离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式

2022-5-10 20:27:48

离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式*Patrick Cheridito+Michael KupperLudovic Tangpi§2017年9月摘要在本文中，我们推导了可依赖于多个基础资产的或有权益的稳健超边和次边对偶。除了严格的超边际和次边际之外，我们还考虑了放松风险，其目的不是完全消除短缺风险，而是将其降低到可接受的水平。这就产生了强劲的价格边界和更紧密的价差。作为例子，我们研究了具有一般凸交易成本和交易约束的严格超边缘和分边缘，以及关于风险平均值和熵风险度量的稳健版本的基于风险的边缘。我们的方法基于增加凸泛函的表示结果，并考虑到一般金融市场结构。因此，它产生了资产定价基本理论的一个强大版本。2010年数学学科分类：91G20、46E05、60G42、60G48关键词：稳健价格界限、超边际、次边际、稳健资产定价基本定理、交易成本、交易约束、风险度量。1简介在定量金融中，超边际和次边际双重性是无套利争论的核心。通过将价格与套期保值联系起来，它们为无套利价格提供了界限。但它们也为对偶方法在投资组合优化问题中的应用提供了新的思路。

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2022-5-10 20:27:51

在传统的财务建模中，不确定性由单一的概率测度P来描述，带有贴现支付的或有权益的超边际和次边际价格由φ（X）=inf{m给出∈ R：存在一个Y∈ G使m- X+Y≥ 0 P-a.s.}（1.1）和- φ(-十） =sup{m∈ R：存在一个Y∈ G使得X- m+Y≥ 0 P-a.s.}（1.2）*我们感谢丹尼尔·巴尔特、彼得·卡尔、塞缪尔·德雷珀、马雷克·穆西埃拉、扬·奥布·洛伊、梅特·索纳和尼扎尔·图齐的富有成效的讨论和有益的评论。第一位作者部分获得了NSF拨款DMS-1515753的支持，第三位作者获得了维也纳科技基金会拨款MA 14-008的支持。+苏黎世ETH数学系，瑞士苏黎世8092号德国康斯坦茨大学数学与统计系，78464。§维也纳大学数学系，1090维也纳，奥地利。其中G是所有可变现贴现交易收益的集合。经典结果假设X依赖于一组基础资产，这些资产可以在没有交易成本或约束的情况下动态交易。然后G是一个线性空间，在适当的无套利条件下，我们得到φ（X）=supQ形式的对偶∈Me（P）EQX和- φ(-十） =infQ∈Me（P）EQX，（1.3），其中Me（P）是等价于P的所有（局部）鞅测度的集合；请参见[29]或[20]中的其他概述。在本文中，我们不假设所有未来事件的概率都是已知的。因此，我们不是从预先定义的概率度量开始，而是为一组基本资产指定一组可能的轨迹。这包括一系列的设置，从单一的二叉树模型到无模型的情况，在任何时候，所有资产的价格都可以位于R+（或R）中的任何地方。

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2022-5-10 20:27:54

我们将（1.1）和（1.2）中的P-几乎确定不等式替换为可接受的折扣位置的一般集合a，并考虑φ（X）=inf{m形式的超边和次边泛函∈ R:m- 十、∈ A.- G} 及- φ(-十） =sup{m∈ R:X- M∈ A.- G} 。（1.4）如果A是非负结果的圆锥体，则描述了严格的超边缘和次边缘，这要求完全消除短缺风险。或者，可以通过扩大集合a来考虑一定数量的风险。这会减少超边际价格和分边际价格之间的价差。此外，贴现交易收益集G不必是线性空间，可以描述具有交易成本和交易约束的一般市场结构。我们的主要结果定理2.1为（1.4）中的数量提供了X期望值的对偶表示。作为副产品，它产生了一个稳健的资产定价基本定理（FTAP），它将无套利的两个不同概念与广义鞅测度的存在联系起来。在标的资产有界的情况下，它适用于一般集合A和G，比如G- A是凸的。否则，它需要集合G- A足够大了。这可以通过假设金融市场足够丰富，或者如命题2.2所示，可接受性条件不太严格来保证。在第3节和第4节中，我们研究了A和G的不同规格，对于这些规格，可以明确计算对偶表示。第3节专门讨论了一个案例，其中包括所有非负面结果，对应于严格的超边缘和次边缘。我们考虑一般的半静态交易策略，包括对基础资产的动态投资和静态衍生品头寸。提案3.1涵盖了一般凸交易成本和对衍生品持有的限制。

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2022-5-10 20:27:58

提案3.2涉及动态卖空约束。在第4节中，werelax通过不同的概率度量定义了一系列风险度量来确定套期保值要求和控制短缺风险。这允许在模型不确定性设置中引入风险容忍度。然后，我们的价格界限就变成了稳健的好交易界限。命题4.2给出了一个明确的二元公式，其中短缺风险用稳健的平均风险值进行评估。命题4.4为稳健熵风险度量提供了相同的方法。我们的方法基于我们在附录中发展的增加凸泛函的表示结果。它允许将稳健的方法与交易成本、交易约束、部分对冲和良好交易边界相结合。稳健的套期保值方法可以追溯到[35]，并在[17,19,42]中进行了进一步研究。在[1,3,4,5,9,10,11,12,15,22,23,25,30,36,43]中已经衍生出了各种版本的鲁棒FTAP和超边缘对偶性。对于交易成本下的FTAP和超边际双重性，我们参考[14,21,32,38,45]及其参考文献。关于部分套期保值的文献从[27]的分位数套期保值方法开始，随后发展了更通用的基于风险的方法；参见例如[13,28,44]和与好交易密切相关的文献，例如[7,37,40,46]。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了符号并陈述了论文的主要结果。在第三节中，我们研究了严格的超边和次边，并给出了在凸交易成本和交易约束下具有相应超边对偶的鲁棒FTAP。作为特例，我们得到了Kantorovich的输运对偶[39]的版本，其中包括鞅或超鞅约束。在第4节中，我们使用稳健的风险度量来削弱可接受性条件。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:28:01

