具有固定调整成本的不可逆投资：一个随机模型

2022-6-2 22:19:12

具有固定调整成本的不可逆投资：随机脉冲控制方法Salvatore Federico*Mauro Rosestolato+Elisa Tacconi2019年2月5日摘要我们考虑了有限时间范围内的最优随机脉冲控制问题，其动机是具有固定调整成本的不可逆投资选择模型。利用粘性解技巧，借助半凸变元，证明了值函数是相关拟变分不等式的经典解。这使我们能够描述连续区域和动作区域的结构，并构造最优控制。最后，我们关注线性情况，通过数值分析讨论了解对问题相关参数的敏感性。关键词：脉冲随机最优控制，拟变分不等式，粘性解，不可逆投资，固定成本。A、硕士学科分类：93E20（最优随机控制）；35Q93（连接控制和优化中的PDE）；35D40（粘度溶液）；35B65（溶液的光滑性和正则性）。J、 E.L.主题分类：C61（优化技术；编程模型；动态分析）；D25（跨期企业选择：投资、能力和融资）；E22（投资；资本；无形资本；能力）。确认。作者衷心感谢副主编和两位匿名推荐人的仔细阅读和非常有价值的评论，这些评论改进了论文的最终版本。他们还感谢乔治·法拉利（GiorgioFerrari）提出了非常宝贵的意见和建议。

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2022-6-2 22:19:16

Mauro Rosestolato感谢锡耶纳大学政治经济学和统计系2017年3月的盛情款待，以及由基金会和Risparmio Casse Spa协会资助的资助青年调查员培训计划，以支持此次访问。他还感谢ERC 321111公司的财政支持。内容1简介2*Dip。锡耶纳大学政治与统计学院（意大利）。电子邮件：salvatore。federico@unisi.it.+法国巴黎理工学院CMAP。电子邮件：mauro。rosestolato@gmail.com.意大利米兰博科尼大学Dipartmento di Finanza。电子邮件：elisa。tacconi@unibocconi.it.2问题公式53关于值函数的初步结果74动态规划114.1延续和作用域。124.2动态规划原理和粘度解决方案。144.3值函数的规律性。155值函数的显式表达式166最优控制247线性情况下的数值说明277.1数值说明。297.1.1波动性的影响。297.1.2固定成本的影响。30A附录311简介在本文中，我们考虑一个一维随机脉冲最优控制问题，该问题建模了具有固定调整成本的不可逆投资经济问题。设X={Xt}t≥0是一个实值积极过程，代表一个经济指标（如一个国家的GDP、一个企业的生产能力等），规划师/管理者可以对其进行干预。

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2022-6-2 22:19:18

当不进行干预时，假设过程X根据时间均匀it^o扩散自主演化。另一方面，规划者可以通过选择一系列干预日期{τn}n，对这一过程采取行动，增加其价值≥1和干涉振幅{in}n≥1，in>0（）。因此，控制由偶序列{（τn，in）}n表示≥1：第一个分量表示干预时间，第二个分量表示干预的大小。控制器的目标是最大化所有容许控制集上的预期总折扣收入“Z∞e-ρtf（Xt）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#，其中f是一个奖励函数，c>0和c>0分别表示干预的比例成本和固定成本，ρ>0是一个贴现因子。从建模的角度来看，我们的问题是将文献中已处理的相同问题“扩展”到c>0的情况，即c=0的情况（参见，例如，[63，Ch.4，Sec.5]）。在这方面，它适用于产能扩张的经济问题，尤其是不可逆的投资问题（）。从理论上讲，引入固定控制成本是相关的，因为它导致了一个作为单一控制问题的问题（在最优控制存在的意义上）。实物期权的经济文献中表示，投资是不可逆的，只允许积极干预，即in>0。除【63，Ch.4，Sec.5】外，无固定投资成本的不可逆和可逆投资问题主要在数学经济学文献中处理，无论是在有限期还是在有限期内。我们在其他人中提到，[1、2、4、5、10、11、24、23、28、37、40、42、32、33、38、41、53、55、59、64、70]。一个适定为脉冲控制问题的问题（）。这种变化在理论层面上并非无价。

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2022-6-2 22:19:22

事实上，引入固定控制成本有两个令人不快的影响。首先，它破坏了目标函数的凹性，即使收益函数是凹的。其次，当用动态规划技术（正如我们所做的）来处理问题时，动态规划方程有一个非局部项，并采用拟变分不等式（QVI，下文）的形式，而在奇异控制情况下，它是一个变分不等式。相关文献。首先，值得注意的是，随机脉冲控制设置已广泛应用于多个应用领域：例如，汇率和利率[21，51，56]，交易成本投资组合优化[34，49，57]，库存和现金管理[12，20，27，30，31，44，45，58，62，67，68，71]，实物期权[47，54]，可靠性理论[7]。最近，研究了随机脉冲控制的博弈，并将其应用于污染[39]。从建模的角度来看，最接近我们的作品可以被认为是[3、6、26、35、49]。在理论方面，从经典书籍【17】开始，有几项工作研究了Rn中与随机脉冲最优控制相关的QVIs。其中，我们提到了最近在扩散环境中的[43]，以及在跳跃扩散环境中的[14，29]。特别是，[17，Ch.4]涉及到索波列夫型溶液，而[43]涉及到粘度溶液。这两个工作证明了一个W2，前性，p<∞, 对于QVI的解，通过经典的Sobolev嵌入，得到了aC正则性。然而，通常不容易通过这种规律性获得关于所谓连续区域和作用区域结构的信息，从而获得关于候选最优控制的信息。如果建立了这种结构，那么可以尝试证明一个验证定理，以证明候选最优控制实际上是最优的。

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2022-6-2 22:19:25

在一个程式化的一维示例中，[43，Sec.5]成功地利用了[43，Sec.4]中证明的正则性结果来描述当前问题的延续和作用区域的结构，从而使用了这种方法。关于验证，我们需要提及最近的论文【15】，该论文基于随机Perron方法，在相当普遍的情况下提供了非光滑验证，以构建QVI的粘度解；在最后一节中，本文还提供了这些结果在一维问题上的应用，并给出了一个可实现的解决方案。在维一中，基于过度映射和迭代最优停止方案的其他方法已成功应用于随机脉冲控制（见[3，6，35，46]）。最近，这些方法被扩展到了度量空间中的马尔可夫过程（见[25]）；在一维示例中再次显示了对解决方案的完整描述。捐款从方法论的角度来看，我们的工作接近于[43]。与后一种方法一样，我们采用基于粘度溶液的直接分析方法，不采用guess-and-verifyapproach（）。事实上，我们直接提供了必要的最优性条件，通过唯一性，充分描述了解决方案。特别是，我们没有像通常在猜测和验证方法中那样假设平滑原则，但我们直接证明了它（.）。据我们所知，文献中似乎仍然缺少对本文所处理的特定问题的严格分析处理。

