具有跳跃和时间依赖性的遍历盲源分离

2022-5-6 08:09:50

Oxford大学Victor FedyashovovUniversity of Oxford 2018年10月16日摘要在本文中，我们研究了在前向动力学由非自治（时间周期系数）Ornstein–Uhlenbeck样SDE的解给出的情况下，具有L’evy噪声的遍历BSDE。我们证明了有限视界d为计数BSDE的唯一有界解的存在性。然后，我们使用消失折扣方法，结合耦合技术，得到了EBSDE的马尔可夫解。我们也证明了在某些生长条件下是唯一的。然后给出了应用，特别是在不确定性条件下的风险规避遍历最优控制和电厂评估。关键词：遍历BSDE、L’evy噪声、指数遍历性、电厂评估、最优控制MSC:60H20、93E20、60F171简介过去十年来，在了解有限范围内的最优控制方面做了大量工作。利用经典随机最优控制（如Bensousan和Lions[4]）的技术，已经获得了许多关于折扣问题的结果。更不发达的是对未来和现在同样重视的回报，因此对短期影响不敏感。出现的一个框架是遍历随机控制，这是最优控制理论的一个领域，试图用平均成本标准来理解优化。该领域的大多数结果都集中在成本上，而成本仅取决于潜在受控马尔可夫过程的当前状态，以及对未来成本的线性预期。

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mingdashike22

2022-5-6 08:09:53

换句话说，值函数的形式为j（x，u）=lim supT→∞T-1EuZTL（Xt，ut）dt（1）其中X代表正向动力学，而控制{ut}t≥0是一个可预测的过程，在可分离局部紧度量空间U中取值，L是一个有界可测代价函数。很明显，这些方法无法充分处理风险规避优化问题，因为在这种情况下，函数J对未来成本的非线性依赖是必需的。自20世纪90年代初以来，有几篇论文描述了Pardouxand Peng在[17]中提出的反向随机微分方程（BSDE）与随机最优控制理论之间的联系（有关方法的概述，请参见[25]）。正如彭在[13]中所定义的那样（详见Cohen[7]和Coquet等人[10]），SDES与“非线性预期”理论之间也建立了强有力的联系。因此，有理由认为，存在一个基于BSDE的框架，这将被证明是理解非线性设置中优化的自然选择。一个这样的框架是基于遍历BSDEs的，BSDEs是BSDEs的一个扩展，其形式为YT=YT+ZTt[f（Xu，Zu）- λ] 杜-ZTtZudWu，（2）式中λ∈ R是解决方案的一部分，首先由Furhman、Hu和Tessitor在[12]中介绍。使用他们的方法，可以相对容易地考虑非线性问题，例如当（1）中的期望被动态一致的非线性期望（尤其是[13]术语中的g-期望）取代时。目前工作的目标是以两种自然的方式扩展现有的理论。第一个概括是dd跳转到Furhman等人的差异设置。在[11]中。换言之，我们的目标是能够使用EBSDE-basedapproach来解决遍历最优控制问题，在这种情况下，随机动力学是参考L’evy过程给出的。

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2022-5-6 08:09:56

跳变的最优控制最近引起了人们的极大兴趣，主要是因为它可能应用于网络控制问题和混合随机系统。从财务角度来看，它允许我们将冲击因素纳入模型。EBSDE中的Corres积水将采用YT=YT+ZTt[f（Xu，Zu，Uu）的形式- λ] 杜-ZTtZudWu-ZTtZH\\{0}Us（x）~N（ds，dx），其中0≤ T≤ T<∞. 第二个扩展是结合时间相关的e。这将允许我们考虑带有季节性组件的动态麦克风，如商业周期。还值得注意的是，由于我们在马尔可夫框架下观察EBSDE，它们与具有非局部部分和非自治系数的IPDE相关，即(-图（t，x）- 卢（t，x）- f（x，u（t，x）G（t），Φu（t，x）（·））=λ；（t，x）∈ R+×H，u（t+t）*, x） =u（t，x），其中二阶积分微分算子L的形式为L=M+K，其中mv（t，x）=trG（t）G*（t）v（t，x）+ hA（t）x+Ft（x），v（t，x）iandKv（t，x）=ZH\\{0}{v（t，x+G（t）y）- v（t，x）- hG（t）y，u（t，x）i}ν（dy）。例如，在[3]中可以找到这种有限维联系的推导。对于有限维希尔伯特空间中的这类方程，理论还不完善。EBSDE提供了一种看待这些问题的新方法。建立与IPDEs合作的结果超出了目前的工作范围，但它为未来的研究提供了一个有趣的方向。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了必要的注释，并讨论了预备工作；第3节是关于远期SDE解决方案的结果；第4节介绍了EB SDE，并证明了主要结果。第5节包含了EBSDE在最优遍历控制中应用的几个例子。2符号和一般假设对于本文的其余部分，设H是一个可分实希尔伯特空间，其标积H·、·IH和范数k·kH。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:09:59

为了简化符号，我们将分别表示h·、·i和k·k。由于我们将使用一般的可分bleHilbert s空间，我们将需要一些经典结果的扩展。本节的主要目的是说明这些问题。我们首先定义了一般希尔伯特空间H:定义1上的Q Wiener和L’evy过程。一个随机过程L=（L（t），t≥ 如果L（0）=0，则取H中的值称为L’evy过程，过程L是随机连续的，并且它具有静态的、独立的增量，在这个意义上，定律L（t）- L（s））仅取决于差异- s、所谓随机连续性，我们指的是，forevery>0和t≥ 0，林→tP（| L（s）- L（t）|>=0。备注1。关于L’evy过程在aHilbert空间中取值的一种有用的方法是通过级数展开，即假定{en}n≥1是H的反常基，我们有（t）=Xn≥1hL（t），enien=Xn≥1Ln（t）en，其中ln是实值c`ad lag L`evy过程。定义2。H值随机过程{Wt，t≥ 如果oW=0，oW有连续的轨迹，oW有独立的增量，oWt定律，则称为Q-wiener过程- Wsis高斯分布，均值为零，协方差（t- s）问：对所有人来说都是0≤ s≤ 从某种意义上说，对于任何h∈ H和0≤ s≤ t、真值随机变量hh，Wt- WsiHis高斯分布，均值为零，方差为（t- s）嗨，嗨。对于给定的进程{Lt}t≥还有一套∈ H我们用N（t，A）表示到时间t的“大小为A的跳跃”的（随机）数，即Nt（A）=N（t，A）：=card{s∈[0，t]|Ls∈ A} 。表示B（H）Borelσ-代数，我们说A∈ B（H）在0以下有界/∈\'A，wher e\'A表示A的闭包。下面结果的证明可以在[1]：命题1中找到。

