33n（n+1）估计方法及应用bnαc+1Xj=1n- bnαc）Gnbnαc+1- Hnn+1+n+1Xbnαc+2Gnj-Hnn+1+Gnbnαc+1-1.- bnαcn+1=n（n+1）“Gnbnαc（n- bnαc）- Hnn+1！（bnαc+1）+Gnbnαc(-1.- bnαc）n+1（n- bnαc）-Hnn+1（n）- bnαc）+Hn！#=最后，我们得到qn=n（n+1）“bnαc+1Xj=1（n- bnαc）Gnbnαc+1- Hnn+1！（Yj）- 1） +n+1Xbnαc+2Gnj-Hnn+1+Gnbnαc+1-1.- bnαcn+1（Yj）- 1） #=n+1n+1Xj=1αj，n（Yj- 1） ，式中αj，n=（n- bnαc）Gnbnαc+1- Hnn（n+1）！，J≤ bnαc+1和αj，n=Gnj（n+1）- 嗯- Gnbnαc+1（1+bnαc）n（n+1）！，J≥ bnαc+2。让我们检查命题6.1的假设。首先，让我们展示这一点。我们有σn=n+1n+1Xj=1αj，n=bnαc+1n+1”（n- bnαc）Gnbnαc+1- Hnn（n+1）#+n+1n+1Xj=bnαc+2Gnj（n+1）n（n+1）+ 2n+1n+1Xj=bnαc+2Gnj（n+1）(-嗯- Gnbnαc+1（1+bnαc））n（n+1）+n+1n+1Xj=bnαc+2-嗯- Gnbnαc+1（1+bnαc）n（n+1）！。34 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.IOOSSLet让我们使用依赖于Gnj的两个术语。第一项可以展开为sn+1n+1Xj=bnαc+2Gnj（n+1）n（n+1）=n（n+1）n+1Xj=bnαc+2Gnj=n（n+1）n+1Xj=bnαc+2nXi=jl在+1中=n（n+1）n+1Xi=bnαc+2n+1Xi=bnαc+2-1+（一）∧ （一）- bnαcn+1L在+1中L在+1中.第二项可以重写为n+1n+1Xj=bnαc+2Gnj（n+1）(-嗯- Gnbnαc+1（1+bnαc））n（n+1）=-2（Hn）n（n+1）-2（1+bnαc）（n+1）nHnGnbnαc+1。最后，σn=bnαc+1n+1“（n- bnαc）Gnbnαc+1- Hnn（n+1）#+n（n+1）n+1Xi=bnαc+2n+1Xi=bnαc+2-1n+1+min（i，i）n+1-bnαcn+1l（in+1）l（in+1）- 2（Hn）n（n+1）- 2（1+bnαc）（n+1）nHnGnbnαc+1+n- bnαc- 1n+1Hn+Gnbnαc+1（1+bnαc）n（n+1）！。让我们首先注意，如果我们表示kn=n+1Xi=bnαc+2n+1Xi=bnαc+2min（i，i）n+1l在+1中L在+1中和tn=nXi=bnαcinl在+1中Thenn=nTn- （bnαc+1）Gnbnαc+1。布雷格曼超分位数。

σn的估计方法及应用~N→+∞α（Gnbnαc+1- Tn）n+Kn- α（Gnbnαc+1）n--2（Tn）- αGnbnαc+1）n- 2α（Gnbnαc+1Tn- α（Gnbnαc+1））n+（1- α） （Tn）n~N→+∞千牛- （Tn）n.让我们证明最后这个量收敛到σ=RαRαmin（x，y）-xyf（F）-1（x））f（f-1（y））<∞.实际上，它是一个广义黎曼和。首先，我们证明了函数g：（x，y）7→最小（x，y）- xyf（F）-1（x））f（f-1（y））可积于]α，1[×]α，1[。实际上，大约1，g（x，y）=Omin（x，y）- xy（1）- 十）-l（1）- y）-L这在这个域上是可积的，因为对于β接近1ZβαZβαmin（x，y）- xy（1）- 十）-l（1）- y）-ldxdy~ C（α）β（1）- β)2l、 及l> 0（在这里，我们再次看到我们真的需要这个五十> 0）。正如我们已经看到的，关于2维黎曼和的结果，由函数（x，y）7的连续性给出→最小（x，y）-xyf（F）-1（x））f（f-1（y））对于所有α<β<1：σn，β：=nbnβcXi=bnαcbnβcXi=bnαcmin（i，i）n-iinfF-1.在+1中FF-1.在+1中-→ZβαZβαmin（x，y）- xyf（F）-1（x））f（f-1（y））dxdy。我们必须研究总数的剩余部分才能得出结论。让我们将β近似于1，并处理rn，β：=nnXi=bnβcnXi=bnβcmin（i，i）n-iinfF-1.在+1中FF-1.在+1中.首先，让我们注意到rn，β=Zβgbnxcn，bnycndxdy。我们想展示给大家看→+∞rn，β=Zβg（x，y）dxdy。首先，让我们证明，使用勒贝格定理，我们可以置换n中的极限和二重积分，通过这种方式36 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooslim→+∞rn，β=ZβZβlimn→+∞Gbnxcn，bnycn.1） 设（x，y）固定在[β，1[×[β，1]和n中bnxcn，bnycn-→ g（x，y）的连续性。g在[β，1[×]β，1]上是可积的。2）设（x，y）固定在[β，1[×]β，1]和n上。

