渐近指数套利和基于效用的渐近套利

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Asymptotic Exponential Arbitrage and Utility-based Asymptotic Arbitrage
in Markovian Models of Financial Markets》
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作者：
Martin Le Doux Mbele Bidima and Mikl\\\'os R\\\'asonyi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
Consider a discrete-time infinite horizon financial market model in which the logarithm of the stock price is a time discretization of a stochastic differential equation. Under conditions different from those given in a previous paper of ours, we prove the existence of investment opportunities producing an exponentially growing profit with probability tending to $1$ geometrically fast. This is achieved using ergodic results on Markov chains and tools of large deviations theory. Furthermore, we discuss asymptotic arbitrage in the expected utility sense and its relationship to the first part of the paper.
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中文摘要：
考虑一个离散时间无限期金融市场模型，其中股票价格的对数是随机微分方程的时间离散化。在不同于前一篇文章给出的条件下，我们证明了投资机会的存在性，投资机会产生指数增长的利润，概率趋于1美元几何速度。这是利用马尔可夫链上的遍历结果和大偏差理论工具实现的。此外，我们还讨论了预期效用意义下的渐近套利及其与本文第一部分的关系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Asymptotic_Exponential_Arbitrage_and_Utility-based_Asymptotic_Arbitrage_in_Marko.pdf
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能者818

2022-5-6 08:20:04

马尔科夫金融市场模型中的渐近经验套利和基于效用的渐近套利*Martin Le Doux Mbele Bidima+Mikl\'os R\'asonyi2022年3月25日摘要考虑一个离散时间有限期金融市场模型，其中股票价格的对数是随机微分方程的时间离散化。在与[10]中给出的条件不同的条件下，我们证明了投资机会的存在，其产生的收益呈指数增长，概率以几何速度趋于1。这是利用马尔可夫链上的遍历结果和大偏差理论工具实现的。此外，我们还讨论了预期效用意义下的渐近套利及其与本文第一部分的关系。关键词：渐近指数套利，马尔可夫链，大偏差，期望效用。1引言在金融市场的经典理论中，套利（无风险利润）的存在是以合适的“定价规则”为特征的：风险中性（即等价鞅）衡量r isky资产的定价过程。这一结果通常被称为“资产定价的基本原理”。套利理论的进一步发展包括所谓的“大型金融市场”（见[7]、[6]及其参考文献）。在这些论文中，许多模型的以下共同特征得到了强调：在每个有限的时间范围T>0，没有套利机会，但当T趋于一致时，从长远来看，人们可能会实现无风险利润。这种交易机会被称为“简易套利”。研究渐近套利的一个重要工具是[6]中提出的大偏差理论（见[2]）。

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大多数88

2022-5-6 08:20:07

最近，在[10]中，我们给出了[6]中关于渐近套利的一些结果的离散时间版本，并且在这个框架中，我们扩展了这些结果*作者感谢主审和副主编的极具建设性和帮助性的报道。+喀麦隆雅温得第一大学，电子邮件：mbelebidima@gmail.com——MTA Alfr’ed R’enyi数学研究所，匈牙利布达佩斯和英国爱丁堡大学，电子邮件：rasonyi@renyi.mta.huthem通过研究“失效概率几何衰减的渐近指数套利”，也就是说，我们讨论了投资者在控制（以几何衰减率）无法实现长期投资的概率的同时，实现其长期投资的指数增长的可能性。其中一些结果随后在[4]中针对连续时间模型得到了证明。在本文中，我们使用不同的目标和技术工具证明了类似于[10]定理5的结果（用[9]的大偏差结果代替[8]）。通过这种方式，我们成功地涵盖了一些在[10]设置中不可执行的著名资产价格模型，参见下面的示例3.14和3.15。我们现在回想一下[10]的设置。考虑两种资产交易的金融市场：无风险资产（银行账户或无风险债券），利率设置为0，即价格正常化为Bt:=1∈ N以及单个风险资产（如股票），其（贴现）价格假定为：exp（Xt），t∈ N、（1）其中库存价格的对数Xt是一个由离散时间差方程Xt控制的R值随机过程- Xt-1=u（Xt）-1） +σ（Xt）-1） εt，t≥ 1，（2）从常数X开始∈ 这里是μ，σ：R→ R是可测量的函数（决定股票的收益率和波动率）和（εt）t∈Nis是i.i.d.的一个R值序列。