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2022-6-2 22:19:28

需要注意的是，我们的分析得出了一个完整的随机脉冲控制设置，该设置已广泛应用于其他几个应用领域：例如，汇率[21，51]、交易成本投资组合优化[49，57]、库存和现金管理[27，67，68]和实物期权[47，54]。例如，参见[13、27、49、50、57]，在跳跃扩散的更一般背景下，参见[60，Ch.6]，了解猜测和验证方法。当扩散假设为瞬态时，通过基于过度函数的技术（见[66]）也建立了平滑原则。通过识别连续区域和作用区域，可实现对最优控制策略的表征。由于上述基于过度映射的技术非常适合我们的问题（即使在较弱的假设下），因此值得指出的是，我们的贡献是方法论的。众所周知，在随机脉冲控制问题中，最优控制的（可实现的）表征是一项具有挑战性的任务。因此，手头有一种像我们这样的方法是很重要的，这种方法可以推广到多维环境中解决脉冲控制问题。在这方面，值得注意的是：据我们所知，唯一一项通过二维（S，S）规则提供二维解决方案完整图片的研究是最近的论文【16】。那里使用的技术是分析性的，并基于对QVI的研究。

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2022-6-2 22:19:32

不幸的是，在本文中，作者只能在非常特殊的情况下提供完整的解决方案在存在半凸数据的情况下，我们基于半凸性和粘性性质证明值函数的Cregularity的方法，与[43]不同，可能成功地证明了沿非退化方向的方向正则性结果（在奇异控制上下文中参见[37]）上述方向正则性结果可能足以推导出正确的最优性条件来解决控制问题（在单一控制上下文中再次参见[37]）。目录在第2节中，我们设置了问题。在第三节中，我们陈述了关于值函数v的一些初步结果，特别是我们证明了它是半凸的。在第4节中，我们推导了与v相关的qvia，并表明它在粘度意义上解决了后者。然后，我们证明V在延拓区域（QVI的微分部分保持相等的区域，见下文）中属于类Cin，在整个状态空间中属于类Con（定理4.6，我们的第一个主要结果），从而证明了光滑fit原理。我们证明了后一个结果，仅依赖于v的微凸性，并揭示了粘性上解的性质；与[43]不同，这允许我们避免使用深入的理论结果，如Calderon-Zygmund估计。因此，对于上述参考，从理论角度来看，我们的证明方法更便宜；另一方面，它在很大程度上依赖于保证v的半凸性的假设。在第5节中，我们使用后一种正则性来建立连续区域和作用区域的结构，这是问题的真正未知部分，表明它们都是区间。这使得我们可以显式地将v表示为三变量非线性代数系统的解（Theorem5.11，我们的第二个主要结果）。

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2022-6-2 22:19:35

在第6节中，根据前一节的结果，我们可以构建一个最优控制策略（定理6.1，我们的第三个主要结果）。后者基于所谓的（S，S）-规则（）：每当状态进程达到最低级别S（“触发器”边界）时，控制器就会动作，并立即将系统置于级别S>S（“目标”边界）上。最后，在第7节中，我们提供了一个数值例子，说明了当X在两个时间间隔之间遵循几何布朗运动动力学时的解，分析了解对波动系数σ和to以及固定成本c的敏感性。这是库存问题经济学文献中的一条众所周知的规则，请参见[8、67、68]。2问题公式我们介绍一些符号。我们设置+：=[0+∞), R+：=[0+∞], R++：=（0+∞).集合R++将是我们控制问题的状态空间。在本文中，我们采用了约定e-∞= 0和inf；=∞. 此外，我们只使用符号∞ 代替+∞ 当涉及正数且不会产生混淆时。最后，符号n将始终表示一个自然数。让(Ohm,F，{Ft}t≥0，P）是一个满足通常条件并支持一维布朗运动W={Wt}t的过滤概率空间≥我们表示F：={Ft}t∈R+，其中我们设置f∞:=_t型∈R+Ft。取b，σ：R→ R满足以下假设2.1。b、 σ：R→ R是Lipschitz连续函数，Lipschitz常数Lb和Lσ分别等于0(-∞, 0），且R++上σ>0。此外，b，σ∈ C（R+）和b，σ在R++上是Lipschitz连续的，Lipschitz常数分别为Lb和Lσ>0。备注2.2。当人们想要改善随机最优控制问题中值函数的半凸性/半凹性时，b，σ是Lipschitz连续的要求是典型的（参见经典参考文献[72，Ch.4，Sec。

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2022-6-2 22:19:39

4.2]在常规随机控制的情况下；[14] 在脉冲控制方面）。我们使用这个假设，因为正如引言中所述，在我们的方法中，值函数的半凸性的证明将是证明Cregularity的关键一步。设τ为（可能不确定）F-停止时间，ξ为Fτ-可测随机变量。根据标准SDE的Lipschitz系数理论，假设2.1保证存在唯一（不可区分）的F适应过程Zτ，ξ={Zτ，ξt}t≥0在[τ]上有连续轨迹，∞), 使得zτ，ξt=t为0∈ [0，τ）ξ+Ztτb（Zτ，ξs）ds+Ztτσ（Zτ，ξs）dWsP-a.s.，对于t≥ τ.（2.1）此外，通过将[48，Sec.5.2，Prop.2.18]直接改编为随机初始数据，我们得到ξ，ηFτ-可测量的随机变量，ξ≤ ηP-a.s==> Zτ，ξt+τ≤ Zτ，ηt+τP-a.s。，t型≥ 0。（2.2）现在x x x∈ R++。根据（2.2）和假设2.1，Z0，x取R+中的值。由于R++上σ的非退化假设，作为[48，Sec.5.5.C]结果的结果，过程Z0，xis a（时间均匀）在R++上的正则扩散；i、 e.设置τx，y：=输入≥ 0:Z0，xt=yo，一个搭扣{τx，y<∞} > 0y∈ R++。在附录中，我们表明假设2.1保证边界0和+∞ 对于Z0，xin是自然的，这是Feller分类的意义。我们现在介绍一组容许控制及其相应的控制过程。作为一组可容许的控制（即可行的投资策略），我们考虑偶的所有序列的集合i={（τn，in）}n≥因此：（i）{τn}n≥1是R+-值F-停止时间的递增序列，使得τn<τn+1P-a.s.在集合{τn<∞} 安德林→∞τn=∞ P-a.s。；（2.3）（ii）{in}n≥1是一个R++值随机变量序列，使得inis Fτn可测≥ 1.（iii）以下可积条件成立：Xn≥1E英镑-ρτn（in+1）·<∞.

