没有必要明确说明输掉的国家的收益，因为我们的稳定理念只需要检查国家是否会通过攻击受益，通过增加一个联盟然后再攻击受益，或者可以安全地取消一个联盟；在这些计算中，对投资者的回报是无关紧要的。4不存在战争稳定网络对于两个国家的情况，直接检查唯一可能稳定的网络是空网络，并且只有当每个国家都有足够的防御优势时，才是战争稳定的。因此，我们考虑n的更有趣的情况≥ 3.在给出关于战争稳定网络不存在的结果之前，让我们举例说明主要观点。我们从一个永远不会稳定的简单网络开始：完整的网络。首先，为了使任何国家都不易受到伤害，从观察1中可以明显看出，它必须是M（N\\{i}）≤ γ（N\\{i}，{i}）Mifor all i.然而，在这种情况下，任何国家我都可以删除其任何联盟，但仍然不易受到攻击，违反了战争稳定的条件。1.2.354图4：对于任何参数值都不稳定的网络。论点略有不同，但相同的结论适用于连接较少的网络，如图4所示的网络。从每个国家都有两条链路的环形网络开始。让我们来看看NN案例（其他案例中的论证变体）。为了使1在添加链接53时不易受攻击，它必须是γ（{2,3,4,5}，{1}）M≥ M（{2,3,4,5}）（因为它不能受到3及其盟友2,4,5的攻击）。

然而，这意味着，如果1删除了一个联盟，而不考虑攻击联盟，则它在原始网络中不易受攻击，因此这与战争稳定性相矛盾。下面的定理表明，在极端情况下，无论国家实力如何，除了空网络之外，没有战争稳定的网络。这个特殊的定理适用于NN脆弱性。定理1。让n≥ 3.不存在非空的战争稳定网络。空网络是战争稳定的当且仅当M（{j，k}）≤ γ（{j，k}，{i}）对于所有不同的i，j，k.定理1表明，战争稳定网络只存在于极端情况下，在这种情况下，防御参数是如此之高，以至于最弱的国家能够抵御世界上最强的两个国家的攻击，在这种情况下，空网络是稳定的。除此之外，并没有稳定的战争网络。定理1证明背后的直觉与例子的直觉相似：在极端情况之外，要求一个国家不易受伤害，也不易受任何联盟的影响，这意味着一个国家拥有无关的联盟。正如我们现在验证的那样，战争稳定网络的不存在延伸到了其他脆弱性定义。对于CN和CC的情况，其论点更为复杂（详见权利要求1和2）。定理2。让n≥ 3.oNC漏洞：不存在非空的NC战争稳定网络。空网络是NC-war稳定的当且仅当M（{j，k}）≤ γ（{j，k}，{i}）mif对于所有不同的i，j，k.oCN脆弱性：在Mi=\'M的均匀强度情况下i和γ（C，C）=对于所有C，C，如果1≤ γ<2则不存在CN-war稳定网络。如果γ≥ 2.那么唯一的CN战争稳定网络就是空网络。

如果γ<1，则对于大的enough，存在非空的CN-war稳定网络。尽管任何特定网络的不稳定性都是直截了当的，但要证明在这些不同的定义下不存在任何非空的战争稳定网络，就需要覆盖所有可能的配置，因此涉及面相当大。因此，这些定理的完整证明，包括CN脆弱性的情况，使用了一个组合鸽子洞论证，表明所有非空图中都会出现某些类型的矛盾。CN脆弱性的情况非常复杂，因此我们的证明仅限于同等强度的情况，我们不确定不对称情况的完整特征。4.1核武器二战后出现的一个明显趋势是，核武器是在战争期间发明的，在接下来的几十年里，核武器的威力和运载方式都得到了极大的提高，导致了战争技术的巨大变化。虽然很少使用，但它们的存在改变了技术，并可能带来稳定的机会。我们强调，它们的存在并不能带来稳定：我们的模型（针对最相关的NN案例，以及NC案例）允许在军事实力和有效/防御优势方面完全任意不对称。各国无法凭借自身的实力和核能力，建立一个稳定而非空虚的网络。核武器能够稳定局势的唯一方法是为了战争的稳定，即对γ的限制≥ 1是很重要的。如果部队具有实质性优势且γ<1，则在CN脆弱性的情况下，存在战争稳定的网络。乍一看，攻击者比捍卫者拥有优势的世界可能会带来更大的稳定性，但可以理解为：。