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可人4

2022-5-6 08:20:10

随机变量表示股票价格演变的随机驱动过程。请注意，原木价格过程显然是（不可数）状态空间R中的（离散时间）马尔可夫链（见[1]第211-228页）。我们假设它的演化是在一个过滤概率空间上进行的(Ohm, F、 F，P），当F:=（英尺）t∈Nand Ft:=σ（Xs，0≤ s≤ t），是股票原木价格过程的自然过滤。在续集中，E表示对概率P的期望。该市场中的交易策略假设为F-可预测[0,1]值过程s（πt）t≥1（即πt假定为Ft-1）不允许卖空或欠债。这意味着，在每次t时，投资者分配一部分πt∈ [0,1]他们的全部财富归为股票，而其余的仍在银行账户中。因此，考虑到任何这样的策略，投资者的相应财富过程Vπtof就是动态的VπtVπt-1= (1 - πt）+πtst-1.一周≥ 1，（3）其中Vπ：=V>0是投资者的初始资本。定义1.1。（定义[10]中的第3和第4条）让πt成为一种交易策略。i）我们说，在财富模型（3）中，π是一个渐近指数套利（AEA），如果存在一个常数b>0，那么对于所有>0，都有一个时间t∈ N满足p（Vπt）≥ ebt）≥ 1.- ，永远≥ t。（4） ii）我们说，如果存在常数sb>0和c>0，则πt生成一个具有几何解失效概率（GDP F）的渐近指数套利（AEA），使得P（Vπt≥ ebt）≥ 1.- E-所有足够大的CTT≥ 1.（5）显然，AEA与GDP F意味着AEA。上述第二种交感套利比第一种更为严格。

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何人来此

2022-5-6 08:20:13

事实上，在上文（4）中，容忍度水平和投资者开始实现指数增长的时间t之间没有明显的关系；人们可能需要等待很长时间才能达到期望的d容忍水平。AEA与GDP F的概念消除了这一缺陷，允许投资者以计量衰减率控制长期内无法实现指数增长利润的可能性。我们在此回顾[10]的主要结果。在以下主要假设下：漂移和波动函数u和σ的有界性；σ在紧集和εts的指数可积性上远离0，我们证明了[10]中关于财富模型（3）中AEA（分别为AEA和GDP F）存在性的定理2（分别为定理4）。[10]中的定理5提供了XT上的遍历相关条件，确保AEA与GDPF一致。在下面的第2节和第3节中，我们继续考虑与第（1）、（2）、（3）节相同的模型。在一组关于u，σ和（εt）t的新条件下∈N（见下文（A）、（A）、（A）、（A）和（A）项），它们既不强也不弱于上文[10]中提到的相应条件，我们利用[2]中的经典大偏差技术、[11]中的马尔可夫链工具以及[9]中的马尔科夫链遍历性结果，证明了AEA与GDP F（见下文定理2.3）的存在性。此外，将明确构建产生这些套利机会的交易策略；我们在[10]中已经获得了在不同条件下的贡献，但在吸气连续时间工作[6]中没有。

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大多数88

2022-5-6 08:20:17

为了获得这些明确的套利机会，我们将只考虑平稳的马尔可夫策略，即；策略（πt）t≥其中πt=π（Xt-1），t≥ 1，对于某些固定的可测函数π：R→ [0, 1].在第4节中，我们将讨论“基于效用”的概念，即与冯·诺依曼·莫尔根斯特恩e xpec-ted效用相关的渐近套利（见[5]第2章）。具有效用函数U和时间范围T的经济主体的非最优投资是预期效用EU（VπT）最大的最终投资组合值VπT的π倍。我们不关注最优策略的构建，而是关注随着时间范围趋于一致，为代理提供（快速）增加预期效用的策略。更准确地说，我们希望讨论这样的问题：对于电力公用事业U，以及（4）中的AEA策略πtas，投资者的预期效用EU（Vπt）是否会倾向于最高可用的公用事业U(∞)? 如果是这样，这种趋同将如何发生？相反，如果一个代理人追求一个交易策略，即她/他的预期效用有一个收敛速度估计，那么πt是否会产生AEA（与GDP F一起）？我们对下面命题4.1、定理4.2和定理4.4中的问题提供了部分答案。2关于AEA的主要定理，其中GDPFWe表示为B（R）上的勒贝格测度λ。在本文中，我们假设马尔科夫链满足以下条件：（A）随机变量εts相对于λ有一个（公共）密度γ，且该密度在R中的每个紧致上有界且从m 0开始有界。（A）漂移u是局部有界的。

