相反，如果Az6=, 然后存在一个点（x，y）∈ 因此，立即停止比（例如）从不停止更容易。对于这样的apoint0=y+v（x，y；z）≥ y+EZ∞E-rtcz（Xxt，z）dt. （4.46）由于y>yand cz（·，z）是非递增的（参见假设2.3-（ii）），那么（4.44）必须保持不变。原则上，定理4.10充分刻画了问题（3.2）的最优边界，但它的缺点是区域D*z=（x）*, 十、*), 和x*还有x*如（4.30）所示，是含蓄定义的。为了对（4.31）进行数值计算，将有助于*z、 而不是和y同时计算*（·；z）。回忆（4.24）并定义θ*:= xθ（·；z）=在f中十、∈ I|θ（x；z）>y, θ*:=xθ（·；z）=sup十、∈ I|θ（x；z）<y, （4.47）与公约 =x、 小吃 = x、 自从*（·；z）≤ θ（·；z），我们有x*≥ θ*还有x*≥ θ*.刻画x的特征*我们将利用下面的代数方程-y=Z∞E-rtZxxp（t，x；ξ）cz（ξ，z）dξ- ryZxxp（t，x，ξ）dξdt。（4.48）同样，ify+∞, x的一个刻划*将以代数方程的形式给出-y=Z∞E-rtZxxp（t，x；ξ）cz（ξ，z）dξ- ryZxxp（t，x，ξ）dξdt。（4.49）提案4.13。假设4.2,4.5,4.7成立。设Cz6= Az6=. 然后1。十、*∈ Iif且仅当（4.48）有唯一的解x∈ (θ*,x） ，在本例中，是x*= ~x.否则，我们有x*= x、 二,。通知+∞, 然后x*∈ Iif且仅当（4.49）有唯一的解x′时∈ (θ*, x） ，在这种情况下，x*= ~x′。否则，我们有x*=x、 三,。通知=+∞ 存在λ>0的such，r-uY≥ λ在I上，然后是x*=x、 证据。（4.48）（θ）解的存在唯一性*,x） 在附录ixA中讨论。4.证明=>.

取一个序列{xn，n∈ N} 这是xn吗↓ 十、*注意，根据定理4.10，每n∈ N-Y*（xn；z）=z∞E-rtZxxp（t，xn，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y）*（xn；z），η）dηdξdt（4.50）-Z∞E-rtZxxp（t，xn，ξ）Zy*（ξ；z）y（rη）- u（η））p（t，y*（xn；z），η）dηdξdt。不可逆投资问题的最优边界25我们的目标是将（4.50）的极限设为n↑ ∞. 对于（4.50）的左侧，我们有y*（xn；z）↓ y、 通过y的连续性*（·；z）和x的定义*. 另一方面，考虑到这一点*（·；z）=yf或ξ≤ 十、*, （4.50）右边的第一个术语可以写为Z∞E-rtZxxp（t，xn，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y）*（xn；z），η）dηdξdt（4.51）=Z∞E-rtZx*xp（t，xn，ξ）cz（ξ，z）dξ+Zxx*p（t，xn，ξ）cz（ξ，z）Zyy{η>y*（ξ；z）}p（t，y）*（xn；z），η）dηdξdt。现在注意：（i）对于任何t>0，密度为{p（t，xn，ξ），n的概率测度序列∈ N} oniconverge指向p（t，x）*, ξ） dξ根据假设3.8；（ii）对于任何给定和固定的t>0和z，均为非入口（自自然状态起）∈ R+密度为{p（t，y）的概率测度序列*（xn；z），η），n∈ N} Iconverge弱收敛于Dirac的delta测度δy（η）（见A.3节）；（iii）对于每ξ>x*, 函数I→ R、 η7→ cz（ξ，z）1{η>y*（ξ；z）}≡ 然后，考虑到（i）-（iii）我们可以将波特曼图定理应用于（4.51）右边关于dη的积分，并控制收敛到关于dξ的积分，从而得到limn→+∞Zxxp（t，xn，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y）*（xn；z），η）dηdξ=Zx*xp（t，x*, ξ） cz（ξ，z）dξ最后，支配收敛对关于dt，giveslimn积分的进一步应用→+∞Z∞E-rt“Zxxp（t，xn，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y）*（xn；z），η）dηdξ#dt=Z∞E-rtZx*xp（t，x*, ξ） cz（ξ，z）dξdt。类似的参数也适用于（4.50）的右侧sid e的第二项。