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2022-5-6 08:10:02

如果A在下面有界，那么N（·A）={N（t，A），t≥ 0}是强度为M（A）=E[N（1，A）]的aPoisson过程。我们注意到，由于我们假设H是可分离的，它也是光滑的，因此空间B=H\\{0}被赋予它的Borelσ-场B是一个Blackwell空间。我们需要这样做，因为考虑泊松测度的随机积分在Blackwell空间上得到了很好的定义。[22]之后，我们采用了It^o随机积分的定义，并将其定义为等距，这扩展了简单可预测过程中的经典等距。如果我们定义（~N）=PB-可测量过程σ：EZtZBkσ（s，x）kν（dx）ds< ∞那么每一次∈ 我们有ZtZBσ（s，x）~N（ds，dx）= EZtZBkσ（s，x）kν（dx）ds.正如我们将在下面看到的，任何L’evy鞅都可以表示为Aviener过程和补偿泊松过程的和。因此，结合布朗运动的标准积分理论，我们得到了一个定义良好的随机被积函数。备注2。众所周知，在有限维空间中，任何L’evy过程都有一个c’adl’ag修改。然而，一般来说，这个属性在banach空间中失效。但由于我们研究的是L’evy鞅，我们所考虑的过程可以假设满足这个性质（参见，例如[18]）。例如，在[14]中可以找到著名的H-valuedL\'evy过程的L\'evy–It^o分解的以下版本：定理1。（它是^o–LKevy分解）如果L是H值LKevy过程，则存在漂移向量b∈ H、 H上的Q-Wiener过程W和一个随机测度N，使得对于下面有界的任何a，W独立于Nt（a），并且我们有lt=bt+W（t）+Z | | | x |<1x | N（t，dx）+Z | |x||≥1xNt（dx），其中，ν是L′evy度量，而nTi是相应的泊松随机度量。备注3。

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2022-5-6 08:10:07

对于本文的其余部分，我们只对L’evy鞅的情况感兴趣，因此上面的分解采用以下形式lt=W（t）+ZtZBxN（dt，dx）。式中，N（dt，dx）是补偿泊松随机测度。假设1。由于我们将主要处理平方可积L′evymartingales，我们将需要以下条件来保持：ZBkxkν（dx）<∞.考虑到我们的L’evy过程是平方可积的，这个假设表示没有太多的大跳跃。在可分离的Hilbert空间中引入关于L′evy过程的随机积分是没有必要的，但它将被证明对第3.3节中的耦合论证至关重要。在本文中，我们将反复使用涉及测量变化的方法。为此，我们需要一个Girsanov定理的版本。以下是对[8]中定理15.3.10的重新表述：定理2。假设我们有一致有界函数β：Ohm ×[0，T]→ 手γ：B×Ohm ×[0，T]→ R+，使得γ（·，ω，t）- 1.∈ L（ν（dx））表示所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。我们定义QDP=EZ[0，·]β（ω，t）dWt+Z[0，·]ZB（γ（x，ω，t）- 1） ~N（dx，dt）T、其中E表示Dol’s Dade指数。那么∧t:=dQdPFTI是一个正平方可积鞅，在QWQ:=W下-Z[0，·]β（ω，t）dt是一个维纳过程，其中积分被理解为一个级数（见Remark1）。N在Q下的补偿器由νQ（dx，dt）：=γ（x，ω，t）ν（dx）dt给出。备注4。一般来说，β均匀有界的假设是有必要的。然而，出于本文的目的，它允许我们通过改变测量来消除有界漂移。3.正向SDE在本节中，我们研究“正向”过程的特性，即{X}t≥τ、对于某些τ≥ 0.它的作用可以直观地理解为BSDE驱动程序中的随机性来源。

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2022-5-6 08:10:10

我们首先向前求解X的动力学，然后在向后运行时将获得的值s插入BSDE。在我们的例子中，我们假设X是可分离Hilbert spa ce H上由L’evy噪声驱动的Ornstein–Uhlenbeck型方程的解。我们还假设系数是时间周期的。这是扩展现有理论的一种自然方式，在各种应用中都很有意义（见第6章）。3.1上下文我们从一个{at}t族开始这一节≥H上公共域D（A）稠密的线性算子的0，假设A:R+×D（A）→ H根据以下定义（见[14]）生成经验有界进化族：定义3。H上的指数有界演化族是一个双参数族{U（t，s）}t≥对H上的有界线性算子进行sof运算，使得r的U（s，s）=I和U（t，s）U（s，r）=U（t，r）≤ s≤ t、 o每x∈ H、地图（t，s）→ U（t，s）x在s上是连续的≤ t、存在M>0和u>0这样的t | | | U（t，s）| | op≤ 我-u（t）-s）福斯≤ t、备注5。“生成”指的是0≤ s≤ t对于所有x，我们有ddtu（t，s）x=A（t）U（t，s）x∈ H.评论6。关于指数有界进化家族的一种思考方式是对常见情况的时间相关的有限维修正，其中a是实d×d矩阵，其特征值具有非正实部。然后U取etA的形式，所有条件都满足。我们现在考虑由以下非自治的It^o SDEX（t，τ，X）=U（t，τ）X+ZtτU（t，s）Fs（X（s，τ，X））ds+ZtτU（t，s）G（s）dL（s），（3）给出的H值过程X是下面柯西问题的温和版本，dXt=a（t）Xtdt+Ft（Xt）dt+G（t）dLt，Xτ=X，t≥ τ. （4）解的存在和唯一性的条件将在OREM 3中给出。对于本文的其余部分，我们假设如下假设2。

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2022-5-6 08:10:13

（i）这个家族生成了一个指数有界的进化家族。他们的副词是A*（t）也有一个公共域，在H.（ii）F:R+×H中是有意义的→ H是一个具有公共域D（F）的一致有界可测映射族，它在H（iii）中是稠密的(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间，由L的It^o–LKevy分解得到的对（W，~N）在{Ft}t中具有可预测的表示性≥0.（iv）{Gt}t≥0是L（H，H）中的一致有界线性算子族，其公共域D（G）在H中稠密，且逆有界。（v）线性算子U（t，·）G（·）在希尔伯特-施密特范数k·kt中一致有界，由kskT定义：=EZtTr（SuQS）*u）杜,其中Q是L.（vi）系数A（t），F（t，·）和G（t）的维纳部分的协方差算子*– 周期性的*≥ 0，这是（t+t）*) = A（t），F和G也是如此。注7。上述标准k·k允许以下等距：EZtStdWt= kSkt，其中W是Q-Wiener过程，Q是迹类算子。对于具有自治系数的情况，即At=A，G（t）=Gand F（t，·）=F（·）T≥ 以下定理是定理9的直接推论。[18]中的29：定理3。假设A，F，G是时间齐次的，并且假设（i）F和G满足假设2，（ii）F是Lipschitz连续的。那么，尽管τ≥ 任何Fτ-可测平方可积随机变量H中的Xτ，方程dxt=（AXt+F（Xt））dt+GdLt，X（τ）=Xτ（5）具有唯一的（直到修改）温和解，具有c`adl`ag版本。此外0≤ τ ≤ T<∞, 存在C<∞ 这样，对于所有的x，y∈ H、监督∈[τ，T]EkX（T，τ，x）- X（t，τ，y）k≤ Ckx- yk。（6）备注8。现在假设F是有界且可测的，并且可以近似为Lipschitz函数的统一极限。

