分位数和预期短缺联合回归框架

2022-6-25 01:01:21

联合分位数和预期短缺回归框架Timo Dimitriadis+和Sebastian BayerUniversity of Konstanz，经济系，78457 Konstanz，Germany此版本：07.08.2017AbstractShankess（ES）给定一组协变量的响应变量。该回归基于成对分位数和ES的严格一致损失函数，允许对联合回归参数进行M和Z估计。在弱正则条件下，我们证明了这两种估计量的相合性和渐近正态性。基本损失函数取决于两个规格函数，其选择影响结果估计量的性质。我们发现Z估计量在数值上是不稳定的，因此，我们依赖于模型参数的M估计。大量仿真验证了不同规格函数的渐近性质，并分析了M估计的小样本行为。该联合回归框架允许各种应用，包括估计、预测和回溯测试ES，这与最近将ES引入BaselAccords尤其相关。关键词：预期短缺、联合可获得性、联合回归、M估计、分位数回归1。引言测量和预测风险对于各种学术学科都至关重要。为此，风险度量被正式定义为从随机变量空间到实数的映射（具有某些属性），用于将所涉及风险的复杂性浓缩为单个数字（Artzneret al.，1999）。在金融风险度量方面，迄今为止最常用的风险度量是风险价值（VaR），它是回报分布的α-分位数。

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2022-6-25 01:01:24

它之所以受欢迎，主要是因为它的性质简单，而且到目前为止，巴塞尔协议规定使用它来计算银行的资本要求。除了不一致（Artzner et al.，1999），VaR的主要缺点是无法捕获自身以外的尾部风险。这种不足通过α级的风险度量预期缺口（ES）来克服，该缺口被定义为小于收益分布α分位数的收益平均值。ES具有从收益分布的全左尾捕获信息的理想能力，这对于衡量极端金融风险尤为重要。在过去几年中，ES越来越成为从业者、学者和监管机构关注的对象，尤其是自其最近被引入巴塞尔协议以来（巴塞尔委员会，2016年）。ES（被视为统计函数）的一个主要缺点是它不可导出，这意味着不存在损失函数（评分函数，评分规则），ES唯一地最小化了本文的子实体，通过回归对给定一组协变量的条件ES进行建模+对应的作者邮箱地址：timo。dimitriadis@uni-康斯坦茨。德，塞巴斯蒂安。bayer@uni-康斯坦茨。去回归（可用于VaR建模），迄今为止，还没有基于一组协变量对ES进行建模的回归框架。Nadarajah等人（2014年）概述了ES的估算方法。然而，reviewedapproaches仅适用于单变量数据，不适用于基于协变量（如均值和分位数回归）估计条件Es。然而，forTaylor（2008a）介绍了一些基于期望值回归的方法以及ESA和期望值之间的关系。

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能者818

2022-6-25 01:01:27

Taylor（2017）提出了一种基于不对称拉普拉斯分布最大似然估计的分位数和ES联合建模技术。Barendse（2017）提出了广义矩量法（GMM）估计，用于量化预测的回归框架。尽管ES不能单独得出，但Fissler和Ziegel（2016）在其主要论文中表明，分位数（VaR）和ES可以通过引入一类联合损失和Holzmann（2016）以及在风险度量VaR和ES的联合预测评估（Acerbi和Szekly，2014；Fissler等人，2016；Nolde和Ziegel，2017；Ziegel等人，2017）中共同得出。在本文中，我们利用Fissler和Ziegel（2016）的损失函数类引入了联合回归参数的Z估计量。这些严格一致的损失函数有利于引入回归参数的M和Z估计，而无需指定模型的完整条件分布，这与最大似然估计相反。在弱正则性条件下，我们证明了这两个估计量的一致性和渐近正态性，这是此类回归框架的典型条件。据我们所知，我们首次提出分位数和ES的联合回归框架，以及M和Z联合估计以及一致性和渐近正态性的相关结果。此外，我们首次提出了基于联合M估计的两个不同函数的联合Miparametric回归框架，无需指定完整的条件分布。所采用的联合损失函数、估计方程（用于Z估计）和结果参数估计取决于两个规格函数，可以从某些类别的函数中选择。

