布雷格曼超分位数。估算方法及应用

2022-5-6 06:22:40

布雷格曼超分位数。估算方法和应用。拉博平-理查德、F.甘博阿、A.加里维尔和B.约斯摘要。在这项工作中，我们将一些建立在前面介绍的概率分布基础上的参数推广到实数之间的接近度是通过使用Bregman散度来测量的情况。这导致了Bregmansuperquantile的定义（我们可以将其与经济学中的几个作品联系起来，例如[18]或[9]）。在布雷格曼超分位数的情况下，研究了前面讨论的一致风险度量公理（见[31]或[3]）。此外，我们还讨论了Bregman超分位数的Monte Carlo估计的渐近性质。几个数值试验证实了理论结果，一个应用说明了布雷格曼超分位数的潜在兴趣。1.介绍1。1.目标和范围。本文的目的是定义和研究[34]或[38]中定义的超分位数的Bregman扩展的性质和估计程序（另见[29]、[32]和其中的参考文献）。在导言中，我们首先回顾了风险度量一致性的必要条件。在第2节中，我们将超分位数作为对这个问题的部分回应。我们还介绍了Bregmansuperquantile，并研究了该量的一致风险度量公理。在第三节中，我们试图估计这个Bregman超分位数，我们引入了一个插件估计器，并研究了它的收敛性和渐近正态性。第4节介绍了一些数值模拟。第5节给出了辐射暴露真实数据的应用。所有证明推迟到第6.1.2节。一致的风险度量。设X为实值随机变量，fx为其累积分布函数。

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2022-5-6 06:22:43

我们为您定义∈]0，1[，分位数函数f-1X（u）：=inf{x:FX（x）≥ u} 。量化与X相关的风险的通常方法是考虑给定的α数∈]0，1[接近1，其下分位数qXα：=F-1X（α）。然而，分位数不是X的次加函数，这是某些应用中的一个主要属性（例如，财务，见[3]）。此外，分位数没有给出任何关于分位数上方分布尾中发生了什么的信息（例如，当我们处理保险费时，这可能是危险的）。在[31]中，引入了一个称为超分位数的新量，它满足次可加性的性质，并提供了有关分布尾的更多信息。超分位数的定义日期为：2022年3月2日。T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.IOOSSQα：=Qα（X）=E（X | X≥ qXα=E（X | X）≥ F-1X（α））我们可以注意到，Qα始终被定义为‘R=R’的一个元素∪{+∞}. 事实上，如果期望值不确定，我们可以将其设置为+∞. 我们确实有qα=EX1X≥F-1X（α）P十、≥ F-1X（α）≥ F-1X（α）E十、≥F-1X（α）P十、≥ F-1X（α）= F-1X（α）。备注1.1。特别是当外汇F-1X（α）= α、 Bayes公式给出了usQα=EX | X≥ F-1X（α）= EX1X≥F-1X（α）1- α!.从现在开始，我们总是处理随机变量X，其分布是连续的（即FX是连续的，然后是FX）F-1X（α）= α).请注意，在其他参考文献（[34]、[33]、[32]）中，该数量也被称为条件风险值。此外，（当F为圆锥曲线时），它也是风险的失真度量，例如在[1]、[41]、[22]、[23]、[24]、[38]、[40]、[39]和[42]中进行了研究。在这些论文中，风险的失真度量是数量ρg（X）：=-ZRxdg（FX（x）），其中称为畸变函数的g是从[0,1]到[0,1]的映射。假设g是非减量的，因此g（0）=0，g（1）=1。

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能者818

2022-5-6 06:22:47

那么，取g（x）=αxα∧ 1.,我们得到ρg（X）=αQ1-α(-十）。次可加性并不是衡量风险的唯一有趣属性（例如金融应用）。以下[31]我们定义：定义1.1。R是一个风险度量，是一个定义在随机变量上的数值函数。设X和Xbe为两个实值随机变量。我们说R是相异的当且仅当它满足以下五个性质：i）常数不变性：设C∈ R、如果X=C（a.s.），则R（C）=C.ii）正均一性：λ>0，R（λX）=λR（X）。iii）次可加性：R（X+X）≤ R（X）+R（X）。iv）单调性：如果X≤ X（a.s.）然后R（X）≤ R（X）。v）亲密度：Let（Xh）h∈Rbe是一组随机变量。如果R（Xh）≤ 0和林→0 | | Xh- X | |=0然后R（X）≤ 0.BREGMAN超分位数。估计方法和应用3超分位数是风险的一致度量（直接证明见[28]、[27]、[2]）。更一般地说，Wang和Dhaene在[39]中表明，失真风险度量是相干的，当且仅当失真函数是凹函数（在我们的例子中成立）。备注1.2。在本文中，考虑了风险一致性度量的替代公理集（例如，在[35]、[39]或[3]中，还研究了特定风险类别（共单调风险）的可加性）。在本文中，我们将只关注Rockafellar对一致性风险度量的定义（见[31]）。此外，对于一致的风险度量，也给出了理论结果。这些度量确实可以用线性泛函的上确界来表示（例如，见[26]中的Kusuoka表示，或[3]中的场景集表示）。在这里，我们对此类陈述不感兴趣。2.Bregman Superquantiles在本节中，目的是建立一个满足定义1.1中规定的一些规律性公理的一般风险度量。

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2022-5-6 06:22:50

这些量将通过使用实数之间的相似性度量，即布雷格曼散度（见[7]）2.1来建立。布雷格曼散度，平均值和超分位数。在本节中，我们首先重新定义概率度量u的布雷格曼平均值（见[5]），并定义我们将研究的风险度量。首先，我们回顾将用于建立布雷格曼平均值的布雷格曼分歧的定义。设γ是一个严格凸函数，R值在R上。通常我们设置γ：={x∈ R：γ（x）<+∞}.为了简单起见，我们假设domγ是一个非空开集，并且γ是domγ内部的闭算子可微函数（见[30]）。从现在起，我们总是考虑满足这个假设的函数γ。与γ相关的布雷格曼散度dγ（见[7]）是定义在domγ×domγbydγ（x，x）：=γ（x）上的函数- γ（x）- γ（x）（x）- x），（x，x∈ domγ）。布雷格曼散度不是距离，因为它不是对称的。然而，由于它是非负的且为零，当且仅当两个参数相等时，它量化了domγ中点的近似性。让我们回顾一下这种分歧的一些经典例子欧几里得的。γ（x）=xon R，我们显然得到，对于x，x∈ R、 dγ（x，x）=（x- x） .o几何的γ（x）=x ln（x）- R上的x+1*+我们得到，对于x，x∈ R*+,dγ（x，x）=x lnxx+x- x、 o谐波。γ（x）=-ln（x）+x- 1在R上*+我们得到，对于x，x∈ R*+,dγ（x，x）=-lnxx+xx- 1.4 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Ioosletu是一种概率度量，其支持度包含在domγ中，且不加权domγ的边界。

