离散时间市场下的泛套利聚合器

2022-5-6 10:25:20

不确定性下离散时间市场的通用套利聚合器*Matteo BurzoniMilano大学，电子邮件：Matteo。burzoni@unimi.itMarco弗里特利米拉诺大学，电子邮件：marco。frittelli@unimi.itMarcoMaggis+米兰大学，电子邮件：marco。maggis@unimi.itOctober2015年8月15日摘要在一个独立于模型的离散时间金融市场中，我们讨论了由一类重要集合（我们称之为套利de la classe S）生成的与不同套利概念有关的鞅测度族的丰富性。对极集合鞅测度类的内在性质的选择。特别是：对于={Ohm} , 无模型独立套利等价于鞅测度的存在；对于开集，不存在开放套利等价于存在全支撑鞅测度。这些结果是通过采用技术过滤和构建所有套利机会的通用聚合器获得的。我们进一步介绍了市场可行性的概念，并通过套利条件对其进行了描述。最后，我们给出了开放套利的一个双重表示，即概率测度的弱开放集，这突出了这个概念的健壮性。关键词：模型不确定性，资产定价第一基本定理，可行市场，开放套利，完全支持鞅测度。理学硕士（2010）：初级60G42、91B24、91G99、60H99；中学46A20，46E27。1导言：不确定性下的无套利金融数学模型中引入奈特不确定性最近重新引起了人们对期权定价规则、超级套期保值和套利条件等基本问题的关注。我们可以区分两种极端情况：1。我们完全确定参考概率测度P。

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2022-5-6 10:25:23

在这种情况下，可以成功应用无套利或NFLVR的经典概念（如[DMW90、DS94、DS98]）。*致谢：感谢J.Ob loj和F.Riedel就这一主题进行的有益讨论。+作者得到了意大利国立阿尔塔马特马蒂卡研究所（INdAM）的国民分析研究院（Gruppo Nazionale per l\'Analisi Matematica，la Probabilit\'a e le Loroa Applicazioni）的支持。我们面临任何概率模型的完全不确定性，因此我们必须以任何概率独立地描述我们的模型。在这种情况下，我们可能会采用模型独立（弱）的无套利概念。在第二种情况下，霍布森[Ho98]的论文中给出了一个开创性的贡献，其中在模型错误规范下解决了奇异期权的定价问题。在他的方法中，关键假设是市场存在一个鞅测度，与一些观察到的普通期权的价格一致（进一步的发展参见[BHR01，CO11，DOR14]）。在[DH07]中，Davis和Hobson通过半静态策略将前面的问题与模型独立性的缺失联系起来。Riedel[Ri11]曾在单周期市场上实现了离散时间内资产定价第一基本定理的无模型版本，Acciao at al[AB13]则在更一般的设置中实现了这一点。在案例1之间。2。，我们有可能接受模型可以在概率设置中描述，但我们不能假设特定参考概率测量的知识，但最多是一组先验知识，这导致了[BK12，C12，DHP11，DM06，Pe10，STZ11，STZ11a]中的准确定随机分析的新理论。其思想是，只要用一类（可能是非支配的）概率测度P′代替单参考概率P，就可以重新表述经典概率论。

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可人4

2022-5-6 10:25:26

例如，这就是不确定波动率（例如[STZ11a]）的情况，在一般的连续时间市场模型中，波动率只存在于某个区间[σm，σm]。在非支配先验集合的套利理论中，Bouchard和Nutz[BN13]在离散时间内提供了重要的结果。对一类P′引入了一个合适的套利机会概念，称为na（P′），并证明了无套利条件等价于具有相同P′极集的鞅测度族Q′的存在性。在连续时间市场中，alsoby Biagini等人最近研究了一个类似的话题。[BBKN14]。Bouchard和Nutz[BN13]回答了以下问题：对于所有可接受的概率模型P，哪一个是一个关于任意性的好概念∈ P′（即，一个H作为所有可容许模型的一个轨道）？为了提出这个问题，我们必须先验地知道哪些是可容许模型，也就是说，我们必须展示概率P′的子集。在本文中，我们的目的是研究市场的套利条件和稳健性，这些条件和稳健性与任何参考概率或先验集无关。我们考虑由离散时间适应随机过程S:=（St）t描述的金融市场∈一、 I={0，…，T}，定义为(Ohm, F、 F），F:=（英尺）t∈一、与T<∞ 并在Rd中取值（见第2节）。注：我们没有对S施加任何限制，以便它可以描述通用金融证券（例如，股票和/或期权）。

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2022-5-6 10:25:29

与以往的迭代方法不同，在我们的设置中，可测量空间(Ohm, F）给出了定义在其上的价格过程，并研究了无套利条件下S的鞅测度的性质。H类可容许交易策略由所有F-可预测d-维随机过程构成，我们用M表示所有概率测度的集合，在该集合下S是一个可模鞅，用P表示所有概率测度的集合(Ohm, F）。因此，我们引入了一个灵活的套利定义，它允许我们在auni fied框架中描述集合M的丰富性。套利。我们在H中寻找一个策略H，它在某种适当的意义上代表了套利机会。设：V+H={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）>0}，其中VT（H）=PTt=1Ht·（St-圣-1）是策略H的最终值。根据集合V+H的性质，引入套利的几个概念是很自然的。定义1假设我们是Ohm 以至于 /∈ 美国的贸易策略∈ 当V（H）=0，VT（H）（ω）时，H是套利≥ 0ω ∈ Ohm V+H在S中包含一个集合。S类的作用是从数学上解释“真正增益”的含义。当概率P给定（“参考概率”）时，我们同意表示真实收益asP（VT（H）>0）>0，因此经典的无套利条件可以表示为：无套利P（VT（H）<0）=0意味着没有真实收益P（VT（H）>0）=0。以类似的方式，当给出概率测度的asubset P′时，可以用P-q.s条件替换上述P-a.s.条件，如[BN13]所示。然而，如果我们不能或不想依赖于一组隐修会指定的可能性度量，我们很可能会使用另一个概念：如果集V+Hcontainsa被认为是重要的，那么就有真正的收益。

