以下定义5.1中引入的清算函数概念使清算的概念更加精确。让我们来介绍线性算子B:IRm→ Ird定义为bz=（z，…，zm，0，…，0）T.（5.2）我们将在Lm中使用B与随机变量的组合。给定X∈ Lm，BX表示Ld中的元素，由ω的（BX）（ω）=B（X（ω））定义∈ Ohm. 伴随B*: 国税局→ IRmof B由B提供*y=（y，…，ym）T.（5.3）同样地，B*可以由Ld中的随机变量组成。在稍微滥用符号的情况下，我们还将使用B*在向量概率测度的背景下。给定Q∈ Md（P），我们定义*Q=（Q，…，Qm）T∈ 嗯（P）。定义5.1。函数∧m:L∞D→ P（L）∞m） 定义为∧m（Y）={X∈ L∞m | BX∈ Y+K}（5.4）被称为与K有关的清算函数∈ L∞d、 集合∧m（Y）由Y+K中所有可能产生的头寸组成，这些头寸已被清算为第一个m资产。5.2市场风险度量及其双重代表让我们考虑一个闭凸风险度量R:L∞M→ 在将结果头寸变现为第一笔m资产后，用于风险评估。由于∧m（Y）中的所有头寸对持有头寸Y的投资者都是可访问的∈ L∞d、 如以下定义所示，R的值应在∧m（Y）集合上最小化。定义5.2。函数r:L∞D→ P（IRm）定义byRmar（Y）：=inf（Gm，){R（X）|X∈ ∧m（Y）}=cl-co[X∈∧m（Y）R（X），（5.5）被称为由R引起的市场风险度量。备注5.1。在示例5.1中描述的锥形市场模型的情况下，当Dt（ω）=每个ω∈ Ohm 和t∈ {0，…，T}，且不考虑T=T时的清算（m=d），定义5.2恢复了Hamel等人（2013，定义2.8，备注2.9）中给出的市场扩张概念（具有闭合值）。回想一下，闭凸风险度量R:L∞M→ GMI由Proposition 3.1中的五个属性定义。

对于市场风险度量，这些属性需要用明显的更改进行重写，因为函数现在已在L上定义∞d、 （例如，Rmarreads的可译性为Rmar（Y+Bz）=Rmar（Y）- z代表每一个Y∈ L∞丹兹∈ IRm。）下一个命题表明，市场风险度量是一个闭凸风险度量，除了一个完整条件和弱条件*-亲密。提议5.1。市场风险度量是单调的、可平移的和凸的，它的总风险度量（0）6=. 此外，凸包算子可以从定义5.2中删除，即Y∈ L∞d、 Rmar（Y）=cl[X∈∧m（Y）R（X）。（5.6）恢复虚弱*-封闭性，我们定义了Rmarvia的封闭版本，即封闭船体的概念。定义5.3。函数F:L的闭壳clf∞D→ gm是点上最大的弱点*闭函数将其最小化，也就是说，如果F:L∞D→ 他是个弱者*-闭函数使得F（Y）F（Y）代表所有Y∈ L∞d、 然后我们有（clf）（Y） F（Y）表示每个Y∈ L∞d、 闭壳cl-Rmarof-Rmaris称为由R诱导的闭市场风险度量。可以检查在采用闭壳的情况下，单调性、平移性和凸性是否保持不变。因此，考虑到命题5.1，闭式投资风险测度R:L引发的闭式市场风险测度∞M→ 如果（cl Rmar）（0）6=IRm，则GMR是一个闭凸风险度量。下面的定理5.1给出了封闭市场风险度量的双重表示，即在零不确定性假设下，原始风险度量R的惩罚函数。推论5.1（推论5.2）给出了凸（锥形）市场模型中无交易约束的特殊情况。以下结果中使用的对偶变量集由wm，d:=Md（P）×（（IRm+\\{0}）×IRd给出-m+。（5.7）我们还将利用齐次半空间G（w）：={y∈ 税务局≥ 0}表示w∈ IRd+\\{0}。定理5.1。

假设R:L∞M→ gm是一个带惩罚函数的闭凸风险测度-αR:Mm（P）×（IRm+\\{0}）→ 通用汽车，见提案3.3。假设（cl Rmar）（0）6=IRm。然后闭式市场风险度量cl Rmar:L∞D→ GMS也是一个闭凸风险度量，它具有以下对偶表示：对于每个Y∈ L∞d、 （cl Rmar）（Y）=\\（Q，w）∈西医，卫生署-αcl-Rmar（Q，w）+B*情商[-Y]+G（w）∩ B（IRm）i、 （5.8）在哪里-αcl-Rmar:Wm，d→ 由αcl Rmar（Q，w）定义的GMI=- αR（B）*Q、 B*w） +TXt=0cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*情商美国犹他州+ G（w）∩ B（IRm）. （5.9）回想一下，非空凸集C的衰退锥 是凸锥0+C:={y∈ 税务局| y+C C} 非空凸锥K的正对偶锥 IRdis是凸角K+：={y∈ 税务局|K∈ K:yTk≥ 0}; 例如，见Rockafellar（1970年，第8节，第61页）和Zalinescu（2002年，第1.1节，第7页）。推论5.1。在定理5.1的假设下，假设每个ω的Dt（ω）=ird∈ Ohm和t∈ 那么-αcl Rmargiven by（5.9）集中在setWconvexm上，d:=n（Q，w）∈ Wm，d|T∈ T:w·EdQdP英尺∈ Ld（Ft，（0+Ct）+o，（5.10），其中，对于每个t∈ T、 （0+Ct）+：Ohm → Gd是由（0+Ct）+（ω）定义的可测量函数：=（0+Ct（ω））+。换句话说，我们有-αcl-Rmar（Q，w）=IRmfor（Q，w）∈ Wm，d\\Wconvexm，d在上一个结果的设置中。推论5.2。在定理5.1的假设下，假设每个ω的Dt（ω）=ird∈ Ohm和t∈ T、 市场模型是锥形的，如例5.1所示。考虑setWconem，d:=n（Q，w）∈ Wm，d|T∈ T:w·EdQdP英尺∈ Ld（Ft，C+t）o，（5.11），其中，对于每个t∈ T、 C+T：Ohm → Gd是由C+t（ω）定义的可测函数：=（Ct（ω））+。然后，（5.9）减少到- αcl-Rmar（Q，w）=(-αR（B）*Q、 B*w） if（Q，w）∈ Wconem、d、IRmelse（5.12）各（Q、w）∈ Wm，d；因此，对于每一个Y∈ L∞d、 （cl Rmar）（Y）=\\（Q，w）∈卫生署沃科内姆-αR（B）*Q、 B*w） +B*情商[-Y]+G（w）∩ B（IRm）我

