当考虑参数方法时，静态VaR可以通过时间序列估计方法扩展到一个动态框架下，假设下的因素为正态分布。事实上，如果在t时刻，随机变量Xt'AN(μt,σt)thenVaRp(Xt)，μt+σtq1-p，(20)作为市场风险的标准，但当使用VaR时，风险值不能降低，如前面所述。其中q1-p代表标准正态分布的分位数。然后，一旦设置了一种估计方法来分别确定μT+1和σT+1，则可以计算与XT+1相关的风险价值。本文还将讨论随机变量Xt服从Weibull分布的情形。形状参数小于1的Weibull分布是一种常见的重尾分布，可以近似多种分布函数。在实践中，给定一组数据，通常可以根据数据的方差和均值，在对Weibull分布的参数进行校准时，找出一个Weibull分布来找出数据。回想一下，如果Xtis使Weibull分布变元，参数λt>0,αt>0和θt，即xtW(λt,αt；θt)，即相关的累积分布函数θXt，由:(η>0)θXt(η),1-e-η-θtλtθαt,如果η≥θt,0,别处给出。(21)VaRp(Xt)，与Xtis相关的风险值由p=θXt VaRp(Xt)。ThenVaRp(Xt)=θt+λt-ln(1-p)αt。引理1假定随机收益(X，.，XT)是独立同分布的。假定xt'AN(μt,σt)和VaRp(X)=VaRp(X)。与X相关的基于风险值的动态递归为:varpt(X)=txk=1(-1)t-k(μk+σkq1-p)+(-1)t(μ+σq1-p)。（23）2。假定xtW(λt,αt；θt)使得与xtis相关的累积分布函数在（21）中得到，并且VaRp(X)=VaRp(X)。基于与X相关的递归的动态风险值为:varpt(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk+(-1)tθ+λ-ln(1-p)α。（24）证明：对于t=1,VaRp(X)=VaRp(X+VaRp(X))=VaRp(X)=VaRp(X)+VaRp(X).利用平移不变性，得到VaRp(X)=VaRp(X)-VaRp(X).通过归纳法，对于任何给定时间t≥1和任何自然数n≤t，VaRp(X)由:VaRp(X)=txk=t-n+1(-1)t-kvarp(X)+(-1)nvarp-n(X).（25）对于t=n，我们得到了闭式arpt(X)=txk=1(-1)t-kvarp(Xk)+(-1)tVaRp(X)。（26）1。如果Xk￣N(μk,σk)，则VaRp(Xk)=μk+σkq1-p。根据规定，VaRp(X)=VaRp(X)。通过用（26）中的Varp(Xk)的值代替Varp(Xk)，我们得到了所需的结果。若Xk→W(λk,αk；θk)，则VaRp(Xk)=θk+λk-ln(1-p)→αk。因此，用（26）中的VaRp(Xk)代替其值，得到等式（24）。如果随机收益的密度函数存在，则可以通过随机收益的密度函数的参数来解释随机收益与Markov链所表示的经济状态之间的依赖关系。例如，1。若xtíN(μt,σt)，则μt,<μs,Zt+1>和σt,<σs,Zt+1>,其中μs,σ∈Rn；2。若xtW(λt,αt；θt)，则λt,<λ,Zt+1>，αt,<α,Zt+1>和θt,<θ,Zt+1>随λ,α,θ∈Rn。引理2假定返回xta是高斯且独立的，其中μt,<μ,Zt+1>和σt,<σ,Zt+1>随μ,σ∈Rn。假设动态风险值由递归公式驱动，则Markov调制动态风险值为VaRp z(X),VaRp(X)和（27）varpt z(X)=txk=1(-1)t-k(μk+σkq1-p)+(-1)t(μ+σq1-p),（28）其中μk=<μa>，zk>和σk=<σa>，zk>。2引理3设xt→W(λt,αt；θt),其中λt,<λ,Zt+1>和θt,<θ,Zt+1>与λ,θ∈Rn。

假设动态风险值由递归公式驱动，即VaRpt(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk+(-1)tθ+λln(1-p)α,则Markov调制的动态风险值为VaRp z(X),VaRp(X)和varptz(X)=txk=1(-1)t-kθk+λk-ln(1-p)→αk zk+(-1)tθ+λln(1-p)α，(29)其中λk=<λa>，zk>和θk=<θa>,zk>。证明：证明是立即的。24.2条件风险值在风险文献中引入了条件风险值，以克服VaR的局限性；参见（Artzner et al.，1997；Embrechts et al.，1999)。则相关的CVaR是条件期望：Cvarp(X),eutlx X≥V aRp(X)。（30）下面的定理允许我们将CVaR改写为一个优化问题的解。Denotel+=max(l,0）。定理1对于任意随机变量X，当e[X]<+∞时，函数Fp(X，·)是凸的，连续可穷且cvarp(X)=minη∈RFP(X，η)。（32）上述优化问题的解集(X)=Argminη∈RFP(X,η)(33)是非空的、闭的和有界的。然后，V aRp(X)∈Argminη∈RFP(X,η)和CVaRp(X)=FP X,V aRp(X).证明：参见（Rockafellar and Uryasev,2000）。引理4假设随机收益(X，.，Xt)是独立同分布的。假定在时间t,xtéN(μt,σt)时的返回值。与X相关的基于动态条件风险值的递归是:CVaRp(X)=CVaRp(X)，对于t=1，..