集值短缺和分歧风险度量

2022-5-6 05:57:15

这些风险度量是分配给m维随机向量X aset R（X）的函数 IRM这些要素可以用作风险补偿投资组合。这里，X表示m资产的财务状况，其组成部分是物理单位，而不是特定数量的价值。最近，集值风险度量也被用于量化金融网络中的系统性风险；见范斯坦等人（2017年），阿拉拉特和鲁德罗夫（2016年）。在这种情况下，m是金融机构的数量，X的分量表示这些机构的随机冲击（权益/损失）的相应大小。Jouini等人（2004）中的一致集值风险度量已扩展到Hamel&Heyde（2010）中的ConvxCase，以及Hamel等人（2011）中的随机市场模型。这些*土耳其安卡拉比尔肯特大学工业工程系，邮编：06800，cararat@bilkent.edu.tr+意大利安德烈亚斯博赞博赞自由大学经济与管理学院，邮编39031。hamel@unibz.it维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳，1020，奥地利，brudlo Off@wu。通过对偶理论的应用，尤其是Hamel（2009）提出的集值函数的Moreaufhenchel双共轭定理，ac.atextensions是可能的。范斯坦和鲁德罗夫（2013、2015a、b）、本·塔哈尔和勒皮内特（2014）以及卡斯科斯和莫尔查诺夫（2016）对动态框架的扩展进行了研究。Jouini&Kallal（1995年）、Burgert&R¨uschendorf（2006年）、Weber等人（2013年）（财务风险）以及Chen等人（2013年）、Biagini等人（2013年）对多元随机变量的标量风险度量进行了研究，这些变量可以解释为集值风险度量的标量化（见Feinstein&Rudlo ff 2015b，第2.4节）。

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2022-5-6 05:57:18

（2015）（系统性风险）。一些著名的标量一致性风险度量的集值推广已经被研究过，例如哈默尔等人（2013）、范斯坦和鲁德罗夫（2015a）、哈默尔等人（2014）中的平均风险值集值版本，或者哈默尔等人（2011）、洛恩和鲁德罗夫（2014）、范斯坦和鲁德罗夫（2013）中的具有交易成本的市场中的超边际投资组合集。本·塔哈尔（2006年）、卡斯科斯和莫尔查诺夫（2016年）中还提供了多变量索赔的一致性风险度量的其他例子。据我们所知，除了在有摩擦的市场中使用确定性交易约束进行超边缘化，从而产生集值凸风险度量（seeHamel et al.2014），还没有研究过凸情况下的其他例子。本文介绍了随机向量的基于效用的凸风险测度。基本假设是，投资者对每一项资产都有完全的风险偏好，该资产具有冯·诺依曼-摩根斯特恩损失（效用）函数的数值代表性。然而，她对多元头寸的风险偏好是不完整的，可以用单个损失函数的向量来表示。基于这种不完全偏好，随机向量X的短缺风险定义为所有投资组合z的集合∈ IRM对于基准投资组合z，哪个X+z更受青睐∈ IRm。

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2022-5-6 05:57:21

例如，当单个损失函数是指数函数时，我们得到了著名的熵风险度量的集值形式（见F¨ollmer&Schied 20022011）。我们将短缺风险度量的计算公式化为一个约束集优化问题，并应用集优化文献中的最新工具来获得对偶公式。特别是，利用Hamel&L–ohne（2014）中的拉格朗日对偶，在对偶问题中得到了另一种类型的凸风险测度，称为散度风险测度。差异风险度量是基于消费确定量z之间的权衡而定义的∈ Irmof今日持仓并实现剩余金额X的预期损失- 在终点时间。决策问题是双目标的：投资者希望选择一个投资组合z，以使z最大化，并使X导致的（向量值）预期损失最小化- 同时，在集合优化的意义上理解bothof（参见第3.3节）。这两个目标通过相对权重（标量化）参数r结合在一起∈ IRm+和风险X的散度定义为确定性消费z选择上的无约束集优化问题。作为特例，我们获得了Hamel等人（2013）给出的风险集值平均值的定义，以及它的凸版本。本文的一个主要结果是，短缺风险度量可以写成由其相对权重索引的分歧风险度量的区间，一般来说，区间不是由唯一的相对权重获得的。因此，短缺风险度量是（远）比分歧风险度量更保守的风险度量。

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2022-5-6 05:57:24

虽然短缺风险度量很难作为约束优化问题进行计算，但我们表明，发散风险度量的计算可以简化为标量发散风险度量的计算（Ben Tal&Teboulle 1986，2007年的优化确定性等价物）。在流动性方面，与短缺风险度量相比，为了能够使用差异风险度量，决策者必须指定损失相对于每项资产消费的相对权重。虽然差额和分歧风险度量是根据投资者的偏好确定的，但它们没有考虑市场摩擦对头寸风险的影响。在第5节中，我们提出了一种将这些摩擦纳入风险计算的方法。我们通过包含凸随机集建模的交易约束，并将清算问题考虑到资产的某个子集合中，推广了市场风险度量的通知（见Hamel et al.2013，名称为市场扩展）。与Hamel et al.（2013）不同，我们考虑了凸（不一定是锥形）市场模型，以包括临时流动性不足的影响，其中买卖价格取决于交易的规模，因此由限价订单簿的形状给出；例如，seeAstic&Touzi（2007年）、Pennanen&Penner（2010年）。假设R是一个（无市场）风险度量，如差额或分歧风险度量，其诱导市场风险度量被定义为R在市场交易可获得的所有金融头寸集合上的最小值。作为本文的第二个主要结果，我们证明了市场风险测度的对偶表示定理（定理5.1）。