有效优势为各国维持联盟提供了激励，因为没有联盟的国家很容易变得脆弱。这使得人们可以建立更密集的联盟网络。然后获得战争稳定的关键是让每个国家都参与几个独立的战争，这样就没有足够大的攻击集团能够战胜这个国家及其其他盟友（见第9节）。CC战争稳定问题尤其具有挑战性。当γ<1时，我们可以证明它不存在，并且推测它对于γ>4/3也成立，但是对于1，我们可以找到一些CC war稳定网络≤ γ ≤ 4/3. 鉴于这不是一个经验兴趣的案例，我们把它放在一边。有大量关于冷战的文献，也有关于核技术的潜在稳定或稳定影响的有争议的辩论（例如，见谢林（1966）；穆勒（1988）；盖勒（1990）。让所有国家都拥有它们，让空洞的网络接踵而至。情况显然并非如此。因此，该模型清楚地表明，我们需要贸易或其他考虑，来解释为什么我们看到更密集的网络是稳定的，为什么许多无核国家也生活在相对和平的环境中。因此，我们现在转而分析存在实质性贸易因素时的稳定性。5.存在战争和贸易稳定的网络正如我们所看到的，纯粹的军事考虑不会导致稳定的网络。正如我们接下来展示的，考虑与贸易收益相关的经济激励可以恢复稳定。5.1战争和贸易稳定网络的结果和示例请让我们检查战争和贸易稳定网络的集合。我们首先确定一个有利于战争和贸易稳定的条件。提议1。假设g相对于u是成对稳定的。如果没有一个国家是脆弱的，尽管任何jk在g或g+jk进行贸易/∈ g、 那么g就是战争和贸易的稳定。

此外，如果没有任何国家在g或g+jk对任何jk都是脆弱的/∈ g、 那么g是很强的战争和贸易稳定性。命题的证明很简单，因此省略了（也扩展到了CN、NC、CC定义）。有许多例子表明，网络是战争和贸易稳定的，但不是战争稳定的。下面的定理概括了一整类战争和贸易稳定的网络，表明经济考虑恢复了普遍存在的结果。对于剩下的建设性结果，我们专门研究symmetriccountries的情况（因此ui（·）、Eij（·）和Mi独立于i和j），但很明显，类似的结果会扩展到具有messier条件陈述的不对称情况。我们还考虑了Chui（g）=f（di（g））的典型情况- c·di（g），其中di（g）是i的阶，f是凹的，不减损的，因此存在一些d≤ N-这是一个简单的模型，从商品和贸易伙伴的异质性以及贸易关系中的相互依赖性中抽象出贸易收益和拥有贸易关系的成本，而不仅仅是收益递减——但它阐明了我们的要点，应该清楚的是，类似的结果适用于更丰富的模型。让d*最大化f（d）- 非负整数中的c·d。此外，在这个模型中，在给定对称性的情况下，让Eij（g，C）=E（di（g））|C |，这样每个国家的经济战利品只取决于该国的程度，然后在进攻国之间平均分配。定理3。

考虑带d的对称模型*≥ 2.o任何d*-常规网络（即每个国家都有*联盟）没有两个国家拥有超过k<d的*- 1.盟国的共同点是强大的战争和贸易稳定网络≥D*+1d*-K-1.o如果E（d*) ≤ 2[f（d*) - f（d）*- 1) - c] ，然后是d*-常规网络（在任何配置中，包括派系组合）都是战争和贸易稳定的网络≥D*+1d*-1.定理3提供了两个存在性结果，每个结果都来自不同的想法。第一部分是基于贸易为各国提供了维持贸易关系的动机，以及这样一个事实，即没有一个国家是脆弱的，即使加入新的联盟，也没有一个国家是脆弱的。这一结果独立于欧洲独立法院和战争的相对成本，但确实需要一些特定的结构（例如，只是在每个国家都有*盟友是行不通的，因为这样一个国家的所有伙伴都可以攻击该国并取得胜利）。第二个结果是从战争中获得更具体的收益（Eijs），但网络范围更广。它的作用在于，随着贸易的充分收益，战争的潜在战利品被损失的贸易价值所抵消，因此各国永远不会受到自己贸易伙伴的攻击。在这种情况下，每个国家都有足够的联盟来保护自己免受来自外部的攻击，然后广泛的网络变得稳定。这使得更多的集团结构变得稳定，这与我们今天在世界上观察到的新兴网络更加一致。因此，我们看到了贸易稳定世界的两种不同方式。结果的变化适用于其他定义。

对于CN战争和贸易稳定，如果d*≥ 4然后是所有国家都拥有的网络*在联盟中，最大的集团规模最多为dd*e、 任何两个派系在最多一个国家相交，任何一个国家的战争和贸易都是稳定的≥ 1.一类特别有趣的战争和贸易稳定网络是由一组被称为“被子”的小集团建立起来的。如果所有节点都有至少两个链接，并且网络可以写成一个团的联合体，每个团的大小至少为3，并且任何两个团共享最多一个节点，则称网络为“被子”。（被子的定义与Jackson、Rodriguez Barraquer和Tan（2012）介绍的社交被子略有不同，因为此处允许使用更大的周期。）特别是，如果*≥ 4.然后是所有国家都穿的被子*联盟和最大的集团在mostdd的规模相当*e对于任何一个国家来说都是非常稳定的战争和贸易≥ 1.被子很有趣，因为我们在6中看到了它们的基础。再看一看数据，该模型提出了一些在决定和平方面很重要的维度，这些维度在以前的研究中没有被研究过。例如，正如刚才所讨论的，一个拥有更多盟友（贸易伙伴）并与之进行更多贸易的国家将导致该国不易受到攻击。此外，该国应该不太容易受到与它有大量贸易往来的国家的攻击。