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2022-5-6 06:22:53

进一步假设γ相对于u是可积的。在第一个点中，我们的平均值为|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||∈domγZdγ（m，x）u（dx）。事实上，我们用Bregman散度的最小化来代替数学经典预期定义中的最小化。存在性和唯一性来自于dγ相对于其第一个参数的凸性。通过微分很容易看出b=γ-1.Zγ（x）u（dx）.因此，回到前面的三个例子，我们得到了第一个例子中的经典平均值（欧几里德情况）、第二个例子中的几何平均值（expRln（x）u（dx））和调和平均值（[Rx]）-1u（dx）]-1），在第三个。请注意，由于布雷格曼扩散不是对称的，我们必须注意布雷格曼的定义。实际上，我们有zdγ（x，E（x））u（dx）=minm∈domγZdγ（x，m）u（dx）。现在我们来谈谈我们新的风险衡量标准的定义。定义2.1。让α∈]0,1[，Bregman超分位数Qdγα由Qdγα定义：=γ0-1.E（γ（X）|X≥ F-1X（α））= γ0-1“Eγ（X）1X≥F-1X（α）1- α!#第二种平等是持续的。换句话说，Qdγα满足（1）以X条件下toX的分布为u≥ F-1X（α）。现在，当不存在歧义时，我们将Qdγα表示为随机变量X的Bregman超分位数，如果我们需要区分不同分布的Bregman超分位数，则将Qdγα（X）表示为。出于与之前相同的原因，Bregman超分位数始终被定义为¨R的一个元素。此外，我们已经看到Bregman超分位数相对于经典超分位数的优势。事实上，一些实随机变量是不可积的（因此超分位数也是如此）+∞), 但由于选择了一个非常规则的函数γ，布雷格曼超分位数可以是有限的。

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2022-5-6 06:22:56

例如，让我们从单侧柯西分布引入x，即密度函数f（x）=π（1+x）x≥因为X是不可积的，所以它的经典超分位数等于+∞. 然而，考虑到Bregman超分位数与严格凸函数Bregman超分位数相关。估算方法与应用5γ（x）=x ln（x）- x+1，我们有γ（X）1X≥F-1X（α）< +∞因为函数x7→[0]上的ln（x）1+xis可积+∞【对布雷格曼超分位数的解释：事实上，我们有（2）Qdγα（X）=γ0-1.Qα（γ（X）.实际上，表示Z=γ（X），作为γF-1X（α）= F-1Z（α），所以γ（X）|X>F-1X（α）= EZ | Z>F-1Z（α）.因此，布雷格曼超分位数可以用与尺度变化下的超分位数相同的方式来解释。换句话说：fix一个阈值α并计算相应的分位数。此外，将刻度更改为X 7→ γ（X）并计算相应的平均值。最后，应用尺度的逆变化返回到真实空间。这种自然的想法已经在经济中得到了应用。例如，Satya等人注意到经典基尼指数不满足确保可靠性模型化所必需的属性，因此在[9]广义基尼指数中引入了Satya等人，原因是相似的尺度变化允许该指数满足这些属性。在我们的例子中，这种新的风险度量的主要利益也在于规模的变化。事实上，选择慢变凸函数γ会导致更稳健的风险，从而使统计估计具有更好的统计特性（例如，我们在第3节中显示，当Xhas为帕累托分布时，经典超分位数的经验估计并不总是一致的，而Bregman超分位数总是如此）。备注2.1。Bregman超分位数与资本配置领域中的加权配置函数密切相关。

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2022-5-6 06:22:59

实际上，在[18]中，这个量被定义为：Aw[U，V]：=E（uw（V））w（V），其中U和V是两个实随机变量，w是从R+到R+的给定映射。选择U=X，V=γ（X）和w（V）=1V≥QVα，我们得到aw[X，γ（X）]=γQdγα（X）.2.2. 布雷格曼超分位数的相干性。下面的命题给出了布雷格曼超分位数是风险一致度量的一些条件。提议2.1。[i]任何Bregman超分位数总是满足常数不变性和单调性的性质。6 T.LABOPIN-RICHARD，F.GAMBOA，A.GARIVIER和B.IOOSSii）与函数γ相关的Bregman超分位数是齐次的，当且仅当，对于某些实数β>0和δ，γ（因为γ是凸的，如果γ的支撑严格包含在R中）+*:=]0, +∞（没有关于δ的条件，但如果没有，δ是一个偶数）。iii）如果γ是凹的和次可加的，那么次可加性和紧密性公理是两个公理。这个命题的证明，和所有其他命题一样，在第5节中有所不同。为了得出结论，在一些关于γ的正则性假设下，Bregman超分位数是风险的一致度量。让我们举一些例子。2.2.1.例子和反例是的例1:x7→ X满足了所有的假设，但我们已经知道经典的超分位数是次累加的例2:Bregman几何和调和函数满足假设i）和ii）。

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2022-5-6 06:23:03

此外，它们的导数分别为x7→ γ（x）=ln（x）和x7→ γ（x）=x-1X是凹的，但仅在[1]上是次加法的+∞【那么调和函数和几何函数满足iii）不是所有的随机变量对，而是仅满足（X，X）对，因此，表示Z:=X+Xwe haveminqXα（α），qXα（α），qZα（α）> 1.o例3：经济中的一个经典严格凸函数（例如[9]中扩展基尼指数的计算）是函数γ（x）=xα，当考虑支持inR+：=[0+∞[.这个凸函数满足我们命题的公理ii），因此相关的Bregman超分位数是齐次的。此外，γ（x）=αxα-1是凹的当且仅当α<2。在这种情况下，它在[0]上是次可加的+∞[asa凹函数，使得f（0）≥ 最后，当考虑非负随机变量时，与函数γ（x）=xα，1<α<2相关的Bregman超量子化是风险的相干度量反例4：在一般情况下，次加性不是真的。实际上，让γ（x）=exp（x），并假设x~ U（[0,1]）。Eγ（X）1X≥F-1X（α）=Zαexp（x）dx=e- exp（α）。然后，表示R（V）=Qdγα（V）为一个随机变量，我们得到R（X）=lnE- exp（α）1- α.此外，R（λX）=lnZαexp（λx）dx= 自然对数exp（λ）- exp（（α）λ）λ（1）- α).对于α=0.95和λ=2，我们得到了Bregman超分位数。估算方法和应用7R（2X）- 2R（X）=R（X+X）- （R（X）+R（X））=0.000107>0，次加性失效。我们还可以注意到，对于λ=4R（4X）4R（X）=1，000321，正同质性不是真的，这与命题2是一致的。1因为γ的导数不能满足假设。2.3. 对其他自然属性的评论。我们研究了布雷格曼超分位数作为风险度量。于是，人们自然会怀疑，这种新的数量是否满足了风险度量的其他经典属性。

