时变随机禀赋下的最优投资

2022-5-6 08:49:10

具有时变随机禀赋的最优投资Schristoph Belaka、An Chenb、Carla Mereuc和Robert StelzerdaTU Berlin，Strasse des 17数学研究所。Juni 136，10623柏林，德国。belak@math.tu-柏林。德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街2089081号德彪姆大学保险科学研究所。一chen@uni-乌尔姆。decccarlammereu@gmail.comdUlm德国乌尔姆赫尔姆霍尔茨大街18号数学金融研究所大学，89081。罗伯特。stelzer@uni-乌尔姆。无法通过金融市场交易进行完全对冲的非随机捐赠。在研究了一般效用函数的值函数的连续性之后，我们利用动态规划方法来解决电力效用投资者的优化问题，包括相对风险规避大于1的经验相关且数学上具有挑战性的情况。为此，我们认为价值函数是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。然后利用值函数的齐次性将HJB方程降维，从而证明值函数甚至是其经典解。利用这一点，我们导出了一个最优策略，并讨论了它在大财富状态下的渐近行为。关键词。效用最大化；汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程；随机禀赋；粘度溶液。在本文中，我们分析了在一定时间内接受随机捐赠的经济主体的效用最大化或最优投资问题。我们处理的是一个不完整的市场环境，因为捐赠风险与市场中的交易资产并不完全相关。

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2022-5-6 08:49:15

激励我们模型的一个具体例子是一个经济代理人，她在工作期间接受随机工资，并将固定比例的工资投资于金融资产，在退休年龄优化其财富的效用。另一个例子可能是养老基金，它从养老基金的成员那里获得随机捐款，并进行投资以产生现金流。事实上，本文的原始想法源自对养老金计划的研究。这种养老金计划在过去几年中非常流行，并正在取代固定福利养老金计划（参见例[1]）。在所有经合组织国家，固定缴款（DC）计划在过去几十年中发挥着越来越重要的作用，关于从最初占主导地位的固定缴款养老金计划向DC计划过渡的进一步原因，请参见[]中的讨论。在DC计划中，养老金福利通常将其工资的一小部分贡献给基金。养老金福利的薪水或工资，通常为：1406.6245v4[q-fin.PM]2022年2月23日，考虑固定部分和绩效相关部分（通常取决于公司范围、部门和个人的成功）的时变随机捐赠的最佳投资可以被视为随机投资。同样，由于工资或薪金的意外变化、失业和流行病，将供款视为随机供款也是合理的。然而，与交易风险资产的完美关联显然是不现实的。在计划中，养老金福利承担全部投资风险。例如，美国的DC福利。美国通过所谓的“个人退休账户”或更频繁的退休储蓄问题来管理投资风险。通过投资和/或消费使经济主体的预期效用最大化的问题可以追溯到[]和[]并被进一步研究，例如：。

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2022-5-6 08:49:18

在[，，]中，仅引用几句。这类问题最初是用动态规划方法解决的，该方法要求在状态过程中假设马尔可夫性，并导致汉密尔顿-雅可比马尔可夫资产价格可以放松以解决最优投资问题。在完全市场环境中，双重方法已在[，]和不完全市场环境中进行了研究，如[23]和[24]。对于接受外生随机捐赠的投资者，其模型为时间非齐次几何布朗运动。我们遵循原始HJB方法，并认为，在电力效用的情况下，在市场参数的适当规律性假设下，价值函数是HJB方程的经典解。为了得到这些结果，我们使用粘性解方法，结合非线性抛物偏微分方程正则解的经典存在性结果。更准确地说，我们首先认为，价值函数甚至可以认为价值函数是HJB方程的经典解。在此基础上，我们构建了一个最优的交易策略。由于我们将策略限制为取紧凸集中的值，因此我们将看到，由于缺乏SDE漂移和扩散系数的全局Lipschitz性质，先验上不清楚（通过HJB方程中哈密顿量的最大化器以反馈形式给出）是否允许astrong解。因此，我们不得不遵循一种非经典的方法来构建非最优策略：我们首先论证存在最优策略，然后证明它可以以反馈形式呈现。特别是，这意味着最优策略是唯一的。

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2022-5-6 08:49:22

给定时变随机禀赋的最优投资，这是在没有随机禀赋的情况下的最优策略。然而，将随机禀赋纳入经典效用最大化问题的想法在本领域的论文中仅限于指数效用函数的分析上更容易处理的情况（以及其他几种[]和[]）。在假设随机禀赋有界的情况下，一些作者还讨论了终端财富的期望效用最大化问题。（L）元素分解的存在唯一性∞)*分为规则部分和单数部分，这很难明确描述。[]的作者通过引入随机捐赠的数量作为一个新的控制变量，克服了这个问题，放宽了边界假设。[]旨在研究市场模型和效用随机场上存在最优消费问题最大化的条件。此外，[]研究了值函数的性质和相应的对偶问题。[]研究了一般不完全半鞅设置下最优投资和消费策略的存在性和唯一性，并提供了一个关于可选强上鞅定义和增量过程的对偶刻画。[]重点研究随机禀赋下效用最大化问题的稳定性，即当基于鞅最优性原理和BSDE方法的最优解存在模型和/或偏好错误时。他们使问题变得容易解决。与本文最密切相关的是[]和[]。[]的设置类似于我们的andmotion。然而，他们发现了一种接近最优的消费和投资策略，与未知的最优策略相比，这种策略会导致较小的财富等价损失。

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2022-5-6 08:49:25

在[]中，预期的HJB方程，不取决于时间。我们采用并扩展了他们的方法，从椭圆情况（有限时间范围）发展到抛物线情况（有限时间范围）。我们进一步将其模型扩展到更广泛的随机禀赋类别，即我们允许时间变化小于1，我们还将该模型扩展到与经验更相关的幂值函数。事实上，我们能够为（未减少的）注释建立一个强有力的比较原则，即存在许多估计个人投资者相对风险规避（RRA）系数的实证和实验研究。虽然不同病例的RRA水平不同，但所有水平似乎都大于1。例如，[]发现65%的数据显示RRA高于3.76，24%低于2，12%介于2和3.76之间。[]将3、4和5描述为RRA的最合理估计值，[]将3.01和3.74描述为RRA的区间界限。效用最大化问题中时变随机禀赋的最优投资；参见，例如[38,4]。使我们的模型足够容易处理，从而构建HJB方程的经典解，从而构建最优交易策略的关键特性是，我们的简化形式价值函数的同质性仍然取决于财富，通过财富与禀赋比率，因此，即使在减少风险后，我们的问题也与经典工作[42]中关于在存在不可忽视风险的情况下优化预期效用的设置有根本不同。我们的HJB方法的另一个优点是，它非常适合数值解，并且允许研究经济问题，例如最优策略的定性行为。我们通过简单比较年轻人和老年人的最佳投资策略（即。