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可人4

2022-5-6 08:10:18

然后，我们可以修改[18]中定理10.14的假设，以证明方程（13）存在唯一的c`adl`ag mildsolution。换句话说，存在一个适应的H值dc`adl`ag过程{Xt}t≥τ、使得方程xt=e（t-τ）Ax+Ztτe（s）-τ）AF（Xs）ds+Ztτe（t）-τ）AGdL（s），等于P- a、此外，这个估计仍然成立。备注9。定理3可以向前扩展到非自治情况。在[14]中已经处理了线性情况。对于形式为（3）的半线性方程组，可以通过标准不动点引理证明其存在性，通过Gr–onwall引理证明其唯一性。由于这不是这项工作的主要目的，我们省略了证据。为了简化表示法，我们编写了Ust=U（t，s）和Ut=U（t，0）。确保（3）中的随机卷积在B¨ochner积分意义下存在，可以在[14]中找到以下结果：定理4。如果U是一个指数有界族，G s满足假设2，那么随机卷积XU，G:=RtτU（t，r）G（r）dL（r）存在于以下意义：ZtτU（t，r）G（r）dL（r）=ZtτU（t，r）G（r）dW（r）+ZtτZBU（t，r）G（r）xN（dr，dx）。定义4。每当f:H→ R是可测且有界的，我们称p（s，t）[f]（x）：=Ef（X（t，s，X））与（3）的解X有关的双参数跃迁s群。为了简化旋转，在续集中，我们将特别关注=0的情况，我们写Xxt:=X（t，0，X）和Pt[f]（X）=E[f（Xxt）]。然而，所有的结果，包括耦合估计，可以很容易地推广到更一般的P（s，t）[f]（·）情况。3.2耦合估计本小节的目标是获得lawscorres在不同初始条件下对（3）的两个解的指数收敛性。在一类有界非线性部分的过程中，我们需要这种收敛是一致的。

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2022-5-6 08:10:21

换句话说，我们的目标是证明以下定理：定理5。设F:R+×H→ H可以是任何Lipschitz函数和{At}t≥0固定并生成指数有界的进化族。然后存在常数C>0和ρ>0，对于任何有界连续函数ψ：H→ R、 |P（τ，t）[ψ]（x）- P（τ，t）[ψ]（y）|≤ C（1+| | | | | | | | | | | y |）e-ρ（t）-τ）supu∈H | |ψ（u）| |（7），其中常数C和ρ仅依赖于supu∈HF（u）与演化族{At}t的常数u≥0.当我们证明EBSDE存在解决方案时，这个估计将在续集中至关重要。在我们的证明中，我们遵循了[11]中定理M2.4和[21]中定理2.8的推导。我们需要从耦合理论中得到一些结果。调查可在[15]中找到。本节的其余部分如下：我们首先陈述耦合理论中的必要事实（见[15]或更多细节）。在得到必要的机械（最重要的是引理S2和3）之后，我们证明定理5。定义5。给定可测空间RX和RY上的两个概率测度ux和uYon，耦合是一个随机变量（ZX，ZY），取乘积空间RX×RY中的值，其分量分别具有边际分布ux和uy。定义6。当存在T时，两个过程X和Y被称为允许在[T，T]上成功耦合∈ [T，T]使得Xt=Yt。引理1。（文献[15]中的定理5.2]）对于可测空间（E，E）上的任意两个概率测度（u，u），存在耦合（Z，Z′），使得oku- ukT V=2P（Z=6=Z′），oZ和Z′独立于{Z 6=Z′}的条件，前提是后一事件具有正概率，oP（Z=Z′，Z∈ A） =（u）∧ u）（A），其中ku- ukT V=supΓ∈E|u（Γ）- u（Γ）|是（E，E）测量值的标准总偏差标准。备注10。上面的引理显示了对耦合的一种稍微不同的思考方式。

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2022-5-6 08:10:24

给定边际定律，我们“手动”构造随机变量。在这个构建过程中，我们的目标是调整这些变量，以使它们满足的概率最大化。在这种情况下，我们所说的耦合是指构造的随机变量对（X，X′）。在续集中，我们将需要以下辅助引理，其中（原则上）我们将解的终值耦合到（3）。引理2。修正T>0，考虑k的（3）解（τ=kT）≥ 初始条件为x的0∈ BR（0）和y∈ BR（0），x 6=y。根据Xk，x（k+1）~x和Xk，y（k+1）~T的各自定律，用ukx和uky进行计算。SetYkt=Xyt+（k+1）~T- t（k+1）~TUτt（x）- y）并且观察到Yk（k+1）的定律是uky。那么，对于每一个p>1，就存在这样的zhdukydukx（u）pdukx（u）≤ C.（8）证明：考虑到xysaties（4），我们立即注意到dyt=（A（t）Yt+Ft（Yt））dt+G（t）dL（t）-（k+1）~TUτt（x）-y） +Ft（Yt）-英尺（Xyt）dt。我们现在定义*（s）=（k+1）~TUτt（x）- y） +Ft（Yt）- 英尺（Xyt）G-1（t）。根据假设，G是一个可逆算子，存在C>0这样的结果-1顶部≤ C.根据我们的假设，很明显*（s） k≤ 2CkF k∞+T先生,其中M来自U的定义。我们定义QDP=EZ（k+1）~Tk~Tb*（t） dWt.由于b（·）是一致边界，根据定理2，过程∧s:=dQdP定义在[kT，（k+1）~T]上的Fs是一个正平方可积鞅和Q~ P.此外，在Q下，~Lt=Lt-Rtb*（s） ds是一个L’evy过程，在P下具有相同的三元组（在L’evy–Khintchine表示的意义上）a s L。很明显，Y（k+1）~Thas法则ukxunder Q和ukyunder P。我们注意到dukydukx（u）pdukx（u）≤ E∧p（k+1）~T,该声明使用的是，对于每一个p>1，过程E（R·kTpb）*（s） dWs）是真鞅。备注11。

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2022-5-6 08:10:27

由于（3）中的系数取决于时间，所以在长度为t的不同时间段上具有相同初始条件的解的规律是不同的。然而，由于b上的界*（·）在时间上保持一致，界（8）也保持一致。下面的引理可以在[15]中找到：引理3。设u和u是某些空间上的两个等价概率测度。如果存在C>0和p>1这样的常数dudu（x）p+1du（x）<C，然后1.∧dudu（x）du（x）≥1.-P个人计算机P-因此，在引理1的表示法中，我们得到p（Z=Z′）=u∧ u（A）≥1.-P个人计算机P-1.证明：（定理5）为了简单起见，我们集中讨论τ=0的情况。从证明中可以清楚地看出，这个结果可以很容易地推广到一般的双参数半群。我们确定初始条件x，y∈ H.对于任意两个过程XY和XX，其定律分别对应于初始条件为y和x的（3）的解，我们表示它们各自的定律ux和uy。我们现在考虑耦合过程y=（Xyt，t<t，Xxt，t）≥ T.（9）其中T=inf{s:Xxs=Xys}是xxx和Xy的首次会面时间。我们注意到Y和XY有相同的定律。现在，对于任何有界φ：H→ R、 | Pt[φ]（x）- Pt[φ]（y）=Eφ（Xxt）- Eφ（Yt）|=|E[φ（Xxt）- φ（Yt）]1{T>T}| ≤ 2杯∈H |φ（x）| P（T>T）（10）和马尔可夫不等式，对于任何ρ>0P（T>T）≤ EeρTE-ρt。因此，为了得到我们的结果，我们将构造xxx和Xy，然后证明存在常数C>0和ρ>0，这样eρT≤~C（1+kxk+kyk）。（11）备注12。需要理解的一件重要事情是我们所说的“构造”是什么意思。因为我们试图证明定律的收敛性，所以我们不必使用前向方程的原始解，而是可以将在不同时间间隔上构造的片段拼凑在一起。

