几何布朗的离散时间平均的渐近性

2022-6-1 01:16:17

.几何布朗运动和亚式期权离散时间平均的渐近性Dan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。几何布朗运动的时间平均值在数学金融中的亚式期权定价中起着至关重要的作用。本文研究了在均匀时空上采样的几何布朗运动在大量平均时间步长的限制下的离散时间平均的渐近性。我们导出了几乎确定极限、函数、大偏差以及平均值的矩生成函数的渐近性。基于这些结果，我们推导了Black-Scholes模型中具有离散时间平均的亚洲期权价格的渐近性，包括固定和浮动罢工。1、简介亚洲（或平均）期权是金融市场上广泛交易的工具，涉及资产价格的时间平均值。最常见的是股票价格或商品期货合同价格，例如石油或天然气期货。亚洲看涨期权的支付形式为（1）payoff=max（nnXi=1Sti- K、 0），其中0≤ t是一系列严格递增的时间，称为采样或平均日期。在无风险中性定价下，此类期权的价格由风险中性度量中的支付预期给出。假设Black-Scholes模型（1）研究了资产价格离散时间平均值（2）An=nnXi=1sti的分布特性，假设sn遵循几何布朗运动（3）dSt=（r-q） Stdt+σStdZt，其中zt是标准布朗运动，r是无风险利率，q是股息收益率，σ是波动率。亚洲期权定价的主要技术难点在于离散时间平均值（2）的概率分布没有简单的表达式。

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2022-6-1 01:16:20

如果平均时间是均匀分布的，对于非常小的时间步长，可以通过连续平均值（4）An=tnZtnStdt很好地近似时间平均值。日期：2016年9月15日。2010年数学学科分类。91G20、91G80、60F05、60F10。关键词和短语。亚式期权，中心极限定理，Berry-Essen界，大偏差。2 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu当ST遵循几何布朗运动时，问题归结为研究几何布朗运动时间积分的分布性质，这在文献中已得到广泛研究。有关主要结果及其在亚洲期权定价中的应用，请参见[16]。人们提出了各种各样的亚式期权定价方法，下面简要介绍了这些方法。1、PDE方法【42、49、50、35】。亚式期权的定价可以简化为1+1偏微分方程的解，并通过数值求解。这种方法可以应用于连续时间和离散时间平均亚式期权[1]。参见alsoAlziary等人【2】。2、拉普拉斯变换方法【24，7】：当资产价格服从几何布朗运动时，具有随机指数分布到期日的亚式期权价格可以以闭合形式找到。这将亚式期权定价问题简化为拉普拉斯变换的转换。3、光谱法【33】。几何布朗运动时间积分的概率分布可以与贝塞尔过程的概率分布相关联【14，13】。贝塞尔过程的跃迁密度可以在特征函数系列中展开【53】，亚式期权价格可以使用特征函数展开进行评估，并截断到足够高的阶数【33】。界限和控制变量方法。有大量的文献是关于推导亚式期权价格边界的。

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能者818

2022-6-1 01:16:23

给出了下限和上限，请参见[35]以了解概述。它们也可以与蒙特卡罗方法一起用作控制变量。Curran[9]给出了一种在实践中流行的这种精确方法。[22、23、21]中提出了考虑离散时间平均的其他方法。5、蒙特卡罗模拟。参见Kemna和Vorst【29】、Fu、Madan、Wang【20】、Lapeyreand Teman【30】。分析近似值。已经提出了各种数值方法，这些方法使用参数形式近似算术平均值的分布，如对数正态分布[32]或逆伽马分布[36]。我们还注意到[52]中更一般的方法可以应用于广泛的模型类。文献中关于几何布朗运动时间平均分布的理论结果大多是指连续时间平均。几何布朗运动的离散性是相关对数正态和的一种特殊情况，文献中对此进行了广泛的研究，有关概述，请参见[3]。Dufresne在[15]中获得了离散时间平均值在极小波动率σ极限下的极限分布→ 本论文作者最近的一项工作【39】研究了极限n内固定σ下离散时间平均值的性质→ ∞, 其收敛到连续时间平均值作为时间步长τ→ 本文主要研究几何布朗运动的离散时间平均，An=nPni=1Sti。我们假设Black-Scholes模型，即资产价格遵循几何布朗运动（5）St=SeσZt+（r-q-σ）其中zt是标准布朗运动。

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2022-6-1 01:16:26

我们希望研究离散采样资产价格（2）平均值的分布特性，该平均值定义在离散时间统一空间ti=iτ和时间步长τ上。GBM和亚式期权平均值的渐近性3我们将在本文中得到关于Anin极限n的渐近结果→ ∞ 通过固定以下模型参数组合β=σtnn=στn，（6）（r-q） τn=ρ。（7）注意，β总是正的，但ρ可以是正的，也可以是负的。我们还注意到，条件（6）和（7）可以用limn代替→∞στn=β和limn→∞（r）-q） τn=ρ，本文中的所有结果仍然成立。约束条件（6）、（7）包括两个有趣的制度：o当到期日tn=τn是常数，利率r和分割收益率q也是常数，那么，（6）假设波动率σ的阶数为(√n）。因此，条件（6）和（7）包括小波动率制度当成熟度tn=τn很小时，即tn→ 0作为n→ ∞ 在阶数n的特殊情况下，然后通过（7），波动率σ是一个常数。如果利率和股息收益率q为常数，则（7）替换为limn→∞（r）- q） τn=0，即ρ=0。因此，条件（6）和（7）包括短期到期制度。我们强调，我们不对ρ、β的值进行任何假设，它们可以是任意的。

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2022-6-1 01:16:29

我们的渐近结果的有效性只需要n 1，以便这些制度涵盖大多数实际利益的情况，前提是平均时间的数量足够大。本文给出了在大量平均时间步长n的极限下几何布朗运动离散时间平均分布性质的三个渐近结果：i）An的几乎确定极限和函数结果，ii）n的部分和的矩母函数的渐近结果→ ∞, 和iii）P（An）的大偏差结果∈ ·). 利用这些渐近结果，我们导出了货币外、货币内和货币内亚洲期权价格的严格渐近解。第2节介绍了在n→ ∞ 限度第3节给出了在n个离散时间nAn上采样的几何布朗运动的有限和的拉普拉斯变换的渐近结果，极限为n→ ∞. 在第4节中，我们考虑了大偏差结果iii）之后的固定走向亚式期权的渐近性，在第5节中，我们处理了浮动走向亚式期权的情况。这些渐近结果可用于获得亚式期权的近似定价公式，在第6节中，我们比较了BS模型下亚式期权定价的渐近结果与其他方法的数值性能。已知一些推荐的方法在小到期日和/或小波动限制下的数值效率较低【24，33】。本文导出的渐近结果具有实用价值，因为它们在数值性能不太好的区域补充了这些方法。对于模型参数具有实际值的亚式期权，我们证明了我们的渐近结果与备选定价方法的良好一致性。2.

