随机不可逆投资的最优边界面

2022-5-6 07:59:47

第二作者感谢DAAD的财务支持和IMW的热情款待。+英国利兹LS2 9JT伍德豪斯巷利兹大学数学学院；Tdeangelis@leeds.ac.uk意大利费伦泽大学经济与投资研究所科学分院，经潘迪特大道950127号费伦泽；萨尔瓦托。federico@unifi.it§德国比勒费尔德大学数学经济中心（IMW），德国比勒费尔德D-33615比勒费尔德大学阿特斯特拉斯25号；乔治。ferrari@uni-比勒菲尔德。不可逆投资问题的非最优边界2产能，单位产能的投资成本是随机的。在数学中，这相当于求解三维退化奇异随机控制问题v（x，y，z）：=infνEZ∞E-rtc（Xxt，z+νt）dt+z∞E-rtYytdνt, （1.1）当上限被接管时，一套合适的非减损容许控制。这里的X和Y是两个分别模拟市场不确定性和生产能力投资成本的扩散过程。控制过程是指截至时间t和c的累计投资是一个一般的凸成本函数。我们通过依赖奇异随机控制和最优停止之间存在的联系来解决问题（1.1）（参见[3]、[6]、[8]、[9]、[32]和[34]）。事实上，我们提供了最优的投资策略*关于非最优边界面（x，y）7→ Z*（x，y）将状态空间划分为行动和不行动区域。

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2022-5-6 07:59:50

然后，通过一系列与参数相关的Fredholm型非线性积分方程的连续解，对此类曲面进行了唯一表征。在数学经济文献中，奇异随机控制问题通常被用于对不确定环境下的不可逆（部分可逆）最优投资问题进行建模（参见[14]、[16]、[23]、[24]、[29]、[35]、[38]、[44]以及其中的参考文献等）。单调（约束变化）控制代表企业为最大化净预期利润或最小化总预期成本而使用的累积投资（投资减少）政策。正如[37]和[42]等人指出的，与最优投资相关的最优时机问题与实物期权相关。随机不可逆（或部分可逆）投资的问题可以通过多种不同的方法来解决。其中包括动态规划技术（见[23]、[29]、[35]和[38]）、随机一阶条件和Bank El Karoui的表示定理[4]（见[5]、[15]、[24]和[44]）、一维问题的[7]变换方法，以及具有梯度约束的非线性偏微分方程的分析研究（例如参见[46]和[47]）。从经济建模的角度来看，引入随机投资成本是非常自然的（见例[5]）；然而，它使（1.1）的最佳边界的分析变得相当困难。我们的问题（1.1）的三维结构使得直接研究相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程似乎毫无希望，目的是找到明确的光滑解（如[38]中的二维问题等）。

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2022-5-6 07:59:53

事实上，在我们的例子中，问题（1.1）的值函数的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的线性部分是aPDE（而不是ODE），它没有通解。另一方面，如[24]所述，我们可以通过依赖随机一阶条件方法和适当应用Bank El Karoui的r表示定理[4]来解决问题（1.1）。然而，从[24]的主要结果（即[24，Th.3.11]）得出的最佳边界的积分方程，在我们的多维环境中无法得到。本文利用奇异随机控制与最优停止之间的联系来研究问题（1.1）。在关于变分不等式的一个众所周知的结果（见命题3.12）的基础上，我们发展了几乎完全概率的论点，以找到不可逆投资问题的非最优边界3最优控制ν*. 我们证明了*将（最佳控制）状态过程保持在最佳边界曲面z以上所需的最小影响是什么*, 谁的水平曲线z*（x，y）=z，其中z∈ R+是最佳边界x7→ Y*（x；z）与原始奇异控制问题有关的参数依赖最优停止问题。在进一步的mild条件下，我们刻画了每个函数y*（·；z），z∈ R+，作为Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解（见下面的定理4.10）。应该注意的是，在[46]中也使用了与最优停止的联系，以研究与优化类似（1.1）相关的具有梯度约束的非线性偏微分方程问题。[46]X中∈ 注册护士-1是布朗运动，受控过程Z∈ R是一个线性受控布朗运动，Y·≡ 1，并仅基于分析方法对最佳边界（PDE的自由边界）进行详细分析。

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2022-5-6 07:59:56

将这些方法扩展到我们的设置似乎是可能的，但并非微不足道。在这里，我们开发了一种不同的方法，主要使用随机演算来唯一地确定我们的最佳边界。找到最优停止问题最优边界的积分方程的问题已在许多论文中得到成功解决（参见[40]中的一项调查），可追溯到Van Moerbeke[48]等人的工作（参见[13]中的PDE方法调查）。在有限时间范围内的一维随机可逆投资问题中，最近通过应用Peskir的局部时空演算获得了最优边界的积分方程（详情见[16]和参考文献）。然而，这些假设不适用于你的情况，因为似乎很难证明这个过程{y}*（Xxt；z），t≥ 0}是每个给定z的半鞅∈ R+，如[41，Th.2.1]所要求。另一方面，研究了多维环境下的数值可计算积分方程，例如[40，第13节]，其中考虑了微分X及其运行的上确界S。然而，与[40，第13节]不同的是，我们处理的是X和Y独立的真正二维微分（X，Y）。这导致了对问题的完全不同的分析，并开发了新的方法。综上所述，我们工作的主要贡献如下：1）我们给出了随机投资成本不确定性下不可逆投资模型的最优边界；ii）作为一个副产品，我们开发了一些方法来唯一地描述有限时间范围最优停止问题的最优边界，从而扩展了基于随机演算的现有技术的一部分。

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2022-5-6 07:59:59

这些最优boun-Daries方程也可以根据第二类非线性Fredholm积分方程的数值方法进行数值处理（见下面的备注4.11）。论文的结构如下。在第二节中，我们设置了随机不可逆投资问题。在第3节和第4节中，我们介绍了相关的最优停止问题族，并刻画了它的值函数及其最优边界。最优控制的形式见第5节。最后，附录A讨论了一些技术结果。2随机不可逆投资问题在本节中，我们设定了随机不可逆投资问题的研究对象。让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是F={Ft，t的完全过滤概率空间≥ 0}由二维布朗运动W={（Wt，Wt），t生成的不可逆投资问题4的最优边界≥ 0}并用p个空集扩充。1.一个真正的过程X={Xt，t≥ 0}代表经济的不确定状态（通常是对商品的需求，或者更一般地说，宏观经济状况的一些指标）。假设X是一个时间齐次马尔可夫微分方程，满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X，（2.1）对于某些特定的Borel函数u和σ。为了说明Xon对其初始位置的依赖性，我们用Xx表示（2.1）的解。2.一维正过程Y={Yt，t≥ 0}代表生产能力的投资成本。我们假设Y根据SDEdYt=u（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=Y，（2.2）对于某些特定的Borel函数u和σ进行演化。同样，为了解释Y对Y的依赖性，我们用Yy表示（2.2）的解。3.控制过程ν={νt，t≥ 0}描述了公司的投资政策，是截至时间t的累计投资。

