关于Alpha流优化的注记

2022-5-6 07:08:21

阿尔法流优化注释Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯戴维·阿格马什内贝利巷，0159，佐治亚州（2014年6月4日；修订日期：2015年3月18日）摘要在这些说明中，我们讨论了在同一执行平台上跨多个alpha流程的投资分配，包括交易在内部交叉导致营业额减少的情况。我们讨论了alphaweight优化的方法，即根据波动率（或夏普比率）的界限最大化损益。当alpha流在同一执行平台上交易时，允许出现负alpha权重，这使优化问题变得复杂。通过对α-协方差矩阵使用因子模型方法，原始优化问题可以被视为一维根搜索问题加上需要无数次迭代的优化问题。我们讨论了这种方法，没有成本，有线性成本，也有一定近似下的非线性成本，这使得分配问题在不放弃非线性投资组合能力约束影响的情况下易于处理。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。

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2022-5-6 07:08:24

特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic So Solutions LL C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结如今，技术允许在同一个交易平台上组合大量对冲基金alpha Stream。这不仅产生了多样化，还通过在不同的阿尔法流之间交叉交易降低了交易成本。给定一组alpha流，必须决定如何将资金分配到这些alpha流中，也就是说，将它们组合起来的权重。这是增长和谨慎之间的一个老问题——是将损益最大化，还是将波动性最小化，是在两者之间做些什么，还是简单地将差异分割并最大化夏普比率？这完全取决于一个人的风险承受能力。例如，o necould说，我想最大化我的P&L，但我也希望我的波动性被限制，或者夏普比率从下面被限制，等等。这些注释的目的是讨论优化alphastreams权重的方面。当我们有大量的αi时，这种优化是anN维问题，并不总是有一个简单的解。解决这个问题的一种方法是，通过考虑固定波动率或夏普比率的最大化损益，或固定损益的最大化（最小化）夏普比率（波动率）的简单问题，尝试从本质上将其简化为一维问题，然后尝试使用标准搜索技术找到理想的配置。这在某些情况下有效，但并不总是如此。

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2022-5-6 07:08:27

一个问题是，当lpha流在同一个交易平台上进行组合时，一些权重可能为负——这与lpha流在各自的交易平台上进行交易的情况形成对比，即基金类型的情况，其中权重为非负。由于权重标准化条件readsnxi=1 | wi |=1（1），这种条件下的模量是头痛的根源。此外，当不同字母之间的交易发生交叉时，由此产生的投资组合收益率超过了预期（与没有内部交叉的情况相比），这进一步增加了问题的复杂性。在[5 7]中，我们讨论了在线性成本存在的情况下，通过夏普比率最大化进行阿尔法流优化。这里，因为夏普比在重定标wi下是不变量的→ λwi，条件（1）不影响任何东西，因为通过找到一个没有这种约束的解，然后简单地重新缩放它们满足的所有wi（1），条件（1）就“微不足道地”满足了。如果没有最大化Sharpe比率，但采用了更复杂的优化标准，则失去了标度变化，（1）导致目标函数最小化的复杂性，类似于[57]中讨论的，但更复杂。有关对冲基金文献的部分列表，请参见[1]-[20]及其参考文献。有关最近的讨论，请参见[21]。有关投资组合优化和相关文献的部分列表，请参见[22]-[56]及其参考文献。更准确地说，这是没有成本或仅线性成本的情况。我们的主要观察结果之一是，如果阿尔法协方差矩阵是一种因子模型形式，那么可以通过有限的迭代程序找到一个最优的损益和市盈率/波动率的实际有趣范围。在第2节中，我们设置了我们的not。

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2022-5-6 07:08:30

在第3节中，我们讨论了对角协方差矩阵的情况，其中不存在上述模问题。我们在第3.1小节中讨论了一种松弛算法，用于寻找准最优权重（当α的数量较大时，通常预期其接近最优解）。在第3.2节中，我们讨论了当P&L最大化而夏普比率固定时，确定权重的算法。在第3.3小节中，我们讨论了在损益固定的情况下使波动性最小化（夏普比率最大化）的解决方案。在第4节中，我们讨论了非对角共变矩阵ix的情况和一个技巧，其中必须通过利用合成可转换组合有效地对角化它。然后，pr问题简化为一个迭代过程，需要求解有效投资水平的f。然而，这个过程通常会有收敛问题，这些问题被对角化技巧所掩盖。因此，在第5节中，我们讨论了如何在原始wibasis中直接解决该问题，而不必对协方差矩阵进行对角化，并讨论了在P&L固定的情况下最小化波动性的问题，该问题可以通过假设协方差矩阵的多因子形式的有限迭代程序来解决。更准确地说，这是实际有趣的损益范围的情况，高于其对应于Sha r pe比率最大值的值。然后，我们将这种方法推广到第6节中的线性成本，以及第7节中的非线性成本（影响）。在后一种情况下，我们使用[57]中讨论的近似值。第8节以一些观察和评论来结束本文。2定义我们有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、这是最近的一次。低于αi指αi（t）。设Cijbe为N个时间序列αi（ts）的协方差矩阵。

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能者818

2022-5-6 07:08:33

设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（2），其中ψii=1。Alphasαi与权重相结合，比如nxi=1 | wi |=1（3）。更准确地说，这是一种没有成本或线性成本的情况，并且在某种近似下存在非线性成本。在这里，模数说明了这样一个事实：当阿尔法在同一个阅读平台上组合时，如果共变矩阵Cijis不是对角的，即使所有阿尔法都是正的，一些权重也可能是负的。首先，我们将忽略交易成本。投资组合损益、波动率和夏普率由P=INXi=1αiwi（4）R=IvuutNXi，j=1Cijwiwj（5）S=PR（6）给出，其中I是投资水平。我们的目标是找到WICHP的集合→ max（7）S≥ Smin（8）对于给定的夏普比下界Smin。在实践中，我们可以通过以下方式来解决这个问题。首先，我们可以从可能的最大P&L开始——这意味着除对应于最大α的权重外，所有权重都为零——通过逐渐降低P&L，直到（8）满足为止，找到一种放松。其次，我们可以解决一个简单的问题P→ S=S固定值的最大值*, 然后使用基于S的离散值集的标准搜索算法*在期望的精度范围内。第三，我们可以解决另一个简单的问题→ max表示P的固定值，然后使用基于P的离散值集的标准搜索算法，在所需精度范围内。也就是说，基本思想是将大的N维问题简化为一维搜索算法。在某些情况下，这种方法确实有效。3对角线情况当CIJI不是对角线时，即使所有字母都是正数，一些权重也可能是负数。（3）中的模数使事情变得复杂。然而，如果Cijis diago nal，Cij=σiδij，那么，假设所有αi≥ 0（我们可以在不丧失通用性的情况下实现），所有wi≥ 也一样。我们的优化问题简化如下。

