然后存在一个最优交易策略π*= π*t、 x，y∈ π，即Uγπ*T= supπ∈πEUγπT= V（t，x，y）。证据我们使用了一个经典的Komlos型参数，并证明了合适的前凸组合{^πn}n∈NV（t，x，y）的最大化序列，即V（t，x，y）=limn的可容许交易策略序列→∞EUγ^AnT, 式中，^An:=A^πn，t，x，y∈ N、 让我们用^Sn:=^πN^表示根据策略^πN投资于股票的财富。我们可以通过设置^Sns:=^πnsx来将^Sn扩展到[0，T]定义的过程∈[0，t]。现在，通过{πn}n的一致有界性∈和引理2.1中的先验估计（2.4），它是策略π*当然应该扩展到[0，T]上的[π，π]值过程。然而，请注意，^π*T∈ {，T}π*[0，t）可以独立于π而不失一般性*[t，t]，例如等于一个常数值。时变随机禀赋下的最优投资∈NEhZT|^Sns|dsi<∞,i、 e.序列{^Sn}n∈Nis在逐步可测和平方的Hilbert空间中有界*{S*s} s∈[0，T]序列{Sn}n∈带Sn的NW∈ conv{^Sn，^Sn+1，…}这样的→∞EhZTs*s- 社交网络dsi=0。下一步，为伊坎∈ N、 让我们来介绍processsan={Ans}s∈[0，T]和πn={πns}s∈[0，T]，其中πn：=Sn/Anand Angiven作为DANS的唯一解=[rAns+σθSns+ct，ys]ds+σSnsdWs，s∈ [t，t]，其中an=xon[0，t]。注意这是对应于交易策略πn的财富过程∈ conv{^Sn，^Sn+1，…}，存在∈ N、 指示KN，KNN∈ {n，n+1，…}凸权λn，λnn确保Sn=PNni=1λni^Skni。有了这个，我们看到DNNxi=1λni^Aknis=NnXi=1λnih[r^Aknis+σθSknis+ct，ys]ds+σ^SknisdWsi=hrNnXi=1λni^Aknis+σθSns+ct，ysids+σSnsdWs，s∈ [t，t]，由此我们得出线性SDE解的An=PNni=1λni^Akniby唯一性。

但是πn=SnAn=NnXk=1λni^AkniAn^πkni，即πnis是πkn，πknnand因此[π，π]-值且可容许。接下来，考虑财富过程*= {A*s} s∈[0，T]由拜达提供*s=[rA]*s+σθs*s+ct，ys]ds+σs*sdWs，s∈ [t，t]，带着*=xon[0，t]并观察到，使用Anda的动力学*, Jensen不等式，并且它是等距的，存在一个常数C>0，这样E|A.*s- Ans|≤ C EhZst|A*U- Anu|dui+C EhZst|S*U- 酒后驾车≤ 捷克|A.*U- 阿努|du+C EhZT | S*U- 酒后驾车∈ [t，t]。具有时变随机禀赋的最优投资Ronwall不等式→∞E|A.*s- Ans|≤ 画→∞C EhZT|S*U- Snu | duieC（T-t） =0，s∈ [t，t]。设定π*:=s*/A.*, 利用（Sn，An）到（S）的收敛性*, A.*), 因此π*是[π，π]-valueddt Palmost everywhere（因此，在重新定义π之后，不会失去普遍性）*在空集上），因此是可容许的。显然，一个*财富过程是否与π相对应*.此外，由于Uγ（AnT）=|AnT | 2γ/|γ|，引理2.1得出{Uγ（AnT）}n∈Nis在平方可积随机变量空间中有界，因此一致可积。由此，利用Uγ的凹度，我们得出UγA.*T= 画→∞EUγ蚂蚁≥ 画→∞NnXi=1λniEUγ^AkniT= V（t，x，y）。通过函数^π形成*定义见（4.1）。定理4.2（反馈形式的最优策略）。固定（t，x，y）∈[0，T）×O，设π∈π是一种任意策略，假设V∈ C1,2（（0，T）×O）。那么π是最优的当且仅当（4.3）πs（ω）=^π*s、 As（ω），cs（ω）为了P ds几乎每（ω，s）∈ Ohm ×[t，t]∩ （0，T）,其中A:=Aπ，t，x，yand c:=ct，y。第一步：假设π∈π是一种任意策略（4.3）。