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2022-6-1 01:16:32

几何布朗运动离散时间平均的渐近性我们有一个几乎确定的极限：命题1。我们有（8）个limn→∞An=A∞≡ Sρ（eρ- 1） a.s。4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUProof。请注意，max1≤我≤nσ| Zti |=max1≤我≤nq2βτn | Ziτ|根据布朗运动的性质，nmax1≤我≤n | Ziτ|→ 0 a.s.作为n→ ∞. 此外，σti=βin≤βn→ 0作为n→ ∞在1中均匀≤ 我≤ n、因此，Stican可近似为Se（r-q） Ti均匀in1≤ 我≤ n、即max1≤我≤n | Sti- Se（r-q） ti |→ 0 a.s.作为n→ ∞. 最后，请注意（9）nnXi=1e（r-q） ti=nnXi=1eρin=neρ- 11- e-ρn→ρ（eρ- 1），n→ ∞.因此，我们证明了预期的结果。我们还得到了以下假设结果：命题2。时间平均值在分布上趋于正态分布→ ∞ 限值（10）limn→∞√南安- A.∞S=N（0，2βv（ρ））。（11）v（a）：=aae2a型-e2a+2ea-.证据我们有√南安- A.∞S（12）=√nnXi=1（eσZi+（r-q-σ） ti公司- eρin）+”√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ#(13)=√nnXi=1eρin（e√2βnBi-β英寸- 1) +\"√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ#，（14）其中Zi=√τBi具有Bia标准布朗运动。我们可以将（14）中的第二项改写为√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ=√neρ- 11- e-ρn-√neρ- 1ρ（15）=（eρ- 1)√n“ρn-ρn+O（n-（3）-nρ#=（eρ- 1)√nρn+O（n-2） ρ（ρn-ρn+O（n-3))→ 0，作为n→ ∞.（14）中的第一项可以进一步写为√nnXi=1eρin（e√2βnBi-β英寸- 1) =√nnXi=1eρin√2βnBi+ξn，（16），其中我们定义了（17）ξn≡√nnXi=1eρine√2βnBi-β英寸-√2βnBi- 1..GBM和亚式期权平均值的渐近性5我们声称ξn→ 0的概率为n→ ∞.我们对ξn.（18）ξn有以下上界≤√nnXi=1eρine√2βnBi-√2βnBi- 1.≡ ξ（up）n。上限ξ（up）是一个非负随机变量，因为-1.-x个≥ 0表示任何实x。ξ（up）nca的期望值可精确计算e[ξ（up）n]=√nnXi=1eρin（eβni- 1)(19)=√neρ+βn- 11- e-ρn-βn-eρ- 11- e-ρn=√nβρ+o（1/n）.这变为零，为n→ ∞. 马尔可夫不等式意味着ξ（up）n→ 概率asn为0→ ∞.接下来，让我们估计ξn的下界。

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2022-6-1 01:16:35

我们有ξn≥√nnXi=1eρine√2βnBi-βn-√2βnBi-βn- 1.-βn(20)≥√nnXi=1eρin-βn= -β√neρ- 1n（1- e-ρn）→ 0，在第二步中，我们再次使用不等式ex≥ 1+x.（16）中的第一项是正态随机变量，在分布上收敛到正态分布，平均值为零，方差待定。(21)√nnXi=1eρin√2βnBi→ N（0，2βv（ρ））。这可以通过写入Bi=Pi来计算-1j=0VJ，带Vj~ N（0，1）i.i.d.正态分布随机变量，平均值为零，单位方差。总和可以写为√nnXi=1eρin√2βnBi=√2βn3/2n-1Xj=0VjnXi=j+1eρin（22）=√2βn3/2n-1Xj=0Vjeρn- 1neρn+1n- eρj+1个。我们可以计算这个随机变量的方差√nnXi=1eρin√2βnBi=2βnn-1Xj=0（eρn- 1)eρn+1n- eρj+1n（23）=2βn（eρn- 1） n个-1Xj=0eρn+1n- eρj+1nn→2βρZ（eρ- eρx）dx，6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUas n→ ∞, 我们可以计算（24）2βρZ（eρ- eρx）dx=2βρρe2ρ-e2ρ+2eρ-.力矩生成函数定义nAnas（25）Fn（θ）的力矩生成函数：=E[EθnAn]。对于θ<0，这是nAn分布函数的拉普拉斯变换。我们对极限limn感兴趣→∞nlog Fn（θ）。我们将使用大偏差理论计算该极限。在继续之前，回想一下序列（Pn）n∈拓扑空间X上的Nof概率测度满足率函数I:X的大偏差原理→ R如果I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（26）- infx公司∈AoI（x）≤ lim信息→∞nlog Pn（A）≤ lim支持→∞nlog Pn（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。速率函数I被认为是好的，对于任何m，水平集{x:I（x）≤ m} 结构紧凑。我们参考Dembo和Zeitouni【10】或Varadhan【48】，了解大偏差的一般背景和应用。对于极限n中的母函数，我们有以下极限定理→ ∞ 固定β。定理3。