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2022-5-6 08:00:02

我们说控制过程ν是可容许的，如果它属于非空凸集v:={ν：Ohm ×R+7→ R+| t 7→ νtis c`adl`ag，不减损，F适应}。（2.3）在下面我们设置- = 0，对于每一个ν∈ V.4。纯受控过程Z={Zt，t≥ 0}，代表企业的生产能力，由zt定义：=z+νt，z∈ R+。（2.4）过程Z取决于它的初始位置Z和控制（投资）过程V，因此我们用Zz，V表示它。我们假设不受控制的差异xxx和yy具有状态空间I=（x，x） R andI=（y，y）分别为R+。备注2.1。如果X∈ R和驱动X和Y的SDE的布朗运动是相关的。事实上，唯一的证明是X和Y，以及X的依赖性∈ R是命题4.4、命题4.8和定理4的结果。10.然而，由于这些是本文的关键结果，我们从一开始就采用上述设置来简化论述。xxx和yy的边界行为以及系数ui，σi，i=1，2的进一步要求在以下假设中规定。不可逆投资问题的最优边界假设5.2。（i）系数ui:R 7→ R、 σi:r7→ R+，i=1，2，使得|ui（ζ）- ui（ζ′）|≤ Ki |ζ- ζ′|，|σi（ζ）- σi（ζ′）|≤ Mi |ζ- ζ′|γ, ζ, ζ′∈ 对于某些Ki>0，Mi>0和γ∈ [, 1].（ii）xxx和yy的差异是非退化的，即在ii中σi>0，i=1,2。（iii）边界x、x是扩散区XX的非出口，边界y、y是扩散区Yy的自然边界。假设2.2保证zζ+εoζ-εo1+|ui（y）|σi（y）| dy<+∞, 对于一些εo>0和Ii中的每个ζ，（2.5），因此（2.1）和（2.2）都有一个弱解，在概率定律意义上是唯一的（参见[33，第5.5章]）。由于系数最多呈线性增长，此类解决方案不会在有限的时间内爆炸。

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2022-5-6 08:00:06

另一方面，假设2.2-（i）也保证了山田渡边结果（见[33，第5.2章，第2.13项]和[33，第5.3章，第3.3项]等）的（2.1）和（2.2）解的路径唯一性。因此，（2.1）和（2.2）有一个唯一的强解，因为[33，C h.5.3，Cor.3.23]对于任何x∈ 土地∈ I.此外，从（2.5）可以看出，在I和I中，扩散过程xxx和yy分别是规则的；也就是说，对于I中的任何x和ζ（分别，y和ζ′），Xx（分别，Yy）h是一个正概率的点ζ（分别，ζ′）。因此，状态空间I和I不能被分解为sm aller集合，而XX和YY不能从这些集合中退出（例如，参见[45，第V.7章]）。最后，XX和YY有连续的版本，我们将在本文中始终参考这些版本。假设2.2意味着比较标准（例如，见[33，第5.2章，第2.18款]）；i、 e，x，x′的∈ 一、 x≤ x′==> Xxt≤ Xx\'t，P-a.s。T≥ 0.（2.6）此外，重复[33，第5.2章，第2.13款]的证明中的论点也得到了证实→ 辛亚斯n→ ∞ ==> XxntL-→ Xxt==> XxntP-→ Xxt，T≥ 0; （2.7）类似地，对于（2.2）的唯一解∈ 一、 y≤ y′==> Yyt≤ Yy\'t，P-a.s。T≥ 0; （2.8）安丁→ yin Ias n→ ∞ ==> YyntL-→ Yyt公司==> YyntP-→ Yyt，T≥ 0.（2.9）如果：i）从状态空间内部开始的过程不能在有限时间内到达ξ，以及ii）从ξ开始的过程立即进入状态空间内部，则扩散过程的边界点ξ是不存在的。另一方面，可以在有限的时间内到达入口边界点ξ，但它不能成为扩散的起始点。最后，如果边界点ξ是：非入口和非出口，则它是自然的（参见[11，第2章，第15页]）。

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2022-5-6 08:00:09

此外，对于ξ自然和有限，如果ξ=y（或ξ=y），则也有u（ξ）=σ（ξ）=0。为完整起见，请参见附录A.3。不可逆投资问题的最优边界6系数具有次线性增长的SDE解的标准估计意味着（参见[36，第2.5章，第12节]）Eh | Xxt | qi≤ κ0，q（1+| x | q）eκ1，qt，Eh | Yyt | qi≤ θ0，q（1+| y | q）eθ1，qt，t≥ 0，（2.10）表示任何q≥ 对于一些κi，q:=κi，q（u，σ）>0和θi，q:=θi，q（u，σ）>0，i=0，1。在这种情况下，我们考虑一家公司，根据经济状况x和生产能力z产生投资成本和运行成本c（x，z）。该公司与投资策略相关的总预期生产成本ν∈ V isJx，y，z（ν）：=EZ∞E-rtc（Xxt，Zz，νt）dt+Z∞E-rtYytdνt, （2.11）对于任何（x，y，z）∈ I×I×R+。这里r是一个正的贴现因子，成本函数满足假设2.3。（i） c:i×R+7→ R+是c∈ C（I×R+；R+，C（x，·）∈ C（R+）每x∈ 一、和cz∈ Cα（I×R+；R）对于某些α>0（即cz是α-H–older连续的）。（ii）c（x，·）对于所有x是凸的∈ Iand cz（·，z）对于每个z都是不递增的∈ R+。（iii）c和CZ满足关于x的多项式增长条件；也就是说，存在局部有界函数ηo，γo:R+7→ R+，和一个常数β≥ 0使得| c（x，z）|+| cz（x，z）|≤ ηo（z）+γo（z）|x |β。在本文中，我们还提出了以下标准假设，以保证我们的问题具有特殊的一致性（见下面的备注2.5-（3）和引理2.6）假设2.4。r>κ1，β，其中κ1，qas在（2.10）中，β在假设2.3-（iii）中。备注2.5。1.排列| x的任何函数c- 在124c和124z之间- z |δ，K≥ 0，δ>1，（2.12）满足假设2.3。

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2022-5-6 08:00:13

我们观察到（2.12）是一种自然选择，例如，在能源市场框架中，x代表可再生能源的需求网（因此具有随机性），Z代表常规供应量。不能满足需求以及供应过剩会给能源供应商带来成本。2.假设2.3-（ii）的第二部分描述了需求增加对边际成本的负面影响。从（2.12）中可以直观地看出，z的增加将导致成本的降低（增加），而需求高于（低于）供应的程度越大，成本的降低（增加）就越显著。3.根据（2.10）、假设2.3-（iii）和假设2.4，c和CZ满足可集成性条件（a）EZ∞E-rtc（Xxt，z）dt< ∞, （x，z）∈ I×R+；不可逆投资问题的最优边界7（b）EZ∞E-rt | cz（Xxt，z）| dt< ∞, （x，z）∈ I×R+。请注意，上面的可积性（b）保证了我们将在下一节讨论的最优停止问题的值的完整性（见（3.2））。在由漂移u和波动率σ的几何布朗运动给出的基准情况下，使用高斯随机变量的拉普拉斯变换的著名公式，得出[（Xxt）β]=xβexpnβu+σ(β - 1)因此，假设2.3读数为r>β（u+σ（β- 1)) =: κ1,β.5. 值得注意的是，如果我们允许运行成本函数c依赖于三重（x，y，z），满足类似于假设2.3的（i）-（iii）和y 7的条件，本文的所有结果都成立→ cz（x，y，z）增加。然而，由于这个扩展没有明确的经济意义，并且为了简化说明，我们仅将c视为上面的假设2.3。公司经理的目标是选择内部收益率不变的投资政策*∈ V（参见（2.3））使总预期成本（2.11）最小化。