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2022-5-6 05:57:28

特别地，我们证明了市场风险测度的惩罚函数（Fenchel共轭）是基本风险测度的惩罚函数与市场凸区域的支撑半空间之和。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了短球和散度风险度量的标量理论。然而，我们推广了文献中的标准结果，因为我们允许扩展实值损失函数，并且我们没有像F¨ollmer&Schied（2002）、Ben Tal&Teboulle（2007）那样对损失函数施加任何增长条件。本文的主要部分是第3节，研究了集值短缺和分歧风险度量。第4节，集值熵风险度量作为短缺风险度量的例子进行了研究，集值平均风险值作为分歧风险度量的例子进行了回顾。第五章研究了具有清算和交易约束的一般凸市场模型中的市场风险测度。第6.2节标量短缺和分歧风险度量收集了所有证据。在本节中，我们总结了单变量金融头寸（基于效用/损失）短缺和分歧风险度量的理论。F–ollmer&Schied（2002）介绍了短缺风险度量。在Ben Tal&Teboulle（1986）中介绍了分歧风险度量，在Ben Tal&Teboulle（2007）中进一步分析了优化确定性等价物的名称，在Cherny&Kupper（2007）中进一步分析了分歧实用程序的名称，以说明其负面影响。Schied（2007）和Ben Tal&Teboulle（2007）指出了短缺和分歧风险度量之间的双重关系。

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2022-5-6 05:57:31

在基本损失函数的假设方面，我们通过降低增长条件来推广这些论文的结果；有关比较，请参见第6.2节。第6.1节给出了本节结果的证明，其中大部分继承了Ben Tal&Teboulle（2007）中的凸对偶论，而不是ollmer&Schied（2002）中的分析论。定义2.1。下半连续凸函数f:IR→ 红外光谱∪ {+∞} 有效域名为dom f={x∈ IR|f（x）<+∞} 如果满足以下性质，则称为损失函数：（i）f是infx的非减损函数∈IRf（x）>-∞.（ii）0∈ domf.（iii）f在domf上不是常数。在本节中，让`:IR→ 红外光谱∪ {+∞} 这是一个损失函数。上述定义2.1保证int`（IR）6=, 其中int表示内部运算符。让我们定义一个阈值levelx∈ int`（IR）表示预期损失值。在不丧失一般性的情况下，我们假设x=0。基于损失函数，我们定义了空间L上的短缺风险度量∞概率空间的本质有界真值随机变量(Ohm, F、 P），其中随机变量几乎可以确定相等。定义2.2。函数ρ`:L∞→ 红外光谱∪ {±∞} 定义为ρ`（X）=inf{s∈ IR|E[`(-十、- s） ]≤ 0}（2.1）被称为短缺风险度量。提议2.1。函数ρ′是一个弱函数*-)F–ollmer&Schied（2011，定义4.1和4.4）中的下半连续凸风险度量。特别是，ρ′取IR中的值。备注2.1。自infx以来∈IR`（x）>-∞, 它保持着平衡[`(-十、- s） ]>-∞ 每X∈ L∞, s∈ IR。因此，（2.1）中的预期总是很明确的。此外，假设x=0∈ 如命题2.1的证明所示，int`（IR）对于ρ`（X）的完整性至关重要；见第6.1节。根据定义2.2，数ρ`（X）可视为凸极小化问题的最优值。

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2022-5-6 05:57:34

下一个命题计算ρ`（X）作为相应拉格朗日对偶问题的最优值。第6.1节中的证明是强对偶的一个简单应用。提议2.2。每X∈ L∞,ρ`（X）=supλ∈IR+δ\'，λ（X），（2.2）式中δ\'，λ（X）：=infs∈IR:E[`(-十、-s） ]<+∞（s+λE）[`(-十、- s））（2.3）=（infs∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]如果λ>0，- ess inf X- 如果λ=0，则为sup dom`。注意δ`，λ是L上的一个单调可平移函数∞对于每个λ∈ IR+。我们的目标是确定λ的值，对于λ，该函数是具有IR值的下半连续凸风险度量。为此，我们定义了Legendre-Fenchel共轭g:IR→ 红外光谱∪ {±∞} 损失函数byg（y）：=`*（y） =supx∈IR（xy）- `（x））。（2.4）在下文中，我们将通过该公约(+∞) · 在凸分析中，0=0，见Rockafellar&Wets（1998）。我们还将使用+∞= 0以及=+∞.定义2.3。一个适当的凸下半连续函数→ 红外光谱∪{+∞} 具有有效的域名dom~n={y∈ |IR（y）+∞} 如果满足以下性质，则称为散度函数：（i）0∈ 多姆尼 IR+。（ii）通过IR达到其上限。（iii）ψ不是y 7的形式→ +∞ · 1{y<0}+（ay+b）·1{y≥0}带有∈ 红外光谱+∪ {+∞} b∈ IR。提议2.3。Legendre-Fenchel共轭提供了损失函数和发散函数之间的双射。备注2.2。设λ>0。如果f是一个损失函数，那么λf也是一个损失函数。如果φ是一个发散函数，那么函数y7→ νλ（y）：=IR上的λ洎（yλ）也是一个散度函数。当且仅当λf和Фλ为时，函数sf和Ф为彼此的共轭函数。在这种情况下，我们还定义了分离函数ν：IR→ 红外光谱∪ {+∞} φ乘以φ（y）：=supλ>0（φλ（y）- λν（0））=limλ↓如果y为，则0аλ（y）=（y）≥ 0,+∞ 如果y<0，则每个y的值为2.5∈ IR。这里，λ7→ νλ（y）- λg（0）是IR++上的一个非递增凸函数∈ IR。