在结束之前，我们先简要回顾一下数据中的这些影响，然后集中讨论1950-2000年这段时间，我们有详细的贸易和GDP数据（来自Gelditsch（2002））。表2给出了两国在给定年份发生战争的概率的逻辑回归，该回归是两国之间贸易水平的函数，两国之间的贸易水平是总交换量（进口加出口）除以两国GDP的最大值作为一个标准化指标。我们将注意力限制在彼此1000公里以内的国家，因为大多数其他二元体彼此之间不太可能发生战争或贸易。根据COW数据集，我们还认为战争是一场中期战争。表2：二元战争对二元贸易的逻辑回归（1）（2）（3）（4）二元贸易-1974.37***-1974.37**（383.69）（964.74）滞后二元贸易-1150.24***-1150.24（248.29）（758.19）十年假人是是是是是标准错误聚集否是是卫星二元水平观测36832 35658 36832 35658括号中的标准错误。*p<0.1，**p<0.05，***p<0.01冲突贸易二元逻辑回归。考虑1000公里以内的二元体。如果在安米德5号的对侧卷入战争，二人组将处于交战状态。按照两国GDP的最低值，二元贸易正常化。来自COW的冲突数据。来自Gleditsch（2002）的贸易和GDP数据。

Gleditsch和Ward（2001）的距离数据。在这两个十年中，我们将看到国家和国家之间存在显著的聚集性和负效应。为了了解影响的大小，标准化二元贸易的一个标准差（.0087）增加会降低两国交战的对数优势比。例如，图10中的网络由一些小重叠的小集团组成。带着*= 同样的命题适用于γ≥ 3/2和d*= 2然后移动到γ≥ 2.其他因素大于17（基于第（1,3）列的系数）——基本上将优势比设为0。我们也探讨了同样的关系，但对于我们只关注新战争的情况——即国家处于战争状态的第一年。这控制了两国一旦开战或处于战争状态一段时间后贸易可能会减少的事实。这些结果见表3。我们再次看到了巨大的负面影响。影响的重要性再次取决于标准误差是否在二元水平上聚集。表3：新二元战争对二元贸易的逻辑回归（1）（2）（3）（4）二元贸易-660.85***-660.85（280.11）（441.48）落后于二元贸易-337.29**-337.29（171.34）（326.12）十年假人是是是是是是标准错误聚集否是是卫星二元水平观测35565 35565标准错误在括号中。*p<0.1，**p<0.05，***p<0.01冲突贸易二元逻辑回归。考虑1000公里以内的二元体。如果在安米德5号的对侧卷入战争，二人组将处于交战状态。按照两国GDP的最低值，二元贸易正常化。来自COW的冲突数据。来自Gleditsch（2002）的贸易和GDP数据。

Gleditsch和Ward（2001）的距离数据。表4报告了一个国家在给定年份与另一个国家发生战争的概率的逻辑回归，其函数是该国拥有的贸易伙伴数量（即该国与之进行贸易的国家数量至少占其国内生产总值的0.5%），以及该国与其伙伴之间的贸易总额（按其国内生产总值标准化）。同样，我们也看到了显著的负面关系——尽管在这里加入大量固定效应会减少样本量，并消除显著性，因为我们在国家一级对标准误差进行了聚类（尽管如果我们不对标准误差进行聚类，系数是非常显著的）。为了了解这些影响的大小，每个增加的盟国将一个国家处于战争状态的对数优势比降低了0.08，因此一个国家处于战争状态的oddsratio大约降低了8%，而增加10个盟国（仅低于平均值）将一个国家处于战争状态的几率降低了50%以上。这些关系与模型一致。此外，这些结果表明，从网络角度看待战争、贸易和联盟是未来经验性工作的一个有希望的途径。各国通常处于和平状态，因此优势比接近于一个国家处于战争状态的概率。表4：处于战争状态的国家与盟国贸易的逻辑回归（1）（2）（3）（4）贸易伙伴数量-0.0797*-0.0906-（0.0476）（0.0598）-正常化盟国贸易----11.299***-8.936---（2.795）（6.987）十年假人是是是是是是是是进入修正效应否否是标准错误聚集是是是是是国家级观测6760 1464 6760 1464括号中的标准错误。*p<0.1，**p<0.05，***p<0.01。战争中的国家在贸易方面的逻辑回归。如果在1000公里内与另一个国家发生MID 5，则该国处于战争状态。

A国的贸易伙伴数量定义为A国与该国的贸易额至少占其GDP 0.5%的国家数量。A国与盟国的贸易通过其GDP正常化。来自COW的冲突数据。来自Gleditsch（2002）的贸易和GDP数据。Gleditsch和Ward（2001）的距离数据。来自ATOP7结论性评论的联盟数据我们提供了第一个模型，通过该模型分析军事联盟网络及其与国际贸易的互动。我们已经证明，无论军事技术和国家之间的不对称性如何，稳定的网络都无法存在，除非贸易考虑是实质性的。尽管这表明贸易是稳定的必要条件，但它是否有助于稳定取决于利益的大小和战争的成本的大小。最后，让我们谈谈国际关系的其他几个特点，它们是国家间战争大局的一部分。冷战期间联盟的一个显著变化是从“多极”结构转变为“两极”结构，这在冷战文献中已被广泛讨论（例如，参考文献见布洛赫（2012））。尽管这种情况持续了战后的一部分时间，其特点是东西方区块之间陷入僵局，但只有当一个集团的成员之间存在充分的贸易利益时，这种由两个相互竞争的联盟集团组成的体系才是战争稳定的，如定理3所示。此外，它更像是一种历史观察，而不是一种理论，而且它根本没有解释过去几十年来所发生的持续和平。