，T(34)CVaRpt(X)=μT+σTq1-P-Cvarpt-1(X)，如果xt≤VaRp(Lt)-2Cvarpt-1(X),则p.a.sμt-P1-P-σTq1-P+1+P1-PCvarpt-1(X)。（35）2。假定在时间t时的返回值，xt→W(λt,αt；θt)。基于与X相关的递归的动态条件风险值为:CVaRp(X)=CVaRp(X)，对于t=1，。.，T(36)CVaRpt(X)=θT+λt-ln(1-p)→αt-cvarpt-1(X),如果Xt≤VaRp(Xt)+2cvarpt-1(X),1-pe[Xt]-p1-pθT+λt-ln(1-p)→αT+1+p1-pcvarpt-1(X),其他地方。（37）证明：我们将证明1。作为2的证明。按照相同的步骤。从定义4中，基于与X isCVaRpt(X)=cvarp xt+cvarpt-1(X)-相关的递归的动态cvarpt，根据定理1，上述动态cvarpt=varp xt+cvarpt-1(X)+1-peh xt+cvarpt-1(X)-varpt-1(X)+cvarpt-1(X)+i.from（20）,varp xt+cvarpt-1(X)=μt-cvarpt-1(X)+σtq1-p。则varpt(X)=μt-Cvarpt-1(X)+σtq1-p+1-peh xt+cvarpt-1(X)-∑tq1-1(X)-σtq1-p+i，=μt-Cvarpt-1(X)+σtq1-p+2cvarpt-1(X)+I.引理5假设返回值xta是高斯且独立的，其中μt,<μ，zt+1>和σt,<σ，zt+1>带有μ，σ∈rn。假设动态风险值由递推公式驱动，则Markov调制动态风险值为CVaRp z(X)=CVaRp(X),对于t=1,。..,t cvarpt z(X)=μt+σtq1-p,如果Xt≤VaRp(Xt),则μt+p1-pσtq1-p,别处。（38）证明：按照引理2的证明步骤，使用引理4的结果。2引理6假定返回xtW(λt,αt；θt)且独立，其中λt,<λ,Zt+1>和αt,<α,Zt+1>与λ,α,θ∈Rn。假设动态风险值是由递归公式驱动的。则Markov调制的动态条件风险值为CVaRp z(X)=CVaRp(X),对于t=1,。.............................................................................................................................................................................................24.3说明通过模拟，我们将说明在两个直接问题中，在前面引理中得到的封闭动态风险公式。这说明了当随机收益为高斯型时的动态风险。

高斯回报的参数是根据1970年至2009年间MSCI世界发达市场业绩指数和马尔可夫链进行校准的。第二个重点是服从威布尔分布的随机收益。Weibull分布的参数是根据NYMEX市场上引用的一个投资组合指数（即global equityportfolio index）的历史数据来校准的。关于全球股票投资组合指数的完整风险/回报报告也可在彭博社获得。Weibull分布的参数将取决于经济状况。注意动态风险测度和马尔可夫调制风险测度相对容易计算。结果表明，递归风险测度和马尔可夫调制风险测度受静态风险测度的约束，因而可能导致较低的资本要求。4.3.1高斯回归假设xt'AN(μt,σt)。则μt，<μ，Zt+1>和σt，<σ，Zt+1>，其中μ，σ∈RN，这里=2。为了校准∑T和σT，假设风险资产的回报XèN(M,∑)（初始投资为1000美元美国），其中的平均值和标准差是根据1970年至2009年间MSCI世界发达市场表现年度指数校准的。因此，平均值为M=1 113.3425美国元，标准差为∑=186.29美国美元。然后，写∑，∑*1.05 m*0.95和σ，∑*1.05∑*0.95。对于马尔可夫链，假定转移矩阵isA=0.25 0.750.35 0.65,使得Z=[1；0]>。控制级别p被定义为0.99。考虑10天的时间范围，这是市场风险报告中通常的时间范围。然后计算并比较了市场风险的两种表现形式：静态、动态递归和马尔可夫调制风险的一种情形。图1中收集了这些结果。首先，VaR低于CVaR，这与VaRis低于CVaR的事实是一致的。其次，对于VaR和CVaR来说，递归风险和马尔可夫调制风险在大多数情况下都被静态风险所限制。我们已经绘制了马尔可夫调制风险的轨迹，但更多的模拟显示了相同的行为。请注意，RecursiverISK比其他风险更易变，因为它在某些日子导致高风险，而在其他日子导致低风险。这是因为，在投资组合中加入现金试图降低风险。4.3.2 Weibull分布的收益我们从估计Weibull分布的参数开始，即λt，αt和θt。为此，我们从Bloomberg获得的实际数据中推导出λ和α，然后生成λt，αt。假定θt=0,对于t=0,。...,T.参数λ和α是根据彭博社BBGEX在12/30/11至09/27/12期间的全球股票投资组合的回报进行校准的。作为tradedportfolio指数，历史数据和完整的风险报告（收益、风险和相对于地平线时间的风险/收益比）可以从Bloomberg获得，见图2。