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2022-5-6 05:57:37

此外，由于假设0，第二个等式成立∈ dom~n，见Rockafellar（1970年，定理8.5，推论8.5.2）。最后一个等式是由于真凸函数f的有效域的支撑函数与其共轭的衰退函数φ重合，见Rockafellar（1970，定理13.3）。接下来我们回顾分歧的概念。为此，让M（P）是所有概率测度的集合(Ohm, F）对于第2.4条定义而言，这是绝对连续的。设φ为散度函数，λ的相应损失函数为f∈ IR+和Q∈ M（P），数量i|，λ（Q | P）：=EφλdQdP=（λEh~n）λdQdP如果λ=0（2.6），则iifλ>0，sup dom f称为Q相对于P的（ν，λ）-散度。备注2.3。I~n，1是Csisz\'ar（1967）意义上的惯常的k-分歧。它是概率测度之间的“距离”概念，包括众所周知的相对熵作为一种特殊情况，见下文（4.12）。注意g=`*是散度函数，dom g是某种β的[0，β]或[0，β]形式的区间∈ 红外光谱++∪ {+∞}. 这里，我们有domg6={0}，因为否则g将是形式7→ +∞ · 1{y<0}+（ay+b）·1{y≥对于a=0}+∞ b=g（0）。对于每个λ>0，y 7→ gλ（y）：=IR上的λg（yλ）是一个散度函数，注释2.2中的dom gλ=[0，λβ）或dom gλ=[0，λβ]，相应的（g，λ）-散度根据定义2.4定义。在λ=0的情况下，y7→ g（y）=+∞ · 1{y<0}+（sup dom`）y·1{y≥IR上的0}不是散度函数。此外，如果dom`=IR，我们有dom g={0}，如果dom`6=IR，我们有dom g=IR+。定理2.1。每λ∈ IR+和X∈ L∞,δ`，λ（X）=supQ∈M（P）情商[-X]- Ig，λ（Q | P）. （2.7）此外，如果1，δ`，λ是下半连续凸风险测度∈ δ`，和λ`，和-∞每X∈ L∞否则因此，ρ`（X）=supλ∈IR+：1∈dom gλδ`，λ（X）。（2.8）特别是，如果dom`=IR，那么ρ`（X）=supλ>0:λ∈domgδ`，λ（X）。

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2022-5-6 05:57:40

（2.9）定义2.5。对于λ∈ IR+和1∈ dom gλ，函数δ`，λ：L∞→ IR被称为重量为λ的发散性度量。在（2.7）中，注意分歧风险度量用概率度量表示。更一般地说，根据F¨ollmer&Schied（2011，定理4.33），每个下半连续凸风险测度ρ：L∞→ IR具有双重表示，其特征是其所谓的能值函数αρ：M（P）→ 红外光谱∪ {+∞} 通过以下关系：ρ（X）=supQ∈M（P）情商[-X]- αρ（Q）, αρ（Q）=supX∈L∞情商[-X]- ρ（X）. （2.10）在命题2.4中，我们检验（2.7）确实是散度风险测度δ`，λ的对偶表示。我们还根据分歧风险测度的幂函数计算了短缺风险测度的惩罚函数。提议2.4。让λ∈ IR+和1∈ dom gλ。每个Q∈ M（P），它包含αδ`，λ（Q）=Ig，λ（Q | P），（2.11）以及αρ`（Q）=infλ∈IR+Ig，λ（Q | P）=infλ∈IR+：1∈dom gλαδ`，λ（Q）。（2.12）3集值短缺和分歧风险度量在本节中，我们介绍了基于效用的多元金融头寸短缺和分歧风险度量，这是本文的中心目标。证明见第6.4节。让我们介绍一些在本文其余部分中经常使用的符号。让我≥ 1是整数，|·|是IRm上的任意固定范数。通过IRm+和IRm++，我们分别用非负分量和严格正分量表示IRm的元素集。自始至终，我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）。

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nandehutu2022

2022-5-6 05:57:43

我们用Lm表示：=Lm(Ohm, F、 P）在IRm中取值的随机变量的线性空间，其中，如果两个元素几乎肯定相等，则可以识别它们；我们定义为{X∈ Lm|E[|X|]<+∞}, L∞m={X∈ Lm | ess sup | X |+∞}, （3.1）Lpm，+={X∈ Lpm | P{X∈ IRm+}=1}，p∈ {1, +∞}.向量的分量顺序表示为≤, 也就是说，对于x，z∈ IRm，它可以容纳x≤ z I仅当xi≤ 每个我∈ {1，…，m}。x，z的哈达玛积∈ IRmis定义为byx·z:=（xz，…，xmzm）T。我们用P（IRm）表示IRm的幂集，即IRm的所有子集的集，包括空集. 在P（IRm）上，带标量的明可夫斯基加法和乘法由A+B={A+B | A定义∈ A、 b∈ B} 和sA={sA|a∈ A} A，B 爱尔兰人∈ 与公约A+ = + B= + = , s = （s6=0）和0 = {0} IRm。我们也使用简写符号A- B=A+(-1） B和z+A={z}+A.对于x∈ IRmanda非空集A IRm，我们设置x·A:={x·A | A∈ A} 。这些操作可以在Lpm的功率集P（Lpm）上定义，P∈ {0, 1, ∞}, 以类似的方式。随机变量之间的等式用P-几乎确定的意义来理解。3.1不完全偏好关系≥ 1是一个整数，表示金融市场中的资产数量。线性空间IRmis称为合格投资组合空间。这意味着每个z∈ IRmis是一种在初始时间使用的潜在存款，用于补偿财务状况的风险。我们将财务状况建模为X元素∈ L∞m、其中Xi（ω）表示i的ithasset中的物理单位数∈ {1，…，m}当世界的状态ω∈ Ohm 发生。我们假设投资者对L∞M

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2022-5-6 05:57:46

其数值表示为资产的单个损失函数和预期损失向量的比较规则：（i）资产的损失函数：我们假设投资者具有完全的偏好关系离子L∞对应于每个资产i∈ {1，…，m}这个偏好关系有一个由（标量）损失函数\'i:IR给出的vonNeumann-Morgenstern表示→ 红外光谱∪ {+∞}（见定义2.1）。也就是说，对于Xi，Zi∈ L∞,xi伊兹<=> 我(-Xi）]≤ 我(-)。（3.2）（ii）向量损失函数：Let`:IRm→ IRm∪ {+∞} 是由`（x）=（`（x），…）定义的矢量损失函数`m（xm））Tif x∈×mi=1dom`i+∞ 对于x，则为（3.3）∈ IRm。类似地，对应于随机位置X的预期损失向量∈L∞米西[`(-十） ]：=（E）[`(-十） ]，E[`m(-Xm）]）Tif P{-xi∈ dom`i}=1表示每个i∈{1，…，m}，和E[`(-十） ]：=+∞ 否则（三）比较规则：设C IRmbe一个闭凸集，使得C+IRm+ C和0∈ IRmis是C的边界点。预期损失向量将根据关系进行比较≤康奈德byx≤Cz<=> Z∈ x+C.（3.4）作为IRm+ C、关系≤C通过概括预期损失向量与预期损失向量的成分比较，为“较小”的预期损失向量提供定义≤IRm+。下面的例子3.1讨论了集合C的一些例子。最后是不完全偏好关系投资者在L∞假设mis具有以下数字表示：对于X，Z∈ L∞m、 X Z<=> E[`(-十） ]≤行政长官[`(-Z） ]。（3.5）备注3.1。在（3.4）和（3.5）中，元素+∞ 在IRMA中添加了关于≤C、那就是，z≤C+∞ 每一个z∈ IRm∪ {+∞}. IRmis上的添加扩展到了IRm∪ {+∞}由z+(+∞) = (+∞) + z=+∞ 每一个z∈ IRm∪ {+∞}.备注3.2。注意≤C（因此) 存在（自0起）∈ C），如果C+C可传递 C和反对称如果C∩ (-C） ={0}（C是“指向的”）。

