [0，T]。我们写Q~ P表示概率测度Q和P是等价的(Ohm, GT）。命题3.1假设套期保值者可用的所有策略都是可接受的，并且满足条件（2.15）。如果存在一个概率测度(Ohm, GT）这样的t hateP~ P和进程sbsi，cld，i=1，2，d是（eP，G）-局部鞅，那么对于套期保值者来说，具有融资成本的基本模型是无套利的。证据有必要观察到，在公共假设下，等式（3.4）减少了toeVnett（x，~n，A）=x+dXi=1Z（0，t]ξIUEBUDBSI，cldu（3.5），并应用通常的论点，即当半鞅S，S，从下面以常数为界的，必然是一个上鞅。3.2套期保值者在融资成本下的公允价值下一步，我们将重点关注合同的公允定价。

在一个允许套利机会的市场模型中，合同的公平定价显然是不可行的，因此我们今后的工作是在一个长期假设下进行的，即研究中的模型对于具有给定初始捐赠x的套期保值者和包含给定合同a的足够大的a类合同（见定义3.3）。我们的目标是对套期保值者的公平价格提出一个现实的定义，并展示如何将其应用于一些具有融资成本的模型。让我们注意到，无套利模型的定义是不对称的，即套期保值者不存在套利机会的模型可能仍然允许交易对手有套利机会。此外，即使双方的市场条件相同，初始捐赠相同，且给定的模型对双方都是无套利的，合同的现金流显然是不对称的，因此，两个交易对手计算的融资成本和抵押物公允价格的估值和对冲范围可能不同。根据本文采用的惯例，我们将集中讨论一方，即套期保值者。3.2.1通用市场模型我们的下一个目标是描述套期保值者对现金流a合同的套利价格范围。设x为套期保值者的初始捐赠，p代表套期保值者在时间0的合同通用价格。p的正值表示套期保值者在0时从交易对手处收到现金金额p，而p的负值表示套期保值者进行支付-在时间0时向交易对手支付p。

从下一个定义中可以明显看出，套期保值者的价格可能取决于套期保值者的初始收益x，并且通常可能不是唯一的。重要的是要强调，交易策略的可接受性现在是使用贴现财富来定义的，与贴现净财富相对应，如第3.1节所述。因此，为了避免与定义3.4混淆，我们决定在每次相关时明确说明可接受性条件。此外，折扣系数的选择取决于考虑因素下的模型，但另一方面，它是相当随意的，因此，正式由通用s ymbolbV（x，ν，a）表示的折扣健康过程不一定给出asB-1V（x，ν，A）。例如，在第3.4节中，贴现财富将由bv（x，~n，A）：=（Bl）给出-1V（x，ν，A）。根据经验，我们建议，当我们解决本节开头的第一个或第二个问题时，折扣的选择应该是相同的。定义3。5我们说，实数p=a是套期保值者在0时的公平价格，而对于任何自我融资交易策略（x，~n，a），贴现财富过程bV（x，~n，a）从下到下都有一个常数，我们得到的是VT（x，~n，A）=VT（x）= 1（3.6）orPVT（x，~n，A）<VT（x）> 0 . （3.7）人们可能会注意到，定义3.5中的两个条件与定义3.3中的条件类似，尽管它们并不相同，实际上，它们的财务解释也截然不同。回想一下，定义3.3有可能通过非对冲合同设定动态对冲的共同合同-A、 鉴于定义3.5涉及为Afrom确定一个公平的价格，套期保值者将其视为合同的卖方。

在后一种情况下，如果套期保值者能够通过按价格出售股票并为其空头头寸设计合适的对冲策略来创造套利机会（从定义3.5中隐含的意义上讲），那么很自然地说价格水平对套期保值者来说太高了。再次，套期保值者的收益是根据其筹集资本的独特比率来衡量的，或者更准确地说，是根据其当前捐赠x的未来价值来衡量的，如随机变量VT（x）所示。这导致了对ahedger的A at price p套利机会的以下自然定义。在套利定价理论中，我们通常需要假设交易策略是可接受的。定义3。6我们说，一个四元（p，x，~n，a），其中p=a是一个实数，（x，~n，a）是一个可接受的交易策略，使得贴现财富过程bv（x，~n，a）由一个常数从下方限定，是套期保值者在p ifP价格下的套利机会VT（x，~n，A）≥ VT（x）= 1和PVT（x，~n，A）>VT（x）> 0 .假设hedg拥有初始捐赠x，他以p的价格完成合同A。然后，在定义3.5的意义上，当他无法以p=p的价格获得A的套利机会时，在定义3.6.28 T.R.Bielecki和M.Rutkowski的实践中，套期保值者的初始捐赠x<0不能被解释为交易台从银行内部资金部门借入的现金金额，该金额应在给定的期限T内以利息B重新支付。