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能者818

2022-5-6 10:25:32

这正是第3部分的核心类S所扮演的角色。BattigJarrow[BJ99]和Cassese[C08]已经分别在资产定价的第一和第二基本定理的背景下使用了不由某些概率度量确定的集合族（更多具体比较见第4.1节）。为了研究由此类无套利条件引起的鞅测度的性质，我们首先研究（见第4节）市场的结构性质，采用了符合[Pl97]精神的几何方法，但Ohm 是一个普通的抛光空间，而不是一个有限的样本空间。特别地，我们刻画了M-极集合的类N。e、那些是B Ohm 这样就没有鞅测度可以将一个正测度指定给B。在独立于模型的框架中，集合N是由市场诱导的，因为鞅测度的集合不必承受任何附加条件（例如等价于某个P）。一旦确定了这些极性集，我们在第4.6节中明确构建了一个过程Ho它只取决于价格过程S和满意度：oVT（Ho）（ω）≥ 0ω ∈ Ohmo N V+Ho每N∈ N该策略是一个集值过程H的可测量选择，我们将其称为UniversalArbitrage Aggregator，因为对于任何P，它相对于M不是绝对连续的，可以在H的值中找到一个套利机会HP（在经典意义上）。市场的所有效率都被过程H捕获o但一般来说，它无法预测。为了恢复可预测性，我们需要通过考虑合适的技术过滤系数来扩大过程的自然过滤：∈i不影响鞅测度集，即。

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2022-5-6 10:25:36

任意鞅测度Q∈ M可以唯一地推广到放大滤波上的鞅测度。这使我们能够在第4.6节中证明本文的主要结果：定理2(Ohm,eFT，eF）是第4.5节中的放大滤波空间，并且是D维离散时间eF可预测随机过程的集合。那就没有套利了<==> M 6= N不包含SIn的集合换句话说，S族的性质在定价泛函的极集合方面有一个对偶对应物。在第4.6节中，我们进一步提供了资产定价基本定理的版本：不存在套利和鞅测度Q之间的等价性∈ M的所有C的Q（C）>0∈ 美国模式的独立套利。当S:={Ohm} 然后，套利与模型独立套利的概念相对应。像Ohm 从不属于极集N类，从定理2我们直接得到以下结果。定理3无模型独立套利<==> M 6=.在[AB13]中将单个风险资产视为路径空间上的规范过程时，也得到了类似的结果Ohm = RT+，一个可能不可数的选项集合（α）α∈a哪些价格在时间0时已知，何时可以通过半静态策略进行交易（详细讨论请参见[Ho11]）。假设存在一个具有特定功能的选项，定理3中的等价性在原始可测空间中实现(Ohm, F、 F，H）。在我们的设置中，虽然我们可以自由选择（d+k）维过程，对可能不同的基础（d）上的有限个选项（k）进行建模，但允许策略的类别在每个SIF中都是动态的，即i=1。d+k。

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2022-5-6 10:25:39

为了考虑半静态策略的情况，我们需要考虑限制因素，因此这两个结果不能直接比较。关于开集的套利。在拓扑环境下，为了获得全支撑鞅测度，S的合适选择是开集类。这个选择决定了套利关于开放集合的概念，我们将其缩短为“开放套利”：o开放套利是一种交易策略∈ 使得V（H）=0，VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ OhmV+h包含一个开放集。这一概念允许以下双重重新表述（见第6节，提案64）。公开套利包含在交易策略中∈ H和非空弱开集U 所以对于所有的∈ U、 VT（H）≥ 0 P-a.s.和P（V+H）>0。（1）因此，开放式套利的稳健特征可以从这种双重表述中明显看出，如果它代表了一组整体概率的经典意义上的套利，则作为某种策略H满足（1）。此外，如果H是这样的策略，我们忽略任何有限的子时间概率，那么H仍然是一个开放套利。此外，UCO的每个弱开子集都包含一个完全支持概率P（见引理57），在这个概率下，H是经典意义上的P-套利。无论何时，当我们面对模型规格错误时，都可以有效地使用完全支持鞅度量，因为它们具有广泛的支持，能够捕获事件样本空间的特征，而不会忽略重要的大部分。在Dolinski和Soner[DS14]中，已经证明了NA的局部版本的等价性和完全支持鞅测度的存在性（见第2.5节[DS14]），在由一个风险资产和比例交易成本决定的连续时间市场中。可行性和近似措施。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:25:44

在第5节中，我们回答了这样一个问题：在市场的属性对“大多数”概率模型来说是好的意义上，哪些市场是可行的？显然，这个问题取决于可行性标准的选择，但为了达到这个目的，我们不需要展示先验的概率子集。相反，给定一个市场（在没有参考概率的情况下描述），该市场的诱导无套利模型集（概率）将决定该市场本身是否可行。这里需要的是“大多数”概率模型的良好概念。更准确地说，考虑到价格过程的定义(Ohm, F），我们引入了经典意义上无套利的集合Pof概率测度：P={P∈ P |关于P}无套利。（2）当npτ=p关于某些拓扑τ时，市场是可行的，因为任何“坏”参考概率都可以用无套利概率模型来近似。在命题58中，我们证明了如果我们选择τ作为弱*拓扑，这个性质等价于全支撑鞅测度的存在性。本文的另一个贡献（在第5节中得到了证明）是，根据完全支持鞅测度的存在性，对可行市场和无公开套利进行了以下描述。我们用P表示+ P全支撑概率测度集。定理4下列条件是等价的：1。市场是可行的，即ePσ（P，Cb）=P；2.存在P∈ P+s.t.无套利w.r.对P（在经典意义上）成立；3.M∩ P+6=;4.不存在与可接受策略有关的公开套利。Riedel[Ri11]已经指出了无概率集合中完全支持鞅测度概念的相关性。

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2022-5-6 10:25:47

事实上，在单期市场模型中，在假设价格过程相对于状态变量是连续的情况下，他证明了没有一点套利（非负支付，至少在一点上具有严格的正性）相当于存在完全支持鞅测度。如第6.1节所示，这种等价性在多周期模型（或具有非平凡初始西格玛代数的单周期模型）中不再成立，即使对于ω中连续的价格过程也是如此。在本文中，我们考虑了一个没有ω-连续性假设的多资产多期模型，我们发展了开放套利的概念，以及它的双重重新表述，允许上述定理中所述的等价性。最后，我们给出了一些简单的例子来指出：单周期和多周期模型之间的差异（例子13、66、67）；无轨道和鞅测度存在性的几何方法（第4.1节）；原子解体的多周期设置的需要（例26）；对单极集合的单周期预测的需要（例32）。我们的FTAP版本对于超边缘对偶性的健壮公式的后果将在即将发表的论文中进行分析。2.金融市场我们会认为(Ohm, d）是一个抛光空间，F=B(Ohm) 是由度量d导出的Borel-sigma代数吗Ohm 在第4.3节中使用is Polish来保证适当的正则条件概率的存在，见定理28。我们定义了一个有限的时间范围≥ 1，一组有限的时间指数I:={0，…，T}，我们设置：I:={1，…，T}。设F:={Ft}t∈Ibe a过滤F={, Ohm} 和英国《金融时报》 F