这就产生了比第3部分严格的超边际和次边际价格更接近的稳健的好交易边界。所有证据都在附录中给出。2主要结果我们考虑一个金融资产为J+1的模型，Sj和很多交易期t=0，1，T.作为样本空间，我们取一个非空子集Ohm 对于（R++×RJ）T，其中R++表示正半线（0+∞). 假设资产的初始价格已知，并给出byS=1和数字Sj∈ R、 j=1，J.其未来价格不确定，模型为Sjt（ω）=ωjt，t=1，T，j=0，J、 ω∈ Ohm. 为了陈述和证明本文中的结果，以S为单位进行报价是很方便的。这样贴现后，资产价格变为S≡ 1和<<Sjt=Sjt/St，j=1，J.然而，S上的衍生工具，SJ通常以名义价格SJ而非折扣价格Sjt为准。所以一般意外事件对S的折扣支付，具有成熟度的SJT由映射X给出：Ohm → R.我们捐赠Ohm 使用欧几里德度量，并表示所有Borel可测函数的空间X：Ohm → R乘以B。从时间0到T，通过投资金融市场可以实现的所有贴现交易收益由子集G给出 B包含0。G可能包含在时间T之前到期的衍生工具的贴现收益。然后将所得投资于时间T之前持有的沙子。所有可接受的贴现时间-T头寸都用子集a建模 B包含正coneB+：={X∈ B:X≥ 0}这样A+B+ A和A- G是凸的。相应的超边缘泛函是φ（X）：=inf{m∈ R:m- 十、∈ A.- G} ，在哪里 := +∞.它通过贴现的时间T支付确定每项负债∈ B、所需的最低初始资本- X可以通过投资金融市场转变为可接受的头寸。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:28:05

A=B+的情况对应于严格的超边缘化，这要求在每种可能的情况ω中都有一个或有类超复制∈ Ohm. 更大的接受集A放松了超边际需求，降低了对冲成本。由G和A诱导的次边缘泛函由下式给出：-φ(-十） =sup{m∈ R:X- M∈ A.- G} ，在哪里吃 := -∞.我们假设存在一个连续函数Z：Ohm → [1, +∞) 具有紧子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 尽管如此，z∈ R+。我们将考虑贴现支付函数的套期保值双重性，其增长由Z控制。让BZ B是由函数X组成的子空间∈ 根据这个假设Ohm 是σ-紧的。特别地，它是（R++×RJ）T的一个Borel可测子集Ohm 是在R（J+1）T中闭合的（R++×RJ）T的非空子集，任何连续函数z：Ohm → [1, +∞) 有界子级集具有紧子级集。X/Z是有界的，uz是所有上半连续X的集合∈ BZand CZX是所有连续X的空间∈ BZ。通过PZwe，我们表示上所有Borel概率测度的集合Ohm 满足可积性条件EPZ<+∞. 定义凸共轭φ*: PZ→ R∪ {±∞} 由φ*（P）：=supX∈CZ（EPX）- φ（X））。那么以下是成立的：定理2.1。假设每∈ N、存在一个z∈ R+使得n（Z- z）+-N∈ G- A.

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2022-5-10 20:28:09

（2.1）那么以下三个条件是等价的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）存在一个概率测度P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ CZ∩ （G）- A）（iii）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*（P））为所有X∈ CZ。如果除了（2.1）之外，还有φ（X）=infY∈CZ，Y≥Xφ（Y）表示所有X∈ UZ，（2.2）然后（i）–（iii）也相当于以下三项中的每一项：（iv）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（v）存在一个概率测度P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ 乌兹∩ （G）- A）（vi）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*（P））为所有X∈ 乌兹。（2.1）和（2.2）都是集合G上的条件- A（后者是因为φ由G定义）- A）。（2.1）如果Ohm 是紧凑的，因为在这种情况下- z） +=0表示z∈ R+足够大。另一方面，如果Ohm 不是紧致的，例如，如果每n∈ N、存在一个z∈ R+使得有一个投资机会产生至少n（Z）的贴现结果- z） +初始成本不超过1/n，或者，如果为1/n- n（Z）- z） +被认为是可接受的折扣头寸。下面的命题2.2提供了一类接受集，使得（2.1）不需要对G进行额外假设，命题2.3给出了（2.2）的等价条件。在下面第3节和第4节中的所有示例中，满足了（2.1）和（2.2）两个条件。（i）和（iv）是无套利条件，或者在接受集A大于B+的情况下，称为无良好交易条件。（i）这意味着不存在以零初始资本开始的交易策略，其产生的结果超过可接受头寸的正比例ST，或者等效地，不存在将负初始财富转化为可接受头寸的交易策略。