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何人来此

2022-5-6 08:20:20

波动率σ是正的，每一个紧集的有界距离为零，并且是（全局）有界的。（A）我们施加均值回复漂移条件lim sup | x|→∞|x+u（x）| | x |<1。（A）我们假设εts定律具有以下可积性：κ>0，使Eeκε=: 我∞, （6） Eε=0成立。备注2.1。这些条件与[10]类似。主要区别在于[10]中假定μ为有界函数，而本文中则假定μ为无界函数。通过这种方式，我们适应了例如自回归过程（见下面的例子3.14和3.15），这不符合[10]的设置。当我们放松u的有界性时，我们需要εt上的可积条件（A），它比[10]中的条件更严格。此外，（A）在马尔可夫链上是一个比[10]中定理5强得多的遍历性条件。因此，我们的主要结果（定理2.3）并没有推广[10]，而是补充了它。备注2.2。与[6]类似，考虑了Ornstein-Uhlenbeck过程的指数，我们的条件暗示对数价格是遍历的（在强烈意义上）。也许是基于经济原因，价格上涨了Xt/Xt-1比Xt大的数应该是遍历的。就像在[10]中一样，我们选择当前设置是为了与[6]保持一致。对于Xt/Xt的情况，可以使用非常相似的参数来证明类似的结果-1被假定为一个遍历马尔可夫链。我们在这里不走这条路。考虑以下条件：（RC+）集合R+：={x∈ R|u（x）>0}满足λ（R+）>0。（7）我们将R+解释为代表“漂移”为正的所有股票原木价格状态。因此（RC+）意味着有“光明未来”（即股价有向上的趋势）的一组状态x具有正的勒贝格测度。

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能者818

2022-5-6 08:20:24

这是很自然的：请注意，在我们的模型中，卖空是被禁止的，因此负面的市场趋势不能被利用。我们现在陈述本文的主要结果。这不是一般性的限制。如果我们有Eε=m，我们可以用u′（x）：=u（x）+σ（x）m和εtbyε′t:=εt替换u（x）- 以这种方式回到Eε=0的情况。定理2.3。（A）指（A）- （A）和（RC+）保持。那么马尔可夫策略π+t:=1R+（Xt-1）用GDP F生成AEA。经过适当的准备，证据将在下一节末尾提出。3大偏差估计值考虑辅助程序ssΦt:=（Xt）-1，Xt），t≥ 0，由原木价格过程ss Xt的两个执行值组成，其中X-1是一个任意选择的常数。我们给出了一组初步结果。提议3.1。该过程是一个具有状态空间R证明的马尔可夫链。我们从[1]第211-228页推导出了这一点，其中证明了波兰状态s中任意（盘状时间）过程Yt的马尔可夫性质，当Yt+1=m（Yt，ξt+1），且i.i.d.随机变量的（ξt）ta序列独立于某些可测空间s′和m:s×s′中的Yand值→ 一个可测量的函数。显然，对于t，Xt+1=m（Xt，εt+1）∈ N与m（x，y）：=x+u（x）+σ（x）y，x，y∈ R.因此我们有Φt+1=（Xt，Xt+1）=（Xt，m（Xt，εt+1））=F（Φt，ξt+1），其中ξt:=（0，εt）和F是定义在S×S′：=R×Rby F（（x，y），（a，b））：=（y，m（y，b））上的可测函数。由于εts是独立于X的i.i.d.，ξts也是独立于X的。

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mingdashike22

2022-5-6 08:20:28

与Φ无关，显示结果。注意P（x，A）：=P（x∈ A | X=X）=ZAp（X，y）dy，X∈ R、 A∈ B（R），其中p（x，y）：=σ（x）γY- u（x）- xσ（x）,这个函数在R中的每一个紧集上都有（A）和（A）的界。为了z∈ 兰德A∈ B（R），设Qt（z，A）：=P（Φt）∈ A |Φ=z）是链Φt的t-s阶转移核≥ 2和A∈ B（R），Qt（（u，v），A）=ZRtA（at-1，at）p（v，a）p（a，a）。p（在-1，在）大。dat，u，v∈ R.（8）设λ表示B（R）上的勒贝格测度。提议3.2。马氏链Φtisψ-不可约，即平凡测度ψsuch上有一个n，ψ（a）>0意味着对于所有z，Qt（z，a）>0的一些t证明。必须检查λ是否是这样一个确定值。如果λ（A）>0，那么对于t=2，我们可以从（8）得到q（（u，v，A）=ZRA（A，A）p（v，A）p（A，A）dada>0，因为p（v，A）p（A，A）是（处处）正的。我们在具体设置中重新定义了[11]第5章中的两个定义。A集C Ris称为ALL ifQt（x，A）≥ u（A）适用于所有x∈ C、 A∈ B（R）具有一些非平凡测度u。链Φ是非周期的，如果对于一些小集合C和相应的度量u，集合C的最大公约数：={n≥ 1：对于所有x∈ C、 Qn（x，A）≥ 对于某些δn>0}，δnu（A）为1。提议3.3。如果C是R中的一个紧区间，那么C:=R×C是马尔科夫链Φt的一个小集合，并且这个链是非周期的。证据这需要证明，对于所有的美国人来说∈ R和v∈ C、 Qi（（u，v），A）≥ ciλ（A）∩ （C×C））对于i=2,3和适当的常数C，C>0，因为这意味着2,3∈ 欧共体。这在（8）中是正确的，其中c=infv，a∈Cp（v，a）infa，a∈Cp（a，a），c=infa，a∈Cp（a，a）infv，a∈Cp（v，a）infa，a∈Cp（a，a）λ（C）。现在我们需要确定的时刻估计。引理3.4。假设（A）的（6）中的随机变量ε满足以下性质：存在c>0，因此对于每个实数A≥ 我们有ea |ε|≤ 非洲经委会。（9）证据。设置ξ：=|ε|。