使用HJB方程和^π*是HJB方程中上确界的逐点最大化子，对其^o公式的应用表明s、 As，cs= V（t，x，y）+ZstVt（u，Au，cu）+LπuV（u，Au，cu）du+ZstσπuAuVx（u，Au，cu）dWu+ZstσC（u）cuVy（u，Au，cu）dWCu=V（t，x，y）+ZstσπuAuVx（u，Au，cu）dWu+ZstσC（u，Au，cu）dWCu∈ [t，t]，即V（·，A，c）是局部鞅。但是从2.12和引理2.1开始∈[t，t]五、s、 As，cs我≤ C Eh1+sups∈[t，t]| As|-γ-+ 小吃∈[t，t]| As |γ++sups∈[t，t]| cs |γ+i<∞,因此V（·，A，c）是诚实鞅，henceV（t，x，y）=E五、T、 在cT= EUγ在,i、 e.π是最优的。具有时变随机禀赋的最优投资第2步：假设π∈ π是最优的，即（4.5）V（t，x，y）=eUγ在= E五、T、 在cT.It^o公式的应用和V满足HJB方程的事实意味着Vs、 As，cs= V（t，x，y）+ZstVt（u，Au，cu）+LπuV（u，Au，cu）du+ZstσπuAuVx（u，Au，cu）dWu+ZstσC（u）cuVy（u，Au，cu）dWCu≤ V（t，x，y）+Zst∑πuAuVx（u，Au，cu）dWu+Zst∑C（u）cuVy（u，Au，cu）dWCu（4.6）∈[t，t]。但由于（4.4）在这种情况下也是有效的，因此v（·，A，c）是一个超鞅，因此（4.5）是一个诚实鞅。因此，我们必须在（4.6）中有等式，即Vt（s，As，cs）+LπsV（s，As，cs）=0=Vt（s，As，cs）+supπ∈[π,π]LπV（s，As，cs）P几乎到处都是Ohm×[t，t]∩（0，T）. 现在，右边的上确界有一个由函数^π给出的唯一最大化子*因此πs（ω）=π*s、 As（ω），cs（ω）为了P ds几乎每（ω，s）∈ Ohm ×[t，t]∩ （0，T）证据是完整的。4.2最优策略的渐近行为在本节中，我们研究了初始资本收敛到整数时价值函数和最优策略的渐近行为。我们将看到，对于这种模式，一种“收费公路属性”是成立的（参见。

[]）在某种意义上 y（更准确地说，asx/y→ ∞（变大）最优政策接近默顿分数πMof，将固定比例的财富投资于风险资产。为了使这句话更准确，我们随后写了~Z→∞g（z）当且仅当limz→∞f（z）g（z）=1f，gR→ R^π*t、 x，y~x/y→∞πMt∈（0，T），其中^π*是（4.1）中定义的反馈功能。为了证明这一点，我们首先回顾引理2.6中定义的约化值函数，并观察vx（t，x，y）=yγ-1Uz（t，z），Vxx（t，x，y）=yγ-2Uzz（t，z），Vxy（t，x，y）=-γ-2.(1 - γ） Uz（t，z）+zUzz（t，z）.具有时变随机禀赋的最优投资由此得出^π*可以重写为^π*（t，z）=H-θσUz（t，z）zUzz（t，z）+（1）- γ） ρσC（t）σUz（t，z）zUzz（t，z）+ρσC（t）σi∨ π∧ π、 （4.7）（t，z）∈ [0，T）×（0，∞).定理4.3（最优策略的渐近性）。无论如何∈ （0，T），我们有（T，z）~Z→∞γzγeγK（T-t） ，Uz（t，z）~Z→∞zγ-1eγK（T）-t） ，Uzz（t，z）~Z→∞-(1 - γ） zγ-2eγK（T）-t） ，由此得出^π*（t，z）~Z→∞πM=θ（1）- γ)σ.证据关于Ofu及其导数的渐近行为的陈述源自命题3.2中导出的界V。