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2022-6-25 01:01:31

即使一致性和渐近正态性适用于估计量矩阵的所有适用选择，优化算法的数值稳定性和计算时间。我们在理论上讨论了这些函数的选择，包括渐近有效性和必要的正则性条件，以及优化算法的数值性质。密度分位数函数的估计，类似于分位数回归（参见Koenker，2005），因此也类似于文献。我们为这个数量引入了几个估计器，这些估计器能够处理有限的样本量，并且可以建模负分位数残差对协变量的依赖性。此外，我们使用bootstrap估计协方差矩阵。为了便于应用，我们提供了anR包（Bayer和Dimitriadis，2017a），其中包含M和Z估计量的实现。用户可以选择参数估计协方差矩阵的规格函数、数值优化程序和估计方法。不同的属性。我们在数值上验证了规格函数不同选择范围的M估计的一致性和渐近正态性。此外，我们发现Z估计量依赖于回归参数的M估计。

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2022-6-25 01:01:33

此外，我们发现M-估计的性能强烈依赖于规格函数，其中导致正同质损失函数的选择（Nolde和Ziegel，2017；Efron，1991）导致估计的渐近效率、计算时间和均方误差方面的优异性能。分位数和ES的联合回归技术作为itrisk管理有着广泛的潜在应用，它为扩展分位数回归Komunjer（2013）、Xiao等人（2015）和ikesand Baruník（2016）的现有应用开辟了可能性。这些估计、预测和巴塞尔协议。作为一个例子，我们给出了一个实证应用程序，其中我们使用我们的回归框架根据已实现的波动率联合预测VaR和ES。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了联合回归框架、基本正则性条件以及估计量的渐近性质，并讨论了估计量和渐近协方差矩阵的估计。第4节介绍了一个广泛的模拟研究，第5节包含了一个实证应用。第6节提供了结束语。证明推迟到附录B和C.2。方法学2.1。联合回归框架继Lambert et al.（2008）、Gneiting（2011）和Fissler and Ziegel（2016）之后，我们引入了（多元）p-可诱导性的概念。我们考虑一个随机变量Z：Ohm → 定义了一些完全概率空间Ohm, F、 P, 一类分布函数，配有Borelσ-field和函数alt:P→ D及其作用域D Rp，p∈ N

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2022-6-25 01:01:36

我们称之为可积损失函数ρRd×D→ RTPTE公司ρ（Z，·）F∈ PFZpT pPρtpp功能可诱导而非p可诱导。给定广义α-量子化qα（Z）=F-1（α）=infz∈ R： F（z）≥ α对于某些α∈ （，），水平α的随机变量定义为α（Z）=ααQu（Z）du。如果Zi的分布函数在其α-分位数处是连续的，则该定义可以简化为条件尾部期望值α（Z）=EZZ≤ Qα（Z）. Gneiting（2011）表明，对于区间上的anyclassPof概率分布，ES不是1-可导出的 R、其中包含具有有限支持的度量或具有紧凑支持的绝对连续分布的有限混合（另见Weber，2006）。功能ES的这种结果预测是不可行的。其次，对于这项工作来说，更重要的是，通过M-估计的方法，即通过最小化一些严格一致的损失函数，在ESα（Y | X）=Xθeby的意义上，估计函数ES的独立回归模型的参数是不可行的。尽管ES不是1-可诱导的，但Fissler和Ziegel（2016）表明，该对由ES和α矩以及唯一的α分位数组成，并且它们表征了该对在某些正则条件下的全类严格一致损失函数。由于ES的定义已经取决于相应的分位数，因此ES只能与分位数一起引出这一事实并不令人惊讶。我们利用这个联合可引出性结果引入了一个新的联合回归框架forYOhm → 接收Ohm → Rk公司Ohm, F、 PX将由X表示，ygivenxbyfy | X的累积分布函数和条件密度函数由fy | X表示。

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2022-6-25 01:01:39

对于ak次可微实值函数g:R→ R、我们用G（k）（·）表示k阶导数。假设2.1（联合回归模型）。对于某个固定水平α，联合建模给定X的Y的条件分位数和ES的回归框架∈ （0，1）由Y=Xθq+uqand Y=Xθe+ue给出，（2.1），其中qα（uq | X）=0 andESα（ue | X）=0。模型参数化为θ=（θq0，θe0）∈ Θ R2k，其中参数空间Θ是紧的，内部为非空，int（Θ），.我们提出了复合回归参数向量θ的M估计和Z估计方法。对于M估计，我们采用了Fissler和Ziegel（2016）中给出的分位数和ES的严格一致的联合损失函数，以便可以在回归框架ρ（Y，X，θ）中使用={Y≤Xθq}- αG（Xθq）- 1{Y≤Xθq}G（Y）+G（Xθe）Xθe- Xθq+（Xθq-Y） 1{Y≤Xθq}α- G（Xθe）+a（Y），（2.2），其中函数G两次连续可微，G三次连续可微，G（1）=G，G（1）严格为正，G递增，G可积。我们在第2.3节的理论背景下讨论了规格函数的选择，并在第4.2节的数值性能中讨论了规格函数的选择。相应的（ρ型）M估计量由序列^θρ，n定义，使得^θρ，n=argminθ∈Θnni=1ρ（Yi，Xi，θ）。除了最小化（2.2）中的某些目标函数ρ（Y，X，θ），我们还可以定义相应的Z-估计量（或ψ型M-估计量），它将估计方程（矩条件）的向量设置为零，用ψ（Y，X，θ）表示。更一般地说，这些估计方程几乎肯定会收敛到零。