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2022-5-6 05:57:49

特别是，如果C是一个凸锥，那么≤Cis是与IRm上的线性结构兼容的偏序。备注3.3。这很容易检查尊重所有偏好, . . . , （i）中所述的个人资产。换句话说，对于每一个我∈ {1，…，m}，X∈ L∞m、还有子∈ L∞,xi伊兹=> 十、（X，…，Xi-1，子，西+1，Xm）。（3.6）这要归功于IRm+ C.备注3.4。（3.3）中矢量损失函数的分量结构的选择由以下原因决定。（i）对于每一项资产i，可以考虑一个更一般的损失函数，它取决于∈ IRmbut不仅在组件xi上。然而，第5节将根据现行汇率Ct（ω）和交易约束Dt（ω）对投资组合x=x（ω）组成部分在t时的互联性进行建模，因此，将包括在市场风险度量中。（ii）也可以考虑矢量损失函数：IRd→ d>m的IRM。降维的动机是只允许d资产中的m资产用作风险补偿的合格资产，降维是通过迫使清算进入L来建模的∞市场风险度量的最低定义5.2。这包括大量资产d以少数（m<d）货币表示的情况，这些货币被用作合格资产，损失函数仅为m种货币中的每种货币定义（但不是为每种资产单独定义）。（iii）另一方面，本文中向量损失函数的使用已经比假设多变量位置（如Burgert&R–uschendorf 2006）存在完全风险偏好的情况下更为普遍，该假设甚至具有由Campi&Owen（2011）中IRMA的实值损失函数给出的冯·诺伊曼-摩根斯坦表示（见下面的示例3.1（ii））。例3.1。

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2022-5-6 05:57:52

我们考虑以下不同选择C的比较规则示例。（i）如果C=IRm+，则≤C=≤ 对应于预期损失向量的组件顺序。在这种情况下，我们只需要=× . . . × m、（ii）如果C是形式C的半空间=十、∈ IRm | wTx≥ 0对一些人来说∈ IRm+\\{0}，然后 Z<=> E[L(-十） ]≤ E[L(-Z） ]，（3.7）其中x 7→ L（x）：=Pmi=1wi`i（xi）是一个多元实值损失函数，如Campi&Owen（2011，示例2.10）所示。在这种情况下，是一种完全的偏好关系。（iii）如果C是形式为C={x的多面体凸集∈ IRm | Ax≥ b} 一段时间∈ IRn×m+，b∈ 伊恩≥ 1（对于某些j，bj=0∈ {1，…，n}），然后 Z<=> E[A](`(-十）- `(-Z））]≤IRn+b，（3.8），这是一个线性不等式组。3.2基于不完全偏好关系的短缺风险测度及其集合优化公式如第3.1节所述，我们接下来定义了空头风险度量。为此，我为每一个人∈ {1，…，m}，让我来∈ 例如xi:=`i(-(子)∈int`i（IR）。点z=（z，…，zm）可以用作多变量位置的确定性基准，而x=（x，…，xm）是预期损失的相应阈值。自始至终，我们假设x=0。这是没有损失的普遍性，否则一个人可以转移损失函数和工作与x 7→`（x）=`（x）- x、回顾（3.4）和（3.5），请注意 Z<=> E[`(-十） ]≤C0<=> 0∈ E[`(-十） ]+C<=> E[`(-十） ]∈ -C.（3.9）多变量头寸X的短缺风险∈ L∞误定义为所有确定性投资组合向量z的集合∈ 这使得X+z比基准z定义3.1更可取。

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2022-5-6 05:57:55

函数R`:L∞M→ P（IRm）由`（X）定义=Z∈ IRm | X+z Z= {z∈ IRm | E[`(-十、- z） ]∈ -C} （3.10）被称为短缺风险度量（在L∞m使用比较规则C）。换句话说，X的短缺风险∈ L∞所有向量z的集合错误∈ Irmf表示X+Zha是一个“足够小”的预期损失向量。提议3.1。短缺风险度量R’满足以下性质：（i）单调性：Z≥ X意味着R`（Z） R`（X）对于每X，Z∈ L∞m、（二）可译性：R`（X+z）=R`（X）- z代表每X∈ L∞m、 z∈ IRm。（iii）0:R`（0）处的有限性/∈ {, IRm}。（iv）凸性：R`（λX+（1）- λ） Z） λR`（X）+（1）- λ） R`（Z）对于每X，Z∈ L∞m、 λ∈ (0, 1).（v）软弱的*-闭度：集合图R`:={（X，z）∈ L∞m×IRm | z∈ R`（X）}对于弱函数的乘积是封闭的*拓扑σ（L）∞m、 Lm）和IRm上的常见拓扑。备注3.5。命题3.1中的性质使R\'成为多变量投资的合理风险度量，即每个投资组合z∈ R`（X）可以补偿X的风险∈ L∞m、让我们来评论一下这些房地产的财务解释。单调性确保一个较大的位置（关于组件排序）风险较小，也就是说，它有一组更大的风险补偿投资组合。可转换性是指一个头寸的确定性增量将其每个风险补偿投资组合减少相同金额的要求。0的有限性保证了零位的风险可以通过至少一个但不是所有的EligiblePortfolio来补偿。对于前两个属性，它甚至保证了R`（X）意义上的任何地方的完整性/∈ {, IRm}对于每个X∈ L∞m、凸性可以被解释为通过多样化降低风险。