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2022-5-6 08:49:28

接近退休）的投资者，并通过考虑遵循“年龄越大，投资风险越小”原则的广泛生命周期投资策略，我们的理论是否可以从理论上证明这一点。论文的其余部分组织如下。第1节描述了模型设置，尤其是捐赠流程。在第二节中，我们介绍了最优化问题，并研究了它的一些基本性质，如适定性、连续性、凹性和齐性。第三节我们只研究电力效用，并研究相关HJB方程的性质。在这里，我们证明了价值函数是HJB方程的唯一粘性解，并且证明了如果市场参数是充分正则的，它甚至是一个经典解。在第4节中，我们在常规情况下构造了一个最优策略，并分析了其在财富与捐赠比率接近实际时的渐近行为。在第5节中，我们应用数值方法来阐明可以获得的具体经济见解。最后，第6节对本文进行了总结。1模型F，{Ft}t∈[0，T]，由无风险资产和风险资产组成的金融市场。从现在起，letT>0将成为一个固定的时间点。让我们分别记录储蓄账户和风险资产。

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mingdashike22

2022-5-6 08:49:33

我们假设这两种资产遵循Black-Scholes模型：dSt=rStdt，dSt=uStdt+σStdWt，其中u，r∈ R、 σ>0，在我们的过滤概率空间上是布朗运动。假设捐赠过程在同一概率空间上具有由另一布朗运动驱动的随机动力学，该概率空间被假设与具有时变随机捐赠的最优投资相关系数ρ∈(-,1).换句话说，我们假设有另一个布朗运动依赖于Wc=ρW+p1- ρW，这导致了由dct=uc（t）ctdt+σc（t）ctdWCt，t给出的随机过程c∈ [0，T]，c=y，其中y>0且uc:[0，T]→ R、 σC:[0，T]→ (0, ∞) 是确定性连续函数。备注1.1。文献中有时会选择时间均匀的几何布朗运动来模拟随机收入（见[]）。考虑到DC养老金计划的例子，我们可以将其过程解释为一种差异收入，或者更确切地说，它的一部分可能会随着时间的推移而变化，并持续支付到养老基金中。从分析的角度来看，这个随机禀赋家族的基本特征是，在电力效用的情况下，属性的价值函数可以实现问题维度的降低。考虑到确定性时变漂移和波动性，不会实质性地改变以下数学分析。看起来现实的是，职业生涯开始时，收入的漂移和波动性都比接近退休时要高一些。x>tπt股票中的财富和1- πt与利率相关的无风险资产。此外，随机收入将以ratect连续支付给账户。

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2022-5-6 08:49:36

假设与策略π对应的财富过程（用π表示）具有以下动力学：dAπt=πtAπtStdSt+（1- πt）AπtStdSt+ctdt。定义θ：=（u）- r） /σ，可以写成（1.1）dAπt=[（r+σθπt）Aπt+ct]dt+σπtAπtdWt，t∈ [0，T]，Aπ=x.按ct率付款。π风险资产。我们假设π是一个逐步可测的过程，取紧致π中的值，ππ<π我们排除了完美相关情况ρ=1和ρ=-1.在这些极端情况下，风险资产和随机收益都完全由W驱动。优化问题变得更简单，与随机劳动收入的weretirement问题不同，后者的劳动收入与金融市场风险完全相关。时变随机禀赋下的最优投资序列假定为πM∈ [π，π]，其中πM表示默顿分数πM:=θ（1）- γ)σ.πMin情形≡0和带有1的power utility- γ是相对的风险厌恶。让我们强调一下，我们的紧凑性假设并不意味着投资于风险资产的资金或现金头寸是有界的。相反，这意味着在允许卖空风险资产和在银行账户上获得信贷的程度上存在相对的限制。例如，选择[π，π]=[0,1]相当于假设风险资产的卖空和最优投资问题的价值函数比无限制情况下要容易得多。事实上，我们将在第2节的结果和第3节的粘度表征中充分利用这一假设；另见定理3.4之前的讨论。相比之下，这种交易约束在构建最优策略方面带来了重大挑战。

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2022-5-6 08:49:39

事实上，尽管我们能够证明价值函数是HJBequation的经典解，并以反馈形式获得候选最优策略，但尚不清楚与候选最优策略相关的财富过程是否存在；有关详细信息，请参见第4节开头的讨论。我们首先通过建立最优策略的抽象存在性结果，然后验证任何最优策略是否与我们的候选最优控制一致，从而克服了这个问题。π, ππ ∈方程（1.1）解的存在唯一性。永远不会变得消极。在我们的假设下，财富过程保持正的，对可接受的策略没有任何额外的要求。这可以从（1.1）的显式解由πt给出的事实中看出=x+ZtcsZπ-sdsZπt，t∈ [0，T]，其中Zπ是给定为ZπT:=exp的随机指数因子Ztπsσθ+r-（πsσ）ds+ZtσπsdWs, T∈ [0，T].2优化问题：报表和属性称布朗运动代表了收入中的不确定性，假设收入不在市场上交易。这使得市场不完全，因此我们面临着在不完全市场中最大化个人预期效用的问题。更准确地说，具有时变随机禀赋的最优投资我们正在寻找最优投资策略π*∈ 那么Uπ*T= supπ∈πEUπT,式中：（0，∞)→ Ris是一个效用函数，它是两次连续可微分的、递增的、凹的，并且满足Inada条件极限↑+∞U（x）=0和limx↓0U（x）=∞.稍后，我们将限制为一个常数相对风险规避（CRRA）幂效用函数的特殊情况，即。

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2022-5-6 08:49:43

对于风险规避参数γ<，γ6=0，我们假设U=Uγ，Uγ（x）=γxγ，x>0。由于幂效用函数的分析可处理性，它在理论和实证研究中得到了广泛的应用。此外，实证研究和实验研究（例如，[]）都是这一类别的典型代表。此外，经济的长期行为表明，长期的风险规避，如退休决策，并不强烈依赖于财富，见[8]。假设代理人在最终时间T最大化终端财富的预期效用，效用最大化问题的价值函数由（2.1）V:[0，T]×O给出→ R∪ {-∞}, （t，x，y）7→ V（t，x，y）：=supπ∈πEU（Aπ，t，x，yT）,式中：=（0，∞)×(0, ∞). 在值函数的定义中，状态过程分别被取为aπ，t，x，y，ct，yAπ，t，x，yct，y过程分别在x和y的时间t开始。2.1先验估计、局部有界性和连续性我们首先提供了值函数有限且连续的简单有效条件。一个关键因素是以下关于状态过程的先验估计的集合。引理2.1（先验估计）。设α，β，η>0。然后存在Cα，Cβ，Cη>0这样的EHSUPS∈[t，t]ct，ysαi≤ Cα| y |α（t，y）∈ [0，T]×（0，∞),（2.2）supπ∈∏Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys-βi≤ Cβ| x|-β、（t，x，y）∈ [0，T]×O，（2.3）supπ∈∏Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ysηi≤ Cη|（x，y）|η（t，x，y）∈ 此外，存在一个常数∈πEhAπ，t，x，yT- Aπ，t，x，yT我≤ C（x，y）- （x，y）+ |（x，y）|t- t|从先验角度来看，这当然不明显，甚至不明确。