（5.13）上述定理5.1、推论5.1、推论5.2的证明见第6.6节。他们的观点是，大致来说，市场风险度量是原始风险度量和凸集的（集值）指标函数的（集值）不正卷积∞d（英尺，Ct）∩ Dt），t∈ T.第6.6节讨论了这一技术观察结果，并给出了这些概念的定义。5.3缺口和分歧风险度量引发的市场风险度量在本节中，我们提供了充分的条件，以保证缺口和分歧风险度量引发的封闭市场风险度量的有限价值条件（cl Rmar）（0）6=IRM。一旦这个性质成立，这些闭市场风险测度就是闭凸风险测度，定理5.1给出了它们的对偶表示。为了简单起见，我们假设市场模型在示例5.1中是锥形的。假设5.1。假设市场模型的偿付能力锥共享一个共同的支持空间，即存在“w”∈ IRd+\\{0}使得对于P-几乎每个ω∈ Ohm 还有每个人∈ T、 英菲∈Ct（ω）`wTy>-∞, 或相当于“w”∈ （Ct（ω））+。备注5.2。假设5.1说明了半空间G（`w）={z的存在性∈ IRd| wTz≥ 0}对于某些w∈ IRd+哪个满足G（`w） P-几乎每个ω的Ct（ω）∈ Ohm 和t∈ T.特别是，当偿付能力锥由买卖价格（见Kabanov 1999）构成时，这相当于具有统一（时间和结果）下限的买卖价格，或相当于具有统一（时间和结果）上限的买卖价格。就是“wj”≤ πij（ω，t）–wi代表everyi，j∈ {1, . . .

，d}，每t∈ T、 P-几乎每ω∈ Ohm, 式中，πij（ω，t）是资产i的单位数，代理人可以在时间t和状态ω购买资产j的一个单位，因此，根据资产i，表示资产j的风险价格。命题5.2。假设假设5.1成立，dom`=IRm。（i） 让r∈ IRm++withr∈ dom g.Ifinfx∈C’wT（r·x）>-∞, （5.14）然后（cl-Dmar`，r）（0）6=IRm。特别地，cl-Dmar`，ris是一个闭凸风险度量，具有定理5.1提供的对偶表示。（ii）如果存在∈ IRm++withr∈ dom g使（5.14）保持，然后（cl Rmar`）（0）6=IRm。特别是，cl Rmar`是一个闭凸风险度量，具有定理5.1.6证明和技术注释6提供的对偶表示。1.命题2.1第2节结果的证明。单调性、平移性和凸性是微不足道的。让X∈ L∞.它坚持住了`(- ess sup X- （s）≤ E[`(-十、- s） ]≤ `(- ess inf X- s） 每一天∈ IR。请注意，`Istrictly在`-1（int`（IR））：={x∈ IR|`（x）∈ int`（IR）}=（a，b），其中a:=inf{x∈ IR |`（x）>infy∈IR`（y）}∈ 红外光谱∪ {-∞} b:=sup{x∈ IR|`（x）<+∞} ∈ 红外光谱∪ {+∞}. 因此，他们的投资`-1定义为从int`（IR）到（a，b）的函数。它保持着平衡[`(-十、- s） ]≤ 0代表每个人≥ - ess inf X- `-1（0）和E[`(-十、- s） ]>每个s<0- ess sup X- `-1(0). 所以ρ`（X）∈ IR。此外，E[`(-十、- ρ`（X））]≤ 0，因为\'on dom\'的限制是一个连续函数。托肖（弱）*-)下半连续，let（Xn）n∈Nbe L中的有界序列∞汇聚到某处∈ L∞几乎可以肯定。然后，利用Fatou引理，再加上“on dom”的限制是非减损的和连续的，我们得到了`-十、- 林恩芬→∞ρ`（Xn）i=呃`林恩芬→∞(-Xn- ρ`（Xn））i（6.1）≤ 林恩芬→∞E[`(-Xn- ρ`（Xn））]≤ 0.这意味着ρ′的所谓法头性质，即ρ`（X）≤ 林恩芬→∞ρ`（Xn）。

ByF¨ollmer&Schied（2011，定理4.33），这相当于ρ`的下半连续性。命题2.2的证明。注意第7条→ E[`(-十、- s） ]是IR上的一个适当凸函数。因此，根据定义2.2，ρ`（X）是凸极小化问题的最佳值。IR+上相应的拉格朗日双目标函数h由h（λ）=infs给出∈IR:E[`(-十、-s） ]<+∞（s+λE）[`(-十、- s） ]）。（6.2）很明显，h（λ）=δ`，λ（X），如果λ>0，因为λE[`(-十、- s） ]=+∞ 如果E[`(-十、- s） ]=+∞. 另一方面，请注意[`(-十、- s） ]+∞ 当且仅当P{-十、- s∈ dom`}=1。因此h（0）=inf{s∈ IR|E[`(-十、- s） ]+∞} = - ess inf X- sup dom`。（6.3）因此，对偶问题的最优值等于（2.2）的右边。最后，（2.2）的两面是相等的，因为通常的斯莱特条件成立：存在∈ 就这样[`(-十、- \'s]<0。这是因为我们有E[`(-十、- s） ]<0表示每个s>- ess inf X- `-1（0），在哪里`-1是int`（IR）上的反函数，如命题2.1的证明。命题2.3的证明。设f为损失函数，f*: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞} 它的共轭功能。注意domf* IR+因为，对于每个y<0，我们有*（y）≥ 苏普∈N个(-纽约- f(-n） )≥ 苏普∈N个(-（纽约）- f（0）=+∞, （6.4）其中，我们对第二个不等式使用f的单调性。此外，0∈ 多姆f*sincef*(0) = - infx∈IRf（x）<+∞. 显然，f*（y）≥ -每个y的f（0）∈ IR。此外，Rockafellar（1970年，定理23.3）指出f在0处的f（0）是非空的，根据Rockafellar（1970，定理23.5），我们有f*（y） =-f（0）对于每个y∈ f（0）。因此，f*达到它的极限。最后，f*不是Y7型的→ +∞·1{y<0}+（ay+b）·1{y≥0}对于某些∈ 红外光谱+∪{+∞} b∈ 否则我们会得到f（x）=（f*)*（x） =+∞ · 1{x>a}- b·1{x≤a} ，x∈ IR，所以f在dom上是常数，所以f*是散度函数。