因此，价格为P的套利机会意味着价格高到足以让套期保值者做出无风险收益，其中“收益”是根据套期保值者的特殊资本成本进行评估的，如账户Bb所代表的mally。3.2.2有资金成本的基本模型在有资金成本的基本模型中，我们得到了以下结果，它与经典模型非常相似，后者处理的是一个有单一现金账户的市场模型。请注意，我们在第3.1条的假设下工作，因此，对于任何合约A，具有融资成本的基本模型对套期保值者来说都是无套利的。回想一下，这里Bl=Bb=B，因此贴现财富定义为aseV（x，~n，A）=B-1V（x，~n，A），可接受性由定义3.4规定，交易策略假设满足条件（2.15）。命题3.2在命题3.1的假设下，实数是套期保值者的公平价格，无论何时，对于任何可接受的交易策略（x，ν，a）满足条件（2.15），我们都有p+dXi=1Z（0，T]ξiueBiudbSi，cldu+Z（0，T]B-1U=0= 1orPp+dXi=1Z（0，T]ξiueBiudbSi，cldu+Z（0，T]B-1U小于0> 0 .证据必须将定义3.5与方程式（2.24）结合起来。请注意，在Bl=Bb=B的基本框架中，所有套期保值者公平价格的s e t并不取决于套期保值者的初始捐赠x，尽管它明显取决于c countsBi，i=1，2，d、 此外，对于过程e sbSi，cld，i=1，2，…，真实世界的概率测度P可以用等价的局部鞅测度代替，d、 作为一个例子，让我们以At=-X1{t=t}假设每i=1，2。

，d.然后我们得到了套期保值者的pric e’p的以下特征：对于任何可容许的交易策略（φ，a），eitherPp+dXi=1Z（0，T]ξiudeSi，cldu=B-1TX= 1orPp+dXi=1Z（0，T]ξiudeSi，cldu<B-1TX> 0.我们在此认可经典案例，即套期保值者的公平价格是一个任意水平的概念，不允许为欧洲索赔创建套期保值者的超级定价策略X.3.3示例作为本节研究的定价问题的简单说明，我们建议考虑将Bla-ck-Scholes模型扩展到不同借贷利率的情况，从而满足rb≥ rl≥ 0.众所周知，当人们考虑使用非负财富为交易策略融资时，该模型在经典意义上是无套利的（例如，见伯格曼[1]和El Karoui et a l[18]中的示例1.1）。我们假设hedg er的初始捐赠x满足>0，我们通过一个简单的合同a来补充我们的模型，在时间0后只有两次现金流，即，在时间0<t<t时流出的现金流为\'a:=α现金单位，流入的现金流为\'a:=αebr（t）的融资成本和抵押进行估值和对冲-t） 时间t的现金单位。因此，合同A可以被视为套期保值者以持续复合的利息向交易对手发放的α单位现金贷款。请注意，与利率br关联的账户的存在不是假设的。根据定义2.2，过程A由At=-\'A[t，t]（t）＋\'A[t]（t）表示每t∈ [0，T].3.3.1套期保值者的套利我们首先关注套期保值者的套利，从定义3.2的意义上讲，当套期保值者可以获得合同a时。为此，我们暂时假设本合同在0时的初始价格p未具体说明。