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mingdashike22

2022-5-6 05:57:58

最后，软弱*-封闭性是弱函数的集值形式*-标量风险度量的下半连续属性（如F¨ollmer&Schied 2011）。满足命题3.1中性质的集值函数称为（集值）（弱）*-)Hamel&Heyde（2010）和Hamel等人（2011）研究了封闭凸风险度量和风险度量。这些属性的中间结果是，闭凸风险度量的值属于集合GM:=G（IRm，IRm+）：={a IRm | A=cl-co（A+IRm+）}，（3.11），其中cl和co分别表示闭包算子和凸壳算子。事实证明，GML是研究集合优化的一个方便的图像空间，见Hamel（2009）。特别地，当它具有通常的超集关系时，它是一个更完备的格. 对于Gm的每一个非空子集A，我们有以下的上确界和下确界公式：，)A=氯钴[A]∈AA，sup（总经理，)A=\\A∈AA。（3.12）封闭（凸）集的并集不一定是封闭（凸）集，这一事实激发了内确界公式。我们也使用常规inf（Gm，) = 和sup（总经理，) = IRm。集值函数的短语“图像空间”指函数映射到的集合（幂集的子集）。这个集合一般不是线性空间。特别是，gm是Hamel（2009）意义上的圆锥线性空间：它在Minkowski加法的闭包下是闭合的，在非负calar的乘法下是闭合的（约定为0） = IRm+。注意C∈ GM0是它的边界点。如果C=IRm+，那么短缺风险度量R`就变成了标量短缺风险度量（见定义2.2）的一个微不足道的推广，即R`（X）=（ρ`（X），ρ`m（Xm））T+IRm+，（3.13）每X∈ L∞m、一般来说，R`的这种显式表示可能并不存在。

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mingdashike22

2022-5-6 05:58:01

然而，givenX∈ L∞m、有人可能写`（X）=inf（Gm，)z+IRm+| 0∈ E[`(-十、- z） ]+C，z∈ IRm, （3.14）也就是说，R`（X）是集极小化问题minimizeΦ（z）在0的条件下的最优值∈ ψ（z），z∈ IRm，（3.15）式中Φ：IRm→ Gmandψ：IRm→ g分别表示（集值）目标函数和约束函数，定义为Φ（z）=z+IRm+，ψ（z）=E[`(-十、- z） [C.（3.16）这里，可以理解为ψ（z）= 无论何时[`(-十、- z） ]=+∞.Hamel&L–ohne（2014）提出了形式（3.15）问题的拉格朗日对偶理论。利用这个理论，我们将计算R`（X）的拉格朗日对偶问题。在变量发生变化后，双目标函数会产生另一类集值凸风险测度，称为散度风险测度。我们在第3.3节中分别介绍了这些风险度量，二元性结果被推迟到第3.4.3.3节分歧风险度量。在本节中，我们介绍了分歧风险度量，作为投资者关于多元随机头寸消费水平的决策问题。短缺和分歧风险措施之间的关系将在第3.4节中制定。假设投资者有随机投资组合X∈ L∞我想选择一个决定论者∈ IRM将在初始时间收到。因此，她将持有X- 在终点时间。她有两个相互竞争的目标：（i）最大化消费：投资者希望最大化她的即时消费z，或者等效地最小化-z、优化只涉及投资组合向量的成分排序。（ii）最小化损失：投资者希望最小化预期损失E[`(-剩余随机位置X的X+z]- Z

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2022-5-6 05:58:04

在这种情况下，根据第3.1节（iii）中的集合C比较预期损失向量。这两个目标可以概括为以下集合最小化问题，其中目标函数映射为G2m：最小化-z+IRm+E[`(-X+z]+C以z为准∈ IRm。（3.17）在这里以及下面的定义3.2中，目标函数的值被理解为生命[`(-十、- z） ]/∈ IRm。另一方面，投资者通过相对权重向量r将这些相互竞争的目标结合起来∈ IRm+：对于每个资产，我∈ {1，…，m}，Ri是预期损失E[`i]的相对权重(-Xi+zi）]关于-子。因此，她解决了“部分规模化”问题- z+IRm++r·（E）[`(-X+z）]+C）受z约束∈ IRm。（3.18）该问题的最佳值定义为X定义3.2的分歧风险。让r∈ IRm+。函数D`，r:L∞M→ GMD定义的比亚迪，r（X）=inf（Gm，){-z+r·（E）[`(-X+z）]+C）|z∈ IRm}（3.19）被称为具有相对权重向量r的分歧风险度量。显然，对于r的某些值∈ IRm+，优化问题是无界的，每X有一个hasD`，r（X）=irmF∈ L∞m、在命题3.2中，我们将描述rfor的所有值的集合，这些值是有限的，实际上是一个闭凸风险度量，也就是说，它满足命题3.1中的五个属性。备注3.6。在一维m=1的情况下，有D`，r（X）=δ`，r（X）+IR+，其中δ`，r（X）=infz∈IR:E[`(-X+z）]<+∞(-z+rE[`(-X+z）]是定义2.5中的分歧风险度量。在文献中（见Ben Tal&Teboulle 1986年，2007年），在定义分歧风险度量时，仅考虑了r=1的情况（或针对风险度量的优化确定性等效值）-δ`,1). 在Ben Tal&Teboulle（2007）中，一般情况下r>0被简单地用标度损失函数r`处理，因为δ\'，r=δr\'，1。