事实上，对于ξ>x*地图η7→ （rη）- u(η))1{η≤Y*（ξ；z）}在y上是有界的，并且在y上是连续的- u(η))1{η≤Y*（ξ；z）}=ry- u（y），δy-a.e.证明<=. 假设θ*<x和那x∈ (θ*, x） 唯一解算（4.48）。附录A第A.4节中证明，~x是一维最优停止问题v（x；z）：=supτ的最佳边界∈TEZτe-rtcz（Xxt，z）dt- 耶-rτ, （4.52）因此Az:={x∈ I | v（x；z）=-y} ={x∈ I | x≥ ~x}。根据命题3.6中的论证，我们得到v（x；z）=limy↓yv（x，y；z）。此外，0<v（x；z）+y≤ v（x，y；z）+y对于所有（x，y）∈ （x，~x）×I，由y7的单调性决定→ v（x，y；z）+y（参见命题4.3）；土卫六*≥ ~x>x。也是x*< x、 因为Az=, 因此与Az6=.不可逆投资问题的最优边界26x*∈ Iand，根据证据第一部分的论点，x*解决方案（4.48）。因为这样的解决方案是唯一的，所以它必须是x=x*.2.第二项索赔的证据与第一项索赔相似。我们必须考虑代替（4.52）的最优停止p问题v（x；z）：=supτ∈TEZτe-rtcz（Xxt，z）dt-耶-rτ.3.进一步的假设保证θ（·z）<+∞ 在陆地上，声明如下。备注4.14。尽管x的定义相当复杂*还有x*有一个非常清晰的概率解释。

实际上，它们是最优停止问题sv（x；z）：=supτ的自由边界∈TEZτe-rtcz（Xxt，z）dt- 耶-rτ,v（x；z）：=supτ∈TEZτe-rtcz（Xxt，z）dt-耶-rτ,分别为v（·；z）=limy↓yv（·，y；z）和v（·；z）=limy↑yv（·，y；z）。5最优控制在本节中，我们描述了最优控制ν*（2.13）中，通过表明施加反映（最佳控制）状态过程Zz，ν所需的最小影响是最佳的*在与y紧密相连的（随机）边界上*定理4.10.5.1的作用/不作用区域定义：={（x，y，z）∈ O|v（x，y；z）>-y} 和A:={（x，y，z）∈ O | v（x，y；z）=-y} 。（5.1）集合C和A分别是控制问题（2.13）的候选不作为区域和候选行动区域。备注5.1。我们注意到，从[3]中证明的连接中，我们期望Vz=v和c={（x，y，z）∈ O|Vz（x，y，z）>-y} ，A={（x，y，z）∈ O | Vz（x，y，z）=-y} 。（5.2）直觉上，A是最适合立即投资的区域，而C是最适合推迟投资选择的区域。在本节中，到目前为止所做的所有假设都将是长期假设，即假设2.2、2.3、2.4、3.2、3.8、4.2、4.5和4.7成立，我们不会在下一个结果陈述中重复这些假设。这直接源于cz（x，·）对每个x都是不变的∈ 这是提案5.2。函数z7→ v（x，y；z）对于每一个（x，y）都是不变的∈ Q.不可逆投资问题的最优边界z 7的非减损性质→ v（x，y；z）表示固定（x，y）∈ Q区域Ai低于C，我们用z定义这两个区域之间的边界*（x，y）：=inf{z∈ R+| v（x，y；z）>-y} （5.3）与f中的约定一致 = ∞. 然后（5.1）可以等价地写成asC={（x，y，z）∈ O|z>z*（x，y）}，A={（x，y，z）∈ O|z≤ Z*（x，y）}。