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2022-5-6 08:00:16

因此，通过表示状态空间O:=I×I×R+，企业经理面临着价值函数v（x，y，z）：=infν的最优不可逆投资问题∈VJx，y，z（ν），（x，y，z）∈ O.（2.13）注意，（2.10）、假设2.3和假设2.4（参见备注2.5-（3）），再加上控制变量中Zz，ν的一个有效性质，导致了以下引理2.6。（2.13）的值函数V（x，y，z）对所有（x，y，z）都是有限的∈ 哦，诸如此类→ V（x，y，z）是凸的。问题（2.13）是一个退化的、三维的、凸的单调跟随型奇异随机控制问题（参见[21]、[32]和其中的参考文献）。此外，如果c（x，·）是三次凸的，那么（2.11）的Jx，y，z（·）在V上也是严格凸的，因此如果（2.13）的解存在，它必须是唯一的。3.相关的最优停止问题族我们现在介绍并研究与单变量控制问题（2.13）相关的最优停止问题族（参见[3]等）。SetT:={τ：τ是F-停止时间}，并定义ψx，y，z（τ）：=EZτe-rtcz（Xxt，z）dt- E-rτYyτ, τ ∈ T，（x，y）∈ I×I，z∈ R+。（3.1）任意z的不可逆投资问题的最优边界∈ R+我们考虑最优停止p问题v（x，y；z）：=supτ∈Tψx，y，z（τ），（x，y）∈ 注意到v（x，y；z），z∈ R+是一类二维参数相关优化问题。在本节的其余部分和下一节中，我们将∈ 我们研究了最优停止问题（3.2）。用Q:=I×I表示其状态空间。我们介绍以下定义（参见[33，第1章，定义4.8]）3.1。一个右连续随机过程ξ：={ξt，t≥ 如果随机变量{ξτ{τ}族<∞}, τ ∈ T}是一致可积的，我们做了下面的3.2。

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2022-5-6 08:00:20

过程{e-rtYyt，t≥ 0}属于（D）类，因此→∞E-rtYyt=0P-a.s.备注3.3。1.过程e-如果，例如，e[supt≥0e-rtYyt]<∞, 最佳停车一般理论中的标准技术假设（参见[40，Ch.I]）。假设3.2的最后一个要求满足，例如{e-rtYyt，t≥ 0}是（Ft）上鞅，r>θ1,1（参见（2.10））。事实上，从[33，第1章，问题3.16]和Fatou\'slema one中可以看出0≤ 限制→∞E-rtYyt]≤ lim inft→∞E[E]-rtYyt]=0，因此限制→∞E-根据假设3.2，从现在起，我们将采用公约-rτYyτ{τ=∞}:= 极限→∞E-rtYyt=0，a.s.（3.3）我们也有-rτ| f（Xxτ，Yyτ）| 1{τ=∞}:= 林监督→∞E-rt | f（Xxt，Yyt）|，a.s.，（3.4）对于任何Borel可测函数f。下一个引理将在接下来的s.引理3.4中有用。在假设2.2、2.4和3.2下，它保持[e]-rτYyτ]=y+EZτe-rtu（Yyt）- 瑞伊特dt, 对于τ∈ T（3.5）证据。结果适用于有界停止时间τn:=τ∧ n、带τ∈ T和n∈ N、通过应用It^o公式，注意到由此产生的局部鞅项实际上是一个真正的鞅，通过假设2.2和2.4，并通过取期望值。然后让n→ ∞ 并使用假设2.2、3.2和主导收敛一个结果（3.5）。在本节的其余部分中，我们旨在刻画（3.2）的v。不可逆投资问题的最优边界命题3.5。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，以下假设成立：1。v是这样的-Y≤ v（x，y；z）≤ C（z）（1+| x |β+| y |），（x，y）∈ Q、（3.6）对于常数C（z）>0，取决于z.2。v（·，y；z）对于每个y都是不递增的∈ I.3。v（x，·；z）对于每个x都是不递增的∈ 一、证据。1.取（3.2）中的τ=0表示下边界。假设2.2、2.3-（iii）、2.4、3.2和引理3.4保证了上界。2.X7→ cz（x，z）是不可逆的。

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2022-5-6 08:00:23

假设2.3-（ii）和（2.6）implyv（x，y；z）- v（x，y；z）≤ supτ∈TEhZτe-rtcz（Xxt，z）- cz（Xxt，z）dti≤ 0，对于x>x.3。它遵循（2.8）和第2点中的论点。提议3.6。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，最优停止问题（3.2）的值函数v（·；z）在Q证明下是连续的。修正z∈ R+和{（xn，yn），n∈ N} 收敛的（x，y序列）∈ Q.取ε>0，设τε：=τε（x，y；z）为ε-最优停止时间，用于具有值函数v（x，y；z）的最优停止问题。然后我们有v（x，y；z）- v（xn，yn；z）≤ ε+EZτεe-rtcz（Xxt，z）- cz（Xxnt，z）dt- E-rτε（Yyτε）- Yynτε）.（3.7）考虑到（2.7）和（2.9）、假设2.3、2.4和3.2，我们可以将支配收敛（在它的弱版本中，只需要在度量上收敛；See，例如[10，第2章，第2.8.5]）应用到上述不等式的右侧，并获取lim infn→∞v（xn，yn；z）≥ v（x，y；z）- ε. （3.8）类似地，对于具有值函数v（xn，yn；z）的最优停止问题，取ε-最优停止时间τεn:=τε（xn，yn；z），并使用引理3.4，我们得到v（xn，yn；z）- v（x，y；z）≤ ε+EZτεne-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt- E-rτεnYynτεn- Yyτεn= ε+EZτεne-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt- （伊恩）- y） +EZτεne-rtRYynt- Yyt-u（Yynt）- u（Yyt）dt(3.9)≤ ε+EZ∞E-rtcz（Xxnt，z）- cz（Xxt，z）dt+ |Y- yn |+C EZ∞E-rtYynt- Yytdt,不可逆投资问题的最优边界10对于某些C>0，我们在最后一步中使用了u的Lipschitz连续性（参见假设2.2）。现在回想一下（2.7）和（2.9），（2.10），假设2.3和2.4，我们可以在上面不等式的右边应用弱版本（参见[10，Ch.2，Th.2.8.5]）中的一个不确定收敛来获得极限→∞v（xn，yn；z）≤ v（x，y；z）+ε。（3.10）现在（3.8）和（3.10）通过ε>0的任意性暗示v（·，·；z）的连续性。备注3.7。