相反地，设φ为发散函数，且*: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞} 它的共轭函数。让x，x∈ 与x的红外光谱≥ x、 Sincedom~n IR+，我们有xy-~n（y）≥ xy-对于每个y∈ 所以*（十）≥ φ*（x） 。因此，ν*这是不减损的。此外，infx∈IR~n*（x） =-φ(0) > -∞ 自=（*)*和0∈ 多姆。显然是*(0) = - 英菲∈IR~n（y）∈ IR使0∈ 多姆尼*. 最后，ν*不是相同的常数*另有规定的话，则为*)*将无法满足定义2.3中的属性（iii）。因此，ν*这是一个很好的函数。定理2.1的证明。如果λ=0，则Ig，λ（Q | P）=sup dom`∈ M（P）我们有δ`，0（X）=- ess inf X- sup dom`=supQ∈M（P）EQ[-X]- 通过最坏情况风险度量X 7的双重表示来支持dom`（6.5）→ - ess inf X；例如，参见F¨ollmer&Schied（2011，示例4.39）。因此，在λ=0的情况下，（2.7）成立。此外，在备注2.2中，sup dom`<+∞ 当且仅当1∈ 因此，如果1，δ`，0是一个较低的半连续凸度量∈ dom g和δ`，0（X）=-∞ 每X∈ L∞否则假设λ>0。注意，（2.7）的右边可以重写为可积非负实值随机变量空间L+上的最大化问题(Ohm, F、 P）（几乎可以确定的平等性）：supQ∈M（P）情商[-X]- Ig，λ（Q | P）= supV∈L+E[-十五]- λEGλV| E[V]=1. （6.6）相应拉格朗日对偶问题的最优值计算为qx:=infs∈IRsupV∈L+E[-十五]- λEGλV+ s（1）- E[V]）（6.7）=infs∈IRs+supV∈L+E(-十、- s） 五- λgλV!= infs∈IRs+E“supz∈红外光谱+(-十、- s） z- λgλz#!= infs∈IR（s+E[g]*λ(-十、- s） ]），其中第三个等式是由Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）和g*λ是散度函数gλ的共轭；见备注2.2。因此，g*λ=λ′，qx等于（2.7）的左侧。最后，为了总结（2.7），我们考虑以下情况：（i）假设1∈ int dom gλ，即λ<β。

（回想一下int dom gλ=（0，λβ），参见定义2.4等。）例如，以下约束条件适用于“V”≡ 1:\'V∈ L+：E\'V= 1，V∈ int dom gλP-几乎可以肯定。（6.8）Borwein&Lewis（1992，推论4.8），（6.8）总结（2.7）。注意我们有-E[X]- λgλ≤ supV∈L+E[-十五]- λEGλV| E[V]=1(6.9)≤ - ess inf X- λinfx∈使（2.7）的两边都处于IR。（ii）假设λβ=1且dom gλ=[0，λβ]=[0，1]，即dom g=[0，β]=[0，λ]。在这种情况下，唯一的V∈ 带E[V]=1和P{V]的L+∈ dom gλ}=1是V≡ 1，因此，（2.7）的右边给出-E[X]- λg（λ）∈ IR。注意（6.8）在这里不能保持。在前面的案例中使用（2.7），我们得到了∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]=limε↓0infs∈IR（s+（λ+ε）E[`(-十、- s） ]）（6.10）=limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP,其中，自适当的凹上半连续函数Ir 3γ7起，遵循第一个等式→ infs∈IR（s+γE）`(-十、- s） )∈ 红外光谱∪ {-∞} （6.11）在γ=λ时右连续。最后，我们得到了limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP（6.12）=limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP- g（0）- limε↓0（λ+ε）g（0）（6.13）=infγ∈[λ，λ+ε]supQ∈M（P）情商[-X]- γEGγ-dQdP- g（0）- λg（0）=supQ∈M（P）infγ∈[λ,λ+ε]情商[-X]- γEGγ-dQdP- g（0）- λg（0）=supQ∈M（P）情商[-X]- λEGλdQdP= -E[X]- λgλ∈ IR，其中ε>0是某个固定数。这里是函数γ7之后的第二个等式→ γ（g（yγ）- g（0））是IR++上针对每个y的非递增函数∈ 红外光谱；见备注2.2。第三个等式是由于一个经典的极大极小定理，它使用区间[λ，λ+ε]的紧性，参见Sion（1958，推论3.3）。第四个等式后面是单调收敛定理和函数γ7的单调性→ γ（g（yγ）- g（0））在IR++上。上面已经讨论了最后一个等式。

最后，第一个等式如下，因为两个极限sin（6.13）由后续等式确定。因此，我们得到（2.7）。（iii）假设1/∈ dom gλ，即dom gλ=[0，λβ）和λβ≥ 1，或dom gλ=[0，λβ]和λβ>1。在这种情况下，没有Y∈ 带E[Y]=1和P{Y的L+∈ dom gλ}=1。因此，（2.7）的右侧给出-∞. 另一方面，我们有INF∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]）≤ infs∈IR（s+λ）`(- ess inf X- s） ）（6.14）=- ess inf X- 小吃∈IR（s）- λ`（s））=- ess inf X- λgλ= -∞.因此，（2.7）成立。在前两种情况下∈ domgλ，我们观察到δ`，λ（0）∈ IR。此外，（2.3）还直接保证了单调性、平移性、凸性和下半连续性，这使得δ\'、λ成为下半连续凸风险测度。在最后一种情况下，1/∈ dom gλ，δ`，λ（X）=-∞ 每X∈ L∞.命题2.4的证明。让Q∈ M（P）和λ∈ IR+和1∈ dom gλ。如果λ=0，则根据定义2.3和定理2.1的证明，αδ`，0（Q）=sup dom`=Ig，0（Q | P）。假设λ>0。使用（2.3）和（2.10）中惩罚函数的定义，αδ\'，λ（Q）=sups∈红外光谱-s+supX∈L∞E-dQdPX- λ`(-十、- （s）（6.15）=支持∈红外光谱-s+E好的∈红外光谱-dQdPx- λ`(-十、- （s）= 小吃∈红外光谱-s+EdQdPs+gλdQdP= Ig，λ（Q | P），其中第二个等式来自Rockafellar&Wets（1998，定理14.60），第三个等式来自备注2.2。对于ρ′的罚函数，注意αρ′（Q）=supX∈L∞情商[-X]- infs∈红外光谱s+I(-∞,0]（E）[`(-十、- s） ]）（6.16）=supX∈L∞等式[X]- 我(-∞,0]（E[`（X）]）= 好的∈L∞nEQ[X]|E[`（X）]≤ 0o。对于最后一个最大化问题，IR+上相应的拉格朗日对偶目标函数h由h（λ）=supX给出∈L∞: E[`（X）]<+∞等式[X]- λE[`（X）]. （6.17）注意E[`（X）]<+∞ 当且仅当P{X∈ dom`}=1。如果λ=0，那么h（0）=supX∈L∞: E[`（X）]<+∞EQ[X]=sup dom`=Ig，0（Q | P）。