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mingdashike22

2022-5-6 08:20:31

然后我们有了eaξ>x= P经验κhlog（eaξ）ai> 经验κhlog xai≤ 我经验- κ日志（x）/a通过马尔可夫不等式=I（x）（κ/a）log x，参见（6）中I的定义。由于指数（κ/a）log x>2，假设x>e2a/κ，我们有eaξ=R∞Peaξ>xdx≤ e2a/κ+IR∞exp（2a/κ）1/xdx。最后一个积分小于r∞1/xdx，这是有限的，因此我们通过取c=c+（2/κ）并将c>0足够大来总结（9）的证明。定理2.3的证明将基于[9]的结果。为了应用本文的结果，我们需要验证Mar-kov链Φtsatis fies条件（DV 3+）是否较低。我们只在状态空间为Rd的情况下才计算这个条件。如果（i）存在可测函数V，W:Rd，我们说具有转移定律R=R（x，a）的ψ-不可约非周期马尔可夫链满足条件（DV3+）→ [1, ∞) 和一个小集合C，这样对于allx∈ Rd，log（e）-VReV）（x）≤ -δW（x）+b1C（x）（10）对于某些δ，b>0。（ii）存在t>0，因此，对于每个r<kW k∞, 有一个测量值是βr（eV）<∞andPx（Zt）∈ A和ZT在t+1之前未退出CW（r）≤ βr（A）（11）对所有x∈ CW（r）和A∈ B（Rd），其中CW（r）={y∈ Rd:W（y）≤ r} 。我们现在回想一下[9]的结果，这将是我们在续集中需要用到的。让W:Rd→ [1, ∞) 苏切塔利姆→∞好的∈研发部W（x）W（x）{W（x）>r}= 接下来，考虑Banach空间LW∞:= {g:Rd→ C:supx | g（x）| W（x）<∞}, 配备标准功率：=supx | g（x）|/W（x）。定理3.5。设zt满足（dv3+）与无界W。然后给出一个不变量概率测度ν，极限∧（g）：=limt→∞tln Ez[exp（tXn=1g（Zn））]存在，并且对所有g都是有限的∈ LW∞对于所有初始值Z=Z（它与Z无关）。修正g∈ LW∞. 函数θ→ λ（g+θg）在θ中解析，泰勒展开∧（g+θg）=∧（g）+θν（g）+θσ（g）+O（θ），其中σ（g）：=limt→∞（1/t）var（g（Z）+…+g（Zt）-1)).证据

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何人来此

2022-5-6 08:20:36

这遵循了[9]中的定理1.2和4.3。让我们定义∧g（θ）：=θ的∧（θg）∈ R.表示∧*g（x）：=supθ∈R（θx）- ∧g（θ）），x∈ R、 λg（·）的芬切尔-勒让德共轭。推论3.6。在前面定理的条件下，如果σ（g）>0，则∧*g（x）>0表示所有x 6=ν（g）。证据∧gis分析，从本质上讲，它是可区分的。根据∧的定义∧g（0）=0。根据前面定理的泰勒展开式，∧′g（0）=ν（g）和∧′g（0）=σ（g）>0，我们得到∧*g（ν（g））=ν（g）×0- ∧g（0）=0。通过对共轭函数的定义，我们得到∧*g（x）≥ 0×x- λg（0）=0表示所有x∈ 因此，ν（g）是∧的全局极小值*g、通过∧g的微分∧*gis在其作用域上严格凸。这意味着∧的全局极小值是ν（g）*地理信息系统独一无二。这种唯一性意味着∧*g（x）>0表示所有x 6=ν（g）。为了将这些结果应用于我们的长期投资问题，我们需要确定Φtsatis fies（DV 3+）。首先，我们证明一个关于Xt的相关陈述。提案3.7。马尔可夫链用合适的紧致区间C来满足d=1，R（x，A）=P（x，A）的“漂移条件”（10） R和V（x）=W（x）=1+qx，适当的q>0。证据回想一下，对于所有x，R eV（x）：=ReV（y）R（x，dy）∈ R.我们必须展示eV（x）≤ eV（x）- 所有x的δW（x）+b1C（x）∈ 对于适当小的q>0和C=[-K、 K]带有适当大的K。因为P eV（x）=EeV（X）|X=X= EeV（x+u（x）+σ（x）ε）, 根据（13），我们需要证明，Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1）-δ） V（x）+b1C（x）代表所有x∈ R.（14）为了证明这一点，有必要证明以下两个主张：主张1：对于所有的x和| x |>K，K足够大，我们有e1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1）-δ）（1+qx）（15）权利要求2：对于“小”x（即| x |≤ 我们有SUPX∈总工程师e1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε< 对于某些正常数G（K），（16）。权利要求1的证据。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:20:40