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2022-6-25 01:01:43

形式上，Z-估计量是序列^θψ，n，这样nni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）→ 0几乎可以肯定，其中ψ（Y，X，θ）=ψ（Y，X，θ）ψ（Y，X，θ）=α（1{Y≤Xθq}- α)αXG（1）（Xθq）+XG（Xθe）XG（1）（Xθe）Xθe- Xθq+α（Xθq-Y） 1{Y≤Xθq}, （2.3）gg损失函数ρ（Y，X，θ）在θ中是连续可微的，很明显，M和Z估计方法是等效的。然而，在这种情况下，损失函数ρ（Y，X，θ）是不可微的，ψ（Y，X，θ）Y=Xθqa是不同的估计量，并分别显示其渐近行为。我们可以对该损失函数的结构进行如下解释（Fissler等人，2016）：在（2.2）中，第一个和是分位数的严格一致损失函数（Gneiting，2011），因此仅取决于分位数，而第二个和本身不是1-可导的，而是与相应分位数一起2-可导的。注意，（2.2）中给出的函数ρ（Y，X，θ）仅对Y，Xθq可微。然而，对于给定X.2.2的Y的绝对连续分布，不可微点Y=Xθq形成一个零集。渐近性质在这一节中，我们给出了回归参数的M估计和Z估计的渐近性质。一致性和渐近正态性在以下一组弱正则条件下成立，这对于这个回归框架来说是自然的。假设2.2（规则性条件）。（A-1）数据（Yi，Xi）fori=。

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2022-6-25 01:01:46

，nis是一个iid随机变量序列，分布如（Y，X）FY | Xis与概率密度函数FY | X绝对连续，其严格正、连续且在真条件分位数Xθq的邻域内有界。（a-2）矩阵EX X X为正定义。（A-3）函数ρ（Y，X，θ）和ψ（Y，X，θ）如（2.2）和（2.3）所示，其中函数G是两次连续可微分的，G是三次连续可微分的，G（1）=G，G（1）是严格正的，G是递增的，A和Gare是可积的。备注2.3（有限力矩条件）。我们还必须假设X的某些时刻是有限的。为了节省空间，我们在附录A中规定了有限力矩条件（M-1）-（M-4）。函数和气体在第2.3节中进一步概述。对于分位数回归的渐近理论，还施加了在真条件分位数的高阶域上具有严格正、有界和连续密度函数的y | x的绝对连续性。ygivenx的条件矩的存在取决于均值回归的条件，并且由于ES是截断的均值，因此包含在正则性条件中。（A-2）中的正不确定性（满秩条件）对于任何具有随机回归的回归设计都是常见的，以排除回归的完全多重共线性。规范函数Gandgin（A-3）的条件主要来源于分位数和ESin Fissler和Ziegel（2016）的联合可诱导性条件。在该设置中，需要这些函数的可微性，以获得估计方程，并在计算定理2.6和定理2.7中的渐近协方差时进行微分。解释变量的某些矩的存在性，如inMMregressors。