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2022-6-1 01:16:38

对于任何θ>0，Fn（θ）=∞ 对于任何θ≤ 0，limn→∞nlog Fn（θ）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。（27）证明。因为E[EθX]=∞ 对于任何对数正态随机变量X的任何θ>0，很明显e[eθnAn]=∞ 对于任何θ>0。下一步，对于任何θ≤ 0，E[EθnAn]=EeθPn-1k=0SeσZtk+（r-q-σ） tk公司（28）=EeθSPn-1k=0eσ√τPkj=1Vj+（r-q-σ） kτ= E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1Vj+ρkn-βnk#=E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)-βnk#，其中Vj：=√τ（Zj-Zj公司-1），1≤ j≤ k、是i.i.d.N（0，1）随机变量。请注意，Pj=1Vji定义为0。根据Mogulskii定理，参见例[10]，P（nPb·ncj=1（Vj+ρ√2β) ∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0，1]对于良好的速率函数（29）I（g）=Z∧（g（x））dx，GBM和亚式期权平均值的渐近性7if g∈ AC[0，1]，即绝对连续且g（0）=0且i（g）=+∞ 否则，式中（30）∧（x）：=supθ∈Rnθx- 对数Eheθ（V+ρ√2β）io=x个-ρ√2β.设g（x）：=nPbxncj=1（Vj+ρ√2β). 然后，（31）Ze√2βg（x）dx=n-1Xk=0Zk+1nkne√2βg（x）dx=nn-1Xk=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β).此外，我们声称（32）g 7→Ze公司√2βg（x）dx是一个连续映射。设GN为L中的任意序列∞[0，1]以便gn→ g英寸L∞[0, 1]. 观察任何| x |≤.|前任- 1| =x+x2+x3！+···≤ |x |（1+| x |+| x |+····）≤ 2 | x |。（33）设n足够大，以便√2βkgn- gkL公司∞[0,1]≤. 因此，我们有Ze公司√2βgn（x）dx-Ze公司√2βg（x）dx=Ze公司√2βg（x）e√2β（gn（x）-g（x））- 1.dx公司≤ e√2βkgkL∞[0,1]Ze√2β（gn（x）-g（x））- 1.dx公司≤ 2p2βe√2βkgkL∞[0,1]kgn- gkL公司∞[0,1]收敛到0为n→ ∞. 因此，贴图是连续的。让我们回顾一下大偏差理论中的celebratedVaradhan引理，参见例[10]。如果P（Zn∈ ·) 用良好的速率函数I:X满足大偏差原则→ [0, +∞], 如果φ是连续映射且（34）limM→+∞lim支持→∞nlog Ehenφ（Zn）φ（Zn）≥Mi=-∞,thenlimn公司→∞nlog E[enφ（Zn）]=supx∈X{φ（X）- I（x）}。在我们的例子中，φ（g）=θSZe√2βg（x）dx是一个连续映射。

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2022-6-1 01:16:42

此外，对于θ≤ 0，φ（g）≤ 0，因此条件（34）是平凡满足的。因此我们可以应用Varadhan引理和get，limn→∞nlog E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β）#（35）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu最后，注意e“eθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)#≤ E[EθnAn]（36）≤ E“EθSe-βnPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)#.因此，对于任何θ≤ 0，limn→∞nlog E[EθnAn]（37）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。3.1. 变分问题的解。定理3中的变分问题可以重新表述为（38）limn→∞nlog Fn（θ）=λ(-θS，p2β；ρ）其中λ（a，b；ρ）是变分问题（39）的解λ（a，b；ρ）=supg∈AC【0,1】-aZebg（x）dx-Zg（x）-ρbdx公司.这里我们有a，b>0。这个变分问题可以显式求解，其解由以下结果给出。提案4。函数λ（a，b；ρ）由两个表达式λ（a，b；ρ）=a中的一个给出1+新罕布什尔州δ1.-4ρδ+ρδ-2.- ρδsinhδ（40）+bρlogcosh公司δ+ρδsinhδ-ρb，或λ（a，b；ρ）=a1.- sinξ1 +ρξ-ρ4ξ+ρ - 22ξsin（2ξ）（41）+2ρblogcosξ+ρ2ξsinξ-ρb.In（40）δ是方程（42）ρ的解- δ=2abcosh公司δ+ρδsinhδ,in（41）ξ是唯一解ξ∈ 方程（43）的（0，ξmax）2ξ（4ξ+ρ）=ab（2ξcosξ+ρsinξ）。ξmax是方程tanξmax=-2ξ最大值/ρ。对于给定的（a>0，b，ρ），两个方程（42）和（43）中只有一个有解，因此变分问题的解是唯一的。GBM和亚式期权平均值的渐近性证明。证据将在附录中给出。让我们回顾一下limn→∞（r）-q） τn=ρ，在短期到期期限内→ 0在康斯坦特，q，我们得到ρ=0。因此，在考虑短期到期限制时，特殊情况ρ=0具有实际意义。对于这种情况，很明显只有（43）有一个>0的解，所以我们得到的结果更简单。推论5。

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何人来此

2022-6-1 01:16:45

ρ=0极限中的函数λ（a，b；0）由（44）λ（a，b；0）=a给出cosξ-ξsin（2ξ）,式中，ξ是方程2ξ=abcosξ的解。（45）总之，定理3和命题4的结果给出了极限n内几何布朗运动n的离散和的拉普拉斯变换的渐近表达式→ ∞, 形式为E[E-θnAn）=exp（nλ（θS，√2β; ρ） +o（n））。该结果可用于nAn的数值模拟，类似于[31]中提出的方法，使用相关对数法线之和的拉普拉斯变换的无符号结果。另一种可能的应用是获得渐近n中亚洲期权价格的一阶近似值 1使用Carr-Madan公式进行限制【6】。在下一节中，我们将使用大偏差理论给出亚式期权价格的领先渐近。4、亚式期权价格的渐近性期权定价的渐近性是数学金融中研究得很好的课题。关于期权定价的渐近性有大量文献，尤其是普通期权定价的渐近性和各种连续时间模型的相应隐含波动率，参见[4、25、17、18、46]。在假设（6）和（7）下，我们对离散时间背景下亚式期权定价的渐近性感兴趣。让我们考虑一个执行价格为K的亚式期权，在波动率σ、无风险利率r和股息收益率q的Black-Scholes模型中。在时间为零的看跌期权和看涨期权的价格由p（n）：=e给出-rtnE[（K- An）+]，（46）C（n）：=e-rtnE[（An- K） +]，（47），其中An=nPni=1天，根据资产价格满足SDE dSt=（r-q） Stdt+σStdWt。还请注意，e-rtn=e-rr（右后）-q（r-q） τn=e-rr（右后）-qρ。回想一下，我们已经证明→ A.∞=Sρ（eρ-1） a.s.作为n→ ∞.