让我们考虑一种自我融资策略（x，b~n，a），在该策略中，初始捐赠XI仅投资于贷款和借款账户，且对冲者在向交易对手支付c个单位的现金时使用了该投资的一部分。没有证据表明，套期保值者从未对风险资产的股票进行过投资。因此，从（2.3）和（2.4）中，我们通过假设ψlt得到Vt（x，b~n，A）=ψltBlt+ψbtBbtwhere≥ 0，ψbt≤ 0和ψi，ltψi，bt=0和vt（x，b~n，A）=x+ZtψludBlu+Ztψbudbu+At。（3.8）如果我们假设xerlt≥ α、 然后，满足这些假设的唯一策略b~n=（ψl，ψb）被给出为：ψbt=0 for all t∈ [0，T]和ψlt=x1[0，T）+exBlt[T，T）+bxBlT[T，T]，T∈ [0，T]，其中ex=xerlt- α、 bx=xerlT- αerl（T-t） +αebr（t-t） 。因此，在这种情况下，套期保值者在时间T时的策略财富（b k，A）等于vt（x，b k，A）=施乐特- αerl（T-t） +αebr（t-t） =施乐特- αerl（T-t） +αebr（t-t） 。（3.9）相反，如果不平等性xerlt<α是有效的，那么套期保值者在必要时的财富是绝对满足的（x，b~n，A）=施乐特- αerb（T-t） +αebr（t-t） =xerlterb（t）-（t）- αerb（T-t） +αebr（t-t） 因为现在套期保值者唯一可用的por-tfolio b~n=（ψl，ψb）涉及α的借用- Xerltt时间t的现金单位（向交易对手支付α单位的现金需要）。类似的论证表明，如果我们设x=0并考虑合同-A、 然后，套期保值等式vt（0，e~n，-A） =αerl（T-（t）- αebr（T-t） 。因此，如果xerlt≥ α、 然后，净财富等于vnett（x，b k，A）=VT（x，b k，A）+VT（0，e k，-A） =施乐特- αerl（T-t） +αebr（t-t） +αerl（t-（t）- αebr（T-t） =xerlT=VT（x），对于xerlT<α，它满足vnett（x，b k，A）=VT（x，b k，A）+VT（0，eа，-A） =xerlterb（T-（t）- αerb（T-t） +αebr（t-t） +αerl（t-（t）- αebr（T-t） =施乐特+α - 施乐特erl（T-（t）- erb（T-（t）≤ xerlT=VT（x）30t.R。

Bielecki和M.Rutkowski，其中最后一个不等式在rb>rl时是严格的。这意味着，在定义3.2的意义上，独特的s策略（b k，A）不构成套期保值者的套利机会。当然，也应该检查更复杂的套期保值策略（ν，A），但当考虑到投资风险资产的可能性时，不太可能出现套期保值者的机会。3.3.2套期保值者的公平估值我们现在将从套期保值者的角度关注一个套期保值者的公平估值。另外，让我们假设兰·施乐特≥ α、 因此，A=0的方程式（3.9）得出VT（x，b k，A）>xerlT，因此很明显，从定义3.5的意义上讲，p=0不是合同的公平套期保值者价格。因此，我们预计套期保值者对a的公平价格必然是一个严格的负数。如果我们仍然假设套期保值者不投资风险资产和不平等X+p≥ 满足0，（x+p）erlt>α（3.10），然后我们得到A=pVT（x，bν，A）=（x+p）erlt- αerl（T-t） +αebr（t-t） =（x+p）erlT- αerl（T-t） +αebr（t-t） 显然，等式VT（x，b~n，A）=xerlholds，当erp=αe时-rlTerl（T-（t）- ebr（T）-（t）. （3.11）观察（3.11）给出的p是严格负的，因为我们假设br>rl。因此，根据定义3.5，自然可以推测（3.11）给出的值是A的套期保值者公平价格的上界，前提是上述公式给出的p满足条件（3.10），即（3.11）给出的p g的绝对值相对于tox而言确实非常小。否则，导致p的公允价值的计算应进行相应修改，预计结果会有所不同。