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2022-5-6 08:49:47

然而，我们将在命题2.2中看到，u（Aπ，t，x，yT）的正部分是可积的，其界不取决于交易策略π∈在这种情况下，V被定义为R∪ {-∞}-有值函数。具有时变随机禀赋的最优投资（t，x，y），（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。估算值（2.5）来自于[]中命题3.22的直接应用（应用等式（3.78）），其中p=2，q=∞, λ>1，用[]表示。为了获得（2.2），weec | ct，y |α/2（线性）Lipschitz-Sdeecs=ecsαhuC（s）+（α- 2） σC（s）ds+σC（s）dWCsi，s∈ [t，t]，ect=|y |α/2。因此，ec意味着常数Cα>0的存在，即EHSUPS∈[t，t]ct，ysαi=Ehsups∈[t，t]ecs我≤ Cα| ect |=Cα| y |α。转到（2.3），我们使用ct，y≥ 0和-β<0估计值（2.6）Aπ，t，x，ys-β=x+Zstct，yuZπudu-βZπs-β≤ |x|-βZπs-β=|x|-βeZπs,这里，同样由它的引理，eZπ：=|Zπ|-β/2解（线性）Lipschitz-SDEdeZπs=-βeZπshr+σθπs-（β+2）σπsds+σπsdWsi，s∈ [t，t]，eZt=1。如前所述，我们得出结论，存在一个常数β>0（与π无关），即LipschitzeZπππ，πthatEhsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys-βi≤ |x|-β-Ehsups∈[t，t]eZπs我≤ Cβ| x|-β| eZπt |=Cβ| x|-β，从而得到（2.3）。最后，关于（2.4），我们注意到EHSUPS∈[t，t]Aπ，t，x，ysηi≤ Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ysηi≤ Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ys2.∨ηi（η/2）∧1，如果η<2，我们必须在最后一步中使用Jensen不等式。再次应用Lipschitz-SDEs的a先验估计，得到了与π无关的Ecη>0的存在性，即Ehsups∈[t，t]Aπ，t，x，ys，ct，ys2.∨ηi≤eCη|（x，y）|2∨η、这意味着（2.4）和Cη：=|eCη|（η/2）∧1.先验估计可用于提供简单有效的条件，在此条件下，值函数是有限的，且[U（aπ，t，x，yT）]对于所有可容许的U+xmax{Ux，}和U从下一致有界-（x）：=max{-U（x），}。

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2022-5-6 08:49:50

此外，我们注意到Inada条件在本质上，即具有时变随机禀赋的最优投资↑∞U（x）=0，表示存在常数η∈ （0,1]和K+≥ 0，使（2.7）U+（x）≤ K+1+| x |η, x>0。例如，在功率利用率U=Uγ的情况下，如果γ为（K+，η）=（1/γ，γ），则该估计值适用∈（0,1）和K+=0，如果γ<0。命题2.2（局部有界性）。（i）让η∈（0,1）使（2.7）成立。然后存在一个常数C+>0，这样SUPπ∈πEU+Aπ，t，x，yT≤ C+1+|（x，y）|η, （t，x，y）∈ [0，T]×O.（ii）假设存在康斯坦茨克-≥0和β>0，使得-（十）≤ K-（1+x）-β). 然后存在一个常数C-> 0这样的SUPπ∈πEU-Aπ，t，x，yT≤ C-1+| x|-β, （t，x，y）∈ [0，T]×O.特别是在这种情况下，值函数是局部有界的，即存在常数CV>0，使得| V（T，x，y）|≤ 个人简历1+| x|-β+| x |η+| y |η, （t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。让我们fix（t，x，y）∈ O.为了证明（i），我们应用估计值（2.7）和先验估计值（2.4）来获得一个常数Cη>0且上π的存在性∈πEU+（Aπ，t，x，yT）≤ K+1+supπ∈πE|Aπ，t，x，yT |η≤ K+1+Cη|（x，y）|η.（2.3）（2.4）Cβ>supπ∈πEU-Aπ，t，x，yT≤ K-1+supπ∈πEhAπ，t，x，yT-βi≤ K-1+C-|x|-β.V的估算是（i）和（ii）的直接结果。注意，对于功率效用函数suγ和γ<0，命题第（ii）部分的假设满足（K）-, β) = (-/γ, -γ）当γ<0时，正部分消失，当γ<0时，负部分消失。

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2022-5-6 08:49:54

对数效用u=logi是一个常用效用函数的例子，其结果适用于该函数，且其正负部分均不为零。与前一命题相同的假设，以及效用函数导数的适当增长条件。提案2.3（连续性）。假设存在康斯坦茨克-≥以及时变随机禀赋约束K的最优投资≥ 0和β>0使得（2.8）U-（十）≤ K-1+x-β和U（x）≤ Kx-所有x>0的β。然后我们可以找到C>0，这样| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x |，|x |}-β|（x，y）- （\'x，\'y）|+最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2对于所有（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈[0，T]×O.特别是（x，y）中的Vis局部Lipschitz连续和T证明中的局部1/2-H¨older连续。设（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈[0，T]×o在不丧失一般性的情况下，假设V（T，x，y）≥ V（\'t，\'x，\'y）。对于ε>0，我们让π∈ 在t，x，y中∏是ε-最优策略≤ EU（AT）+ ε、其中AT:=Aπ，t，x，yT。注意，π的存在是因为V（t，x，y）>-∞. 此外，提案2.2保证V（\'t，\'x，\'y）≥ EU（\'AT）> -∞, 式中，\'AT:=Aπ，\'t，\'x，\'yT。UUwe获得估算值| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|=V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）≤ EU（AT）- U（\'AT）+ ε≤ EU（\'AT）| AT-“在|+ ε≤ 柯|“在|-β| AT-“在|+ ε≤ KEh| AT|-2βi1/2Eh | AT-\'AT | i1/2+ε。（2.9）应用先验估计（2.3）现在表明（2.10）E|“在|-2βi1/2≤ |C2β| 1/2 | x|-β≤ |C2β| 1/2min{x |，|x |}-β和先验估计（2.5）产量|在-“在|1/2≤ C（x，y）- （\'x，\'y）+ |（x，y）|t-\'t|1/2≤ C（x，y）- （\'x，\'y）+ 最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2,（2.11）我们在最后一步中使用了平方根函数的次可加性。注意，康斯坦茨克、C2β、Cdepends中的任何一个都不依赖于策略π和henceC:=CK | C2β| 1/2也不依赖于π。