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2022-5-10 20:28:12

[31]和[41]在经典框架中使用了相同的条件。（iv）略强。在A等于B+的情况下，它对应于[18]中引入并在[1]中使用的无模型独立套利。我们指出，对于A=B+，（i）和（iv）都弱于传统的无套利条件，这要求不存在产生非负收益的交易策略，该收益在样本空间的不可忽略部分为正（参见[33,34,29,23]）。（ii）和（v）推广了鞅测度的概念。例如，如果A=B+且标的资产是流动交易的，则它们由适当的鞅度量组成。但在存在比例交易成本的情况下，它们变成了ε-近似鞅测度，在卖空约束下，变成了超鞅测度（见第3节中的示例）。（iii）和（vi）给出了超边缘泛函φ的对偶表示。最大值意味着（iii）和（vi）的右边是达到的最高点。（iii）和（vi）直接转换为副标题功能的双重表示-φ(-十）。如果条件（iii）成立，则-φ(-十） =minP∈PZ（EPX+φ）*（P））为所有X∈ CZ，并且表示扩展到所有X∈ UZif（vi）是满意的。此外，请注意，只要φ在bz上取值且φ（0）=0，子边函数也是如此，并且通过凸性φ（X）+φ得到(-十）≥ 2φ（0）=0，得到有序φ（X）≥ -φ(-十）为了所有的X∈ BZ。可以将一大类验收集写成asA=nX∈ BZ:EPX+α（P）≥ 0代表全部P∈ PZo+B+（2.3）用于合适的映射α：PZ→ R+∪ {+∞}. 在极端情况下α≡ 0，A是正锥B+。另一方面，可以证明，如果α增长足够快，定理2.1的假设（2.1）是自动满足的：命题2.2。

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2022-5-10 20:28:15

条件（2.1）认为，对于映射α：PZ，ifa由（2.3）决定→ R+∪ {+∞}满意的（A1）infP∈PZα（P）=0和（A2）α（P）≥ 所有P的EPβ（Z）∈ PZ，其中β：[1+∞) → R是一个性质为limx的递增函数→+∞β（x）/x=+∞.下面的结果给出了假设（2.2）的双重条件，这在第3节和第4节中很有用。提议2.3。假设（2.1）成立。然后φ*（P） =supX∈CZ∩（G）-A） EPX≤ 好的∈UZ（EPX）- φ（X））=supX∈乌兹∩（G）-A）所有P的EPX∈ PZ，不等式是一个等式当且仅当φ满足（2.2）。我们从子集I调用函数f 如果f（x），R到R增加≥ f（y）代表x≥ y、在这一节中，我们集中讨论接受集A由正coneB+给出的情况。Ohm 假设为数字0<at的qtt=1（[at，bt]×RJ+）的非空闭子集≤ 英国电信，以及价格过程，Sj由S=1给出，Sj∈ R+，j=1，J和Sjt（ω）=ωjt，t≥ 1,ω ∈ Ohm. 它们产生过滤系数Ft=σ（Sjs:j=0，…，j，s≤ t），t=0，T作为增长函数，我们选择Z=1+Pj，t≥1（~Sjt）p对于常数p≥ 1.它显然是连续的，并且子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 都很紧凑∈ R+。此外，对于所有j和t，~Sjtbelongs到czt。对于任意集G B包含0的贴现交易收益，使得G- B+是凸的，条件（2.1）对每n等价∈ N、 j=1，J、 t=1，T，确实存在∈ G和K∈ R+这样X≥ n（~Sjt）p- （K）+- 1/n.（3.1）例如，在p=1的情况下，如果市场对所有资产提供看涨期权，随着每一个成熟度t=1。

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2022-5-10 20:28:18

以任意小的价格出售。让我们来定义φ*G（P）：=supX∈GEPX，P∈ PZ，理解为EPX：=EPX+- EPX-如果EPX-< +∞-∞ 否则，引入相应的广义鞅测度集m:={P∈ PZ：φ*G（P）=0}=nP∈ PZ:EPX≤ 0代表所有X∈ 去3.1具有凸交易成本和约束的半静态套期保值让我们首先假设资产，SJ可以动态交易，此外，它还可以根据S，SJ。我们通过J维可预测过程（θt）Tt=1对资产持有量建模，来描述交易策略的动态部分，SJT随时间推移，并假设在时间t购买或出售SJT股份会产生gjt形式的交易成本（ω，θjt+1（ω）Sjt（ω））对于连续函数gjt：Ohm ×R→ 使得gjt（ω，x）在ω中是可测的，在x中是凸的，gjt（ω，0）=0。在什么情况下Ohm 是r（J+1）T的无界子集，我们也假设supx∈E | gjt（ω，x）|/Z（ω）对于每个有界子集E在ω中有界 R.静态投资组合可以通过投资于给定的一组具有贴现收益的衍生工具来形成∈ CZ，我∈ I.我们对指数集I不做任何假设。特别是，（Hi）I∈我可以成为一个独立的收藏家。然而，只可能对其中的大部分进行投资。更准确地说，我们用Ri表示Ri中的向量集，其中至多有许多与0不同的分量，并且假设策略θ的静态部分被限制在给定的凸集Θ中含大米。衍生品市场中的贴现交易成本由凸映射h：Θ给出→ CZH（0）=0。这意味着它们可以依赖于潜在的不确定性。像往常一样，我们在符号中增加了gjtin的ω依赖性。