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2022-6-2 22:19:43

（2.4）对于n≥ 1，τn表示干预时间，而in表示相应干预时间τn处的干预大小。条件（2.3）确保在限定的时间间隔内，只执行限定数量的动作。我们允许τn=∞ 定义上，这意味着只采取了有限数量的行动。条件（2.4）确保以下功能定义得到充分定义。我们把空控制称为任何序列{（τn，in）}n≥1使τn=∞ 对于每个≥ 1中的任何一个表示为；。注意，使用相同的符号；对于我们将要定义的控制问题，零控制并不含糊，因为任何零控制都会产生相同的回报。给定控制I∈ I，初始停止时间τ≥ 0和一个随机变量ξ>0 P-a.s.Fτ可测量，我们用Xτ，ξ，I={Xτ，ξ，Ir}r表示∈[0,∞)[τ]上的唯一（直至不可区分）cádlágprocess，∞) 求解SDE（积分形式）Xτ，ξ，It=t为0∈ [0，τ）ξ+Ztτb（Xτ，ξ，Is）ds+Ztτσ（Xτ，ξ，Is）dWs+Xn≥1[τ，r]（τn）·信息∈ [τ,∞)（2.5）如果t=0和ξ≡ x个∈ R++然后我们表示X0，ξ，Iby Xx，I。很容易看出，如果τ是另一个停止时间，那么τ≥ τ、那么以下流动特性保持真Xτ，ξ，它=Xτ，Xτ，ξ，Iτ0-,它t型≥ τ、 P-a.e。。（2.6）注意，在不可区分的情况下，我们有Xx，；=Z0，x.此外，根据约定设定τ：=0，i：=0，和x-:= x、我们在n上递归∈ NXx，It=Zτn，Xx，Iτntt型∈ [τn，τn+1），P-a.s。，然后，通过（2.2），我们有以下关于初始数据xx的受控过程的单调性，它≤ Xx，ItP-a.s。，t型≥ 0, 我∈ 我x、 x：0<x≤ x、（2.7）接下来，我们介绍优化问题。给定ρ>0，f:R++→ R++可测量，c>0，c>0，我们定义了支付函数J byJ（x，I）：=E“Z∞e-ρtf（Xx，It）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#，x个∈ R+，我∈ 我

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2022-6-2 22:19:46

（2.8）我们注意到（2.4）和f从下方有界这一事实确保了J（x，I）得到了很好的定义，并取R中的值∪ {∞}.我们将利用以下关于f的假设。假设2.3。f∈ C（R++；R+），f>0，fis严格下降，f满足以下条件：∞:f级(∞):= 林克斯→∞f（x）=0。最后，在不丧失一般性的情况下，我们假设f（0+）：=limx→0+f（x）=0。注意MB：=usupx∈R++b（x）P+<∞ （2.9）根据假设2.1。以下假设将确保问题的完整性（提案3.2）。假设2.4。ρ>Mb。假设2.1、2.3和2.4将贯穿手稿的其余部分。我们解决的最优控制问题在于最大化函数（2.8）overI∈ I，即，对于每个x∈ R+，我们考虑最大化问题SUPI∈IJ（x，I）。（P）备注2.5。c>0意味着投资发生时有固定成本。这提供了（P）是一个脉冲控制问题，即在脉冲控制类中可以找到最优控制。如果c=0（仅按比例干预成本），提供最优控制的设置将是更一般的单一控制设置（参见[63，Ch.4]）。对于脉冲控制和奇异控制的比较，我们参考[18]；关于引入固定成本的相关性，我们参考[61]，其中c→ 已调查0。在第7.1.2小节中，我们通过numericaloutputs对该问题进行了评论。我们还注意到，可以考虑更一般的干预成本C:R++→ R+递增且凸，（例如，C（i）=αi+βi+cw，其中α、C>0和β≥ 0). 我们相信，至少对于此类成本函数的可测量子类，该解决方案将描述与我们在这里提供的最终情况相同的结构（即C（i）=ci+C）。

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2022-6-2 22:19:50

另一方面，我们强调，在许多方面，我们的证明利用了成本的精确结构，而推广似乎并不简单。3关于值函数的初步结果在本节中，我们介绍了与（P）相关的值函数，并建立了它的一些基本性质。我们定义了价值函数v byv（x）：=supI∈IJ（x，I），x个∈ R++。（3.1）我们注意到v是R+-值，假设为2.3v（x）≥ J（x，；）=^v（x）：=E·Z∞e-ρtf（Xx，；t）dt,≥ 0x个∈ R++。（3.2）注意，当f>0（假设2.3）和（2.7）时，^v是不递减的。提案3.1。v表示不减损。证据设0<x≤ x、由于f>0（见假设2.3），从（2.7）我们得到J（x；I）≤ J（x；I）代表everyI∈ 我这一主张随后将最高法院接管I∈ 我我们用f表示*R++：f上f的Fenchel-Legendre变换*（α）：=supx∈R++(c)f（x）- αxa，α ∈ R++。（3.3）f的非负性和连续性（见假设2.3）和条件f(∞) = 0（同样假设2.3）保证0≤ f*(α) < ∞ 对于所有x∈ R++。提案3.2。对于所有α∈0，cρ我们有0≤^v（x）≤ v（x）≤f*（α） ρ+αxρ，x个∈ R++（3.4）和Limsupx→∞v（x）x=0。（3.5）证明。事实上，0≤^v≤ v已在（3.2）中注意到。我们展示了剩余的不等式。让x∈ R++和I∈ 我对于R>0，确定停止时间^τR：=infnt≥ 0:Xx，It≥ Ro。注意，由于b∈ 根据假设2.1，C（R++；R）和b（0）=0，中值定理yieldsb（ξ）≤ b（0）+Mbξ=Mbξ，ξ ∈ R、（3.6）（2.9）中定义了MBI。设τ：=0，设t∈ R++。

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2022-6-2 22:19:53

将It^o的公式应用于Д（s，Xx，Is）：=e-ρsXx，Is，s∈ [0，^τR），在考虑到Xx是∈ （0，R）表示s∈ [0，^τR），n上的求和∈ N、使用（3.6）和2.4，我们得到-ρtXx，It∧^τRi=x- ρ中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）Xx，Isids+中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）b（Xx，Is）ids+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#≤x+（Mb- ρ）中兴通讯-ρsEh[0，^τR]（s）Xx，Isids+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#≤x+e-ρtE“Xn≥1，τn≤t型∧^τRin#。通过Fatou引理，让R→ ∞ 观察τR→ ∞ P-a.s.，我们得到了-ρtXx，Iti≤ x+e-ρtE“Xn≥1，τn≤锡#。（3.7）通过积分（3.7）右侧的第二项，我们使用Fubini-Tonelli\'sTheorem（因为所有涉及的被积函数都是非负的）E“Z∞~Ae-ρtXn≥1，τn≤锡dt#=E“Xn≥1uZ∞τne-ρ（t-τn）dtPe-ρτnin#=ρE“Xn≥1e级-ρτnin#。（3.8）因此，考虑到（3.7）、（3.8）和（2.4），我们有e·Z∞e-ρtXx，Itdt,≤ρ~Ax+E“Xn≥1e级-ρτnin#！<∞. （3.9）现在让α>0。通过定义f*到（3.9），我们可以写“Z∞e-ρtf（Xx，It）dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#≤ E“Z∞e-ρtf*（α） +αXx，It'dt-Xn公司≥1e级-ρτn（cin+c）#≤f*（α） ρ+αxρ+uαρ- cPE“Xn≥1e级-ρτnin#。通过I的任意性∈ I，ifα∈0，cρ，后者提供了（3.4）中的最后一个不等式。现在开始α∈ （0，cρ）。根据（3.4），我们有0≤ limsupx公司→∞v（x）x≤ αlim supx→∞v（x）αx≤ αlimsupx→∞f*（α） αρx+ρ=αρ通过α的任意性我们得到（3.5）。假设3.3。以下条件成立。（i） ρ>max(c)B，Ca其中B，关注引理A.3中定义的常数。（ii）对于每个β>0，M（β）：=E·Z∞e-ρtf（Xβ，t）'dt,<∞. （3.10）（iii）对于每个η>0，函数f是[η]上的半凸，∞). 确切地说，存在一个非递增函数K:R++→ R++使得f（λx+（1- λ） y）- λf（x）- (1 - λ） f（y）≤ K（η）λ（1- λ）（y）- x），则，λ ∈ [0,1], x、 y型∈ [β,∞). （3.11）（iv）函数Kin（iii）对于每个β>0，^M（β）：=E·Z∞e-ρtK（Xβ，；t）'dt,<∞. （3.12）备注3.4。半凸函数是可以写成凸函数和二次函数之差的函数（参见[26，Prop。