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2022-5-6 05:58:07

（这种简化在多维情况下是不可能的，m>1为r。）∈ IRm+是集合E的倍数[`(-X+z）]+C，但不仅仅是向量E[`(-X+z）]）然而，在我们的处理中，δ`，ris被解释为一个双目标优化问题的加权和标量化，而这个问题的特征是整个族（δ`，r）r∈IR+分散风险度量。据我们所知，这一解释是本文的独创性贡献。3.4短缺风险度量的拉格朗日对偶公式本节阐述了本文的主要结果之一，定理3.1：短缺风险度量可以写成由其相对权重向量索引的散度风险度量的交集，即集值上确界（见（3.12））。第6.4节使用Hamel&L–ohne（2014）中最新的拉格朗日二重性，将短缺风险度量作为首要问题，得出了结果。第6.3节回顾了拉格朗日对偶性。引理6.1中说明了其直接应用于短缺风险度量的结果，随后引理6.2中提供了变量的变化。后一个额外步骤对于在（重新制定的）对偶问题中获得分歧风险度量至关重要。回想一下，iis的共轭函数由gi表示，这是定义2.3意义上的发散函数。向量散度函数g:IRm→ IRm∪ {+∞} 定义为g（y）=（g（y），gm（ym）Tif y∈ dom g:=×mi=1dom gi+∞ 其他的（3.20）鉴于备注2.2，给出r∈ IRm+，我们定义（y）=（g）r（y），（gm）rm（ym））T（3.21）∈ IRmand set dom gr=×mi=1dom（gi）ri。此外，对于r∈ IRm++，作者：=（r，…，rm）T.定理3.1。每X∈ L∞m、 R`（X）=sup（总经理），)D`，r（X）|r∈ IRm+，1∈ 大教堂=\\R∈IRm+：1∈domgrd`，r（X）。

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2022-5-6 05:58:10

（3.22）特别是，如果dom`:=×mi=1dom`i=IRm，那么r`（X）=sup（Gm，)D`，r（X）|r∈ IRm++，r∈ 多姆g=\\R∈IRm++:r∈dom gD`，r（X）。（3.23）备注3.7。定理3.1表明，短缺风险度量可以计算为偏离风险度量上的一组值supremum。然而，一般来说，没有单一的r∈ IRm+与1∈ 它产生了这个上确界，也就是说，上确界不是在一个参数下得到的。相反，你可以找一套 IRm+与1∈ 每一个r∈ Γ满足以下两个条件：（3.22）保持交叉口穿过所有r∈ Γ，每个D`，r（X）带r∈ Γ是集合的最大元素D`，r（X）|r∈ IRm+，1∈ 大教堂关于. 这与Heyde&L–ohne（2011）中介绍的集合优化问题的解决方案概念相对应（另见Hamel&L–ohne 2014，定义3.3），第4.1节将讨论熵风险度量以及最大元素的精确定义。每一个r∈ IRm+，定义一个函数δ`，r:L∞M→ IRm∪ {-∞} 由δ`，r（X）=（δ`，r（X），δ`m，rm（Xm））T（3.24）每当右手边处于IRmandδ`，r（X）=-∞ 否则回想一下，δ\'i，ri由δ\'i，ri（Xi）=infzi给出∈IR（zi+riE）[\'i(-xi- 如果ri>0，我们有δ\'i，0（Xi）=- ess inf Xi- sup dom`i；见（2.3）。如果1∈ dom（gi）ri，然后δ\'i，ri是根据定义2.5的标量（\'i，ri）-分歧风险度量。作为定理3.1的副产品，我们证明了散度风险度量在标量散度风险度量方面有一个更简单的性能。提议3.2。让r∈ IRm+。（i）如果1∈ domgr，然后是D`，ris，是一个闭凸风险度量，表示为D`，r（X）=δ`，r（X）+r·C。

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2022-5-6 05:58:13

（3.26）（ii）否则，D`，r（X）=每X∈ L∞m、特别地，如果dom`=IRm，那么D`，ris是一个闭凸风险度量当且仅当r∈ IRm++withr∈ dom g.注意，在命题3.2的表述中，对X的依赖性∈ L∞仅通过向量部分δ`，r（X）进行mis；然而，相对权重向量r的选择仍然会影响集合C到r·C的失真。备注3.8。让我们来评论一下使用短缺风险度量和收敛风险度量之间的权衡。根据命题3.2（i）中的表示，相对权向量r的发散性风险度量∈ IRm+（带1）∈ dom gr）具有简单结构的`，r（X）=δ`，r（X）+r·C，其中对X的依赖仅取决于标度收敛风险度量的向量δ`，r（X）。因此，散度风险测度的计算简化为m个标量风险测度的计算。然而，短缺风险度量不具备约束优化问题的简单表示。将集值风险定义为R`（X）是一个（更）保守的概念 D`，r（X）。另一方面，分歧风险度量作为附加参数r：对于每项资产，投资者必须指定多少单位的预期损失可与初始时间的一单位消费相比较。3.5双重代表在本节中，我们以向量概率度量和权重向量的形式陈述短缺和分歧风险度量的代表。这种凸风险度量的表示称为对偶表示。Hamel&Heyde（2010）和Hamel et al.（2011）证明了闭凸风险度量确实具有半空间值函数的特征，该函数在其对偶表示中出现。我们首先调用这个结果。为此，让Q=（Q。

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2022-5-6 05:58:16

，Qm）t是m维向量概率测度，即Qi是(Ohm, F）每一次我∈ {1，…，m}。对于每个X，我们定义等式[X]=（等式[X]，…，EQm[Xm]）t∈ 使成分存在于IR中。我们用Mm（P）表示所有m维向量概率测度的集合(Ohm, F）对于Q，其分量相对于P是绝对连续的∈ 我们设置dQdP=（dQdP，…，dQmdP）T，其中，对于每个i∈ {1，…，m}，dqidp表示qi对P的Radon-Nikodym导数∈ IRm+\\{0}，我们定义了半空间G（w）：=nz∈ IRm | wTz≥ 0o。（3.27）提案3.3。（Hamel et al.2011，定理4.2）函数R:L∞M→ gm是闭凸风险测度当且仅当∈ L∞m、 R（X）=\\（Q，w）∈Mm（P）×（IRm+\\{0}）-αR（Q，w）+EQ[-X], （3.28）在哪里-αR:Mm（P）×（IRm+\\{0}）→ Gm是R的惩罚函数，定义如下：- αR（Q，w）=cl[X∈L∞mhR（X）+等式[X]+G（w）i、（3.29）每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}）。与标量情形一样，闭凸风险测度的罚函数与其芬切尔共轭基本一致。在集值情况下，从具有对偶变量Lm×（IRm+\\{0}）的集值共轭函数到具有对偶变量Mm（P）×（IRm+\\{0}）的惩罚函数的转换需要特别小心；Hamel&Heyde（2010），Hamelet al.（2011）详细描述了该程序。在命题3.4和命题3.5中，我们分别给出了分歧和短缺风险度量的惩罚函数。为此，我们定义了向量概率测量的散度。定义3.3。让r∈ IRm+和Q∈ 嗯（P）。每一次我∈ {1，…，m}，letIgi，ri（Qi | P）：=（riEhgi）ridQidPiif ri>0，则支持iif ri=0。（3.30）元素Ig，r（Q | P）∈ IRm∪ {+∞} 定义为Ig，r（Q | P）：=（Ig，r（Q | P），Igm，rm（Qm | P））T（3.31）如果Igi，ri（Q | P）∈ 每个i的IR∈ {1, . . .