实际上，V的界和Uγ的均匀性意味着γzγeγK（T-（t）≤ U（t，z）≤γz+~n（t）γeγK（T-t） ，（t，z）∈ [0，T]×（0，∞).从这里，利用所有函数的单调性和凹性，我们马上就能看到u（t，z）~Z→∞γzγeγK（T-t） ，Uz（t，z）~Z→∞zγ-1eγK（T）-t） ，Uzz（t，z）~Z→∞-(1 - γ） zγ-2eγK（T）-t） 但是thenlimz→∞Uz（t，z）zUzz（t，z）=limz→∞zγ-1eγK（T）-（t）-(1 - γ） zγ-1eγK（T）-t） =-1.- γ、 接下来就是thatlimz→∞H-θσUz（t，z）zUzz（t，z）+（1）- γ） ρσC（t）σUz（t，z）zUzz（t，z）+ρσC（t）σi=θ（1）- γ） σ=πM∈ [π，π]，我们看到limz→∞^π*（t，z）=π，证明是完整的。5数值说明就数值函数的边值问题的解决方案而言，这反过来又非常适合于数值方法（对于本节所示的图，我们在Matlab中实现了[]的有限差分方法）。这使我们能够考虑经济高度发展的问题。下面我们简要介绍其中的两个：。年轻人和老年人的最佳持股比例——持股比例越低——确实是普遍正确的。在这项具有时变随机禀赋的最优投资中，年轻投资者的最优股权比例为π*z=5，σ=0.2，σ=0.32默顿比率，σ=0.2默顿比率，σ=0.2默顿比率，σ=0.32图1：年轻投资者的最优股权比例。这里z=5，T=30年，ρ=0.25，σ=0.2，0.32，u=0.04，σC=0.13，uC=0.02，r=0.02，γ=0.5。我们取uC，σC随时间的变化。我们现在认为，对于一个年老和年轻的投资者来说，最优的股权持有量是时间的函数。我们通过选择当前财富与收入之比的不同初始值=x/和不同的投资范围来区分这两位投资者。因此，更高的投资策略总是取决于财富与收入的比率。

年轻投资者在退休前还需要再工作30年，起首字母Z=5，而老投资者只需要再工作10年，起首字母Z=20。根据直觉，这两幅图中也提供了默顿的固定组合投资组合。投资组合是一个恒定的混合投资组合，不依赖于时间，随机捐赠产生的股票持有量在时间上减少，显示出所谓的下滑路径。个人投资者离退休越近，对风险资产的投资就越少。b） 年轻投资者的工作时间更长，没有太多时间积累财富。因此，工作能力（人力资本）是他们最大的资产。年长的投资者已经将大部分人力资本转化为金融资本。从这个意义上讲，年轻投资者可以从年轻投资者手中借钱。c） 更高的波动性（保持漂移固定）会降低股权投资的兴趣，从而降低最优股权持有。在上面的例子中，“离退休越近，你应该投资的风险越小”这一常识似乎是正确的，这也是许多出售给小型私人投资者的产品背后的道理。我们的直觉解释是，年轻投资者从未来的收入中借款，使他们能够承担更大的风险。现实情况是，收入和股市是相关的，在大多数情况下，时间投资与时变随机禀赋是相关的。511.5π*老投资者的最优股权比例，z=20最优比例，σ=0.2最优比例，σ=0.32默顿比率，σ=0.2默顿比率，σ=0.2默顿比率，σ=0.32图2：老投资者的最优股权比例。这里z=20，T=10年，ρ=0.25，σ=0.2，0.32，u=0.04，σC=0.13，uC=0.02，r=0.02，γ=0.5。（清算人除外）积极的。

这意味着未来的收入变化至少可以通过投资股市来部分对冲。在正相关的情况下，这应该意味着一个厌恶风险的投资者应该做空股票市场来对冲她的收入。投资者越厌恶风险，这种影响就越明显。图3和图4描绘了这一过程。风险规避=-2.表明我们的模型能够重现这些影响。相关性ρ越高，股票市场的投资（在其他条件相同的情况下）就越低，以对冲未来的收入变化。注意，对于γ=-2我们还采用了更高的u，这使得对uHold的投资将更低。有趣的是，事实证明，对冲效应甚至可以占主导地位。早期的研究表明，所提到的常识远不是普遍正确的：投资者越是厌恶风险，其真实性就越低。准确描述我们的最优股权比例高于或低于默顿比率的时间，似乎是一个非常具有挑战性的问题。我们可以确定的是：。提议5.1。假设σCis随时间保持不变，且u>r。如果1- γ >(u - r） /（σσC），那么布朗运动的相关性ρ等于（5.1）ρ*=u - rσC（1）- γ)≥ 0时，相应的最优策略为常数，且与默顿比一致，即π*（t，z）=πM=u- rσ（1）- γ） ，（t，z）∈ [0，T）×（0，∞).具有时变随机禀赋的最优投资0 5 10 15 20 25 30 t0。30.40.50.60.70.80.91π*最佳股权比例，γ=0.5ρ=0ρ=0.25ρ=0.5ρ=0.75ρ=0.99merton图3：相关系数ρ和正γ不同值的最佳股权比例。参数：T=30年，σ=0.32，u=0.04，σC=0.13，uC=0.02，r=0.02，γ=0.5，z=15。证据我们寻找一个关于相关性的充分条件，使得（4.7）中的最优策略与默顿比一致。