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2022-6-2 22:19:57

1.1.3]或[72，第4章，第4.2节]）。此外，函数∈ C（[β，∞);R）用K（η）验证（3.11）：=-2 inf[η，∞)f（再次参见[26，第1.1.3款]）。以下命题表明，幂函数满足假设3.3（ii）–（iv）。提案3.5。让f∈ C（R++；R）使得f>0，f<0，和f（ξ）≤ C（1+|ξ|γ-1），f（ξ）≥ -C（1+|ξ|γ-2) ξ ∈ 对于某些C>0和γ，R++（3.13）∈ （0,1），且ρ>Lb（1-γ） +Lσ（1-γ)(2- γ). 然后满足假设3.3（ii）–（iv）。证据让β∈ 并观察到，根据假设2.1，我们有| b（ξ）|≤ Lb |ξ|，|σ（ξ）|≤ Lσ|ξ|ξ ∈ R通过一个类似于命题3.2的prof的本地化过程（现在保持过程Xβ，远离0），我们从It^o的公式中得到-ρt'Xβ，；t’’γ-1i=|β|γ-1+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-1+ (γ - 1） \'\'Xβ，；s’’γ-2b（Xβ，；s）+（γ- 1)(γ - 2） \'\'Xβ，；s’’γ-3σ（Xβ，s）,ds,≤ |β|γ-1+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-1+磅（1- γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1+Lσ（1- γ)(2 - γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1,ds,。然后，假设3.3（ii）遵循（3.13）并将Gronwall引理应用于上述不等式。此外，请注意，由于ξ7→ -C（1+|ξ|γ-2）为负且不断增加，通过备注3.4和（3.13），我们得出f验证假设3.3（iii）和K（η）：=-2γ(γ - 1)ηγ-2.x个∈ R++。（3.14）最后，与上述类似，我们有-ρt'Xβ，；t’’γ-2i=|β|γ-2+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-2+ (γ - 2） \'\'Xβ，；s’’γ-3b（Xβ，；s）+（γ- 2)(γ - 3） \'\'Xβ，；s’’γ-4σ（Xβ，s）,ds,≤ |β|γ-2+E·中兴通讯-ρs·-ρ′Xβ，；s’’γ-2+磅（1- γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1+Lσ（1- γ)(2 - γ） \'\'Xβ，；s’’γ-1,ds,。然后，假设3.3（iv）来自应用于上述不等式的Gronwall引理和（3.14）中的引理。备注3.6。注意，如果ρ满足假设3.3（i），那么它也满足假设3.5的要求。提案3.7。假设3.3成立。那么v是[β]上的半凸，∞) 对于每个β>0，即每个β>0存在K（β）>0，使得v（λx+（1- λ） y）- λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ K（β）λ（1- λ）（十）- y）λ ∈ [0,1], x、 y型∈ [β,∞). （3.15）证明。

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2022-6-2 22:20:00

固定β>0。设x，y∈ [β,∞) 带x≤ y、而我∈ 我对于每个λ∈ [0,1]集zλ：=λx+（1）- λ） yand∑λ，x，y，I：=λXx，I+（1- λ） Xy，I。我们写j（zλ，I）- λJ（x，I）- (1- λ） J（y，I）=E·Z∞e-ρtf（Xzλ，It）- λf（Xx，It）- (1 - λ） f（Xy，It）'dt,==E·Z∞e-ρtf（Xzλ，It）- f（λ∑，x，y，It）'dt,+E·Z∞e-ρtf（λ∑，x，y，It）- λf（Xx，It）- (1 - λ） f（Xy，It）'dt'。应用H"older不等式，观察Xβ，；≤ Xzλ，I∧ ∑λ，x，y，I，即fis递减，使用假设3.3（I），并使用引理A.3（ii），我们写下≤ E·Z∞e-ρtf（Xβ，；t）(R)Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''''dt,≤uE·Z∞e-ρtf（Xβ，t）'dt'1/2uE·Z∞e-ρt''Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''dtP1/2≤ M（β）1/2uE·Z∞e-ρt''Xzλ，It- ∑λ，x，y，It''dtP1/2≤ M（β）1/2uZ∞e-ρtAeBtdtP1/2λ（1- λ） | x- y |=A1/2M（β）（ρ- B） 1/2λ（1- λ） | x- y |。此外，通过假设3.3（i）、（iii）、（iv），再次使用霍尔德不等式和应用引理A.3（i），我们得到了≤ λ(1 - λ） E·Z∞e-ρtK（Xβ，；t）(R)Xy，It- Xx，It‘’’dt,≤ λ(1 - λ） uE·Z∞e-ρtK（Xβ，t）'dt'1/2uE·Z∞e-ρt''Xy，It- Xx，ItPdtP1/2≤ λ(1 - λ） ^M（β）1/2uZ∞e-ρteCtdtP1/2 | x- y |=^M（β）1/2（ρ- C） 1/2λ（1- λ） | x- y |。现在，让δ>0，让I等于v（z）≤ J（z，I）+δ。providev（z）上的不等式- δ - λv（x）- (1 - λ） v（y）≤ J（z，I）- λJ（x，I）- (1- λ） J（y，I）≤ K（β）λ（1- λ） | x- y型|x、 y型≥ β, λ ∈ [0,1]，其中K（β）：=^M（β）（ρ-C） 1/2+A1/2^M（β）（ρ-B） 1/2。然后通过δ的任意性得到（3.15）。鉴于以下结果依赖于v的半凸性，假设3.3将代表本节以及第4、5、6节的其余部分。定义spaceLiploc，c（R++）：=u:R++→ R++，s.t.lim-supx上的R局部Lipschitz连续→∞u（x）x<c.（3.16）我们记得开集上的半凸函数是局部Lipschitz函数。因此，根据命题3.2和3.7，我们有v∈ Liploc，c（R++）。