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2022-5-6 07:08:37

Letbαi≡ νiαi（9）bwi≡ σiwi（10）νi≡ 1/σi（11）在实践中，可能需要重申这一标准——见第8节。这是因为与ne gative wl与w符号的配置相比，sa和更低的P&L是否具有相同的波动性l飞来飞去。然后我们有p=INXi=1bαibwi（12）R=IvuutNXi=1bwi（13），现在的优化问题是（7）和（8）主题toNXi=1νibwi=1（14）bwi≥ 0（15）和所有bαi≥ 下面我们讨论一个简单的松弛算法，用于最大化S=S的P&L*.3.1准最优权重我们可以在如下准最优解中得出。回想一下，所有的bα都是非负的。首先，让我们给alphas加上标签，使得α=max（αi，i=1，…，N）。很明显，当除bw以外的所有BWIVINISH时，P最大化。如果有这种情况≥ s*如果满足，则这是最佳解决方案。然而，如果不满足，则我们需要牺牲损益，以便通过允许bw、bw等增加夏普比率S，直到（8）满足，其中bα排序如下。3.1.1每个子项的排序字母WI>0，i=1，K（16）bwi=0，i=K+1，N（17）夏普比由（回想一下bαi）给出≥ 0）S（K）=PKi=1bαibwiqPKi=1bwi（18）我们想要找到bwi，i=1，根据（14）：KXi=1νibwi=1（19）这种排序是一种松弛算法：我们从最大imal P&L开始，将所有投资分配到α中，并在每个连续步骤中添加一个阿尔法S，当分配权重以最大化夏普比时，P&L最大化，直到我们达到界S*.让我们导出一个拉格朗日乘数u：eS（K）=S（K）+uKXi=1νibwi- 1.（20）然后，根据（19）使S（K）最大的Bwith的解由下式给出：eS（K） bwi=0（21）eS（K）u=0（22）。u方程给出（19）。bwi方程给出bwi=γbαi+βνi，i=1。

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2022-5-6 07:08:40

，K（23）γ=PKi=1bwiPKi=1bαibwi（24）β=uγKXi=1bwi！（25）将（23）插入（24），我们有两种解决方案，β=-γPKi=1αiνi/PKi=1νi，a和β=0。然而，前者将简化为PKi=1νibwi=0，因此我们有以下唯一的解决方案，其中β=0和u=0:bwi=γbαi（26）γ=PKi=1νibαi（27），其中γ用（19）固定。等式（12）中相应的P&L由我们使用（9）的P（K）I=PKi=1bαiPKi=1νibαI=PKi=1νIαiPKi=1νIαI（28）给出。在本子小节的其余部分中，使用与bαi相反的原始αi将更方便。让我们对αi进行排序，使P（K）对于每个K最大。也就是说，对于K=1，我们有α，使P（1）最大化（这意味着α=max（αi，i=1…，N）），对于K=2，我们有α和α，其中α固定在K=1，如上所述，α是使P（2）最大化，等等，P（K）是K的单调递减函数。要看到这一点，让αi，i=1，K+2按上述方式排序（即，在每个K处P&L P（K）最大化），并且≡KXi=1νiαi（29）b≡KXi=1νiαi（30）x≡ αK+1（31）y≡ αK+2（32）u≡ νK+1（33）v≡ νK+2（34）在不丧失一般性的情况下，我们假设所有αi都是不同的，所有的νi都是独立的，i=1，K+2。如上所述，设：P（K）对应于Kαi，i=1，KP（K+1）对应于K+1αi，i=1，K+1；P（K+2）对应于K+2αi，i=1，K+2。同样，让P′（K+1）对应于toK+1α′i，i=1，K+1，其中α′i=αifor i=1，K、 α′K+1=αK+2。根据定义，我们有P（K+1）>P′（K+1）（35）这意味着ux+vyb+UX> bux+vy（a+ux）（36）现在假设P（K+2）>P（K+1），这意味着我们将有x>ba（38）和P（K+1）-P（K）=b+uxa+ux-ba=ux（ax- b） a（a+ux）>0（39），即P（K）<P（K+1）<P（K+2），P（K）必须随K单调增加。

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2022-5-6 07:08:43

然而，这是不可能的，因为P（2）<P（1）：P（2）- P（1）=ναα- ανα+να<0（40）为α=max（αi，i=1…，N）。这意味着f或no K可以P（K+2）>P（K+1），且P（K）随着K.3.1.2计算权重的单调减少，且具有上述bαi的顺序，对于每个大于0，i=1，K（41）bwi=0，i=K+1，N（42）当（见上文）bwi=γbαi，i=1，…，夏普比最大化，K（43），其中γ>0是一个常数。相应的夏普比由（K）=VuTkxi=1bαi（44）给出。等式（12）中相应的P&L由P（K）i=PKi=1bαiPKi=1νibαi（45）给出。如上所述，我们对bα进行排序，使得P（K）对于每个K最大化。也就是说，对于K=1，我们有bα，使得P（1）最大化，对于K=2，我们有bα和bα，其中bα固定在K=1，如上所示，bα使P（2）最大化，等等，通过这种排序，P（K）是K的单调递减函数*就是这样*- 1） <S*（46）S（K）*) ≥ s*（47）然后是一个准最优解（见下文），对于它，我们有S=S*, 由bwi=γbαi，i=1，K*- 1（48）bwK*= γηbαK*（49）bwi=0，i=K*+ 1.N（50），其中γ将通过（14）固定，0<η≤ 1由以下要求确定：对于这些权重，S=S*:主键*-1i=1bαi+ηbαK*qPK*-1i=1bαi+ηbαK*= s*（51）给出η=eS-eSeS*量化宽松-锿*锿*- 1（52）式（51）有两个根，正确的根由0<η的要求确定≤ 1.在哪里≡ S（K）*- 1） /bαK*（53）eS≡ S（K）*)/bαK*（54）eS*≡ s*/bαK*（55）S=S+1（56）注意，如果S*= S（K）*).上述解不一定是最优解的原因是P（K）取决于bαi的顺序——我们在每一步K的顺序都是如此→ K+1 P&L P（K+1）最大化，但这并不保证没有其他订单具有相同的夏普比S*（或更高）无法实现更高的损益，因为损益可能取决于路径。