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2022-5-6 08:49:57

现在，将（2.10）和（2.11）插入（2.9）会导致| V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x |，|x |}-β（x，y）- （\'x，\'y）+ 最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2+ ε.具有时变随机禀赋的最优投资结果如下：ε是任意选择的，Cdoes不依赖于ε。请注意，功率效用函数满足前面命题中的假设，即K=1和β=γ- 1.为了以后的参考，我们将这些结果归纳为一个推论。推论2.4。UUUγ<γ6=0。然后存在一个大于0的常数CV，使得（2.12）|V（t，x，y）|≤ 个人简历1+| x|-γ-+ |x |γ+++y |γ+, （t，x，y）∈ [0，T]×O，其中γ-:= 麦克斯{-γ、 0}和γ+：=max{γ，0}。此外，V是连续的，满足V（t，x，y）- V（\'t，\'x，\'y）|≤ Cmin{x|，|x|1-γ|（x，y）- （\'x，\'y）|+最大值|（x，y）|，|（\'x，\'y）||T-\'t|1/2对于所有（t，x，y），（\'t，\'x，\'y）∈ [0，T]×O对于常数C>0.2.2的值函数的进一步性质在转向与优化问题相关的HJB方程之前，我们首先研究值函数的一些进一步性质。特别是，我们将看到，Vis是凹的，且γ度是均匀的。提议2.5。变量。特别是，对于每一位高管∈[0，T]，映射（x，y）7→ V（t，x，y）在其作用域{（x，y）的内部是局部连续的∈ O:V（t，x，y）>-∞}.我们注意到，在命题2.3中，我们建立了一个更强的连续性结果。然而，对于这一点，我们必须假设（2.8），而命题2.5在没有额外假设的情况下是有效的。道具的证明。2.5.证明按照标准线进行（参见[]中的第3.6.1节）。在其作用域的内部是连续的。T∈, Tx，y，x，y∈ 公牛≤ xy≤ ya策略π∈ Π.

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2022-5-6 08:50:00

由于禀赋过程是一个几何布朗运动，我们看到Ct，yT=yct，1T≤ yct，1T=ct，yT，从财富过程的显式表示中，我们发现aπ，t，x，yT=x+ZTtct，ysZπsdsZπT≤x+ZTtct，ysZπsdsZπT=Aπ，T，x，yT。由于π是任意选择的，且效用函数U是单调的，这表明v（t，x，y）=supπ∈πEUAπ，t，x，yT≤ supπ∈πEUAπ，t，x，yT= V（t，x，y），具有时变随机禀赋的最优投资。e、 V的第二个和第三个参数都是单调的。第二步：凹形。让我们再来一次∈[0，T]和（x，y），（x，y）∈ O.设π，π∈θ，选择θ∈ [0,1]和定义θ：=θx+（1）- θ）x和yθ：=θy+（1）- θ）y。此外，当Ai=Aπi，t，xi，yi，i=1，2时，我们定义了θ：=θA+（1- θ）A和π：=θAπ+（1）- θ）AπAθ。由于πθ是π和π的凸组合，因此πθ是[π，π]值，因此πθ是允许的。让我们证明aθ是与πθ相对应的财富过程。

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2022-5-6 08:50:03

对于这一点，请注意，yθ=yθct，1=yθyct，1+（1- θ）yct，1=θct，y+（1）- θ）ct，y，意味着daθs=θdAs+（1）- θ）dAs=rθAs+（1）- θ）作为ds+σθθπsAs+（1）- θ）πsAsds+θct，ys+（1）- θct，ysds+σθπsAs+（1）- θ）πsAsdWs=r+σθπθsAθs+ct，yθsds+σπθsAθsdws，因此线性sde解的唯一性意味着Aπθ，t，xθ，yθ=Aθ=A+（1- A，Aθπθt，xθ，yθ效用函数，我们得到v（t，xθ，yθ）≥ EU（AθT）≥ θEU（AT）+ (1 - θEU（AT）,但是由于π，π是任意选择的，取右边的上确界，我们到达了atV（t，xθ，yθ）≥ θV（t，x，y）+（1）- θ）V（t，x，y）。我们在这一节的结尾展示了，在幂效用的情况下U=Uγ，值函数在空间变量中的次γ是齐次的。引理2.6。UUγγ<γ6Vis在空间变量中的均匀度γ，即V（t，kx，ky）=kγV（t，x，y）对于所有k>0和（t，x，y）∈ [0，T]×O。因此，V可以用可分离的形式表示为asV（T，x，y）=yγUt、 x/y, （t，x，y）∈ [0，T]×O，在（2.13）U:[0，T]×（0，∞) → R、（t，z）7→ U（t，z）：=V（t，z，1）。证据V的可分离表示紧跟着k=y的同质性，因为V（t，x，y）=Vt、 y（x/y），y= yγVt、 x/y，1, （t，x，y）∈ [0，T]×O.要看到它是均匀的，fix（T，x，y）∈[0，T]×O，k>0和π∈Π. Sincect，ky=kct，你会发现aπ，t，kx，kyT=kx+ZTtct，kysZπsdsZπT=kx+ZTtct，ysZπsdsZπT=kAπ，T，x，yT。但是V必须是均匀的，因为V（t，kx，ky）=supπ∈πEUγAπ，t，kx，kyT= supπ∈πEhγkAπ，t，x，yTγi=kγV（t，x，y）。3汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程从今以后，我们将注意力限制在电力效用上，即U=Uγ。应用著名的随机控制原理，参见。