定义，对于z=x/y，δ（t，z）：=-Uzz（t，z）Uz（t，z）z- (1 - γ).抑制δ的参数，我们现在寻找ρ*以至于- rσ（1）- γ)=u - rσ（1）- γ + δ)- ρ*σCσ1.- γ1 - γ + δ- 1..重新安排条款，当且仅当- rσ1.- γ-1.- γ + δ= -ρ*σC（1）- γ)1.- γ + δ-1.- γ.显然，该方程满足ρ*=u-rσσC（1-γ). ρ*从方程（5.1）中得出严格正，因为u>r。此外，ρ*是一个相关系数，这得益于对参数的假设。结合我们的数值结果，假设π在[π，π]的内部，我们可以合理地推测：o如果ρ>ρ*, 然后π*（t，z）<πm对于所有（t，z）∈ [0，T）×（0，∞),o 如果ρ<ρ*, 然后π*（t，z）>所有（t，z）的πm∈ [0，T）×（0，∞).这也意味着，对于一个足够小的相对风险规避参数（即，具有时变随机禀赋的γ最优投资0.5 10 15 20 25 30t-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4π*最优股权比例，γ=-2ρ=0ρ=0.25ρ=0.5ρ=0.75ρ=0.99merton图4：相关系数ρ和负γ的不同值的最优股权比例。参数：T=30年，σ=0.32，u=0.06，σC=0.13，uC=0.02，r=0.02，γ=-2，z=15。（非常大），所有相关值都应产生高于梅顿比率的最优策略。在图3的设置中，临界值为ρ*≈.9615和ρ*≈.3205对于图4.6结论中的参数组合，我们考虑了不完全市场中的最优资产配置问题，其中外部随机禀赋根据时间不均匀几何连续流入投资组合，证明了最优策略可以从简化问题的最优策略中恢复。我们还能够描述价值函数的渐近行为，以及初始财富趋于一致时的策略。

我们说明，我们的结果为精确的数值研究打开了大门，并简要地解释了一些有待获得的经济见解。致谢作者感谢编辑和匿名推荐人的富有洞察力和建设性的建议，这些建议显著改进了论文。他们非常感谢尼尔斯·伦森准备了本文中的情节。卡拉·梅雷非常感谢乌尔姆大学（Ulm University）研究生课程1100的财政支持，该课程由DFG（Deutsche Forschungsgeminschaft）资助。具有时变随机禀赋的最优投资参考文献[1]2（2010），第391-398页。[2] R.B.Barsky，F.T.Juster，M.S.Kimball和M.D.Shapiro，《偏好参数和行为异质性：健康和退休研究中的实验方法》，经济学季刊，112（1997），第537-579页。[3] E.Bayraktar和M.S^irbu，Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机Perron方法，暹罗控制与优化杂志，51（2013），第4274-4294页。[4] C.Belak，O.Menkens和J.Sass，关于具有交易成本的最优终端财富问题中产生的无界粘性解的唯一性，暹罗控制与优化杂志，53（2015），第2878-2897页。[5] B.Bick、H.Kraft和C.Munk，《通过模拟艺术市场战略解决受限消费投资问题》，管理科学，59（2013），第483-503页。[6] F.Bosserhoff、A.Chen、N.Sorensen和M.Stadje，关于职业养老金计划中的投资策略，即将出版的《定量金融》（2021年）。[7] 《使用巴黎期权的未定权益分析》，银行与金融杂志，34（2010），第1201-1214页。[8] J.Y.Campbell和L.M.Viceira，《战略资产配置：长期投资者的投资组合选择》，牛津大学出版社，2002年。[9] C。