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2022-5-10 20:28:22

然后，由此产生的贴现交易收益集Gconsists of formTXt=1JXj=1θjt的结果~Sjt-gjt-1(θjtSjt-1）圣-1!+xi∈IθiHi- h（θ），其中~Sjt=~Sjt-~Sjt-1和θjt=θjt- θjt-1θj=0。对于我们一般模型的这一具体情况，可以从定理2.1和命题2.3中得出以下结论：命题3.1。如果G满足条件（3.1），以下四个条件是等价的：（i）不存在X∈ G和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ 使得X（ω）>0表示所有ω∈ Ohm（iii）M 6=（iv）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*G（P））表示所有X∈ 乌兹。此外，φ*G（P）=PT-1t=0PJj=1EPStgj*TEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjt{Sjt>0}+ H*（P）如果P∈ R+∞ 如果P/∈ R、（3.2）forgj*t（y）：=supx∈R（xy）- gjt（x）），h*（P）：=supθ∈ΘEPXi∈IθiHi- h（θ）！，安德烈：=nP∈ PZ:P[Sjt=0且Sjt>0]=0，对于所有j=1，J和t≤ T- 1o。命题3.1扩展了[3]的定理2.2，该定理提供了模型中一般对流交易成本的对偶结果，该模型具有紧凑的样本空间，其中没有可用于套期保值的衍生工具。3.1.1比例交易成本作为一种特殊情况，让我们考虑比例交易成本，以及市场上某些衍生品可能只能买卖的限制。更准确地说，对于Ft可测的随机系数εjt，动态交易成本由gjt（x）=εjt | x |形式的函数给出∈ C+Z.套期保值组合的静态部分由向量θ给出∈ Ri与相关成本（θ）=Pi∈Ih+iθ+i-H-iθ-ifor出价和要价-我∈ R∪{-∞} 和h+i∈ R∪{+∞}, 其中h+i=+∞这意味着它不能被买来-我=-∞ 它不能出售。

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2022-5-10 20:28:25

相应的折扣交易结果的格式为TXT=1JXj=1θjt~Sjt- εjt-1|θjtSjt-1|+xi∈我θiHi- θ+ih+i+θ-ih-我,安德吉*t（y）=0如果| y |≤ εjt+∞ 否则，h*（P）=如果h为0-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ 我+∞ 否则根据命题3.1，我们有φ*G（P）=如果P∈ M+∞ 否则，其中M是所有概率测度P的集合∈ 满足条件a）（1）- εjt）~Sjt≤ EP[~SjT |英尺]≤ （1+εjt）~sjt对于所有j=1，J和t=0，T- 1b）h-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ 如果命题3.1的（3.1）和（I）成立，我们得到对偶φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ 乌兹。（3.3）如果εjt≡ 0，动态交易是无摩擦的，并且a）减少到标准鞅条件。在这种情况下，（3.3）是[1]中定理1.4给出的S的超边缘对偶≡ 1.另一方面，在系数εjt恒定且（Hi）i∈欧式期权的Iconsists持续依赖于ST，（3.3）成为[23]中定理2.6所示的S的超边缘对偶≡ 1.3.1.2超线性交易成本fΘ=r和对应于t（x）=εjtpj | x | pj，h（θ）=Xi的交易成本∈正Ft可测εjt的Ihiθi+δiqi |θi | qi∈ CZ和常数δi>0，pj，qj>1，hi∈ R、我们从命题3.1中得到φ*G（P）=T-1Xt=0JXj=1EP（εjt）1-p′jStp′jEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjtp′j+xi∈Iδ1-q\'iiq\'i伊菲- 你好q′i，其中p′j:=pj/（pj）- 1），q′i:=qi/（qi）- 1），0/0:=0和x/0:=+∞ 对于x>0。此外，如果命题3.1的（3.1）和条件（i）成立，则φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*G（P））表示所有X∈ 乌兹。3.1.3欧洲看涨期权和边际分配约束let gjt：Ohm ×R→ R如上文第3.1小节开头所述，并假设家庭（Hi）i∈I所有折扣欧洲看涨期权支付（~Sjt）的考虑- K） +，j=1。J、 t=1。

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2022-5-10 20:28:29

，T，K∈ R+。此外，假设任意数量的期权具有折扣支付（~Sjt-K） +可以购买或以pj、+t和pj的价格出售，-t、分别是K。如果林克→+∞pj，+t，K=0，对于所有j和t，条件（3.1）保持不变。因此，如果另外满足命题3.1的（i），则得到φ（X）=maxPEPX-T-1Xt=0JXj=1EP“Stgj*tEP[~SjT |英尺]-~Sjt~Sjt！{Sjt>0}#, 为了所有的X∈ UZ，（3.4），其中最大值超过所有P∈ Pz使得对于所有j=1，…，P[Sjt=0且Sjt>0]=0，J和t=0，T- 1b）pj，-t、 K≤ EP（~Sjt）- （K）+≤ pj，+t，k对于所有j=1，J、 t=1。T和K∈ R+。EP（~Sjt）- K） +可以写为+∞KP[~Sjt>x]dx。因此条件b）对P的分布施加约束，在极限情况下，pj，+t，K=pj，-t、 K，它完全决定了∧SjtunderP的分布。特别是如果gjt≡ 0和pj，+t，K=pj，-t、 K=pjt，K∈ 对于所有的j，t，K，从第3.1项的（3.1）和（i）中可以看出，在R+上存在唯一的边际分布+∞Kνjt（x+∞)dx=pjt，K，K∈ R+，使得φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ，（3.5），其中M由所有P组成∈ 令人满意的，令人满意的，~sj是Pb下的鞅）~Sjtunder P的分布对于所有j=1，J和t=1，T.（3.5）是Kantorovich的输运对偶[39]的一个变体，最近在不同的组中以鞅输运对偶的名称进行了研究；参见例如[4,5,30]。3.2带卖空约束的半静态套期保值现在假设动态交易不会产生交易成本，但只会产生非负数量的资产，我们可以举行婚礼。如上所述，人们可以静态投资于具有贴现支付功能的衍生品∈ CZ，我∈ 一、根据一个策略θ位于凸子集Θ中含大米0。