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2022-5-6 08:00:27

与上述命题3.6的证明中使用的论点类似的论点也可以用来证明（x，y，z）7→ v（x，y；z）在O中是连续的。我们现在提供v的概率表示，我们稍后将使用它来描述最优边界。为此，我们首先定义了问题（3.2）的持续区域和停止区域asCz:={（x，y）∈ Q | v（x，y；z）>-y} ，Az:={（x，y）∈ Q | v（x，y；z）=-y} 。（3.11）我们还记得，由于v（·；z）是连续的标准最佳停车理论（参见[40]），因此可以保证停车时间τ*= τ*（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）∈ Az}（3.12）对于问题（3.2）是最优的，只要是P-a.s.定义。此外，我们做出以下假设3.8。每（x，y）∈ I×I和t>0分别表示密度p（t，x，·）和密度p（t，y，·）的规律。Moreover1）（t，ζ，ξ）7→ π（t，ζ，ξ）在（0，∞) ×Ii×Ii，i=1,2；2）对于任何紧集K I×存在q>1（可能取决于K）这样的z∞E-rtZKp（t，x，ξ）p（t，y，ζ）qdζdζqdt<+∞, 适用于所有人（x，y）∈ K.备注3.9。假设3.8在X和Y由两个独立的几何布朗运动给出的情况下明显满足。关于布朗运动驱动的SDE解的概率律的密度的存在性和光滑性的文献非常多，它主要依赖于PD Es和Malliavin演算的技术（例如，参见[26]和[39]关于该主题的经典参考文献）。一般来说，在一些非常温和的假设下（例如，见最近的论文[25]），可以保证一维扩散定律的密度存在。关于（ui，σi）i=1，2，以获得跃迁密度及其一阶导数的高斯边界的充分条件，可在[26，第1章，第2节]中找到。

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能者818

2022-5-6 08:00:30

11].人们也可以参考，例如[20]和其中的参考文献，以获得更近期的泛化。下一个定理的证明是通过几个步骤获得的，我们将在下面的技术小节中对此进行说明。尽管这些细节很重要，但对于理解第4节和第5节来说，它们不是必需的，可以在一读时跳过。不可逆投资问题的最优边界定理3.10。在假设2.2、2.3、2.4、3.2和3.8下，以下代表适用于每个（x，y）∈ Q:v（x，y；z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cz}- （赖特）- u（Yyt））1{（Xxt，Yyt）∈Az}dt. （3.13）赛斯（x，y；z）：=cz（x，z）1{（x，y）∈Cz}- （ry）- u（y））1{（x，y）∈所以（3.13）可以写成v（x，y；z）=EZ∞E-rtH（Xxt，Yyt；z）dt. （3.15）由于（3.6）和假设2.4，强马尔可夫性质和基于条件期望的标准参数适用于表示公式（3.15），允许验证：∈ Q、 e-rτv（Xxτ，Yyτ；z）+zτe-rsH（Xxs，Yys；z）ds=EZ∞E-rsH（Xxs，Yys；z）dsFτ, τ ∈ T，（3.16），特别是，E-rtv（Xxt，Yyt；z）+中兴-rsH（Xxs，Yys；z）ds，t≥ 0是（Ft）-鞅。（3.17）等式（3.16）也暗示E-rτv（Xxτ，Yyτ；z）≤ EZ∞E-rtH（Xxt，Yyt；z）dtFτ, τ ∈ T，（3.18），因此f家族E-rτv（Xxτ，Yyτ；z），τ∈ T是一致可积的。3.1 v的概率表示：详细度状态空间Q=I×I扩散{（Xxt，Yyt），t≥ 0}可能是无界的，它便于研究与最优停止问题相关的变分不等式，用有界区域上的一系列问题逼近问题（3.2）。

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2022-5-6 08:00:33

让{Qn，n∈ N} 是一个近似于Q的集合序列，我们假设Qnis为每n开、有界且连通∈ NQn∈ C2+αn某些αn>0，Qn Qn+1每n∈ N、 limn公司→∞Qn:=Sn≥0Qn=Q.（3.19）显然，总是有可能找到这样的集合序列。然后，将最优停止概率（3.2）定位如下。给定n∈ N、确定停止时间σN=σN（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Qn}（3.20）不可逆投资问题的最优边界12，注意σ∞= σ∞（x，y；z）：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Q} =∞ a、因为我们假设XX的边界是不存在的，而YY的边界是自然的，因此是无法达到的。此外，从（3.19）中的最后一个得到σn↑ σ∞= ∞ P-a.s.，作为n→ ∞. （3.21）利用（3.20）中的σnas，我们可以确定近似最优停止p问题vn（x，y；z）：=supτ∈TEZσn∧τe-rtcz（Xxt，z）dt- E-r（σn）∧τ） Yyσn∧τ, （x，y）∈ Q、（3.22）并证明以下命题3.11。假设2.2、2.3、2.4和3.2成立。然后1。vn（·；z）≤ vn+1（·；z）≤ 所有n的Q上的v（·；z）∈ N.2。vn（x，y；z）=-y代表（x，y）∈ Q\\Q和所有n∈ N（特别是对于每个（x，y）∈ Qn，自从Qnis开放以来）。vn（x，y；z）↑ v（x，y；z）作为n→ ∞ 每（x，y）∈ 问题4。如果{vn（·；z），n∈ N} C（Q），则vn（·；z）在所有紧子集K上一致收敛到v（·；z）问题：证据。1.根据（3.21）得出，并将（3.22）与（3.2）进行比较。这一说法源于vn的σ和的定义（分别见（3.20）和（3.22）。固定（x，y）∈ Q用τε表示：=τε（x，y；z）ε-v（x，y；z）的最佳停止时间，然后0≤ v（x，y；z）- vn（x，y；z）≤ EZτεn∧τεe-rtcz（Xxt，z）dt-E-rτεYyτε- E-rσnYyσn{σn<τε}+ ε、其中第一个不平等是由于上述1。