因此，这完全在模型的范围内，并没有考虑和平的总体趋势。关于二战后平静的另一个制度性观察是，制度允许各国协调到和平的“集体安全”平衡上，任何破坏国际和平的国家都会受到所有其他国家的惩罚，因此对一国的战争就是对所有国家的战争。然而，正如Niou和Ordeshook（1991b）所示，这种平衡在某种意义上是“脆弱的”：它严重依赖于这样一种保证：一个被诱惑加入攻击联盟的国家将拒绝，所有国家都将履行其惩罚承诺，因此对有效平衡行为的远见卓识预期是正确的。考虑到自二战以来的各种小冲突并没有促使全球做出反应，对一些国家实施惩罚的承诺的这种怀疑似乎是合理的。尽管这似乎无法解释持久和平，但它确实为我们的模型提供了一条有趣的扩展途径：在包括联盟和贸易网络的情况下，对多边冲突采取重复博弈的方法。关于冲突模式变化的另一个相关观察是所谓的“民主和平”：民主国家很少相互开战。这加上民主国家的大量发展，可以被认为是和平增加的原因。然而，一旦人们将贸易重新纳入考虑范围，似乎民主和平的大部分可能是因为一个事实，即成熟的民主国家往往更发达，贸易水平更高。

事实上，穆索、赫格雷、奥尼尔（2003年）和穆索（2005年）的研究表明，贫穷的民主国家实际上比其他国家更容易相互攻击，只有当相关国家的经济发展水平较高时，配对民主才与和平显著相关；这与贸易起主要作用而非政府结构是一致的。我们的模型是从政治考虑中抽象出来的，这仍然可能是重要的，因此这为进一步扩展提供了另一条途径。最后，我们指出了另外两种明显的方式来丰富我们的模型。首先，可以丰富贸易建模。引入异质性的方法有很多，例如Dixit和Stiglitz（1977）的观点；或者，如戈瓦和曼斯菲尔德（2004）、朗和利兹（2006）以及曼斯菲尔德和布朗森（1997）所述，捕捉贸易动态的复杂性。其次，也是相关的，是一个地理问题。贸易和战争都与地理有着密切的关系（参见Eaton和Kortum（2002），人们可能会认为国际机构的兴起允许更大的国家集团同时增加联盟，而不是下面的基本模型中的成对增加。

然而，改变我们对稳定的定义，允许加入联盟的国家组成联盟，只会减少潜在的战争稳定网络，再次表明贸易需要纳入联盟模型，以解释冲突的急剧下降和联盟的同时增加（与贸易密切相关）。早期背景见康德（1795）；道尔（1986）；Russett（1993））和最近的参考文献可以在Jackson和Morelli（2011）中找到。例如，康科尼、萨胡盖特和扎那迪（2014）讨论了任期限制和选举责任如何影响参战动机，杰克逊和莫雷利（20）讨论了政客和他们所代表的民众参战动机的差异。正如Caselli、Morelli和Rohner（2012年）发现的那样，从1945年到1987年，86%的重大国际战争发生在邻国之间）。地理位置限制了贸易和战争带来的机会和利益，因此对稳定性的影响不明确。尽管如此，它在解释已实现的贸易和联盟网络方面发挥着重要作用，值得进一步关注。参考阿尔贝托·阿莱西纳和恩里科·斯波劳尔。关于国家的数量和规模。《经济学季刊》，112（4）：1027-10561997。斯科特·L·拜尔和杰弗里·H·伯格斯特朗。世界贸易的增长：关税、运输成本和收入相似性。《国际经济学杂志》，53:1-27，2001年。Sandeep Baliga和Tomas Sj¨ostrom¨om。军备竞赛和谈判。经济研究回顾，71（2）：351-692004。Sandeep Baliga和Tomas Sj¨ostrom¨om。操纵冲突的策略。米美欧，2009年。凯瑟琳·巴比里。经济上的相互依赖：和平之路还是国家间冲突之源。《和平研究杂志》，33（1）：29-491996年。Daniel M Bernhofen、Zouheir El-Sahli和Richard Kneller。