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2022-5-6 08:10:30

在每一个这样的区间[kT，（k+1）T]上，我们让Xxs=X（s，kT，XxkT）与L（3）中的L’evy过程L替换为L，而Xys=X（s，kT，XykT）与L替换，其中L和L是与L具有相同规律的L’evy过程。由于解的规律不依赖于噪声的选择，Xxs和Xys对[kT，（k+1）~T）与原始解具有相同的规律。我们按照以下方式进行：o（步骤1）我们首先表明，我们可以选择一个时间步长T>0和aradius R>0，这样，如果我们只在时间{nT}n观察两个独立的解过程xxx和xy∈N、 Xyn和Xxn进入BR（0）的等待时间均为N指数。

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2022-5-6 08:10:34

此处的独立性在sens中被理解为，我们获取了两份独立的L’evy过程的副本（L和L），如备注12所示（第2步）将Xxk和Xyk皮重放入BR（0）中一次，持续一段时间≥ 0，我们取消了独立假设，分别构造了[k＠T，（k+1）＠T]上的两个解XXxk＠T，k＠和XXxk＠T，k＠T（3），初始条件为Xxk＠和Xyk＠。然后我们推断，对于构造的解，它们在[kT，（k+1）~T]上相遇的概率从下到下一致有界于k.o（步骤3）。然后我们迭代这些参数，以表明我们正在构造的两个过程在时间上没有相遇的概率呈指数衰减。第一步：我们从证明存在正常数u、c和D开始形式推导，例如ekxxtk≤ D（kxke-2ut+c）。为了继续进行，我们定义了t=U（t，0）x+ZtU（t，s）F（Xs）ds、Zt=ZtU（t，r）G（r）dW（r）和qt=ZtZBU（t，r）G（r）xN（dr，dx）。我们注意到≤ 库茨克+ZtUstF（Xs）ds≤ kUtkopkxk+-FZTKUTKOPDS≤ ME-utkxk+-FZte-u（t）-s） ds≤ 我-utkxk+-Fu。因此，通过使用不等式（a+b）≤ 2（a+b），kVtk≤ 2.我-2uTXK+\'Fu.利用等距图和W和N的独立性，我们还可以看到ekzt+Qtk=EhZt+Qt，Zt+QtiH=EkZtk+EkQtk=kU（t，·）Gkt+ZtZBkUstG（s）xkν（ds）ds≤ C+kGkopZtZBkUstkopkxkν（dx）ds≤ C+kGkopM~D≤对于某些常数C，其中D=RBkxkν（dx），M来自U的定义，k·k定义如假设2所示。我们现在可以利用（a+b）这个事实≤ 2（a+b）再次到getEkXxtk≤ D（k-xke）-2ut+c）（12）对于某些常数D和c，我们注意到上面所有的界在时间上保持一致，也就是说，即使我们没有马尔可夫性质，我们仍然可以得到任意两个解xxof（3）和xof（3），EkXx（k+1）~Tk+kXy（k+1）~TkFkT≤ 扩散系数-2uT（kXxk-Tk+kXyk-Tk）+2Dc，k≥ 0（13）对于任何固定的T。

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2022-5-6 08:10:37

我们现在定义，对于固定的R>0Ak={kXxk＠Tk+kXyk＠Tk>R}，Bk=k\\j=0Aj。通过切比雪夫不等式和（13）我们得到了p（Ak+1）FkT）≤扩散系数-2untr（kXxk-Tk+kXyk-Tk）+2DcR。（14）我们现在定义matrixC=de-2u/T2DcDRe-2u/T2DcR！。在将（13）和（14）乘以1Bk后，取一个期望值并注意到BK+1≤ 1Bkwe haveEkXx（k+1）~Tk+kXy（k+1）~TkBk+1P（Bk+1）！≤ 总工程师kXxkTk+kXy（k+1）~TkBkP（Bk）！这种不平等是成分方面的。因此，我们完成了这个过程EkXxkTk+kXykTk英国石油公司（Bk）≤ Ckkxk+kyk,对两边的行向量（0，1）进行预乘，我们可以看到p（Bk）≤ （0,1）Ckkxk+kyk.上述讨论适用于任意选择的T和R，但现在我们想要得到一个指数界。C的igenvalues集合是{0,2DcR+De-2uT}，我们需要它们都小于1。因此，我们选择R=8dC和T，使e-2uT≤4D，所以DCR+De-2uT≤. 鉴于相应的特征向量构成R中的基，向量（0，1）可以表示在特征向量基中，因此存在一个常数C>0，这样p（Bk）≤\'Ck（1+kxk+kyk）。现在，我们将离散时间线上BR（0）的第一次命中时间定义为τ=inf{k＠T:kXxk＠Tk+kXy（k+1）~Tk≤ R、 k∈ N} ，然后是p（τ）≥ kT）≤ P（Bk）≤\'Ck（1+kxk+kyk）。（15）取一个常数β，使βT<ln2。ThenEe∧βτ=∞Xk=0eβkTP（τ=kT）≤∞Xk=0eβkTP（τ≥ kT）≤\'C1-因此，对于每一个γ，都存在一个常数Csuch≤β，E（Eγτ）≤ C（1+kxk+kyk）。（16）证明的第一步现已结束。第二步：我们使用引理2证明中引入的符号根据引理1，在区间[k＠T，（k+1）＠T]上，存在一对过程（＠Xx，k＠T，＠Yk＠T），其终端时间定律分别为ukx和uky，因此p（＠Xx，k＠T（k+1）~T=＠Yk＠T（k+1）~T）=kukx- ukykT V.o我们认为，在x，y∈ BR（0）。