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2022-6-2 22:20:04

下一节将使用空间Liploc，c（R++）。4动态规划与我们的动态优化问题相关的动态规划方程是拟变分不等式（参见，例如，[17]）min(c)L u- f、u- M ua=0，（QVI），其中L和M是由L u（x）正式定义的运算符：=ρu（x）- b（x）u（x）-σ（x）u（x），x∈ R++，（4.1）M u（x）：=supi>0{u（x+i）- ci公司- c} ，x∈ R++。（4.2）我们注意到L是一个微分算子，因此它具有局部性质，而M是一个具有非局部性质的函数算子。4.1延续和作用区域在这里，我们定义并研究状态空间R++中延续和作用区域的第一个属性。引理4.1。M将Liploc、c（R++）映射到自身中。证据让u∈ Liploc，c（R++）。然后存在x，ε>0，使得u（x）x- c≤ -ε x个≥ x、（4.3）乘以（4.3），对于所有i>0，x≥ x、我们有（x+i）- （ci+c）=（x+i）uu（x+i）x+i- cP+cx- c≤ （c）- ε）因此，通过取i>0的上确界，M u（x）x≤ c- ε x个≥ x、这表明limsupx→∞mu（x）x<c。现在我们证明mu在[M]上是Lipschitz连续的-1，M]，每M>0。使用（4.3）可以显示Limsupi→+∞supx公司∈[米-1，M）(c)u（x+i）- cia=-∞. （4.4）SetU（x）：=sup(c)i∈ R++：u（x+i）- ci公司≥ u（x）- 1ax个∈ [米-1，M]。极限（4.4）规定存在R>0，使得u（x）≤ Rx个∈ [米-1，M]。因此，我们有m u（x）=supi∈（0，R）{u（x+i）- ci公司- c}x个∈ [米-1，M]。（4.5）现在，让^L为u |[M]的Lipschitz常数-1，M+R]。那么，如果M-1.≤ x<y≤ M、 0<i≤ R、我们可以写（x+i）- （ci+c）-^L（y- x）≤ u（y+i）- （ci+c）≤ u（x+i）- （ci+c）+^L（y）- x）。（4.6）现在，该权利主张以最高法院对i∈ （0，R）打开（4.6）并收回（4.5）。根据v的定义，我们有v（x）≥ v（x+i）- ci公司- ci>0，（4.7）hencev≥ M v.（4.8）我们定义了连续区域C和作用区域A byC：=(c)x∈ R++：M v（x）<v（x）a（延续区）（4.9）A：=R++\\C=(c)x∈ R++：M v（x）=v（x）a（动作区域）。

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2022-6-2 22:20:09

（4.10）它们将分别代表便于系统自主进化的区域和便于通过使用animpulse进行操作的区域。根据命题3.2和引理4.1，（4.8）的两个成员都是有限连续函数。特别是，在R++中，C是打开的，A是关闭的。对于x∈ A，让我们介绍集合Ξ（x）：=argmaxi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca。如果x，则显然Ξ（x）为空∈ C原则上，即使x∈ A，但这不是如下所示的情况。提案4.2。让x∈ A.（i） Ξ（x）不是空的。（ii）对于所有ξ∈ Ξ（x），我们有x+ξ∈ C证据（i）让x∈ 并取序列{in}n∈N \\{0} R++使得m v（x）≥ v（x+英寸）- cin公司- c≥ M v（x）-nn∈ N \\{0}。（4.11）那么，考虑到limsupi→∞根据命题3.2，v（x+i）x+i=0，并且M v（x）是有限的，我们很容易通过矛盾的方式证明，为了填充（4.11），序列{in}n∈n必须有界。因此，如果必要，通过考虑子序列，我们在→ 我*∈ R+。让我们证明我*> 事实上，通过矛盾假设我*= 根据（4.11），考虑到v是连续的，v（x）=M v（x）为x∈ A，我们得到v（x）=M v（x）≤ v（x）- c、矛盾。那么我们已经证明我*> 从（4.11）中，我们通过连续性得到M v（x）=v（x+i*)- ci公司*- C索赔如下。（ii）证明的这一部分与[43，第2款]的证明密切相关。为了简洁起见，我们省略了它。注意，作为命题4.2的结果，我们得到了C 6=；。实际上，A=；，thusC=R++；或A 6=；，因此，C 6=；根据提案4.2（ii）。形式上，命题4.2（ii）表示，如果系统处于位置x∈ A：（i）存在最优控制（第（i）部分）；（ii）该最优控制将系统置于C中（第（ii）部分）。

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2022-6-2 22:20:13

我们将在事后严格核实这一事实。4.2动态规划原理和粘度解v和（QVI）之间的严格联系通过动态规划原理（DPP）。提案4.3。对于每x>0和每F-停止时间τ∈ R+，v（x）=supI∈IE“Zτe-ρsf（Xx，Is）ds-Xn公司≥1，τn≤τe-ρτn（cin+c）+e-ρτv（Xx，Iτ）#。（DPP）证明。我们参考[22]（对于有限视界的情况；我们的公式是时间均匀有限视界问题的常用公式）。这里我们用粘度溶液研究（QVI）。定义4.4（粘度溶液）。让u∈ Liploc，c（R++）。（i） u是（QVI）的粘度亚分辨率，如果为（x，Д）∈ R++×C（R++），使u- ^1在x和u（x）=Д（x）时有一个局部最大值，我们有最小值(c)LД（x）- f（x），u（x）- M u（x）a≤ 0;（ii）u是（QVI）的粘度上解，如果对于每（x，Д）∈ R++×C（R++），使u- ^1在x和u（x）=Д（x）处有局部最小值，我们有最小值(c)LД（x）- f（x），u（x）- M u（x）a≥ 0;（iii）u是（QVI）的粘度溶液，如果它既是（QVI）的粘度亚溶液又是（QVI）的粘度上溶液。提案4.5。值函数v是（QVI）的粘度解。证据上解性质。让x∈ R++和Д∈ C（R++）是这样的- Д在x和v（x）=Д（x）处有一个局部最小值。特别是，v≥ 开启（x）- δ、 x+δ）表示合适的δ∈ （0，x）。在（4.8）中，我们只需要显示LД（x）- f（x）≥ 为此，考虑停车时间τ：=infnt≥ 0：| Xx，；t型- x |>δo，注意，通过轨迹的连续性，P{τ>0}=1。然后，从（DPP）我们得到v（x）≥ E·Zτ∧εe-ρtf（Xx；t）dt+e-ρ(τ∧ε） v（Xx，；τ）∧ε),ε > 0. （4.12）由此，我们推导出Д（x）≥ E·Zτ∧εe-ρtf（Xx；t）dt+e-ρ(τ∧ε） Д（Xx，；τ）∧ε),ε > 0. （4.13）应用Dynkin公式，除以ε，让ε→ 0+，考虑到Xx，；在0和P{τ>ε}中是右连续的→ 1为ε→ 0+，我们得到了期望的不等式。次固结特性。

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2022-6-2 22:20:16

让x∈ R++和Д∈ C（R++）是这样的- ^1在x和v（x）=Д（x）时具有局部最大值。如果v（x）=M v（x），那么我们就完成了。然后假设v（x）≥ ξ+M v（x）对于某些ξ>0。在这种情况下，我们需要证明LД（x）- f（x）≤ 0、通过矛盾假设LД（x）- f（x）≥ ε > 0. 通过LД的连续性- f和v- M v，鉴于v- Д在x和Д（x）=v（x）处有一个局部最大值，存在δ∈ （0，x/2），以便x个∈ B（x，2δ]（i） L^1（x）- f（x）≥ ε/2（ii）Д（x）≥ v（x）（iii）v（x）- M v（x）≥ ξ/2.（4.14）现在确定停止时间τ：=inf{t≥ 0：| Xx，；t型- x |>δ}，注意P{τ>0}=1。鉴于（4.14）（iii），在区域B（x，2δ）进行投资不是最优的。因此，可以重写（DPP），将I的范围限制在控制集上，使得τ>τ，产生简单的质量v（x）=E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτv（Xx，；τ）,。（4.15）最后，我们有（4.15）Dynkin公式和（4.14）（i）–（ii）εE[τ]≤ E·ZτE-ρtLИ（Xx，；t）- f（Xx，；t）'dt,=Д（x）- E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτИ（Xx，；τ）,≤ v（x）- E·ZτE-ρtf（Xx；t）dt+e-ρτv（Xx，；τ）,=0。（4.16）这提供了一个矛盾，P{τ>0}=1。4.3值函数的正则性在这里，我们建立了值函数的正则性性质。准确地说，利用命题3.7提供的半凸性和命题4.5提供的粘度特性，我们可以证明它是Con R++类和Con C类。定理4.6。v∈ C（R++；R）TC（C；R）。证据让x∈ R++。由于v在x的邻域中是半凸的（命题3.7），在这样一个高邻域中，它可以写成凸函数和二次函数的差（见Remark3.4）。因此，单侧导数v+（x），v-（x）存在和v-（十）≤ v+（x）。为了证明v在x是可微的，我们需要证明前面的不等式确实是一个等式。自相矛盾地假设v-（x） <v+（x）。