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2022-6-25 01:01:49

尽管假设2.1中的参数空间Θ的紧性通常可以简化证明，但在这种设置中，由于估计方程ψ是正齐次损失函数，因此Z-估计量的一致性至关重要。有关详细信息，请参阅第3.1节。定理2.4。假设假设2.1、假设2.2和力矩条件（M-1）in^θψ，n∈ Θnni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）a.s。-→这是θψ，na。s-→ θ.定理2.5。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-2）成立。然后，对于每个序列^θρ，n∈ Θ这样nni=1ρ（Yi，Xi，^θρ，n）≤nni=1ρ（Yi，Xi，θ）+oP（1），它认为^θρ，nP-→ θ.定理2.6。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-3）成立。然后，对于每个序列^θψ，n∈ Θ令人满意√nni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）P-→0，我认为√n^θψ，n- θd-→ N0, Λ-1C∧-1., （2.4）带∧=Λ0 Λ和C=中国交建, （2.5）式中∧=αE（X X）fY | X（Xθq）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）, （2.6）∧=E（X X）G（1）（Xθe）, （2.7）C=1- ααE（X X X）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）, （2.8）C=C=1- ααE（X X X）Xθq- XθeαG（1）（Xθq）+G（Xθe）G（1）（Xθe）, （2.9）C=E（X）G（1）（Xθe）αVarY- XθqY≤ Xθq，X+1.- ααXθq- Xθe. （2.10）定理2.7。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-4）成立。然后，对于每个序列^θρ，n∈ Θ这样nni=1ρ（Yi，Xi，^θρ，n）≤infθ∈Θnni=1ρ（Yi，Xi，θ）+oP（n-1），它认为√n^θρ，n- θd-→ N0, Λ-1C∧-1., （2.11）其中矩阵∧和C如定理2.6所示。备注2.8（分位数回归）。请注意，分位数特定参数的渐近协方差矩阵估计α（1）给出的^θqis-α） D-1DD-1，其中d=E（X X）fY | X（Xθq）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）和（2.12）D=E（X X X）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）.

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2022-6-25 01:01:52

（2.13）G（z）=zandG（z）=0，这意味着忽略损失函数和估计方程的ES特定部分。这表明分位数回归方法嵌套在我们的回归过程中，也嵌套在其渐近分布方面。备注2.9（ES和Oracle估计量的渐近协方差）。渐近协方差的ES特定部分主要由c项控制，c项取决于数量αVarY- XθqY≤ Xθq，X+1.- ααXθq- Xθe=αVar（Y）- Xθq）1{Y≤Xθq}十、. （2.14）ES回归参数的渐近协方差取决于ygivenx的截断方差是合理的，因为平均回归参数的无症状协方差是由ygivenx的条件（非截断）方差驱动的。第二学期Xθq- Xθe包括（2.14），因为ES表示截断平均值，其中截断点本身是一个统计函数（θegiven由损失函数ρOracle（Y，X，θe）=（Y- Xθe）{Y≤Xθq}，（2.15），其中我们假设真实分位数回归参数θqa已知。由此产生的渐近协方差由Avar给出θeOracle=αEX X X-1·E（X X）VarY- XθeY≤ Xθq，X· EX X X-1，（2.16），表明附加条款Xθq-Xθe不包括在该估值器中，带有固定截断点Xθq。备注2.10（样本分位数和ES的联合估值）。我们可以使用此回归框架联合估计同分布样本的分位数和ES，仅在恒定条件下回归。定理2.6和定理2.7中给出的渐近协方差矩阵可简化为∑，分量∑=α（1- α） fY（θq），（2.17）∑=∑=（1- α） θq- θefY（θq），（2.18）∑=αVar（Y- θq | Y≤ θq）+1- αα（θq- θe），（2.19），其中θqandθeare是y的真分位数和ES。

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2022-6-25 01:01:55

Zwingmann和Holzmann（2016）也得到了同样的结果，他们进一步考虑了在严格正导数的分位数上不可区分的分布函数。请注意，在这种没有协变量的简化情况下，交感协方差矩阵独立于损失函数和估计方程中的特定函数。此外，（2.17）意味着我们的联合估计程序得出的分位数估计与最小化广义分段线性损失得出的分位数估计（Gneiting，2011）和样本分位数（cf.Koenker，2005）具有相同的渐近效率。Brazauskas et al.（2008）和Chen（2008）的样本ES估计（基于样本分位数）的效率也是如此。备注2.11（伪随机选择a（Y））。通过在（2.2）中选择a（Y）=αG（Y）+G（Y），我们可以保证非负损耗ρ（Y，X，θ）≥0.这一选择使我们能够定义Koenker和Machado（1999）意义上的联合回归框架的apseudo Rf，RQE=1-ρ（Y，X，^θ）ρ（Y，X，^θ），（2.20），其中^θ表示全回归模型的参数估计，而^θ表示仅限于截距项的回归模型的参数估计。然而，选择a（Y）是以更严格的力矩条件为代价的，因为我们需要施加EG（Y）+G（Y）< ∞.2.3. 规格函数的选择（2.2）和（2.3）中给出的损失函数和估计方程取决于两个规格函数GandG（带导数EG），它们必须满足假设2.2中的正则条件（A-3）。Fissler等人（2016年）已经提到了可行选项G（z）=0，G（z）=z，G（z）=exp（z）和G（z）=exp（z）/+ exp（z）以显示此类为非空。