使用假设（A），对于足够大的| x | l，存在一个小的δ>0，使得（x+u（x））≤ (1 - 4δ）x.自1起≤ δ（1+qx）对于| x |大e nough，它遵循e1+q（x+u（x））≤ e（1）-3δ）（1+qx）。通过（A）有M>0，对于所有x，σ（x）≤ M如果我们选择q，使得qM<κ/2，那么就不足以证明ee2q | x+u（x）| M |ε|+（κ/2）ε≤ e2δqx。通过柯西-施瓦兹不等式，证明e4q | x+u（x）| M |ε|量化宽松eκε≤ e2δqx（17）乘以（6），（17）左侧的第二项是常数√I.对于足够大的| x |，这小于eδqx。因此，由于aga由（A）构成，4q | x+u（x）| M≤ 4qM | x |对于足够大的|x |来说，它仍有待展示e4qM | x |ε|≤ eδqx对于大的| x |，或者，等价地，ee4qM | x |ε|≤ e2δqxf对于大的| x |。（18）应用引理3.4，对于某些固定常数>0，f（18）的左侧比e16cqM | x |小。因此，如果选择足够小的q，使得16qMc<2δq和qM<κ/2，则（18）成立，显示权利要求1。权利要求2的证明。根据假设（A），u在任何紧C=[-K、 K]通过s ome正常数A=A（K）和函数x7→ （x+u（x））也由一些正常数B=B（K）限定在C上。应用Ca uchy-Schwarz不等式和（6），Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ Ee1+qB+2q（K+A）M |ε|+（κ/2）ε≤ e（1+qB）量化宽松e4q（K+A）M |ε|量化宽松eκε= e（1+qB）√伊奇e4q（K+A）M |ε|然后我们选择足够大的K，使得4q（K+A）M≥ 1，通过引理3.4，我们得到所有x∈ C=[-K、 K]，Ee1+q（x+u（x））+2q（x+u（x））σ（x）ε+qσ（x）ε≤ e（1+qB）√Ipe16c′q（K+A）M，对于固定常数c′>0。这适用于所有x∈ C、当在后一个不等式的左边取C的上界时，nc e（16）成立。提案3.8。马尔可夫链Φtsatis fies（DV 3+）（i）。证据我们遵循[9]中的命题4.1，并从上面的命题3.7推导出这一陈述。回想一下这个命题中的V（x）=W（x）=1+qx，C和δ>0。取C:=R×C。

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大多数88

2022-5-6 08:20:43

福克斯，y∈ 定义V（x，y）：=V（y）+（δ/2）W（x）和W（x，y）：=（1/2）（W（x）+W（y））。然后呢-VQeV（x，y）=- V（y）- （δ/2）W（x）+logZReδW（y）+V（z）P（y，dz）≤ -V（y）- （δ/2）W（x）+（δ/2）W（y）+[V（y）- δW（y）+b1C（y）]≤ -δW（x，y）+b1C（x，y），表明（10）对V，W是真的。我们得出结论，在命题3.3中，Chas b甚至很小。提案3.9。链Φtsatis fies条件（DV 3+）（ii）。证据考虑前面命题中定义的V（x，y），W（x，y）。我们选择t:=2，让r<kwk∞= ∞.必须证明测度βron B（R）的存在性，使得βR（eV）<∞ Q（x，y），D∩ CW（r）≤ βr（D），（19）表示所有（x，y）∈ CW（r）和所有D∈ B（R）。设H表示CW（r）在第一个坐标上的投影（与在第二个坐标上的投影相同）。通过（A）和（A），函数p（x，y）在H×H上被常数J.HenceQ限定（x，y），D∩ CW（r）≤ZD∩CW（r）p（y，a）p（a，a）数据≤ Jλ（D）∩ CW（r））=：βr（D）。最后，很明显βr（eV）<∞ 因为它是一个连续函数在R上的勒贝格积分。推论3.10。马氏链Φthas是一个不变的概率测度ν，等价于λ。证据定理3.5暗示Φthas是一个入侵概率测度，比如说，ν。此外，从（8）开始，P（Φ∈ ·|Φ=（x，y））对于每个（x，y）是λ-绝对连续的∈ R、因此我们得到了ν<< λ. 另一方面，从[11]第186页和第235页对循环链和正链的定义来看，同样参考文献的第10.1.1条和第10.4.9条定理如下：~ ψ、其中ψ是最大不可约测度。因此ψ>> λ由命题4决定。[11]中的2.2（ii），我们得到>> λ. 因此，ν~ λ、按要求。我们现在开始对财富模型（3）中的渐近指数机会进行适当的研究。