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2022-5-6 08:10:40

在引理2中取p=3，应用引理3，我们知道存在一个常数，比如kukx- ukkT V≥2C，因此（~Xx，k~T（k+1）~T=~Yk（k+1）~T）≥4C.o我们立即发现~Xx，k ~-Tt，~Xy，k ~-Tt=~Yk ~-Tt-~T- tTUkTt（x- y）T∈[kT，（k+1）T]成功地与下面有界的概率耦合，sinceP（~Xx，ks=~Xy，kss对于一些∈ [k~T，（k+1）~T]）≥ P（~Xx，k（k+1）~T=~Yk（k+1）~T）≥4C。（17）这样，第二步就完成了。第3步：我们现在已经准备好构建（9）中使用的进程Xx，xy，在持续时间T的各个时间间隔上，然后将它们全部修补在一起。假设我们已经在[0，k~T]上构造了xy和Xxon。我们现在按照以下方式进行：o如果Xyk和Xxk皮重在BR（0）中，那么在[k＠T，（k+1）~T]上，我们设置Xxt=~XXxk＠T，k＠T和Xyt=~XXyk＠T，k＠T，其中＠X是在步骤2中构造的最大耦合如果至少有一个过程没有在球中完成，那么在下一个时间步中，我们设置Xxt=\'XXxk＠t和Xyt=\'XXyk＠Tt，其中{\'Xxt}t≥k/Tand{Xyt}t≥k~T分别为τ=k~T和初始条件Xxk和Xyk~T的（3）的独立解。因此，我们在整个时间线上构建了XX和XY。我们现在开始证明他们第一次见面时间的指数界限。为此，我们定义了一个家庭∈N} 如下所示：z=0和zn+1=inf{k>zn:k∈ N、 XxkT，XykT∈BR（0）}。到16岁时我们就到了eγz~T≤ C（1+kxk+kyk）和thusEeγ（zn+1）-zn）~TFznT≤ C（1+kXxzn)Tk+kXyzn)Tk）。自从e-γznTis FznT-可测量和kXx，yznTk≤ R、我们找到了eγzn+1T≤ Cn+1Cn（1+kxk+kyk），其中C=1+2R。

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2022-5-6 08:10:45

现在我们设置`k=inf{k:Xxzk?T=Xyzk?T}。自Xx以来，yzkT∈ BR（0）对于每k>0，我们有，从（17）P（\'k>k+1 |\'k>k）≤1.-4C.当P（\'k>k+1）=P（\'k>k+1 | k>k）P（\'k>k）时，我们得出结论P（\'k>k）≤1.-4Ck、我们现在选择0<α<γ1.-4C1.-α/γCα/γCα/γ<1，然后，利用H¨older不等式，我们可以看到e（eαz¨k¨T）=eE（Eαz\'k | T | k）≤Xk≥0Eeαzk＠T＠k=k≤Xk≥0（P（\'k=k））1-α/γ（EeαzkT）α/γ≤Xk≥0（P（\'k>k- 1))1-α/γ（EeαzkT）α/γ≤Xk≥01.-4C（k）-1)(1-α/γ（CkCk）-1（1+kxk+kyk））α/γ≤ C（1+kxk+kyk）对于某些常数C.对于每个ρ≤ 我们找到了吗eρT≤ Eeρ（z′k+1）~T≤~C（1+kxk+kyk），其中~C=CeρT引理4。估计（7）可以推广到F有界且可测的情况，并且存在Lipschitz（在第二个参数中）函数{Fn}n的一致有界序列≥1这样的limnfn（t，x）=F（t，x），十、∈ H、 t≥ 0.证明：证明使用标准Girsanov参数，与[11]中的推论2.5相同。备注13。引理4之所以必要，是因为为了在续集中构造EBSDE的解，我们首先必须改变度量。根据Girsanov定理，我们知道在新的测度下，前向过程将有额外的有界漂移。因此，我们需要确保这个估计仍然成立。3.3重现本节致力于证明在某些假设下，正向过程（3）最终以概率1进入H中的任何开放球。我们将其用于时间周期系数和具有非平凡扩散成分的L’evy噪声的情况。这是现有理论的自然延伸，本身也很有趣。在续集中，我们需要一个稍微弱一点的性质，即最终返回到零附近的任何开球，以证明EB SDE的马尔可夫解的唯一性。我们首先制定一个额外的假设：假设3。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:10:47

为了简单起见，假设in（3）τ=0。然后我们假设过程ZA（t）定义为byZA（t）=ZtUsG（s）dLs。跨越整个空间H，也就是P（ZA（t）∈ V）>0表示所有t>0和任何openV∈ H.评论14。这种假设似乎过于严格，因为人们可以想到许多L’evy过程并不跨越整个空间。例如，当整数上支持一维分量{Ln（t）}时的情况。即使在更一般的情况下，人们也可以想到子空间上L（t）支持的L’evy过程。然而，由于我们把注意力集中在G（s）对于每个s都是可逆的情况≥ 0，而L有一个非平凡的微分分量，这个假设是合理的。引理5。如果过程ZA（t）满足所有t>0的假设3，则过程xxt满足（3）是不可约的。换句话说SP（Xxt∈ B（z））>0对于任何t>0，z∈ H、 >0。备注15。在这里，以及在续集中，我们用BR（x）表示半径R围绕x的开放球∈ H.证明：我们遵循[21]中第3.3条的证明。我们假设T>0，y∈ H、 >0。对于其余的证明，我们也表示Xt=Xxt。然后下一步+a=Utt+aXt+Zt+ATUT+aFs（Xs）ds+Zt+ATUT+aG（s）dLs。设z是支持随机变量iabluest+aXt分布的任意元素。然后，根据定义，事件B={Ust+aXt- z |</3}是正概率的。自从kF k∞= 监督≥0，x∈HFt（x）<∞, 利用U的定义，我们有Zt+ATUT+aFs（Xs）ds≤Zt+atkUst+akopkF k∞ds≤ M kF k∞Zt+ate-u（t+a）-s） ds≤ ca，对于某些c>0。然后我们写text+a-y=（Utt+aXt）-z） +Zt+ATUT+aFs（Xs）ds+Zt+ATUT+aG（s）dLs-y+z.（18）事件=Zt+ATUT+aG（s）dLs- y+z< /3根据假设3，为正概率。因为x和Lon[t，t+a]的增量是独立的，所以事件B和C也是独立的∩ C有正概率。给出（18），我们已经证明| Xt+a- y|≤ /3+ca+/3在B上的阳性概率∩ C

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2022-5-6 08:10:52

我们现在选择a，以便ca</3和T- A.≥ 0.设置t=t- a、我们得到了- y|≤ ) ≥ P（B）∩ C） >0，这是结果。为了继续，我们需要一些关于方程（3）解的不变测度的结果。我们通过考虑线性问题dxt=A（t）dt+G（t）dLt，Xτ=X求出，可以通过扩展状态空间的标准技术，即考虑向量（X，y）的演化，将其简化为自治情况∈在[14]之后，我们定义了一个单参数半群asPsu（t，X）：=P（t，t+s）u（t+s，·）（X），这意味着我们将双参数半群作为xonly的函数应用于u。从定义中可以清楚地看出，Pτ是一个马尔可夫半群，这给了我们使用强大的现有理论的机会。为了证明不变测度的存在性和唯一性，我们需要定义半群是收缩的“周期”L-空间中的Corres-ponding。韦德诺特酒店*(ν) :=f:R×H→ R可测量：f（t+t）*, x） =f（t，x）ν- a、 e.andZ[0，T*]×H | f（y）|ν（dy）<∞.从某种程度上来说。很明显我*这是一个希尔伯特空间。以下结果建立在[14]中。提议2。半群P存在唯一不变测度。换句话说，对于每一个有界可测函数u，使得u（t+t*, x） =u（t，x）对于每个t>0和x∈ 我们有：Z[0，T*]×HPsu（t，x）ν（dt，dx）=Z[0，t*]×Hu（t，x）ν（dt，dx）。此外，关于L*（ν）半群是收缩的。我们推导出，与原始半线性问题dxt=a（t）dt+Ft（Xt）dt+G（t）dLt，Xτ=X相对应，也存在一个唯一的不变测度u。这可以很容易地通过将测度变换为线性情况来表示。我们把细节留给读者。我们现在准备证明这一节的主要结果，即向前过程{Xt}t的重现≥τ.