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kedemingshi

2022-5-6 08:00:36

现在，随机变量序列{Zn，n∈ N} 定义为zn:=ZτεσN∧τεe-rtcz（Xxt，z）dt-E-rτεYyτε- E-rσnYyσn根据假设2.3、2.4和3.2，以及d limn，{σn<τε}是一致可积的→∞Zn=0 P-a.s.，byRemark 3.3-（2）和（3.21）。然后3是Vitali的收敛定理和ε的任意性。自v（·；z）∈ C（Q），根据上面的1和3以及Dini的Lemm a。修理∈ N和z∈ R+，并通过cnz分别定义近似最优停止问题（3.22）的连续区域和停止区域：{（x，y）∈ Q | vn（x，y；z）>-y} ，Anz:={（x，y）∈ Q | vn（x，y；z）=-y} 。（3.23）不可逆投资问题的最优边界13用L表示与二维微分{（Xt，Yt），t有关的二阶椭圆微分算子≥ 0}. 既然X和Y是独立的，那么L:=LX+LY，其中（LXf）（X，Y）：=（σ）（X）xf（x，y）+u（x）xf（x，y），（LYf）（x，y）：=（σ）（y）yf（x，y）+u（y）yf（x，y），代表f∈ Cb（Q）。根据标准参数，我们可以将函数vn（·，·；z）|Qnof（3.22）与变分不等式（在z中参数化）maxn正式关联起来L- Ru（x，y；z）+cz（x，z），-u（x，y；z）- yo=0，（x，y）∈ Qn，（3.24）带边界条件u（x，y；z）=-y、（x，y）∈ Qn。（3.25）下一个结果为标准结果，为完整起见，附录中给出了其证明。提案3.12。在假设2.2、2.3、2.4和3.2下，每n∈ N和z∈ R+vn（·；z）∈ W2，p（Qn）表示所有1≤ p<∞, 在qn中用边界条件（3.25）唯一地解出（3.24）a.e。此外，停止时间τ*n（x，y；z）：=infT≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cnz, （3.26）对于（3.23）中的Cnzas，对于问题（3.22）是最优的。备注3.13。请注意，由著名的Sobolev’s inc.lu si ons（例如参见[12，第9章，Cor.9.15]），空间W2，p（Qn）与p∈ (2, ∞) 可以连续嵌入C（Qn）。

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2022-5-6 08:00:40

因此，对于W2，p（Qn），p类函数，边界条件（3.25）是适定的∈ (2, ∞). 在下文中，我们将始终提到W2，p（Qn）元素的独特代表性。提案3.14。每（x，y）∈ Q以下表示形式保持svn（x，y；z）=EZσne-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cnz}-（赖特）- u（Yyt））1{（Xxt，Yyt）∈澳新银行}dt- E-rσnYyσn.（3.27）证据。自vn（·；z）∈ W2，p（Qn）和解（3.24）–（3.25）（参见命题3.12），一个推广的It^o公式给出（另见附录中的（a-3）和（a-6）vn（x，y；z）=E-E-rσnYyσn-Zσne-rt（L）- r） vn（Xxt，Yyt；z）dt. （3.28）它来自于第3.12条命题（L- r） vn（x，y；z）=cz（x，z）1{（x，y）∈Cnz}- （ry）- u（y））1{（x，y）∈Anz}，代表a.e.（x，y）∈ Qn，（3.29）该索赔中有一个小的技术问题，我们在附录a.2引理a.1中为感兴趣的读者解释了这个问题。一个不可逆投资问题的最优边界14，我们通过使用（3.28）和（3.29）中的假设3.8得到了索赔。我们观察到，自从vn≤ v和{vn，n∈ N} 是一个递增序列 Cn+1z 澳新银行 A+1z 阿兹，N∈ N.（3.30）另一方面，逐点收敛vn↑ v（参见命题3.11）意味着如果（x，y）∈ Cz，然后是v（x，y）+y≥ ε对于某些ε>0和vn（x，y）+y≥ ε/2表示所有n≥ 与非匹配∈ 因此我们有了Limn→∞Cnz:=[n≥0Cnz=Cz，limn→∞澳新银行：=\\n≥0Anz=Az。（3.31）我们现在可以证明定理3.10。定理3.10的证明。我们研究（3.27）的极限为n↑ ∞. 注意：1。（3.27）的左边side e通过命题3.11-（3）以点方式收敛到v（x，y；z）；2.{e-rσnYyσn，n∈ N} 是一类一致可积且收敛的随机变量。s、由于（3.21）以及假设2.4和3.2（另请参见备注3.3-（2））中的讨论）。因此limn→∞E[E]-根据Vitali的收敛定理，rσnYyσn]=0；3.

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kedemingshi

2022-5-6 08:00:43

从（3.30）开始EZσne-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈Cn}dt-Z∞E-rtcz（Xxt，z）1{（Xxt，Yyt）∈C} dt(3.32)≤ EZ∞E-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C\\Cn}dt+ EZ∞σne-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C} dt.（3.32）右侧的第一项收敛为零，为n→ ∞ 根据支配收敛和（3.31）（参考假设2.3-（iii）、2.4和备注2.5-（3））。同样，支配收敛和（3.21）givelimn→∞EZ∞σne-rt | cz（Xxt，z）| 1{（Xxt，Yyt）∈C} dt= 0.4. 由（3.31）可知，对于a.e.（t，ω）∈ R+×Ohm画→∞[0，σn]（t）e-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Anz}=e-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Az}。此外，由于u的Lipschitz连续性（参见假设2.2），E-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈澳新银行}≤ E-rt瑞伊特- u（Yyt）≤ E-rtC（1+Yyt），对于某些C>0取决于y和r。上述不等式的最后一个表达式可积于r+×Ohm 根据（2.10）和假设2.4。因此主导了收敛和（3.21）yieldlimn→∞EZσne-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈澳新银行= EZ∞E-rthrYyt- u（Yyt）i{（Xxt，Yyt）∈Az}dt.现在拿n→ ∞ 在（3.27）中，使用1-4 above，（3.13）如下。不可逆投资问题的最优边界154最优边界的表征在本节中，我们将提供最优停止问题族（3.2）的最优边界的表征。为此，我们提供资金*（x；z）：=inf{y∈ I | v（x，y；z）>-y} ，（x，z）∈ I×R+，（4.1）与约定inf =y、请注意，根据这个约定*（·；z）取I中的值。我们将在适当的条件下显示y*（·；z）将I×iI拆分为CZ和Az（参见（3.11））。此外，我们将描述y*（·；z）作为Fredholm型非线性积分方程的唯一连续解。备注4.1。获得最佳停止边界积分方程的一种常见方法是使用所谓的局部时空公式（参见[41]）。