这个例子虽然很程式化，也没有完全解决，但它表明，在处理金融机构更现实的交易模型时，经典的套利定价技术确实应该修改。3.4具有融资成本和部分净额结算的模型为了对本节中引入的新概念提供一个非平凡的说明，让我们考虑一下第2.4.3节中引入的具有短期现金头寸部分净额结算的市场模型。回想一下，原则上，折扣系数的选择是不受限制的，因此任何特定的选择都是为了方便手头的问题。让套期保值者的初始捐赠为x≥ 0 . 首先，我们将证明，在温和的假设下，该模型对于套期保值者而言对于合同a是无套利的。为此，我们通过设置EVLT（x，~n，a）：=（Blt）来定义贴现财富和贴现财富（η，a）-1Vt（x，~n，A）和vl，净值（x，~n，A）：=（Blt）-分别为1Vnett（x，ν，A）。在这里，选择BLF进行贴现与假设x有关≥ 0; 当x<0时，更倾向于选择Bb，因为在这种情况下，套期保值者在时间0时有一个de bt，必须根据Bb确定的利息进行重新定价。3.4.1套期保值者的套利以下结果取决于一个似是而非的假设，即所有借款利率ri均高于普通贷款利率rl。不，我们假设所有现金账户都是绝对连续的。命题3.3假设x≥ 0，rlt≤ RBT和rlt≤ 对于i=1，2，…，i，d、 让我们表示esi，l，cldt=（Blt）-1Sit+Z（0，t）（蓝色）-1大牛。（3.12）如果存在概率度量，则使用融资成本和抵押进行估值和套期保值31~ 这样的过程sesi，l，cld，i=1，2，d是（ePl，G）局部鞅，那么第2.4.3节中的市场模型对于套期保值者来说是无套利的。

从推论2.4中，我们知道，自我融资策略的财富过程V（x，~n，A）满足（见等式（2.51））dVt（x，~n，A）=dXi=1ξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+dAt+rltVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）-+dt- rbtVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）--dt。因为我们假设rlt≤ rbt，我们获得了DVT（x，~n，A）≤dXi=1ξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+dAt+rltVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）-+dt- rltVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）--dt=rltVt（x，ν，A）dt+dXi=1ξitdSit+dAit+ dAt-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+rltdXi=1（ξitSit）-dt≤ rltVt（x，ν，A）dt+dXi=1ξitdSit- rltSitdt+dAit+ 最后一个不平等性成立的地方，因为还假设rlt≤ ri，bt.因此，折扣的WealtheVLT（x，k，A）=（Blt）-1Vt（x，а，A）满足（x，а，A）≤dXi=1ξit（Blt）-1.dSit- rltSitdt+dAit+ （Blt）-因此，鉴于（3.12），我们得到了（x，ν，A）≤dXi=1ξitdeSi，l，cldt+（Blt）-1点。此外，净财富等于Vnett（x，~n，A）=Vt（x，~n，A）+Ut（A）（见引理3.1），其中有限变量U（A）的G适应过程是以下等式的唯一解Ut（A）=Zt（Blu）-1（Uu（A））+dBlu-Zt（Bbu）-1（Uu（A））-dBbu- At（3.13），其中U（A）=（U（A））+- （U（A））-是将过程U（A）分解为递增和递减的成分。因此，净贴现财富EVL，净（x，~n，A）：=（Blt）-1Vnett（x，~n，A）满足，净（x，~n，A）=deVlt（x，~n，A）+d（（Blt）-1Ut（A））≤dXi=1ξitdeSi，l，cldt+（Blt）-2（Ut（A））+dBlt- （Blt）-1（Bbt）-1（Ut（A））-dBbt+Ut（A）d（Blt）-1=dXi=1ξitdeSi，l，cldt+rlt（Blt）-1（Ut（A））+dt- rbt（Blt）-1（Ut（A））-dt- rlt（Blt）-1Ut（A）dt=dXi=1ξitdeSi，l，cldt+（rlt- rbt（Blt）-1（Ut（A））-dt32 T.R.Bielecki和M.Rutkowskiand thuseVl，净值（x，k，A）-eVl，净（x，~n，A）≤dXi=1Z（0，t]ξiudeSi，l，cldu。（3.14）现在可以使用标准达古门建立该模型的无套利性质。