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2022-5-6 05:58:20

，m}，由Ig，r（Q | P）：=+∞ 否则称为向量（g，r）-Q相对于P的散度。请注意，Igi，ri（Qi | P）是Qi相对于P的（标量）（gi，ri）-散度，参见定义2.4。提议3.4。让r∈ IRm+与1∈ dom gr.散度风险测度D`，ris的惩罚函数由- αD`，r（Q，w）=-Ig，r（Q | P）+r·C+G（w）（3.32）每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}）与约定-αD`，r（Q，w）=IRmif-Ig，r（Q | P）=+∞.提案3.5。短缺风险度量R\'的惩罚函数如下所示：-αR`（Q，w）=（z）∈ IRm | wTz≥ 苏普∈IRm+-wTIg，r（Q | P）+infx∈CwT（r·x）)=\\R∈IRm+：1∈大教堂-αD`，r（Q，w）。（3.33）每个（Q，w）∈ Mm（P）×IRm++与约定-αD`，r（Q，w）=IRmif-Ig，r（Q | P）=+∞. 特别是，如果dom`=IRm，那么- αR`（Q，w）=\\R∈IRm++:r∈多姆g-αD`，r（Q，w）。（3.34）4个例子。1集值熵风险测度在本节中，我们假设第3节的向量损失函数是具有常数风险规避向量β的向量指数损失函数∈ IRm++，即对于每个i∈ {1，…，m}和x∈ IR，`i（x）=eβix- 1βi，（4.1），满足定义2.1中的条件。相应的向量散度函数g由gi（y）=yβilog y给出-yβi+βi（4.2）对于每个i∈ {1，…，m}和y∈ IR。在这里和其他地方，我们将约定日志y=-∞ 很久以前≤ 为了方便起见，我们有时使用符号[xi]mi=1表示x=（x，…，xm）T∈ IRm。让我们来定义x-1:=（x）-1.十、-1m）和对数x:=（对数x，…，对数xm）t对于x∈ IRm++，和log[A]：={log x |x∈ A} 暂时 IRm++。我们还将使用1:=（1，…，1）TA作为IRm的一个元素。注意int`（dom`）=`（dom`）=`（IR）=-β-1+IRm++使0∈ int`（dom`）。让C∈ GM0∈ 在C的边界点上，我们称相应的短缺风险度量：=R`熵风险度量。

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2022-5-6 05:58:23

下一个命题表明，Rent具有“向量值函数加固定集”的简单形式，这通常不是任意损失函数的情况。注意，函数ρentin命题4.1是标量熵测度的向量。提议4.1。每X∈ L∞m、租金（X）=ρent（X）+美分（4.3），其中ρent（X）：=β-ilog-Ehe-βiXiimi=1，（4.4）分：-β-1.原木(1 - β·C）∩ IRm++.请注意，（3.20）中定义的集合dom g变为IRm+。由于dom`=IRm，根据命题3.2，Dentr:=D`，如果r∈ IRm++和D`，r（X）=每X∈ L∞mif r∈ IRm++\\IRm++。提议4.2。每一个r∈ IRm++和X∈ L∞m、 Dentr（X）=ρent（X）+β-1· (1 - r+logr）+r·C，（4.5），其中ρent（X）由（4.4）定义。回想一下（3.23）中的租金（·）是所有含r的Dentr（·）的最高值∈ IRm++，也就是说，对于X∈ L∞m、租金（X）=supr∈IRm++Dentr（X）=\\r∈IRm++Dentr（X）。（4.6）如果m=1，那么C的唯一选择是IR+。在这种情况下，我们可以检查X∈ L∞,租金（X）=凹痕（X）=ρent（X）+IR+。（4.7）换句话说，（4.6）中的最大值在r=1时达到。一般来说，当m≥ 2.我们可能无法找到一些∈ IR++的租金（X）=凹痕（X）。相反，我们将根据Hamel&L–ohne（2014，定义3.3）的定义计算这个集合最大化问题的解决方案，也就是说，我们将找到一个集合 IRm++使得（i）租金（X）=Tr∈ΓDentr（X），（ii）每个∈ 是集合{Dentr（X）|r的最大元素∈ IRm++}在以下意义上：R∈ IRm++:Dentr（X）凹痕r（X）=> 此外，集合Γ将独立于X的选择。为此，根据命题4.2，我们可以重写Dentr（X）asDentr（X）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}{z∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））}，（4.9）其中，对于w∈ IRm+\\{0}，r∈ IRm++，fw（r）：=wT-β-1· (1 - r+对数r）, （4.10）hw（r）：=- infx∈CwT（r·x）=supx∈-cwr（x·t）。引理4.1。

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2022-5-6 05:58:26

让我们∈ IRm+\\{0}。IRm++上的函数fw+hw+∞ 否则它会在一个独特的点rw上达到它的极限∈ IRm++由以下属性决定：rw是唯一的向量r∈ 在β点支持C的IRm++-1· (1 - R-1）由法线方向为r·w的超平面，命题4.3。使用引理4.1中的符号，集合Γ：=rw | w∈ IRm+\\{0}，fw+HW是正确的（4.11）是（4.6）中每X的最大化问题的解决方案∈ L∞m、最后，我们根据向量相对熵（Q | P）计算租金的惩罚函数：=EQilogdQidPmi=1（4.12）向量概率测度Q∈ 嗯（P）。因此，熵风险度量的惩罚函数的形式是“负向量相对熵加上非齐次半空间”（平凡情况除外）。提案4.4。对于每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}），我们有-α租金（Q，w）=IRmif-hw（r）=+∞ 每一个r∈ IRm++，以及- α租金（Q，w）=-β-1·H（Q | P）- β-1.原木(1 - β·C）∩ IRm+++ G（w）（4.13）如果HW是一个适当的函数。4.2风险的集值平均值在本节中，我们假设第3节中的向量损失函数`是具有标度向量α的（向量）标度正部分函数∈ （0，1）m，即每i∈ {1，…，m}和x∈ IR，`i（x）=x+αi，（4.14），满足定义2.1中的条件。相应的向量散度函数g由gi（y）=（如果y为0）给出∈h0，αii+∞ 除此之外，（4.15）对于每个i∈ {1，…，m}和y∈ IR。注意0.6∈ 在本例中，int`（dom`）=IRm++。因此，让我们∈ IRm++和C∈ Gm，其中0是C的边界点。我们将把第3节的定义和结果应用于移位损失函数▽`（x）=`（x）- 十、