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2022-5-6 10:25:51

我们用L表示(Ohm, 英尺；Rd）Ft可测量随机变量X的集合：Ohm → 和我一起(Ohm, FRd）适应过程集X=（Xt）t∈Iwith Xt∈ L(Ohm, 英尺；Rd）。该市场由一项非风险资产构成，所有t的St=1∈ 一、始终等于1，and≥ 1风险资产Sj=（Sjt）t∈一、 j=1，d、这是实值适应随机过程。设S=[S，…，Sd]∈ L(Ohm, FRd）是（折扣）价格过程的d维向量。在本文中，我们关注套利条件，因此在不失去普遍性的情况下，我们将把注意力限制在零初始成本的自我融资交易策略上。因此，我们可以假设交易策略H=（Ht）t∈Iis是一个Rd值可预测随机过程：H=[H，…，Hd]，带Ht∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd），我们用H表示所有交易策略的类别。（贴现）值过程V（H）=（Vt（H））t∈定义为：V（H）：=0，Vt（H）：=tXi=1Hi·（Si）- 硅-1），t≥ 1.因此，在没有任何参考概率度量的情况下，金融市场的（离散时间）由四倍分配[(Ohm, d） )；（B）(Ohm), F）；sH] 满足之前的条件。符号5对于F-可测随机变量X和Y，我们写X>Y（分别为X≥ Y、如果X（ω）>Y（ω）表示所有ω∈ Ohm （分别为X（ω）≥ 对于所有ω，Y（ω），X（ω）=Y（ω）∈ Ohm).2.1概率和鞅测度设P:=P(Ohm) 是所有概率的集合(Ohm, F）和Cb:=Cb(Ohm) 平面上连续有界函数空间Ohm. 除非明确说明，我们赋予P弱*拓扑σ（P，Cb），因此（P，σ（P，Cb））是一个波兰空间（详见[AB06]第15章）。拓扑σ（P，Cb）中pn到P的收敛性用Pnw表示→ P与集Q的σ（P，Cb）闭包 P将用Q表示。我们定义了元素P的支持∈ P assupp（P）=\\{C∈ C | P（C）=1}其中C是(Ohm, d）。

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2022-5-6 10:25:55

在我们的假设下，支持度由supp（P）={ω给出∈ Ohm | P（Bε（ω））>0表示所有ε>0}，其中Bε（ω）是半径ε以ω为中心的开放球。定义6我们说P∈ 如果supp（P）=Ohm 我们用P+表示：={P∈ P |支持（P）=Ohm}具有完全支持的所有概率度量集。观察P∈ P+当且仅当P（A）>0时，对于每一个开放集A。因此，从拓扑角度来看，完全支持度量是重要的，因为它们为开放集分配正概率。定义7 F-鞅测度集isM（F）={Q∈ P | S是a（Q，F）-鞅}。（3）当过滤不模糊时，我们设置：M:=M（F）和M+=M∩ P+。定义8让P∈ P和G F是F的一个子s igma代数。非负X的广义条件透视∈ L(Ohm, F、 R）定义为：EP[X | G]：=limn→+∞EP[X∧ n | G]，对于X∈ L(Ohm, F、 R）我们设置EP[X | G]：=EP[X+|G]- EP[X-| G] ，在这里我们采用了公约∞ - ∞ = -∞. 条件期望的所有基本属性仍然成立（例如，请参见[FKV09]）。特别是如果Q∈ M和H∈ H然后EQ[Ht·（St- 圣-1） |英尺-1] =Ht·EQ[（St）- 圣-1） |英尺-1] =0 Q-a.s.，因此等式[VT（H）]=0 Q-a.s.3套利∈ 回想一下V+H:={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）>0}且V（H）=0。定义9让P∈ 经典套利是一种交易策略∈ H以至于：oVT（H）≥ 0便士-a、 P（V+H）>0我们用na（P）表示不存在P-经典套利。回想一下引言中对套利的定义。定义10一些套利的例子：1。当S={C时，H是1p套利∈ F | C 6=}. 这是套利中最薄弱的概念，因为V+Hmight减少到一个点。1便士套利对应于[Ri11]给出的定义。

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2022-5-6 10:25:58

这可以很容易地推广到以下n点套利的概念：H是np套利When ns={C∈ F | C至少有n个元素}，可能对Ohm （最多）可数。2.当S={C时，H是开放套利∈ B(Ohm) | C打开非空}。当s={C时，H是P′-q.s.套利∈ 对于某些P，F | P（C）>0∈ P\'}，对于固定家庭而言注意S=（N（P′）c，P′极集合的补集。如果：H，则不存在P′-q.s.套利∈ 这是VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm => VT（H）=0 P′-q.s。该定义类似于[BN13]中的无套利条件，唯一的区别在于我们需要VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm, 而在引用的参考文献中，仅要求vt（H）≥ 0 P′-q.s。。因此，在[BN13]中，无P′-q.s.套利是一个弱于无套利的条件。当s={C时，H是P-a.s.套利∈ F | P（C）>0}对于固定P∈ P.在前面的例子中，无P-a.s.套利条件比无P-经典套利条件弱，唯一的区别是这里我们需要VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm, 而在经典定义中，只需要VT（H）≥ 0个P-a.s.5。当S={Ohm} , 本着[AB13，DH07，CO11]的精神。当S={Cε（ω）|ω时，H是ε-套利∈ Ohm} , 其中ε>0是固定的，Cε（ω）是封闭的(Ohm, d）半径ε，以ω为中心。显然，对于任何类别的S，都没有1p套利=> 无套利=> 无套利模型（4），这些概念仅取决于金融市场的性质，不一定与任何概率模型相关。注11：以上定义的无套利概念，以及非免费午餐的可能泛化，也可以在更一般的连续时间金融市场模型中考虑。

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能者818

2022-5-6 10:26:03

我们选择在离散时间框架中展示我们的理论，因为下一节中的后续结果将在很大程度上取决于离散时间设置。例12我们方法的灵活性取决于S类的任意选择Ohm = C（[0，T]；R）是一个波兰空间，它曾被赋予上确界范数k·k∞. 我们可以考虑两个阶级∞= {k·k中的开球∞} S={k·k}中的开球，其中kωk=RT |ω（t）| dt。注意，由于积分算子rt |·| dt:C（[0，T]；R）→ R isk·k∞-k·kis中的每一个开放球在k·k中也是开放的∞. 因此，每一个类别的套利也是一个类别的套利∞但事实并非如此。例如，考虑一个由基础过程和数字期权描述的市场，其中只允许在一组有限时间{0，1，…，T进行交易- 1}. 定义S（ω）=Sω∈ Ohm 对于基础，St（ω）=ω（t），对于b:={ω| St（ω）的选项，St（ω）=1B（ω）1T（t）∈ （s）- ε、 s+ε）T∈ [0，T]}。时间T时期权中的多头头寸- 1是高级公寓吗∞即使在参考概率P∈ P是固定的，当且仅当存在时间t时，市场允许P-经典套利∈ {1，…，T}和一个随机向量η∈ L(Ohm, 英尺-1，P；Rd）使得η·（St-圣-1) ≥ 0 P-a.s.和P（η·（St-圣-1） >0）>0（见[DMW90]或[FS04]，提案5.11）。在我们的上下文中，在一定的时间间隔[0，T]内，套利的存在并不一定意味着套利在集合S上实现的单个时间步的存在。相反，它可能发生，代理需要在多个时间段内实施策略，以实现套利。下面的示例正好显示了发生这种现象的一个简单案例。

