MC模拟的时间步长为τ=0.01，路径数NMC=1m。最后，可以对每个解以闭合形式计算∧[f]中出现的积分，我们得到t（δ，ρ）=Zdxef（x）=δsinhδ+2ρδsinhδ,（142）T（ξ，ρ）=Zdxef（x）=2ξsin（2ξ）1+ρ2ξtanξ.（143）将这些结果代入（134），我们发现函数λ（a，b；ρ）λ（a，b；ρ）（144）=-2aT（δ）+aeδ1+γeδ+γ+bρδ - 2个日志eδ+γ1+γ-ρb=a1+正弦δ1.-4ρδ+ρδ-2.- ρδsinhδ+bρlogcoshδ+ρδsinhδ-ρb，λ（a，b；ρ）（145）=-2aT（ξ）+acosηcos（ξ+η）+bρlogcosηcos（ξ+η）-ρb=a1.- sinξ1 +ρξ-ρ4ξ+ρ - 22ξsin（2ξ）+2ρblogcosξ+ρ2ξsinξ-ρb，其中δ和ξ分别由方程（138）和（141）的解给出。对于给定的（a>0，b，ρ），这两个方程中只有一个具有唯一确定最优函数f（x）和函数λ（a，b；ρ）的解。这就完成了命题4的证明。28 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu证明命题9。通过引入函数f（y），可以将变分问题（50）等效为（51）中定义的j（x，ρ）=√2βg（y）as（146）J（x，ρ）=inff∈AC[0,1]，参考（y）dy=xSZ（f（y）- ρ） dy。通过引入拉格朗日乘子和定义辅助泛函∧[f]=Zdy，考虑了f（y）上的积分约束f（y）- ρ+ 一Zdyef（y）-xS型（147）=Zdy[f（y）]+aZdyef（y）- ρf（1）+ρ- axS。该变分问题的解f（y）满足Euler-Lagrange方程（148）f（y）=aef（y），边界条件（y=1时的条件是横截性条件）（149）f（0）=0，f（1）=ρ。该微分方程和相关边界条件与命题4证明中出现的方程相同。如图所示，可以精确地解决这个问题，在（135）、（136）中给出了解决方案。

证明的细节将略有不同，因为在本例中，系数a（拉格朗日乘数）未知，但它是变分问题的未知数之一。然而，我们将证明它可以使用积分约束（150）Zef（y）dy=KS来确定。在继续求解变分问题之前，我们给出了一个初步的结果，该结果仅用a，f（1）表示速率函数。引理22。速率函数J（x，ρ）由J（K/S，ρ）=a给出堪萨斯州- ef（1）- ρf（1）+ρ。（151）证明。欧拉-拉格朗日方程（148）守恒如下量（152）E=（f（y））- aef（y），给出（153）[f（y）]- aef（y）=ρ- aef（1）。将此关系的积分取x：（0，1），并使用约束（150）得到结果（151）。证明的唯一剩余部分是确定a，f（1）。这可以通过CONSTRAINT（150）完成。将（135）代入该约束得到（154）Zdxef（x）=δsinhδ+2ρδsinh（δ/2）=KS。GBM和亚式期权平均值的渐近性29，这是δ的一个方程。这个方程只有K/S的解≥ 1 + ρ/2. 一旦δ、γ已知，则使用关系式（137）确定拉格朗日乘数a。代入（151），我们发现速率函数j（K/S，ρ）=（β- ρ）1.-2 tanh（β/2）β+ρtanh（β/2）(155)- 2ρlogcosh（β/2）+ρβsinh（β/2）+ ρ.使用f（x）的类似计算得出（156）Zdxef（x）=2ξsin（2ξ）1+ρtanξ=堪萨斯州。η和ξ+η必须在(-π/2，π/2）范围。方程（156）只有K/S的解≤ 1 + ρ/2.利用ξ的解，拉格朗日乘数a可从（139）中找到。代入（151），我们发现速率函数（157）J（K/S，ρ）=2ξ+ρtanξ+ρtanξ- 1.- 2ρlogcosξ+ρ2ξsinξ+ ρ.这就完成了命题9的证明。命题17的证明。首先注意Stn=SeσZtn+（r-q-σ） tn可与Se等效写入√2βnPnj=1（Vj+ρ√2β)-βnin分布，其中Vjare i.i.d。

N（0，1）个随机变量。我们还要回顾一下An=nSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)-βkn。项βn，βknare一致有界且可忽略，如果我们让g（x）=nPbxncj=1（Vj+ρ√2β），然后是κe√2βnPnj=1（Vj+ρ√2β)-nPn公司-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β）=κe√2βg（1）-Re公司√2βg（x）dx。地图g 7→κe√2βg（1）-Re公司√2βg（x）dx在上确界范数下是连续的，根据收缩原理，P（κStn- 一∈ ·) 满足率函数（158）H（x）=infg的大偏差原则∈AC[0,1]，κe√2βg（1）-Re公司√2βg（y）dy=xSZg（y）-ρ√2βdy.作为n→ ∞, κStn- 一→ κSeρ- Seρ-1ρa.s.当κ<ρ（1- e-ρ） ，看涨期权不含货币，（159）C（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,当ρ6=0时，通过put调用奇偶校验，C（n）- P（n）=e-rtnE[κStn- An]（160）=κSe-rr（右后）-qρ- e-rr（右后）-qρSeρ- 1n（1- e-ρn）=κSe-rr（右后）-qρ- Se公司-rr（右后）-qρeρ- 1ρ-e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） 。30 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhuso，作为n→ ∞, 货币内看跌期权的渐近解为（161）P（n）=-κSe-rr（右后）-qρ+Se-rr（右后）-qρeρ- 1ρ+e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） 。当ρ=0时，（162）P（n）=（1- κ） S+e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞.当κ=ρ（1-e-ρ） ，即在货币上，C（n）和P（n）的渐近性由中心极限定理控制。√nS（κStn- An）可近似为（163）κeρ√2β√nn型-1Xj=0Vj-√2βn3/2n-1Xj=0VjnXi=j+1eρin，其中Vj=N（0，1）i.i.d.随机变量。