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2022-5-10 20:28:32

莱思：Θ→ CZX可以是h（0）=0的凸映射，并假设G由TXT=1JXj=1θjt形式的折扣结果组成■Sjt+Xi∈IθiHi- h（θ），其中（θt）Tt=1是非负J维可预测策略，θ∈ Θ. 那么，命题3.1的以下变体成立：命题3.2。如果满足（3.1），则命题3.1的条件（i）-（iv）是等价的，其中φ*G（P）=supθ∈ΘEP（Pi）∈IθiHi- h（θ）如果)S，~sj是P下的超鞅+∞ 否则，M={P∈ PZ：φ*G（P）=0}.3.2.1动态和静态卖空约束如果在交易策略的动态和静态部分存在卖空约束，即Θ=RI∩ RI+，h（θ）=Pi∈Ihiθifor prices hi∈ R、根据命题（3.1）的命题3.2和命题3.1的条件（i），φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ，其中M是所有度量P的集合∈ 例如，a）~S，■Sji是Pb）EPHi下的超级艺术家≤ 嗨，我∈ I.3.2.2由于只有交易策略的动态部分受制于卖空约束，因此Supermartingale transport Duality（超级马丁格尔运输）提供∈i所有折扣看涨期权（~Sjt- K） +，j=1，J、 t=1，T，K∈ R+。i任意数量的（~Sjt）- K） +可以以pj、+t、K的价格买卖≤ pj，-t、 K分别满足条件（3.1），前提是limK→+∞对于所有的j和t，pj，+t，K=0。所以，如果加上命题3的（i）。1成立，从命题3.2得到φ（X）=maxP∈MEPX适用于所有X∈ UZ（3.6），其中M由度量值P组成∈ 令人满意的，令人满意的，■SJ是Pb）pj下的超级艺术家，-t、 K≤ EP（~Sjt）- K） +=R+∞KP[~Sjt>x]dx≤ pj，+t，k对于所有j=1，J、 t=1。

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2022-5-10 20:28:36

、T和K∈ R+。在特殊情况下pj，+t，K=pj，-t、 K=pjt，K∈ R+，条件b）满足当且仅当对于所有j和t，P的分布等于满足R的度量+∞Kνjt（x+∞)dx=pjt，K表示所有K∈ R+。在这种情况下，（3.6）变成了Kantorovich的运输对偶[39]的一个超级鞅版本。4关于风险度量，在本节中，我们放松了严格的超级鞅要求，并考虑了形式=\\Q的可接受折扣集合∈Q{X∈ BZ:ρQ（X）≤ 0}+B+，（4.1）其中Q PZ是一组非空的概率测度，对于每个Q∈ Q、 ρQ:BZ→ R是一个凸风险度量。更具体地说，我们专注于转换损失风险度量：ρQ（X）=分钟∈REQlQ（s）- 十）- s对于损失函数lQ:R→ R.在负号之前，它们与Ben-Tal和Teboulle[6]的优化确定性等价物一致。对于无界随机变量，在[16]的第5节中进行了研究。我们做了以下假设：（l1）每个lqi都是递增的，并且与limx凸→±∞（lQ（x）- x） =+∞（l2）supQEQlQ（ν（Z））<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → R满足极限→+∞~n（x）/x=+∞（l3）l*Q（1）=0表示所有Q∈ Q、我在哪里*Q（y）=supx∈R（xy）- lQ（x）），y∈ R.那么下列条件成立：即lQ（x）≥ x的lQ（y）≥ 伊莱玛4.1。每问∈ Q、 ρQ是bz上的一个实值凸风险测度，ρQ（0）=0，对偶表示ρQ（X）=maxP∈PZ，P<<QEP[-X]- 情商L*QdPdQ. （4.2）此外，（4.1）中给出的验收集A的形式为（2.3）映射α：PZ→ R+∪ {+∞}满足（A1）和（A2）。4.1稳健的风险平均值现在假设，如第3节所述Ohm 是数字0<at的qtt=1（[at，bt]×RJ+）的闭子集≤ 考虑过滤系数Ft:=σ（Sjs:j=0，…，j，s≤ t）由Sjt（ω）=ωjt生成。我们选择一个连续函数Z：Ohm → R以至于≥ 1+Pj，t≥1Sjt。

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2022-5-10 20:28:45

然后子级集合{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} ，z∈ R+是紧凑型的，所有的SJT都延伸到CZ。对于固定级别0<λ≤ 来自给定非空子集Q的1和Q PZ，考虑riskAVaRQλ（X）：=λZλVaRQu（X）du，X的平均值∈ BZ。众所周知（参见[29]）可以写成asAVaRQλ（X）=min∈R情商- 十） +λ- s, 十、∈ BZ，并且具有formAVaRQλ（X）=maxP的对偶表示<<Q、 dP/dQ≤1/λEP[-十] ，X∈ BZ。相应的健壮接受集isA=\\Q∈QnX∈ BZ:AVaRQλ（X）≤ 0o+B+让我们假设资产S，SJ可以根据一定比例的交易成本进行动态交易，如果S，Sj由ε，…，给出重新平衡，εJ≥ 0.此外，存在一系列具有贴现支付（Hi）i的衍生品∈我 CZH可以通过出价和ASKPRICE进行静态交易-i、 h+i∈ R.由此产生的贴现交易收益集G由formTXt=1JXj=1（θjt）的结果组成~Sjt- εj|θjtSjt-1 |）+Xi∈I（θiHi）- θ+ih+i+θ-ih-i），（4.3）式中（θt）为J维（Ft）-可预测策略，θ∈ 里。在这些条件下，我们有以下几点：主张4.2。如果Q是凸的，σ（PZ，CZ）-闭合且满足∈QEQ~n（Z）<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → R这样limx→+∞~n（x）x=+∞, （4.4）以下是等效的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（iii）M 6=（iv）φ是BZandφ（X）=maxP上的实值∈MEPX适用于所有X∈ UZ，其中M是所有概率测度P的集合∈ （a）（1）- εj）~Sjt≤ EP[~SjT |英尺]≤ （1+εj）~sjt对于所有j=1，J和t=0，T- 1b）h-我≤ 伊菲≤ 如果我∈ Ic）dP/dQ≤ 对于某些Q，1/λ∈ 问题：例4.3。如果Z=1+Pt，j≥1Sjt，可积条件（4.4）由以下四个概率测度族满足：1。全Q∈ 让cjt≤ EQ（~Sjt）≤ Cjt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjt。2.

