如果我们使用（292）建模营业额，那么我们有p=INXi=1（αiwi）- Li | wi |）-neQNXi=1τi | wi |！n（320），其中模数说明了某些wi为负值的可能性，andeQ定义如下：≡ Q（Iρ）*)n（321）对于一般分数n，必须通过经验测量，权重优化问题必须通过数值求解。首先，注意如果单个失误τi≡ τ是相同的，当非线性成本对P的贡献与wias（3）无关时。在这种情况下，它简单地通过一个常数进行移位，这个问题就可以像上一节一样完全解决。如果τi不完全相同，那么我们需要解决以下问题：g（w，u，eu）≡NXi，j=1Cijwiwj+uNXi=1 | wi |- 1!++ eu“NXi=1（αiwi- Li | wi |）-neQ′NXi=1τi | wi |！N-eP#（322）g（w，u，eu）→ 最小（323）式≡eQI（324）在这里，人们可以使用连续迭代来处理非线性项，必须解决与收敛相关的各种稳定性问题。一种更简单的方法是，在[57]之后，注意到非线性项的关键作用是通过其对I的依赖来建模端口组合能力，而不是根据单个字母的详细结构。在本研究中，以下近似值是简化问题的合理方法。让τ≡NXi=1τi（325）eτi≡ τi- τ（326）实际上，在这种情况下，线性成本的贡献也移动了一个常数。我们的意思是投资的价值水平I=I*其中P&L Popt（I）最大化，其中对于任何给定的I，P&L Popt（I）是针对优化权重wi计算的。当非线性成本存在时，容量是无限的。

当非线性成本包括在内时，我*现在是最后一天。如果eτi的分布是一个小的标准偏差，那么我们可以使用以下近似值：g（w，u，eu）≈NXi，j=1Cijwiwj+uNXi=1 | wi |- 1!++eu“NXi=1（αiwi- Li | wi |）-neQ′τn+nτn-1NXi=1eτi | wi |！-eP#（327）目标函数可以重写为asg（w，u，eu）≈NXi，j=1Cijwiwj+uNXi=1 | wi |- 1!++ euNXi=1α-iwi-伊莱|维|-哎哟！（328）其中≡ Li+eQ′τn-1τi=Li+Qρn*在里面-1τn-1τi（329）eP′≡eP+neQ′τn（330），也就是说，在这种近似下，非线性项的影响减少到增加线性滑动和移位eP，我们可以解决这个问题，如前一节所述。然而，请注意，“有效”线性成本取决于投资水平I via（329），它现在控制容量。因此，对于我来说≥ |αi |（331）损益不能为正。8评论除其他外，我们还讨论了优化问题，即将P&Lsubj最大化到夏普比率的下限。理论上这是一个完美的优化问题。然而，在实践中，由于以下原因，需要对其进行修补。实际回报和预期回报通常有很大不同。因此，实现的夏普比率和预期夏普比率通常也存在很大差异。由于这个原因，这种情况正在恶化≥ Sminis不切实际，因为对I的限制更为严格，因为这种情况告诉我们ep\'不能为正，而要想为正，Elip必须更低。最后，人们对不确定容量I感兴趣*, 使优化损益最大化。已实现的夏普比t这里没有设置已实现的Smin的自然方法，即已实现夏普比的下限。然而，与Shar-pe比率不同，投资组合风险R更稳定，替换条件S是有意义的≥ 斯敏比R≤ Rmax。

也就是说，现在有以下优化问题：P→ 麦克斯，R≤ Rmax，其中R上的条件现在可以被视为ExpectedDisk上的条件。令人高兴的是，后一个优化问题的实际解决方案与第5、6和7节中讨论的相同，现在我们指定了风险的上限，而不是夏普比率的下限。这同样适用于我们在第3.3小节中的讨论。我们上面的一个要点是，对alpha流使用因子模型可以大大减少优化问题中的迭代次数，并且渲染器实际上是可处理的。使用构造的协方差矩阵，而不是基于lpha时间序列计算的协方差矩阵，还有一个优点，即由于因子协方差矩阵不是使用同一时间序列计算的，因此因子模型协方差矩阵在样本外更稳定。此外，计算出的协方差矩阵中非零特征值的数量是有限的<< N（其中M+1是观察的数量——见第2节），即风险因素的数量（基本上基于计算协方差矩阵的主成分）限制为M，而构建的因子模型协方差矩阵可以包含更多的风险因素，只要基于稳定数据构建因子协方差矩阵Φabi。阿尔法流的因子模型在[60]中有更详细的讨论。参考文献[1]T.Schneeweis，R.Spurgin和D.McCarthy，“商品交易顾问绩效中的幸存者偏见”，J.Futures Markets，1996，16（7），757-77 2。[2] C.Ackerman，R.McEnally和D.Revenscraft，“对冲基金的绩效：风险、回报和激励”，《金融杂志》，1999年，54（3），833-874。[3] S.J.Brown、W.Goetzmann和R.G.Ibbotson，“离岸对冲基金：生存与绩效，1989-1995年”，《商业杂志》，1999年，第72（1）页，第91-117页。[4] F.R。

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