这个表达式的方差收敛到zκeρp2β-√2βρ（eρ）- eρx）dx=2βρZ（1- eρx）dx（164）=2βρ1.-ρ（eρ- 1） +e2ρ- 12ρ.我们可以进一步使用中心极限定理的非一致Berry-Esseen界来获得以下渐近性，（165）limn→∞√nC（n）=limn→∞√nP（n）=Se-rρr-qE[Z1Z≥0]，其中Z是一个正态随机变量，平均值为0，方差（166）2βρ1.-ρ（eρ- 1） +e2ρ- 12ρ.当κ>ρ（1）时- e-ρ） ，看跌期权不存在，且（167）P（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,当ρ6=0时，我们有现金买入期权（168）C（n）=κSe-rr（右后）-qρ- Se公司-rr（右后）-qρeρ- 1ρ-e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） ，当ρ=0时，（169）C（n）=S（κ- 1） +e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞.命题19的证明。i） BlackScholes模型中未贴现欧式期权的价格仅取决于σT和K/F，F为远期资产价格。在（120）给出的例子中，我们有F=A∞, 我们将这种依赖性表示为e-rTA∞“”哥伦比亚广播公司（K/A∞, σT），带\'CBS（k，v）：=Φ(√五(-日志（k+v））- kΦ(√五(-日志k-v） ）。通过定义等效对数正态隐含波动率，我们得到c（n）=e-rTA∞“”哥伦比亚广播公司（K/A∞, ∑LNT）。（170）考虑OTM亚洲看涨期权K>A∞. 我们从13limn提案→∞nlog C（n）=-2βJ（K/S，ρ）。（171）GBM和亚洲期权31平均值的渐近性→0（∑LNT）日志A.∞“”哥伦比亚广播公司（K/A∞, ∑LNT）= -日志（K/A∞)（172）我们得到，设置T=tn，limn→∞∑LN（K，n）nτ=limn→∞∑LN（K，n）nτlog[A∞“”哥伦比亚广播公司（K/A∞, ∑LNT）]nlog C（n）（173）=βlog（K/A∞)J（K/S，ρ）。回顾β=σnτ，其等效为（174）limn→∞σ∑LN（K，n）=log（K/A∞)J（K/S，ρ），再现结果（123）。ii）货币亚洲期权。Black-Scholes公式给出了这种情况下的“CBS（1，∑LNT）=Φ∑LN√T- Φ-∑LN√T(175)=√2π∑LN√T1+O∑LNT.命题15中给出的ATM亚式期权的大n渐近读（176）C（A∞, n）=√πSe-rρr-qpβv（ρ）√n、 这两个结果与C（A）相关∞, n） =e-rTA∞(R)CBS（1，∑LNT）。

回顾我们有σ√田纳西州=√n√2β我们得到了ATMAsian期权（177）limn的等价隐含波动率的渐近性→∞∑LN（A∞, n） σ=SA∞pv（ρ）。这再现了方程式（125）。（124）的证明也是以类似的方式进行的，首先是计算看涨期权价格的Bachelier公式。参考文献[1]Andreasen，J.（1998）。离散抽样的亚式期权和回望期权的定价：计算方法的变化。J、 公司。财务2，5-23。[2] Alziary，B.，Decamps，J.P.，和Koehl，P.F.（1997）。亚洲期权的偏微分方程方法：分析和数字证据。银行与金融杂志。21, 613-640.[3] Asmussen，S.、Jensen，J.L.和Rojas Nandayapa，L.（2011）。对数正态和的文献综述。昆士兰大学预印本。[4] Berestycki，H.、Busca，J.和Florent，I.（2004年）。计算随机波动率模型中的隐含波动率。纯数学和应用数学交流。LVII，1352-1373年。[5] Bikelis，A.（1966年）。中心极限定理中余项的估计。利托夫斯克。小地毯某人。6,323-346.[6] Carr，P.和Madan，D.（1999年）。使用快速傅立叶变换进行期权估值。J、 公司。资金2(4), 61-73.[7] Carr，P.和Schr¨oder，M.（2003）。贝塞尔过程、几何布朗运动积分和Asianoptions。概率论及其应用。48400-425.32 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU【8】Chung，S.L.，Shackleton，M.和Wojakowski，R.（2000）。FLOAtingStrike亚洲期权值的有效二次近似值。兰卡斯特大学管理学院工作文件。[9] Curran，M.（1994年）。以几何平均价格为条件对亚洲期权和投资组合期权进行估值。《管理科学》401705-1711。[10] A.Dembo和Zeitouni，O.（1998年）。大偏差技术和应用。第二版，纽约斯普林格。[11] Dewynne，J.N.和Shaw，W.T。

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