（5.4）我们也可以很容易地从（4.1）和（5.3）以及z 7的非减损性质中观察到→v（x，y；z）和y7→ v（x，y；z）+y（分别参照命题5.2和命题4.3），即z>z*（x，y）<==> v（x，y；z）>-Y<==> y>y*（x；z），（x，y，z）∈ O.（5.5）因此，对于任何x∈ 一、 z*of（5.3）可以被看作是非递增（参见命题4.4）函数z7的伪逆→ Y*（x；z）；那就是，z*（x，y）=inf{z∈ R+| y>y*（x；z）}（x，y）∈ 问题（5.6）因此，y的表征*定理4.10的性质实际上相当于z的一个完全特征化*多亏了（5.6）。Setz（x，y）：=inf{z∈ R+| cz（x，z）- u（y）+ry>0}，（x，y）∈ Q、 按照惯例 = ∞, 回想引理4.9的θ（x；z）。然后是z 7的不可减损性→ cz（x，z）- u（y）+ry和y7→ cz（x，z）- u（y）+ry（分别参见假设2.3和假设4.2）表示z>z（x，y）<==> cz（x，z）- u（y）+ry>0<==> θ（x；z），（x，y，z）∈ O、 因此z（x，y）=inf{z∈ R+|y>θ（x；z）}。（5.7）提案5.3。一个有1个。Z*≤ z超过Q.2。Z*（·，y）对于每个y都是不减损的∈ 土地z*（x，·）对于每个x都是不递增的∈ I.3。Z*（·，y）对于每个y都是连续的∈ 土地z*（x，·）对于每个x是连续的∈ I.4。（x，y）7→ Z*（x，y）是上半连续的。证据1.后面是（5.6）、（5.7）和（4.21）。First索赔源于v（·，y；z）对每个y都不递增的事实∈ 一、 z∈ R+，根据命题3.5；事实上y 7→ v（x，y；z）+y对于每个x都是不变的∈ 一、 z∈ R+（参见命题4.3的证明）意味着第二个。不可逆投资问题的最优边界283。根据命题3.6和备注3.7，v（·）是连续的这一事实，以及根据上文第2点，使用[31，Prop.2.2]中使用的参数，证明这两个性质。

注意，（5.5）中有{（x，y）∈ I×I:z>z*（x，y）}={（x，y）∈ I×I:v（x，y；z）>-y} ，（5.8）对于任何z∈ R+。上面右侧的集合是开放的，因为它是通过连续映射（x，y）7的开放集合的前像→ v（x，y；z）+y（参见命题3.6）。因此，（5.8）左侧的集合也是开放的，因此（x，y）7也是开放的→ Z*（x，y）是上半连续的。现在是命题5.3和以下假设5.4。林茨↑∞cz（x，z）=∞ 每x∈ IimplyProposition 5.5。在假设5.4下，z在Q上是有限的。那么，多亏了命题5.3-（1），我们也得到了推论5.6。Z*在Q上是有限的。下面的命题5.7给出了区域C和A的拓扑特征。C打开，A关闭。此外，根据假设5.4，它们是相互关联的。证据C是开放的，A是封闭的，这一事实遵循（5.1）和备注3.7。推论5。6和（5.4）暗示了索赔的第二部分。5.2最优控制：验证理论第3节关于最优停车问题（3.2）的结果允许我们提供最优控制的表达式*关于边界z的问题（2.13）*（5.3）。此外，作为一个副产品，我们还将展示O上的Vz=v，正如预期的那样（见下面的推论5.10）。回忆（3.2）并定义函数Φ（x，z）：=EZ∞E-rtc（Xxt，z）dt, （x，z）∈ I×R+，（5.9）~n（x，z）：=zΦ（x，z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）dt, （x，z）∈ I×R+，（5.10）和u（x，y，z）：=Φ（x，z）-Z∞z（v（x，y；q）- ν（x，q））dq，（x，y，z）∈ O.（5.11）不可逆投资问题的最优边界注意v（x，y；z）≥ 对于每一个（x，y，z）∈ O、 因此，上文（5.11）中的函数U已明确定义（但从先验角度来看，它可能等于-∞).介绍非减损过程*t:=sup0≤s≤t[z*（Xxs，Yys）- z] +，t≥ 0, ν*0-= 0，（5.12）带z*（x，y）如（5.3）所示。