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大多数88

2022-6-1 01:16:48

自（K-An）+≤ K、根据实分析中的有界收敛定理，我们得到了（48）limn→∞P（n）=e-rr（右后）-qρlimn→∞E[（K- An）+]=e-rr（右后）-qρK-Sρ（eρ- 1)+.10 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUFrom put调用奇偶校验，C（n）- P（n）=e-rtnE[安- K] =e-rr（右后）-qρ“nnXi=1E【Sti】- K#=e-rr（右后）-qρ“nSnXi=1eρin- K级#→ e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K,作为n→ ∞. 因此，（49）limn→∞C（n）=e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K+.4.1. 从钱箱里拿出来。当K<Sρ（eρ-1），limn→∞P（n）=0，看跌期权从货币中取出，P（n）衰减到零的速率为n→ ∞ 由的大偏差的左尾控制。当K>Sρ（eρ- 1），limn→∞C（n）=0，calloption没有钱，C（n）到零的衰减率为n→ ∞ 由的大偏差的右尾控制。在继续之前，让我们首先推导P（An）的大偏差原理∈ ·).提案6。P（An∈ ·) 满足率函数（50）I（x）=infg的大偏差原则∈AC【0,1】，Re√2βg（y）dy=xSZg（x）-ρ√2βdx，用于x≥ 0和I（x）=+∞ 否则证据我们已经证明了NPN-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β）=Re√2βg（x）dx，其中g（x）=nPbxncj=1（Vj+ρ√2β）和地图g 7→Re公司√2βg（x）dx在上确界范数下是连续的。因为P（nPb·ncj=1（Vj+ρ√2β) ∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0，1]带RateFunctiong（x）-ρ√2βdx如果g∈ AC[0，1]和+∞ 否则从收缩原理来看-βn≤ e-βnk≤ 0中均匀的1≤ k≤ n- 1，我们得出结论，P（An∈ ·) 使用（50）中定义的速率函数满足大偏差原则。最后，注意Anis为正，因此I（x）=+∞ 对于任何x<0。备注7。I（x）=0 in（50）当且仅当最优g满足g（x）=ρ√2β等于g（x）=ρ√2βx，因为g（0）=0。这给了usRe√2βg（y）dy=Reρydy=eρ-1ρ.因此，I（x）=0当且仅当x=Seρ-1ρ=A∞这与Anas n的a.s.限值一致→ ∞.备注8。

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2022-6-1 01:16:51

我们已经证明了Γ（θ）：=limn→∞nlog E[EθnAn]对于任何θ都存在≤ 0和isdi可微分且Γ（θ）=+∞ 对于任何θ>0。自Γ（θ）=+∞ 对于任何θ>0的情况，我们不能使用G¨artner-Ellis定理来获得P（An）的大偏差∈ ·). 有人可能会推测我们可能有次指数尾。但有趣的事实是，我们仍然有很大的偏差，如提案6所述。我们可以进一步分析和解决变分问题（50）。对于ρ6=0，解由以下结果给出。GBM和亚式期权11命题9平均值的渐近性。几何布朗运动离散时间平均的速率函数由（51）I（x）=2βJ（x/S，ρ）和（52）J（x/S，ρ）=（J（x/S，ρ）xS给出≥ 1+ρJ（x/S，ρ）xS≤ 1+ρ，其中jxS，ρ=(δ- ρ)1 -2 tanh（δ）δ+ρtanh（δ）！(53)- 2ρlogcosh公司δ+ρδsinhδ+ ρ、 JxS，ρ= 2.ξ+ρtanξ+ρtanξ- 1.- 2ρlogcosξ+ρ2ξsinξ+ ρ、（54）和δ，ξ是方程（55）δsinhδ+2ρδsinh的解δ=xS。和（56）2ξsin（2ξ）1+ρtanξ=xS。证据附录中给出了证明。备注10。我们注意到，通过表示z=2ξ=iδ，可以将J1,2（K/S，ρ）的方程转化为唯一的形式。用这个变量表示，我们有jxS，ρ=（z+ρ）2 tanzz+ρtanz- 1.(57)- 2ρloghcosz+ρzsinzi+ρ，其中z是方程zsin z+2ρzsin的解z=xS。（58）备注11。当K=A时，速率函数J（K/S，ρ）消失∞= Sρ（eρ-1），正如速率函数的一般属性所期望的那样。因为我们有ρ（eρ- （1）≥ 任何ρ的1+ρ∈ R、 J（K/S，ρ）为零。我们注意到速率函数J（K/S，ρ）在δ=±ρ时消失。δ的这两个值都满足（55），K/S=ρ（eρ- 1），对应于toK=A∞.

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2022-6-1 01:16:55

然而，变分问题（50）的真解对应于δ=-ρ，给出最佳函数g（x）=ρx√2β，见（135）。对于ρ=0，变分问题（50）的解简化如下。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU0.51 1.52 2.5 30.511.520K/S0J（K/S，）ρ0ρ=0.1ρ=0图1。ρ参数ρ=0，0.1的两个值的速率函数J（K/S，ρ）与K/sfo的曲线图。这与（51）中几何布朗运动平均值的较大偏差的速率函数I（x）有关。推论12。对于特殊情况ρ=0，（59）J（x）=（δ- δtanhδxS型≥ 1,2ξ（tanξ- ξ） 0<xS≤ 1.和J（x）=∞ 否则，其中δ是方程（60）δsinhδ=xS的唯一解，ξ是方程2ξsin（2ξ）=xS的（0，π）中的唯一解。（61）可以证明，这与Black-Scholes模型中具有连续时间平均的亚式期权的短期到期渐近的利率函数相同【40】。速率函数J（K/S，ρ）可以使用命题9的结果进行数值计算。当ρ=0，0.1时，J（x/S，ρ）的曲线如图1所示。使用P（An）的大偏差结果∈ ·), 我们可以得到货币亚式期权价格的渐近解。这是由以下结果得出的。提案13。当K<Sρ（eρ- 1），（62）P（n）=e-nI（K）+o（n），as n→ ∞,当K>Sρ（eρ- 1），（63）C（n）=e-nI（K）+o（n），as n→ ∞,其中，我（·）在（50）中定义。GBM和亚式期权平均值的渐近性13证明。对于任何0< < K、 P（n）≥ e-rr（右后）-qρE[（K- An）1An≤K-] ≥ e-rr（右后）-qρP（An≤ K- ) .（64）因此，lim infn→∞nlog P（n）≥ -I（K-). 因为它适用于任何 ∈ （0，K），我们得出（65）lim infn→∞nlog P（n）≥ -I（K）。另一方面，（66）P（n）=e-rr（右后）-qρE[（K- An）1An≤K]≤ e-rr（右后）-qρKP（An≤ K），这意味着lim supn→∞nlog P（n）≤ -I（K）。