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联盟和国际贸易的高层政治。mimeo:德克萨斯大学，2012.8附录：定理1和定理2的证明：对于脆弱性的任何定义（NN、CN、NC、CC），稳定性条件可以按照γ参数的要求重新表述。让C*（g） 表示在相应定义下的可行攻击联盟——一些j及其邻居的子集，或一个集团。在处理CN案件之前，我们完成了NN和NC案件的证明。考虑一个在非空网络中有联盟的国家，比如说我，然后它与somek有联盟。为了让[S3]满意，我必须在g中很脆弱- ik。因此，有一些j和C Nj（g）-（ik）∪ j，对于所有C中的每个可行C（取决于NN或NC情况），M（C）>γ（C，C）M（C） {i}∪ Ni（g）- （ik）∩ 考虑到[S1]，我必须是在g时不易受攻击的，所以必须是k/∈ C尤其是thatjk/∈ g、 然而，如果添加了链路jk（以便形成网络g+jk），则C∪ {k} 可以打败我，因为M（C）∪ {k} )≥ M（C）和γ（C）∪ {k} ，C）M（C）≥ γ（C，C）M（C）对于任何可行的C {i}∪ 倪（g）∩ Cc/set减号{k}可以保护i，和soM（C∪ {k} )≥ M（C）>γ（C，C）M（C）≥ γ（C，C）M（C）对于任何可行的C {i}∪ 倪（g）∩ Cc/set减号{k}可以保护i。这违反了[S2]，因为此时j和k可以从添加链接中受益，因为i容易受到同时包含j和k的联盟的攻击，这是一个矛盾。这就确定了任何NN orNC war稳定的网络都必须是空的。现在我们来看看中国的情况。第一个条件是没有国家是脆弱的[S1]，翻译为：γ≥ 马克斯∈C*（g） （马克西）∈CcM（C）M（i）∪ （倪（g）∩ Cc）））。[S1]（1）没有额外链接导致[S2]的第二个条件翻译为：γ≥ 麦克斯克/∈g（maxC）∈C*（g+jk）（maxi）∈CcM（C）M（i）∪ （Ni（g+jk）∩ Cc）。

（2） 请注意，给定（1），我们只需要检查（2）关于C，使得j∈ C和k∈ 因此，我们可以将（2）中的分母改为M（i）∪ （倪（g）∩ Cc）。因此，稳定性意味着γ≥ 麦克斯克/∈g（maxC）∈C*（g+jk）（maxi）∈CcM（C）M（i）∪ （倪（g）∩ Cc）。[S2]（3）第三个条件[S3]翻译为（假设g是非空的）：γ<minij∈g（min{maxC）∈C*（g）-ij）M（C）M（i）∪ （倪（g）- ij）∩ Cc），maxC∈C*（g）-ij）M（C）M（j）∪ （Nj（g）- ij）∩ Cc）。[S3]（4）按照强度降低的顺序标记国家，以便≥ Mi+1。首先，请注意，空网络是稳定的（在任何漏洞定义下），当且仅当（M+M）/Mn≤ γ. 这是因为在这种情况下[S1]显然是满意的，而且[S3]也是空洞的满意的，因为没有要删除的链接，并且（M+M）/Mn≤ γ对应于[S2]满足的情况。因此，为了证明这些定理，足以证明NN或NC不存在非空战争稳定网络；对于CN，当γ≥ 1.我们从一个无论漏洞定义（NN、CN、NC、CC）如何都适用的索赔开始，索赔1。不存在最大度小于2的非空战争稳定网络。权利要求1的证明：考虑最大度为1的网络。如果γ<1，则网络必须违反[S1]，因为任何链接对中的一个（最强）国家都可以击败另一个国家。那么，考虑γ≥ 1.让n成为最弱的国家。让我成为n的盟友，如果n没有盟友，我就成为其他国家的盟友。因此γ≥ 2.另一方面，i与一些与i和n不同的国家k，或者是i的现有盟友，或者通过形成一个新的链接ik，可以击败n，这将分别违反[S1]或[S2]。然而，γ≥ 2意味着网络不可能是战争稳定的。这是下面的内容。以我所说的最强大的国家为例，它拥有积极的程度。

要么我可以切断它违反[S3]的链接，要么≥ 2.在那些有联系的国家中，我是最强的，而派系最多是成对的）。如果我切断了与盟友j的联系，一定有某个国家k没有任何联系可以击败我。然而，通过加入ik，他们将击败j（因为j不比我强，当k是唯一的k时，我将被k击败），违反[S3]。我们现在专门研究关于CN案件的剩余证据的同等强度。索赔2。不存在最大度小于3的非空CN战争稳定网络。权利要求2的证明：给定权利要求1，考虑最大度为2的网络g。首先，考虑γ≥ 2考虑到最大的集团规模为3和γ≥ 2，那么一个拥有2级学位的i级国家可以切断其一个联系，而不易受到CN攻击（其剩余盟友不能是任何规模超过2级的集团的一部分），任何规模为3级的集团都无法击败i级国家及其剩余盟友。因此，如果最高学位为2，则没有国家拥有2级学位，这是一个矛盾。所以，考虑γ<2的情况，考虑一个国家i和链接ij∈ g和ik∈ g、 不可能是jk∈ g，否则jk可以击败i，违反[S1]。类似地，如果jk/∈ 然后，通过添加链接jk将击败i[S2]。所以，我们又得出了一个矛盾。因此，最大度数必须至少为三。索赔3。考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 存在C∈ C（g）- ij）这样的γ<M（C）M（i）∪ （倪（g）- ij）∩ Cc））（5）以及每一个这样的C∩ Ni（g）- ij）6= 而我/∈ C和j/∈ C.权利要求3的证据：我们从[S3]中知道存在C∈ C（g）- j）使得γ<M（C）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ Cc）。假设有些这样的C有C∩ Ni（g）- ij）=. 这意味着| C |>γdi，并且由于γ≥ 1和dii最大，这意味着| C |=di+1。