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2022-5-6 08:50:06

第三章在[]中，我们可以写下我们控制问题的价值函数的HJB方程：-Vt（t，x，y）- supπ∈[π,π]LπV（t，x，y）= 0，（t，x，y）∈ [0，T）×O，（3.1）V（T，x，y）=Uγ（x），（x，y）∈ O、其中线性微分算子Lπ通过hlπV（t，x，y）定义：=（r+σθπ）x+yVx+uCyVy+σπxVxx+σCyVyy+ρσCπxyVxy。在这里，以及在下面，我们用下标表示偏导数，并且经常忽略HJB方程的唯一粘性解。此外，我们还表明，只要μc和σCare连续可微，Vis甚至是一个经典解。3.1 HJB方程的上解族。这些对我们后续的分析起着至关重要的作用，尤其是作为HJB方程的抽象边界/增长条件。具有时变随机禀赋的最优投资我们从定义两个常数开始：=r+θ2（1- γ）以及λ：=maxn-R- infπ∈[π,π]σθπ -(1 + κ)σπ, - 输入∈[0，T]uC（t）-（1+κ）σC（t）o、由此，我们引入了一个参数函数族ψγ，ε，ι：[0，T]×o→ R、（t，x，y）7→ ψγ，ε，ι（t，x，y）对于γ<1且γ6=0，ε∈ [0,1]和ι∈ {0, 1}. 我们假设ψγ，ε，ι的形式为ψγ，ε，ι（t，x，y）：=Uγx+yι（t）+εe-r（T）-（t）eγK（T）-t） +ι十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t）所有人（t，x，y）∈[0，T]×O，其中函数ι：[0，T]→ Ris作为一般微分方程˙ι（t）的唯一解给出=R- uC（t）+ρθσC（t）ι（t）- 1，t∈ [0，T]，ι（T）=ι。除非ι=0且t=t，否则应观察ι（t）>0。在任何情况下，ι都是非负的，因此，特别是ψγ、ε、ι定义良好。

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2022-5-6 08:50:09

我们进一步证明了ψγ，ε，ι是HJB方程的经典上解。命题3.1（经典上解）。对于γ<1且γ6=0的任意选择，ε∈[0,1]和ι∈ {0，1}，函数ψ：=ψγ，ε，ι是HJB方程的上解，即。-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）≥ 0，（t，x，y）∈ [0，T）×O。此外，如果ι=1，则它是一个严格的上解。我们将ψ分解为ψ=ψ+ψ，其中ψ（T，x，y）：=Uγx+yι（t）+εe-r（T）-（t）eγK（T）-t），（t，x，y）∈ [0，T]×O，ψ（T，x，y）：=ι十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t），（t，x，y）∈ [0，T]×O.通过算符Lπ的线性，可以得出：-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ≥-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ+-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ.因此，为了得出结论，必须证明ψ和ψ是上解，如果ι=1，则ψ是严格上解。具有时变随机禀赋的最优投资步骤1：ψ是（严格）上解。如果ι=0，则ψ≡这就是HJBequation的一个解。因此，让我们假设ι=1，并证明，在这种情况下，ψ是一个严格的上解。设置κ：=（1+|γ|），ψ的偏导数由ψt=-κλ十、-κ+y-κeκλ（T-t），ψx=-κx-κ-1eκλ（T-t），ψy=-κy-κ-1eκλ（T-t），ψxx=κ（1+κ）x-κ-2eκλ（T-t），ψyy=κ（1+κ）y-κ-2eκλ（T-t），ψxy=0。将这些导数插入HJB方程并重新排列项，可以得到-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ= κinfπ∈[π，π]nλ+r+σθπ-（1+κ）σπox-κeκλ（T-t） +κyx-κ-1eκλ（T-t） +κλ+uC（t）-（1+κ）σC（t）Y-κeκλ（T-（t）≥ κλ+r+infπ∈[π，π]nσθπ-（1+κ）σπo十、-κeκλ（T-t） +κyx-κ-1eκλ（T-t） +κλ+inft∈[0，T]nuC（T）-（1+κ）σC（t）oY-κeκλ（T-t）。通过选择λ，括号内的项是非负的，因此-ψt- supπ∈[π,π]Lπψ≥ κyx-κ-1eκλ（T-t） >0，即ψ是HJB方程的严格上解。第二步：ψ是一个上解。

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2022-5-6 08:50:14

写出ψ=ι并使用普通微分方程，ψ的偏导数由ψt=-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γeγK（T-（t）+R- uC（t）+ρθσC（t）y k（t）- y+rεe-r（T）-（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1eγK（T）-t），ψx=x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1eγK（T）-t），ψy=ψ（t）x+y~n（t）+εe-K（T）-（t）γ-1eγK（T）-t），ψxx=-(1 - γ)x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t），ψyy=-(1 - γ） ~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t），ψxy=-(1 - γ） ~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-t）。将这些导数插入HJB方程并重新排列项，可以得到-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）= -eγK（T）-t） supπ∈[π，π]n-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）时变随机禀赋+h的γ最优投资r+σθπx+r+ρθσC（t）y~n（t）+rεe-r（T）-t）我x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1.-(1 - γ） hσπx+2ρσC（t）πxyа（t）+σC（t）yа（t）ix+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2o。我们不需要在[π，π]上最大化，而是可以在所有ofR上最大化，这样做会使最后一个表达式变小。上确界中的最大化子由^π：=（1）给出- γ） σxhθx+yИ（t）+εe-r（T）-（t）- (1 - γ） ρσC（t）yа（t）i.将其插入上述方程，并重新排列项，然后得出-ψt（t，x，y）- supπ∈[π,π]Lπψ（t，x，y）≥ -eγK（T）-t） h-Kx+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ+hr+σθ^πx+r+ρθσC（t）y~n（t）+rεe-r（T）-t）我x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-1.-(1 - γ） hσ^πx+2ρ∑∑C（t）πxyа（t）+σC（t）yа（t）ix+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2i=K- R-θ2(1 - γ)x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γeγK（T-t） +（1）- γ)(1 - ρ） σC（t）y~n（t）x+y~n（t）+εe-r（T）-（t）γ-2eγK（T）-（t）≥ 0，其中非负性来自K命题3.2的选择（V上的紧界）。值函数V满足γ（x）eγK（T-（t）≤ V（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eγK（T）-t），（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。第一步：我们首先证明下限。为此，考虑常数策略π≡ πM∈记得AπM，t，x，yT≥ AπM，t，x，0T=xAπM，t，1,0T。