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可人4

2022-5-10 20:28:49

全Q∈ 让cjt≤ 等式[（￠Sjt/￠Sjt-1.- 1） |英尺-1] ≤ Cjt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjt。3.所有问题∈ Pz，其中Yjt=log（~Sjt/~Sjt）-1），j=1，J、 t=1，T，在有界集合M中与平均向量（EQYjt）形成高斯族有界集合∑中的RJTand协方差矩阵CovQ（Yjt，Yks） RJT×JT。4.任意集Q的σ（PZ，CZ）-闭凸壳（4.4）。可以很容易地检查前两个族是否凸且σ（PZ，CZ）-闭合。但thirdone通常不是凸的。因此，为了满足命题4.2的假设，我们必须传递到σ（PZ，CZ）-闭凸壳。4.2第4.1小节中的稳健熵风险度量，假设Ohm 是一个封闭的子类TQTT=1（[at，bt]×RJ+）t，用于数字0<at≤ bt，考虑由（Sjt）产生的过滤（Ft），j=0，J、让Z：Ohm → R是一个连续函数，使得Z≥ 1+Pj，t≥1Sjt。对于给定非空集Q中的固定风险规避参数λ>0和Q PZ，考虑熵风险度量Tqλ（X）=λlog EQexp(-λX），X∈ BZ。它允许替代代表sentqλ（X）=分钟∈Rexp（λs）- 1.- λX）λ- s= maxP<<QEP[-X]-λEQdPdQlogdPdQ, 十、∈ BZ；参见例[16]。由此产生的健壮接受集isA=\\Q∈QnX∈ BZ:EntQλ（X）≤ 0o+B+。如果贴现交易收益G的集合如（4.3）所示，则得到命题4的以下变量。2：提案4.4。

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2022-5-10 20:28:54

如果Q是凸的，σ（PZ，CZ）-闭合且满足∈QEQexp（ν（Z））<+∞ 对于递增函数φ：[1+∞) → 带边缘的R→+∞~n（x）x=+∞, （4.5）以下是等效的：（i）不存在X∈ G- A和ε∈ R++使得X≥ ε（ii）不存在X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm（iii）存在一个P∈ 这样EPX≤ 0代表所有X∈ 乌兹∩ （G）- A）（iv）φ是bz上的实值，φ（0）=0，φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- η（P））对于所有X∈ UZ，其中η：PZ→ R+∪ {+∞} 由η（P）=（infQ）给出∈Q、 P<<量化宽松dPdQlogdPdQ/λ如果P满足a）–b）和P<< Q代表一些Q∈ Q+∞ 否则，a）–b）与命题4.2中的条件相同。例4.5。对于Z=1+Pj，t≥1Sjt，以下是PZ（4.5）的凸σ（PZ，CZ）-闭子集：1。全Q∈ 让cjt≤ EQ（~Sjt）≤ Cjtand EQexp（εjt（~Sjt））≤ djt对于给定的常数0≤ cjt≤ Cjtandεjt，Djt>0.2。全Q∈ 让cjt≤ 等式[（￠Sjt/￠Sjt-1.- 1） |英尺-1] ≤ Cjtand EQexp（εjt（~Sjt））≤ DJT针对给定的条件0≤ cjt≤ Cjtandεjt，Djt>0.3。任意集Q的σ（PZ，CZ）-闭凸壳 PZ（4.5）。请注意，示例4.3.3也满足条件（4.5）。因此，它的σ（PZ，CZ）-闭凸外壳符合命题4.4的假设。证据。1递增凸泛函的表示在准备定理2.1的证明时，我们首先导出CZ和UZ上一般递增凸泛函的表示结果。如第2节所述，Ohm 是（R++×RJ）TandZ的非空子集：Ohm → [1, +∞) 一个连续函数，使得{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} 对所有人来说都很紧凑∈ R+。如果（Xn）是一系列函数Xn：Ohm → R逐点递减到函数X：Ohm → R、我们写了↓ X.连续函数的空间X：Ohm → R使得X/Z有界，形成一个向量格；也就是说，它是一个线性空间，对于所有X，Y∈ CZ，最小点X∧ Y和X∧ 1也属于CZ。