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2022-6-1 01:16:58

因此，我们证明了（62）。对于任何 > 0，C（n）≥ e-rr（右后）-qρE[（An- K） 1An公司≥K级+] ≥ e-rr（右后）-qρP（An≥ K+) .（67）因此，lim infn→∞nlog C（n）≥ -I（K+). 因为它适用于任何 > 0，我们有（68）个lim infn→∞nlog C（n）≥ -I（K）。对于任意p+q=1，p，q>1，根据H¨older不等式，C（n）=e-rr（右后）-qρE（An）- K） +安≥K(69)≤ e-rr（右后）-qρE[[（An- K） +]p]p（E[（1An≥K） q]）q≤ e-rr（右后）-qρ（E[（An+K）p]）pP（An≥ K）根据Jensen不等式，对于任何x，y>0，很明显对于任何p≥ 2，（x+y）p≤xp+yp。因此，对于任何p≥ 2，（70）E[（An+K）p]≤ 2p级-1（E【Apn】+Kp）。我们可以计算出e[Apn]=n-pE“nXi=1SeσZti+（r-q-σ） ti！p#（71）=n-pE“nXi=1Seσ√τZi+（r-q-σ） τi！p#≤ n-pE“nXi=1Seσ√τmax1≤我≤nZi+|ρ|！p#≤ Spe |ρ| pEhe√2βnp最大值1≤我≤nZii=Spe |ρ| pEhe√2βnp | Zn | i=Spe |ρ| pEe√2β√np | Z|,14 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中我们使用了布朗运动和布朗标度性质的反射原理。注意，对于任何θ>0的情况，E[Eθ| Z |]都是有限的。因此，从（69）、（70）、（71）中，我们得出结论，对于任何1<q<2（因此p>2，其中p+q=1），（72）lim supn→∞nlog C（n）≤ -qlimn公司→∞nlog P（An≥ K） =-qI（K）。因为它适用于任何1<q<2，通过让q↓ 1，我们证明了（63）。4.2。在金钱案件中。我们考虑货币亚洲期权的情况，即isK>Sρ（eρ-1）对于看跌期权（和K<Sρ（eρ-1）对于看涨期权）。自→ A.∞a、我们从有界收敛定理和put调用奇偶性得到，P（n）→ K-Sρ（eρ-1）和C（n）→Sρ（eρ- （1）- K、接下来的结果与收敛速度有关。提案14。当K<Sρ（eρ- 1） ρ6=0，（73）C（n）=e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K+e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2）。当K>Sρ（eρ- 1） ρ6=0，（74）P（n）=e-rr（右后）-qρK-Sρ（eρ- 1)-e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2）。ρ=0的情况类似。当K<S时，（75）C（n）=（S- K） +e-nI（K）+o（n），当K>S时，（76）P（n）=（K- S） +e-nI（K）+o（n）。证据当K<Sρ（eρ- 1），我们证明了P（n）=e-nI（k）+o（n）。

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2022-6-1 01:17:01

来自put调用奇偶校验，（77）C（n）- P（n）=e-rtnE[安- K] =e-rr（右后）-qρ“Seρ- 1n（1- e-ρn）- K#。因此，C（n）- P（n）- e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K（78）=e-rρr-qS（eρ- 1） “n（1- e-ρn）-ρ#=e-rρr-qS（eρ- 1)\"ρ -ρn+O（n-（2）-ρ#=e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2）。因为P（n）=e-nI（k）+o（n），我们证明了（73）。同样，我们有（74）。GBM和亚洲期权平均值的渐近性154.3。在钱箱。接下来考虑货币亚洲期权的情况，即isK=Sρ（eρ- 1） =A∞. 自→ A.∞a、 s.，使用有界收敛定理，我们有P（n）→ 0作为n→ ∞. Put调用奇偶性意味着C（n）→ 0作为n→ ∞ 也注意，在缺钱的情况下，我们已经看到P（n）和C（n）在n中以指数速度衰减到零，其中指数由I（K）给出。下一个结果是关于P（n）和C（n）作为n衰减到零的速度→ ∞ 为了钱，亚洲期权。我们将看到，与货币外的亚式期权不同，亚式期权的渐近性由大偏差结果决定，货币情况下的渐近性由中心极限定理和非一致贝里-埃森界的正态函数决定。提案15。当亚式期权为货币时，即K=Sρ（eρ- 1） =A∞,P（n）=e-rρr-qSrβv（ρ）π√n（1+o（1）），（79）C（n）=e-rρr-qSrβv（ρ）π√n（1+o（1）），（80）为n→ ∞.证据C（n）=e-rtnE[（K- An）+]=e-rρr-量化宽松[（An- A.∞)1An公司≥A.∞]（81）=e-rρr-qS公司√氖√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0.我们在命题2中证明了√n（An）-A.∞)S→ N（0，2βv（ρ））为N→ ∞. 直觉上，很明显E√n（An）-A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0→ E[Z1Z≥0]其中Z~ N（0，2βv（ρ））。但为了证明这一点，中心极限定理是不够的。我们需要一个非统一的Emberry-Esseen界[37，5]，我们接下来会回顾它。有关这一主题的调查，请参见Pinelis[38]。定理16（非一致Berry-Essen界）。对于任何独立且不一定相同分布的随机变量X，X。

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2022-6-1 01:17:04

，xnw的均值和单位方差为零，Var（Wn）=1，其中Wn=Pni=1Xi，设fn为Wn的累积分布函数，Φ为标准正态累积分布函数，即Φ（x）：=√2πRx-∞e-是/2年。两种分布之间的差异有界为[37，5]（82）| Fn（x）- Φ（x）|≤CPni=1E | Xi | 1+| x |，对于任何-∞ < x<∞, 其中C是常数。在一般（不相同的Xi）情况下，该常数的最广为人知的界是C<31.935[38]。我们已经证明了这一点（83）√n（An）- A.∞)S=nXi=1Xi+ξn+εn，其中（84）Xi：=√2βn3/2Vieρ（n+1）n- eρineρn- 1，1≤ 我≤ n、 16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwhere Viare i.i.d.n（0，1）随机变量和（85）εn：=√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ.证明计划将显示第二项和第三项的贡献（83）可以忽略不计，并将非均匀Berry-Esseen约束应用于（83）中的第一项。从（83），我们有（86）E√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0= E“nXi=1Xi+ξn+εn！Pni=1Xi+ξn+εn≥0#，这意味着（87）E√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0- E“nXi=1Xi！Pni=1Xi+ξn+εn≥0个#≤ E |ξn |+|εn |。我们已经证明了Eξn和εn→ 0作为n→ ∞. 接下来，注意e“nXi=1Xi！Pni=1Xi+ξn+εn≥0#（88）=VuTunxi=1Var（Xi）E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#，其中Yi=（Pni=1Var（Xi））-1/2Xi，’ξn=（Pni=1Var（Xi））-1/2ξ与εn=（Pni=1Var（Xi））-1/2εn，因此Var（Pni=1Yi）=1。回想一下，我们已经证明了（89）limn→∞nXi=1Var（Xi）=2βv（ρ）。（88）右侧的期望值可以写为“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0#（90）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ#+E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn |>δ#，GBM平均值的渐近性，以及任何δ>0的亚式期权17。第二项由Cauchy-Schwarz不等式从上方限定E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+|εn |>δ#(91)≤ EnXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0!1/2E[（1 |ξn+？εn |>δ）]1/2≤ EnXi=1Yi！1/2P（|ξn+？εn |>δ）1/2=P（|ξn+？εn |>δ）1/2→ 0，作为n→ ∞.