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2022-5-6 06:23:06

让我们说几句话。1）首先，我们可以研究Bregman超分位数的连续性。经典超分位数是连续的一个条件，即haveXn-→a、 sX=> Qα（Xn）→ Qα（Xn）是序列（Xn）是等积的。当序列（γ（Xn））为等积时，Bregman超分位数的连续性成立。因此，我们提出了Bregman超分位数相对于经典超分位数的另一个优点，因为通过γ的变换可以正则化序列并使其等积。事实上，让我们考虑一个样本（Xn），其中X具有截断的柯西分布。我们已经看到X是不可积的。那么序列（Xn）在陆地上是没有边界的，因此不可等积。但是，函数γ（x）=x ln（x）- x+1，随机变量γ（x）是可积的。然后，独立样本（γ（Xn））是等价可积的。2）方程（2）中的关系允许我们从经典的超分位数推导出Bregman超分位数的一些性质。例如，Gneiting等人在[19]中表明，经典的超分位数是不可导出的（在[43]中介绍）。然后，一个简化的证明表明，Bregmansuperquantile是不可导出的。同样，Cont等人在[14]中指出，经典的超分位数并不稳健（特别是因为它不是次加的）。一个直接的结果（因为函数γ是连续的，Levy距离是与弱收敛相关的距离）是Bregman超量子化也不稳健。Bregman超分位数是另一个例子，它被称为次可加性和鲁棒性之间的矛盾。3.Bregman超分位数的估计本节的目的是从样本中估计Bregman超分位数。我们引入了一个蒙特卡罗估计，并研究了它的渐近性质。

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2022-5-6 06:23:09

关于函数γ和F的正则性假设-1X，Bregman超分位数是一致的8 T.LABOPIN-RICHARD，F.GAMBOA，A.GARIVIER和B.Iooss渐近高斯分布。在这一节中，我们考虑一个满足我们通常性质的函数γ和一个实值随机变量X，使得γ（X）1X≥不可理解。3.1. 蒙特卡罗估计。假设我们手头有（X，…，Xn）一个分布与X相同的i.i.D样本。如果我们希望估计Qdγα，我们可以使用以下经验估计量：（3）dQdγα=γ-1.1.- αnnXi=bnαc+1γ（X（i））,其中X（1）≤ X（2）≤ ··· ≤ X（n）是用（X，…，Xn）构建的重新订购的样本。渐近线。我们给出了一个定理，给出了布雷格曼超分位数的渐近行为。下面的假设对我们的下一个定理是有用的。H1）函数γoF-类Con]0，1[及其导数的1轴，我们表示为bylγ满足lγ（t）=O(1 - （t）-2+γ为了一个当t变为1时，lγ>0-.H2）函数γo F-类Con]0，1[及其二阶导数的轴由Lγ满足Lγ（t）=O(1 - （t）-+γ为了一个当t变为-.备注3.1。假设H1意味着X是密度fx的绝对连续的，密度fx是连续的，是正的，γ是C类的。它还意味着lγ=o(1 - （t）-2.1点左右。假设H2意味着FX也属于C类的C类。它还意味着Lγ（t）=o(1 - （t）-.定理3.1。设<α<1且X为实值随机变量。假设（X，…Xn）是一个独立样本，其分布与X.i）相同。在假设H1下，估计量dQdγα在概率上是一致的：dQdγαP-→N→+∞Qdγα。ii）在假设H2下，估计量dqdγα是渐近正态的：√NdQdγα- Qdγα==>N→∞N0,σγγQdγα（X）(1 - α),式中σγ：=ZαZα（min（x，y）- xy）fZ（F）-1Z（x））fZ（F-1Z（y））dxdy。Z:=γ（X）。布雷格曼超分位数。估算方法和应用9备注3.2。

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2022-5-6 06:23:13

简单的计算表明我们有以下等式lγ：=γo F-1XfXo F-1X，Lγ：=γo F-1X）×外汇o F-1X-外汇o F-1X× (γo F-1X外汇o F-1XandfZ=fXo γ0-1γo γ0-1.备注3.3。定理的第二部分证明了Bregman超分位数经验估计的渐近正态性。然后我们可以使用Slutsky引理来确定置信区间。事实上，由于我们的估计量（3）是一致的，我们也有√NγodQdγαdQdγα- Qdγα（X）==> N0，σγ（1）- α)!.为了证明定理3.1，我们使用以下关于超分位数渐近性质的结果（这相当于当函数γ等于恒等式时处理Bregman超分位数），这要归功于方程（2）中建立的联系。已经研究了一般失真风险度量的插件估计器的渐近行为（参见示例[42]了解强一致性，参见[6]了解中心极限定理）。然而，为了完整性，我们在这篇文章中提出了一个更简单和自包含的证明这些结果的特殊情况下的超分位数。此外，我们的证明还允许展示显式渐近方差，这使得Bregman超分位数估计的研究更容易。实际上，我们可以将这些结果应用于样本（Z，…，Zn），其中Zi:=γ（Xi）。

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2022-5-6 06:23:16

我们用γ0应用连续映射定理得出结论-1由于假设H1的一致性，并通过应用函数γ0的增量方法（例如，参见[37]），它是连续的-1由于假设H2和正导数，这是可区分的，因为γ是严格凸的。然后，让我们考虑一个实值随机变量X，这样X1X≥0是可积的。根据前面的符号，如果我们希望估计经典的超分位数Qα，我们可以使用以下经验估计量（4）Qα：=（1- α）对于下一个命题，我们需要以下两个假设。H3）分位数函数F-类Con]0，1[及其导数，表示l，满足l=O（（1- （t）-2+l）为了一个l> 当t变为1时为0-.H4）分位数函数为Con]0，1[及其二阶导数，我们表示Lsaties L=O(1 - （t）-+L为了一个五十> 当t变为1时为0-.10 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooss提案3.1。设<α<1，X为实值随机变量。假设（X，…Xn）是一个独立样本，在H3下的分布与X.i）相同，经验估计量（4）在概率qαP上是一致的-→N→+∞Qα。ii）在H4下，经验估计量（4）是渐近高斯的√Nn（1）- α） nXi=bnαc+1X（i）- Qα==> N0,σ(1 - α),式中σ：=ZαZα（min（x，y）- xy）f（f）-1（x））f（f-1（y））。备注3.4。备注3.1仍然适用于l而不是lγ，以及l而不是lγ。3.3。经典超分位数渐近行为的例子。我们的假设在实践中很容易验证。让我们通过使用参数1的指数分布和帕累托分布来展示超分位数（4）估计量的渐近行为的一些例子。3.3.1. 指数分布。在这种情况下，我们在R上+*f（t）=exp(-t），F（t）=1-经验(-x）。