首先，从（3.14）和假设过程vl，net（x，~n，A）由一个常数从下面限定，我们推断（3.14）中的右边是一个（ePl，F）-supe-rmartingale，在t=0时为空。接下来，因为初始捐赠x是非负的，所以我们得到VT（x）=BlTx。从不等式（3.14）中，我们得到（BlT）-1.VnetT（x，~n，A）- VT（x）≤dXi=1ZTξitdeSi，l，cldt。由于EPLIS相当于P，我们得出结论，无论是VnetT（x，~n，A）=VT（x）保持相等，还是满足其优质的P（VnetT（x，~n，A）<VT（x））>0。这意味着ar比特率机会确实被排除，因此，对于任何合约A，部分净额交易的市场模型对套期保值者来说都是无套利的。备注3.2我们声称命题3.3的断言对x也是正确的≤ 在rb的StrongErasumption下0≤ 对于所有我提供的过程，i，l，cld，i=1，2，d被ESI，b，cld，i=1，2，d、 其中，通过将（3.12）右侧的BL替换为BB，可以获得进程I、b、cldis。

自从rl≤ rb≤ ri，b，我们现在得到了dVT（x，~n，A）≤dXi=1ξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+dAt+rbtVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）-+dt- rbtVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）--dt=rbtVt（x，ν，A）dt+dXi=1ξitdSit+dAit+ dAt-dXi=1ri，bt（ξitSit）+dt+rbtdXi=1（ξitSit）-dt≤ rbtVt（x，ν，A）dt+dXi=1ξitdSit- rbtSitdt+dAit+ 达特。因此，贴现的财富EVBT（x，~n，A）=（Bbt）-1Vt（x，~n，A）满足（x，~n，A）≤dXi=1ξitdeSi，b，cldt+（Bbt）-1净贴现财富EVB的数据，净（x，~n，A）：=（Bbt）-我们从（3.13）deVb，nett（x，~n，A）=deVbt（x，~n，A）+d（（Bbt）-1Ut（A））≤dXi=1ξitdeSi，b，cldt+（Bbt）-1（Blt）-1（Ut（A））+dBlt- （Bbt）-2（Ut（A））-dBbt+Ut（A）d（Bbt）-1=dXi=1ξitdeSi，b，cldt+rlt（Bbt）-1（Ut（A））+dt- rbt（Bbt）-1（Ut（A））-dt- rbt（Bbt）-1Ut（A）dt。自从rl≤ rb，这个收益率（BbT）-1.VnetT（x，~n，A）- VT（x）≤dXi=1ZTξitdeSi，b，cldt其中VT（x）=BbTx自x起≤ 因此，如果存在概率测度b，则得出结论~ 使得过程sesi，b，cld，i=1，2，d是（ePb，G）-局部鞅。估值和对冲与融资成本和抵押333.4.2套期保值者的公平估值我们现在讨论套期保值者对合同a的公平估值问题。在目前的设置中，定义3.5适用于贴现财富BV（x，~n，a），a=\'p，由以下等式BVT（x，~n，a）=eVlt（x，~n，a）=（Blt）给出-1Vt（x，~n，A），也就是说，交易策略（x，~n，A）的可接受性是使用贴现的财富价值（x，~n，A）确定的。

鉴于推论2.4（另见方程式（2.51）），部分净额结算模型中的套期保值者公平价格集合可以描述如下：对于任何可接受的策略（x，k，A），我们有x+-p+dXi=1Z（0，T]ξitdSit+dAit-dXi=1ZTri，bt（ξitSit）+dt+Z（0，T]dAt+ZTrltVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）-+dt-ZTrbtVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）--dt<VT（x）> 0orPx+-p+dXi=1Z（0，T]ξitdSit+dAit-dXi=1ZTri，bt（ξitSit）+dt+Z（0，T]dAt+ZTrltVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）-+dt-ZTrbtVt（x，ν，A）+dXi=1（ξitSit）--dt=VT（x）= 1.很明显，thatR（0，T]dAu=AT- A.然而，术语“pand”-Ado不得在上述公式中取消，因为“pis”是未知的合同初始公平价格，而随机变量- Are表示所有合同的现金流（0，T），因此它通过合同契约明确规定。当然，公平价格的这种形式化描述不影响任何有形的计算算法。因此，在下一步，需要开发更明确的方法来确定公平价格（例如，通过BSDE方法的适当扩展，该方法在第5.2节中进行了阐述）。4在本节中，融资成本和抵押交易，当套期保值者以现金流a签订合同，并以随机过程C正式重新呈现的价值接收或发送抵押品时，我们将检查这种情况。过程C被称为保证金账户或抵押品金额，发送或接收抵押品的机制被称为保证金。