然而，这是一个矛盾，因为除了一个C成员之外，其他所有成员都可以击败剩下的一个成员（这个成员必须拥有学位，因此只与C的其他成员有联系）。鉴于|C |=di+1>γdiand di≥ 1.因此，任何C∈ C∈ C（g）- 满足必须满足∩ Ni（g）- ij）6=. 事实是我/∈ C是定义，而j/∈ C表示否则我们将违反[S1]（因为在ij存在的情况下，C将在网络g中击败i）。索赔4。考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 考虑一下C∈ C（g）- ij）这样的γ<M（C）M（i）∪ （倪（g）- ij）∩ Cc）。下面是C Ni（g）和| C |=dγdi1+γe和|C |>γdi1+γ。此外，对于任何C∈ C（g）与i/∈ C、 |（C）∩ Ni（g））|≤ dγdi1+γe.权利要求4的证明：设x=|C∩ Ni（g）|，设y=|C∩ Ni（g）c |是与i无关的c的成员数。然后γ<M（c）M（i）∪（倪（g）-ij）∩Cc）表示x+y>γ（1+di- 1.- x） =γ（di）- x） 。（6） 让k∈ C∩ Ni（g）（通过权利要求3）。[S1]意味着C的其余成员无法击败K，因此：x+y- 1.≤ γ（dk+1）- （x+y）- 1)).事实上，dk≤ di（i是最大度）和上述两个不等式意味着γ（di- 十）- 1<γ（di+2）- 十、- y） ，或γ（y）- 2) < 1. 考虑到γ≥ 1和y是一个整数，γ（y- 2） <1意味着y≤ 2.现在，让我们来论证y=0。相反，假设y=2（类似的参数将显示y=6=1）。让我们来看一下C中的国家∩ Ni（g）c.考虑网络g+ik和c=（c\\{k}）的集团∪ {i} ，注意| C |=|C |。用y=2，x=C，乘以（6）- 我们知道| C |>γ（di- （|C|- 2)). 但是，因为我有最大degreeNote，这意味着γdi1+γ不能是整数。和| C |=|C |，由此得出|C |>γ（dk- |C |+2）。然而，这与[S2]相矛盾，因为i和KC可以形成联系，由此产生的集团CDEFK。

（为了证明y6=1，假设C中的任何国家都不等于k。）接下来，使用（6）和y=0，x（1+γ）>γdiorx>γdi1+γ。考虑到γ≥ 1和x是一个整数，这意味着x=|C |≥ dγdi1+γe.（7）要查看索赔的最后一部分，让z=|（C）∩Ni（g）\\{i}|。由[S1]（C未击败i）：z≤ |C|≤ γ（di+1）- z） 还有索兹≤γ（di+1）1+γ，假设z是一个整数，这意味着z=|（C）∩ Ni（g）\\{i}|≤ dγdi1+γe.如权利要求所述。然后，权利要求的第二部分源自权利要求的最后部分和（7）。索赔5。考虑最大度的i和ij∈ g、 一定是ni（g）\\{j}6=Nj（g）\\{i}。权利要求5的证据：考虑最大程度的i和一些ij∈ g、 根据权利要求3，存在C∈ C（g）- j）使得γ<M（C）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ Cc））（8）以及每一个这样的C∩ Ni（g）- ij）6= 而我/∈ C和j/∈ C.根据权利要求4，C Ni（g）- ij）。如果Ni（g）\\{j}=Nj（g）\\{i}，那么C∪ {j} 也是一个集团。但是| C∪ {j} |>|C |，我们违反了权利要求4的最后一部分。索赔6。不存在非空的CN战争稳定网络（当≥ 1.权利要求的证明6：让我达到最大程度。为了满足[S3]，对于每个j∈ Ni（g）存在Cj∈ C（g）使得γ<M（Cj）M（i∪ （倪（g）- ij）∩ （Ccj））。此外，根据权利要求3，可以认为每个CJ位于C（g）中- ij）。根据权利要求4，每一个这样的Cj都是这样的Cj Ni（g）和| Cj |=dγdi1+γe>di。此外，根据权利要求4，每个j∈ Ni（g），∪Cj3jCj6=Ni（g）。这是因为i是最大度的，否则这意味着Nj（g）\\{i}=Ni\\{j}，这与权利要求5相矛盾。因此，为Ni（g）中的每个j寻找这样的集合cj就成了下面的组合数学问题：创建一个集合M={1，2，…，di}的子集{C，C，…，CS}，使得：1。Cs，|Cs |=x>d，2。J∈ MCSJ/∈ Cs，3。J∈ M∪Cs3jCs6=M，和4。