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2022-5-6 05:58:30

相应的短缺风险度量值由▽（X）给出=Z∈ IRm | E（z）- 十）+∈ α·（x）- C）, （4.16）以组件方式应用正部分功能。注意，（3.20）中定义的集合dom g变为×mi=1[0，αi]。由于dom`=IRm，根据命题3.2，D`，如果r∈×mi=1[αi+∞) AND D▽，r（X）=每X的IRM∈ L∞mif r∈ IRm+\\×mi=1[αi+∞). 在前一种情况下，使用相对权向量r进行发散度量∈×mi=1[αi+∞) 由D)`，r（X）=δ)`，r（X）+r·C forX给出∈ L∞m、在哪里，对于每一个我∈ {1，…，m}，δ`i，ri（Xi）=infzi∈红外光谱-zi+riαiE（子）- 十一）+- 日西。（4.17）当r=（1，…，1）和C=IRm+时，我们得到了Hamel等人（2013年，定义为M=IRm）意义上的集值平均风险值，如下所示：byAV@Rα（X）：=D▽`，1（X）+X（4.18）=英夫齐∈红外光谱-zi+αiE（子）- 十一）+mi=1+IRm+。因此，我们的框架将集值平均风险值概括为凸风险度量：AV@Rα、 r（X）：=D!`，r（X）+r·X（4.19）=英夫齐∈红外光谱-zi+riαiE（子）- 十一）+mi=1+r·C。与标量情况一样，这个定义甚至适用于X∈ Lm。5市场风险衡量本节的目的是提出一种将市场摩擦纳入风险量化的方法。作为该方法的第一步，假设存在代表投资者对市场资产态度的“纯”风险度量R。这可能是第3节中介绍的基于公用事业的风险措施之一。由于风险度量没有考虑市场的摩擦，第二步是根据市场的交易机会最小化风险。

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2022-5-6 05:58:33

更准确地说，我们最小化（在集合优化的意义上）通过所谓的凸市场模型交易，给定头寸可以达到的金融头寸集合上的R值。作为给定头寸的函数，风险最小化的结果被称为R诱导的市场风险度量。在文献中，Barrieu&El Karoui（2008）考虑了受交易约束的标量风险度量的最小化。在多变量情况下，Hamel et al.（2011）和Hamel et al.（2013）针对锥形市场模型的特殊情况引入了市场风险度量。在这里，这个概念被认为是一个任意的凸风险度量，具有Pennanen&Penner（2010）更一般的凸市场模型，以及交易约束和清算到较少资产的可能性。第5.1节对市场进行了描述。对偶表示结果，即第5.2节中的定理5.1，是本文的主要贡献之一。最后，在第5.3节中，我们给出了定理5.1可以应用于短缺和发散风险度量的充分条件。5.1考虑交易约束的凸市场模型∈ {1, 2, . . .} 资产我们假设市场在有限离散时间内存在交易成本或非线性非流动性。继Pennanen&Penner（2010）之后，我们使用凸偿付能力区域来模拟此类摩擦。为此，让我们∈ {1, 2, . . .},T={0，…，T}，和（Ft）T∈过滤(Ohm, F、 P）由F的P-零集扩充。数字T表示时间范围，和（Ft）T∈Tree展示了信息的进化。我们假设在时间0时没有信息，也就是说，每个F-可测函数几乎肯定是确定性的P-函数；在时间T有完整的信息，也就是FT=F。

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2022-5-6 05:58:36

福普∈ {0, 1, +∞} 和t∈ T、我们用Lpd（Ft）表示Lpd中所有Ft可测随机变量的线性子空间。让我们∈ T.通过集值函数D的Ft可测性：Ohm → P（IRd），表示图{（ω，y）∈ Ohm ×IRd | y∈ D（ω）}是Ft B（IRd）-可测，其中B（IRd）表示IRd上的Borelσ-代数。对于此类函数D，定义集合Lpd（Ft，D）：={Y∈ Lpd（Ft）|P{ω∈ Ohm | Y（ω）∈p的D（ω）}=1}∈ {0, 1, +∞}.接下来我们回顾一下Pennanen&Penner（2010）的凸市场模型。每个t∈ T、 letCt：Ohm → GD应该是一个Ft可测量的函数，这样IRd+ Ct（ω）与-国税局+∩ Ct（ω）={0}∈ {0，…，T}和ω∈ Ohm. 集合CTI在时间t称为（随机）偿付能力区域；见Astic&Touzi（2007），Pennanen&Penner（2010）。它将买卖价格建模为交易规模的函数，例如C,etin等人（2004年）、C,etin&Rogers（2007年）、Rogers&Singh（2010年）；因此，直接关系到订单簿的形状。更准确地说，Ct（ω）是所有投资组合的集合，当收益为ω时，这些投资组合可以在t时刻转换为具有非负成分的投资组合。凸偿付能力区域允许对临时非流动性影响进行建模，因为它们涵盖了非线性非流动性；然而，他们认为代理人没有市场力量，因此，他们的交易不会影响后续交易的成本。例5.1。一个重要的特例是卡巴诺夫（1999）提出的锥形市场模型。假设Ct（ω）是每个t的（闭凸）锥∈ T和ω∈ Ohm. 在这种情况下，交易成本与订单的大小成正比。从财务角度来看，在中间时间对交易机会可能有额外的限制。

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