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2022-5-6 08:00:47

在我们的例子中，这需要证明这个过程{y*（Xxt；z），t≥ 0}是每个给定z的半鞅∈ R+（见[41，Th.2.1]）。证明后者是极其具有挑战性的。我们得到了相同的积分方程，但采用了基于上一节结果的不同方法。在本节中，假设2.2、2.3、2.4、3.2和3.8将是持续假设，我们不会在下一个结果声明中重复这些假设。我们现在做出以下假设4.2。地图y 7→ 雷- u（y）在增加。提案4.3。在假设4.2下，有（参见（3.11））Cz={（x，y）∈ Q | y>y*（x；z）}，Az={（x，y）∈ Q | y≤ Y*（x；z）}。（4.2）证据。必须在y 7上显示→ v（x，y；z）+y对于每个x都是不变的∈ 一、 z∈ R+。集合u:=v+y，取y和yin=y>y，集合τ：=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cz}，这对v（x，y；z）是最佳的。从引理3.4，即著名的v和（2.8）的ic特征上的超臂，我们得到了u（x，y；z）- \'u（x，y；z）≥ EE-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）+ EZτe-rtRYyt- Yyt-u（Yyt）- u（Yyt）dt(4.3)≥ EE-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）,其中，最后一个不等式后面是（2.8）和假设4.2。注意，（4.3）中的最后一个表达式由于假设3.2和（3.18）而得到了很好的定义。此外，由于≥ 0它保持不变E-rτ\'u（Xxτ，Yyτ；z）- \'u（Xxτ，Yyτ；z）≥ - EE-rτu（Xxτ，Yyτ，z）. （4.4）假设2.4，命题3.5-（1）和sin ce 1{τ≤n} e-rτu（Xxτ，Yyτ；z）=0 P-a.s.，Fatou\'sLemma给定E-rτu（Xxτ，Yyτ；z）= E林恩芬→∞E-r（τ）∧n） \'u（Xxτ）∧n、 Yyτ∧Nz）≤ 林恩芬→∞EE-rn＠u（Xxn，Yyn；z）1{τ>n}= 0（4.5）不可逆投资问题的最优边界16现在（4.3）、（4.4）和（4.5）意味着Y7→ u（x，y；z）在增加，因此（4.2）保持不变。注意，（3.13）和（4.2）implyv（x，y；z）=EZ∞E-rtcz（Xxt，z）1{Yyt>y*（Xxt；z）}- （赖特）- u（Yyt））1{Yyt≤Y*（Xxt；z）}dt.

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能者818

2022-5-6 08:00:51

（4.6）在假设3.8下，（4.6）也可以用严格的分析方法表示为v（x，y；z）=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）败走恶犬*（ξ；z）p（t，y，η）dηdξdt（4.7）-Z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）Zy*（ξ；z）y（rη）- u（η））p（t，y，η）dηdξdt，对于任何（x，y，z）∈ O.提案4.4。根据假设4.2，一个有1。函数y*（·；z）对任何z都是不减损且右连续的∈ R+；2.函数y*（x；·）对于任何x都是非递增且左连续的∈ 我证据权利要求1和2随后对[31，第2.2项]的证明中的论点进行了改编，并使用了我们的命题3.5-（2）-（3）和命题3.6。从命题4.3和命题4.4-（1）中可以看出，CZ和Azare两个区域相互连接∈ R+，以及最佳停止时间τ*（3.12）中定义的（x，y；z）可以写成τ*（x，y；z）=infT≥ 0 | Yyt≤ Y*（Xxt；z）. （4.8）由于表达式（4.6）或（4.7），在以下进一步假设下，我们可以证明函数的C-正则性v.假设4.5。函数p（t，·，ξ）和p（t，·，η）对于每一个（t，ξ）都是不同的∈(0, ∞) ×i各（t，η）∈ (0, ∞) 分别为×I。此外，用p′i表示π对第二个变量的部分导数，它保持1）x 7→ p′（t，x，ξ）在Ifor all（t，ξ）中是连续的∈ (0, ∞ ) x i，对于任何（x，y，z）∈ O、存在δ>0使得supζ∈[x]-δ、 x+δ]p′（t，ζ，ξ）≤ ψ（t，ξ；δ）对于某些ψ∞E-rtZQψ（t，ξ；δ）p（t，y，η）cz（ξ，z）+ηdξdηdt<+∞ （4.9）2）y 7→ p′（t，y，η）在Ifor all（t，η）中是连续的∈ (0, ∞) x i，对于任何（x，y，z）∈ O、存在δ>0使得supζ∈[y]-δ、 y+δ]p′（t，ζ，η）≤ ψ（t，η；δ）对于某些ψ∞E-rtZQψ（t，η；δ）p（t，x，ξ）cz（ξ，z）+ηdξdηdt<+∞ （4.10）不可逆投资问题的最优边界命题4.6。在假设4.2和4.5下，有v（·；z）∈ C（Q）对于每个z∈ R+。证据

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2022-5-6 08:00:54

接下来是（4.7）、假设4.5和标准主导的收敛性论证。上述命题4.6特别说明了跨越自由边界的所谓平滑条件，即vx（·；z）和vy（·；z）在阿兹。目的是描述y的边界*（·；z）作为（参数）积分方程的唯一连续解，我们做了以下附加假设4.7。漂移系数u在陆地上持续存在差异uy<r。此外，u，σ∈ C1+δ（I），对于某些δ>0。提案4.8。在假设4.2、4.5和4.7下，函数y*（·；z）：我→连续的。证据我们知道函数y*（·；z）是不减损的，并且是命题4.4-（1）的右连续。因此，必须表明它也是连续的。借用[17]中的论点，我们通过矛盾来论证，我们假设存在x∈ Isuch thaty*（十）-; z）：=limx↑xy*（x；z）<y*（x；z）。然后，也存在y∈ iε>0，因此∑z:=（x- ε、 x）×（y）- ε、 y+ε） Cz，{x}×（y）- ε、 y+ε）阿兹。请注意，根据自由边界问题和最优停止的标准参数（参见第131页[40，第3章，第7节]的讨论，以及偏微分方程结果[28，第6章，第3节，第6.13节]），可以得出v（·z）∈ C（Cz）和σ（x）vxx（x，y；z）=-u（x）vx（x，y；z）- (利)- r） v（x，y；z）- cz（x，z），（x，y）∈ Cz。（4.11）另一方面，由于μ，σ∈ C1+δ（I），一致椭圆偏微分方程的正则性结果（参见[28，第6章，第6.17]等），意味着一个人实际上有vy（·；z）∈C2+δ（Cz）。

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2022-5-6 08:00:58

因此，我们可以根据y对（4.11）进行区分，以确定σ（x）（vy）xx（x，y；z）=-u（x）（vy）x（x，y；z）- （R）- r） vy（x，y；z），（x，y）∈ Cz，（4.12）式中（Rf）（x，y）：=σ（y）fy（x，y）+hσy（y）+u（y）ify（x，y）+uy（y）f（x，y），f∈ Cb（Q）。现在就拿y，y∈ （y）- ε、 y+ε，y<yand，setFφ（x；y，y，z）：=-zyvxx（x，y；z）φ′（y）dy，x∈ （十）- ε、 x），（4.13），其中φ是实值，任意选择φ∈ C∞c（y，y），φ≥ 0，Zyyφ（y）dy>0。不可逆投资问题的最优边界18从现在起，我们将用Fφ（x）代替Fφ（x；y，y，z）来简化表示法。将（4.12）的两个边乘以2φ（y）/σ（x），并对y进行部分积分∈ （y，y）；它遵循fφ（x）=-Zyyσ（x）hu（x）vxy（x，y；z）+（R- r） vy（x，y；z）iφ（y）dy（4.14）=u（x）σ（x）zyvx（x，y；z）φ′（y）dy+σ（x）zyvv（x，y；z）y（R）- r）*φ（y）dy，每x∈ （十）- ε、 x），带（R）- r）*表示（R）的伴随- r）。现在，重新定位4.6以及CZ和氮酮的定义也已被证实v（x，y；z）=-YY∈ [y，y]，vx（x，y；z）=0，Y∈ [y，y]，vy（x，y；z）=-1.Y∈ [y，y]。（4.15）因此，以（4.14）中的限制为例，得到一个slimx↑xFφ（x）=-σ（x）zyyy（R）- r）*φ（y）dy=σ（x）Zyy[（R- r） 1]φ（y）dy=σ（x）Zyyyu（y）- Rφ（y）dy<0，（4.16），其中最后一个不等式来自假设4.7。因为Fφ在（x）中是连续的-ε、 x），我们从（4.16）中看到，在x的左邻域中，它必须是Fφ<0，在没有任何一般性损失的情况下，我们假设Fφ<0 in（x）- ε、 x）。通过计算（4.13），我们得到了每个δ∈ （0，ε）0>Zxx-δFφ（x）dx=-Zxx-δZyyvxx（x，y；z）φ′（y）dy dx=-Zyy[vx（x，y；z）- vx（x- δ、 y；z） ]φ′（y）dy=Zyyvx（x）- δ、 y；z） φ′（y）dy=-zyvxy（x- δ、 y；z） φ（y）dy，by（4.15）和Fubini-Tonelli定理。这意味着vxy（·；z）>0 in∑zbyφ和δ的任意数，因此函数x7→ vy（x，y；z）在（x）中严格增加- ε、对任何人来说∈ [y，y]。然后从（4.15）vy（·z）的最后一个开始-1英寸∑z Cz。