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可人4

2022-5-6 10:26:07

记得我(Ohm, FRd）是上的Rd值F-可测随机变量集Ohm.例13考虑由两个风险资产S，Son（R，B（R））组成的两阶段市场模型，其由以下轨迹描述：3→ 3 ω ∈ A5ω∈ A2→ 2 1 ω ∈ A1→ 1 ω ∈ AS:7→ 7 ω ∈ A3ω∈ A2→ 2 1 ω ∈ A1→ 1 ω ∈ Acosider H=(-1，+1）和H=（1A）∪A.-1A∪A）。然后H·（S）-S） =41A和H·（S）-S） =21A。选择A=Q∩ （0,1），A=（R\\Q）∩ （0,1）和A=[1+∞), A=(-∞, 0]我们观察到，开放套利只能通过两步策略获得，而在每一步中，我们只有1p套利。通常，多步策略在时间T实现套利，即使它不一定每次都产生正收益：即可能存在一个T<T，使得{Vt（H）<0}6=. 例32就是这样。在本节的剩余部分St=[St- 圣-1.Sdt- Sdt-1].引理14策略H∈ H是1p套利当且仅当存在时间t时∈ 一、 α∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）和非空a∈ f如α（ω）·St（ω）≥ 0 ω ∈ Ohmα(ω) · 在一个（5）证明中St（ω）>0。(=>) 让H∈ H可能是1便士的套利。Sett=min{t∈ {1，…，T}Vt（H）≥ 对于某些ω，Vt（H）（ω）>0时为0∈ Ohm}.Ift=1，α=hs满足要求。如果t>1，根据定义，{Vt-1（H）<0}6= 或{Vt-1（H）=0}=Ohm . 在第一种情况下，对于α=Ht{Vt-1（H）<0}我们有α·圣≥ 0与{Vt]上的严格不等式-1（H）<0}。在后一种情况下，α=hT满足要求。(<=) 以α为例∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）根据假设和定义H∈ H乘以Hs=0，每s 6=tand Ht=α。因此，对于每个ω，VT（H）（ω）=VT（H）（ω）∈ Ohm 所以VT（H）≥ 0和{ω∈ Ohm |VT（H）（ω）>0}={ω∈ Ohm | α · St（ω）>0}这结束了证明。备注15请注意，只有(<=) 前一个引理的结论适用于开放套利。

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2022-5-6 10:26:11

这意味着，如果我们能找到一个时间t，就存在一个公开套利∈ 一、 α∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）和一套a∈ 包含一个开放集，使得（5）成立。另一方面，如例13所示，相反的情况通常是错误的。下面的引理通过策略的多步分解提供了套利的完整特征。引理16（碎片整理）策略H∈ H是一个套利，当且仅当存在时：o一个有限族{Ut}t∈我和Ut∈ 犹他州金融时报∩ 美国= 每t 6=s和st∈IUT包含一个集合策略∈ H使VT（bH）≥ 0开Ohm, 和bht·对于任何Ut6=.证据(=>) 让H∈ H是一个等级S的套利。定义Bt={Vt（H）>0}和U=B=> H·S（ω）>0 ω ∈ UU=Bc∩ B=> H·S（ω）>0 ω ∈ UUT-1=Bc∩ . . . ∩ BcT-2.∩ 英国电信-1.=> HT-1· 装货单-1(ω) > 0 ω ∈ 美国犹他州-1UT=Bc∩ . . . ∩ BcT-2.∩ BcT-1.∩ V+H=> HT·ST（ω）>0 ω ∈ 根据{U，U，…，UT}的定义，我们得到了V+HSTi=1Ui。SetbH=手动考虑每2次的策略≤ T≤ T由bht（ω）=Ht（ω）1Dt给出-1（ω），其中Dt-1=t-1[s=1Us！c.按构造bh∈ H和BHT·对于每个ω，St（ω）>0∈ 美国犹他州。(<=) 相反的含义是微不足道的。4套利和鞅测度在全面讨论这个话题之前，我们对这个问题提供了一些见解，并介绍了一些例子，这些例子将有助于发展我们对所采用方法的直觉。所需的技术工具将在第4.2节和第4.3节中说明。考虑MN的极集合族：={A A′∈ F|Q（A′）=0 Q∈ M} 。在Nutz和Bouchard[BN13]中，NA（P′）的概念适用于任何固定的家庭P′ P定义为：VT（H）≥ 0 P′的- q、美国。=> VT（H）=0p′- q、其中H是一个可预测的过程，可测量F的普遍完备性。

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2022-5-6 10:26:15

[BN13]中的一个主要结果断言，在NA（P′）下，存在一类共享P′的相同极集的马氏测度Q′。如果我们取P′=P，那么NA（P）等价于No（普遍可测量的）1p套利，因为P包含所有狄拉克测度。此外，P的极集合类是空的。在第4.4节中，我们将证明，作为命题34的结果，同样的结果在我们的环境中也是成立的。一类无极集鞅测度的存在性意味着ω ∈ Ohm 存在Q∈ M使得Q（{ω}）>0Ohm 是一个可分空间，我们可以找到稠密集D:={ωn}∞n=1，与Qn相关∈ M、如此∞n=1nqn是一个完全支持鞅测度（见引理76）。我们有以下含义。无1便士套利==> M+6=.2.M+6= ==> 没有公开套利。证据1的证明。推迟到第4.4节。我们证明2。通过观察任意开集O和Q∈ 我们有Q（O）>0。因为安∈ 使VT（H）≥ 我们有Q（V+H）=0，那么V+H不包含任何开集。然而，例18注意到，完全支持鞅测度的存在与1p套利是相容的，因此1的逆蕴涵。17号提案不成立。让(Ohm, F） =（R+，B（R+）。考虑一种风险资产的市场：S=2=3 ω ∈ R+\\Q2ω∈ Q+（6）那么显然存在1p套利，即使存在完全支持鞅测度（这些概率仅为每个有理数分配正质量）。一旦我们通过在定义10中采用任何其他无套利条件来削弱无1p套利，就无法保证鞅测度的存在，如第4节所示。1.