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能者818

2022-5-6 08:20:46

再次考察投资者财富过程的动力学Vπ在这个模型中，对于任何马尔科夫策略πt，我们可以用Vπt=Vexp的形式表示tXn=1f（Φn）= VexptPtn=1f（Φn）t, 总之≥ 1，（20）其中函数f由f（x，y）定义：=log(1 - π（x））+π（x）exp（y）- 十）, x、 y∈ R、（21）和Φt=（Xt-1，Xt），t∈ N、是马尔可夫链。我们需要确保，对于任何马尔可夫策略πt，随机变量序列log（Vπt/V）=Ptn=1f（Φn）满足大偏差原理（LDP）假设。也就是说，我们需要极限∧f（θ）：=limt→∞对于每个θ，存在tlog E（EθPtn=1f（Φn））∈ R、满足[2]中定理2.3.6所述的G¨artner-Ellis定理的剩余条件。定义函数W:R→ [1, ∞) 由W（x，y）：=1+|x |+|y |，对于所有x，y∈ R.显然，d=2和W=W的Wsaties（12）。引理3.11。f属于空间LW∞.证据为了所有的x，y∈ R、自π（x）∈ [0,1]，我们有1个-π（x）+π（x）exp（y）-十）≤ 1+exp（y）-x）。因此f（x，y）≤ |x |+| y |+1。另一方面，对于0≤ A.≤ 1/2，我们有1个- a+a经验（y）- 十）≥ 1/2. 对于大于1/2的，我们有1-a+a经验（y）-十）≥ （1/2）经验（y）-x）。总之，我们得到了f（x，y）≥ 日志（1/2）-|x|-|y |代表所有x，y∈ R.因此| f（x，y）|≤ c（1+| x |+| y |），对于某些常数c>0，其结论如下。提案3.12。设πt为财富模型（3）中的任何马尔可夫策略。那么∧f（θ）：=limt→∞t日志E（X-1，X）eθPtn=1f（Φn）, θ ∈ R是一个定义良好的解析函数，因此平均stlog（Vπt/V）=tPtn=1f（Φn）满足具有良好速率函数∧的大偏差估计*f（λf的凸共轭）。证据根据定理3.5，∧f验证了[2]中G¨artner-Ellis定理2.3.6的条件（分析性意味着本质光滑性）。应用这个定理，我们得出结论。引理3.13。

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可人4

2022-5-6 08:20:49

如果（RC+）满足，那么马尔可夫策略π+（x）：=1R+（x）是这样的：ν（f）=E日志(1 - π+（~X））+π+（~X）exp（~X）-~X）> 0，（22）其中一对随机变量（~X，~X）具有分布ν。证据由于ν是B（R）上的一个概率度量，并且对于链Φt=（Xt，Xt+1）是不变的，因此存在一对R值的R和om变量（~X，ε），使得ε独立于X，定义X=~X+uX）+σ（~X）ε，这对（~X，~X）具有分布。为了一个小x∈ R、 E|X |X=X= Ex+u（x）+σ（x）ε| | x=x= x+u（x）+σ（x）E（ε| x=x）=x+u（x）+σ（x）E（ε）=x+u（x），因为ε独立于x。因此，如果x∈ R+然后我们有e（~X | ~~X=X）>X.（23）现在考虑明确定义的马尔可夫策略π+（X）：=1R+（X）∈ R、其构造如下：每次t>0时，如果对数市场风险价格高于0，我们将所有当前财富投资于股票，否则我们将所有资产都存入银行账户。考虑到这个策略，考虑相应的f（x，y）=log(1 - π+（x））+π+（x）exp（y）- 十）,（x，y）∈ R.因为通过定义ν（f）=RRf（x，y）ν（dx，dy），我们得到了ν（f）=E日志(1-π+（~X））+π+（~X）exp（~X）-~X）. 接下来，根据推论3.10，ν相对于λ有一个λ-a.e.正密度，因此它的X-margina l，用η表示，有一个λ-a.e.正密度l（x）。因此我们得到了ν（f）=RRE日志（（1）- π+（x））+π+（x）exp（~x- x））x=xη（dx）≥RR+Elog exp（~X）- x） ||x=xη（dx）=RR+E~X- x | | x=xl（x） λ（dx）>0，乘以（23），表示引理。定理2.3的证明。如果f是ν-a.s.常数，则该语句是平凡的。如果不是，则根据[10]中定理5的参数σ（f）>0。命题3.12表示ttlog（Vπ+t/V）满足大偏差原理，具有良好的速率函数∧*f、特别地，应用[2]中定理2.3.6的上大偏差不等式（2.3.7），我们得到→∞tlog Ptlog（Vπ+t/V）<ν（f）/2≤ - infx∈(-∞,ν（f）/2]∧*f（x），（24）式中，通过引理3.13，ν（f）>0。