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2022-5-6 06:23:20

然后F-1（t）=-ln（1）- t） .o一致性：l（t）=（1）- （t）-1=O(1 - （t）-2+（t 7时）→ 1.-) 因此，估值器（4）是一致的渐近正态性：L（t）=（1）- （t）-2=O(1 - （t）-+（t 7时）→ 1.-). 所以估计量（4）是交感高斯的。3.3.2. 帕累托分布。这里，我们考虑参数a>0:R的帕累托分布+*,F（t）=1-十、-a、 f（t）=ax-A.-1和F-1（t）=（1）- （t）-1a.o一致性：l（t）=（a（1- （t）-1.-a）因此，l（t）=O(1 - （t）-2+L（t 7时）→ 1.-) asa>1时（例如l=1-a）。估计量（4）的一致性是正确的渐近正态性：L（t）=C（a）（1）-十）-A.-2我们，只要a>2，L（t）=O(1 - （t）-+L（例如L=-a），当t 7→ 1.-. 估计量（4）是渐近gaussianif且仅当a>2时。布雷格曼超分位数。估算方法和应用113.4。Bregman超分位数渐近行为的例子。让我们来研究布雷格曼超分位数及其经验量化器（3）的例子。对于指数分布，结论与经典超分位数的前一种情况相同。然而，对于帕累托分布，我们可以找到一个函数γ，使得布雷格曼超分位数的估计量是渐近正态的，而不需要对分布中涉及的指数a施加任何条件。因此，Bregman超分位数比这个例子中的超分位数更有趣。3.4.1. 指数分布。让我们展示指数分布（对于X）和调和布雷格曼函数（对于γ）的例子。我们有γ（x）=（x- 1） x-1和f-1X（t）=-ln（1）- t）。表示Z=γ（X），如定理3.1所示，F-1Z（t）=1+ln（1- t）一致性。在这种情况下，我们有，lγ（t）=（1）- t）（ln（1）- t））。所以，lγ是O(1 - （t）-2+（t 7时）→ 1.-). 估值器（3）是一致的渐近正态性。Lγ（t）=（ln（1- t））+2英寸（1英寸）- t）（1）- t）（ln（1）- t），那么Lγ是O(1 - （t）-+（t 7时）→ 1.-).

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2022-5-6 06:23:23

估计量（3）是渐近高斯的。3.4.2. 帕累托分布。现在让我们用几何布雷格曼函数研究帕累托分布的情况。我们有F-1X（t）=（1）- （t）-1a和γ（t）=ln（t）。然后-1Z（t）=-aln（1）- t） .o一致性lγ（t）=a1- t=O（1）- t）二,-!,单调性是真的。估值器（3）是一致的渐近正态性。Lγ（t）=a（1）- t） =O(1 - （t）-+.当a>0时，估计量（3）是一致且渐近高斯的。请参阅下一部分，了解模拟结果的说明和摘要。12 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooss 4。数值模拟在我们的数值测试中，我们模拟来自已知理论分布的值，并计算0.95分位数和超分位数。对于每个估计量，通过10个随机样本给出参考值，并从1000个样本到10个样本（步进500）进行收敛性研究。为了消除随机性的影响，每个数值实验重复50次。然后，我们计算o50个估计值的平均值与参考值进行比较，o50个估计值的标准偏差。它允许计算实验的95%置信区间（CI）与理论的95%置信区间（由中心极限定理给出）进行比较。每个都由以下数量的四个收敛图组成：分位数（upleft）、经典超分位数（右上）、几何超分位数（左下）和谐波超分位数（右下）。每个超分位数收敛图由以下曲线组成：参考值（黑色虚线）、平均估计值（红色圆圈）、理论95%置信区间（黑色虚线）和实验95%置信区间（蓝色实线）。图1给出了参数λ=1的指数分布的结果。

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mingdashike22

2022-5-6 06:23:26

根据理论预测（见第3.3节），对于三个不同的超分位数，一致性得到验证，而实验CI完全符合理论CI（由中心极限定理给出）。图1。指数分布的数值收敛性检验。然后，我们用三个不同的形状参数测试帕累托分布（见第3.3节）：a=0.5、a=1.5和a=2.5。图2（a=0.5）、3（a=1.5）和4（a=2.5）布雷格曼超分位数。估计方法和应用给出了收敛结果。对于理论预测的几何和谐波超分位数（见第3.3节），验证了蒙特卡罗估计的一致性，而实验CI完全符合理论CI（渐近正态性）。对于经典的超分位数，我们区分了三种不同的行为：oa=0.5时不一致（图2）（理论仅在a>1时预测一致性），oa=1.5时一致性但无渐近正态性（图3）（理论仅在a>2时预测症状正态性），oa=2.5时一致性和渐近正态性（图4），图2。帕累托分布的数值收敛性检验（a=0.5）。综上所述，当考虑不太重尾分布的分布时，插入估计量（4）和（3）似乎具有相同的渐近行为，如指数分布。然而，当我们处理重尾分布时，Bregman超分位数（3）的估计具有更好的统计性质。一个典型的例子是帕累托分布。事实上，当参数a>2的Parato分布时，尾部不会太重，两种估计量都具有良好的渐近性质。

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mingdashike22

2022-5-6 06:23:31

当我们选择参数a<2时，情况就不再是这样了。当1<a<2时，经典超分位数（4）的估计不再是渐近高斯的，当0<a<1时，它甚至是不一致的，而Bregman超分位数（3）的估计在每种情况下都保持良好的渐近性质。5.应用于核安全演习GasCon是由CEA（法国原子能委员会）开发的一个软件，用于研究核设施安全评估的潜在时间顺序大气释放和剂量学影响[20]。它根据放射性放射性释放评估了14 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、a.GARIVIER和B.Iooss图3。帕累托分布（a=1.5）的数值收敛性检验。图4。帕累托分布（a=2.5）的数值收敛性检验。暴露于放射性核素云团和食物链中的人群所接受的剂量。它考虑了人类、植物和动物之间存在的相互作用，以及不同的传递途径（风、雨等），发射和观测之间的距离，以及发射的时间。布雷格曼超分位数。由于GASCON的计算时间相对昂贵，在[20]中，作者建立了GASCON输出的元模型（多项式形式），以便进行不确定性和敏感性分析。正如[21]中所述，我们关注的是GASCON的一个输出，即居住在特定核设施附近的成年人在一年内收到的年有效剂量。我们将使用此输出的元模型，而不是GASCON软件，它取决于10个输入变量，每个变量由一个对数均匀随机变量建模（界限在[20]中定义）。