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2022-5-6 10:26:19

为了获得M 6= 无模型独立套利（无套利条件中最弱的一种）我们将扩大过滤，如第4.5.4.1节示例所述。本节提供了各种反例，以反驳在无模型框架下制定FTAP的许多可能猜测。一个财务上有意义的例子是[DH07]中公式化的两个现货价格p=pB相同但执行价格K>K的看涨期权中的一个，它已经强调了不存在模型独立性和鞅测度之间的等价性是不可能的。我们考虑一个单周期市场（即T=1），其(Ohm, F） =（R+，B（R+），d=2时，除无风险资产S=1外，S=[S，S]）。容许交易策略由向量H=（α，β）表示∈ Rso thatVT（H）=αS+βS、在哪里Si=Si- Sifor i=1，2。设S=[S，S]=[2，2]，S=3 ω ∈ R+\\Q2ω∈ Q+；S=1+exp（ω）ω∈ R+\\Q1ω=01+exp(-ω) ω ∈ Q+\\{0}（7）和F=FS。我们注意到以下简单的事实。1.没有鞅测度：M= .事实上，如果我们用Mit表示ithasset的鞅测度集，我们有M={Q∈ P | Q（R+\\Q）=0}和Q∈ M、 Q（R+\\Q）>0.2。策略的最终值H=（α，β）∈ RisVT（H）=α+β（exp（ω）- 1) ω ∈ R+\\Q-βω=0β（exp(-ω) - 1) ω ∈ Q+\\{0}。只有策略是H∈ Rhavingβ=0和α≥ 0满足VT（H）（ω）≥ 0表示所有ω∈ Ohm.对于β=0和α>0，V+H=R+\\Q，因此不存在开放套利和模型独立套利（但M=). 即使我们对过程S或容许策略H施加了无约束限制，这一事实仍然存在，如下面对示例的修改所示：设S=[2,2]，取S=[2+exp(-ω） [1R+\\Q+21Q+和S=[1+exp（ω）∧ 4] 1R+\\Q+1{0}+[1+exp(-ω） [1Q+\\{0}.3。

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2022-5-6 10:26:23

设置H+：={H∈ H | VT（H）≥ 0和V（H）=0}所以我们有∈H+V+H=R+\\Q$Ohm.这表明条件M= 不等于toSH∈H+V+H=Ohm i、 e.鞅测度集不是空的，因为对于每一个ω，都存在一个策略H，它在ω上给出正财富，V（H）=0。为了恢复这两个概念之间的等价性（如命题43），我们需要按照第4.5.4节所解释的方式扩大过滤。由于FTAP为真，且M=. 的确：（a）如果P（R+\\Q）=0，那么β=- 1（α=0）产生P-经典套利，因为V+H=Q+和P（V+H）=1（b）如果P（R+\\Q）>0，那么β=0和α=1产生P-经典套利，因为V+H=R+\\Q和P（V+H）>0.5。相反，通过采用P-a.s.套利（VT（H）（ω）的定义≥ 0表示所有ω∈ Ohm 当P（V+H）>0时，有两种可能性：（a）如果P（R+\\Q）=0，则不存在P-a.s.套利，因为只有策略H∈ Rhavingβ=0和α≥ 0满足VT（H）（ω）≥ 0表示所有ω∈ Ohm V+H=R+\\Q.（b）如果P（R+\\Q）>0，那么β=0和α=1产生一个P-a.s.套利，因为V+H=R+\\Q和P（V+H）>0.6。几何方法：如果我们绘制向量[sS] 在实平面上（见图1），我们看到存在一个由垂直轴给出的唯一分离超平面。因此，1p套利只能通过投资第一项资产（β=0）产生。对于分离超平面，我们指的是一个经过原点的超平面，并且其中一个相关的半空间包含（不一定严格包含）随机向量的所有图像点[sS] 。现在让我们考虑另一个关于（R+，B（R+）的例子。设S=[2,2]，and=3 ω ∈ R+\\Q2ω=01ω∈ Q+\\{0}S=7 ω ∈ R+\\Q2ω=00ω∈ Q+\\{0}（8）在示例（7）和（8）中都存在分离超平面，即可以得到1p套利（见图1）。

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2022-5-6 10:26:26

在示例（7）中，M是空的，我们发现了一个唯一的分隔超平面：这个超平面不能对集合进行严格分隔[S（ω），S（ω）]ω∈Q+，即使Q+不支持任何鞅度量。在例（8）中，M={Δω=0}，只有事件{ω=0}支持鞅测度，并且存在一个有限数量的超平面，它严格地分隔了极性集R+\\Q和Q+\\{0}的图像，即图1中分隔凸灰色区域的超平面。总之，前面的例子表明，在无模型环境中，套利条件不能暗示阿马廷格尔测度的存在——至少是目前所考虑的类型。这是无模型和准确定分析方法之间的一个重要区别（参见示例[BN13]）：图1：在示例（7）和（8）中，0不属于点生成的凸集的相对内部{[S（ω），S（ω）}ω∈Ohm因此存在一个分隔点的超平面。-4.-2 2 4-2.S2S1Ex。(5)-4.-2 2 4-2.S2S1Ex。（6）图例：R+\\Q{0}Q+\\{0}o无模型方法：我们直接从基础市场结构推导鞅测度集M的“丰富性”(Ohm, F、 S）我们分析了关于M.准肯定方法的极化集类：先验P′类给出了P及其极集，并给出了一个无套利型条件，以保证一类与先验集具有相同极集的鞅测度的存在性。套利的另一种定义。无P-经典套利的概念（P（VT（H）<0）=0=> P（VT（H）>0）=0）可以重新表述为：V（H）=0，{VT（H）<0}可以忽略不计=> {VT（H）>0}可以忽略不计（9）或在我们的设置中-HDoE不包含S中的集合=> V+H不包含S.（10）中的集合，其中V-H:={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）<0}。

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2022-5-6 10:26:30

在定义（10）中，我们放弃了要求vt（H）≥ 0，因此本节示例第5项中所示的套利机会存在差异消失。然而，套利的这种替代定义并不适用，如下例所示。考虑一下(Ohm, F） =（R+，B（R+），一个有一项风险资产的单期市场：S=2，S=3 ω ∈ [1, ∞)2ω=[0,1）\\Q1ω∈ [0, 1) ∩ 问题（11）考虑购买风险资产的策略：H=1。然后V-H=[0,1）∩ Q不包含开集，V+H=[1，∞) 包含开放集。因此，存在公开套利（在（10）中获得的修改定义中），但存在完全支持鞅测度，例如q（[0,1）∩ Q） =Q（[1，∞)) =. 还要注意的是，通过扩大过滤，公开套利将持续下去。Cassese[C08]引入了一个类似于（9）的无套利概念，采用了“可忽略”集合的理想——不一定来自概率测度。在一个连续的时间序列中，他证明了没有这种套利等价于一个完全可加的“鞅测度”的存在。我们的结果与[C08]的结果不具有可比性，因为市场明显不同，我们不要求在家族S和[C08]工作上有任何结构，并采用完全相加的度量。