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2022-6-1 01:17:07

（90）中的第一项可以进一步写成“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ#（92）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0#+E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+\'ξn+\'εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≤0#.（92）中的第二项为负值，绝对值为0<E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≤0个#(93)≤ EnXi=1Yi！1/2PnXi=1Yi+’ξn+’εn≥ 0，|ξn+|εn |≤ δ、 nXi=1Yi≤ 0!1/2≤ P-δ ≤nXi=1Yi≤ 0!1/2→ [Φ(0) - Φ(-δ） ]1/2，如n→ ∞ 根据中心极限定理。接下来，我们需要估计（92）中的第一项。我们首先给出一个上界，（94）E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0个#≤ E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.接下来，我们给出一个下界，E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0#(95)≥ E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 |ξn+？εn|≤δ#.18 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu这可以进一步写成“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 |ξn+？εn|≤δ#（96）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ#- E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 ξn+？εn |>δ#。通过遵循（91）中的相同论点，我们得到了（97）limn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 ξn+？εn |>δ#=0。边界（94）和（95）可与边界（93）组合，以获得n中（92）中期望的更简单边界→ ∞ 限度通过（90）-（97），这些边界转换为期望的相应边界（93）。我们得到任何δ≥ 0lim信息→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#(98)≥ lim信息→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ#- [Φ(0) - Φ(-δ） ]1/2，andlim supn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0个#≤ lim支持→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.（99）最后，取δ→ 0限制，该限制给出了slimn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#=limn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.（100）非均匀Berry-Esseen界可用于计算右侧的期望值。非均匀Berry-Essen界中出现的三阶矩之和估计如下。回顾Yi=（Pni=1Var（Xi））-i.i.d.中规定的1/2英寸。

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2022-6-1 01:17:10

通过（84）中给出的随机变量，我们发现nXi=1E | Yi |=（Pni=1Var（Xi））3/2nXi=1E | Xi |（101）=（Pni=1Var（Xi））3/2（2β）3/2n1/2E | V | nXi=1Eρ（n+1）n- eρinn（eρn- 1)!n≤C（ρ）n1/2，其中C（ρ）>0仅取决于ρ。因此，由非均匀Berry-Esseen束缚，wehave（102）| Fn（x）- Φ（x）|≤C（ρ）n1/21+| x |，GBM平均值的渐近性，以及任何-∞ < x<∞, 其中Fn是Pni=1Yn的累积分布函数，C（ρ）>0是另一个常数。因此，我们有，Z~ N（0，2βv（ρ））E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0个#- E[Z1Z≥0]=Z∞xdFn（x）-Z∞xdΦ（x）(103)=Z∞Fn（x）dx-Z∞Φ（x）dx≤Z∞C（ρ）n1/21+| x | dx。以n的形式归零→ ∞. 我们得出结论，我们有（104）C（n）=e-rρr-qSE[Z1Z≥0]√n（1+o（1）），作为n→ ∞, 其中Z~ N（0，2βv（ρ））。期望值由（105）E[Z1Z]明确给出≥0]=p2βv（ρ）√2πZ∞xe公司-xdx=rβv（ρ）π。这就完成了货币买入期权C（n）渐近性的证明。货币看跌期权P（n）的价格可通过使用看跌期权平价获得。证明是完整的。浮动行使亚式期权的渐近性我们在本节中考虑浮动行使亚式期权，这是标准亚式期权的一种变体。具有行使K和权重κhaspayoff（κST）的浮动行使亚洲看涨期权-AT）+到期日T，浮动行使认沽期权具有支付（AT-κST）+成熟期T。与固定罢工案例相比，浮动罢工亚洲期权更难定价，因为需要共同的立场法则。此外，由于Diracdelta函数是一个系数，因此很难用数值方法求解改变数量后的罢工价格所满足的一维偏微分方程，如[28]、[42]、[2]。

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大多数88

2022-6-1 01:17:14

有关处理此问题的备选方法，请参见[41、8、27]。亨德森（Henderson）和沃雅科夫斯基（Wojakowski）[27]已经证明，具有连续时间平均的浮动罢工亚洲期权可能与固定罢工期权相关。在[47]中，这些等价关系被推广到离散时间平均亚式期权。根据这些关系，我们有-rtnE公司（κStn- An）+= e-qtnE公司*（κS- An）+,（106）e-rtnE公司（An）- κStn）+= e-qtnE公司*（An）- κS）+,（107）右侧的期望值是针对不同的度量值Q得出的*,其中资产价格St遵循过程St=（q- r） Stdt+σStdW*t、（108）带W*Q空间中的标准布朗运动*测量20 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUWe对具有payoff（κStn）的亚洲看涨期权/看跌期权价格的渐近性感兴趣- An）+和（An）- κStn）+，C（n）：=e-rtnE公司（κStn- An）+,（109）P（n）：=e-rtnE公司（An）- κStn）+.（110）作为n→ ∞, κStn- 一→ κSeρ- Seρ-1ρa.s.当κ<ρ（1- e-ρ）看涨期权没有钱，看跌期权有钱。当κ>ρ（1）时- e-ρ），买入期权在货币内，卖出期权在货币外。当κ=ρ（1- e-ρ），看涨期权和看跌期权都很值钱。对于等价关系（106）、（107）右侧的期望，我们将其作为n→ ∞, κS- 一→ κS- Se公司-ρ-1.-ρa.s.我们得出结论，对于κ<ρ（1- e-ρ）这些等价关系将缺钱的浮动行使买入（看跌）亚洲期权映射为缺钱的固定行使卖出（看跌）亚洲期权。对于κ>ρ（1- e-ρ）货币内亚洲期权之间也存在类似的关系。让我们推导浮动行使亚洲期权价格的渐近性。借助等价关系，这可以用前几节中获得的固定行使亚式期权的渐近性来表示。