（6.18）另一方面，如果λ>0，则h（λ）=supX∈L∞: E[`（X）]<+∞等式[X]- λE[`（X）]（6.19）=E好的∈红外光谱dQdPx- λ`（x）= Ig，λ（Q | P），其中我们使用Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）表示第二个等式，并对第三个等式使用备注2.2。因此，对偶问题的最优值由Q（Q）：=infλ给出∈IR+h（λ）=infλ∈IR+Ig，λ（Q | P）。（6.20）请注意，斯莱特的条件成立，即存在“X”∈ L∞以至于`（`X）< 0; 以“X”为例≡ `-1(0) - 1.在哪里`-1是int`（IR）上的反函数，如命题2.1的证明。因此，αρ`（Q）=Q（Q）。注意Ig，λ（Q | P）=+∞ 每λ∈ IR+和1/∈ dom gλ，见定理2.1证明中的情况（iii）。因此，我们也有q（q）=infλ∈IR+：1∈dom gλαδ\'，λ（Q）.6.2关于F¨ollmer&Schied（2002，定理10）和F¨ollmer&Schied（2011，定理4.115）中标量损失函数的一个注记，命题2.4的第二部分用`映射到IR的附加假设来证明。这一假设意味着“短缺风险度量从下到下是连续的，并且达到了第一个上限（2.10）。（F¨ollmer&Schied 2011，命题4.113）。此外，同样的假设也适用于g上所谓的超线性增长条件，即limy→∞g（y）y=+∞ （F–ollmer&Schied 2002，引理11）。F¨ollmer&Schied（2002）中命题2.4的分析证明利用了这一性质，而不是与分歧风险度量的对偶关系。

利用这个命题，假设1∈ dom g，定理2.1被证明为λ=1（F¨ollmer&Schied2011，定理4.122），在这种情况下，δ`，1保证是一个风险度量（它有有限的值）。在我们的治疗中，虽然1可能不在dom g中，但在1中存在一些¨λ>0∈ dom g′λ和δ′，′λ是一种风险度量。另一方面，在Ben Tal&Teboulle（2007）中，散度函数g具有中心重要性：除了这里的假设之外，Ben Tal&Teboulle（2007）中假设g在值为0的情况下在1时达到其最大值，这相当于假设`（0）=0和1∈ `(0). 这些假设使g成为一个自然发散函数，因为函数Q 7→ M（P）上的E[g（dQdP）]具有非负值，如果Q=P，则取0；E[g（dQdP）]可以解释为某些“主观”度量Q之间的距离∈ M（P）和物理测量。另一方面，关于损失函数的附加假设可被视为限制性的。在这里，我们放弃这些假设，以“为中心对象，并使用本塔尔和特布尔（2007）中的凸性方法。注意，定理2.1（Ben Tal&Teboulle 2007，定理4.2）和命题2.4的第一部分（Ben Tal&Teboulle 2007，定理4.4）在Ben Tal&Teboulle（2007）中对λ=1的情况进行了证明。在这里，我们通过考虑约束条件（6.8）无法成立的情况，基本上推广了这个证明。约束条件（6.8）也用于Ben Tal&Teboulle（2007，定理4.2）的证明。6.3集合优化的拉格朗日对偶性：快速回顾定理3.1和命题3.5的证明依赖于最近在Hamel&L¨ohne（2014）中拉格朗日的应用。我们在此快速回顾双重问题的定义。设X是局部凸拓扑线性空间。

考虑一个集合极小化问题（3.15），其中Φ：X→ gm是一个任意的目标函数，ψ：X→ GMP是一个任意约束函数。这个问题的最优值是p:=inf（Gm，){Φ（x）|0∈ ψ（x），x∈ X}。半空间值函数Sλ，v:IRm→ λ的gm∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}定义为λ，v（z）=nη∈ IRm | vTη≥ λTzo（6.21）将被用作标量对偶理论（连续）线性泛函的集值替代物，如Hamel（2009）、Hamel&L¨ohne（2014）所述。这里有两种类型的对偶变量：变量λ∈ IRmis是拉格朗日乘子的常用向量，用于对ψ的值进行标量化，而变量v∈ IRm+是用于对Φ的值进行标度化的权重向量。集值拉格朗日L:X×IRm×（IRm+\\{0}）→ G和目标函数H:IRm×（IRm+\\{0}）→ （3.15）的对偶问题的gm定义为（x，λ，v）=clΦ（x）+inf（Gm），){Sλ，v（z）|z∈ ψ（x）}, （6.22）H（λ，v）=inf（Gm，){L（x，λ，v）|x∈ X}。对偶问题的最优值q是对偶目标函数在双变量上的上确界：q:=sup（Gm，){H（λ，v）|λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。（6.23）提案6.1。（Hamel&L–ohne 2014，定理6.1）假设Φ和ψ是凸函数，p6=IRm。强对偶成立，也就是说，如果Slater条件的下列集值形式成立，p=q：存在‘x∈ X使得Φ（`X）6= 和ψ（°x）∩ -IRm++6=.6.4命题3.1第3节中结果的证明。单调性、平移性和凸性是微不足道的。为了证明0的完整性，使用命题2.1的证明，我们可以找到z∈ 伊姆威思`(-z）∈ -IRm+andz∈ 伊姆威思`(-z）∈ IRm++。根据C的性质，R`（0）6∈ {, IRm}。示弱*-封闭性，let（Xn）n∈Nbe L中的有界序列∞快到X了∈ L∞几乎可以肯定。