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2022-5-6 08:10:55

我们给出了两个证明：一个适用于dim H<∞, 是基本的，在这个意义上，它不依赖于不变测度的存在。第二个是关于dim H=∞.定理6。对于任何x，x∈ H、 s≥ 对于任何固定的>0，我们定义τ：=inf{t≥ s:Xxt∈ B（x）}。然后P（τ>T）→ 0作为T→ ∞.证据：（直觉，模糊H<∞) 从定理5的证明步骤1中，我们知道我们不能找到半径R>0，因此我们的过程返回到球¨BR（0）的概率不是很小。然后我们用T步离散时间。我们知道，离散化过程通常会返回到“BR（0）”，通过引理5，从“BR（0）”跳到任何空位球的概率如下所示。然后，我们调用一个Borel–Cantelli类型的参数来证明这个定理。（正式程序，尺寸H<∞) 我们首先介绍一系列事件{En}n≥1asEn={存在k=1…n:Xxk?∈ B（x）}，并立即注意到“嗯-1） =P（{X（n)T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）}，其中E表示E的补码，x（t，s，x）是（3）的解在时间t时的值，从时间τ=s开始，xτ=x。因此，P（En | | En）-1） =PX（n~T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）≥ PXx（n）-1） ~T∈ BR（0），X（n~T，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）= PXx（n）-1） ~T∈ BR（0））P（X（nT，（n- 1） ~T，Xx（n）-1） ~T）∈ B（x）.因为（3）中的系数是T*-周期性和¨BR（0）是紧致的（因此[0，T*] ××BR（0）是紧致的），并且考虑到（3）的解相对于初始值的稳定性（如（6）所述），存在δ>0这样的pX（n~T，（n- 1） ~T，Xxn~T）∈ B（x）XxnT∈\'BR（0）> δ.亨塞克斯≥1P（En | En）-1) ≥ δXn≥1P（XxnT∈\'BR（0））。在定理5证明的“步骤1”中，我们展示了ekxxtk≤ L（kxke-2ut+c），因此通过马尔可夫不等式我们得到了p（kXxtk>R）≤LR（kxke-2ut+c）。很明显，我们可以选择R，这样1- P（kXxkTk>R）≥ 1/k适用于所有k≥ 1.

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2022-5-6 08:10:58

因此≥1P（En | En）-1) ≥ δXn1/n=∞,因此，通过Borel–Cantelli引理的对应物（见[5]），我们得出了p（τ<∞) = P(∪nEn）=1，结束证明。证明：（dim H=∞) 让函数ψ：→ R是有界的，是连续的。从定理7我们知道，对于任何x，y∈ H和0≤ T≤ t′我们有| Ps[ψ]（t，x）- Ps[ψ]（t′，y）|=|Ps[ψ]（t′，Xt，Xt′）- Ps[ψ]（t′，y）|≤ C（1+| | Xt，Xt′| |+| | y |）e-ρ（s）-t′）supu∈H | |ψ（u）| |。（19）利用（19）和半群Pt存在唯一不变测度ν的事实，我们可以证明（例如[20]）是指数混合的。换句话说，Ps[ψ]（t，x）→ ν（ψ）=Z[0，T*]×Hψ（t，x）ν（dt，dx）。现在我们设置ψ（t，x）=1x∈为了某个开局 H.那么Ps[ψ]（t，x）=P（Xt，xs）∈ A）。根据定理5，我们知道对于所有的0≤ T≤ s、 x∈ 我们有p（Xt，xs）∈ A） >0。因此ν（[0，T*] ×A）=Z[0，T*]×HP（Xt，xs）∈ A） ν（dt，dx）=对于某些常数δA，δA>0。设置t=0和A=B（x），我们得到了→∞P（Xxt）∈ B（x））=ν（[0，T*] ×B（x））=Δ>0因此，根据[19]中的命题3.4.5，权利要求如下。4向后的SDESE现在从“向前”过程X开始考虑问题的“向后”部分。本节的组织如下：我们首先介绍了有限期内的贴现BSDE类别，并证明它们承认存在大量的解决方案。然后，我们使用上一节中获得的耦合估计来证明EBSDE解的存在性。下一小节是关于马尔可夫解的唯一性。最后，我们为解决方案提供了一个可选的表示。与[23]类似，我们对BSDE的驱动程序施加了某些假设。定义7。此后，我们假设具有跳跃的BSDE的驱动器是可测函数f：Ohm ×R+×R×H×L（B，B，ν）→ R.假设4。

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2022-5-6 08:11:02

对于所有的T，我们在驱动器rf（ω，T，y，z，u）上有以下条件：of在（ω，T）中是可预测的f是连续的w.r.ty，存在一个r+值过程（φt）0≤T≤Tsuch那RTφsds< ∞ 和| f（ω，t，y，z，u）|≤ φt+K|y |+| | z | |+ZB | u（v）|ν（dv）1/2of是“单调的”w.r.t y，即α ∈ R如此T≥ 0, y、 y′∈ RZ∈HU∈ L（B，B，ν）（y）- y′（f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y′，z，u））≤ α| y- y′| P- a、 s.of是Lipschitz w.r.t.z，尤其是uK≥ 0 : T∈ [0，T]，Y∈Rz、 z′∈ Hu、 u′∈ L（B，B，ν）|f（ω，t，y，z，u）-f（ω，t，y，z′，u′）|≤ K | | z-z′| |+KZB | u（v）- u′（v）|ν（dv）1/2为了得到一个比较理论，我们做了以下进一步的假设。假设5。存在-1<C≤ 0和C≥ 0以至于十、∈ HZ∈ H*, u、 u′∈ L（B，B，ν，R）我们有f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）≤ZB（u（v）- u′（v））γω，z，u，u′t（v）ν（dv），其中γω，t，z，u，u′：Ohm ×B→ R在所有参数中都是可测量的（可预测×Borel），并且满足（1∧ ||x | |）≤ γω，t，z，u，u′（x）≤ C（1）∧ ||x | |）代表所有v∈ B.在[23]中可以找到以下具有跳跃的有限视界BSDE的存在定理。本文考虑了有限维布朗运动的情况。在有限维情况下，W是aQ维纳过程的扩展是直接的（详情见[8]）。定理7。在假设4下，存在唯一解（Y，Z，U）∈（S×L（W）×L（ν）），对于任何终端条件η∈ L（FT），根据方程y=η+ZTtf（ω，u，Yu，Zu，Uu）du-ZTtZ*乌德乌-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）。引理6。在假设5下，对于每个Y，Z，U，U′都存在一个过程γt=γω，Yt，Zt，Ut，U′tsuch thatf（ω，t，Yt，Zt，Ut）- f（ω，t，Yt，Zt，U′t）=ZB（U（v）- 证明：我们首先注意到t>0，ω ∈ Ohm, Z∈ H*, u、 u′∈ 存在满足C（1）的γω，z，u，u′1，t（v）和γω，z，u，u′2，t（v）∧||v | |）≤ γi，t（v）≤ C（1）∧||v | |）对于i=1。