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2022-5-6 06:23:34

模型输出的范围为几十年（10年）-14至10-图5显示了10个模拟值的直方图（对数比例）。图5。GASCON输出变量的分布。对于这类数值模拟练习，安全标准通常会对95%分位数及其相关超分位数感兴趣。其目的是将这些值与监管限制或来自其他场景或其他工具的结果进行比较。在实践中，使用GASCON模型进行的模拟次数是数百次。表1给出了1000个元模型模拟的分位数和超分位数的估计值。图6显示了使用3个不同的Bregman发散和不同的采样大小估计超分位数时产生的相对误差（通过平均1000个不同的估计值计算）。我们观察到几何超分位数和谐波超分位数明显比经典超分位数更精确。因此，在进行比较时，使用此类度量更具相关性。6.校样6。1.命题2.1的证明：布雷格曼超分位数的相干性。证据证明i）：首先我们显然有Qdγα（C）=γ0-1（γ（C））=C.16 T.拉博平-理查德、F.甘博亚、A.加里维尔和B.IOOSS表1。1000次模拟的95%分位数和95%超分位数的估计值。分位数经典几何谐波超分位数超分位数1。304 × 10-134.769 × 10-133.316 × 10-132.637 × 10-13图6。估计的超分位数的相对误差（均方误差除以参考值）随样本量的变化。黑色：经典超分位数；红色：几何超分位数；蓝色：谐波超分位数。

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mingdashike22

2022-5-6 06:23:39

通过10次模拟计算了参考值。超分位数的单调性是众所周知的（例如参见[28]、[27]或[2]）。然后，（2）和γ0的单调性-1和γ（由于γ是严格凸的，它的导数γ是严格不递减的，它的反函数γ0也是严格不递减的-1）请允许我们总结一下。让我们重新阐述这个问题。对于每个（可测）函数f和每个随机变量X，我们表示α[f（X）]=E[f（X）|X≥ F-1X（α）]。设X和Xbe为两个实值随机变量。与γ有关的X的Bregman超分位数是γ0-1.Eα[γ（X）].根据定义1.1，如果对于每个随机变量X和每个λ>0，Bregman超分位数相关的γ是齐次的，则Bregman超分位数是齐次的。17（5）γ0的估算方法及应用-1.Eα[γ（λX）]= λγ0-1.Eα[γ（X）]Asγ和x7→ （γ（x）- γ（1））/γ（1）产生相同的超分位数，可以假定γ（1）=0和γ（1）=1。首先，很容易检查给出的条件是否有效。为了简单起见，我们写φ=γ。让我们证明（5）适用于命题中给出的Φ的每种可能形式。如果φ（x）=（xβ- 1） /β，然后是φ-1（y）=（1+βy）1/β和φ-1（Eα[φ（λX）]）=1+βEα（λX）β- 1ββ= λEαhXβi1/β= λ1+βEαXβ- 1ββ= λφ-1（Eα[φ（X）]）。如果φ（x）=ln（x），那么φ-1（y）=exp（y）和φ-1（Eα[φ（λX）]=exp（Eα（ln（λX）））=exp（Eα（ln（λ））+Eα（ln（X））=λexp（Eα（ln（X））=λφ-1（Eα[φ（X）]）。现在让我们证明Φ的条件对于（5）保持是必要的。让y>0。设γ是一个严格凸函数，使得其相关的Bregman超分位数是正齐次的：对于avery随机变量X和每λ>0，5成立。让P=Y表示随机分布∧1，P（du）=αa-1[0，a]（u）du+（1）- α） pδy+（1）- α)(1 - p） δ。其α级分位数为isF-1Y（α）=a。

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2022-5-6 06:23:43

给定Y的条件分布≥ F-1Y（α）是（1）- p） δ+pδy和Eα[φ（y）]=（1- p） φ（1）+pφ（y）。正齐性性质（5）和假设φ（1）=0意味着φ-1((1 - p） φ（λ）+pφ（λy））=λφ-1（pφ（y））。根据假设，两边的表达式在p和y中都是光滑的。在p=0时取p中的导数得到φ（λy）- φ（λ）φ（λ）=λφ（y）φ（1），因此，作为φ（1）=1，φ（λy）- φ（λ）=λφ（λ）φ（y）。通过对y进行微分，可以得到（6）φ（λy）=φ（λ）φ（y）。18 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Ioosletψ在R上由ψ（z）=ln（φ（exp（z））定义）。我们很容易检查方程（6）是否产生ψ（ln（y）+ln（λ））=ψ（ln（y））+ψ（ln（λ））。这个方程适用于每个y，λ>0。众所周知，这意味着ψ的线性：存在一个实数β（因为γ是凸的，所以它将是正的），因此对于allz∈ R、在φ（exp（z））= ψ（z）=βz。因此，φ（exp（z））=exp（βz），即φ（y）=yβ，所有y>0。对于β=-1，得到φ（y）=ln（y）。否则，考虑到约束φ（1）=0，这将产生φ（y）=y1+β- 11 + β.iii）的证明：设X和Xbe为两个实值随机变量。仍然表示，R（x）=Qdγα（x），我们想显示R（x+x）≤ R（X）+R（X）。因为γ是凸的，所以γ是非递减的，这与证明γ是相同的R（X+X）≤ γR（X）+R（X）.我们设置S:=X+X。利用γ的凹性，我们得到了γR（X）+R（X）≤hγR（X）+ γR（X）i=2（1）- α） Eγ（X）1X≥qXα+γ（X）1X≥qXα当V是随机变量时，我们仍然表示R（V）=Qdγα（V）。但是γR（S）=2(1 - α） Eγ（S）1S≥qSα.所以我们想证明这一点γ（X）1X≥qXα+γ（X）1X≥qXα- γ（S）1S≥qSα≥ 0.关于γ的sud可加性假设允许我们使用[3]中关于经典超分位数的相同论点：BREGMAN超分位数。