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2022-6-25 01:01:59

与均值、分位数和期望值回归的损失函数相比，分位数和ES的规格函数还没有自然选择（Nolde和Ziegel，2017）。然而，作为效率的选择、回归器的必要矩条件和优化算法的数值性能，我们将在下面讨论合理的选择标准。利用的损失函数是b阶正齐次的至关重要∈ R在ρ（cY，X，cθ）=cbρ（Y，X，θ）（2.21）c>损失函数的意义上，遵循该性质，我们可以改变标度，并仍然获得相同的预测值，从而获得相同的参数估计值。对于由分位数和ES组成的对，b对于我们限制G的域的情况，即条件ES为负实数线4，b<0：G（z）=-c、 G（z）=c(-z） b+c，（2.22）b=0：G（z）=d{z≤0}+d{z>0}，G（z）=-木屐(-z） +c，（2.23）b∈ （0，1）：G（z）=d{z≤0}+d{z>0}|z | b- c、 G（z）=-c类(-z） b+c，（2.24）对于某些常量c、d、d∈ Rwithd公司≤ d、 d，d≥0和C>0。不存在正均质性b≥偏离选项g（z）=0的数值精度（另见Fissler et al.，2016；Nolde and Ziegel，2017；Ziegel et al.，2017），这也与同质性结果一致。因此，我们在下面使用g（z）=0。通过选择G（andG），可以得出选择规范函数的不同自然指导原则，以便附录A中的力矩条件（M-1）-（M-4）限制性最小，且尽可能节约。例如，选择其倒立二阶导数为有界函数（且g（z）=0）的这类函数会导致矩条件E||X | |+| | X | | E|Y型|十、+ ||X | | EY十、+ |a（Y）|< ∞. 这激发了有界funcGG（z）=exp（z）的使用/+ exp（z）是标准物流配送的配送功能。

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2022-6-25 01:02:02

边界函数的进一步示例包括实线上绝对连续分布的分布函数。在第4.2节的模拟研究中，我们比较了不同规格函数在均方误差、估计量的渐近效率和计算时间方面的性能。3、模型的数值估计在本节中，我们将讨论我们遇到的困难以及我们为估计联合回归模型提出的解决方案。第3.1节说明了我们用于估计回归参数的数值优化程序，第3.2节讨论了估计器方差矩阵的不同估计方法。3.1. 优化定理2.6和定理2.7意味着回归参数θ的M-估计和Z-估计都具有相同的渐近效率，因此，我们在termsForb=0时讨论这些估计方法，只有损失差异是正齐次的。然而，在这种略微较弱的属性下，损失的排序仍然没有受到影响。由于小概率水平下金融资产的条件ES始终为负值，因此这不是关键限制。然而，对于数值参数估计，我们必须限制参数空间Θ，以便xiθe<0表示所有θ∈ 对于基础样本中的所有XI。有关详细信息，请参阅第3.1节。注意，正齐次损失函数显示无界函数。然而，由于函数g（z）的增长速度不会超过线性，因为z趋于完整，因此产生的有限力矩条件没有太大限制。（2.3）中给出的估计方程的求根，我们通过最小化内积实现GMM估计iψ（Yi，Xi，θ）·iψ（Yi，Xi，θ）。

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2022-6-25 01:02:04

然而，估计方程是gψ（Y，X，θ）→Xθe→ -∞因此，对于θ，θq=θqandXθe→ -∞, 我们得到了Z-估计目标函数的相同最小值iψ（Yi，Xi，θ）·iψ（Yi，Xi，θ）作为真实回归参数θ。因此，Z估计量在数值上是不稳定的，并且在许多设置中是发散的。因此，我们依赖以下回归参数的M估计。由于（2.2）中给出的损失函数对于所有适用的特定函数选择都是不可区分和非凸的（Fissler，2017），我们采用了无导数的全局优化技术。更具体地说，我们使用Lourenco等人（2003）的迭代局部搜索（ILS）元启发式算法，该算法通过迭代扰动起始值的重复优化来成功地确定参数估计。我们的θqθetwo yonx分位数回归用于概率水平α和|α，其中我们选择|α，使得|α损失函数具有无导数且鲁棒的Nelder-Mead单纯形算法（Nelder和Mead，1965）。第三，我们通过添加具有零均值估计的正态分布噪声来扰动得到的参数估计。第四，我们用扰动参数估计作为新的起始值对模型进行重新优化。m=连续迭代。我们的数值实验表明，这种重复优化过程是模拟退火的，而ILS的主要优点是计算时间大大减少。对于导致正齐次损失函数的规格函数的选择，我们必须将范围限制为负实线，如第2.3节所述。因此，我们必须限制Θ，使得xiθe对于所有θ都<0∈ Θ对于alli=，正在执行优化过程。