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2022-5-6 07:08:46

对于大N，这种路径依赖性预计会被抑制。在接下来的两小节中，我们将讨论构造最优解的两种方法。3.2最佳权重在本小节中，我们讨论夏普比率固定时最大化损益的问题：S=S*. 我们有S=PNi=1bαibwiqPNi=1bwi（57）条件S=S*可以写成bwtΘbw=0（58），其中Θij≡ bαibαj- s*δij（59）矩阵Θij具有以下特征值结构：Θφ=θ*φ（60）Θχ（A）=θ′χ（A），A=1，N- 1（61）其中特征向量φ和χ（A）以及特征值θ*θ′由φi=bαia（62）NXi=1χ（A）iφi=0（63）θ给出*= A.- s*(64)θ′= -s*（65）更准确地说，对于通用阿尔法配置，预计情况会如此。安达≡vUtnxi=1bαi（66）特征向量χ（A）与特征向量φ正交。在f-act中，我们假设它们是正交的：NXi=1χ（A）iχ（B）i=δAB（67），其中A，B=1，N- 1.注意φ具有上文定义的范数1。注意，N个特征向量φ和χ（A）构成了N个向量的完整线性独立集。因此，最优解bwi可以写成bwi=γφi+N-1XA=1βAχ（A）i！（68）式中，γ和βA，A=1，N- 1是我们必须确定的未知系数。P&L（12）、夏普比率条件（58）和权重归一化条件（14）现在改为：PI=aγ（69）N-1XA=1βA=r（70）γeφ+N-1XA=1βAeχA！=1（71）φi+N-1XA=1βAχ（A）i≥ 0，i=1，N（72），其中最后一个条件来自最优解bwi的要求≥ 因为所有的bαi≥ 0，安德烈≡ -θ*θ′=aS*- 1（73）eφ≡NXi=1νiφi（74）eχA≡NXi=1νiχ（A）i（75）注意Smax=A，bwi=bαi/PNj=1νjbαjs=Smax。下面我们假设*< Smax。所以，我们的优化问题现在被简化为最大化γ（70），（71）和（72）。也就是说，我们的优化问题现在是：Y≡N-1XA=1βAeχA→ min（76）N-1XA=1βA=r（77）φi+N-1XA=1βAχ（A）i≥ 0，i=1。

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2022-5-6 07:08:50

N（78）这个优化问题可以如下解决。注意，β在一个（N-2） -半径为r的球体，因此（76）中的和从下方和上方都有边界。此外，请注意，在不丧失一般性的情况下，我们可以始终假定eχ是以下标准形式：eχ≡ κ>0（79）eχA=0，A=2，N- 1（80）我们总是可以使用SO（N）将χ（A）和βA旋转到上述形式-1）旋转（Y不变）：χ（A）i→N-1XB=1abχ（B）i，A=1，N- 1（81）eχA→N-1XB=1abeχB，A=1，N-1（82）βA→N-1XB=1abβB，A=1，N-1（83）N-1XC=1UACUBC=δAB，A，B=1，N- 1（84）和eχ的符号总是可以通过适当调整向量χ（A）i的符号来设置，如果需要的话。在上面的基础上，我们得到y=κβ（85），它的最大值出现在β=r（北极）上（N- 2） -球体），其最小值出现在β=-（N）上的“南极”- 2） -球体）。如果β=-满足约束条件（72），则这对应于最优解。然而，约束条件（72）可能无法满足。根据第3.1小节的准最优解，我们知道，bwi的解≥ 0，夏普比率等于*存在，即存在βAon的值（N-2） -球体（70），使（7 2）满足要求。然而，这可能不是最佳解决方案。因此，最优解位于一条路径上，与（N）上的点相连的β减小- 2）对应于拟最优解和南极的球面。（请注意，网络上的所有路径-2） -球体在拓扑上是等效的。）因此，我们需要确定这一点对应的最优解。解决这个问题的一种方法是通过利用剩余的SO（N）来减少βAto的数量- 2）旋转对称。如果是最优解-r<β<r，那么至少有一个βA，A=2，N- 1必须为非零。

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2022-5-6 07:08:54

在不丧失普遍性的情况下，我们总是可以假设βA具有以下标准形式：βA=0，A=3，N- 1（86）我们总是可以旋转χ（A）和βA，A=2，N-1转化为上述标准形式，使用SO（N-2）旋转（eχA=0，A=2，…，N-1 ar e不变量）：χ（A）i→N-1XB=2U′ABχ（B）i，A=2，N- 1（87）βA→N-1XB=2U′ABβB，A=2，N-1（88）N-1XC=2U′ACU′BC=δAB，A，B=2，N- 所以我们有：φi+βχ（1）i+βχ（2）i≥ 0，i=1，N（90）β+β=r（91）同样，由于φi和χ（A）i，A=1，N- 1形成一个完整的n向量的正规集，存在系数c和dA，a=1，N- 1使得cφi+XA=1dAχ（A）i=νi，i=1，N（92）然而，请注意，虽然我们可以自由选择χ（A）i的任何基础，但假设上述标准形式意味着χ（2）i现在未知，必须根据选择来确定。也就是说，我们不是选择χ（A）并试图确定βA，而是将上述标准格式中的βA限制为必须确定χ（2）I的费用，这意味着c=eφ（93）d=κ（94）dA=0，A=2，N- 1（95）χ（1）i=κνi-eφφi（96）κ=eν-eφ（97）式中≡NXi=1νi（98）我们有以下约束条件：χ（2）i≥ -κpr- ββνi+hκ- βeφiφi（99）在不丧失一般性的情况下，我们假设β>0。（我们将在下面讨论β<0情况。）只有四个先验条件（即eχ=0条件加上相关的正交性条件）使得约束（99）必须与下列条件兼容：NXi=1νiχ（2）i=0（100）NXi=1φiχ（2）i=0（101）NXi=1χ（1）iχ（2）i=0（102）NXi=1hχ（2）ii=1（103），因为（96），（102）跟在m（100）和（101）后面。此外，（101）自动与（99）兼容。（100）和（99）的一个非平凡条件是（99）的两边乘以νi，然后求和i=1。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:08:57