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2022-5-6 06:23:46

估算方法与应用19Eγ（X）1X≥qXα+γ（X）1X≥qXα- γ（S）1S≥qSα≥ Eγ（X）1X≥qXα+γ（X）1X≥qXα- γ（X）1S≥qSα- γ（X）1S≥qSα≥ γ（qXα）E十、≥qXα- 1S≥qSα+ γ（qXα）E十、≥qXα- 1S≥qSα= 最后，我们在与前面相同的假设下展示了这种接近性。设（Xh）h>0满足假设。通过次可加性，我们得到了（X）≤ R（Xh）+R（Xh- 十）≤ 0+R（Xh）- 十）。然后表示Yh=Xh- 十、这足以证明-→五十、 n→+∞0 ==> R（Yh）-→N→+∞最后。由于γ的凹性，我们可以用Jensen不等式来表示条件期望γ0-1他γ（Yh）|Yh≥ F-1Yh（α）我≤ EYh | Yh≥ F-1Yh（α）.我们以柯西-施瓦茨不等式作为结论YhYh≥F-1Yh（α）1.- α≤ E（（Yh））E嗯≥FY-1h（α）1.- α=| | Yh||√1.- α -→H→06.2. 命题3.1的证明：超分位数插件估计的渐近行为。6.3. 数学工具。我们首先给出一些技术或经典结果，我们将在即将到来的证明中使用这些结果。6.3.1. 有序统计和Beta函数。让我们回顾一下关于有序统计的一些结果（见[15]）。首先，让（Ui）i=1。。。nbe从[0,1]的均匀分布中提取独立样本。然后，（7）U（n）-→a、 s1。和（8）n1.- U（n）-→其中，Lww具有参数1.20 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooslet now（Yi）i=1的指数分布。。。n+1为标准指数分布的独立样本。

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2022-5-6 06:23:49

众所周知，（9）U（i）：=iXj=1Yjn+1Xj=1Yj-1的分布与[0,1]上非均匀分布的i.i.d样本的有序统计相同，即参数i和n的β分布- i+1指定的B（i，n）- i+1）。众所周知，当（Xi）1≤我≤如果是累积分布FX的样本，这个等式在法律上成立（10）X（i）L=F-1X（U（i））。回想一下，B（a，B）分布具有以下密度fB（a，B）（x）=xa-1(1 - x） b-1B（α，β）x∈[0,1]，a，b>0其中（11）b（a，b）=Zta-1(1 - t） b-1dt=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b）。贝塔函数的一个经典性质是（12）（x，y）∈ R+，B（x+1，y）=xx+yB（x，y）。将阶乘的定义推广到n∈ N*N-! :=N-N- 1.-. . .,我们有我的∈ N*, N≥ i+2（13）Bi、 n- 我-+ 1.=（一）- 1)!N- 我- 2.-!N- 2.-!,(14)N-! =（2n）！（2n）n！。事实上，等式（13）直接来自定义（11），要看等式（14），我们需要x k=并注意n（n- k）！=（2n）- 1）（2n）- 3) . . . 3×1=（2n）！2n（2n- 2) . . . 6×4×2=（2n）！nn！。布雷格曼超分位数。此外，β分布的累积分布函数是正则化的不完全β函数Ix（a，b）。当a和b为正整数时，该函数满足6（a，b）=P（b（a+b- 1，x）≥ a）然后，伯努利分布的伯恩斯坦不等式（参见[17]中的定理8.2）给出了（15）Ix（α，β）≤ 经验-（a+b）- 1） x尽快≥ 2倍。6.3.2. 技术引理。引理6.1。设δ>1和β∈]0，1[.然后n-1n-1Xi=bnβc1.-在+1中-δ=O√N当且仅当δ≤.证据让δ>1。我们必须对δ进行表征-N-1Xi=bnβc1.-在+1中-当n为单位时，δ有界。让我们把指数j:=n+1- i、这些钱都是钱-n+1-bnβcXj=21.-n+1- jn+1-δ=n-3（n+1）-δn+1-bnβcXj=2jδ~N→+∞nδ-(ζ(δ) - 1），其中ζ表示Zeta函数。

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能者818

2022-5-6 06:23:51

然后，如果δ>，ζ（δ）是有限的，其和的行为与n的行为相同-+δ偏离到+∞. 相反，if1<δ≤, ζ（δ）仍然是有限的，但n-+δ是有界的，和也是有界的。6.3.3. 林登伯格-费勒定理的推论。为了证明渐近正态性，我们使用了一个中心极限定理，它是林德伯格-费勒定理（见[11]中的引理1]）的推论。提议6.1。设（Y，…，Yn）是参数1和（αj，n）j的指数变量的独立样本≤n、 n≥2是实数的三角形数组。如果Qn=n-1nXj=1αj，n（Yj- 1） σn=nnXj=1αj，n，然后√nQnσn==> N（0，1）当且仅当max1≤J≤n |αj，n |=o（nσn）。如果σn在概率上收敛到σ，那么通过Slutsky引理√nQn==> N（0，σ）。22 T.拉博平-理查德、F.甘博亚、A.加里维尔和B.IOOSS6。4.定理3.1中i）的证明：插件估计器（4）的一致性。证据我们的目的是证明估计量（4）的一致性。首先让我们注意到Qα=EX1X≥F-1X（x）（α）1.- α=RRx1X≥F-1X（α）fX（x）dx1- α=RαF-1X（y）dy1- α.因此，我们需要证明nnxi=bnαcX（i）-ZαF-1X（y）dy-→N→+∞在续集中，我们省略了F中的索引X-1X因为没有歧义。让我们介绍以下两个量，并说明它们在概率上收敛到0。An=nnXi=bnαcX（i）-nnXi=bnαcF-1.在+1中,和bn=nnXi=bnαcF-1.在+1中-ZαF-1（y）dy.让我们首先处理一个问题。通过（10）我们知道X（i）~ F-1XU（i）其中U（i）的分布与均匀样本的ITH有序统计量类似。因此，将U（i）定义为分布B（i，n+1- i），我认为，An=nnXi=bnαcF-1.U（i）- F-1.在+1中.我们现在需要把总数分成两部分。首先，让我们讨论一下这个学期的最后一个学期（它实际上贡献最大）。