Copeland，《401（k）计划中的目标日期基金使用及其持续使用，2007-2009年》，欧洲复兴开发银行发行简报（2011年）。[10] 遵循差异过程，《经济理论杂志》，49（1989），第33-83页。[11] 第1-67页。[12] D.Cuoco，《带投资组合约束和随机收入的最优消费和均衡价格》，经济理论杂志，72（1997），第33-73页。[13] J.Cvitani\'c，W.Schachermayer和H.Wang，《随机捐赠、金融和随机的不完全市场中的效用最大化》，5（2001），第259-272页。[14] J.B.戴维斯，《不确定的寿命、消费和退休后的储蓄减少》，政治经济学杂志，89（1981），第561-577页。具有时变随机捐赠的最优投资[15]金融，Y.Kabanov，R.Liptser和J.Stoyanov编辑，Springer，2006年，第169-187页。[16] F.Delbaen和W.Schachermayer，《套利数学》，斯普林格金融，斯普林格·维拉格，柏林，2006年。[17] 哈拉公用事业公司的市场，《经济动力与控制杂志》，21（1997），第753-782页。[18] P.H.Dybvig和H.Liu，《终身消费和投资：退休和限制借贷》，经济理论杂志，145（2010），第885-907页。[19] N.El Karoui和M.Jeanblanc Picqu\'e，《劳动收入、金融和随机性对消费的优化》，2（1998），第409-440页。[20] S.Federico，P.Gassiat和F.Gozzi，《财富上当前效用的效用最大化：HJB方程解的规律性》，金融与随机，19（2015），第415-448页。[21]，未经充分观察的混合市场中时间流动性不足的影响，MathematicalFinance，27（2017），第401-437页。[22]W.H.Fleming和H.M.Soner，受控马尔可夫过程和粘性解，随机建模和应用概率，斯普林格，纽约，2006年。[23]H.他和N.D。

皮尔森，《不完全市场和卖空约束下的消费和投资组合政策：有限维案例》，数学金融，1（1991），第1-10页。[24]，不完全市场和卖空约束下的消费和投资组合政策：有限维案例，经济理论杂志，54（1991），第259-304页。[25]U.Horst，Y.Hu，P.Imkeller，A.R\'eveillac和J.Zhang，预期效用最大化的前向-后向系统，随机过程及其应用，（2014）。[26]胡耀明，P.伊姆凯勒和M.穆勒，《不完全市场中的效用最大化》，应用概率年鉴，15（2005），第1691-1712页。[27]J.Hugonnier和D.Kramkov，《不完全市场中随机禀赋的最优投资》，应用概率年鉴，14（2004），第845-864页。[28]辜鸿钧，《劳动收入下的消费与投资组合选择：连续时间法》，数学金融，8（1998），第49-65页。[29]N.V.Krylov，二阶非线性椭圆型和抛物型方程，数学及其应用（苏联系列），Reidel，Dordrecht，1987年。[30]，受控扩散过程，随机建模和应用概率第14卷，柏林斯普林格·维拉格，2009年。具有时变随机禀赋的最优投资[31]R.默顿，《不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例》，经济统计评论，51（1969），第247-257页。[32]，连续时间模型中的最优消费和投资组合规则，经济理论杂志，3（1971），第373-413页。[33]O.Mostovyi，《中间消费和随机捐赠的最优投资》，数学金融，27（2017），第96-114页。[34]O.Mostovyi和M.S^irbu，《不完全市场中劳动力收入的最优投资和消费》，应用概率年鉴，30（2020），第747-787页。[35]E.Pardoux和A。

Ras,canu，随机微分方程，反向SDE，偏微分方程，随机建模和应用概率第69卷，查姆斯普林格，2014年。[36]H.Pham，《金融应用中的连续时间随机控制与优化》，随机建模与应用概率第61卷，柏林斯普林格，2009年。[37]S.R.Pliska，《连续交易的随机演算模型：最优投资组合》，运筹学数学，11（1986），第371-382页。[38]M.Soner和M.Vukelja，《连续时间非流动市场中的效用最大化》，运筹学的数学方法，84（2016），第285-321页。[39]S.Sundaresan和F.Zapatero，《养老金计划的估值、最优资产配置和退休激励》，金融研究综述，10（1997），第631-660页。[40]N.Touzi，确定性和随机控制，金融应用，课堂讲稿，2012年巴黎大学第6期。网址：http://www.cmap.polytechnique.fr/~touzi。[41]J.Wang和P.A.Forsyth，汉密尔顿-雅可比伯曼偏微分方程在金融领域的最大使用，暹罗数值分析杂志，46（2008），第1580-1601页。[42]T.Zariphopoulou，《不可忽视风险的估值解决方案，金融学与随机学》，5（2001），第61-82页。[43]A.J.Zaslavski，变分法和最优控制中的收费公路性质，非凸优化及其应用，斯普林格，波士顿，2006年。[44]普莱特市场，数学金融，21（2011），第313-333页。