注意*这是时间t所需的最小控制量≥ 0保持Zz，ν*塔博维兹*（Xxt，Yyt），从而解决了斯科罗霍德反射问题。提议5.8。在假设5.4下，过程*of（5.12）是一个容许控制。证据回想一下（2.3）中的一组可允许的控件V。很明显*感谢Corrollary 5.6，这是a.s.的最终版本。证明这一点*∈ V仍然需要证明：i）t 7→ ν*它与左极限是右连续的；ii）ν*是《金融时报》改编的。我们从证明我开始。很明显，t 7→ ν*tadmits在任何时候都会留下限制，因为它是不减损的。为了证明这一点*具有正确的连续采样路径，首先请注意LIM SUP↓tz*（Xxs，Yys）≤ Z*（Xxt，Yyt）（5.13）由z的上半连续性*（参见命题5.3）和（Xx·，Yy·）的连续性。此外，从（5.12）和（5.13）我们得到了lims↓tν*s=ν*T∨ 林斯↓tsupt<u≤s[z*（Xxu，Yyu）- z] +=ν*T∨ 小吃↓t[z*（Xxs，Yys）- z]+≤ ν*T∨ [z]*（Xxt，Yyt）- z] +=ν*t、 （5.14）自lims↓tν*s≥ ν*t 7的单调性→ ν*t、 那么（5.14）意味着正确的连续性。至于ii）过程z*（Xx，Yy）是逐步可测的，因为它是Borel可测函数z的组成部分*（根据命题5.3，它是上半连续的）具有渐进可测过程（Xx，Yy）。因此ν*根据[18，Th.IV.33，第（a）部分]进行逐步测量，因此进行了调整，并在上文第（ii）部分进行了调整。定理5.9。让假设5.4保持不变。固定（x，y，z）∈ O并分别取（5.9）、（5.10）和（5.11）中的Φ（x，z）、φ（x，z）和U（x，z）。然后有U（x，y，z）=V（x，y，z）和ν*如（5.12）所示，对于奇异控制问题（2.13）是最优的。它显然遵循定理5.9的推论5.10。恒等式Vz=v在O上成立。定理5.9的证明由[3]和[21]中的论点检验。定理5.9的证明。为了ν∈ 定义其右连续逆（参见[43，第0章，第4节]）τν（ξ）：=inf{t≥ 0 |νt>ξ}，ξ≥ 0

（5.15）过程τν：={τν（ξ），ξ≥ 0}具有递增的右连续采样路径，因此它接受左极限τν-（ξ） ：=inf{t≥ 0 |νt≥ ξ}, ξ ≥ 0.（5.16）不可逆投资问题的最优边界30点集ξ∈ 其中τν（ξ）（ω）6=τν-（ξ） （ω）是a.e.ω的a.s.可数∈ Ohm.由于ν是右连续的，τν（ξ）是开集的首次进入时间，因此对于任何给定和固定的ξ，它是（Ft+）停止时间≥ 0.然而，（英尺）t≥0是右连续的（参见第2节），因此τν（ξ）是（Ft）-停止时间。此外，τν-（ξ） 是右连续过程ν进入闭合集的第一次进入时间，因此对于任何ξ，它也是（Ft）-停止时间≥ 0.然后是v thatv（x，y；q）的s超调和特征≥ EE-rτν（ξ）v（Xxτν（ξ），Yyτν（ξ）；q） +Zτν（ξ）e-rscz（Xxs，q）ds, （5.17）对于任何ξ≥ 0和（x，y，q）∈ O.那么，对于任何（x，y，z）∈ O、 取ξ=q- z、 q≥ 在（5.17）和（5.9）、（5.10）和（5.11）中，我们得到了u（x，y，z）- Φ（x，z）≤ -Z∞ZEE-rτν（q）-z） v（Xxτν（q）-z） ，Yyτν（q）-z） )；q） ++Zτν（q）-z） e-rscz（Xxs，q）dsdq+Z∞泽Z∞E-rscz（Xxs，q）dsdq≤Z∞泽E-rτν（q）-z） Yyτν（q）-z）dq-Z∞泽Zτν（q）-z） e-rscz（Xxs，q）dsdq+Z∞泽Z∞E-rscz（Xxs，q）dsdq，（5.18），其中我们使用了v（·，ζ；·）≥ -ζ（参见第二个不等式中的命题3.5）。Wenow声称（我们将在稍后证明）我们可以将（5.18）的最后一个表达式中的Fu-bini-Tonelli定理应用于（x，y，z）- Φ（x，z）≤ EZ∞泽-rτν（q）-z） Yyτν（q）-z） dq-Z∞ZZτν（q）-z） e-rscz（Xxs，q）dsdq+ EZ∞ZZ∞E-rscz（Xxs，q）dsdq. （5.19）[43，第0章，第4.9款]（另见[3，等式（4.7）]）的变量公式的变化意味着∞泽-rτν（q）-z） Yyτν（q）-z） dq=z∞E-rsYysdνs.（5.20）此外，τν（q- z） <s当且仅当νs>q- z、 在哪里≥ 0