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2022-5-6 06:23:54

根据中值定理，有∈hU（n），nn+1i（这里我们使用无定向区间），这样nF-1（U（n））- F-1.nn+1=NU（n）-nn+1l（wn）。由于（7）成立，并且由于假设H3，对于n个大的enoughBREGMAN超分位数，存在一个常数C。估算方法和应用23（16）NF-1（U（n））- F-1.nn+1≤Cn（1）- wn）2-LU（n）-nn+1≤北卡罗来纳州1.-nn+12.-LU（n）-nn+1+北卡罗来纳州1.- U（n）2.-LU（n）-nn+1≤Cn（n+1）2-l|U（n）- 1 |+Cn（n+1）2-nn+1- 1.+Cn1.- U（n）2.-LU（n）- 1.+Cn1.- U（n）2.-Lnn+1- 1.≤ CWn（n+1）2-ln+C（n+1）2-ln（n+1）+CW1-lnnl+CW2-lnn1-ln+1，其中Wn=n1.- U（n）. 多亏了（8）和Slutsky引理，我们已经证明了这个项的概率收敛到0。i=n的术语- 1和i=n- 2可以用同样的方法精确地处理。现在让我们来处理剩余的和（对于从bnαc到n的i）-3）我们仍然表示。根据中值定理，我们将由一个依赖于。因为我们知道l在每个紧集上以及在1的邻域中的行为，我们首先证明当n变得足够大时，U（bnαc）远离0。让α≥ > 0是一个正实数。我们有，An=AnU（bnαc）<+ AnU（bnαc）≥.然后，对于η>0，由于（15）的再驯化，因为对于n大的enoughbnαcn≥α≥ , 我们得到（17）P（AnU（bnαc）<> η) ≤ P（U（bnαc）<) ≤ 经验-3n.然后，就足以证明An:=AnU（bnαc）的概率收敛到0≥.让我们证明它在L中收敛到0。通过中值定理，我们知道存在wi∈]U（i），in+1[（我们不知道U（i）是小于还是大于in+1，但在续集中，我们仍然用这种方式表示U（i）和in+1之间的分段），这样e（| An |）≤nnXi=bn-3αcEU（i）-在+1中l（wi）1U（bnαc）≥.但是，尽管我∈ {bnαc，…，n- 3} ，我们得到你（我）≥ U（bnαc）≥ . 此外，对于足够大的n，我们得到+1≥bnαcn+1≥α≥ . 然后我∈ {bnαc。

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2022-5-6 06:23:57

N-3} ，wi∈ [, 1[.24 T.拉博平-理查德、F.甘博阿、A.加里维尔和B.IOOSTHEN，根据H3和备注3.4（这里因为我们不处理总和中的最大项，我们只需要比H3更弱的假设），我们得到o对于任意η>0，存在ξη>0，因此T∈]1.- ξη，1[，l（t）≤η(1 - t） o因为l是连续的，所以存在一个常数CT∈ [, 1.- ξη]，l（t）≤ C.然后让我们看看两个不同事件的总和。E（|An |）≤nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中l（wi）1U（bnαc）≥wi>1-ξη+nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中l（wi）1U（bnαc）≥wi≤1.-ξη:= Tn+TnBut，Tn≤nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中l（wi）1≤wi≤1.-ξη≤nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中C≤nn-3Xi=bnαcCqVar（U（i））≤nn-3Xi=bnαcCsi（n- i+1）（n+1）（n+2）~√nnn-3Xi=bnαcCsin1.-在里面= O√N.由于连续函数x7的黎曼和的收敛性→px（1- x）关于[α，1]。然后，这个项变成0。让我们以最后一个学期作为结束。布雷格曼超分位数。估算方法和应用25（18）Tn≤nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中l（wi）1wi>1-ξη≤nn-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中η(1 - wi）≤nn-3Xi=bnαcE“U（i）-在+1中最大η（1）- U（i）），η（1）-在+1）中！#。但是，根据柯西-施瓦茨不等式-3Xi=bnαcEU（i）-在+1中η(1 - U（i））≤ηnn-3Xi=bnαcsVar（U（i））E(1 - U（i））自从我- 2.求和的所有项都可以用贝塔函数表示，然后期望值是有限的（正因为如此，我们不能包括最大项i=n，i=n）- 1和i=n- 2.在这个推理过程中）。的确，ηnn-3Xi=bnαcsVar（U（i））E(1 - U（i））≤ηnn-3Xi=bnαcsi（n- i+1）（n+1）（n+2）sB（i，n+1）-i） Rxi-1(1 - x） n+1-我-4dx=ηnn-3Xi=bnαcsi（n- i+1）（n+1）（n+2）sB（i，n+1）-我- 3） B（i，n+1）-i） =ηnn-3Xi=bnαcsn（n- 1）（n）-2）（n+1）（n+2）i（n）- i+1）（n- i）（n）-1.- i）（n）- 2.- i）我们在Beta函数中使用了重唱。

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2022-5-6 06:24:00

当n变为+∞ 那是ηnn-3Xi=bnαc1.-在里面:= η×vn因为引理6.1意味着vn独立于η有界，并且因为η是任意小的，我们已经证明了收敛到0。然后方程（18）最大值上的U（i）项收敛到0。第二项的计算方法与ηnn相同-3Xi=bnαcvuutVar（U（i））E（1）-在+1）！~√nηnn-3Xi=bnαc1.-在+1中.由于引理6.1，它也收敛到0。最后，在Landso中，Anconverge的概率为0。这也是一个很好的例子。26 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.Iooslet我们现在研究术语bn=nnXi=bnαcF-1.在+1中-ZαF-1（y）dy。由于F的单调性，我们将证明由于广义黎曼和收敛，该项收敛到0-1.备注6.1。首先 > 很容易证明这一点n=nbn（1）-)cXi=bnαcF-1.在+1中-Z1-αF-1（y）收敛到0。实际上，这是连续函数F的黎曼和的收敛性-1.让我们来看看 > 根据前面的评论，我们把即将到来的金额分成两部分。Bn=n+10亿（1-)cXi=bnαcF-1.在+1中+n+1n-1Xbn（1-)c+1F-1.在+1中:= Sn+Sn。由于分位数函数在[α，1]上是非递减的，我们有：Zbn（1-)cn+10亿αc-1n+1F-1（t）dt+Zn-10亿+10亿（1-)cn+1F-1（t）dt:=Cn+Cn≤n+10亿（1-)cXi=bnαcF-1.在+1中+n+1n-1Xbn（1-)c+1F-1.在+1中:= 锡+锡≤Zbn（1）-)cn+10亿αcn+1F-1（t）dt+Znn+10亿（1-)cn+1F-1（t）dt:=Dn+Dn。那么，我们有：- Sn）+（Cn- Dn）≤ （序号- Dn）≤ （Dn）- Sn）如果我们展示Cn- Dn收敛到0，我们可以用比较定理得出结论，因为Dn是收敛的- Snand中国- Snto 0是正确的，这要归功于它的显著性6。1.然后让我们展示在1，l（t）=o的邻域中的收敛(1 - （t）-2.（备注3.4），我们还有F-1（t）=o(1 - （t）-1..那么 > 0，存在N，因此对于N≥ N:Cn- Dn=-Znn+1n-1n+1F-1（t）dt≤ Znn+1n-1n+11- tdt= ln（2）。布雷格曼超分位数。