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可人4

2022-5-6 10:26:33

此外，刚刚讨论的示例（11）显示了我们对定义（9）的设置的限制，该定义用于找到具有适当属性的鞅概率测度。4.2技术引理称为S=（St）t∈定义在波兰空间上的Rd值随机过程Ohm 赋予它的Borelσ-代数F=B(Ohm) 而我：={1，…，T}。在本文的其余部分中，我们将使用自然过滤系数FS={FSt}t∈对于进程S，为了便于记法，我们将不指定S，只为FSt编写FTT。为了简单起见，我们用Z表示：=Mat（d×（T+1）；R） d×（T+1）矩阵的空间，实数项表示价格过程所有可能轨迹的空间。也就是每ω∈ Ohm 我们有（S（ω），S（ω）。。。，ST（ω））=（z，z，…，zT）=:z∈ Z.修复s≤ t:任何z∈ 我们用zs:t=（zs，…，zt）和zt:t=zt表示从s到t的分量。类似地，t=（Ss，Ss+1，…，St）表示从时间s到t的过程。我们用ri（K）表示集合K的相对内部 Rd.在本节中，我们将在价格过程的增量中广泛使用图像的几何特性St:=St-圣-与一套有关 Ohm. 我们将考虑的典型集合是水平集Γ=∑zt-1，式中：∑zt-1:= {ω ∈ Ohm | S0:t-1（ω）=z0:t-1} ∈ 英尺-1，z∈ Z、 t∈ I（12）和Γ=Azt-1，水平集的交点∑zt-一套一套的∈ 英尺-1:Azt-1:= {ω ∈ A | S0:t-1（ω）=z0:t-1} ∈ 英尺-1.（13）任何 Ohm 定义凸锥体：(St（Γ））cc:=co卷积和多项式相乘圣（Γ）∪ {0} 第（14）条如果0∈ 里(我们不能将超平面分离定理应用于凸集{0}和ri(St（Γ））cc，即没有H∈ RDS满足H·St（ω）≥ 0表示所有ω∈ Γ对其中一些人来说，这是一个严格的不平等。

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何人来此

2022-5-6 10:26:38

从直觉上看，如下面的推论21所示，0∈ 里(St（Γ）ccif，且仅当集合Γ上不可能存在1p套利时，因为具有非零回报的交易策略总是产生积极和消极的结果。在这种情况下，对于Γ=∑zt-1，水平集不适合构造一个套利机会，具有这个性质的集对于构造鞅测度自然很重要。然后我们希望确定，对于Γ=∑zt-1满意0/∈ 里(St（Γ））cc，∑zt的子集-1保留该财产的人。这个结果包含在下面的关键引理20中。首先观察凸锥K的情况 rd0/∈ 我们可以考虑家庭∈ Rd | kvk=1和v·y≥ 0 Y∈ K} 所以thatK=\\v∈ V{y∈ Rd | v·y≥ 0}=\\n∈N{y∈ Rd | vn·y≥ 0}，其中{vn}=（Qd∩ V）\\{0}。定义19采用上述符号，我们将调用∞n=1n-1vn∈ V标准分离器。引理20修正t∈ 田Γ6=. 如果0/∈ 里(然后存在β∈ {1，…，d}，H，Hβ，B，Bβ，B*和你好∈ 比亚迪 Γ和B*:= Γ \\∪βj=1Bj这样：1。Bi6= 对于所有i=1。β、和{ω∈ Γ | St（ω）=0} B*可能是空的；2.Bi∩ Bj= 如果I6=j；3.我≤ β、嗨·对于所有ω，St（ω）>0∈ 比安你好·St（ω）≥ 0表示所有ω∈ ∪βj=iBj∪ B*.4.H∈ Rds。t、 H·圣≥ B上0*我们有H·B上的St=0*.此外，对于z∈ Z、 A∈ 英尺-1和Γ=Azt-1（或Γ=∑zt-1）我们有Bi，B*∈ FtandH（ω）：=βXi=1HiBi（ω）（15）是一个Ft可测量的随机变量，当我们采用每个HithestStandard分离器时，它是唯一确定的。显然在这些情况下，β，Hi，H，bian和B*将取决于t和z，必要时，它们将用βt、z、Hit、z、Ht、z、Bit、zand和B表示*t、 z.证明。设置A:=Γ和K=(St（Γ））cc 然后让:= {ω ∈ A|St（ω）=0}，它可以是空的。第一步：设定K RDI是非空的和凸的，所以riK6= .

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2022-5-6 10:26:42

根据假设/∈ 里K存在一个标准的分隔符H∈ Rd使得（i）H·St（ω）≥ 所有ω为0∈ A.（ii）B:={ω∈ A | H·St（ω）>0}是非空的。集合A:=（A\\B）={ω∈A | H·St（ω）=0}设K:=(St（A））cc，这是一个带dim（K）的非空凸集≤ D- 1.如果0∈ 里K（这包括K={0}的情况）这个过程已经完成：我们无法将{0}从K的相对内部分离出来。结论是β=1，B*= A=A\\b可能是空的，并且 B*. 注意，如果K={0}，那么B*= 它可能是空的。否则：第2步：如果0/∈ 里K我们找到了标准的分隔符H∈ rdh·St（ω）≥ 0表示所有ω∈ A、集合B：={ω∈ A | H·St（ω）>0}是非空的。表示A:=（A\\B）并让K=(St（A））带dim（K）的CCC≤ D- 2.如果0∈ 里K（包括K={0}）程序已经完成，我们得到了β=2和B的结论*= A\\B=A\\（B∪ B），及 B*. 注意，如果K={0}，那么B*= . 否则：。。。步骤d-1如果0/∈ 里杜兰特-2....设置Bd-16= , 公元-1=（广告）-2\\Bd-1），Kd-1= (圣（公元）-1））ccwithdim（Kd-1) ≤ 1.如果0∈ 里杜兰特-1.程序完成了。否则：步骤d：我们必须有0/∈ 里杜兰特-1., 因此，dim（Kd-1） =1，凸锥Kd-1必然与原点为0的半直线重合。然后我们找到一个标准的分离器HD∈ Rd使得：Bd:={ω∈ 公元-1 | Hd·St（ω）>0}6= 挫折呢*:= {ω ∈ 公元-1| St（ω）=0}={ω∈ A|St（ω）=0}=满意度：B*= 公元-1\\Bd.设置广告：=Ad-1\\Bd=B*= 和Kd:=(St（Ad））cc。然后kd={0}。自昏暗(St（Γ））cc≤ d我们最多有d步。在β=d的情况下，我们有Γ=A=Sdi=1Bi∪ .为了证明最后一个断言，我们注意到，对于任何固定的t和z，bia是可测量的，因为Bi=Azt-1.∩ （f）o （圣）-1((0, ∞)) 其中f:Rd7→ R是连续函数f（x）=Hi·（x- zt-1）维希∈ 固定。推论21 Let t∈ 一、 z∈ Z、 A∈ 英尺-1，Γ=Azt-1.然后0∈ 里(St（Γ）ccif，且仅当Γ上没有1p套利，即：所有H∈ Rds。T