因此，从（5.19）和（5.20）我们得到u（x，y，z）- Φ（x，z）≤ EZ∞E-rsYysdνs+Z∞ZZ∞τν（q）-z） e-rscz（Xxs，q）dsdq= EZ∞E-rsYysdνs+Z∞ZZ∞E-rscz（Xxs，q）1{νs>q-z} dsdq= EZ∞E-rsYysdνs+Z∞E-rsZz+νszcz（Xxs，q）dqds（5.21）=EZ∞E-rsYysdνs+Z∞E-xxhc，rszzs- c（Xxs，z）ID= Jx，y，z（ν）- Φ（x，z）。一类不可逆投资问题的最优边界∈ V是任意的，它跟随u（x，y，z）≤ V（x，y，z）。（5.22）现在我们要展示*如（5.12）中所述，在上述论证中，所有的不平等都变成了（3.12）的等式。首先，注意（3.12）、（5.1）和（5.4）给出τ*（x，y；q）=in f{t≥ 0 | z*（Xxt，Yyt）≥ q} 。（5.23）然后，fix z∈ R+，拿t≥ 0任意，注意，通过（5.16）和（5.23），我们得到了P-a.s.的等价性τν*-（q）- z）≤ T<==> ν*T≥ Q- Z<==> sup0≤s≤t[z*（Xxs，Yys）- z]+≥ Q- Z<==> Z*（Xxθ，Yyθ）≥ 某些θ的q∈ [0，t]<==> τ*（x，y；q）≤ t、 因此，我们可以得出结论τν*-（q）- z） =τ*（x，y；q）P-a.s.和a.e.q≥ z、 然而，通过（5.15）和（5.16），我们也有τν*-（q）- z） =τν*（q）- z） P-a.s.和a.e.q≥ Z因此τν*（q）- z） =τ*（x，y；q）P-a.s.和a.e.q≥ z、 （5.24）现在取ν=ν*ξ=q-为了获得（5.17）中的等式，利用连续集的调和性质。τ的最优性*= τν*（参见（5.24））也给出了（5.18）中的等式；然后，我们可以交换积分，如（5.19）和（5.21）中所述进行论证，得到U（x，y，z）=Jx，y，z（ν）*).然后U=O上的V，乘以（5.22），和ν*这是最优的。为了总结证明，我们需要证明，我们实际上可以交换（5.18）中的积分顺序，得到（5.19）。克利里兹∞泽E-rτν（q）-z） Yyτν（q）-z）dq=EZ∞泽-rτν（q）-z） Yyτν（q）-z） dq,根据Tonelli定理，因为YY有正样本路径。因此，我们只需要证明这一点Z∞ZZ∞τν（q）-z） e-rs | cz（Xxs，q）| dsdq< ∞. （5.25）定义*s:=inf{q∈ R:cz（Xxs，q）>0}，它存在并且是唯一的，因为c（x，·）是凸的。