N:eνβ+eφhκ- βeφi≥ 0（104）表示β≥ β*≡ -eφκ（105）考虑到β≥ -r、满足该条件≥ eνr1-s*a（106）如果不满足该条件，则β>-满足（72）的最优解位于远离南极的地方。注意，（106）是β=-r、因此，我们的优化问题被简化为寻找β的最低值，从而存在一个N向量χ（2），使得（99）、（100）、（101）和（103）满足。假设β≥ β*, 约束条件（99）可能与进一步约束β的约束条件（103）不兼容。对于给定的β，设T+和T-是指数i=1，…，的值的子集，N使得φi<-βκ - βeφνi，i∈ T+（107）φi≥ -βκ - βeφνi，i∈ T-（108）那么对于i，我们有χ（2）i>0∈ 对于这种β，T+和（103）可能是或不可能达到的。在下文中，我们将处理T+和T-作为长度为N+和N的向量-（N++N-= N），对我来说∈ T-我们将使用映射i=T-a、其中a=1，N-.我们可以如下构造χ（2）：χ（2）i=-θiκpr- ββνi+hκ- βeφiφi, 我∈ T+（109）θi≥ 1.我∈ T+（110）Xi∈T+hχ（2）ii≡eζ（111）Xi∈T+νiχ（2）i≡ -eχ（112）Xi∈T+χ（2）iφi≡ -eξ（113）χ-A.≡ χ（2）i，i=T-a、 a=1，N-（114）~na≡ φi，i=T-a、 a=1，N-（115）ωa≡ νi，i=T-a、 a=1，N-（116）N--向量χ-ais的约束条件如下：N-Xa=1ωaχ-a=eχ（117）N-Xa=1χ-a~na=eξ（118）N-Xa=1χ-A.= 1.-eζ（119）向量χ-acan始终可以分解如下：χ-a=c-~na+d-ωa+bχ-a（120）c-≡eλeξ- e~neχeσeλ- e~n（121）d-≡eσeχ- e~neξeσeλ- e~n（122）其中eσ≡N-Xa=1аa（123）eа≡N-Xa=1ωaаa（124）eλ≡N-Xa=1ωa（125），N--向量bχ-是这样吗-Xa=1bχ-aωa=0（126）N-Xa=1bχ-a~na=0（127）与此反编译（119）readsN-Xa=1bχ-A.= 1.-eζ-g（eχ，eξ）eσeλ- e~n（128）g（x，x）≡ eσx+eλx- 2 e~nxx（129）注意eσ=Xi∈T-φi=Pi∈T-bαiPNi=1bαi≤ 1（130）e~neσ=圆周率∈T-νibαi圆周率∈T-bαi<eλ=Xi∈T-νi（131），其中我们假设bαi，i∈ T-不都是一样的，而νi，i∈ T-不属于任何身份。

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2022-5-6 07:09:00

此外，请注意，当θi≡ 1.我∈ T+，而如果我们乘以θi，则eζ随着β的减小而增加（假设β<0）。最后，求出2×2曲率矩阵的奇异值g（x，x）xpxq，p，q=1，2（132）由g±=eλ+eσ±r给出eλ- eσ+ 4 e！（133）和都是正的，考虑到e~n<eσeλ。这意味着当θi时，（128）的r.h.s.最大≡ 1.我∈ T+。因此，当θi时，上述构造提供了与最优（即最小）β相关的χ（2）i≡ 1.我∈ T+和bχ-A.≡ 0，a=1，N-:χ（2）i=-κpr- ββνi+hκ- βeφiφi, 我∈ T+（134）χ（2）i=c-φi+d-我，我∈ T-（135）eζ+g（eχ，eξ）eσeλ- e~n=1（136）最后一个方程式（136）用于确定β的光学值。实际上，需要使用迭代程序从（136）中确定β，因为et+和T-依赖于β。实现这种迭代过程的一种方法是使用上一小节的准最优解。让子≡ B如果是那样的话。然后是相应的β值≡bβ由（由（69）、（71）、（79）和（80）得出）bβ=1给出-eφPNi=1ziφiκPNi=1ziφi（137）我们现在可以搜索bβ和β之间的β值*, e、例如，使用标准算法，例如连续测试中点，直到（136）的l.h.s.以所需精度从下方接近1。上面我们假设β>0。如果我们假设β<0，那么我们得到的不是（99）而是：χ（2）i≤κpr- ββνi+hκ- βeφiφi（138）除了现在的χ（2）i，i之外，上述讨论是通过未更改的方式进行的∈ T+都是负数。最后，i的权重bwi=0∈ T+，而我∈ T-它们由BWI提供=1.-βκeφ+pr- βc-φi+βκ+pr- βd-νieφ+βκ（139）从对称性考虑，非零bwi的形式bwi=eφi+fνi（其中e和f是系数）并不令人惊讶：φi和νi是唯一可以作为构建块使用的向量。

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2022-5-6 07:09:03

然而，重要的是T+和T的定义-, i、 e.，它正在消失。3.3替代构造我们可以用不同的方式构造上述最优解。与直接最大化损益不同，我们可以i）首先最小化损益固定值下的波动率R（即最大化夏比），然后确定P，使S=S*. 即，在第一步中，我们解决以下问题：PI=NXi=1bαibwi≡eP=固定（140）RI=VuTutnxi=1bwi→ 最小（141）NXi=1νibwi=1（142）bwi≥ 0，i=1，N（143）这个问题可以表述如下：g（bw，u，eu）≡NXi=1bwi+uNXi=1νibwi- 1!+ euNXi=1bαibwi-eP！（144）克（bw，u，eu）→ min（145）bwi≥ 0，i=1，N（146），其中u和eu是拉格朗日乘数，即目标函数g（bw，u，eu）是最小化的w.r.t.bwi，u和eu。解决方案如下。首先，让我们按降序对αi（而不是bαi）进行排序（回想一下bαi=νiαi），即α=ma x（αi，i=1，…，N）。Thenbwi=eνeP- A.bαi-aeP- Bνieνb- a、 i=1，K（147）bwi=0，i=K+1，N（148）a≡KXi=1νibαi（149）b≡KXi=1bαi（150）eν≡KXi=1νi（151）bαi>aeP- 保持冷静- aνi，i=1，K（152），其中最不利条件决定了K，即K是第一个Kalphaαi（按降序排序）的最大数量，即（152），相当于αi>aeP- 保持冷静- a、 i=1，K（153）是满意的。注意eνb>a（假设bα和νi不相同）。还有，eP≤ α、我们可以假设大于0。最后，请注意EP=b/a对应于S=Smax≡vUtnxi=1bαi（154）实际上，在这种情况下，我们有bwi=bαi/a（并且所有的bwi都是非消失的，除非某些bαi=0）。因此，我们可以假设EP≥ b/a，因为如果我们考虑lowereP，我们有一个具有更高Sharpe比率和更高P&L的解，因此搜索可以被限制为b/a<eP<α。使用上述算法，我们可以为任何给定的NEP构造BWIF。