让z∈ IRmand假设存在锌∈ R`（Xn），每n∈ N、 使（zn）N∈n收敛到z。利用支配收敛定理，证明了-C、 事实上，对dom的限制：={x∈ IRm |`（x）∈ IRm}=×mi=1dom`i 伊米斯，我们有[`(-十、- z） ]嗯`画→∞(-Xn- 锌）i=limn→∞E[`(-Xn- zn）]∈ -C、 （6.24）也就是z∈ R`（X）。这显示了R的所谓法头属性，即thatlim infn→∞R`（Xn）：=nz∈ IRm|N∈ N锌∈ R`（Xn）：limn→∞锌=zoR`（X）。（6.25）由Hamel&Heyde（2010，定理6.2）提出，这相当于弱*-R′的封闭性。为了证明定理3.1，我们需要下面的引理。引理6.1。每X∈ L∞m、 R`（X）=\\λ∈IRm+，v∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | vTη≥ infz公司∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmfλ，v（z）+infx∈CλTx, （6.26）式中fλ，v（z）：=vTz+λTE[`(-十、- z） ]。（6.27）证据。让X∈ L∞m、 使用（6.22）和（3.12），问题（3.14）的拉格朗日计算为l（z，λ，v）=clz+IRm++cl[x∈（E）[`(-十、-z） ]+C）∩IRmSλ，v（x）(6.28)=(η ∈ IRm | vTη≥ fλ，v（z）+infx∈CλTx如果E[`(-十、- z） ]∈ 嗯， 如果E[`(-十、- z） ]/∈ 伊姆福兹∈ IRm，λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。因此，双目标函数由h（λ，v）给出=η ∈ IRm | vTη≥ infz∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmfλ，v（z）+infx∈CλTx（6.29）对于λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。假设λ6∈ IRm+。自C+IRm以来+ C、 存在x∈ 这样，每n∈ 在这方面，我们有n\'x∈ C和λT′x<0。因此，infx∈CλTx=-∞ H（λ，v）=IrmForeV∈ IRm+\\{0}。因此，通过（6.23）和（3.12），对偶问题的最优值由（6.26）的右边给出。最后，命题6.1使（6.26）的两面相等，因为斯莱特的条件成立：存在“z”∈ 例如：[`(-十、- \'z]+C）∩ -IRm++6=. 关于标量版本，见命题2.2的证明。引理6.2。设置wT(-∞) = -∞ 每当w∈ IRm+\\{0}。

然后，每X∈ L∞m、 R`（X）=\\R∈IRm+，w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）. （6.30）证据。考虑到（6.29），r，w∈ IRm+\\{0}，我们定义（r，w）：=η ∈ IRm | wTη≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）, （6.31）我们将展示\\λ∈IRm+，v∈IRm+\\{0}H（λ，v）=\\r∈IRm+，w∈IRm+\\{0}M（r，w）。（6.32）首先，如果r∈ IRm+，w∈ IRm+\\{0}，然后定义λi=riwi和vi=wi∈ {1，…，m}。那么λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}以及H（λ，v）=M（r，w）；见（3.24）和（3.25）。这意味着左手边的界面至少和右手边的界面一样多；因此，”” 这是真的。反之，如果λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}，然后我们为每个n定义∈ 恩安迪∈ {1，…，m}，（rni，wni）：=λivi，vi如果vi>0，（1，vi）如果vi=0，λi=0，nλi，n如果vi=0，λi>0。（6.33）然后∈ IRm+，wn∈ IRm+\\{0}和λi=rniwni。设η为（6.32）右侧的一个点。如果没有我∈ 满足vi=0且λi>0的{1，…，m}，则v=wn且H（λ，v）=m（rn，wn）为每n∈ N因此，η∈ H（λ，v）。接下来，假设有一些j∈ vj=0，λj>0的{1，…，m}。自η∈ M（rn，wn）表示每n∈ N、 接下来是Xi:vi>0i:vi=λi=0viηi+Xi:vi=0，λi>0ηin≥Xi:vi>0i:vi=λi=0infzi∈IR:E[`(-xi-)<+∞（vizi+λiE[`i(-xi- zi）]+Xi:vi=0，λi>0ninfzi∈IR（zi+nλiE[`i(-xi- zi）]+infx∈CλTx.（6.34）如果j∈ {1，…，m}使得vi=0，λj>0，然后我们得到，对于每个n∈ N- ess sup Xj- nλjgjnλj≤ infzj∈IR（zj+nλjE[`j(-Xj- （6.35）≤ - ess inf Xj- nλjgjnλj.这可以通过与（6.14）中类似的计算进行检查。由于gj是凸的且低阶连续的，因此gjcl-dom gj的限制是一个连续函数，参见Zalinescu（2002年，命题2.1.6），因此limn→∞ninfzj∈IR（zj+nλjE[`j(-Xj- zj]）=- 画→∞λjgjnλj= -λjgj（0）。

（6.36）另一方面，infzj∈IR（vjzj+λiE[`i(-Xj- zj）]）=λjinfzj∈愤怒的，愤怒的(-Xj- zj）]（6.37）=λjinfy∈IR`j（y）=-λjgj（0）自`jis非减损和Xj∈ L∞. 以（6.34）中的极限为n→ ∞, 我们最终得到vtη≥mXi=1infzi∈IR:E[`i(-xi-)<+∞（vizi+λiE[`i(-xi- zi）]+infx∈CλTx，（6.38）即η∈ H（λ，v）。因此，（6.32）如下。定理3.1的证明。让r∈ IRm+和definegw，r（z）：=wT(-z+r·E[`(-X+z）]（6.39）每w∈ IRm+\\{0}和z∈ IRmwith E[`(-十、- z） ]∈ IRm。注意d`，r（X）=\\w∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | wTη≥ infz∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmgw，r（z）+infx∈CwT（r·x）=\\W∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | wTη≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）, （6.40），这源自定义3.2、（3.24）、（3.25），以及一个闭凸集是其所有支撑半空间的交点这一事实；参见Hamel&L–ohne（2014，（5.2））。根据定理2.1，我们有δ`，r（X）∈ IRmif且仅当1∈ 因此，D`，r（X）=IRmif且仅当1/∈ dom gr.结果直接来自引理6.2。命题3.2的证明。如果1∈ dom gr，然后δ`，r（X）∈ 定理3.1证明中的计算可归结为：d`，r（X）=δ`，r（X）+\\w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ infx∈CwT（r·x）（6.41）=δ′，r（X）+r·C。通过这种表示，很容易检查D′，ris是一个闭凸风险度量，因为δ′i，ri是每个i的下半连续凸标量风险度量∈ {1，…，m}。如果1/∈ dom gr，那么δ`，r（X）=-∞ 因此，D`，r（X）=不适用于常规wT(-∞) = -∞ 引理6.2。命题3.4的证明。让我们∈ IRm+\\{0}和M（r，w）如（6.31）所示。现在，让我们一起过去-α（3.32）右侧定义的功能。