现在，回想一下τν（q- z） <s当且仅当νs>q- z、 s≥ 注意，任何可容许的控制ν也应满足E，而不丧失一般性Z∞E-r tc（Xxt，z+νt）dt< + ∞ . （5.26）不可逆投资问题的最优边界实际上，（5.26）对于最优控制ν成立*（如果存在），因为Jx，y，z（ν*) ≤ Jx，y，z（0）。然后，托内利定理（5.26），以及≥ 0吉维Z∞ZZ∞τν（q）-z） e-rs | cz（Xxs，q）| dsdq= EZ∞ZZ∞E-rs|cz（Xxs，q）|1{τν（q）-z） <s}dsdq= EZ∞E-rsZz+νsz | cz（Xxs，q）| dqds= EZ∞E-rsZz+νs（z+νs）∧Q*scz（Xxs，q）dqds-EZ∞E-rsZ（Z+νs）∧Q*szcz（Xxs，q）dqds≤ EZ∞E-rsc（Xxs，z）ds+z∞E-rsc（Xxs，z+νs）ds< ∞.附录。1提案证明3.12步骤1。由于μi，σi，i=1，2在Qn上是有界且连续的，函数un（·；z）的存在唯一性∈ W2，p（Qn）f或全部1≤ p<∞ 第27章，第3节，第24节。函数un（·；z）可以通过设置un（x，y；z）=-y、 （x，y）∈ Q\\Qn，（A-1），我们再次用un表示s uch扩展，只是有点滥用符号。第二步。现在我们证明了vn（·；z）=un（·；z）在qn上，并且问题（3.22）的停止时间（3.26）是等时的。If（x，y）∈ Q\\Qn，那么该主张显然遵循命题3.11-（2）。假设（x，y）∈Qn；自从联合国∈ W2，p（Qn），通过[28，第7.6章]我们可以找到一个序列ukn（·；z），k∈ N C∞（Q） 这样ukn（·；z）→ W2中的un（·；z），p（Qn），p∈ [1, +∞), 作为k→ ∞. 此外，由于UniContinuous和QNIS是一个契约，我们有ukn（·；z）→ un（·；z）一致于qn（参见[28，第7.2章，引理7.1]）。Dynkin公式得出任意有界停止时间τukn（x，y；z）=EE-r（τ）∧σn）ukn（Xxτ）∧σn，Yyτ∧σn；z）-Zτ∧σne-rt（L）- r） ukn（Xxt，Yyt；z）dt. （A-2）然后，通过本地化参数并使用（3.4），我们得出结论，（A-2）实际上适用于任何τ∈ T

我们声称（稍后我们将证明）将极限作为k→ ∞ 在（A-2）中，导程toun（x，y；z）=EE-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z）-Zτ∧σne-rt（L）- r） un（Xxt，Yyt；z）dt, τ ∈ T（A-3）（A-3）的右侧定义明确，因为假设3.8意味着（Xx，Yy）定律对于勒贝格测度和（L）是绝对连续的- r） 在Lebesgue零测度集上定义了不可逆投资问题的最优边界。我们现在使用（A-3）toobtainun（x，y；z）中的变分不等式（3.24）≥ E-E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn+Zτ∧σne-rtcz（Xxt，z）dt. （A-4）因此，通过τ的任意性，一个人有un（x，y；z）≥ vn（x，y；z）。为了得到逆不等式，取τ：=infT≥ 0 | un（Xxt，Yyt；z）=-Yyt（A-5）在（A-3）中，并回顾un=- 是的，是的∈ C（Qn）（参见备注3.13），并且Qnis有界，因此unis也有界于qnas。就这样-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z） =e-r（τ）∧σn）un（Xxτ∧σn，Yyτ∧σn；z） 1{τ∧σn<∞}= - E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn{τ∧σn<∞}= - E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σnP-a.s.（a-6）乘以（3.3）和（3.4）。此外，到（3.24），我们有（LX）- r） un=-在片场（x，y）∈Qn|un（x，y；z）>-Y. 因此，（A-3）和（A-6）giveun（x，y；z）=E-E-r（τ）∧σn）Yyτ∧σn+Zτ∧σne-rtcz（Xxt，z）dt≤ vn（x，y；z）。（A-7）因此，我们得出结论，对于问题（3.22），在（A-5）中定义的停止时间τ，un=vnon Q和th与停止时间τ一致*n（x，y；z）定义在（3.26）中。现在，为了完成证明，我们只需要证明（A-3）跟在（A-2）后面的是k→ ∞.在f法中，（A-2）左侧的项以点的方式收敛，右侧的项以一致收敛的方式收敛。为了检查右边期望中积分项的收敛性，我们将qn>1作为假设3。8-（2），pn表示pn+qn=1，为简单起见，表示q:=qn和p:=pn。