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何人来此

2022-5-6 08:20:52

由推论3.6∧*f（ν（f）/2）>0且ν（f）是∧的唯一极小值*f、通过严格凸性∧*金融机构减少(- ∞, ν（f）]。这意味着右手s ideof（24）等于-Λ*f（ν（f）/2）。亨塞普Vπ+t≥ elog（V）+ν（f）t/2≥ 1.- E-t∧*f（ν（f）/2）对于大t，（25），结果如下。以下两个例子不在[10]的范围内，但可以使用上述定理2.3进行处理。例3。14.稳定的自回归过程。考虑模型St:=Ext，其中Xt是一个稳定的自回归过程（即Ornstein-Uhlenbeck过程的离散时间版本）：对于所有的t≥ 1，（26）其中0<|α|<1，Xis常数和ε皮重i.i.d.N（0，1）。在这个典型示例中，漂移和波动函数被确定为u（x）=（α）-1） x和σ（x）=1，对于所有x∈ R.所有假设（A）- （A）关于μ，σ和εts，它们基本成立。接下来，R+=(-∞, 0）。显然，（RC+）是成立的。因此，交易机会π+t=π+（Xt-1），π+：=1R+根据定理2.3实现了一个带有GDP F的AEA。例3。15.考克斯-英格索尔-罗斯型工艺。在数学金融中，随机微分方程DHT=-βHtdt+σp | Ht | dWt（27）经常被用来模拟债券市场的随机波动或短期利率，这里是布朗运动。我们在此对该模型的离散化进行了轻微修改。修正是必要的，因为HTC的波动性既不高于0，也不远离0。让我们用Xt+1=αXt+σmin{max{p | Xt |，c}，c}εt，t来定义对数价格过程≥ 其中|α|<1，σ>0，0<c<给定常数和εtisn（0，1）。

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nandehutu2022

2022-5-6 08:20:55

很容易检查这个过程是否也满足定理2.3.4基于效用的渐近套利的条件。我们考虑初始资本为V=x的风险规避投资者∈ (0, ∞) 他们用效用函数U（0，∞) → R、其中，U属于双曲溶质风险规避（HARA）效用函数的s子类U（x）=xα，0<α<1，或U（x）=-xα，α<0，对于所有x∈ (0, ∞). 参数α与风险厌恶有关：越大-α是指投资者越害怕损失，参见[5]。如导言部分所述，在本文中，我们不打算解决在文献中讨论得很好的、包含最大预期效用u（x）：=supπEU（VπT）和最优策略（π*t）一,≤T≤验证u（x）=EU（Vπ*T）。相反，在[3]和[6]的精神中，随着时间范围趋于一致，我们专注于为代理人提供（快速）增加预期效用的交易机会。首先考虑幂函数U（x）的子类：=xα，对于x，0<α<1∈ (0, ∞).提议4.1。如果一个交易策略π使一个AEA交易化，那么有一个常数b>0，比如Vπt≥ eαbt，对于所有足够大的t.（28）证明。根据AEA的定义，有一个常数b>0和一个时间t1/2，例如P（Vπt≥ebt）≥ 1/2用于所有时间t≥ t1/2。因此，EU（Vπt）≥ EU（ebt）1{Vπt≥ebt}≥ （1/2）eαbt≥ eαb′t适用于任何b′<b的区域，以及所有t大的区域，视需要而定。接下来，假设投资者从幂效用函数U（x）的第二个子类中选择：=-xα，α<0，对于所有x∈ (0, ∞). 这些函数表达了更大的风险厌恶和更现实的重新思考。我们将得出下面这一部分的主要结果。

