因此我们可以通过连续性将v推广到整个R+×H，证明vαn（s，x）- vαn（s，x）→ v（s，x）代表所有x∈ H和s≥ 0.我们注意到，对于t≥ s、 αnvαn（t，x）=αn（vαn（s，x））+αn（vαn（t，x）- vαn（s，x））=αnvαn（s，x）+αn（vαn（t，x）- vαn（t，X（t，s，X））+αnZ]s，t]e-αnuf（X（u，s，X），0，0）du→ λ自αn（vαn（t，x）- vαn（t，X（t，s，X））+αnZ]s，t]e-αnuf（X（u，s，X），0，0）du≤ αnC′t- s|+αnC′（1+kX（t，s，x）k+kxk）→ 因此，我们证明了λ确实是一个独立于时间的常数。定理10。设v和λ的构造如上所述。我们还设置了x=0∈ 手s=0∈ 为了简单起见。然后，如果我们定义YxT=v（t，Xxt），则存在过程Zx和Ux，使得四重（Yx，Zx，Ux，λ）解出EBSDEYxt=YxT+ZTt[f（Xxu，Zxu，Uxu）- λ] 杜-ZTt（Zxu）*dWu-ZTtZBUxs（x）~N（ds，dx）表示0≤ T≤ T<∞. 此外，如果存在任何其他溶液（Y′，Z′，U′，λ′）满足|Y′t |<cx（1+kXxtk），（31）某些常数c可能依赖于x，那么λ=λ′。证据：我们看看被发现的BSDEYα，xT=Yα，xT-ZTt(-αYα，徐- αvα（0，0）+f（Xxt，Zα，xu，Uα，xu））du+ZTt（Zα，xu）*dWu+ZTtZBUα，xs（x）~N（ds，dx）。很明显，唯一的边界解是Yα，xt=vα（t，Xxt）- vα（0,0）。我们记得| vα（s，Xxs）- vα（0，0）|≤ （1+kXxtk）。通过优势收敛定理，我们得出结论：Ezt | Yα，xt- Yαm，xt | dt→ 0和E | Yα，xT- Yαm，xT|→ 0as n→ ∞.现在我们证明了序列Zα，xa和Uα，xare也是Cauchy。表示Y=Yαn，x- Yαm，x，`Z=Zαn，x- Zαm，x，\'U=Uαn，x- Uαm，x，然后我们有‘YT=’YT-ZTt- α\'Yu+\'f（u）du+ZTt（\'Zu）*dWu+ZTtZB\'Us（x）~N（ds，dx），其中\'f（u）=f（Xxu，ZαN，xu，uαN，xu）- f（Xxu，Zαm，xu，Uαm，xu）。

根据标准参数，我们知道，对于任何β≥ 4K+1/2（其中K是Lipschitz-constantof）和β>max（αn，αm），我们有eβtEk-Ytk+ZTteβsEk\'Ztk+ZBk\'Us（v）kν（dv）dt≤ Ek’YTk+2β- 1ZTteβskδfskds,式中δfs=（αn- αm）Yαm，xs。通过orem 9并使用定理5的步骤1中得到的E[kXxtk]上的界，我们知道存在C=C（x），使得E[kYαm，xsk]≤ C、 还有苏斯2β - 1ZTteβskδfskds≤4CT2β- 1（αn）- αm），因此我们立即看到序列{Zαn，x}n≥1和{Uαn，x}n≥1重新开放。指出ZX和UX的对应极限，我们得到了结果的第一部分。为了证明唯一性，假设存在另一个多项式增长的解（Y′，Z′，U′，λ′）。设Y=Yx- Y′，Z=Zx- Z′，U=Ux- U′和∧λ=λ- λ′. 然后~~Yt=~~Yt+Z]t，t][f（Xxu，Zxu，Uxu）- f（Xxu，Z′u，u′u）-~λ]du-Z] t，t]~Z*乌德乌-Z] t，t]ZB~Us（r）~N（ds，dr）根据标准Girsanov的论点，存在一个概率测度QT~ Psuch，在qtT下处理kT=ZTt（f（Xxu，Zxu，Uxu）- f（Xxu，Z′u，u′u））du+ZTtδ~Z*udWu+ZTtZB~Us（r）~N（ds，dr）是[0，T]上的鞅。然后我们看到∧=T-1EQT~YT-~Y]。给定增长条件（31）和估计（12），通过发送→ ∞ 我们得到λ=0，从而证明了λ的唯一性。我们现在准备证明我们的EBSDE的马尔可夫解的主要唯一性结果，其中“马尔可夫”的意思是，如果Y是一个解，那么存在一个连续的确定函数v，使得Yt=v（t，Xxt）对于所有t>0。在pro中，我们将使用这样一个事实，即转发过程中的系数与时间有关，但与时间无关*-周期性的*> 重新构造定理9中的解，我们立即看到它是T*在第一个论点中是周期性的。因此，在v（t，x）=v（t+t）的马尔可夫解类中建立唯一性是明智的*, 十）t>0，x∈ H.（32）定理11。