利用定理2.1给出的标量散度风险测度的对偶表示，我们得到m（r，w）=（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1supQi∈M（P）wi（EQi）[-Xi]- Igi，ri（Qi | P））+infx∈CwT（r·x））=\\Q∈毫米（P）Z∈ IRm | wTz≥ wT（等式[-X]- Ig，r（Q | P））+infx∈CwT（r·x）=\\Q∈毫米（P）-α（Q，w）+EQ[-X]. （6.42）因此，D`，r（X）=\\w∈IRm+\\{0}M（r，w）（6.43）=\\（Q，w）∈Mm（P）×（IRm+\\{0}）-α（Q，w）+EQ[-X].最后，我们展示了-α = -αD`，r.用（3.29）表示Q∈ 嗯（P），w∈ IRm+\\{0}，我们获得-αD`，r（Q，w）=cl[X∈L∞M等式[X]+δ`，r（X）+r·C+G（w）(6.44)=Z∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞mwT等式[X]+δ`，r（X）+ infx∈CwT（r·x）=（z）∈ IRm | wTz≥ -mXi=1wiIgi，ri（Qi | P）+infx∈CwT（r·x））=-α（Q，w），其中第三个等式来自命题2.4中建立的类似标量结果。因此-αD`，r=-α和（3.32）成立。命题3.5的证明。用（3.29）表示Q∈ 嗯（P），w∈ IRm++，我们获得- αR`（Q，w）=cl[X∈L∞M等式[X]+G（w）+cl[z∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmz+IRm+| 0∈ E[`(-十、- z） ]+C= cl[z∈IRm[X∈L∞m:E[`(-十、-z） ]∈IRmnz+EQ[X]+G（w）|0∈ E[`(-十、- z） ]+Co=cl[X∈L∞mnEQ[-十] +G（w）|0∈ E[`（X）]+Co=inf（Gm，)nEQ[-十] +G（w）|0∈ E[`（X）]+C，X∈ L∞mo，（6.45），其中E[`（X）]+C被理解为 每当E[`（X）]=+∞. 接下来，我们计算这个凸集值极小化问题的对偶问题的最优值。由（6.22），为X∈ L∞m、 λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}，我们有L（X，λ，v）=IRmif v6∈ {sw|s>0}。此外，如果v=sw对于某些大于0的情况，那么l（X，λ，v）=EQ[-十] +G（西南）+Z∈ IRm | swTz≥ λTE[`（X）]+infx∈CλTx=Z∈ IRm | swTz≥ swTEQ[-十] +λTE[`（X）]+infx∈CλTx（6.46）每当E[`（X）]∈ IRmand L（X，λ，v）= 否则每s>0，观察G（sw）=G（w）。因此，H（λ，sw）=Z∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞m:E[`（X）]∈IRmwTEQ[-十] +sλTE[`（X）]+ infx∈CsλTx=Hλs，w（6.47）对于λ∈ IRm+，s>0。对偶问题的最优值Hλs，w| s>0，λ∈ IRm+= 啜饮H（λ，w）|λ∈ IRm+.

（6.48）因为每一个i的wi>0∈ {1，…，m}根据假设，我们有h（λ，w）=nz∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞MwTEQ[-十] +wT（r·E[`（X）]）+ infx∈CwT（r·x）o，（6.49），其中ri:=λiwi，i∈ {1，…，m}。注意infx∈L∞MwTEQ[-十] +wT（r·E[`（X）]）=mXi=1wiinfXi∈L∞wiE-dQidPXi+ riE[`i（Xi）]=mXi=1wiEinfxi∈红外光谱-dQidPxi+ri`i（xi）= wTIg，r（Q | P）。（6.50）因此，对偶问题的最优值等于（3.33）中的中间项。请注意，Slater的条件成立，即存在“X”∈ L∞例如`（`X）+ C）∩ -IRm++6=. 这与命题2.4的证明中的标量版本是直接相关的。因此，第一个等式（3.33）由Hamel&L–ohne（2014，定理6.6）确定。自Ig以来，r（Q | P）6∈ IRmif 1/∈ dom gr，wealso在（3.33）中有第二个等式。6.5命题4.1第4节结果的证明。利用这些定义，我们得到了租金（X）=（z∈ IRm|C∈ C我∈ {1，…，m}:Eeβi(-xi-(子)- 1βi=-ci）（6.51）=（z∈ IRm|C∈ C我∈ {1，…，m}:zi=βilogEE-βiXi1.- βici，1>βici）=ρent（X）+分。命题4.2的证明。每一次我∈ {1，…，m}，注意δ\'i，ri（Xi）=infzi∈IR（zi+riE）[\'i(-xi- zi）]（6.52）=βilog-Ehe-βiXii+βi（1- ri+对数ri）∈ IR。结果来自命题3.2。引理4.1的证明。首先，我们使用最初的定义将FW和HW从IRm++扩展到IRm，这样我们就有了∈IRm++（fw（r）+hw（r））=infr∈IRm（fw（r）+hw（r））。请注意，fw是一个正确的、严格凸的、连续的函数，并且有一个唯一的最小点。因此，根据Rockafellar（1970，定理27.1（d）），fw没有衰退的方向，也就是说，fw的衰退函数fw+总是严格取正值；定义见Rockafellar（1970年，第66页和第69页）。此外，hw是一个真凸下半连续函数。如果hw≡ +∞, 然后是fw+hwis的数量+∞. 假设hw是一个适当的函数。

因为0是-C、 hways总是采用非负值。因此，HW的定义是有限的。根据Rockafellar（1970，定理27.1（a），（i）），这意味着Hways的衰退函数hw+采用非负值。因此，fw+hw没有衰退的方向，因为（fw+hw）0+=fw++hw+byRockafellar（1970年，定理9.3）。因此，根据Rockafellar（1970，定理27.1（b），（d））和fw+hw的严格凸性，该函数有一个唯一的最小点rw∈ IRm++由一阶条件决定0∈（fw+hw）（rw）（6.53）=wiβi-wiβirwimi=1+w·\'x |\'x∈ -C、 好的∈-CwT（rw·x）=wT（rw·x）,就是，βi1.-rwimi=1∈ C、 infx∈CwT（rw·x）=mXi=1wirwiβi1.-rwi, （6.54）属于rw的索赔财产。命题4.3的证明。由引理4.1可知，对于每个∈ IRm+\\{0}，我们有∈IRm++（fw（r）+hw（r））=infr∈Γ（fw（r）+hw（r））=fw（rw）+hw（rw）。因此，租金（X）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}，r∈IRm++nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））o（6.55）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ - infr∈Γ（fw（r）+hw（r））=\\R∈ΓDentr（X）。让我们∈ IRm+\\{0}使fw+hw是正确的，并让r∈ IRm++。假设Dentr（X） 丹特沃（X）。然后-（fw（r）+hw（r））=infz∈Dentr（X）wTz≥ infz∈Dentrw（X）wTz=-（fw（rw）+hw（rw）），即fw（r）+hw（r）≤ fw（rw）+hw（rw）。根据引理4.1，这意味着r=rw。命题4.4的证明。命题3.5和引理4.1给出- αR`（Q，w）（6.56）=\\R∈1/gZ∈ IRm | wTz≥ -wTIg，r（Q | P）+infx∈CwT（r·x）=-β-1·H（Q | P）+\\r∈IRm++（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1wiβi（1- ri+log ri）+infx∈CwT（r·x））=-β-1·H（Q | P）+\\r∈IRm++nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））o=-β-1·H（Q | P）+nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（rw）+hw（rw））o=-β-1·H（Q | P）+（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1wiβi（1- rwi+日志rwi）+infx∈CwT（rw·x）），假设hw不相同+∞ （否则-αR`（Q，w）=IRm）。从最后一行到所声称的公式的段落由（6.54）给出。6.6命题5.1第5节结果的证明。