然后，比奥尔德的不平等，我们有EZτ∧σne-rt（L）- r） （英国）- 联合国）（Xxt，Yyt；z）dt≤Z∞E-rtZQn（L）- r） （英国）- un）（ξ，ζ；z）p（t，x，ξ）p（t，y，ζ）dζdζdt（A-8）≤ 厘米，米，r，n英国- 联合国W2，p（Qn），其中最后一个不等式由假设2.2-（i）和3.8-（2）跟随，其中CM，M，r，n>0依赖于Qn，r和Mi:=supQn{|ui |+|σi |}，i=1,2。现在，（A-8）的右边消失了→ ∞ 根据ukn的定义。A.2两个技术问题1。通过（3.23），启发式地，一个人有（L- r） vn（x，y）=ry- 澳新银行的u（y）∩ Qn。然而，在这一阶段，我们没有关于Anz拓扑性质的充分信息（例如，它可能有正测度，但p riori也有空的内部部分）。下面的引理为先前的等式提供了一个严格的陈述和证明。不可逆投资问题的最优边界34引理A.1。一个有- r） vn（x，y）=ry- u（y），用于a.e.（x，y）∈ 澳新银行∩ Qn。（A-9）证据。回想一下vn（·；z）∈ W2，p（Qn）对于任何p∈ [1, ∞) （参见提案3.12）。设置vn（x，y；z）：=vn（x，y；z）+y，因此设置为vn∈ 通过Sob olev的嵌入（例如参见[12，第9章，Cor.9.15]）证明（A-9）相当于证明（L- r） 在澳新银行，vn=0 a.e∩ Qn。由于Anz上的vn=0，因此也必须\'\'vn=0超过澳新银行∩ Qn。为了完成证明，需要证明Hessian矩阵Anz；也就是说，D’VN是Anz的零a.e∩ Qn。以下是[22，Cor.1-（i），第84页]，其中f定义为：“vn。2.下一个结果对于定理4.10的证明很重要。引理A.2。假设假设4.2、4.5、4.7成立，并假设Cz6= Az6=. 让^y（·；z）：我→Ibe取（4.31）的溶液，取（4.26）中的w。然后v（·；z）≥ Q证明上的w（·；z）。回想一下（4.29）中介绍的符号。第一步。因为^y（·；z）是（4.31）的解，即。

在（4.32）中，很容易看出（4.26）的w检验（x，^y（x；z）；z） =-^y（x；z），十、∈^Dz，（A-10）因此（x，^y（x；z）；z）≤ v（x，^y（x；z）；z） ,，十、∈^Dz，（A-11）第2步。这里我们展示了W（x，y；z）=-Yy<^y（x；z），十、∈^Dz∪ [^x，x），（A-12）这意味着w（x，y；z）≤ v（x，y；z），y<^y（x；z），x∈^Dz∪ [^x，x]取x∈^Dz∪ [^x，x），y<^y（x；z）和定义σ=σ（x，y；z）：=infT≥ 0 | Yyt≥ ^y（Xxt；z）. 通过定义^y（·；z）和dσ，我们有bh（Xxt，Yyt；z）=-瑞伊特- u（Yyt）, T≤ σ、 P-a.s.（a-13）然后，使用m artin gale性质（4.28）直到停止时间σ∧ n、 n∈ N、 由（A-13）得出w（x，y；z）=E- E-rσYyσ{σ≤n} +e-rnw（Xxn，Yyn；z）1{σ>n}-Zσ∧氖-rt瑞伊特- u（Yyt）dt.（A-14）值得注意的是，[22，Cor.1-（i），p.84]要求f是Lipschitz连续的，这对我们来说是无法保证的。然而，Lipschitz连续性只需要存在梯度a.ef、 由于[22，Th.1，p.235]的原因“vn∈ W1，p（Qn）。不可逆投资问题的最优边界假设2.4，（4.25）和界（4.27）给出的极限为n→ ∞w（x，y；z）=E- E-rσYyσ-Zσe-rt瑞伊特- u（Yyt）dt= - y、 （A-15）其中最后一个等式后面跟着引理3.4。由此证明了（A-12）。第三步。这里我们证明了w（x，y；z）≤ v（x，y；z），y>^y（x；z），十、∈ （x，ˇx）∪^Dz。（A-16）以x为例∈ （x，ˇx）∪^Dz，y>^y（x；z），并考虑停止时间τ=τ（x，y；z）：=infT≥ 0 | Yyt≤ ^y（Xxt；z）.通过定义^y（·；z）和τ，并使用与上述第2步相同的局部化参数，我们得到w（x，y；z）=E-E-rτYyτ+Zτe-rscz（Xxt，z）dt≤ v（x，y；z）。（A-17）第4步。引理A.2后面跟着（A-10），（A-12）和（A-16）。A.3非入口边界的一些性质在此我们建立了具有自然边界的扩散的一些性质（参见假设2.2），因此非入口。