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2022-5-6 08:01:02

（4.17）另一方面，vy（·；z）根据边界条件vy（·；z）=-1月1日Czby提案4.6。因此，它承认标准的费曼-卡茨表示法（参见[33，第5章，第7.B节]）vy（x，y；z）=Eh- eRτCzyu（~Yyt）-R不可逆投资问题的dti，（4.18）最优边界，其中τCz:=inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）/∈ Cz}，并带有yydYyt=hσy（~Yyt）+u（~Yyt）idt+σ（~Yyt）dWt，t>0，~Yy=y。自r>u假设4.7，（4.18）意味着vy（·；z）>-1在Cz中，反驳（4.17）并总结证据。为了找到y的上界*（·；z），我们现在表示f（x，y；z）：=cz（x，z）- u（y）+ry（x，y）∈Q、（4.19）和定义θ（x；z）：=inf{y∈ I | F（x，y；z）>0}∈一、 x∈ 一、（4.20）与公约 =y、值得一提的是，（3.1）和基于Q的小子集的onexit次的标准参数给出了以下inclusionAz L-z:=（x，y）∈ Q | cz（x，z）≤ u（y）- 雷. （4.21）那么，根据命题4.3和命题4.21，我们已经*（·；z）≤ θ（·；z）。（4.22）引理4.9。在假设4.2和4.7下，函数θ（·；z）是非减量连续的。此外，如果θ（x；z）∈ Ithenθ（x；z）是I中方程F（x，·；z）=0的唯一解（x，y）∈ Q | cz（x，z）- u（y）+ry<0= {（x，y）∈ Q | y<θ（x；z）}。（4.23）证据。从X7开始→ F（x，y；z）是非递增的（参见假设2.3-（ii））和y7→ 根据假设4.7和（x，y）7，F（x，y；z）处于下降状态→ F（x，y；z）不难看出θ（·；z）是不减损的，并且是右连续的。θ（·；z）的定义和F的连续性保证如果θ（x；z）∈ 伊森（x；z）解出I中的F（x，·；z）=0。假设4.7则意味着θ（x；z）实际上是这类方程的唯一解。现在让我们证明θ（·；z）是连续的。以θ（x；z）>为例，假设θ（x）-; z） <θ（x；z）。

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kedemingshi

2022-5-6 08:01:05

取一个序列{xn，n∈ N} 正在增加，这样xn↑ x、一个有F（xn，θ（xn；z）；z）≥ 0代表所有n∈ N，因此在极限中，我们得到F（x，θ（x-; z） )；z）≥0≥ F（x，θ（x；z）；z）这意味着θ（x-; z）≥ θ（x；z）自y 7以来→ F（x，y；z）在增加。显然（4.23）遵循了之前的属性。现在考虑一下有趣的类smz:={f:I→一、不可逆投资问题的最优边界为θ（·；z）}，且定义为：={x∈ I | f（x）∈ 一} ，f∈ Mz。很明显，Mzis是非空的，如θ（·；z）∈ Mzby引理4.9。此外，由于f的单调性，dfi是f的一个开子区间（可能为空）∈ Mz，也就是Df=（xf，xf），其中我们设置xf:=inf{x∈ I | f（x）>y}，xf:=sup{x∈ I | f（x）<y}，（4.24）与约定inf =x、小吃 = x、还要注意，通过f的单调性∈ Mzwe havef≡ （x，xf）上的y（如果后者是非空的）和类似的f≡y在（xf，x）上（如果后者是非空的）。给出了一个有趣的动作^y（·；z）∈ Mz，我们设定h（x，y；z）：=cz（x，z）1{y>^y（x；z）}-雷- u（y）{y≤^y（x；z）}（4.25）和defi new（x，y；z）：=EZ∞E-rtbH（Xxt，Yyt；z）dt. （4.26）注意w（x，y；z）≤ C（z）1+| x |β+| y|, 对于（x，y）∈ Q、（4.27）由Assum ptions 2.2、2.3、2.4（参见第（3.6）节）提供。此外，我们可以证实这一点E-rtw（Xxt，Yyt；z）+中兴通讯-rsbH（Xxs，Yys；z）ds，t≥ 0是一个（Ft）-鞅（4.28）和家族E-rτw（Xxτ，Yyτ；z），τ∈ T是一致可积的。为了简化符号，从现在开始，我们设置^x:=x^y（·；z），^x:=x^y（·；z），^Dz:=D^y（·；z），（4.29）和x*:=xy*（·；z），x*:= xy*（·；z），D*z： =Dy*（·；z）。（4.30）我们现在可以陈述本节的主要结果。我们使用[40，第25节]引用的论点和其中的参考文献。定理4.10。Le t假设4.2、4.5和4.7成立。假设Cz6= Az6=.