LetCt=Ct{Ct≥0}+Ct{Ct<0}=C+t- C-t（4.1）通常是将随机变量Ct分解为正分量和负分量。按照惯例，C+指套期保值者收到的抵押品的现金价值，而C-Tre展示了他发布的colla teral的现金价值。为了表述的简单性，自始至终都假设套期保值人只能交付（或接收）特定抵押资产的股份，此后用Sd+1（或Sd+2）表示。原则上，这一假设可以放宽，以涵盖抵押资产不是预先确定的，但可以从大型r类资产中选择的情况。然而，符号和计算会变得更重，所以我们决定只考虑一个简单的例子。除非另有明确说明，我们在以下假设条件下工作：（a）借贷和借贷现金利率Bland Bb相等，因此Bl=Bb=B，（B）每个风险资产的长期和短期融资利率相同，即Bi，l=Bi，B=Bifori=1，2，d、 34 T.R.Bielecki和M.Rutkowski我们就合同到期日保证金账户的行为做出以下长期假设。假设4.1我们假设G适应抵押品金额过程满足CT=0。因此，下文讨论的担保金额的任何特定规定仅对0有效≤ t<t，我们总是将CT设为0。假设相等CT=0是一种方便的方式，可以确保在合同到期时，将所有已过账的抵押品金额全额返还给其所有者，前提是违约事件不会发生。当然，如果也对默认事件进行了建模，则需要指定收尾支付。

让我们提到[33,34]中研究了外来抵押品的情况，而[35]中研究了内源性抵押品的情况（如下面等式（4.10）所示）。4.1抵押品惯例在市场实践中，抵押品问题的复杂性是巨大的，显然超出了这项工作的范围，其中，我们将只关注抵押对套期保值者投资组合动态的影响，从而从套期保值者的角度对估值的影响。首先，让我们就保证金账户的关键特征发表一些评论，这些特征支持我们对保证金成本的程式化方法。像往常一样，我们从套期保值者的角度来看当前的金融实践通常要求将抵押品金额保存在单独的保证金账户中，以便套期保值者作为抵押品接受者时，不能将抵押品金额用于交易。因此，在segr egation下，套期保值者的财富动态不取决于交易对手是否以现金或风险资产Sd+2的股份形式过账抵押品金额。相比之下，当套期保值者是抵押品提供者时，交付资产的性质对他来说总是很重要实践中遇到的另一种抵押贷款是再抵押，它指的是银行被允许将其交易对手抵押的抵押物作为抵押物用于自身借款的情况。

在我们的再抵押方法中，我们将区分抵押品金额以风险资产份额的形式交付给套期保值者的情况（因此，它只能被重新用作抵押品）和现金抵押品的情况，在现金抵押品的情况下，它可以用于直接交易如果套期保值者是抵押品提供者，那么关于隔离或再抵押的特定约定对其投资组合的财富动态无关紧要。当然，在评估套期保值者或交易对手违约时的收尾收益时，隔离和再抵押之间的区别变得很重要。然而，后一个问题，以及更新保证金账户的一个相当复杂的机制，被搁置一边，因为它们已经在文献中得到了彻底的研究。我们首先介绍通用符号，它将在分析各种约定时使用。我们在这里设置了一个抽象的设置，这个设置足够灵活，可以涵盖各种附带约定。相比之下，我们并不假装任何特定的公约应该被视为普遍或可取的公约。定义4。1抵押套期保值者的交易策略是四分之一（x，~n，A，C），其中投资组合为=ξ, . . . , ξd+1，ψ，ψd+1，ηb，ηl，ηd+2（4.2）由风险资产Si，i=1，2，d+1，无担保现金账户B=B，盗窃账户Bi，i=1，2，d+1、已过账现金抵押品的借款账户Bd+1、抵押品账户Bc、银行Bc、l以及与收到的抵押资产Sd+2相关的借款账户Bd+2。带有融资成本和抵押品的估值和套期保值354.1抵押品账户Bc，b（分别为Bc，l）起以下作用：如果套期保值者收到（分别为。