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2022-5-6 08:50:17

但是接下来的v（t，x，y）≥ EUγAπM，t，x，yT≥ EUγxAπM，t，1,0T= Uγ（x）EAπM，t，1,0Tγ.最后一个期望值可以显式计算并给出AπM，t，1,0Tγ= Eheγ（r+σθπM）-σπM（T）-t） +γσπM（WT-Wt）i=eγ（r+σθπM-(1-γ） σπM（T）-t） =eγK（t）-t）。第2步：为了证明上界，让（t，x，y）∈[0，T]×Oas以及π∈π和writeA:=Aπ，t，x，yandc:=ct，y。对于ε∈（0,1]固定，设置ψε：=ψγ，ε，0并用ρn，n表示∈ N、 a时变随机赋元局部鞅标度序列的最优投资：=ZstσπuAuψεx（u，Au，cu）dWu+ZstσC（u）cuψεy（u，Au，cu）dWCu，s∈ [t，t]。ψερn，Aρn，cρnψε方程，可以得出ψε（t，x，y）=Ehψε（ρn，Aρn，cρn）+Zρnt-ψεt（s，As，cs）- Lπsψε（s，As，cs）ds- Mρni≥ Eψε（ρn，Aρn，cρn）.当ε>0时，我们看到ψε是下界的。因此，我们可以应用Fatou引理得到ψε（t，x，y）≥ 林恩芬→∞Eψε（ρn，Aρn，cρn）≥ Eψε（T，AT，cT）= EUγAT+ε≥ EUγ在.由于π是任意选择的，这意味着ψε（t，x，y）≥ V（t，x，y）和henceUγx+y~n（t）eγK（T）-t） =limε↓0ψε（t，x，y）≥ V（t，x，y）。备注3.3。证明V估计值的另一种方法是使用如下财务参数：o下界对应于没有随机禀赋的问题的值函数，因此当存在随机禀赋时可以改进；o通过将该问题与捐赠也可以交易的人工市场模型进行比较，可以找到另一个上限。3.2值函数的粘度表征下一步是证明值函数是HJB方程的唯一粘度解。关于二阶偏微分方程粘度溶液的定义（以及所有重要结果），我们参考[]。虽然HJB方程的粘度解是标准的，但在γ<0的情况下，由于值函数趋向于-∞在状态空间的边界附近。

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2022-5-6 08:50:20

为了解决这个问题，我们需要对HJB方程有一个足够强的比较原理。在讨论比较原理之前，让我们记录下哈密顿量：[0，T]×O×R×R2×2→ R、（t，x，y，p，M）7→ 由H（t，x，y，p，M）给出的H（t，x，y，p，M）：=supπ∈[π，π]n[（r+σθπ）x+y]p+uC（t）yp+tr∑π（t，x，y）∑π（t，x，y）>M（t，x，y）具有时变随机禀赋的最优投资∈ [0，T]×O，p∈ 兰特M∈ R2×2带∑π（t，x，y）：=σπx0ρσC（t）yp1- ρσC（t）y！，在任何地方都是有限的，而且是连续的。注意，对于这一点，[π，π]是紧致的，这是至关重要的，因为否则哈密顿量可能会在其域的某些点发散，从而产生φ函数，它认为t、 x，y，Dа（t，x，y），Dа（t，x，y）= supπ∈[π,π]Lπφ（t，x，y）,其中，Dа和Dа分别表示а相对于空间变量（x，y）的梯度和海森。他的连续性的一个重要结果是，引理V.6.1在[22]中，我们可以应用抛物线形式的Ishii引理；参见[22]中的定理V.6.1。定理3.4（比较原理）。乐土，v:[0，T]×O→ 这是含（3.2）Uγ（x）eγK（T）的HJB方程的上半连续粘性下解和下半连续粘性上解-（t）≤ u（t，x，y），v（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eγK（T）-t），（t，x，y）∈ [0，T]×O.进一步假设u（T，·）≤ v（T，·）在O.Thenu（T，x，y）上≤ v（t，x，y）代表所有（t，x，y）∈ [0，T]×O.证明。第一步：设置证明和定义。我们用矛盾来论证，并假设存在（t）*, 十、*, Y*) ∈ [0，T）×O使得（3.3）u（T）*, 十、*, Y*) - v（t）*, 十、*, Y*) > 0.对于δ>0和n∈ N、我们引入一个函数φN:[0，T]×O×O→ R由φn（t，x，y，\'x，\'y）给出：=u（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）- Δψ（t，x，y）- Δψ（t，\'x，\'y）-nh | x- \'x |+| y- 这里，ψ：=ψγ，对于某些γ，0,1∈（0,1）带γ>γ。

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2022-5-6 08:50:23

我们记得ψ：[0，T]×O→ Ris是HJB方程的经典上解，其形式为ψ（t，x，y）=U′γx+y~n（t）e′γK（T-（t）+十、-（1+|γ|）+y-(1+|γ|)e（1+|γ|）λ（T）-t），（t，x，y）∈ [0，T]×O，其中φ在[0，T]上严格为正。最后，我们定义了一个函数φ：[0，T]×O→ R乘以φ（t，x，y）：=u（t，x，y）- v（t，x，y）- 2Δψ（t，x，y），（t，x，y）∈ [0，T]×O，具有时变随机禀赋的最优投资，我们随后将假设δ>0足够小，以保证φ（T*, 十、*, Y*) = u（t）*, 十、*, Y*) - v（t）*, 十、*, Y*) - 2Δψ（t）*, 十、*, Y*) > 0，这在（3.3）中是可能的。第二步：φn的最大化子。

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2022-5-6 08:50:28

每n∈ N、我们定义：=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）和M:=sup（T，x，y）∈[0，T]×Oφ（T，x，y）。让我们首先观察一下≥ 锰+1≥ M>0表示所有n∈ Nas，很明显，φnis（意味着Mn≥ Mn+1）和Mn=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）≥ 助理（t、x、y）∈[0，T]×Oφ（T，x，y）=M≥ φ（t）*, 十、*, Y*) > 此外，使用（3.2），我们注意到∈ Nand（t，x，y，\'x，\'y）∈ [0，T]×O×O我们有φn（T，x，y，\'x，\'y）≤ u（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）- Δψ（t，x，y）- Δψ（t，\'x，\'y）≤胡γx+y~n（t）- δU′γx+y~n（t）- Uγ（`x）- δU′γ\'x+\'yа（t）γK（T）-（t）- δhx-（1+|γ|）+y-（1+|γ|）+x-（1+|γ|）+\'y-（1+|γ|）ie（1+|γ|）λ（T-t）。由于γ>max{γ，0}和φ>0，因此它遵循这一点∈恩苏普特∈[0，T]φn（T，x，y，\'x，\'y）→ -∞ 作为x→ ∞ 或者→ ∞ 或者“x”→ ∞ 或者“y”→ ∞.同样，我们也看到了这一点∈恩苏普特∈[0，T]φn（T，x，y，\'x，\'y）→ -∞ 作为x→ 0或y→ 0或¨x→ 0或y→ 0.特别是，由于φ是上半连续的，我们发现f：=（t，x，y，\'x，\'y）∈ [0，T]×O×O:φ（T，x，y，\'x，\'y）≥ 0是紧致的，并且，asMn>0和φn≤ φ、任意φn，n的任意最大化序列∈ N、此外，我们还发现φnimplies的上半连续性（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）∈ F使得mn=sup（t，x，y，\'x，\'y）∈[0，T]×O×Oφn（T，x，y，\'x，\'y）=φn（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）。第三步：最大化者的收敛。AsFis紧凑型和（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）∈ 奥尔芬∈ N、在必要时传递到子序列之后，它将遵循thatlimn→∞（tn，xn，yn，\'xn，\'yn）=（t∞, 十、∞, Y∞, \'x∞, “y”∞)具有时变随机禀赋的最优投资∞, 十、∞, Y∞, \'x∞, “y”∞) ∈ F此外，我们注意到ψ，Mn≥ 0意味着|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= u（tn、xn、yn）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- 锰≤ sup（t、x、y、x、y）∈Fu（t，x，y）- v（t，\'x，\'y）< ∞.（3.4）为了最后一个表达的完整性，我们使用了that和-vare上半连续和紧集上的有限值。