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2022-5-6 08:11:05

ω（2，y，z，t）- f（ω，t，y，z，u′）≤ZB（u（v）- u′（v））γω，y，z，u，u′t（v）ν（dv）和f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）≥ZB（u（v）- u′（v））γω，y，z，u，u′2，t（v）ν（dv）。然后存在αt=α（t，ω，y，z，u，u′），这样f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）=ZB（u（v）- u′（v））（αtγω，z，y，u，u′1，t（v）+（1- αt）γx，z，y，u，u′2，t（v））ν（dv），我们立即看到αt=f（ω，t，y，z，u）- f（ω，t，y，z，u′）-RB（u（v）- u′（v））γω，z，y，u，u′2，t（v）ν（dv）RB（u（v）- u′（v））（γω，y，z，u，u′1，t（v）- γω，y，z，u，u′2，t（v））ν（dv）∈ [0,1]，注意到如果分母为零，则αt=1满足要求。现在，请注意∈ [0，t]和v∈ B我们可以明确定义γt（v）=α（t，ω）γω，Yt，Zt，Ut，U′tt（v）+（1- α（t，ω））γω，Yt，Zt，Ut，U′t2，t（v），其中α（t，ω）=α（t，ω，Yt，Zt，Ut，U′t），很明显，γtsatis fies（20）。4.1在有限视界bsdesign中，我们表明在有限视界BSDE内存在一个唯一的bo unded解，即方程Yt=Yt-ZTt(-αYu+f（ω，u，Zu，Uu））du+ZTtZudWu+ZTtZBUs（x）~N（ds，dx），（21），这将证明对下一节中的遍历BSDE研究至关重要。为了继续，我们需要田中的一般半鞅公式。例如，可以在[8]中找到以下版本。这里，我们使用符号（x）=x/|x |表示X6=0，符号（0）=0的约定。引理7。（田中公式）设X是半鞅，a∈ 然后存在一个连续增长的局部时间过程La和一个纯跳跃过程LX，a，La（0）=0（唯一P- a、因此X允许以下表示：d | Xt- a |=符号（Xt）-- a） dXt+dLat+LX，在哪里LX，at=|Xt- a|- |Xt-- a|- 签名（Xt）-- （a）XT是一个“本地时间”跳转过程。备注16。如果我们考虑上述过程LX，我们注意到LX，at=|Xt- a|- |Xt-- a|- 签名（Xt）-- （a）（Xt）- a） =|Xt- a|- 签名（Xt）-- a）（Xt）- a） =|Xt- a |（1）- 符号（（Xt）-- a）（Xt）- a）））≥ 0.定理8。

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2022-5-6 08:11:09

设α>0和f：Ohm ×R+×H*×R→ R满足假设4和假设5，f（w，t，0，0）|由C统一约束∈ r存在一个适应的解决方案（Y，Z，U），其中Y c`adl`ag和Z∈ L（W），U∈ 对于所有0，L（~N）到有限水平方程（21）≤ T≤ T<∞, 满意的| Yt |≤ C/α，这个解在有界适应解中是唯一的。此外，如果（YT，ZT，UT）表示（唯一）适应的平方可积解toYTt=ZTt(-αYTu+f（ω，u，ZTu，UTu））du-ZTt（ZTu）dWu-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）（22）然后limT→∞YTt=Yta。s、证明：我们首先证明，如果有界解存在，它是唯一的。假设我们有两个有界解（Y，Z，U）和（Y′，Z′，U′）到（21）。WedenoteδY:=Y- Y′，δZ:=Z- Z′和δU=U- U′。我们还表示αs:=（f（ω，s，Zs，Us）-f（ω，s，Z′，Us）| |δZ | |δZ如果Z 6=Z′，则为0。现在定义Mt=RtαsdWs+RtRBγs（x）~N（ds，dx），其中γ=γω，t，Z′，U，U′定义为引理6。然后我们可以用定理2证明存在一个概率测度Q~ P使得在Q下，过程kt=ZTt（f（ω，u，Zu，Uu）- f（ω，u，Z′u，u′u））du+ZTtδZ*udWu+ZTtZBδUs（x）~N（ds，dx）是鞅。我们现在应用田中的公式和备注16来了解所有的≤ T≤ 我们没有-αt |δYt |- E-αs |δYs | Fs]≥ 0，因此|δYs |≤ E-α（t）-s）等式[|δYt | Fs]≤ E-α（t）-s） C，对于|δYt |上的ca界。这个界独立于T，并随着T而崩溃→ ∞.因此|δYs |=0，从中我们可以看到Ys=Y′sa。s、对于每个s，因此Y=Y′直到不可区分，因为Y和Y′是c`adl`a g。我们现在证明了有界解的存在。我们首先注意到，T-horizon BSDE（22）确实存在一个独特的解决方案。为了看到这一点，通过一个标准的比较参数，必须检查我们的新驱动程序，即F（ω，t，y，z，u）：=-αy+f（ω，t，z，u）满足假设4，前提是f满足。

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2022-5-6 08:11:13

这一点很清楚，因为我们的附加项不依赖于（z，u），它是连续且单调的。我们将解表示为（YT，ZT，UT）。我们现在证明YTis是有界的。与上述类似，我们定义了βs:=（f（ω，s，ZTs，UTs）-f（ω，s，0，UTs）| | ZT | ZTsif ZTs6=0,0，否则。表示Mt=RtβsdWs+RtRBγs（x）~N（ds，dx），其中γ=γω，0，U，0是引理6中的定义。然后，如上所述，存在一个概率测度Q~ P、在这个过程中Kt=ZTt（f（ω，u，Zu，Uu）-f（ω，u，0，0））du+ZTtZ*udWu+ZTtZBUs（x）~N（ds，dx）是一个鞅，因此e应用田中的fo公式和It^o公式-αt | YTt |我们认为| YTt |≤ eαtEQhZTte-αu | f（ω，u，0，0）| duFti≤ C/α（23），其中C是| f（ω，t，0，0）|上的界。因此它是一致有界的。我们现在证明了在T中，Y在T的紧集上均匀地形成了一个柯西序列≥ 我们定义ρs：=f（ω，s，ZTs，UTs）-f（ω，s，ZT′，UTs）|ZT-ZT′| |（ZTs）- ZT′s）如果ZTs6=ZT′s，则为0，表示“Mt=RtβsdWs+RtRB”γs（x）~N（ds，dx），其中“γ=γω，ZT′，UT，UT′定义为引理6。如上所述，应用田中的公式和不等式（23），我们观察到| YTt- YT’t|≤ E-α（T）-t） E\'Q[|YT\'t- YTt | |英尺]≤ 2Ce-α（T）-t） /α，（24）其中“Q”的定义方式与Q类似。因此，我们看到YTtis是t中的Cauchysequence，因此存在极限，我们将其表示为Yt。不等式（23）中建立的界也适用于Yt，从等式（23）中可以清楚地看出，一致收敛于碰撞。我们现在展示了ZT和UTT是不连续的序列。我们表示Zt=ZTt- ZT′tandUt=UTt- UT\'t.将其应用于~Yt, 式中Yt:=YTt- YT\'t。然后，在‘Q’下进行标准计算后，我们看到，对于每个t<t，~YT=~Y+E’QZtZB | | Us（v）|ν（dv）ds+eqZt | | Zs | ds+2αE′QZtYsds.鉴于我们的索赔如下。因此，极限为T→ ∞ 序列{ZTt}和{UTt}存在。把Z和U作为它们各自的极限，我们得到了我们想要的解（Y，Z，U）。假设6。