显然，Rmar（0）6= 从0开始∈ ∧m（0）和R（0）6=. 我们证明了函数y7的单调性和平移性→~R（Y）：=SX∈首先∧m（Y）R（X）。对于单调性，考虑Y，Y∈ L∞德威西≤ Y.让X∈ ∧m（Y）。带)Y:=Y- Y∈ L∞d、 +，itholdsBX∈ Y+K=Y-~Y+K（6.57）=Y-T-1Xt=0L∞d（英尺，Ct）∩ Dt）-~Y+L∞d（英尺，CT） Y-T-1Xt=0L∞d（英尺，Ct）∩ Dt）-L∞d、 ++L∞d（英尺，CT） Y+K，自L以来最后一次包含∞d、 ++L∞d（英尺，CT）=L∞d（英尺，IRd+）+L∞d（英尺，CT）=L∞由CT（ω）引起的d（FT，CT）∈ 对于每ω∈ Ohm. 因此，X∈ ∧m（Y）。因此∧m（Y） ∧m（Y），而黑猩猩R（Y）~R（Y）。为了证明可译性，让Y∈ L∞d、 z∈ IRm。每X∈ L∞m、 它能保持∈ ∧m（Y+Bz）<=> BX∈ Y+Bz+K（6.58）<=> B（X）- z）∈ Y+K<=> 十、- Z∈ ∧m（Y）。因此，~R（Y+Bz）=[X∈∧m（Y+Bz）R（X）=[X-Z∈∧m（Y）R（X）（6.59）=[X∈∧m（Y）R（X+z）=R（Y）- z、 可译性由此而来。在闭包算子和凸包算子下，很容易检查最后两个性质是否保持不变。因此，Rmaris具有单调性和可翻译性。因为R是凸的，所以也很容易检查R和R是凸的。最后，由于R具有凸值，并且该属性在闭包算子下保持不变，（5.6）如下。作为定理5.1证明的准备，我们在市场风险度量和集值函数卷积的概念之间建立了联系。我们首先介绍两个关键概念（基于完全格的）集值凸分析，读者可以参考Hamel（2009）的详细内容。定义6.1。（Hamel 2009，示例1）让Y L∞d、 设置Y的指示器功能是功能ImY:L∞D→ GMY定义Y=IRm+如果Y∈ Y 其他的（6.60）定义6.2。（哈默尔2009，第4.4（C）节）≥ 1是一个整数。每n∈ {1，…，N}，让Fn:L∞D→ gm应该是一个函数。功能Nn=1Fn:L∞D→ 定义为(Nn=1Fn）（Y）=cl co[Y，…，YN∈L∞d（NXn=1Fn（Yn）|Y+…+YN=Y）。（6.61）被称为F的非理想卷积。

，FN。回想一下线性运算符B:IRm→ IRD定义为（5.2）：Bx=（x，…，xm，0，…，0）Tforx∈ IRm。它的伴随词B*: 国税局→ IRmis定义（5.3）：B*y=（y，…，ym）t代表y∈ 税务局。下一个引理表明，市场风险度量基本上是原始风险度量与（5.1）定义的所有自由可用投资组合集合K的负指数函数的错误卷积。引理6.3。让R:L∞M→ Gmbe是一个闭凸风险度量，定义R:L∞D→ Gmby≈R（Y）=（R（B）*Y）如果Y∈ B（L）∞m） ,， 其他的（6.62）然后∈ L∞d、 Rmar（Y）=（R） 伊姆河-K） （Y）（6.63）=（R） ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT））（Y）。证据每一天∈ L∞d、 我们有r（Y）=cl[{X∈L∞m | BX∈Y+K}R（X）=cl[U∈Y+KR（U）（6.64）=cl[U，U∈L∞d{R（U）+Im-K（U）|U+U=Y}=cl[U，U，…，UT∈L∞d（R（U）+TXt=0ImL∞d（英尺，Ct）∩Dt）（Ut）|U+U+…+UT=Y）。由于非理想卷积中的每个函数都是凸的，我们可以在定义6.2中省略凸壳算子；结果如下。根据引理6.3，市场风险度量可以表示为一个不完全卷积。这些共轭函数的凸和在卷积理论中；参见Hamel（2009，引理2）。这个结果的应用是下面定理5.1证明的主要步骤。为了完整性，我们从定义集值函数的共轭开始。定义6.3。（哈默尔2009，定义5）让F:L∞D→ gm应该是一个函数。F的（芬切尔）共轭是函数-F*: Ld×（IRm+\\{0}）定义人- F*（V，V）=cl[Y∈L∞DF（Y）+nz∈ IRm | vTz≥ 嗯-VTYio. （6.65）定理5.1的证明。由于cl Rmarhas是闭合值，引理6.3意味着∈L∞d、 （R ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT（Y）=Rmar（Y） （第二章）。