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2022-5-6 08:50:31

由于（3.4）是有限的，不依赖于n，因此（`x∞, “y”∞) = （十）∞, Y∞). 从这个，用那个≥ 然后是bothuand的上半连续性-v和ψ的连续性，可以得出0≤ 林尚→∞N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= 林尚→∞胡（田纳西州、新南威尔士州、云南省）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- Mni≤ 林尚→∞胡（田纳西州、新南威尔士州、云南省）- v（tn，\'xn，\'yn）- Δψ（tn，xn，yn）- Δψ（tn，\'xn，\'yn）- 惯性矩≤ u（t）∞, 十、∞, Y∞) - v（t）∞, 十、∞, Y∞) - Δψ（t）∞, 十、∞, Y∞) - Δψ（t）∞, 十、∞, Y∞) - M=φ（t）∞, 十、∞, Y∞) - M≤ 特别是，所有不等式实际上都必须是等式，并且lim sup可以被一个适当的限制代替。因此，我们认为Limn→∞N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|= 0和limn→∞Mn=M=φ（t∞, 十、∞, Y∞)还有Limn→∞u（tn，xn，yn）=u（t∞, 十、∞, Y∞) 还有limn→∞v（t，\'x，\'y）=v（t∞, 十、∞, Y∞).第4步：应用Ishii引理。让我们展示一下（t）∞, 十、∞, Y∞) 不位于状态空间的边界上。AsFis是[0，T]×O×OandO=（0，∞)×(0, ∞),我们不能有X∞= 0诺莉∞= 0.此外，如果∞=T、我们使用ψ≥假设u（T，·）≤ v（T，·）在O上得出矛盾0<M=φ（T，x∞, Y∞) ≤ u（T，x）∞, Y∞) - v（T，x）∞, Y∞) ≤ 0.因此，ast∞< T、下面是所有的∈ n足够大，因此不会损失n∈ sn的存在，sn∈ R和Mn，\'Mn∈ R2×2对称，使sn- \'sn=0和（3.5）Mn0-“嗯！≤ 3nI-我-我我！I:=1001！，具有时变随机禀赋的最优投资（qn，pn，pn）∈ J（1,2），+u（tn，xn，yn）和（\'qn，\'pn，\'pn）∈ J（1,2），-其中（qn，pn，pn）：=sn+Δψt（tn，xn，yn），nxn- \'\'xnyn- \'yn！+δDψ（tn，xn，yn），Mn+δDψ（tn，xn，yn）！，（\'qn，\'pn，\'pn）：=\'sn- Δψt（tn，\'xn，\'yn），nxn- \'\'xnyn- 艾琳！- δDψ（tn，\'xn，\'yn，\'Mn）- δDψ（tn，\'xn，\'yn）！。第五步：矛盾。

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2022-5-6 08:50:34

由于u和v是粘度的亚解和上解，因此-qn- Htn，xn，yn，pn，pn≤ 0和- “qn- Htn、\'xn、\'yn、\'pn、\'pn≥ 0.使用初等不等式sup{a+b}- sup{c- d}≤ sup{a- c} +sup{b}+sup{d}之后是0≤ qn- \'qn+Htn，xn，yn，pn，pn- Htn、\'xn、\'yn、\'pn、\'pn(3.6)≤ supπ∈[π，π]n（r+σθπ）n | xn- \'xn |+n（xn- \'xn）（yn）- \'yn）+uC（tn）n|yn- \'yn |+trh∑π（tn，xn，yn）∑π（tn，xn，yn）>Mn- ∑π（tn，\'xn，\'yn）∑π（tn，\'xn，\'yn）>Mnio+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ δψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）.使用（3.5），标准估计表明trh∑π（tn，xn，yn）∑π（tn，xn，yn）>Mn- ∑π（tn，\'xn，\'yn）∑π（tn，\'xn，\'yn）>Mni≤3nhπσ| xn- \'xn |+σC（tn）| yn- “yn | i.但是这个和n（xn- \'xn）（yn）- “‘yn’≤ n麦克斯|xn- \'xn |，|yn- “伊恩|≤ N|xn- \'xn |+| yn- “伊恩|这里是J（1,2），+w（t，x，y）和J（1,2），-w（t，x，y）表示函数w:[0，t]×O的二阶抛物超主语集的闭包→ R分别位于（t，x，y）。具有时变随机禀赋的最优投资允许我们继续估计（3.6）如下：0≤ supπ∈[π，π]n（|r |+σ|θ|π|）n |xn- \'xn |+n | xn- \'xn |+n | yn- \'yn |+|uC（tn）| n | yn- \'yn |+σπn | xn- \'xn|+σC（tn）n|yn- \'yn|o+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ ψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）≤ nCx | xn- \'xn |+nCy | yn- \'yn|+δψt（tn，\'xn，\'yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，\'xn，\'yn）+ ψt（tn，xn，yn）+supπ∈[π,π]Lπψ（tn，xn，yn）,式中cx:=1+| r |+σ|θ| supπ∈[π，π]|π|+σsupπ∈[π，π]|π|和Cy:=1+supt∈[0，T]|uC（T）|+支持∈[0，T]|σC（T）|。发送n→ ∞ 使用ψ是HJB方程的一个严格上解，因此也就是0≤ 2δψt（t）∞, 十、∞, Y∞) + supπ∈[π,π]Lπψ（t）∞, 十、∞, Y∞)< 0，这是期望的矛盾，因此得出这个证明。备注3.5。将[]中的结果推广到风险规避大于1（即γ<0）的情况的主要技术挑战在于比较原则。