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2022-5-6 08:11:16

（马尔可夫结构）在续集中，我们将假设驱动程序f是马尔可夫的，对于一些可测量的f，isf（ω，t，Zt，Ut）=f（Xt（ω），Zt，Ut）。为了方便起见，我们简单地为f的推论1写f。设（Yα，x，s，Zα，x，s，Uα，x，s）为解的唯一有界解-ZTt(-αYα，x，su+f（x（t，s，x），Zα，x，su，Uα，x，su））du+ZTt（Zα，x，su）*对于某些s，dWu+ZTtZBUα，x，ss（x）~N（ds，dx），（25）在[s，T]上≥ 0.我们通过vα（s，x）=Yα，x，ss定义函数vα。然后，假设vα是可测的，Yα，x，st=vα（t，x（t，s，x））是一个解，并且通过唯一性我们也得到vα（s，x）是有界的。也不难看出过程sz和U是马尔可夫的，换句话说，对于某些确定性的vα，ξα，ψα，可以将解三重态（Yt，Zt，Ut）表示为（vα（t，Xt），ξα（t，Xt），ψα（t，Xt））。有关马尔科夫代表的详细信息，请参见[8]。在接下来的内容中，我们将反复使用测量的变化来消除BSDE中驱动程序的各个部分。根据引理4，为了使用定理5的结果，我们需要确保在新的测度下，过程{Xt}t漂移的非线性≥0可以近似为fLipschitz函数的统一极限。因此，我们需要以下假设：假设7。用推论1表示，函数θα：R+×H→R、定义为α（t，x）：=f（x，0，ψα（t，x））- 对于所有α>0.4.2遍历BSD，f（x，0，0）可以点表示为一致有界Lipschitz（in x）函数族的极限。现在，我们使用与定理8中相同的技术来获得遍历BSDEYt=YT+ZTt[f（Xxu，Zu，Uu）的解-λ] 杜-ZTtZ*乌德乌-ZTtZBUs（x）~N（ds，dx），（26）其中0≤ T≤ T<∞, f:H×H*×R→ R是一个给定的函数，Y是一个重新赋值的c`adl`ag随机过程，Z是H中的一个预dic表过程*.

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2022-5-6 08:11:19

我们以这样的方式改变度量，以消除漂移项，然后获取期望值，然后将T发送到单位。在我们的例子中，生成器通过正向过程X（t，s，X）依赖于ω，我们定义了测量Qx，α，t，使得过程Kt=ZTt（f（X（u，s，X），Zαu，X，s，uαu，X，s）- f（X（u，s，X），0，0））du+ZTt（Zαu）*dWu+ZTtZBUαs（x）~N（ds，dx）是[s，T]上的Qx，α，T-鞅。然后，在Qx，α，T下，我们有-αsvα（s，x）=EQx，α-αTvα（T，X（T，s，X））+Z]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui。As | vα（t，X（t，s，X））|≤ 所有0的C/α≤ T≤ T，让T→ ∞ 我们在这里-αsvα（s，x）=limT→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui。为了继续进行，我们注意到，在新的测量下，我们的正向SDE的形式为（dXt=A（t）Xt+FQ（t，Xt）dt+G（t）dLtXs=x，（27），其中FQ（·，·）是测量Q下的非线性，包括新的漂移项。引理8。映射FQ（t，x）是有界的，可以表示为一致有界Lipschitz函数族的点极限。证据：我们清楚地知道FQ的结构。定义ρs（x）：=（f（x，ξα（s，x），ψα（s，x））-f（x，0，ψα（s，x））| |ξα（s，x）| |（ξα（s，x）），如果ξα（s，x）6=0,0，否则。式中，Zs=ξα（s，Xs）和Us=ψ（s，Xs），如推论1所示。使用引理6，定义{γu}u≥sto-be-uch thatf（X（t，s，X），0，Ut）- f（Xxt，0，0）=ZBU（v）γt（X（t，s，X），v）ν（dv）（28）对于所有t≥ 0.然后F（t，X（t，s，X））：=FQ（t，X（t，s，X））- Ft（X（t，s，X））可以写成¨F（t，X（t，s，X））=G（t）ρt（X（t，s，X））+ZBγt（X（t，s，X），r）G（t）rν（dr）。第一个参数是有界的，因为f在Z中是Lipschitz。通过与[11]中引理3.4相同的参数，我们还可以证明它是Lipschitz函数的一个逐点极限。第二项依赖于X（t，s，X），仅考虑过程γt。根据（28）和假设7，我们得出了结果。引理9。

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mingdashike22

2022-5-6 08:11:22

对于推论1中定义的vα和任意x∈ H、存在界C′和C使得| vα（s，x）- vα（s，x）|<C′（1+kxk+kxk）和α| vα（s，x）|<楔形分布在x，s和α中。证明：用上面的Qx，α，Tas，我们表示Pα（t，s）[f]（x）=EQx，α，t[f（x（t，s，x）），其中x（t，s，x）是（27）的温和溶液。然后我们得到| vα（s，x）- vα（t，x）|≤ eαs极限→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-αuf（X（u，s，X），0，0）dui- 极限→∞EQx，α，ThZ]s，T]e-α（u）-s） f（X（u，s，X），0，0）酒后驾车+ C′s- t|≤Z∞东南方-α（u）-（s）Pα（u，s）[f（·，0，0）]（x）- Pα（u，s）[f（·，0，0）]（x）du+C′s- t|≤ C′（1+kxk+kxk）+C′|s- t |，每0≤ T≤ s、其中C′和C′与α无关。最后一步我们使用定理5的结果。不等式α| vα（s，x）|<C源自定理8。备注17。我们注意到，由于周期结构，vα（t+t*, x） =vα（t，x），因此，对于固定的s≥ 0和x∈ H、 kvα（t，x）- vα（s，x）k≤ kvα（t，x）- vα（t，x）k+kvα（t，x）- vα（0，x）k≤ C′（1+kxk）+supu∈[s，s+T*]kvα（u，x）- vα（s，x）k≤ C′（1+kxk）+C′T*.假设vα在时间上是一致的Lipschitz，我们有kvα（t，x）- vα（s，x）k≤ C′（1+kxk）对于某些新常数C′。10引理。存在一个束缚C，比如kxvα（t，x）k≤\'C（1+kxk）。在x，t和α中保持一致。证明：我们首先对过程{X（t，τ，X）}t的灵敏度进行估计≥τ相对于初始值x（对于剩余部分，我们使用符号Xt，xs表示x（s，t，x））。根据标准ar公式（参见，例如[24]），可以证明，对于任何固定的≥ τ、存在一个常数ct>0，如hthatekhdxxτ，xt，hik≤ ctkhk（29）适用于任何方向h∈ H

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