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nandehutu2022

2022-5-6 10:26:46

H（圣- zt-1) ≥ 0在Γ我们有H（St- zt-1） =Γ上的0。（16）证据。让0/∈ 里(St（Γ））cc。然后从引理20-3）中，在i=1的情况下，我们得到了一个1p套利方程∪βj=1Bj∪ B*, 因为B6=. 维切维萨，如果0∈ 里(St（Γ）我们从下面的等式（14）中得到（16）。定义22∈ 英尺-1和Γ=Azt-我们自然地将βt，zin引理的定义扩展到0的情况∈ 里(St（Γ）表示βt，z=0·<=> 0∈ 里(St（Γ））与Bt的CCBT，z= B*t、 z=Azt-1.∈ 英尺-1.在这种情况下，我们还将（15）中随机变量的定义扩展为Ht，z（ω）≡ 0.推论23 Let t∈ 一、 z∈ Z、 A∈ 英尺-1和Γ=Azt-1和0/∈ 里(St（Γ））cc。无论如何∈ pst.P（Γ）>0设j:=inf{1≤ 我≤ β| P（位，z）>0}。如果j<∞ 交易策略h（s，ω）：=HjΓ（ω）1{t}（s）是P-经典套利。证据从引理20-3）我们得到：HjBjt上的St（ω）>0，zp（Bjt，z）>0；HjSt（ω）≥ 0μsβt，zi=jBit，z∪ B*t、 zand P（Bkt，z）=0表示1≤ k<j.备注24让D RDC和C:=（D）cc Rdbe是由D生成的凸锥。如果0∈ ri（C）那么对于任何x∈ D存在一定数量的元素xj∈ 使得0是{x，x，…，xm}与严格正系数x的凸组合∈ 对任何凸集C重新调用 Rdwe haveri（C）：={z∈ C|十、∈ Cε>0 s.t.z- ε（x）- z）∈ C} 。作为0∈ ri（C）和x∈ D 我们得到-εx∈ C、对于某些ε>0，因此：ε1+εx+1+ε(-εx=0。自从-εx∈ C然后它是D元素的非负系数的线性组合，我们得到：ε1+εx+1+εPmj=1αjxj=0，可以重写-可能将系数规范化-as:λx+Pmj=1λjxj=0，使用xj∈ D、 λ+Pmj=1λj=1，λ>0和λj≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-6 10:26:50

当布景变暗时 RDI是过程增量的图像点集[St（ω）]ω∈Γ，对于固定时间t，这一观察结果表明，无论我们选择ω∈ Γ我们可以构造一个相对于周期[t]的条件鞅测度- 1，t]，为ω赋予严格的正权重，并具有有限的支撑。测量值由方程中的系数{λ，λ，…，λm}确定：0=λSt（ω）+Pmj=1λjSt（ωj）。这个启发性论点在下面的推论中是精确的，它也将在命题34的证明中使用。推论25设z，t，Γ=Azt-1和B*t、引理20中的zas。为了所有的你 B*t、 z，U∈ F存在Q∈ M（B）*t、 z）s.t.Q（U）>0，其中M（B）={Q∈ P | Q（B）=1和EQ[St | Ft-1] =St-1Q-a.s.}，对于B∈ F.证据。引理20-4）不存在限制在Γ=B的1p套利*t、 z.应用推论21这意味着0∈ 里(St（B）*t、 z）cc。取任意ω∈ U B*t、 z.将备注24应用于集合D:=St（B）*t、 z）到x:=St（ω）∈ D、我们推导出{ω，…，ωm}的存在性 B*t、 zand非负系数{λt（ω），…，λt（ωm）}和λt（ω）>0，使得：λt（ω）+Pmj=1λt（ωj）=1和0=λt（ω）St（ω）+mXj=1λt（ωj）St（ωj）。因为{ω，…，ωm} B*t、赞德ω∈ B*t、我们有圣-1（ωj）=zt-1街-1（ω）=zt-1.因此：0=λt（ω）（St（ω）- zt-1） +mXj=1λt（ωj）（St（ωj）- zt-1），（17）使Q（{ω}）=λt（ω）和Q（{ωj}）=λt（ωj），对于所有j，给出期望的概率。例26(Ohm, F） =（R+，B（R+），考虑一个d=3的单期市场，设St=[St，St，St]，t=0，1，S=[2，2，2]。let（ω）=1 ω ∈ R+\\Q2ω∈ Q∩ [1/2, +∞)3 ω ∈ Q∩ [0，1/2）S（ω）=2 ω ∈ R+\\Q1+ω∈ Q∩ [1/2, +∞)1 + ωω ∈ Q∩ [0,1/2）S（ω）=2 + ωω ∈ R+\\Q2ω∈ Q∩ [1/2, +∞)2 ω ∈ Q∩ [0,1/2）固定t=1和z∈ 在这种情况下，很容易检查βt，Z=2和Bt，Z=R+\\Q，Bt，Z=Q∩ [0,1/2），B*t、 z=Q∩ [1/2, +∞).