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2022-5-6 07:09:07

然后我们可以确定s=s对应的重量s*使用一种标准算法，如成功测试EP连续值（α和b/a之间）之间的中点，夏普比S接近S*以期望的精度。当协方差矩阵为非对角矩阵时，由于（3）中的模，情况更加复杂。我们仍然可以通过下面的技巧进入对角线。设V（a）ibe N与cij的特征值λ（a）对应的右特征向量，a=1，N:cv（a）=λ（a）V（a）（155），在a上没有求和。因为C是对称的，所以可以选择V（a）作为正常值：NXi=1V（a）iV（b）i=δab（156），我们假设是这种情况。我们还将假设所有λ（a）>0，即正定义。此外，我们将假设与其他特征值相比，没有一个特征值λ（a）是“非常小的”。现在考虑N∏（a），a=1，N、重量sw（a）i=V（a）iPNj=1V（a）j（157）注意nxi=1w（a）i= 1（158）由于我们假设所有Alpha都在同一执行平台上交易，所以Portfolios∏（a）是可交易的。此外，这些portfoliosis的协方差矩阵为：Cab≡α（a），α（b）=λ（a）PNj=1V（a）jδab（159）对应的α由α（a）给出≡PNj=1V（a）jNXi=1V（a）iαi（160），可以假设为非负——如果任何α（a）为负，我们可以通过在相应的综合投资组合中反映权重的符号，使其为正。现在我们可以继续解决这些合成阿尔法的选择限制问题，就像我们在上一节所做的那样。

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能者818

2022-5-6 07:09:10

然而，需要注意的是，如果我们将I美元投资于这些合成α（a）的组合中，由于α的“净额结算”，它并不对应于将I美元投资于基础α。在[58]basedon[59]中讨论了一种制作协方差矩阵正确性定义的简单方法。也就是说，这些特征值中没有一个会因机器精度而失真，如果M<N（其中M+1是α时间序列中的观测次数，请参见第2节），情况就是如此。不要与潜在交易的“净额结算”相混淆。各种投资组合中的权重都有相反的迹象。因此，在优化问题中，在纸上，我们需要在合成αsα（a）中投入一些先验未知的“合成”量I′，以在真实αsαI中获得期望的实际投入I。然后，这个量I′必须通过n个迭代过程来确定。然而，对于一般的CIJ来说，这个迭代过程可能会遇到稳定性问题。这是因为优化现在有效地变成了二维。在这方面，通过直接处理（3）中的模来解决这个问题比试图通过对角化来绕过它更简单。我们将在下一节讨论这种方法。5最佳权重我们将遵循第3.3小节的框架，i）首先最小化P&L P固定值的波动率R（即最大化夏普比率S），然后ii）确定P，使S=S*. 第二步很简单。在第一步中，我们解决了以下问题：PI=NXi=1αiwi≡eP=fixed（161）RI=vuTutnxi，j=1Cijwiwj≡呃→ min（162）subject toNXi=1 | wi |=1（163），其中ciji是任意的，但在不丧失通用性的情况下（见下文），我们将假定其为正定义。

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2022-5-6 07:09:13

这个问题可以表述为：g（w，u，eu）≡NXi，j=1Cijwiwj++uNXi=1 | wi |- 1!+ euNXi=1αiwi-eP！→ min（164），其中u和eu是拉格朗日乘数，即目标函数g（w，u，eu）是最小化的w.r.t.wi，u和eu。使问题复杂化的是wi的模数。这个问题仍然可以解决，尽管它需要一个有限的迭代过程，也就是说，该解决方案是精确的，并且是在有限的迭代次数后得到的。第二步是一维寻根问题。更准确地说，对于u，最佳值是唯一的≥ 0–见下文。设J和J′是指数i=1的子集，N因此6=0，i∈ J（165）wi=0，i∈ J′（166）Letηi≡ 签字（wi），我∈ J（167）注意，由于模量有一个不连续的导数，最小化方程与将g（w，u，eu）的第一个导数设置为零不同。更具体地说，第一衍生产品是为i∈ J、但对我来说不是∈ J′。我们有以下关于wi的最小化方程，i∈ J:Xj∈JCijwj+uηi+euαi=0，i∈ J（168）Xi∈J | wi |=1（169）Xi∈Jαiwi=eP（170），其中u和eu由（169）和（170）确定。与方向i相对应的全局最小值还有其他条件∈ J′：NXi，J=1Cij（wi+i）（wj+J）≥Xi，j∈JCijwiwj（171）NXi=1 | wi+i |=1（172）NXi=1αi（wi+i）=eP（173），其中wi，i∈ J用（168）确定，而wi=0，i∈ J′。必须满足条件（171），包括（172）和（173）项下的任意最小值。对于极小的情况，这些条件可以改写为：∈JCijwij+Xi∈JXj∈J′CijwiJ≥ 0（174）Xi∈Jηii+Xi∈J′i|=0（175）Xi∈Jαii+Xi∈J′αii=0（176），因为这里的i被认为是极小值，所以这些是局部极小值的条件。

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2022-5-6 07:09:16

全球最低条件见第5.5小节。考虑到（168），这降低了toXj∈Xi∈JCijwij+u|j |+euαjj！≥ 0（177）自j，j∈ J′是任意的，这给出了以下条件：J∈ J′：euαj+Xi∈JCijwi≤ u（178）这些条件必须通过（168）、（16 9）和（170）的溶液来满足。（局部）使g（w，u，eu）最小化的解由（用矩阵表示法）w=-uDη- euDα（179）u=eP（αTDη）-（αTDα）（αTDα）（ηTDη）- （αTDη）（180）eu=（αTDη）-eP（ηTDη）（αTDα）（ηTDη）- （αTDη）（181）这里假设所有（合约和自由）指数都超过i∈ J、例如，wi=-uXj∈JDijηj- euXj∈JDijαj，i∈ J（182）和D是N（J）×N（J）矩阵Cij，i，J的逆矩阵∈ J、其中N（J）≡|J |是J:Xk的元素数∈JCikDkj=δij，i，j∈ J（183）即D不是N×N矩阵Cij，i，J的逆的限制∈ 1.N toi，j∈ J.下面的观察是正确的。在上述解中，我们先验地不知道i）子集J′是什么，ii）ηi的值是什么∈ 这意味着我们有3种可能的组合（包括冗余的空J情况），所以如果我们通过这个有限的集合，我们将精确地解决问题。然而，3是一个令人望而却步的数字，因此需要更聪明的方法来解决这个问题。我们假设N itse lf很大。我们需要迭代，因为这个项与μin（182）成比例。假设u=0。那么对于一般阿尔法配置，J′为空，D=C-1，解为w=（αTC）-1η)-1C-1α带EP=（αTC-1α）/（αTC-1η），这与S的溶液有关→ S=Smax时的最大值=√αTC-1α.