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2022-5-6 08:50:37

事实上，对于这样的γ值，效用函数uγ爆炸了asx↓0，这需要非常精确地控制边界附近的粘度亚/上解，以建立比较原理。在我们的情况下，这是通过提案3.2实现的，它允许我们确定x=0附近的值函数的行为。有了这个比较原理，随机Perron方法[]立即表明，值函数V是HJB方程的唯一连续粘性解。推论3.6（粘度表征）。满足终端条件v（T，x，y）=Uγ（x），（x，y）的连续函数类中HJB方程（3.1）的唯一粘性解的值函数∈ O、生长条件uγ（x）eγK（T-（t）≤ V（t，x，y）≤ Uγx+y~n（t）eK（T-t），（t，x，y）∈ [0，T]×0.3.3值函数的正则性我们现在给出了充分的条件，保证值函数甚至是HJB方程的经典解。相关但不同的结果可在[]和[]中找到。建立具有统一时间规律性的随机投资函数的内禀函数。然而，同感性质允许我们考虑变换（3.7）V（t，x，y）=yγe-βtwt、对数x/y, 或者，等效地，w（t，ζ）：=eβtV（t，eζ，1），其中ζ：=logx/yandβ∈ 结果证明，Ws解出了一个简化形式的HJB方程-wt- supπ∈[π，π]na（π，t）wζζ+b（π，t，ζ，w，wζ）o=0，（t，ζ）∈ （0，T）×R，它是一致椭圆的，并且允许一个经典解，前提是ucσ连续地以1为单位计算空间，这有利于数值计算。定理3.7（正则性）。假设uCandσCare连续可区分。然后∈C1,2（（0，T）×O）。特别是，V是HJB方程的经典解。证据

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2022-5-6 08:50:40

第一步：转换HJB方程。让我们考虑一下等式（3.8）- wt- supπ∈[π，π]na（π，t）wζζ+b（π，t，ζ，w，wζ）o=0，（t，ζ）∈ （0，T）×R，其中：A×[0，T]→ R和b:A×[0，T]×R×R×R→ a（π，t）：=hπσ - ρσC（t）+ (1 - ρ） σC（t）i，b（π，t，ζ，v，p）：=R- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+πσθ-πσ+γρσC（t）π+e-ζp+γuC（t）- γ(1 - γ） σC（t）+βv、对于π∈ [π，π]，t∈ [0，T]，ζ，v，p∈ R、参数β在哪里∈ R的选择应确保（3.9）β<inft∈[0，T]h-γuC（t）+γ（1）- γ） σC（t）i.形式上，如果我们考虑变换w:[0，t]×R，则方程（3.8）出现→ R、（t，ζ）7→ w（t，ζ）：=eβtV（t，eζ，1）。现在∈ N.然后我们声称方程（3.8）允许一个解Wn:（0，T）×[-N、 N]→ W与wN∈ C1,2（（0，T）×(-N、 N）满足边界和终端条件（3.10）wN（t，ζ）=eβtV（t，eζ，1），（t，ζ）∈{T}[-N、 N]∪（0，T）×{-N、 N}.具有时变随机禀赋的最优投资一旦建立，我们就可以定义一个连续函数vn：（0，T]×O（N）→ R、（t，x，y）7→ vN（t，x，y）：=yγe-βtwN（t，logx/y），其中O（N）表示setO（N）的闭合：=（x，y）∈ O:对数x/y∈ (-N、 N）.观察到，通过终端/边界条件（3.10）和V的均匀性，我们得到vn（t，x，y）=yγe-βtwN（t，logx/y）=yγV（t，x/y，1）=V（t，x，y）tTx，y∈ O（N）\\ONwN（3.8），T×-N、 NSTRAIGHT正演计算表明，VNB解原HJB方程，即。-vNt（t，x，y）- supπ∈[π,π]LπvN（t，x，y）= 0，（t，x，y）∈ （0，T）×(-N、 N）。但在粘性解和hencevN=Von（0，T]×O（N）的意义上，Vn也满足了这个方程，唯一性结果定理V.8.1在[]。特别是，我们发现∈ C1,2（（0，T）×O（N））每N∈ N，我们最后发送N→ ∞.第二步：我们只需证明方程（3.8）允许经典解Wnon（0，T）×(-N、 N）满足边界/终端条件（3.10）。

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2022-5-6 08:50:44

为此，有必要验证[]中定理A.8中的条件；原始结果参见[]第6.4节中的定理3。（i）每π∈【π，π】，很明显a（π，·）和b（π，·）是连续可微的，π，t∈π、 π×Tbπt实际上，非零导数由at=σC（t）˙σC（t）给出- ρσ˙σC（t）π，bt=- ˙uC（t）+（1）- 2γ）σC（t）˙σC（t）+γρσ˙σC（t）πp+9C（γ）- γ(1 - γ） σC（t）˙σC（t）+βv、 bv=γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+β，bp=r- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+σθπ-σπ+γρσC（t）π+e-ζ、 bζ=-bζζ=-E-ζp，bζp=bpζ- E-ζ.从这里，我们还可以看到at，bt以及关于ζ和p的所有二阶导数都有界于m：=（π，t，ζ，v，p）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）×R×R:|v |+|p |≤ M尽管如此，我∈ N.具有时变随机禀赋的最优投资（ii）a在[π，π]×[0，T]上一致椭圆，即0<（1）- ρ）输入∈[0，T]|σC（T）|≤ a（π，t）≤ sup（t，π）∈[0，T]×[π，π]|a（π，T）|<∞, （π，t）∈ [π，π]×[0，T]。（iii）对于所有（π，t，ζ，v，p）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）×R×R，它认为（1+| p |）ap（π，t）+av（π，t）+aζ（π，t）1+| p |=0。类似地，设置c:=sup（π，t，ζ）∈[π，π]×[0，T]×[-N、 N]R- uC（t）+（1- 2γ）σC（t）+σθπ-σπ+γρσC（t）π+e-ζ,C:=支持∈[0，T]γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+β,由此得出（1+| p |）bp（π，t，ζ，v，p）+b（π，t，ζ，v，p）+bv（π，t，ζ，v，p）+bζ（π，t，ζ，v，p）（1+| p |）≤ （1+| p |）C+| p | C+| v | C+C+| p | 1+| p | eN≤ h（v）1+| p|,h:R在哪里→ [0, ∞) 是由h（v）给出的连续函数：=|v | C+3C+C+eN，v∈ R.（iv）修正Q>0。然后，由于选择β来满足（3.9），因此存在一个常数δ>0，使得b（π，t，ζ，-Q、 0）=-γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+βQ≥ δ>0，b（π，t，ζ，Q，0）=γuC（t）-γ(1 - γ） σC（t）+βQ≤ -δ<0，对于所有（π，t，ζ）∈ [π，π]×（0，T）×(-N、 N）。在条件（i）至（iv）下，[]第6.4节中的定理3适用。

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