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2022-5-6 08:01:08

西尼*（·；z）是u形函数y（·；z）∈ MZ和Dy（·；z）6= 这样每x∈ Dy（·；z）它能保持-y（x；z）=z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）cz（ξ，z）Zyy（ξ；z）p（t，y（x；z），η）dηdξdt（4.31）-Z∞E-rtZxxp（t，x，ξ）Zy（ξ；z）y（rη）- u（η））p（t，y（x；z），η）dηdξdt。不可逆投资问题的最优边界。存在首先，我们观察到*（·；z）∈ Mzby命题4.4、4.8和（4.22）。事实上*（·；z）为每个x解（4.31）∈ D*Z通过在边界点（x，y）处计算（4.6）的两侧*（x；z））∈ Az，它产生- Y*（x；z）=z∞E-rtEhcz（Xxt，z）1{Yy*（x；z）t>y*（Xxt；z）}idt（4.32）-Z∞E-阿尔泰（莱伊）*（x；z）t- u（Yy）*（x；z）t）1{Yy*（x；z）t≤Y*（Xxt；z）}idt。从（4.32）和假设3.8中，我们可以看到y*（·；z）解（4.31）。独一无二。召回（4.29）和（4.30）。让^y（·；z）∈ Mzbe使得^Dz6= 求解^Dz上的（4.31）。我们需要证明^y（·；z）≡ Y*（·；z）。第一步。这里我们展示了^y（·；z）≥ Y*（·；z）。我们区分两种情况：当*Z∩^Dz6=当D*Z∩^Dz=. 注意，在一般情况下*Z∩^Dz=（x）*∨ ˇx，x*∧ ^x）。案例D*Z∩^Dz6=. 首先，我们证明了^y（·；z）≥ Y*D上的（·；z）*Z∩^dz稍后我们将证明I \\（D*Z∩^Dz）。自相矛盾地假设^y（x；z）<y*（x；z）对于某些x∈ D*Z∩^Dz，取y<^y（x；z）并设置σ=σ（x，y，z）：=infT≥ 0 | Yyt≥ Y*（Xxt；z）. 然后，从（3.17）和（4.28）开始，它遵循（直到引理A.2中常见的本地化参数）E-rσv（Xxσ，Yyσ；z）= v（x，y；z）+EZσe-rt瑞伊特- u（Yyt）dt, （4.33）EE-rσw（Xxσ，Yyσ；z）= w（x，y；z）- EZσe-rt^H（Xxt，Yyt；z）dt. （4.34）附录A中的引理A.2确保≥ 每一个地方和那个w（x，y；z）=v（x，y；z）=-y、因为y<^y（x；c）<y*（x；z）（参见（A-12））。然后，从（4.33）中减去（4.34），我们得到0≤ EZσe-rth瑞伊特- u（Yyt）+^H（Xxt，Yyt；z）idt= EZσe-rtcz（Xxt，z）-u（Yyt）- 瑞伊特{^y（Xxt；z）<Yyt<y*（Xxt；z）}dt.

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2022-5-6 08:01:13

（4.35）注意（Xx，Yy）轨迹的连续性和y的连续性*（·；z）给出σ>0P-a.s。此外，根据y的连续性*（·；z）和^y（·；z）一个人得到了那套（x，y）∈Q|^y（x；z）<y<y*（x；z）是开放的，不是空的。这些事实，再加上*（·；z）≤ θ（·；z）和with（4.23），意味着（4.35）中的最后一个表达式必须是严格负的，我们得出了一个矛盾。因此^y（x；z）≥ Y*（x；z），对于所有x∈ D*Z∩^Dz=（ˇx）∨ 十、*, ^x∧ 十、*). （4.36）现在我们证明^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I \\（D）上*Z∩^Dz），如果（D）*Z∩^Dz）6=. 由（4.36）和^y（·；z）和y的连续性*（·；z），我们推断不等式（4.36）也适用于区间的端点，即^y（x）*∨ ˇx；z）≥ Y*（十）*∨ ˇx；z）和^y（x）*∧ ^x；z）≥ Y*（十）*∧ ^x；z）。（4.37）它源自^x的定义和^y（·z）th在y=^y（^x；z）处的连续性。所以，如果我们用矛盾来争论，假设Gx>x*, 然后通过x的定义*我们会很紧张*（ˇx；z）>y。不可逆投资问题的后一个最优边界22（4.37）中的第一个不等式意味着y=^y（ˇx；z）≥ Y*（ˇx；z）>y，因此存在矛盾。因此，我们得出结论：≤ 十、*.通过应用于（4.37）中第二个不等式的阿洛古论证，我们也得到了x*≥ ^x因此*Z∩^Dz=（ˇx）∨ 十、*, ^x∧ 十、*) = （十）*, ^x）。通过^y（·；z）和y的单调性和连续性*（·；z），并通过定义^x和x*我们有*（x；z）=y代表x≤ 十、*^y（x；z）=y代表x≥ ^x.另一方面y*（x；z）≤ y和^y（x；z）≥ x代表所有y∈ 因此i^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I \\（D）上*Z∩^Dz）如所述。案例D*Z∩^Dz=. 通过单调性*（·；z）和^y（·；z），其中一个有^x≤ 十、*或者x≥ 十、*.如果^x≤ 十、*, 然后^y（·；z）≥ Y*（·；z）在I上；如果ˇx≥ 十、*, 我们可以使用与上述相同的参数来确定^x=x，这与^Dz6=.第二步。这里我们展示了^y（·；z）≤ Y*（·；z）。

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2022-5-6 08:01:17

自相矛盾地假设存在∈ 是不是^y（x；z）>y*（x；z）。拿y来说∈ （y）*（x；z），^y（x；z））并考虑停止时间τ*= τ*（x，y；z）：=inf{t≥ 0 | Yyt≤ Y*（Xxt；z）}。这是问题（3.2）的第一个最佳停止时间，因为它是停止区域Az的第一个进入时间（参见（3.12）和（4.2））。如上文脚背1，（3.17）和（4.28）所示-rτ*v（Xxτ）*, Yyτ*; z） i=v（x，y；z）- E“Zτ*E-rtcz（Xxt，z）dt#，（4.38）Ehe-rτ*w（Xxτ）*, Yyτ*; z） i=w（x，y；z）- E“Zτ*E-rtbH（Xxt，Yyt；z）dt#。（4.39）通过使用（3.18）和标准本地化参数，我们获得了EE-rτ*v（Xxτ）*, Yyτ*; z）=-EE-rτ*Yyτ*. 另一方面，我们从上面的第1步知道^y（·；z）≥ Y*（·；z），hen ceEE-rτ*w（Xxτ）*, Yyτ*; z）= - EE-rτ*Yyτ*根据（A-10），（A-12），y是一个自然边界点的事实，以及引理A.2的证明中的本地化参数。还考虑到≥ w（参考引理A.2）并从（4.38）中减去（4.39），我们得到0≥ E“Zτ*E-rtbH（Xxt，Yyt；z）- cz（Xxt，z）dt#=-E“Zτ*E-rt（cz（Xxt，z）+（rYyt）- u（Yyt）））1{y*（Xxt；z）<Yyt<y（Xxt；z）}dt#。（4.40）现在τ*> 0 P-a.s.通过（Xx，Yy）和y轨迹的连续性*（·；z）。此外，布景（x，y）∈ Q | y*（x；z）<y<^y（x；z）通过y的连续性，在Q中是开放的，而不是空的*（·；z）和^y（·；z）。假设y（·；z）≤ θ（·；z），这些事实加上（4.23）意味着（4.40）中的最后一项必须是严格肯定的，从而导致矛盾。因此，^y（·；z）≤ Y*（·；z）。不可逆投资问题的最优边界注4.11。以规范的Fredholm形式表述（4.31）很有趣，因为关于这类非线性积分方程的数值方法存在大量文献。

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