设（Y，Z，U，λ）和（Y′，Z′，U′，λ′）是EBSDE（10）的两个马尔可夫解。如果Y，Y′满足增长条件（31），v，v′满足（32），v′（0，0）=v（0，0），那么v=v′a.e.证明：从定理（10）我们知道λ=λ′。现在我们证明，在这种情况下，Y=Y′。表示Y=Yx- Y′，Z=Zx- Z′，U=Ux- 在定理10的证明中，我们立即得到了所有t<tYt=EQT[~Yt | Ft]的所有t。考虑到我们解的马尔可夫表示，我们可以将上面的表达式改写为v（t，x）=EQT[~v（t，Xt，Xt）| Ft]，（33），其中v（t，x）：=v（t，x）- v′（t，x）。现在，因为（33）对任何T都成立，所以我们得到了v（T，x）=EQkT*[v（kT）*, Xt，xkT*)|Ft]=EQkT*[~v（0，Xt，xkT）*)|Ft]，对于所有k，使kT*≥ t、 我们需要的下一个成分是以下估算值，可以用与获得（12）相同的技术来显示：EQTkXxtk< c（1+kxk），t∈ [0，T]其中c独立于T。我们现在注意到，对于任何>0，存在δ>0，使得|v（0，x）|≤ 如果kxk<δ，由于?v是局部Lipschitz?v（0，0）=0。集τ=inf{kT*: kXt，xkT*k<，k∈ N} 。然后我们看到|v（t，x）|=EQkT*[~v（0，Xt，xkT）*∧τ） |英尺]≤ EQkT*|~v（0，Xt，xτ）|1{τ<kT*}+ EQkT*|~v（0，Xt，xkT）*)|1{τ ≥kT*}≤ +（QkT）*（τ>kT）*))EQkT*|~YkT*|≤ +C（QkT）*（τ>kT）*))EQkT*1+| Xt，xkT*|→ .上面推导的最后一步是基于qkT*（τ>kT）*) → 0作为k→ ∞.为了看到这一点，我们来看离散化过程{Xt，xkT*}K∈我们立刻发现它是不可约的。在此之前，我们可以通过遵循定理6的证明，将时间步长选为T的第一个倍数来证明期望的结果*大于T。4.3λ的替代表示在本节中，我们将λ表示为一个积分，并考虑到某个不变测度。

我们在第3.3节中确定，存在一个与半线性问题dxt=A（t）dt+Ft（Xt）dt+G（t）dLt，Xτ=X相关的唯一不变度量u。特别是，以下结果成立：Z[0，t*]×HPsu（t，x）ν（dt，dx）=Z[0，t*]×Hu（t，x）ν（dt，dx），其中是相应的半群。我们记得定理10中构造的EBSDE（10）的马尔可夫解是T*-周期的，也就是说四重（Y，Z，U，λ）有一个表示（v，ξ，ψ，λ），其中v，ξ和ψ是*-在时间上是周期性的。定理12。EBSDE解（v，ξ，ψ，λ）中的λ值满足λ=Z[0，T*]×Hf（x，ξ（t，x），ψ（t，x））u（dt，dx），其中u是唯一不变度量。证明：u的不变性意味着对于任何固定时间T和s≤ 和任何有界可测函数u，使得u（T+T*, x） =u（t，x）我们有z[0，t*]×HEu（T，Xs，xT）u（dt，dx）=Z[0，T*]×Hu（t，x）u（dt，dx）。我们写ev（t，x）=EPx，tv（T，Xs，xT）+ZTt（f（Xs，xT，ξ（s，Xs，xT），ψ（s，Xs，xT））- λ） ds,其中下标（x，t）表示正演方程是从t开始的，其值为x。然后根据不变性，将两侧积分到μ，我们得到了结果。备注18。上面的表示让我们直观地了解了如何解释λ。如果我们认为驱动力f是X定律下最优控制动力系统的代价函数，那么λ就是一个循环的代价。5.申请表。1经典遍历控制在本节中，我们展示了在受控漂移的情况下，如何在EBSDEs的框架中看到一般遍历控制问题。用L:H×U表示→ Ra bo定义了可测量的成本函数，使得| L（x，u）- L（x′，u）|≤ Ckx- x′k，对于某些C>0的情况。我们考虑最小化问题j（x，u）=lim supT→∞T-1Eu，TZTL（Xt，ut）dt,控制空间U上的一个可分离度量空间，其中ut（ω）取值。