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nandehutu2022

2022-6-25 01:02:07

尽管在金融风险管理中，响应变量通常由真实（有条件）ES严格为负的金融回报给出，但仍可能存在一些异常值，如xiθe≥在这种情况下，对于alli=，…，施加限制xiθe<0，优化过程会产生对θe有很大偏差的估计。为了避免这种情况，我们估计回归- max（Y）并将max（Y）添加到估计的截距参数中，以撤消转换6.2017a）。该软件包包含M和Z估计量的实现，其中可以使用渐近理论和我们在下一节中讨论的结果技术，或使用非参数iid bootstrap（Efron，1979）来估计差异。我们建议将其与ILS算法结合使用，因为该程序在精度、稳定性和计算时间方面在我们的数值实验中表现出最佳性能。请注意，此数据转换会更改平均损失函数，因为应用的损失函数通常是非平移不变的。因此，优化转换损失函数可能导致不同的参数估计。然而，在xiθe≥0表示某些∈ {，…n}。我们的数字- 最大（Y）Xiθe<i∈ {1，…n}，但如果Xisuch有一个离群值，那么Xiθe可能相当大≥ 0.3.2. 渐近协方差估计虽然定理2.6和定理2.7中给出的渐近协方差矩阵的大部分是向前估计的，但两个讨厌的量带来了一些困难。第一个是密度分位数函数fy | X（Xθq），这在分位数回归文献中已经得到了很好的研究。

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2022-6-25 01:02:11

特别是，我们考虑了Koenker（1994）提出的估计量，此后用iid表示，以及byHendricks和Koenker（1992）提出的估计量，此后用nid表示。这两者之间的主要区别在于，第二个允许线性依赖结构。这两种方法都取决于带宽参数，我们根据Hall和Shecker（1988）选择带宽参数。考虑到这些残差为负Y- XθqY≤ Xθq，X= 风险值uq公司uq公司≤ 0，X. （3.1）由于两个原因，需要对该数量进行估算。首先，对于金融风险管理中典型的极小概率水平，例如α=。5%，截断UQ≤除极少数α·nx外，0切割具有挑战性，特别是考虑到非常小的样本量。在同质性假设下，即QIs的分布独立于协变量X，我们可以通过负分位数残差的样本方差简单地估计（3.1），我们在下面将此估计称为ind。我们提出了两个进一步的估计量，考虑到分位数残差对卵巢的依赖性。为此，我们假设位置-尺度过程具有条件平均值和标准偏差的线性规定，以明确建模某些参数向量ζ、φ的条件关系uqonx，uq=Xζ+Xφ·ε，（3.2）∈ Rkand式中ε~ G（，）遵循零均值、单位方差分布，uq | X~ GXζ，（Xφ）fgfg qgivenuq的截断方差≤0，即（Xφ）的截断变量，一种可能性是仅对Uq≤0

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2022-6-25 01:02:14

然而，这种方法特别支持极少数负分位数残差，因为与ind方法相比，我们需要估计额外的参数。我们通过使用准广义伪极大似然法（Gourieroux和Monfort，1995，第8.4.4节）的所有可用观测值来估计参数ζ和φ，提出了一种可行的替代方法，并通过标度公式（uq | uq）获得了截断条件方差≤ 0，X）=-∞zh（z）dz--∞zh（z）dz, 其中h（z）=fG（z）/fG（）是qgivenxanduq的截断条件密度≤我们提出了一个参数估计量，此后用scl-N表示，其中我们假设分布为正态分布，并将闭式解应用于缩放公式。我们进一步提出了一个半参数估计量，此后用scl sp表示，其中我们以非参数方式估计分布，然后通过数值积分应用该估计密度的标度公式。4、模拟研究在本节中，我们研究了M估计的有限样本行为，并通过模拟验证了第2.2节中得出的渐近性质。此外，我们还比较了偏离这些线性规范不会增加的性能。规范函数的不同选择，并评估第3.2.4.1节所述不同协方差矩阵估值器的精度。数据生成过程为了评估估计联合回归模型的数值特性，我们模拟了线性位置-尺度数据生成过程（DGP）中的数据，Y=Xγ+（Xη）·v，（4.1）v~ F（，）X=, 十、Xk公司γ, η ∈ Rk真条件分位数和ES是X中的线性函数，由qα（Y | X）=X（γ+zαη）和ESα（Y | X）=X（γ+ξαη），（4.2）zαξαF（，）θq=γ+zαηθe=γ+ξαη给出。