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2022-5-6 10:26:54

相应的策略H=[H，H，H]（引理20意义上的标准）由Ht，z=[0,0,1]和Ht，z=[1,0,0]给出。注意，Ht，zi是一个1p套利，V+Ht，z=Bt，z。因此，对于任意鞅测度，Bt，zi是一个空集。战略Ht，z代表VT（Ht，z）≥ （Bt，z）C上的0，V+Ht，z=Bt，zhence，Bt，zis也是一个M极性集。本例显示了需要多个分离参数，因为不可能找到单个分离超平面H∈ Rdt，使图像指向Bt，z∪ Bt，z（M极），通过随机向量S、严格地包含在一个相关的半空间中。我们确实知道Bt，zi是{ω}的子集∈ Ohm | Ht，z（S）- S） =0}其中Ht，zi是这个市场上唯一的1p套利。推论23和25显示了集合B和B之间的差异*. 限制在时间间隔内- 1，t]，质量集中在B上的概率度量*允许一个等价的鞅测度，而对于那些赋予至少一个正质量的概率，可以构造一个套利机会。我们可以把可能的情况总结如下。Γ=Azt的推论27-1.带着∈ 英尺-1，以及推论25中定义的M（B）：1。B*t、 z=Azt-1.<=> Azt无1便士套利-1·<=> 0∈ 里(圣（Azt）-1））抄送。2.B*t、 z= <=> 0 /∈ 卷积和多项式相乘圣（Azt）-1)3.βt，z=1和B*t、 z6= ==> H∈ Rd\\{0}s.t.B*t、 z={ω∈ Azt-1 | H（St（ω）- zt-1） =0}是“martingalizable”，即。U B、 B∈ F存在s Q∈ M（Azt）-1） s.t.Q（U）>0。ss图2：分解Ohm 例26:Bt、zin red Bt、zin green和B*t、 zin blueProof。等价物1。紧接着是推论21和定义22。展示2。我们使用Kii=1的集合，βt，zand和引理20证明中的其他符号。首先假设0/∈ 卷积和多项式相乘圣（Γ）这意味着0/∈ 里(圣坎德= .

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2022-5-6 10:26:58

假设我们有0/∈ 卷积和多项式相乘St（C）对于任何子集C Γ因此，特别是0/∈ ri（Ki）unlessKi={0}。这意味着B*t、 z== .假设现在0∈ 卷积和多项式相乘圣（Γ）. 如果0∈ 里(第一（Γ）cc，根据定义22，我们有B*t、 z=Γ6=.假设0/∈ 里(St（Γ））cc。作为0∈ 卷积和多项式相乘圣（Γ）存在n≥ 1使得：0=Pnj=1λj（St（ωj）- zt-1），其中pnj=1λj=1，λj>0，ωj∈ Γ对于所有j.如果0是极值，则n=1，St（ω）- zt-1=0和{ω}∈ B*t、 z.如果n≥ 2我们有0∈ 康夫(St{ω，…，ωn}）所以对于任何H∈ RDS满足H·St（ωi）≥ 0表示任何i=1，n我们有H·St（ωi）=0。因此{ω，…，ωn} B*t、 ZB的定义*t、 z.我们通过显示3来结束。从引理20第3项和第4项，如果我们选择H=Hthen{ω∈ Γ| H（St（ω）- zt-1） =0}=Γ\\Bt，z=B*t、 z6= 在B*t、 zwe可以将推论25.4.3应用于我们考虑的任何t的M极集合∈ I西格玛代数Ft:=TQ∈MFQt，其中fqt是Ft的Q-完成。fti是关于M=M（F）的Ft的普遍完成。请注意，这种扩大过滤的引入需要对整个M类鞅测度的先验知识。回想一下，任何度量Q∈ M可以唯一地扩展到放大的sigmaalgera-FTso上的一个度量，我们可以稍微滥用符号M（F）=M（F），其中F:={Ft}t∈我们现在想证明，在任何鞅测度下，引理20中引入的集合位z（及其任意并）必须是空集。为此，我们需要回顾适当正则条件概率的一些性质（见定理1.1.6、1.1.7和1.1.8 inStroock Varadhan[SV06]）。定理28 Let(Ohm, F、 Q）是一个概率空间，其中Ohm 是一个波兰空间，F是Borelσ代数，Q∈ P.让我来 F是F的一个可数生成的亚西格玛代数。然后存在一个适当的正则条件概率，即。

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2022-5-6 10:27:02

a函数QA（·，·）：(Ohm, F）七,→ [0,1]这样：a）对于所有ω∈ Ohm, QA（ω，·）是F上的概率测度；b）每个b∈ F、函数QA（·，B）是Q（B | a）（·）的一个版本；c）N∈ A的Q（N）=0，使得QA（ω，B）=1B（ω）表示ω∈ Ohm \\ N和B∈ Ad）此外，如果X∈ L(Ohm, F、 Q）然后等式[X | A]（ω）=ROhmX（ω）QA（ω，dω）Q- a、回想一下，Ft=FSt，t∈ 一、是可数生成的。引理29修正t∈ I={1，…，T}，A∈ 英尺-1，Q∈ M代表z∈ 以Azt为例-1:= {ω ∈ A | S0:t-1（ω）=z0:t-1}. 然后[z∈Z{ω∈ Azt-1s。t、 QFt-1(ω, ∪βt，zi=1Bit，z）>0}是Ft的子集-1-可测Q-零集。证据如果Q（A）=0，则无需显示任何内容。现在假设Q（A）>0。在这个证明中，为了简单起见，我们设置了X:=St，Y:=EQ[X | Ft-1] =St-1Q-a.s.β：=βt，zand a:=英尺-1=FSt-1.SetDzt:=nω∈ Azt-那么QA（ω，∪βi=1Bit，z）>0o。如果z∈ Z等于0∈ 里(圣（Azt）-1））那么∪βi=1比特，z= 和Dzt=. 所以我们只能考虑这些z∈ Z使得0/∈ 里(圣（Azt）-1））抄送。修正这样的z。因为A=FSt-1是可数生成的，Q允许一个适当的正则条件概率QA。从定理28d）我们得到：Y（ω）=ZOhmX（ω）QA（ω，dω）Q- a、作为Azt-1.∈ A、根据定理28 c）存在一个集合N∈ A的Q（N）=0，因此QA（ω，Azt-1） =1在Azt上-1\\N因此我们有OhmX（ω）QA（ω，dω）=ZAzt-1X（ω）QA（ω，dω）ω ∈ Azt-1\\N（18）自0起/∈ 里(我们可以应用引理20：对于任何i=1，β、你好∈ Rdsuchthat Hi·（X（℃ω）- zt-1) ≥ 0表示所有√ω∈ ∪βl=iBlt，z∪ B*t、 zand Hi·（X（)ω）- zt-1）对于每一个ω>0∈ 比特，z，现在我们乘以ω∈ Dzt\\N Azt-1\\N.然后索引j:=min{1≤ 我≤ β| QA（ω，位，z）>0}定义良好，且：i）Hj·（X（~ω）-zt-1）在Bjt，z上>0，（ii）QA（ω，Bjt，z）>0 iii）Hj·（X（～ω）-zt-1) ≥ 0on∪βl=jBlt，z∪ B*t、 z；iv）对于i<j，QA（ω，位，z）=0。

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