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何人来此

2022-6-1 01:17:17

另一种方法是直接推导浮动走向亚洲期权的大偏差结果。然后，我们将利率函数与固定行使亚式期权的利率函数联系起来，并证明这与等价关系是一致的。我们得到了以下关于浮动走向亚洲期权的渐近结果。提案17。（i）当κ<ρ（1- e-ρ），看涨期权不存在，（111）C（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,看跌期权是货币，（112）P（n）=-κSe-rr（右后）-qρ+Se-rr（右后）-qρeρ-1ρ+e-rρr-qS（eρ-1） 2n+O（n-2) ρ 6= 0,(1 - κ） S+e-nH（0）+o（n）ρ=0。（ii）当κ>ρ（1- e-ρ），看跌期权不在货币范围内（113）P（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,看涨期权是货币，（114）C（n）=κSe-rr（右后）-qρ- Se公司-rr（右后）-qρeρ-1ρ-e-rρr-qS（eρ-1） 2n+O（n-2） ρ6=0，S（κ- 1） +e-nH（0）+o（n）ρ=0。（i）和（ii）中的速率函数由（115）H（0）：=infg给出∈AC[0,1]，κe√2βg（1）-Re公司√2βg（y）dy=0Zg（x）-ρ√2βdx。（iii）当κ=ρ（1- e-ρ），看涨期权和看跌期权都是货币，（116）limn→∞√nC（n）=limn→∞√nP（n）=Se-rρr-qE[Z1Z≥0]，GBM和亚洲期权21平均值的渐近性，其中Z=N（0，s）是一个正态随机变量，平均值为0，方差（117）s=2βρ1.-ρ（eρ- 1） +e2ρ- 12ρ.证据证据类似于固定罢工案件。附录中将给出证明的草图。接下来，我们展示了速率函数H（0）可以简单地与（50）中定义的I（x）相关。回想一下，我们明确显示了各自速率函数H（·）和i（·）的ρ的依赖性。稍微滥用符号来强调对ρ的依赖，让H（·；ρ）：=H（·）和I（·；ρ）：=I（·）。我们得到了以下结果，这与等价关系（106）、（107）明显一致。提案18。固定走向和浮动走向亚洲期权的利率函数与（118）H（0；ρ）=I（κS；-ρ) .证据

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2022-6-1 01:17:20

H（0）和I（x）的变分问题中的泛函是相同的，唯一不同的是g（x）上的约束。这些约束可以如下所示。让我们用定义为g（x）=g（1）+H（1）的新函数H（x）表示H（0）变分问题中的g（x）- x）。该函数满足约束h（0）=0。ratefunction现在由（119）H（0）：=infh给出∈AC[0,1]，κ-Re公司√2βh（y）dy=0Zh（x）+ρ√2βdx，很容易看出这个变分问题与速率函数I（x）的变分问题相同，确定K/S=κ和ρ→ -ρ. 这就是关系的证明（118）。隐含波动率和数值测试已经成为公认的市场惯例，可以根据其最大波动率来报价欧洲期权价格。这被定义为对数正态波动率的值，替代布莱克-斯科尔斯公式，再现市场期权价格。类似的正常隐含波动率可以用Bachelier公式定义。虽然亚洲期权在实践中是按价格报价的，而不是按隐含波动率报价的，但也可以方便地确定这些期权的等效隐含波动率。我们将行权为K且到期日为T的亚式期权的等效对数正态隐含波动率定义为波动率∑LN（K，T）的值，当替代为具有相同参数（K，T）C（K，S，T）=e的欧式期权的Black-Scholes公式时，该值再现了亚式期权价格-rT（A∞Φ（d）- KΦ（d）），（120）P（K，S，T）=e-rT（KΦ(-d）- A.∞Φ(-d），其中（121）A∞= Sρ（eρ- 1） =（r-q） T（e（r-q） T型- 1），和（122）d1,2=∑LN（K，T）√TlogA公司∞K±∑LN（K，T）T.22 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu以这种方式定义的等价对数正态波动率∑对于满足默顿界限（A∞-K）+≤ erTC（K、S、T）≤ A.∞[43].

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2022-6-1 01:17:23

最后，亚式期权的价格限定为（E[An]-K）+≤ erTC（K、S、T）≤ E[An]，其中E[An]=neρ-11-e-ρ/n，因此满足n的要求界限→ ∞.我们还可以定义亚式期权的正常等价波动率∑N（K，T），即当替代为Bachelier期权定价公式时，重现亚式期权价格的波动率。我们想研究第4节中得出的亚洲期权价格的渐近结果对等价对数正态波动率∑LN和等价正态波动率∑N的影响。这是由以下结果得出的。提案19。i） n中OTM亚式期权的渐近正态和对数正态等价隐含波动率→ ∞ 常数β=σtnn时的极限由Limn给出→∞∑LN（K，n）σ=对数（K/A∞)J（K/S，ρ），（123）limn→∞∑N（K，N）σ=（K- A.∞)J（K/S，ρ），（124），其中J（K/S，ρ）与（51）中的速率函数I（x）相关，由命题9给出。ii）n的等效对数正态隐含波动率→ ∞ 货币亚洲期权（125）limn→∞∑LN（A∞, n） σ=SA∞pv（ρ），等效正态隐含波动率的相应结果为（126）limn→∞∑N（A∞, n） σ=Spv（ρ）。证据附录中给出了证明。我们注意到in（123）σ隐含地依赖于n，因为极限取固定β。特别是，在固定到期制度τn=T固定时，我们有σ~ n-1/2使σ和∑LN（K）都接近0，作为n→ ∞, 以这样的方式，他们的比率接近一个有限的非零值。我们将使用该关系式将有限n近似为（127）∑LN（K，n）=σlog（K/A∞)J（K/S，ρ）。与∑N（K）类似。这些波动率可与（120）一起使用，以获得亚式期权价格的近似值。我们在表2中给出了从（120）中获得的Asianoptions的渐近近似值的数值结果，对于[20]中提出的一些情形。

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2022-6-1 01:17:26

它们与文献中考虑的几种替代方法进行了比较：Linetsky方法【33】、PDEmethods方法【19，50】、拉普拉斯变换反演【11，44】和对应于连续时间平均的对数正态近似【32】。渐近结果与频谱扩展[33]的精确结果的数值一致性非常好，相对值的差异始终低于0.5%。A更下界来自payoff（x）的凸性- K）+，上界从（x）开始- K）+≤ x、 GBM和亚洲期权平均值的渐近23表1。[20，33]等中考虑的亚洲期权定价的7个基准情景，q=0。方案r T SKσ1 0.02 1 2 0.12 0.18 1 2 2 0.33 0.0125 2 2 0.254 0.05 1 1.9 2 0.55 0.05 1 2 0.56 0.05 1 2.1 2 0.57 0.05 2 2 0.5近似测试比较了与选项Vega V的差异：近似结果的近似误差始终低于0.24V（与对数正态近似相比，其误差高达1.54V（对于方案7））。这比ATM点附近σ的典型精度要小，并且与亚洲期权的典型买卖价差相比，可以~ 1年至2年的到期日为1V。备注20。我们评论了渐近隐含波动率（123）与对数正态近似的关系[32]。对数正态近似值【32】对应于等效对数正态波动率∑（Levy）LN（T）。相比之下，（123）给出的渐近等价对数正态隐含波动率∑LN（K）对罢工具有非平凡的依赖性。