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mingdashike22

2022-6-25 01:02:17

此外，分位数和ES残差的条件分布由uq | X给出~ F-zα（Xη），（Xη）和ue | X~ F-ξα（Xη），（Xη）. （4.3）对于模拟研究，我们希望评估我们的回归程序在各种设置中的性能。因此，我们指定γ、η和fin如下，这样我们得到的数据是同向的（DGP-（1））和异向的（DGP-（2））。此外，我们还包括一个具有多重相关回归器的回归设置和一个轻量级的条件分布（DGP-（3）），DGP-（1）：X=（1，X），X~ χ和Y | X~ N-十、 1个DGP-（2）：X=（1，X），X~ χ和Y | X~ N-十、（1+0.5倍）DGP-（3）：X=（1，X，X）X，X~ U[0，1]带corr（X，X）=0.5 andY | X~ t型十、- 十、（1+X+X）.我们对这三个过程进行了25000次模拟，样本大小分别为n=250、500、1000、2000和5000次观察。对于每个复制和每个样本量，我们使用联合回归方法回归协变量X上的模拟Y，概率水平α=2.5%。4.2. 比较规格函数，我们通过研究基于（2.2）中损失函数中规格函数8的不同选择的估计器的数值性能，开始讨论模拟结果。b=-b=和b=0.5分别为9，有界G函数和（无界）指数函数：G（z）=-1/z，G（z）=-日志(-z），G（z）=-√-z、 G（z）=对数1+扩展（z）, G（z）=exp（z）。（4.4）图1显示了（4.4）中给出的规格函数的均方误差（MSE）之和（2K回归参数）。正如渐近理论所暗示的，当所有三个DGP的均方误差收敛到零时，我们获得了所有五种规格函数选择的一致参数估计。然而，它们在小样本特性方面存在显著差异。遵循第2.3节以及Nolde和Ziegel（2017）的推理；Ziegel等人。

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2022-6-25 01:02:20

（2017年），在整个模拟研究中，我们的fixg（z）=0。(2.22) - (2.24).三种正均一的规格可以得到最准确的估计，而选项g（z）=-√-zandG（z）=-日志(-z）倾向于表现略好于选项g（z）=-/z、此外，有界选项g（z）=log+ exp（z）仍然比unboundedeponential函数性能更好。250 500 1000 2000 5000样品尺寸0.00.10.20.3均方误差dgp-（1）G2（z）=-日志(-z）-√-z-1/zlog（1+exp（z））exp（z）250 500 1000 2000 5000样品尺寸0.00.51.01.5DGP-（2）G2（z）=-日志(-z）-√-z-1/zlog（1+exp（z））exp（z）250 500 1000 2000 5000样品尺寸010203DGP-（3）G2（z）=-日志(-z）-√-z-图1：所有三个DGP参数估计的均方误差之和。结果显示了（4.4）中给出的规格函数的选择和一系列样本大小。表1报告了三个DGP和（4.4）中给出的五种规格函数选择的真实渐近协方差矩阵下三角部分以及相应（下三角）分位数规格和ES规格子矩阵的Frobenius范数。为了进行比较，我们还报告了分位数回归估计量渐近协方差下三角部分的Frobenius范数。我们使用定理2.6中的公式以及真实密度和条件截断方差，通过样本量为10的蒙特卡罗积分来近似真实渐近协方差矩阵。

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mingdashike22

2022-6-25 01:02:23

平均而言，规范函数g（z）=-日志(-z） andG（z）=-√-zexhibit最小渐近协方差，紧随其后的是aG（z）=-/Z分位数特定参数联合估计方法（从正齐次损失函数）到分位数回归估计，我们大致获得了相同的渐近效率。表1：该表报告了三个DGP的渐近协方差矩阵下三角部分的Frobenius范数以及相应的分位数规格和ES规格子矩阵，以及（4.4）中给出的规格函数的五种选择。为了进行比较，我们报告了分位数回归估计量的渐近协方差的相同数量。DGP-（1）DGP-（2）DGP-（3）Q ES Full Q ES Full Q ES Full G（z）=-日志(-z）7.5 13.1 9.2 17.9 26.9 20.0 581.1 1739.1 1053.0G（z）=-√-z 7.0 11.8 8.4 18.0 25.4 19.3 584.5 1740.1 1054.4G（z）=-1/z 9.1 16.9 11.8 24.1 39.4 28.5 613.7 1851.9 1119.8G（z）=log（1+exp（z））15.4 21.5 16.6 72.4 80.1 67.1 987.9 2393.0 1496.4G（z）=exp（z）15.8 22.6 17.2 74.6 84.5 70.0 1001.9 2440.4 1524.6分位数回归6.8––21.4––600.5––4.3。比较本节中的方差-协方差估计，我们比较第3.2节中讨论的渐近协方差估计的经验性能。为了比较它们的精度，图2报告了估计协方差和估计参数的经验协方差之间差异下三角部分的Frobenius范数的平均值。