6.D 我是这样的{k，j} DCs使得{k，j} Csand | D |>x.4源于权利要求4，否则D将是一个比x=Dγdi1+γe大的集团。我们现在证明，这样的子集集合是不可能的。为了做到这一点，我们从设定开始，看看当我们考虑每一个额外的C时，会有什么影响，最终导致一个矛盾。为了便于参考，我们介绍了三个新的集合系列：{Ws}Ss=1、{Ys}Ss=1和{Zs}Ss=1。Ws是M的元素集合，这些元素至少在集合C，Cs（即Ws=∪si=1Cs）。i是M的元素集，这些元素是C，Cs（即Ys=∩si=1Cs）。这些元素中没有一个是，Cs（即Zs=M\\Ws）。现在让我们完成证明。注意，如果满足1-4的子集{C，…，CS}存在，那么YS= 从第2点开始，因为M的每个元素都有一些不包含的CST。还要注意的是，每增加一个Cs，Ws（弱）就变大，而YSANDZ（弱）就变小。为了完成证明，我们证明| Ys-1\\Ys|≤ |Zs-1\\Zs |和|Y |>|Z |。这些加在一起意味着YS6=, 这就是矛盾。我们从Y=W=C开始。因此，|Y |=|W |=x>di- x=|Z |因为x>di。那么，让我们展示一下| Ys-1\\Ys|≤ |Zs-1\\Zs |。在随后每次添加Cs时，所有Cs∩ Y-1=Ys-1或Cs∩ Y-1美元-1.在第一种情况下，结果直接由定义Ys+1=Y和0得出≤ |Zs-1\\Zs |。因此，考虑第二种情况。在第二种情况下，我们证明| Ys-1| - |Y-1.∩ Cs|≤ |Zs-1\\Zs |。让A=Ys-1\\y是j∈ ∩s-1i=1Cibut j/∈ 反恐精英。我们证明| Cs∩ Zs-1| ≥ |A |-也就是说，Cs包含的元素不在任何Cs，s<s中，至少与不在每个Cs，s<s但不在Cs中的元素一样多（这建立了我们的结果，因为| Cs∩ Zs-1 |=| Zs-1\\Zs |）。要明白这一点，假设这不是真的。

也就是说，假设| Cs∩ Zs-1 |<|A |。然后，我们将设置D=（Cs\\Zs）-1) ∪ 一个大小至少为x+1且与4相矛盾的。要确保大小至少为x+1，请注意，假设CSA有x个成员；通过排除Cs与Zs之间的冲突-1.我们最多排除| A |- 1 Cs的成员，并在A的| A |元素中添加。要确保D满足4的条件，请注意任意一对元素k，j这两个元素都将满足{k，j}∈ C.同样，Cs\\Zs中的任意一对元素k，jboth-1将满足{k，j}∈ 反恐精英。最后，任意一对元素k，j和k∈ A、 j∈ （Cs\\Zs）-1） \\A将满足{k，j}∈ Cs对于一些s<s，因为k在所有这样的Cs中∈ Cs\\Zs-1. Ws-1，j至少在一个这样的Cs中。因此，我们找到了一组至少为tx+1的大小，满足第4点的限制。这一矛盾确立了满足组合数学问题的不可能性，从而证明了这一主张。因此，我们证明了当γ≥ 1.定理的最后一部分，即如果γ<2，则不存在CN-war稳定网络，这是因为如果γ<2，则空网络无法满足[S2]（但如果γ满足它）≥ 2） ，正如已经确定的那样。定理3的证明：我们应用命题1。很明显，任何被破坏的网络*规则是成对稳定的。因此，我们只需要表明，没有任何国家是脆弱的，而且在增加任何联系后，这一点仍然是正确的。在本文的第一部分，我们还需要证明，不管δE（·）对于至少一些d，这都是正确的*常规网络。

对于命题的第二部分，我们需要证明在给定的E（·）假设下这是正确的，但对于任何d*常规网络。首先，请注意，没有一个国家i容易受到任何不包括其任何邻国的联盟C的攻击（即使这来自于添加一个不涉及任何邻国的链接），因为根据定理γ的任何一部分≥D*+1d*-1> d*+二维*+1.因此，我们只需要验证至少涉及一个邻居的联盟的脆弱性，并且可能涉及添加链接。因此，考虑一个国家i和一个至少有一个邻国参与的联盟C。根据该定理的第一部分，联盟的最大强度（包括添加链接）为d*+ 2（如果该中心不是我的邻居之一），那么辩护联盟将至少涉及d*- k成员，或者中心是我的邻居之一，在这种情况下，力量最多是d*+ 1.辩护至少涉及d*- K- 1名成员。吉文瑟特γ≥D*+1d*-K-1，可以得出γ≥D*+二维*-k、 所以我在这两种情况下都不脆弱。根据定理的第二部分，如果C中i的任何一个邻居仍然只有YD*链接，然后是sinceE（d*)≤ f（d）*) - f（d）*- 1) - c、 而进攻联盟必须至少涉及两个国家（考虑到γ和我至少要自卫），那么这个国家将不愿意继续攻击i，因为它将失去联系。因此，联盟C中的所有i的邻居必须获得联系。

这意味着联合最多涉及i的两个邻居，但之后≥D*+1d*-1.≥D*+二维*, 进攻联盟无法击败i及其剩余的邻国，无论它是否涉及ofi的一个或两个邻国。9附录：联盟网络快照：1815至2000图5：联盟网络，1815年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图6：联盟网络，1855年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图7：联盟网络，1910年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图8：联盟网络，1940年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图9：联盟网络，1960年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图10：联盟网络，2000年，红色代表多边联盟，灰色代表双边联盟，绿色代表双方图11：稳定的联盟网络图12：国家1及其联盟的特写，用于在线发布-补充材料：CN脆弱性下的稳定性为了说明脚注30中的观点，图11显示了γ<1 CN脆弱性时的战争稳定配置。图12是图11的一个子图，重点关注国家1、其邻国以及所涉及的派系（注意，12个国家中的每个国家在更大的网络中都有3个其他邻国，每对国家一个来自1-2-3-4派系，另一个来自1-5-9-13派系，共用一个邻居）。网络是同构的，因此国家1完全代表了所有国家面临的问题。可以很容易地验证，如果≥.