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2022-6-2 22:20:19

然后我们可以构造一个函数序列{νn}n∈NC（R++），这样，对于每n∈ N、 ДN（x）=v（x），ДN≤ v、 νn（x）=v-（x） +v+（x），Дn（x）≥ n、然后，Lаn（x）- f（x）→ -∞ 作为n→ ∞, 这是不可能的，因为根据命题4.5，v是（QVI）的粘度上解。因此它必须是v-（x） =v+（x）。通过x的任意性，这表明v在R++上是可微的。通过半凸性，我们推导出v∈ C（R++）（见[65，定理25.5]）。事实是v∈ C（C；R）遵循标准本地化参数：在每个间隔（a，b）中 C函数v是线性方程L u的粘度解- f=0，边界条件u（a）=v（a），u（b）=v（b）。通过L在（a，b）上的一致椭圆度（参见，例如，[36，Ch.6]），该方程允许在C（（a，b）中存在唯一解；R），也必须是粘度溶液。通过Dirichlet边界条件下上述线性方程粘性解的唯一性，我们得出结论，v与经典解重合，因此v∈ C（（a，b）；R）。因为C是开放的，所以这个定理后面是（a，b）的任意性。推论4.7。对于每个x，我们有（i）v（x+ζ）=c∈ A.ζ ∈ Ξ（x）。（ii）v（x）=c，对于每x∈ A.证据证明与[43，引理5.2]中的证明相同，为了简洁起见，我们跳过它。推论4.7（i）将在下一节中用于描述最佳目标点，即连续区域中的点，当系统到达作用区域时，该点是放置系统的最佳位置。5值函数的显式表达式在本节中，我们刻画了C、A和v直到齐次ODEL=0的递减解和三个代数方程的非线性系统的解。引理5.1。A不包含任何形式为[A，∞), 大于0时。尤其是C 6=；。证据自相矛盾地假设存在a>0，这样a [a，∞).

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kedemingshi

2022-6-2 22:20:22

然后，根据Emma 4.7（ii），我们得到v（x）=c（x- a） +v（a），x个≥ a、这与命题3.2相矛盾。另一方面，我们也应该有v（x）=M v（x），x个≥ a、所以它必须是bec（x- a） +v（a）=supi>0(c)c（x+i- a） +v（a）- ci公司- cax个≥ a、这是不可能的，因为c>0。以下假设确保动作区域是一个间隔。假设5.2。b | R+为凹面。引理5.3。假设5.2成立。那么A是一个区间。证据由于A是闭合的，因此足以表明不存在点x，x∈ R++，x<x，这样x，x∈ A和（x，x） C通过自相矛盾的论证，我们假设这样的观点是存在的。给定x∈ （x，x），集合j：=i-（十）- x）对于每个i>0。然后，回顾x∈ 那么v（x）>M v（x），那么x∈ 因此v（x）=M v（x），我们可以写ev（x）>M v（x）=supi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca≥ supi>x-x(c)v（x+i）- ci公司- ca=supj>0(c)v（x+j）- cj公司- ca+c（x- x） =v（x）+c（x- x），则，x个∈ （x，x）。因此（x）- v（x）>c（x- x）x个∈ （x，x）。（5.1）由于命题4.2（i），我们有for some for some y>x，y∈ C，v（x）=v（y）- c（y- x）- c、（5.2）另一方面，v≥ M v意味着v（x）≥ v（y）- c（y- x）- cx个∈ （x，y）。（5.3）结合（5.2）和（5.3）我们得到v（x）- v（x）≥ c（x- x）x个∈ （x，y）。（5.4）然后（5.1）和（5.4）表示函数Д（x）=v（x）+c（x- x），x∈ R++，是指ν（x）=v（x）和v-ν在x处有一个局部最小值。由于v是粘度上解to（QVI），这意味着ρv（x）- cb（x）≥ f（x）。（5.5）现在，根据（5.1），存在ξ∈ （x，x）使得v（ξ）<c.Lety：=sup(c)x∈ [x，ξ）：v（x）≥ ca。上述定义为x∈ 因此，根据推论4.7（ii），我们得到了v（x）=c。此外，根据vand的连续性，通过定义ywe havey<ξ<x，v（y）=c，v（x）<cx个∈ （y，ξ）。（5.6）因此，考虑到v在（x，ξ）中是两次可微的，因为该区间包含在C中，从（5.6）和vwe的连续性可以看出v（y）=C，v（y）≤ 0

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2022-6-2 22:20:25

（5.7）等式L v=f在y的经典意义上成立，因此（5.7）需要ρv（y）- cb（y）≤ f（y）。（5.8）结合（5.5）和（5.8），我们得到ρ（v（x）- v（y））- c（b（x）- b（y））≥ f（x）- f（y）。（5.9）另一方面，考虑（5.1）x=y，然后将其与（5.9）结合，我们得到ρc（x- y）- c（b（x）- b（y））>f（x）- f（y）（5.10）现在，作为x∈ A，按（5.2）我们有v（y）- c（y- x）- c=supy>x(c)v（y）- c（y- x）- ca。（5.11）函数v在y处是二次可微的∈ C，so（5.11）yieldsv（y）=C，v（y）≤ 因此，等式v（y）=f（y）产生不等式ρv（y）- cb（y）≤ f（y）。（5.12）结合（5.12）和（5.5），我们得到ρ（v（y）- v（x））- c（b（y）- b（x））≤ f（y）- f（x）。（5.13）另一方面，从（5.11）我们得到v（y）- v（x）≥ c（y- x）。（5.14）那么，从（5.13）和（5.14）我们得到ρc（y- x）- c（b（y）- b（x））≤ f（y）- f（x）。（5.15）总之，请注意（5.10）和（5.15）与R的严格凹度不兼容++→ R、 x 7→ f（x）+cb（x）- ρcx，根据假设2.3和5.2得出。在假设5.2下，引理5.1和引理5.3提供了（i）C=R++或（ii） r、 s，0≤ r<s<∞ : C=（0，r）∪ （s），∞).（5.16）上述情况（i）对应于延续区域侵犯所有状态空间的情况，并且不便于采取行动。如果（ii）操作区域不为空，并且当系统到达该区域时，可以方便地执行操作。考虑R++上的齐次模型u=0。（5.17）根据【19，Th.16.69】，其通解的公式为：Aψ+BД，A，B∈ R、式中，ψ、Д分别是（5.17）和（0和）的唯一严格递增和严格递减解（直到一个乘法常数）∞ 这些基本解满足以下边界条件ψ（0+）：=limx→0+ψ（x）=0，Д（0+）：=limx→0+Д（x）=+∞, 林克斯→∞ψ（x）=+∞, 林克斯→∞ν（x）=0。