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2022-5-6 07:09:19

我们将在第5.3小节的因子模型协方差矩阵中更详细地讨论这种情况。5.1因素模型[5 7]中指出，在线性成本优化的背景下，减少此类问题迭代次数的方法是减少Cij的“对角性”。这可以通过考虑Alpha的因子模型来实现。与股票多因素风险模型的情况一样，不是N alphas，而是一笔交易F<< N风险因素和协方差矩阵Cijis由Γij代替，由Γ给出≡ Ξ + Ohm Φ OhmT≡ Ξ+eOhmEOhmT（184）Ξij≡ ξiδij（185）eΦeΦT=Φ（186），其中ξi是每个αi的特定风险；OhmIa是一个N×F因子loadings矩阵；EOhm ≡ OhmeΦ；ΦAbi是因子协方差矩阵，A，B=1，FandeΦAbi是ΦAB的Holesky分解，假设为正定义。也就是说，与N个α相关的随机过程ΥI通过N个随机过程zi（对应于特定风险）和F个随机过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=zi+FXA=1OhmiAfA（187）hzi，zji=Ξij（188）hzi，fAi=0（189）hfA，fBi=ΦAB（190）hΥi，Υji=Γij（191），而不是N×N协方差矩阵ix，我们现在有一个F×F协方差矩阵ΦAB。在下面，我们假设cijh是因子模型形式Γij。5.2优化与因子模型在这个框架中，问题归结为求解（F+2）维系统，如下所示。首先，莱塔≡NXi=1wieOhmiA=Xi∈JwieOhmiA，A=1，F（192）那么从（168）我们有：-ξiuηi+euαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（193）在这里，我们简单地假设协方差矩阵的因子模型形式，而不深入研究它是如何构造的。回想一下wiηi>0∈ J、假设≥ 0（见下文），我们得到ηi=-符号uαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（194）我∈ J:euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦> u (195)我∈ J′：euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦≤ u（196），其中（195）从（193）开始，而（196）从（178）开始。

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2022-5-6 07:09:22

前两个不等式定义了（F+2）未知量vA、u和eu的J和J′。在本小节的其余部分中，我们假设：≥ 0.我们在第5.4小节中讨论u<0情况。将（19 3）代入（192）、（169）和（170），我们得到（F+2）未知数vA、u和eu的（F+2）方程组：FXB=1QABvB+aAu+bAeu=0（197）FXA=1aAvA+cu+d eu=-1（198）FXA=1bAvA+du+eu=-eP（199）其中QAB≡ δAB+Xi∈日本脑炎Ohm依斯克拉OhmiBξi（200）aA≡xi∈JηieOhmiAξi（201）bA≡xi∈JαieOhmiAξi（202）c≡xi∈Jξi（203）d≡xi∈Jαiηiξi（204）e≡xi∈Jαiξi（205）qab，a，b=1，（F+2）是以下对称的（F+2）×（F+2）matr ix:eQAB≡ QAB（206）eQA（F+1）=eQ（F+1），A≡ aA（207）eQA，（F+2）=eQ（F+2），A≡ bA（208）等式（F+1），（F+1）≡ c（209）等式（F+1），（F+2）=等式（F+2），（F+1）≡ d（210）等式（F+2），（F+2）≡ e（211）同样，让xa和ya，a=1，（F+2）是以下（F+2）-向量：xA≡ vA（212）xF+1≡ u（213）xF+2≡ eu（214）yA=0（215）yF+1=-1（216）yF+2=-eP（217）那么我们有xA=F+2Xb=1bQabyb（218），其中bQab是矩阵的逆toeQab:bQ≡情商-1.注意，（218）求解给定ηi，J a和J′的vA，u和eu。另一方面，（194）、（195）和（196）根据vA、u和eu确定ηi、J和J′。然后对整个系统进行迭代求解，在初始迭代中，取J（0）={1，…，N}，因此J′（0）为空，η（0）i=±1，i=1，N（219）而η（0）的值可以是任意的，除非F<< N、在某些情况下，可能会遇到收敛问题。然而，如果选择η（0）i=sign（αi），i=1，N（220）那么迭代过程通常会收敛得相当快。此外，请注意，该解决方案实际上是精确的，即收敛标准由给出（根据第5.5小节，我们有u的收敛标准）≥ 这就产生了全局最优解J（s+1）=J（s）（221）我∈ J（s+1）：η（s+1）i=η（s）i（222）u（s+1）=u（s）（223）eu（s+1）=eu（s）（224）A.∈ {1, . . .

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2022-5-6 07:09:25

，F}:v（s+1）A=v（s）A（225），其中s和s+1标记连续迭代。换句话说，迭代过程是有限的——它在有限的迭代次数中收敛。最后，请注意WII∈ Jare由（193）给出，而wi=0表示i∈ J′.5.3u=0例从上一小节我们得到了u=edeP- eeec ee-ed（226）eu=ed- ecePec ee-ed（227）0<eR=2g（wi，u，eu）|最佳=-u - eueP=eceP- 2edeP+eeec-ee-ed（228）其中≡ C- aTQ-1a=Xi，j∈JC-1ijηiηj>0（229）ed≡ D-bTQ-1a=Xi，j∈JC-1ijαiηj（230）ee≡ E- bTQ-1b=Xi，j∈JC-1ijαiαj>0（231）C-1ij=ξiδij-FXA，B=1eOhmiAξieOhmiBξjQ-1AB（232）和Q-1与QAB相反。注意，如果≥ 0，则eu<0假设P=0。从（226）中，对于u=0，我们得到eP=eP*≡eeed>0（233）eu=-ed<0（234）我们现在将显示，这与最大化Sharperatio:S的权重相对应→ max.（我们将通过Smax表示Sha r pe比率的最大值。）其中前两个标准基于离散量，不受计算（机器）精度影响，而后三个标准基于连续量，在实践中被理解为满足计算（机器）精度。实际上，只需检查三个连续标准中的一个，例如u的收敛性。注意，由于Cijh是因子模型形式，在这种情况下，（183）中定义的N（J）×N（J）矩阵与N×N矩阵Cij，i，J的逆约束一致∈ 1.Nto i，j∈ J.这些重量由Evi=γNXi=1C给出-1ijαj=γξiαi-NXj=1αjξjFXA，B=1eOhm依斯克拉OhmjBQ-1AB！（235）式中，γ由（3）固定。