我们进一步假设，在Pu，T~ P[0，T]上受控过程X的动力学由dxt=（A（T）Xt+Ft（Xt））dt+R（ut）dt给出+ZBγ（u（t），y）ν（dy）dt+G（t）dLt，X=X。我们进一步假设kR（u）k≤ C′和γ（u（t），y）是一个可测函数，存在一个常数0≤ C<1，这样每个人∈ U-C（1）∧ ||ξ||) ≤ γ（u，ξ）≤ C（1）∧ ||ξ| |）对于所有ξ∈ B.我们定义了哈密顿函数（x，z，r）=infu∈UL（x，u）+zR（u）+ZBγ（u，ξ）r（ξ）ν（dξ）, （34）其中x∈ H、 z∈ H和r:B→ R.我们立即注意到f（x，0，0）是有界的。检查f是否满足假设4和假设5也很容易。因此，具有驱动程序f（x，z，r）的EBSDE允许一个唯一的（在多项式增长的过程类中）马尔可夫解（Y，z，U，λ）。如果达到了（34）中的上限，那么，根据一个众所周知的结果（见[8]），存在一个（假设连续性假设）Borel可测函数κ：H×H*×L（B，B，ν，R）→ Usuch thatf（x，z，r）=L（x，κ（x，z，r））+zR（κ（x，z，r））+ZBγ（κ（x，z，r），ξ）r（ξ）ν（dξ）。定理13。设四（Y，Z，U，λ）为唯一的满足| Yt |的马尔可夫解≤ c（1+kXtk）适用于所有t≥ 0和一些c>0。那么下面的结论是：（i）对于任意控制u∈ 我们有J（x，U）=λiff（Xt，Zt，Ut）=L（Xt，U（t））+ZtR（U（t））+ZBγ（U（t），ξ）r（ξ）ν（dξ）dP×dt-a、 e.（ii）如果在（34）中达到最大值，则控制‘u（t）=κ（Xt，Zt，Ut）验证J（x，u）=λ。（iii）即使未达到（34）中的上限，也存在控制{ut}t≥0，使得J（x，~u）=λ。证明：与[9]中定理8和[2]中定理em 5.1的证明相同。5.2电厂评估在本节中，我们提出了一个使用遍历码进行电厂评估的模型。我们展示了由于气体和电的性质，这个问题是如何自然而然地落入我们已经建立的理论框架中的。我们首先定义一个发电厂的数学模型。定义8。

we用{e（t）}t表示≥0和{G（t）}t≥0电力和煤气分别处理。我们假设发电厂允许其所有者将天然气瞬间转化为电能，在E（t）时产生利润-cG（t）>0，其中c是一些转换常数。数量X（t）：=E（t）-cG（t）被称为火花蔓延。在现有文献中（有关概述，请参见，例如，[6]）发电厂的价值近似为不同到期日的即期电力利差期权的总和，而欧洲国家则是一种支付X+Tj的期权，其中{Tj，j∈ J} 代表工厂生命周期内未来的生产小时数。换句话说，sv Pt=Xj∈Jexp(-r（Tj- t） ）情商（XTj）+英尺.这种方法的一个特点是，它在很大程度上依赖于当前的世界状况，其特点是电力和天然气价格的短期动态。然而，很明显，人们可能希望在投资建设发电厂之前对其进行评估，到发电厂开始运行时，所有短期参数都将发生变化。在本节的其余部分中，我们提供了另一种估价方法，只假设价格过程遵循rgodic行为。

就所讨论的pr问题而言，这意味着当前状态对于计算长期（遍历）平均值并不重要。我们开发了一个稍微简化的模型，在该模型中，我们没有单独给出电力和天然气价格的动态，但假设火花蔓延X的演变由以下等式控制：dXt=θt（κt- Xt）dt+G（t）dWt-ZBxN（dt，dx）, Xτ=X，（35），其中B=R\\{0}，{θt}t≥0是一个描述均值回复率{κt}t的正过程≥0是mea n的非负过程，~n是r+×B上的补偿泊松随机测量，补偿因子η（dt，dx）=ν（dx）dt。我们还假设所有过程在时间上都是周期为T的*= 一年。目标是确定工厂的年平均利润，即λ=limT→∞TEZTt（Xs）+ds，其中（x）+:=max（x，0）。重要的是要注意，实际上，难以找到λ的原因是参数向量（θ，κ，ν）并不确切。因此，我们面临着在一系列合理参数下确定最坏情况平均值的风险规避问题，即λ=infu∈乌利姆特→∞TEuZTt（Xus）+ds，其中U表示U=（θ，κ，ν）的可能值的空间，并且在Pu下~ p X的动力学由dxt=θt（κt）给出- Xt）dt+R（Xt，u（t））dt+ZBγ（u（t），y）ν（dy）dt+G（t）dWt-ZBxN（dt，dx）.这些参数通过R控制平均回复率，通过γ控制尖峰率。为了使模型更真实，在不丧失清晰度的情况下，还可以考虑最小化广义泛函λ=infu的问题∈乌利姆特→∞TEuZTtL（Xs，u（s））ds，其中L（x，u）包含与所感知的参数实现可能性相对应的惩罚。