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2022-6-2 22:20:28

（5.18）这些函数的其他属性见【19，第16.11节】。另一方面，（3.2）中定义的函数^v是具有atmost线性增长的函数类中R++对非齐次常微分方程L u=f的唯一解（参见[19，Th.16.72]：实际上，在引用的结果中，函数f需要有界，但在我们的上下文中，证明在具有最多线性增长的函数类中也有效）。因此，每个经典解tol u=f，在I上 R++，（5.19），其中I是一个开放区间，必须具有形式u=Aψ+BД+^v。因此，根据命题4.5和定理4.6，值函数v根据（5.16）的两种可能性在经典意义下求解（5.19），如果（I）在R++上必须存在实数A，B，使得v=^v+Aψ+BД；（5.20）在情况（ii）中，必须存在实数Ar，Br，As，Bs（v=^v+Arψ+BrДon（0，r），v=^v+Asψ+BsДon（s，∞).（5.21）提案5.4。假设5.2成立。根据（5.16）中的（i）和（ii）情况，我们分别得出：-如果（i）情况成立，则v≡^v，因此A=B=0 in（5.20）；-如果案例（ii）成立，则limx→∞（v（x）-^v（x））=0，As=Br=0，Ar，Bs≥ 0英寸（5.21）。证据假设情况（i）成立。当C=R++上的L v=f时，通过标准本地化程序，我们得到（例如，见命题3.2的证明）v（x）=e·Zte-ρsf（Xx，；s）ds,+Ehe-ρtv（Xx，；t）it型∈ R+。（5.22）我们通过了极限t→ ∞ 在右手边的第一个加数上使用单调收敛定理。对于第二个加数，我们使用（3.4）和（3.7）与I=；写入0≤ Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i≤ e-ρtf*（α） ρ+αρxα ∈ （0，cρ）。然后0≤ limsupt公司→∞Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i≤αρxα ∈ （0，cρ）。通过α的任意性，我们可以得出limt→∞Ehe公司-ρtv（Xx，；t）i=0。Hencev（x）=E·Z∞e-ρsf（Xx，s）ds,。（5.23）通过定义^v和不等式v≥^v，这证明了这一说法。现在假设情况（ii）成立。

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2022-6-2 22:20:31

对于每个x>s集τx：=infnt≥ 0:Xx，；t型≤ 所以像∞ 是Z0的自然边界，x=Xx，；，（A.2）我们有limx→∞P{τx≥ M} =1M>0。（5.24）如果0<x<x，则乘以（2.7），I=；我们获得P-a.s.，Xx，；t型≤ Xx，；t对于所有t≥ 0，所以我们还有τx≤ τxP-a.s。。如果{xn}n∈Nis序列发散至∞, 然后我们有了Limn→∞τxn=∞ P-a.s。。（5.25）当L v=f开启时，∞), 对于（5.22），我们得到v（xn）=E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Ehe-ρ（τxn∧t） v（Xxn；t）∧τxn）it型∈ R+，n∈ N、（5.26）因此，{τxn<t}和{τxn}上的分裂≥ t} 右侧的第二个加数，v（xn）=E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Eh{τxn≥t} e类-ρtv（Xxn，；t）i+Eh{τxn<t}e-ρ（τxn∧t） v（Xxn；t）∧τxn）i≤ E·Zτxn∧te公司-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,+Eh{τxn≥t} e类-ρtv（Xxn，；t）i+E[E-ρτxn{τxn<t}]v（s）。对于所有t≥ 现在我们通过极限t→ ∞ 通过使用与获得（5.23）相同的参数，我们得到了v（xn）≤ E·Zτxne-ρζf（Xxn，；ζ）dζ+E[E-ρτxn{τxn<∞}]五（s）。然后，^v的定义提供了v（xn）- E【E】-ρτxn{τxn<∞}]五（s）≤^v（xn）- E·{τxn<∞}Z∞τxne-ρζf（Xxn，；ζ）dζ,≤^v（xn）。使用（5.25）并回顾v≥^v，我们得出结论limn→∞（v（xn）-^v（xn））=0。因为序列{xn}n∈我们认为这是任意的→∞（v（x）-^v（x））=0。（5.27）从（5.18）和（5.27）中，我们得到As=0和Bs≥ 0.最后，由于v≥^v和v在（0，r）中是有限的，从（5.18）我们得到Ar≥ 0和Br=0。设置^v*（z）：=supx>0^v（x）- zxa，z∈ R++。我们将引入一个假设，要求CI不要太大，同时保证作用区域不是空的，并且延续和作用区域区域的结构=（0，s）和C=（s），∞) 对于某些s>0。在这种良好的结构下，当系统位于给定阈值以下时，可以方便地执行操作，当系统位于该阈值以上时，它可以自主进化。此后，我们将此称为阈值触发边界。假设5.5。

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2022-6-2 22:20:36

c<^v*（c）。以下结果提供了一种明确检查假设5.5有效性的方法。提案5.6。设f（x）≥ K xγ对于某些K>0，γ∈ （0，1），并设置K：=γKρ+γLb+γ（1-γ） Lσ。然后是^v*（c） =K1- γγcK'γγ-1.证明。让x∈ R++。通过类似于命题3.2证明的本地化过程，我们从It^o的公式中得到-ρt′Xx，；t’’γi=xγ+E·Zte-ρs·-ρXx，；scγ+γXx，；scγ-1b（Xx，；s）+γ（γ- 1） !Xx，；scγ-2σ（Xx，；s）,ds,≥ xγ+E·中兴通讯-ρs·-ρXx，；scγ- 磅（1- γ） !Xx，；scγ-Lσγ（1- γ） !Xx，；scγ,ds,。然后我们得到了他-ρt～Xx，；tcγi≥ xγe-（ρ+γLb+γ（1-γ） Lσ）t，t型∈ R+。根据这一点和对f的假设，我们得到了^v（x）≥Kρ+γLb+γ（1- γ） Lσxγ=Kγxγ，x个∈ R++。因此，^v*（c）：=supx>0^v（x）- cxa≥ supx>0Kγxγ- cx=K1- γγcK'γγ-1.提案5.7。假设5.2和5.5成立。然后存在s>0，使得C=（s，∞)因此，A=（0，s）.证明。首先，请注意，当^v满足（3.4）时，它遵循^v*在R++上是有限的。考虑到这一点V≥^v和该^v是不减损的，我们有limx→0+v（x）≥ 林克斯→0+M v（x）≥ 林克斯→0+M^v（x）=limx→0+supi>0(c)v（x+i）- ci公司- ca≥ 林克斯→0+supi>0(c)v（i）- ci公司- ca=^v*（c）- c> 0。（5.28）现在通过矛盾假设（0，r） C，对于某些r>0。根据命题5.4，我们得到v（x）=^v（x）+Arψ（x），x∈ （0，r），对于某些Ar≥ 那么，当ψ（0+）=0时，我们必须有v（0+）=v（0+）=0。后者与（5.28）相矛盾，因此我们得出结论。根据假设5.2和5.5，由命题5.7和命题5.4建立的C和A的结构为v提供了以下结构：对于某些B=Bs≥ 0v（x）=（BД（x）+^v（x），如果x∈ （s），∞),BД（s）+^v（s）- c（s）- x），如果x∈ （0，s），（5.29）引理5.8。假设5.2成立。让a≥ 0并让u∈ C（（a，∞);R）在（a，∞).如果x∈ （a），∞) 是u的局部最小点，则u（x）>0，且uin（x）没有局部最大点，∞).证据