让我们表示xn=bnxc和yn=bnycn。根据假设bnxcn，bnycn≤ Cmin（xn，yn）- xnyn（1）- xn）-l（1）- （伊恩）-l、 通过分离这两种情况并使用单调性，我们得到了thatgbnxcn，bnycn≤ Ch（x，y）式中：（x，y）7→最小（x，y）（1）- 最小（x，y））-L1.- 麦克斯（x，y）-L-1.在[β，1[×]β，1[]上是可积的。然后，勒贝格定理允许我们置换积分和极限，我们已经证明了σn-→ σ和命题6.1的第一个假设成立。现在让我们来讨论6.1中关于j的αi，n的最大值的第二个假设≤ bnαc+1，我们有αj，n=（n- bnαc+1）Gnbnαc+1- Hnn（n+1）。使用前面的计算，对于足够大的n，我们有（αj，n）nσn~N→+∞（Gnbnαc+1-Tnn）千牛-Tnnn，但是收敛千牛-TnnN-→N→+∞ZαZα（min（x，y）- xy）l（x）l（y）dxdy表示收敛（Gnbnαc+1）-n）n-→N→+∞Zα（1）- x） l（x）dx。布雷格曼超分位数。37IndeedZαZα（min（x，y）的估计方法及应用-xy）l（x）l（y）dxdy=ZαZα（y（1-x） l（x）l（y）dxdy+Zαxl（x）Zx（1）-y） l（y）dydx。所以，（αj，n）nσn~N→+∞Cn-→N→+∞当n进入单位时。j如果≥ bnαc+2与αj具有相同的性质，n=（n+1）Gnj- 嗯- Gnbnαc（bnαc+1）n（n+1）~N→+∞（n+1）Gjn- Tnn。因此，我们可以应用命题6.1并得出以下结论：√nQn==> N（O，σ）。式中σ=RαRα（min（x，y）- xy）l（x）l（y）dxdy。最后，乘以（1）-α)-1.记录最终结果。第4步：结论Slutsky引理允许使用步骤1和3的结果得出结论。7.结论之所以引入超分位数，是因为通常的分位数不是次加性的，并且不能提供关于尾部分布中发生了什么的足够信息。这个数量很有趣，因为它满足了一致风险度量的公理。本文利用严格凸函数γ的Bregman收敛性，引入了一种新的一致性风险测度。

它们是丰富的工具，因为函数γ的多样性可以根据我们研究的问题来选择。我们通过不同的例子表明，对函数γ的明智选择可以使Bregman超分位数成为比经典超分位数更有趣的风险度量（Bregman超分位数即使在有限均值模型中也是有限的，在更多情况下是连续的，更稳健等等）。此外，我们还引入了Bregman超分位数的MonteCarlo估计，由于严格凸函数γ，它在统计上是强大的。本文中获得的理论性质在几个最数值的情况下得到了证实。更准确地说，几何和谐波超分位数比经典超分位数更稳健。这种稳健性在财务和风险评估研究中尤为重要。例如，在风险评估中，在处理真实数据时，几何统计和调和统计已被证明比经典统计更具相关性。例如[10]证明了几何平均值和方差在空气质量测量分析中的有用性。作为一个例子，我们将几何和谐波超分位数应用于来自核工业中使用的放射冲击代码的真实数据。38 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooss进一步的研究将尝试使用数值模拟代码将这些标准应用于物理部件可靠性的概率评估[16]。然而，蒙特卡罗估计器不再适用于这种情况，必须开发有效的估计器。

应开发涉及响应面技术的想法（分位数估计见[8]，罕见事件概率估计见[4]）。最后，这些布雷格曼超分位数是有趣的，因为它们可以与以前的几部经济学著作联系在一起。例如，资本分配和布雷格曼超分位数之间存在着强烈的联系。在未来的工作中应用我们在这一经济理论上的结果将是有趣的。布雷格曼超分位数。评估方法和应用39感谢两位匿名推荐人的仔细阅读，帮助我们改进了论文。参考文献[1]Carlo Acerbi。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》，26（7）：1505-15182002。[2] Carlo Acerbi和Dirk Tasche。关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》，26（7）：1487-15032002。[3] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。一致的风险度量。《风险管理：风险价值与超越》，2002年10:145。[4] J·贝特、D·金斯伯格、L·李、V·皮切尼和E·巴斯克斯。计算机实验的序贯设计，用于估计失效概率。《统计与计算》，22:773–793，2012年。[5] A.本塔尔、A.查恩斯和M.特布尔。熵意味着。《数学分析与应用杂志》，139（2）：537-55119989。[6] Eric Beutner和Henryk Z–ahle。一种改进的函数增量法及其在风险函数估计中的应用。多变量分析杂志，101（10）：2452–2463，2010年。[7] L·M·布雷格曼。求凸集公共点的松弛方法及其在凸规划问题求解中的应用。苏联计算数学和数学物理，7（3）：200-2171967年。[8] C.卡纳梅拉、J.加尼尔和B.约斯。

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