遵循与（34）的推导完全相同的逻辑，我们定义了哈密顿量f（x，z，r）=infu∈UL（x，u）+zR（x，u）+ZBγ（u，ξ）r（ξ）ν（dξ）,并继续与驾驶员f一起求解E BSDE。备注19。很明显，一旦λ已知，可通过v（N）=λZNe计算估算寿命为N年的发电厂的风险规避贴现预期收益-r（t）dt，其中r（t）是（确定性）贴现率。备注2.0。正如我们在本节开头提到的，对火花传播施加theOrnstein–Uhlenbeck动力学是有限制的。理想情况下，人们希望分别对电力和天然气过程进行建模。如果我们假设边际价格过程遵循OU过程之和（如[16]中所述，作者主要关注基于copula的方法），我们最终会遇到一个二维问题，其中EBSDE解的存在所需的遍历性是通过遍历过程之和是自遍历的这一事实获得的。我们之所以提出一个简化版本，是因为它自然地展示了我们在前几章中开发的理论框架，并清楚地说明了EBSDE如何应用于这类问题。参考文献[1]S.Alb everio和B.R–udiger。可分Banach空间上的随机积分与L’evy–It^o分解定理。随机分析与应用，23:217–253，2005。[2] 艾伦和科恩。遍历倒向随机微分方程。arXiv:1509.00231，2015年。[3] G.巴尔斯、R.巴克达和E.帕杜。倒向随机微分方程和积分偏微分方程。随机，60:57–831997。[4] A.本苏桑和J.L.狮子。脉冲控制与拟变分不等式。盖希尔别墅，巴黎，1982年。[5] 布鲁斯。Borel-Cantelli引理的对应物。

应用可能性杂志，17:1094-11011980。[6] 雷恩·卡莫纳、迈克尔·库伦和丹尼尔·施瓦兹。电价建模和资产评估：多燃料结构方法。数学金融，2013年。[7] S·N·科恩。在一般概率空间中表示过滤一致的非线性期望asg期望。《随机过程及其应用》，122（4）：1601-16262012。[8] S·N·科恩和R·J·埃利奥特。随机演算及其应用。Birkh–auser，第二版，2015年。[9] S·N·科恩和Y·胡。马尔可夫链驱动的遍历BSDE。西亚姆。控制Optim。，51(5):4138–4168, 2013.[10] F.Coquet、Y.Hu、J.Memin和S.Peng。过滤一致的非线性预期和相关的g-预期。概率论及相关领域，123（1）：1-272002。[11] A.Debussche、Y.Hu和G.Tessitor。弱耗散假设下的遍历BSDE。《随机过程及其应用》，121:407–4262011。[12] M.富尔曼、Y.胡和G.特西托。Banach空间中的遍历BSDE和最优遍历控制。暹罗控制与优化杂志，48（3）：1542-15662009。[13] N.El Ka roui和L.Mazliak。倒向随机微分方程。皮特南研究笔记，第364卷，1997年。[14] F.知识。Ornstein–Uhlenbeck方程，在有限维和有限维中具有时间相关系数和L’evy噪声。进化方程杂志，11:959–993，2011。[15] 林德瓦尔。关于耦合方法的讲座。多佛出版社，1992年。[16] 第。梅耶·布兰迪斯和M·摩根。公园蔓延的动态L’evy copula模型。[17] E.Pardoux和S.Peng。一个倒向随机微分方程的自适应解。系统与控制信件，14:55–611990。[18] S.佩萨特和J.扎·布奇克。带有L’evynoise的随机偏微分方程。剑桥大学出版社，2007年。[19] G.Da Prato和J.Zabzcyk。

有限维中的随机微分方程。剑桥大学出版社，2008年。[20] G.Da Prato和J。扎布奇克。有限维系统的遍历性。伦敦数学学会讲稿，1996年。[21]E.Priola、A.Shirik yan、L.Xu和J.Zabczyk。含L′evy噪声方程的指数遍历性和正则性。http://arxiv.org/abs/1102.5553，2011。[22]E.Priola和J.Zabczy k.圆柱稳定过程驱动的半线性SPDE的结构性质。概率论及相关领域，149:97–137，2011。[23]M.Roye r.带跳跃和相关非线性期望的倒向随机微分方程。《随机过程及其应用》，116:1358–13762006。[24]谢斌。由l’evy噪声驱动的有限维s-Tochastic微分方程不变测度的唯一性。潜力分析，36（1）：35–6 62012。[25]J.勇和X.周。随机控制。哈密顿系统和哈密顿方程。斯普林格，1999年。