（6.66）由Hamel（2009，备注6，引理2）提出，Rmarand cl Rmarhave在Ld×（IRm+\\{0}）上的共轭式与-~R ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT）*= -~R*+TXt=0-（ImL）∞d（英尺，Ct）∩Dt）*. （6.67）请注意，这是规则的集值版本“许多凸函数的非理想卷积的共轭是它们的共轭之和”让（V，V）∈ Ld×（IRm+\\{0}）。由Hamelet等人（2011年，命题6.7）关于风险度量的共轭，对于每一个（V，V）∈ Ld×（IRm+\\{0}），我们有-（cl（Rmar（·）））*（V，V）=IRmunless我们有V∈ -Ld，+和v=E[-B*V]。接下来，我们从Ld×（IRm+\\{0}）传递到Wm，d=Md（P）×（（IRm+\\{0}）×IRd-m+）使用“变量变化公式”（Hamel等人，2011年，引理3.4）。每一个V都能得到∈ -Ld，+withv=E[-B*V]，存在（Q，w）∈ Wm，D就是这样，对于每一个Y∈ L∞d、 新西兰∈ IRm | vTz≥ 嗯(-V）TYio=B*等式[Y]+G（w）∩ B（IRm）, （6.68）和相反，每（Q，w）∈ Wm，Dc可以通过一些V∈ -Ld，+带v=E[-B*V]使（6.68）适用于每个Y∈ L∞d、 注意B*（IRd）=IRm×{0∈ 国税局-m} 。对于这样的对应对（V，V）和（Q，w），使用（6.68），我们首先观察到-~R*（V，V）=cl[Y∈L∞D~R（Y）+nz∈ IRm | vTz≥ 嗯-VTYio（6.69）=cl[Y∈L∞D~R（Y）+B*等式[Y]+G（w）∩ B（IRm）= cl[Y∈B（L）∞m）R（B）*Y）+EB*Q[B*Y]+G（B）*w）= cl[X∈L∞MR（X）+EB*Q[X]+G（B）*w）= -αR（B）*Q、 B*w） 。接下来，让我们∈ T.对于相同的对（V，V）和（Q，w），根据定义6.1和6.3，我们有-ImL∞d（英尺，Ct）∩Dt）*（V，V）=cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）新西兰∈ IRm | vTz≥嗯(-V）TUtio（6.70）=cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）.最后，请注意，cl r是一个封闭的凸集值函数，通过假设，它在零处是有限的。

因此，通过集值函数的双共轭，参见（Hamel，2009，定理2），wehave（cl Rmar）（Y）=\\V∈-Ld，+，v=E[-B*V]h-（cl Rmar）*（V，V）+nz∈ IRm | vTz≥ Ehvtyoi（6.71）每Y∈ L∞d、 上面的计算允许通过向量概率测度：（clRmar）（Y）=\\（Q，w）∈西医，卫生署-αcl-Rmar（Q，w）+B*（情商[-Y]+G（w））∩B（IRm）i、 （6.72）其中，对于（Q，w）∈ Wm，d，-αcl-Rmar（Q，w）=- αR（B）*Q、 B*w） （6.73）+TXt=0cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）.推论5.1的证明。Let（Q，w）∈ 所以存在∈ T和A∈ P（A）>0和w·EhdQdP | Fti（ω）/∈ （0+Ct（ω））+对于每个ω∈ A.利用Ird中非空闭凸集的支撑函数的有效域是其衰退锥的子集这一事实，这是Rockafellar（1970，推论14.2.1）的一个简单推论，我们可以看到∈Ct（ω）w·EhdQdPFti（ω）Tyt=-∞ 对于每个ω∈ A.注意CL[Ut∈L∞d（英尺，Ct）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）=Z∈ IRm | wT（Bz）≥ 注入∈L∞d（英尺，Ct）wTEQ美国犹他州=（z）∈ IRm |（B）*w） Tz≥ E“infyt∈计算机断层扫描w·EdQdP英尺Tyt#），其中最后一个等式由Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）给出。注意，第三行中的passageto条件期望对于应用这个定理是必要的。SinceP（A）>0，这意味着clSUt∈L∞d（英尺，Ct）B*（（等式）美国犹他州+ G（w））∩ B（IRm））=IRm。通过命题5.1证明中的计算，可以得出-αcl-Rmar（Q，w）=IRm。推论5.2的证明。让我们∈ T.对于每个ω∈ Ohm, 我们有∈Ct（ω）w·EdQdP英尺(ω)Tyt=（如果w·EhdQdP为0）Fti（ω）∈ （Ct（ω））+，-∞ else（6.75），因为Ct（ω）是一个非空闭凸锥。与推论5.1的证明中的计算类似，我们有cl[Ut]∈L∞d（英尺，Ct）B*情商美国犹他州+ G（w））∩ B（IRm）=（z）∈ IRm |（B）*w） Tz≥ E“infyt∈计算机断层扫描w·EdQdP英尺Tyt#），即（6.76），从中可以立即得出结果。命题5.2的证明。第一部分，让我∈ {1，…，m}。

从备注2.2中，回想一下Thari\'i（s）=supy∈红外光谱sy- 里吉伊里≥ s- 里吉里每一天∈ IR。因此，给定X∈ L∞m、 δ\'i，ri（Xi）=infy∈IR（y+riE[`i(-xi- y） ]）≥ -E[Xi]- 里吉里（6.77）每∈ {1，…，m}。那么infz∈Dmar`，r（0）（B）*\'w）Tz（6.78）=infX∈∧m（0）infz∈D`，r（X）（B）*\'w）Tz=infX∈∧m（0）（B）*\'w）Tδ\'，r（X）+infx∈C（B）*w）T（r·x）≥ infX∈∧m（0）（B）*w）TE[-X]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*\'w）T（r·x）=infX∈∧m（0）wTE[-[BX]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）≥ 英菲∈K\'wTE[-Y]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*\'w）T（r·x）=TXt=0infU∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）Eh\'wTUi-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）≥TXt=0infU∈L∞d（Ft，Ct）Eh\'wTUi-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）=:a，其中第一个不等式从（6.77）开始，第二个不等式从∧m（0）={x开始∈L∞m | BX∈ K} 最后一个不等式是L∞d（英尺，Ct）∩ Dt） L∞d（英尺，Ct）表示每个∈ {0，…，T}。根据与推论5.1和推论5.2的证明相同的论点，假设保证a>-∞. 因此，Dmar`，r（0）(η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ infz∈Dmar`，r（0）（B）*w）Tz）nη∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ ao6=IRm。（6.79）注意∞m3 X 7→ {η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ a}∈ gm是一个弱闭凸函数。因此，所需的完整性条件如下，因为备注5.3产生（cl-Dmar`，r）（0） {η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ a} 6=IRm。（6.80）对于第二部分，（3.23）得到R`（X） D`，r（X）每X∈ L∞M因此，根据第5.3条的定义，（第3条） （cl Dmar`，r）（Y）对于每个Y∈ L∞d、 下面是上一部分的结果。感谢作者感谢两位匿名推荐人，他们的评论对论文的改进非常有帮助。作者要感谢Zachary Feinstein和Samuel Drapeau对集值熵风险度量和优化确定性等价物的有用评论。参考文献c,。Ararat&B.Rudlo off（2016）系统风险度量的双重表述。arXiv:1607.03430。F&N。

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