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2022-5-6 06:24:04

估算方法和应用27SN- DNA收敛到0 a.s.，因此，Bn也是如此。我们已经证明了+bn在概率上收敛到0。所以在我们的假设下，超分位数在概率上是一致的。备注6.2。使用相同的参数，我们可以证明在更强的假设下分位数函数F-1（t）=o(1-（t）（这是提案3.1的第二部分），我们有-Znn+1n-1n+1F-1（t）dt≤ Znn+1n-1n+1（1- t） dt= - 2(1 -√2)√n、然后√NnnXi=bnαcF-1（in+1）-ZαF-1（y）dy-→N→+∞0.我们将在下一部分使用此结果。6.4.1. 命题3.1的ii）的证明：插件估计器（4）的渐近正态性。让我们证明超分位数估计量的渐近正态性。首先，我们可以做一些技术性的评论。备注6.3。L的假设意味着存在l> 0和F-1> 0，即l（t）=O(1 - （t）-+L, 和F-1（t）=O(1 - （t）-+F-1.. 它还意味着在1的邻域中，L（t）=o(1 - （t）-.证据证据分为三个步骤。首先，我们重新表述并简化问题，并应用泰勒-拉格朗日公式。然后，我们证明了二阶项在概率上收敛到0。在第三步中，我们确定了第一阶项的极限。第一步：泰勒-拉格朗日公式让我们先省略α-1.我们必须研究数据分布的收敛性√NnnXi=bnαcX（i）-ZαF-1（y）dy.我们已经注意到（备注6.2和6.3）√NnnXi=bnαcF-1.在+1中-ZαF-1（y）dy-→N→+∞因此，Slutsky引理只允许我们研究28 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.IOOSS定律中的收敛性√NnnXi=bnαcX（i）-nnXi=bnαcF-1.在+1中.分位数函数F-1是两倍可微的，因此我们可以应用Firstorder Taylor-Lagrange公式。使用与证明i）相同的参数，weintroduce U（i）是一个随机变量，分布为B（i，n+1）-i）。

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2022-5-6 06:24:07

考虑到法律上的平等，我们有√NnnXi=bnαc+1X（一）- F-1.在+1中L=√NnnXi=bnαc+1U（i）-在+1中FF-1（in+1）+√nnXi=bnαc+1“ZU（i）in+1f（F）-1（t））[f（f-1（t））]U（i）- Tdt#。让我们打电话√Nqn一阶项和Rn二阶项。第二步：二阶项在概率上收敛到0。我们证明RN在概率上收敛到0。我们将使用相同的分解方法。首先，我们处理最后一项：i=n。仍然使用（7）和H3，我们存在一个常数c，对于足够大的n，√nZU（北）nn+1L（t）U（n）- Tdt≤√nmaxC1.- U（n）-五十、 C1.-nn+1-LU（n）-nn+1=√NU（n）-nn+1C1.- U（n）-L+√NU（n）-nn+1C1.-nn+1-由于（8）和Slutsky引理，它的概率收敛到0，与（16）中的情况完全相同。对于i=n，这是同样的想法- 1.现在让我们处理剩余的和（对于i，从bnαc到n）-2）我们仍在继续。我们用同样的推理来解决问题。首先，我们还有一个目标≥ > 0，Rn=RnU（bnαc）<+ RnU（bnαc）≥使用与（17）中相同的参数，第一项的概率收敛为0。然后，让我们来处理第二项，我们表示RNA，并展示它在L中的收敛性。由于H4也给出了关于1的邻域和每个紧集的信息，我们将使用与之前相同的参数（以及注释3.4）。对于η>0，由于H4，存在一个实数ξη，使得oT∈]1.- ξη，1[，|L（t）|≤η(1-t）。布雷格曼超分位数。估算方法和应用29oOn[, 1.- ξη]这是一个紧集，函数L的界为常数。此外，由于U（bnαc）≥ , 我们已经看到，]U（i），在+1中[ [, 1[，（i=bnαc，bnαc+1U（i），in+1Mi=maxU（i），in+1, （i=bnαc，bnαc+1。

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2022-5-6 06:24:11

n），E（|Rn |）≤√nn-2Xi=bnαcEZN+1U（一）U（i）- TL（t）dt!≤√nn-2Xi=bnαcEZ1-ξηmiU（i）- T|L（t）|dt+√nn-2Xi=bnαcEZMi1-ξηU（i）- T|L（t）|dt！≤√nn-2Xi=bnαcCEU（i）-在+1中+√nn-2Xi=bnαcE最大值η1.- U（i）,η1.-在+1中U（i）-在+1中≤√nC2（n+2）n-2Xi=bnαcin+11.-in+1+n+1:= 锡+√nnXi=bnαcEη1.- U（i）U（i）-在+1中:= 锡+√nn-2Xi=bnαcEη1.-在+1中U（i）-在+1中:= Sn。作为连续函数x7的黎曼和，sn收敛到0→ x（1）- x）乘以n-. 我们还有阿尔索恩=√nn-2Xi=bnαcη1.-在+1中i（n+1）- i）（n+2）（n+1）当n转到+∞ 那是ηpnn-2Xi=bnαc1.-在里面:= ηvn变为0，因为由于引理6.1，vn独立于η有界，并且η任意小。最后，为了研究Sn收敛到0，我们必须计算30 T.LABOPIN-RICHARD、F.GAMBOA、A.GARIVIER和B.IOOSSEU（i）-在+1中U（i）- 1.=B（i，n+1）- i） Zxi-1(1 - x） n-我-十、-在+1中dx=B（i，n+1- （一）Zxi+1（1）- x） n-我-dx- 2in+1Zxi（1- x） n-我-dx+在+1中Zxi-1(1 - x） n-我-.我们把这最后一个量叫做Iin。因为我- 1，Iin=B（i，n+1- i）血红蛋白i+2，n- 我-+ 1.- 2in+1Bi+1，n- 我-+ 1.+在+1中Bi、 n- 我-+ 1.i、使用（12）我们得到了i、 n- 我-+ 1.B（i，n+1）- i） “i（i+1）N-+ 2.N-+ 1.- 2iN-+ 1.（n+1）i（i+1）N-+ 2.N-+ 1.+在+1中i（i+1）N-+ 2.N-+ 1.#.让我们假设Iin=B（i，n-我-+1） B（i，n+1）-i）艾因。当n变成in fi fineyeni时，扩展enin~年+11.-在+1中.让我们研究一下termB（i，n）-我-+1） B（i，n+1）-i）。利用（11）和（14），我们得到了bi、 n- 我-+ 1.B（i，n+1）- i） n！N- 2.-!N- 我- 2.-!（n）- i） !=n（n）- 1）（n）- 我- 1）（n）- i）（2（n）- 我- 2))!（（n）- 2)!)2i（（n）- 我- 2)!)（2（n）- 2))!因为每个i都可以写成i=bnβc，β<1，n-当n进入单位时，我进入单位，我们可以应用斯特林公式：布雷格曼超分位数。

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