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2022-5-10 20:28:57

设ca+Zbe为所有Borel度量的集合usatisfyinghZ，ui:=RZdu<+∞. 我们称之为函数ψ：CZ→ 如果ψ（X）增加R≥ ψ（Y）代表X≥ Y并定义凸共轭ψ*CZ:ca+Z→ R∪ {+∞} 按ψ*CZ（u）：=supX∈CZ（hX，ui- ψ（X））。定理A.1。设ψ：CZ→ R是一个增凸泛函，其性质为everyX∈ CzLimz存在一个常数ε>0→+∞ψ（X+ε（Z）- z） +）=ψ（X）。（A.1）则ψ（X）=最大u∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））适用于所有X∈ CZ。（A.2）证据。修正X∈ CZ。它是从ψ的定义开始的*Czψ（X）≥ supu∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））。（A.3）另一方面，Hahn–Banach扩张定理（例如，以[2]中定理5.53的形式）应用于平凡子空间{0} CZ与控制函数ψX:CZ→ R、由ψX（Y）给出：=ψ（X+Y）- ψ（X），得到线性泛函ζX:CZ的存在性→ 受ψX支配的R。由于ψXis增加，ζX也必须如此。如果我们能证明，对于czn中的每个序列（Xn）↓ 存在一个常数η>0，使得ψX（ηXn）↓ 0，然后ζX（Xn）↓ 0，我们从Daniell–Stone定理（参见[24]中的定理4.5.2）中得出，对于度量值uX，形式为ζX（Y）=hY，uXi的ζXis∈ ca+Z。因此hX，uXi- ψ（X）≥ hX+Y，uXi- ψ（X+Y）表示所有Y∈ CZ。特别是ψ*CZ（uX）=hX，uXi- ψ（X），表示式（A.2）来自（A.3）。现在，选择ε>0，使（A.1）保持不变，m>0，使X保持不变≤ mZ。设置η=ε/（4m）和fixδ>0。存在一个z∈ R+使得ψX（ε（Z- z） +）≤ δ、根据我们对Z的假设，集合∧={Z≤ 2z}是紧凑的。因此，我们从迪尼引理中得到xn:=maxω∈∧Xn（ω）↓ 0.从X7开始→ ψX（X）是从R到R的凸函数，它是连续的。特别地，存在一个ψX（2ηxn）的nsuch≤ 所有n的δ≥ N

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2022-5-10 20:29:01

此外，它来自xn≤ Xn{Z≤2z}+X{Z>2z}≤ xn{Z≤2z}+mZ1{Z>2z}≤ xn+2m（Z）- z） +thatXn- xn2m≤ （Z）- z） +，因此，ψX（2η）（Xn- xn））=ψXεXn- xn2m≤ δ表示所有n，这给出ψX（ηXn）≤ψX（2ηxn）+ψX（2ηxn）- xn）≤ 所有n的δ≥ n、因此，ψX（ηXn）↓ 0，证明是完整的。为了将表示（A.2）扩展到CZ之外，我们需要以下版本的条件（A.1）：limz→+∞ψ（n（Z）- z） +）=每n的ψ（0）∈ N.（A.4）随后的引理表明它暗示（A.1）。引理A.2。增凸泛函ψ：CZ→ R与财产（A.4）的关系也满足（A.1）。证据如果（A.4）成立，则对任何X都成立∈ CZ，ε∈ R+和λ∈ （0,1），ψ（X+ε（Z）- z） +）≤ λψXλ+ (1 - λ)ψε（Z）- z） +1- λ和ψε（Z）- z） +1- λ→ ψ（0）表示z→ +∞.此外，自z 7以来→ ψ（zX）是R上的一个实值凸函数，它是连续的。特别是λψXλ→ ψ（X）和（1）- λ)ψ(0) → λ为0→ 1.这表明ψ（X+ε（Z- z） +）→ ψ（X）代表z→ +∞.在给出形式（a.2）的表示在UZ上成立的条件之前，我们注意到对于给定的X∈ UZ，Xn（ω）：=supω′∈OhmX（ω′）Z（ω′）- nXj，t |ωjt- ω′jt|Z（ω）定义CZN中的一个序列↓ 除了这个事实，我们还需要以下两个辅助结果：引理A.3。对于每一个增凸泛函ψ：CZ→ R以下结论：（i）存在一个递增凸函数φ：R+→ R∪{+∞} 满意的边缘→+∞~n（x）/x=+∞这样ψ*CZ（u）≥ 对于所有u∈ ca+Z.（ii）如果ψ满足（A.4），则子级设置{u∈ ca+Z:ψ*CZ（u）≤ a} ，a∈ R、是σ（ca+Z，CZ）-紧的。证据每微升∈ ca+Z，一个有ψ*CZ（u）≥ supy∈R+（hyZ，ui）- ψ（yZ））=对于增凸函数φ：R+→ R∪ {+∞} 由φ（x）给出：=supy∈R+（xy）- ψ（yZ））。根据ψ是实值的事实，limx→+∞~n（x）/x=+∞.