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2022-6-25 01:02:27

我们报告了三个齐次损失函数和三个250 500 1000 2000 50000246810Frobenius NormDGP-（1）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000246810DGP-（1）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000246810DGP-（1）G2（z）=-1/ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025Frobenius NormDGP-（2）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025DGP-（2）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025DGP-（2）G2（z）=-1/ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000 FROBENIUS NormDGP-（3）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000DGP-（3）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000DGP-（3）G2（z）=-1/ziid/INDID/scl Nnid/scl spBootstrapFigure 2：该图比较了第3.2节中描述的三种数据生成过程、一系列样本大小和G函数的三种正齐次选择的四种协方差估计方法。我们报告了估计的渐近协方差和M-估计的经验方差之间的差异的下三角部分的平均F范数。DGPs，其中每个图表示四个协方差估计量（iid/nid、nid/scl-N、nid/scl sp和iid引导）的平均范数差异，具体取决于样本量。我们发现，iid/nid估计器在第一个同余节拍DGP中表现良好，而在其他两个DGP中，它无法捕获数据的潜在更复杂动态。

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2022-6-25 01:02:30

nid/scl Nestimator在前两个DGP中优于其他估计方法，其中基础条件分布遵循正态分布，而在第三个DGP中，其性能下降，后者遵循学生分布。对于所有三个DGP，灵活nid/scl sp估计器的性能最好，而与其他估计器相比，它在小样本情况下特别好。所提供的R包包含所有四个协方差估计量。5、实证应用在这个实证应用中，我们使用我们的联合回归框架预测IBM股票近距离对数收益的VaR和ES。为此，我们采用Zikes和Baruník（2016）的预测框架，联合预测每日财务回报的VaR和ES rtbyQα（rt | RVt-1） =θq+θqRVt-1和ESα（rt | RVt-1） =θe+θeRVt-1，（5.1），其中RVT=(irt，i）1/2表示dayt的已实现波动率估值器（Andersen和Bollerslev，1998），其中，irt，idenotes thei the th high frequency return of dayt。我们的数据集包括2001年1月3日至2017年7月18日五分钟的IBM股票回报，总计4120天，我们从剩余3120天的预测中获得。我们比较了该模型与文献中三个标准模型的预测能力。第一种是历史模拟（HS）方法，该方法预测daytas样本模型（Bollerslev，1986）的VaR和ES，第三种是Corsi（2009）的异质自回归（HAR）模型，基于上述已实现的波动率估计。HARmodel的VaR和ES预测来自波动率预测，并通过假设高斯回报分布获得。

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2022-6-25 01:02:33

虽然前两种方法仅依赖每日数据，但第三种方法与我们的方法包含相同的高频信息。我们通过Fissler和Ziegel（2016）的VaR和ES的严格一致损失（评分）函数来评估这些模型的VaR和ES的预测能力。我们使用了Ehm et al.（2016）和Ziegel et al.（2017）提出的墨菲图，该图提供了一种节约的方法，可以同时评估一类完全一致的损失函数的竞争预测。事实上，单负（正）。有关墨菲图的理论和实施的更多详细信息，werefer to Ehm et al.（2016）和Ziegel et al.（2017）。-0.10-0.05 0.00阈值-0.008-0.006-0.004-0.0020.000分数与HS不同-0.10-0.05 0.00与GARCH的阈值差异-0.10-0.05 0.00与Har的阈值差异图3：VaR/ES回归的基本得分差异和各自的比较模型图3显示了Ziegel等人（2017）提供的VaR和ES对的基本得分的联合VaR和ES回归的基本得分差异的平均值。使用这种图形方法，我们可以看到，对于绝大多数阈值，联合回归预测模型与历史模拟和AR（1）-GARCH（1,1）T模型的基本得分差异显著为负。这意味着联合回归预测模型在其他两种预测方法中占有显著优势。尽管我们也观察到了严格的负基本分数，但我们不能显著优于该模型。结论在本文中，我们介绍了分位数（VaR）和ES的联合回归技术。ThisZiegel（2016），允许分位数和ES的联合引出。我们为联合回归模型的参数引入了一个M和aZ估计量。

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