然后我们将λT，<λ，ZT+1>定义为λ∈R，并将λ，ρλ*1.05λ*0.95和αT，α写成allt=1，...T.用Matlab命令WBL firet求出λ=6.7679和α=0.8016。然后计算和比较了两种不同的市场风险，如图3所示。对于VaR和CVaR来说，递归和马尔可夫调制风险再次远远高于静态风险。递归风险度量的行为2 4 6 8 100 10020030040050060070080010天水平值–AT–RiskVar vs VaR–Recur Varvar–Recur 2 4 6 8 100 20040060080010001200140010天水平条件值–AT–RiskCVar vs CVaR–Recur CVARVAR–Recur 2 4 6 8 101 002003004005006000080080010天水平值–AT–RiskVar vs Markov调制VaR varz–VaR 2 4 6 8 102 00300400500600800100010001100120010天水平条件值–AT–RiskCVar vs Markov调制CVaR cvarz–VaR 2 4 6 8 102 00300400500500000010001000120010天水平与高斯返回。是comformed的，上面被静态风险限制，有时为空。

马尔可夫调制风险相对稳定且较低。图2：Bloomberg全球股票投资组合的历史数据和风险报告。0 2 4 6 8 100 10203040506010天水平VaR（百分比）VaR vs VaR-recur varvar-recur 0 2 4 6 8 100 10203040506010天水平VaR（百分比）CVaR vs CVaR-recur cvarcvar-recur 0 2 4 6 8 104 243444546474810天水平VaR（百分比）VaR vs Markov调制VaR varz-VaR 0 2 4 6 8 104 243444546474810天水平VaR（百分比）CVaR vs Markov调制CVaR cvarz cvarz-cvarz图3：威布尔回报的动态风险。总之，动态公式与文献中现有的公式相比，所提出的市场风险度量相对容易计算和解释。其次，马尔可夫调制风险比静态风险给出了更低的值，并且不需要像基于递归的风险那样多的额外现金。此外，在风险管理方面，马尔可夫调制风险可能更好，因为它们导致较低的资本要求，并通过考虑经济状况给出更好的估计。一个缺点是如何校准经济增长速度的参数。这些参数是否依赖于某种类型的回报，或者是否可以针对任何类型的资产进行校准？由于转移矩阵出现在马尔可夫调制风险封闭公式中，这些问题是开放的，也是至关重要的。5.结论利用递归公式和状态经济表示，得到了易于计算的动态风险度量公式。从平移的不变性质出发，导出了具有递归公式的动态风险。马尔可夫调制风险是基于一个表示经济状态的状态离散马尔可夫链。在这两种情况下，动态风险度量都继承了用于表示动态风险度量的初始风险度量的属性。在给定时间t下，静态风险测度不一定大于递归动态风险测度，马尔可夫调制风险测度给出的值更低。将动态风险公式扩展到一个连续的时间框架中会很有趣。《巴塞尔规则：资本计量和资本标准的国际趋同》，巴塞尔银行监管委员会，可在以下网址下载:http://www.bis.org/publ/bcbs118.pdf，2005年。.章节标题。《巴塞尔金融体系：国际流动性风险衡量、标准和监测框架》，巴塞尔银行监管委员会，可在http://www.bis.org/publ/bcbs188.pdf，2010年下载。.Acciaio,B.和Inner,I.，2011年。载于:《动态风险度量》，1-34纽约：载于G.Di Nunno和B.Uzksendal（编辑），《金融的高级数学方法》，Springer.Artzner,P.等人，1997年。连贯地思考风险。Risk，10(11)，68-71.Artzner,P.等，1999。一致的风险度量。数学金融，9,203-228.Artzner,P.等，2002。相干多周期风险度量。可下载的工作文件：//www.math.ethz.ch/~delbaen.Bellman,R.和Dreyfus,S.，1962年。应用动态规划。普林斯顿：普林斯顿大学出版社。Bertsekas和Tsitsiklis,J.N.,1996年。神经动力程序设计。贝尔蒙特：Athena Scienti,Cheridito,P.,Delbaen,F.和Kupper,M.，2005年。无界Càdlàg过程的相干凸货币风险测度。金融随机，9(3)，369-387。Cheridito,P.,Delbaen,F.和Kupper,M.，2006。有界离散时间过程的动态货币风险度量。电子概率杂志，11(3)，57-106.Cheridito,P.和Kupper,M.，2006。离散时间度量的时间一致动态货币风险的构成。出版前，Reprint.Elliott,R.J.,Aggoun,L.和Moore,J.B.,1994年。隐马尔可夫模型：估计与控制。柏林，海德堡，纽约：Springer。Embrechts,P.Resnick,S.和Samorodnitsky,G.，1999。极值理论作为风险管理工具。北美精算杂志，第3（2）,32-41页。

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