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2022-5-6 07:09:28

所以我们有（eηi）≡ 符号（ewi）：ePS=Smax=NXi=1αiewi=γe-FXA，B=1Q-1ABbAbB！=γee（236）1=NXi=1eηiewi=γd-FXA，B=1Q-1ABaAbB！=γed（237），我们有（233）。请注意，在这种情况下，J′一般为空，对于那些字母，ewican只能表示为“意外地”，这样（235）中括号中的表达式就消失了。在下文中，我们将假设不会发生此类“意外”破坏，也就是说，让我们考虑通用阿尔法配置。此外，我们将表示S=Smaxvia ec时的ec、ed和ee值*> 0，ed*> 0和ee*> 第二个不等式由（234）得出。接下来，请注意，我们可以关注Ep的值≥eP*. 事实上，考虑是没有意义的*因为我们有一个更高P&L和更高Sharpe比率的解，即S=Smax解。此外，让我们考虑一个eP=（1+δ）eP的解*,其中0<δ<< 1.那么wi=（1+ξi）ewi，其中|ξi |<< 1.我们已经考虑到，没有一个会消失。然后我们得到ηi=eηi，wi的ec，ed和ee的值与ewi的值相同。所以我们有u=ee*欧共体*ee*-预计起飞时间*δ（238）eu=-1+ec*ued*（239）eR=ee*预计起飞时间*（1+ec）*uδ）（240）由于δ>0时损益增加，当δ=0对应于S=Smax时，波动性不能降低。然后从m（240）开始，对于0<δ，u>0<< 1因为我们有ec*> 0.请注意，u=0唯一地对应于S=Smaxsolution，因此在任何eP>eP时，u都不能变为零*. 因此，当我们平稳增加eP时，u变为负值的唯一途径是通过ec、ed和ee中的不连续性，即对于某些eP=eP>eP*我们有一个或多个消失wi的u=u>0，即J′≡ J′不是空的，而u=0对应于S的原因→ 可以通过注意到，对于u6=0，与uin（164）成比例的项破坏了g的标度特性来理解max→ wi下的λg→ λwi，eu→ λeuandeP→ λeP。foreP=（1+δ）eP，其中|δ|<< 1，我们有空的J′和u=u（δ）<0。

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2022-5-6 07:09:31

这意味着→ 0，我们会有wi→ 0代表我∈ J′不消失u=u（0）<0，这是不可能的。（注意，ec、ed和ee作为δ不变。）→ 0.）此外，u>0且J′不是空的aseP→ max（αi）。最后，u<0与eP<eP不相容*因为没有人必须消失，u才能变成0 aseP→eP*-.5.4u<0如果u<0，则我们不再有（194）和（195）。相反，从（178）可以看出，J′是空的，J={1，…，N}，也就是说，没有消失的wi，我们有u<0（241）wi=ξi（ηi |u|+zi），i=1，N（242）子≡ -euαi+FXA=1eOhmiAvA！，i=1，N（243）那么ηi=符号（zi），i∈eJ（244）我∈eJ:|子|≥ |u|（245）然而，η可以是1或-1个给我6个∈eJ，也就是说，它是不确定的。这是因为对于u<0，一般情况下，预计会有超过一个局部极小值。这有两个问题。首先，由于任何迭代过程中的通常不稳定性，尤其是当局部极小值的数量较大时，它使得寻找全局极小值变得更加困难。其次，在存在大量局部极小值的情况下，系统更容易出现样本外不稳定性，因为Cijcan的对角元素中相对较小的波动会导致迭代算法在局部极小值之间跳跃。然而，正如我们前面讨论的，u<0幸运地对应于无趣的范围eP<eP*.5.5全局极小的条件我们给出了全局极小的条件：NXi，j=1Cij（wi+i）（wj+j）≥Xi，j∈JCijwiwj（246）NXi=1 | wi+i |=1（247）NXi=1αi（wi+i）=eP（248），其中wi，i∈ J用（168）确定，而wi=0，i∈ J′，和i是任意的，受（247）和（248）的约束。上面我们讨论了任意极小i的条件，给出了局部极小的条件。在这里，我们讨论了非极小i的上述条件。

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2022-5-6 07:09:34

我们有nxi，j=1Cijij+2Xi，j∈JCijwij+2Xi∈JXj∈J′CijwiJ≥ 0（249）Xi∈J（|wi+i |- |wi |）+Xi∈J′i|=0（250）Xi∈Jαii+Xi∈J′αii=0（251），考虑到（168）和（177），会减少toNXi，J=1CijiJ≥ 2uXi∈Jηii+Xi∈我！（252）请注意，对于微小的，由于（25 0），（252）的r.h.s.消失，而。h、由于Cij的积极不确定性，美国是积极的。然而，对于非微小的iwe来说，我们有非常重要的条件。让我们定义J J和J J如下：ηi（wi+i）≥ 0，我∈ J（253）ηi（wi+i）<0，i∈ J（254）那么，从（250）我们有xi∈Jηii+Xi∈J′| i |=-2Xi∈J | wi+i |（255）andNXi，J=1CijiJ≥ -4uXi∈J | wi+i |（256）该条件始终满足u≥ 0，这意味着上述局部最优条件的解自动成为全局最优解。然而，对于u<0（256），意味着局部最优条件的解不一定是全局最优解。事实上，正如我们在5.4小节中所讨论的，对于u<0，我们可以有多个局部极小值。5.6一般情况因子模型中使用的方法可用于处理一般协方差矩阵的情况，但需要理解的是，我们将在下文讨论，在一般情况下，迭代过程的收敛是棘手的。对于一般的正微分方差矩阵Cij（假设Cii>0），我们要根据（169）和（170）求解（168）。从（168）开始，我们有：-Cii（uηi+euαi+vi），i∈ J（257）vi≡Xj∈J（i）Cijwj，i∈ J（258）J（i）≡ J\\{i}（259）即J（i）定义为J，减去单元素子集{i}，a和J（and J′）定义如上。