例如，如果国家1被2,3,4攻击，它将被5,9,13防御，因此将有3名攻击者和4名防御者（计算1），防御者将获胜≥. 如果1的邻居之外的任何其他派系攻击1，他们将面临7名捍卫者，因此也将失败。很容易检查网络是否稳定，以防添加新链接，因为添加新链接不会增加任何集团的规模，只会添加新的一对，而且在攻击任何国家时，两人都无法获胜。因此，[S2]很容易检查。因此，仍需检查[S3]。如果国家1放弃其一个链接，例如与国家2的链接，则如果γ<1，则该国将处于易受攻击状态（国家1可能会受到国家5、9和13的攻击，并且只有国家3和4的防御）。由于其他任何国家都可以提出类似的论点（因此[S3]对整个网络是满意的），如果γ∈ [，1），网络是稳定的。通过让国家成为更多独立派系的一部分，可以为更低的γs构建类似的例子。例如，让每个国家成为3个大小为4的独立派系的一部分（在图11的右侧和每个国家再添加一个派系）将导致γ的稳定网络∈ [，）。通过改变派系的大小和每个国家参与的派系的数量，即使是任意小的γs非空网络也可以找到足够大的n。命题2.考虑任何γ<1和均匀强度的情况，其中Mi=Mi、 存在一个足够大的网络，使得在网络脆弱性下存在一个非空的战争稳定网络，其中每个国家至少有一个联盟。命题2与定理2形成了有趣的对比。

凭借有效优势，CN脆弱性下存在稳定的网络，因为有效优势为各国提供了维持关系的激励，作为一种威慑，在有防御优势的情况下，它们可能会切断这种关系。命题2的证明：我们通过构建一个网络来证明，每个国家都是两个集团的成员，每个集团的规模为4，而我是两个集团中唯一的国家。此外，我们还让我有了一个新的邻居，他们之间没有任何联系，也没有联系到我所在的派系中的其他国家。所需的国家数量将为32a。从16个国家的网络开始，每个国家都有两个规模为4的集团。要构造它，请复制四份k（4个顶点上的完整网络）。在每一份k中，标注国家1至4。然后，将所有标记为1的国家相互连接，所有标记为2的国家相互连接，依此类推。为了构建最终的网络g，将该网络覆盖16个国家，任意将这些国家重新标记为“a”到“p”（第16个字母）。然后，在16个国家/地区创建网络的2a副本，将每个副本编号为1到2a。按（第一个网络中位置的编号，第二个网络中位置的字母）标记每个顶点。将有32a标签，从（1，a）到（32a，p）。现在，将每个国家与所有其他国家联系起来，这些国家在数量均等方面达成了更好的一致，但存在差异（例如，将（1，a）与（3，a）、（5，a）连接起来，等等；因此，同一字母的每个国家子集构成了一个a-正规网络，没有超过2个的派系。在这个最终的网络中，只有大小为4（在起始网络的副本中）和大小为2的派系。此外，向该网络添加任何链接都可以在most3上创建一个新的规模集团，涉及任何给定国家的邻国不超过2个。

由于每个国家都可能受到由三个邻国组成的集团的威胁，我们可以放心地忽略对任何国家在g+ij中都不易受伤害这一要求的限制。没有哪个国家是脆弱的，我们需要γ≥4+a（我可以被我所在的4号集团中的3个邻居攻击，我的另一个4号集团中的邻居以及其他邻居为我辩护）。为了防止我想要删除一个链接，我们需要γ<3+a。结合，我们需要γ∈ [4+a，3+a）。对于a=0，这个区间是[，1）。重新安排区间，我们需要γ∈ （1+a，+a），因此对于任何γ<1，我们可以取满足a<γ的最大值- 3.满足下限，然后满足上限。9.1 CN脆弱性下的异质军事实力尽管我们无法找到任何在以下情况下CN脆弱性下非空战争稳定网络的例子：≥ 1.假设结果普遍推广，似乎很难证明。定理2证明的复杂性表明它涉及逻辑。该证明的部分内容本质上是组合的，不能直接推广到不对称性。尽管如此，我们可以证明定理2中的CN结果是稳健的，因为它在一个开放的邻域中围绕着相等的军事力量，对任何（不相等的）军事力量都是稳健的。开放社区能否扩展到全套社区的问题仍然悬而未决。如果不存在任何m+m的正整数和mf，则γ具有相对于n的无联系性质≤ n和m=γm。这显然是一个通用属性，因为它直接适用于γ的所有无理水平，以及许多有理水平，以及一组完整的值。定理4。让n≥ 3.考虑γ，它满足与n和一些基本军事力量M相关的无联系性质。