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何人来此

2022-5-6 08:20:58

我们再次指出，尽管证明很短，但以下定理依赖于本文[9]中所有的重型机械，以及第2节中建立的我们的初步结果，事实上，这是高度非琐事的l.定理4.2。假设原木价格满足（A）- （A）以及（RC+）。设π+t为定理2.3中定义的策略。然后存在α<0，对于任何风险规避系数0>α>α，相应投资者财富的预期效用以指数速率收敛到0。也就是说，使用电源实用程序U（x）：=-xα，x∈ (0, ∞), 我们有，|EU（Vπ+t）|≤ 柯-ct，对于所有足够大的t，（29）对于某些常数K=K（α），c=c（α）>0。证据回想第2节，尤其是推论y 3.10，命题3.1和（21）。当f为常数ν-a.s时，该语句是微不足道的。否则，我们可以假设σ（f）>0（见第2.3条的证明）。在第二节中，我们得到了∧f（0）=0，∧′f（0）=ν（f）>0。因为根据∧f的解析性，∧′fis是连续的，存在α<0，使得α的∧f（α）<0∈ (α, 0). [9]中的定理M3.1意味着对于某些常数dα，我们有-Eeα（f（Φ）++f（Φn））en∧f（α）=EU（Vπn）/Vαen∧f（α）→ dα，n→ ∞, （30）出示声明。一般来说，我们不应该期望比这个结果更多的结果（也就是说，对于所有α<0的情况，我们不可能得到这样的结果）。为了说明这一点，我们现在构造一个例子，其中有AEA和GDP F，但对于某些α<0，我们有E（Vπt）α→ -∞ 作为t→ ∞.例4。3.考虑对数价格Xt，由公式Xt+1=Xt+εt+1，t决定∈ N、当X=0时，其中εtare i.i.d.是R中的随机变量，其公共分布如下所示：-ε> 1和Eε>0。例如ε~ N（1/4，1）就可以了。我们确定了漂移和挥发度≡ 0和σ≡ 1.选择交易策略πt≡ 所有t取1，设V=1。n我们有Vt:=exp（ε+·ε+εT）≥ 1.由于1/5<1/4=Eε，由克拉姆的theo-rem（参见。

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能者818

2022-5-6 08:21:02

[2] ，有一个常数c>0和t>0，因此对于所有t≥ t、我们有≥ et/5）≥ 1.- E-计算机断层扫描。因此，在GDP F中存在AEA。然而，forα=-1.我们有独立的，EU（Vt）=e(-五、-1t）=-E经验{-（ε+·ε+εt）}=-（Ee）-ε） t→ -∞作为t→ ∞.最后，我们研究了如果一个厌恶ris k的代理产生倾向于0=U的预期效用会发生什么(∞) 以指数形式快于t→ ∞. 事实证明，他/她的策略产生了带有GDP F的AEA。事实上，按照[6]中Proposition 2.2的步骤，我们得到了以下结果。定理4.4。考虑一下电源实用程序U（x）=-对于某些α<0。设πtbe为| EU（Vπt）|≤ 柯-对于所有足够大的t，对于某些常数c，K>0。然后πt提供了一个带有GDP F的AEA。证据我们可以也将假设K=1。我们需要找到常数b>0，c′>0，这样p（Vπt≥ ebt）≥ 1.- E-对于所有足够大的t.选择eb>0，使得tc+αb>0，那么我们有P（Vπt<ebt）=P|U（Vπt）|>U（ebt）|≤E | U（Vπt）| U（ebt）|由马尔可夫不等式。（31）但E | U（Vπt）|=|EU（Vπt）|≤ E-ctand | U（ebt）|=eαbtp（Vπt<ebt）≤ E-（c+αb）t。因此，取c′：=c+αb。综上所述，如果效用风险规避系数α<0的经济主体实现了以指数形式快速收敛到0的预期效用，那么他/她的策略也为AEA提供了GDP F。相反地，在第2节的严格条件下，我们可以用GDP F构建产生AEA的策略，该策略也可以为不太负的α（即不太厌恶ris k的投资者）提供指数级的预期效用。参考文献[1]R.N.Bhattacharya和E.C.Waymire。随机过程及其应用，约翰·威利父子公司，纽约，1990年。[2] A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差技术与应用，第二版，斯普林格，1998年。[3] 多库恰耶夫。

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可人4

2022-5-6 08:21:06

均值回复市场模型：特殊机会和非随机性，应用。数学《金融》，第14卷，319-337页，2007年。[4] K·杜和A·D·纽菲尔德。关于失效概率为指数的渐近指数套利的一个注记。J.阿普尔。Probab。，2013年第50卷，801-809页。[5] 霍尔默和席德。《随机金融学：离散时间导论》，第二版，沃尔特·德格吕特，2004年。[6] H·F¨ollmer和W·Schachermayer。渐近套利和大偏差，数学。财务部。经济。，2007年第1卷，213–249页。[7] Y.M.卡巴·诺夫和D.O.克拉姆科夫。大型金融市场中的渐进套利，金融随机性。，Vo l.2143–1722008。[8] I.Kontoyiannis和S.Meyn。几何遍历马尔科夫过程的谱理论和极限定理，Ann。阿普尔。Probab。，2003年第13卷，304-362页。[9] I.Kontoyiannis a和S.Meyn。大偏差渐近性和多重正则过程的谱理论，电子。乔恩。Probab。，第10卷，第61-123页，2005年。[10] M.L.D.姆贝勒·比迪马和M.R\'asonyi。关于金融市场马尔可夫模型中的长期套利机会，安。奥普。Res.，第200卷，第131-146页，2012年。[11] S.Meyn和R.Tweedie。《马尔可夫链与随机稳定性》，第二版，剑桥大学出版社，2009年。

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