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2022-6-2 22:20:39

As b，σ，f∈ C（R++；R），从ρu（x）=b（x）u（x）+σ（x）u（x）+f（x），x个∈ （a），∞), （5.30）我们获得u∈ C（（a，∞);R），即u∈ C（（a，∞);R）。我们微分（5.30）得到ρu（x）=b（x）u（x）+b（x）u（x）+σ（x）u（x）+σ（x）u（x）+f（x），x个∈ （a），∞). （5.31）让x∈ （a），∞) 是u的局部最小点。然后u（x）=0和u（x）≥ 0所以，通过（5.31），我们有ρu（x）≥ b（x）u（x）+f（x）。（5.32）注意，从（5.32）中，使用假设2.3和2.4，我们得到u（x）>0。现在，通过矛盾来论证，假设x∈ （十），∞) 是u的局部最大点。然后u（x）=0和u（x）≤ 通过（5.31），我们得到ρu（x）≤ b（x）u（x）+f（x）。（5.33）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设u（x）≤ u（x）。（5.34）将（5.32）和（5.33）结合起来，考虑到fis严格递减，我们得到（ρ- b（x））u（x）≤ f（x）<f（x）≤ (ρ - b（x））u（x）。（5.35）现在，根据假设5.2，我们有b（x）≥ b（x）。因此，u（x）>0和（5.35）产生（ρ- b（x））u（x）<（ρ- b（x））u（x）。（5.36）根据假设2.4，我们得到ρ- b（x）>0。因此，从（5.36）我们得到u（x）<u（x），与（5.34）相矛盾。回想一下，函数Д：O→ R、若φ（λx+（1），则表示开区间为O的拟凹- λ） x）>最小值（x），Д（x）ax、 x个∈ O、，λ ∈ (0,1).严格拟凹函数可以描述为在点x的左侧严格递增、严格递减或严格递增的函数*∈ O并严格递减x的右边*.引理5.9。假设5.2成立。让a≥ 0，让u∈ C（（a，∞);R）在（a，∞), 假设liminfx→∞u（x）≤ 0。那么ui是严格拟凹的。证据根据[9，命题3.24]，足以证明UDOE不允许任何本地最小值。自相矛盾地论证并假设x∈ （a），∞) 引理5.8的证明表明，u（x）>0。因此，由于liminfx→∞u（x）≤ 0，必须存在局部最大点x∈ （十），∞).

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2022-6-2 22:20:42

这与引理5.8相矛盾，我们得出结论。提案5.10。假设5.2和5.5成立。（i）存在唯一的S∈ C=（s，∞) 使得v（S）=c.（ii）存在（唯一的）x*∈ （s，s）使得vis在（s，x）中严格增加*] 在[x]中严格递减*,∞).（iii）limx→∞v（x）=0。证据（i）推论4.7（i）和命题4.2（i）证明了S的存在性∈ C=（s，∞) 这样v（S）=c。关于唯一性，首先观察v是否满足引理5.9的要求（用a=S替换v），其中Liminfx→∞v（x）≤ 0（5.37）保持（3.4）。那么v（s）=cby推论4.7（ii）的事实产生了唯一性。（ii）通过（5.29）我们得到v（s）=c。通过（i）以上我们得到v（s）=c，v（x）6=c，每个x∈ （s，s）。接下来是引理5.9。（iii）紧接着是von[x]的单调性*,+∞), （5.37）和提案3.1，其中规定≥ 0定理5.11。假设5.2和5.5成立。如果x，则值函数的形式为v（x）=（BД（x）+^v（x∈ （s），∞),BД（S）+^v（S）- c（S）- x）- c、如果x∈ （0，s），（5.38）和三元组（B，s，s）是系统在R+×R++中的唯一解决方案（i） BД（s）+^v（s）=BД（s）+^v（s）- c（S）- s）- c、（ii）BД（s）+^v（s）=c，（iii）BД（s）+^v（s）=c.（5.39）证明。考虑（5.29）。v在（s）上的表达式，∞) 在（5.38）和（5.29）中是相同的。关于v在（0，s）上的表达式，我们注意到，通过定义Ξ（s）、命题4.2、推论4.7和命题5.10（i），我们有0<s- s=argmaxi>0(c)v（s+i）- ci公司- ca。（5.40）自s∈ A，我们有v（s）=[M v]（s）；所以，从（5.40）我们得到v（s）=v（s）- c（S）- s）- c、从中我们得到了（5.38）中v在（0，s）上的表达式。

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2022-6-2 22:20:45

然后（5.39）中的三个方程分别通过在s处施加v的连续性，在s处施加平滑t（作为v∈ C（R++；R）），以及命题5.10（i）定义S的条件。为了证明（5.39）在R++×R++中有唯一解，我们考虑函数h（^B，x）=^BД（x）+^v（x），（^B，x）∈ R++×R++。对于每个^B≥ 0，L h（^B，·）=0，在R++和liminfx中→∞hx（^B，x）≤ 0乘以（3.4）和（5.18）。引理5.9hx（^B，·）是严格拟凹；因此，至多存在两种解决方案^s，^s到hx（^B，·）=cinR++。如果存在这样的解，我们有h（^B，·）- c> 0开（^s∧^S，^S∨^S）。因此，如果（^B，^s，^s）∈ R+×R++求解（5.39），然后（5.39）（i）屈服强度0<c=[^B^（^S）+^v（^S）]- [^B^（^s）+^v（^s）]- cs（^S-^s）=Z^s^s（hx（^B，r）- c） dr.此力^s=^s∧^S，^S=^S∨^S，^S 6=^S。通过上面的论证，我们可以看到，如果（B，S，S）和（B，S，S）是R++×R++中（5.39）的两个不同解，我们需要S<S，S<S，和b6=B。现在，通过矛盾，假设（B，S，S）和（B，S，S）是R++（5.39）的两个不同解。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设B<B。回想一下，Д是严格递减的，我们有hx（B，·）>hx（B，·）。（5.41）后一个不等式，引理5.9和（5.39）（ii）-（iii）提供（s，s）（s，s），hx（B，·）- c> 0开（s，s）。（5.42）然后，我们可以使用（5.41）-（5.42）和（5.39）（i）写入，0=c- c=（h（B，S）- h（B，s）- c（S）- s）（）-（h（B，S）- h（B，s）- c（S）- s））=ZSs（hx（B，ξ）- c） dξ-ZSs（hx（B，ξ）- c） dξ≥ZSs（hx（B，ξ）- hx（B，ξ））dξ>0，这是一个矛盾。6最优控制在本节中，通过定理6.1，我们通过递归规则描述了问题的最优控制结构。在经济文献中，请参阅导言中有关相关I操作的段落开头的关于快速脉冲控制的一系列论文，以及[16]——这一规则被称为（S，S）-规则。

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