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能者818

2022-6-1 01:17:29

可以很容易地证明，对数正态隐含波动率在极限limσT内的ATM点复制了渐近等价隐含波动率→0，rT=ρ∑（Levy）LN（T）=∑LN（K=A∞).表2的结果表明，渐近结果是对数正态近似的改进。备注21。[20，33]的结果是使用连续时间平均法获得的，而我们的结果（123）是针对离散时间亚式期权得出的。然而，我们注意到，结果（123）不取决于时间步长τ的大小，因此它应该适用于任意滑动时间步长。其他地方[40]表明，类似于（123）的结果适用于连续时间亚洲期权在固定σ、r、q下的小到期限制，替代ρ=0。本文采用的限制程序，取n→ ∞ 在固定的β，ρ下，可以考虑短期到期扩展中对r，q的依赖性。为了解决小波动率和到期制度下渐近结果的性能问题，我们将我们的结果与[19]表4中的结果进行了比较。正如【44，20】所指出的，文献中提出的一些方法在模型参数的这些状态中存在数值问题。本测试考虑的情景对应于σ=0.01、S=100、r=0.05、q=0，以及表3所示的三种到期日和行权选择。出于空间经济的原因，我们仅在[19]的表4中给出了测试结果的一个子集，这表明与蒙特卡罗计算的结果最为一致。渐近结果与所示的替代方法非常一致。

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2022-6-1 01:17:32

我们注意到，渐近方法所需的计算时间非常好，因为它只需要解一个简单的非线性代数方程和对一个函数的求值。我们在表4中给出了与[50]表B中考虑的情景对应的离散抽样亚洲选项测试结果的比较。这些场景的参数r=0.1，q=0，σ=0.4，T=1，K=100。将结果与24 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 2进行比较。[20，33]等中考虑的7种情景下亚洲看涨期权的数值结果。FPP3：Foschi等人的三阶近似。[19] ，Vecer：来自【50】的PDE方法，MAE3：来自Dewynne和Shaw【11】的匹配渐近展开，Mellin500：Shaw【44】中基于Mellin变换的方法。最后一列显示了【33】中光谱展开的结果，LN列显示了对数正态近似的结果【32】。PZ列使用（120）给出了本文渐近结果的结果。方案FPP3 MAE3 Mellin500 Vecer PZ LN Linetsky1 0.055986 0.055986 0.056036 0.055986 0.055998 0.056054 0.0559862 0.218387 0.218369 0.218360 0.218388 0.218480 0.219829 0.2183873 0.172267 0.172263 0.172369 0.172269 0.172460 0.173490 0.1722694 0.193164 0.193188 0.192972 0.193174 0.193692 0.195379 0.1931745 0.246406 0.246382 0.246519 0.246416 0.246944 0.249791 0.2464166 0.306210 0.306139 0.3064970.306220 0.306744 0.310646 0.3062207 0.350040.349909 0.348926 0.350095 0.351517 0.359204 0.350095表3。小波动率下亚洲看涨期权的测试结果σ=0.01，S=100，r=0.05，q=0。FPP3列显示了Foschi等人[19]中的三阶近似值。MAE3列显示了使用Dewynne和Shaw的匹配渐近展开式得出的结果【11】。Mellin500列显示了Haw中基于Mellin变换的方法的结果【44】。

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2022-6-1 01:17:35

PZ列显示了本文的渐近结果。T K PZ FPP3 MAE3 Mellin5000.25 99 1.60739 1.60739×101.60739×101.51718×100.25 100 0.621359 6.21359×10-16.21359 × 10-16.96855 × 10-10.25 101 0.0137615 1.37618 × 10-21.37615 × 10-21.60361 × 10-21.00 97 5.2719 5.27190 × 105.27190 × 105.27474 × 101.00 100 2.41821 2.41821 × 102.41821 × 102.43303 × 101.00 103 0.0724339 7.26910 × 10-27.24337 × 10-28.50816 × 10-25.00 80 26.1756 2.61756 × 102.61756 × 102.61756 × 105.00 100 10.5996 1.05996 × 101.05996 × 101.05993 × 105.00 120 5.8331 · 10-62.06699 × 10-55.73317 × 10-61.42235 × 10-3在【50、45、9】中获得的软管。渐近结果与其他方法一致，相对误差在1%~1.5%之间。最后，为了测试等效对数正态隐含波动率的渐近关系（123），我们在图2中显示了通过数值模拟获得的几个亚洲期权的等效对数正态隐含波动率（黑点）。这些结果是通过参数σ=0.2、r=q=0、τ=0.01、（128）和n=50、100、200平均日期的亚式期权蒙特卡罗定价获得的。蒙特卡罗计算使用NMC=10个样本。考虑的打击覆盖ATM点K=S周围的区域；GBM和亚洲期权平均值的数值精度渐近25表4。

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2022-6-1 01:17:38

与[50，45，9]的结果相比，在[50]的表B中考虑的情景下，离散抽样亚洲看涨期权的渐近结果。S=95 S=100 S=105Vecern=250 8.4001 11.1600 14.3073n=500 8.3826 11.1416 14.2881n=1000 8.3741 11.1322 14.2786∞ 8.3661 11.1233 14.2696Tavella-Randalln=250 8.3972 11.1573 14.3054n=500 8.3804 11.1392 14.2866n=1000 8.3719 11.1300 14.2771∞ 8.3640 11.1215 14.2681货币=250 8.3972 11.1572 14.3048n=500 8.3801 11.1388 14.2857n=1000 8.3715 11.1296 14.2762∞ - - -PZ 8.3789 11.1362 14.2818模拟值在该区域外迅速下降。我们注意到，即使对于低至50的n，也与命题19的渐近结果非常一致。致谢我们感谢匿名推荐人和编辑的宝贵意见和建议。D、 P.感谢Dyutiman Das和Roussen Roussev就金融实践中的亚洲期权进行了有益的讨论。五十、 Z.部分由NSF GrantDMS-1613164.7支持。附录命题4的证明。通过引入函数f（x）=bg（x）作为（129）λ（a，b；ρ）=bsupf，方程（39）中出现的变分问题可以等价地写成∈AC【0,1】-abZef（x）dx-Zf（x）- ρdx公司.这个变分问题中出现的泛函∧[f]可以重写为∧[f]=-abZdxef（x）-Zf（x）- ρdx（130）=-abZef（x）dx-Z[f（x）]dx+f（1）ρ-ρ.在第二行中，我们通过零件和wroteRf（x）dx=f（1）进行积分，其中我们考虑了约束f（0）=0。虽然在命题4中，我们有a>0，但第4节中的变量26 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu问题也需要负a的情况。

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