我们证明了下边界y的以下结果，但如果它是有限的，类似的论点也成立。通过定义非入口边界（参见[43，第305页]），我们得到了利米↓yPy{τz<t}=0，z>y，t>0，（A-18），其中τz:=inf{s≥ 0年≥ z} 。取任意ε>0，给定且固定的t>0，设置z:=zε=y+ε，我们得到{Yyt- y |>ε} {sups∈[0，t]Yys>z}={τz<t}。（A-19）因此，根据（A-19）和（A-18），Yyt→ 概率上的y（因此在定律上）为y↓ y表示给定和固定的t>0；当Iwac是弱收敛的，当Iwac是弱收敛的↓ y、 因此，由主导的趋同，也有人草率行事↓耶Z∞E-rtf（Yyt）dt=rf（y）F∈ Cb（R）。（A-20）我们现在证明u（y）=σ（y）=0。如果是有限的，同样适用于f或y。不可逆投资问题的最优边界情况1。如果有界，Dynkin公式在任意g∈ Cb（R）导线到（y）=-EZ∞E-rtσ（Yyt）g′（Yyt）+u（Yyt）g′（Yyt）- rg（Yyt）dt. （A-21）然后将极限作为y↓ y、 注意到μ和σ是有界且连续的，通过应用（A-20），我们得到σ（y）g′（y）+μ（y）g′（y）=0，（A-22），并且由于g是任意的，所以它必须是μ（y）=σ（y）=0。案例2。如果Iis无界（即如果i=（y，∞)), 我们用连续有界函数（un，σn）来近似（u，σ），使得[y，n]上的un=u，σn=σ∨ y] 含un（y）→ u（y）和σn（y）→ σ（y）as n→ ∞ 点式I.为y∈ （y，n）∨ y） 与系数u和σn相关的差异（用Yy，n表示）与Yy一致，直到（y，n）的第一次退出时间∨ y） （2.2）解的唯一性；此外，y是Yy，naswell的自然边界。重复上述案例1中的参数，我们得到所有n的un（y）=σn（y）=0∈ N、 因此u（y）=σ（y）=0。A.4关于问题（4.52）的讨论问题（4.52）是最佳停车文献（参见。

例如[40]对于methodsof solution），因此我们只列出了导致其主要属性的参数。很容易看出x7→ v（x；z）是非递增的，因此存在b*∈ 这是Az=[b]吗*,x） ，其中不能包括边界值x，否则Az= 从而与命题4.13的假设相矛盾。可以证明v（·；z）∈ C（I），vxx（·；z）是局部有界的atb*因此，概率表示v（x；z）=EhZ∞E-rtcz（Xxt；z）1{Xxt<b*}- ry1{Xxt≥B*}dti（A-23）采用田中公式。因为（A-23）适用于任何x∈ 一、 那么如果b*∈ Iby评估（A-23）x=b*, 人们很容易发现b*解决方案（4.48）。与定理4.10的证明类似（但比定理4.10的证明更简单）的论点表明，（4.48）在（θ）中有唯一解*,x） 因此，它必须是x=b*. 另一方面，如果b*= x、 重复定理4.10第2步的证明中的论点，我们可以证明x=b*, 由此得出结论。致谢。作者感谢两位匿名推荐人的相关评论，以及戈兰·佩斯基尔、弗兰克·里德尔和毛罗·罗斯托拉托的有用建议和参考。参考文献[1]K.E.阿特金森，《非线性积分方程数值解法综述》，J.积分方程应用。4（1）（1992），第15-46页。不可逆投资问题的最优边界37[2]C.T.H.贝克，《积分方程的数值处理》，牛津克莱伦登出版社（1977）。[3] F.M.Baldursson，I.Karatzas，《不可逆投资与产业平衡》，金融科技。1（1997），第69-89页。[4] P.Bank，N.El Karoui，一个应用于优化和障碍问题的随机表示定理，人工神经网络。Probab。32（2004），第1030-1067页。[5] P.银行，动态燃料约束下的最优控制，暹罗J.控制优化。44（2005），第1529-1541页。[6] J.A.巴瑟，H。

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