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能者818

2022-5-6 07:09:37

莱奇杰≡CijCjj，i，j∈ J（260）ai≡Xj∈J（i）QijηJ=Xj∈JQijηj- ηi，i∈ J（261）bi≡Xj∈J（i）QijαJ=Xj∈JQijαj- αi，i∈ J（262）eai≡ηiCii，i∈ J（26 3）息税前利润≡我，我∈ J（264）c≡xi∈JCii（265）d≡xi∈JαiηiCii（266）e≡xi∈JαiCii（267）然后，通过将（257）插入（258）、（169）和（170）中，我们得到了以下N（J）+2个未知量vi、u和eu的N（J）+2方程组：Xj∈JVJ+aiu+bieu=0，i∈ J（268）Xi∈Jeaivi+cu+DEu=0（269）Xi∈Jebivi+du+eu=0（270）回想N（J）的定义≡ |J |。LeteQab，a，b=1，（N（J）+2）是以下（N（J）+2）×（N（J）+2）矩阵：eQij≡ 琪琪，我，琪琪∈ J（271）eQi，（N（J）+1）≡ 哎，我∈ J（272）eQ（N（J）+1），i≡ 是的，我∈ J（273）eQi，（N（J）+2）≡ 比，我∈ J（274）eQ（N（J）+2），i≡艾比，我∈ J（275）式（N（J）+1），（N（J）+1）≡ c（276）等式（N（J）+1），（N（J）+2）=等式（N（J）+2），（N（J）+1）≡ d（277）等式（N（J）+2），（N（J）+2）≡ e（278）指出Qabis不是对称的。同样，让xa和ya，a=1，（N（J）+2）如下（N（J）+2）-向量：xi≡ vi，我∈ J（279）xN（J）+1≡ u（280）xN（J）+2≡ eu（281）yi=0，i∈ J（282）yN（J）+1=-1（283）yN（J）+2=-eP（284）那么我们有xA=N（J）+2Xb=1bQabyb（285），其中bQab是矩阵的逆Eqab:bQ≡情商-1.接下来，回想ηiwi>0∈ J、使用（257）并假设≥ 我们有≥ 0（286）ηi=-符号（euαi+vi），i∈ J（287）我∈ J:| euαi+vi |>u（288）我∈ J′：|euαi+vi |≤ u（289），其中最后一个条件来自（178）。最后三个条件根据vi、ua和eu确定ηi、J和J′，而（285）根据ηi、J和J′求解vi、u和eu。所以，我们可以尝试迭代求解整个系统，就像5.2小节中的非因子模型一样。在这方面，这里的N（J）-向量Vi类似于第5.2小节中的F-向量Vin。

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2022-5-6 07:09:40

但是，除非N（J）<< N、与因子模型的类比只是一种超官方的类比，其收敛性并不是绝对的。只要Cijis是可逆的，这个逆就存在，我们假设是这样。6重量优化中的线性成本接下来，让我们在重量优化问题中包含线性成本。线性成本可以通过从损益中减去线性惩罚来建模：P=INXi=1αiwi- L D（290），其中L包括所有固定交易成本（证券交易委员会费用、交易所费用、经纪人-交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，即交易不会影响股价。此外，D=I T是美元交易额，T是营业额（因此营业额定义为百分比）。让τibe表示对应于单个αi的营业额。如果我们忽略组合αi导致的营业额减少（或如果内部交叉被切换），则t=NXi=1τi | wi |（291）。然而，内部交叉营业额减少可能是实质性的，需要考虑。在[58]中，我们提出了一个营业额减少模型，根据该模型，当alphas N的数量较大时，领先的近似值（在1/N展开式中）由t给出≈ ρ*NXi=1τi | wi |（292），其中0<ρ*≤ 1是营业额减少系数。

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2022-5-6 07:09:44

我们要强调的是，无论ρ如何，该公式在大N极限下都是一个很好的近似值（只要单个翻转τi的分布不歪斜）*是模型化的。在[58]中，我们还提出了一个估计ρ的谱模型*基于相关矩阵ψij:ρ*≈ψ（1）N√NNXi=1eV（1）i（293）式中，ψ（1）是ψijandeV（1）iis的最大本征值，相应的本征向量归一化为pni=1eV（1）i= 1.然后我们有p=INXi=1（αiwi- Li | wi |）（294）在哪里≡ Lρ*τi>0（295）为了简单起见，这里假设线性滑动是所有α的均匀滑动。这不是一个关键性的假设，可以通过修改Libelow的定义等方式加以放松。本质上，这个假设是为了简化关于减少离职率的讨论。然后，我们遵循第5节的方法，现将其修改如下。为简洁起见，我们将不再重复第5节中适用性明显的讨论，我们将使用与第5节相同的符号，并简单修改相应的定义。此外，我们将假设第5.1小节的因子模型。我们需要解决以下问题：PI=NXi=1（αiwi- Li | wi |）≡eP=固定（296）RI=VuTutnxi，j=1Cijwiwj→ min（297）subject toNXi=1 | wi |=1（298）这个问题可以表述为：g（w，u，eu）≡NXi，j=1Cijwiwj++uNXi=1 | wi |- 1!+ euNXi=1（αiwi- Li | wi |）-eP！→ min（299）我们现在有WI=-ξiuηi+euαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（300）αi≡ αi- 我，我∈ J（301）回想一下，我们有wiηi>0，i∈ J、假设≥ 伊莉，我∈ J我们得到了≥ euLi，i=1。

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2022-5-6 07:09:47

，N（302）ηi=-符号uαi+FXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（303）我∈ J:euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦> u - euLi（304）我∈ J′：euαi+FXA=1eOhm伊瓦瓦≤ u - euLi（305）注意到u≥ 伊莉，我∈ J′来自（305）。第6小节讨论了存在线性成本的全局最小条件。1，其中我们还导出了局部极小值的ab-ove条件。其余的讨论与第5.2小节中的讨论相同，在所有剩余的定义中，αi代替了αi。我们还有（226），（227）和（228），所以对于u≥ 0我们仍然有eu<0，这意味着条件（302）自动为u≥ 0.即线性成本（u）下唯一极小值存在的条件≥ euLi）的强度不如没有成本（uLi）的情况下强≥ 0).此外，u=0仍然对应于最大化夏普大鼠io→ 线性成本的最大值[57]。让相应的≡eP*. 然后我们可以限制toeP≥eP*,对此我们有充分的理由≥ 0，这意味着第5.2小节的结果适用。下面的评论是正确的。因为阿尔法αi，i∈ J′不再被交易，我们可以放弃这样的字母，如果有的话，重新计算ρ*in（295）使用相应的相关矩阵ψ′ij≡ ψij | i，j∈J、使用这样的ρ重新计算wi*重复这个过程，直到子集J基于ρ*is computed是wi6=0的子集的相同值，其中wi是基于该ρ计算的*.6.1具有线性成本的全球最低条件第5.5小节中的讨论在存在线性成本的情况下修改如下。我们有nxi，j=1Cij（wi+i）（wj+j）≥Xi，j∈JCijwiwj（306）NXi=1 | wi+i |=1（307）NXi=1（αi（wi+i）- Li | wi+i |）=eP（308），其中wi，i∈ J通过xj确定∈JCijwj=-uηi- eu（αi）- Liηi），i∈ J（309）当wi=0时，i∈ J′。

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