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可人4

2022-5-10 20:29:04

这表明（i）。作为σ（ca+Z，CZ）-连续函数的上确界，ψ*CZisσ（ca+Z，CZ）-下半连续。因此，集合∧a:={u∈ ca+Z:ψ*CZ（u）≤ a} σ（ca+Z，CZ）-闭合。此外，每一个∈ ∧asatis fiesm（Z）- z） +，u- ψ（m（Z）- z） +）≤ ψ*CZ（u）≤ a代表所有的m，z∈ R+。所以如果（A.4）成立，那么每一个m都存在∈ R+a z∈ R+这样（Z）- z） +，u≤a+ψ（0）+1M表示所有u∈ ∧a.尤其是limz→+∞supu∈λa（Z）- z） +，u= 0，因此，limz→+∞supu∈λaZ1{Z>2z}，u≤ 林茨→+∞supu∈λa2（Z）- z） +，u= 0.（A.5）从（i）我们知道HZ，ui≤ φ-1（a）<+∞ 无论如何∈ ∧a，（a.6）式中-1:R→ R+是φ的右连续倒数，由φ给出-1（y）：=sup{x∈ R+：ν（x）≤ y} 喝一杯 := 0.映射f:x7→ X/Z识别CZ与有界连续函数Cb和G的空间：u7→ Zdu用所有有限的Borel度量值ca+来识别ca+Z。由（A.5）和（A.6）可知，g（λA）是紧的。因此，我们可以从普罗霍罗夫定理（参见[8]中的定理8.6.7）的正半部分得出，g（λa）是σ（ca+，Cb）-紧的，这相当于∧abeingσ（ca+Z，CZ）-紧的。引理A.4。设α：ca+Z→ R∪{+∞} 是一个映射，以便infu∈ca+Zα（u）∈ R和α（u）≥ 对于所有u∈ ca+Zand a函数：R+→ R∪ {+∞} 满意的边缘→+∞~n（x）/x=+∞. 然后保持以下状态：（i）ψ（X）：=supu∈ca+Z（hX，ui- α（u））定义了一个递增的凸泛函ψ：BZ→ R.（ii）如果所有下级u ∈ ca+Z:α（u）≤ A., A.∈ R、是相对σ（ca+Z，CZ）-紧的，然后是ψ（Xn）↓ψ（X）对于czn中的每个序列（Xn），使得Xn↓ X代表X∈ CZ。（iii）如果所有次级设置u ∈ ca+Z:α（u）≤ A., A.∈ R、是σ（ca+Z，CZ）-紧的，然后是ψ（Xn）↓ ψ（X）czn中的前向序列（Xn），使Xn↓ X代表X∈ UZ和ψ（X）=最大u∈ca+Z（hX，ui- α（u））适用于所有X∈ 乌兹。证据很明显，ψ是递增的和凸的。而且，每X∈ BZ，存在一个m∈ R+使得| X |≤ mZ。

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可人4

2022-5-10 20:29:08

因此，ψ（X）≥ supu∈ca+Z(-兆赫，ui- α(u)) > -∞以及ψ（X）≤ supu∈ca+Z（兆赫，微秒）- α(u)) ≤ supu∈ca+Z（兆赫，微秒）- ν（hZ，ui））<+∞.这表明（i）。现在，让（Xn）是CZN中的一个序列，这样Xn↓ X代表一些X∈ 乌兹。通过将а替换为а（x）=infy≥x k（y）∨ infu∈ca+Zα（u），可以假设а在增加。然后是右连续逆-1:R→ R+，由给出-1（y）：=sup{x∈ R+：ν（x）≤ y} 喝一杯 := 0，令人满意→+∞φ-1（y）/y=0和hZ，ui≤ φ-1（α（u））表示所有u∈ domα：=ν ∈ ca+Z：α（ν）<+∞.选择m∈ R+这样X≤ mZ。然后是HxN，ui- α(u) ≤ 兆赫，ui- α(u) ≤ m~n-1(α(u)) - 所有n和u的α（u）∈ domα。（A.7）如果u ∈ ca+Z:α（u）≤ A., A.∈ R、是σ（ca+Z，CZ）-紧的，那么α是σ（ca+Z，CZ）-下半连续的。此外，从（A.7）可以看出∈ R足够大时，存在一个序列（un）u ∈ ca+Z:α（u）≤ A.使得ψ（Xn）≤ hXn，uni- α（un）+对于所有n.如引理A.3的证明所示，该对（ca+Z，CZ）可与（ca+，Cb）识别，σ（ca+，Cb）由Kantorovich–Rubinstein范数生成（参见[8]中的定理8.3.2]）。所以σ（ca+Z，CZ）是可度量的。因此，在可能传递到子序列之后，可以假设（un）收敛到度量值u∈u ∈ ca+Z:α（u）≤ A.inσ（ca+Z，CZ）。然后是α（u）≤ lim infnα（un）。此外，对于每一个ε>0，存在一个n′，使得hXn′，ui≤ hX，ui+ε。现在选择n≥ n′使得hxn′，uni≤ hXn′，ui+ε。然后是HxN，uni≤ hXn′，uni≤ hXn′，ui+ε≤ hX，ui+2ε，表明lim supnhXn，uni≤ hX，ui，因此，infnψ（Xn）≤ lim supn（hXn，uni- α（un））≤ hX，ui- α(u) ≤ ψ（X）。特别是ψ（Xn）↓ ψ（X）=最大u∈ca+Z（hX，ui- α（u）），显示（iii）。还有待证明（ii）。

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能者818

2022-5-10 20:29:11

为此，我们注意到，如果α满足（ii）的假设，σ（ca+Z，CZ）下半连续壳α*具有σ（ca+Z，CZ）-紧子级集和α*(u) ≥ φ*（赫兹，ui）∨ infu∈所有u的ca+Zα（u）∈ ca+Z，其中*是下半连续的船体。自从limx→+∞φ*（x） /x=+∞ ψ（X）=supu∈ca+Z（hX，ui- α*（u））适用于所有X∈ CZ，由（iii）可知ψ（Xn）↓ ψ（X）对于czn中的每个序列（Xn），使得Xn↓ X代表X∈ CZ。这表明（ii）。现在我们准备给出在UZ上增加凸泛函的表示结果。对于u∈ ca+Z，我们定义ψ*UZ（u）：=supX∈UZ（hX，ui）- φ（X））。定理A.5。设ψ：UZ→ R是一个增凸函数满足条件（A.4）。然后，下列各项是等价的：（i）ψ（X）=最大u∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））适用于所有X∈ UZ（ii）ψ（Xn）↓ ψ（X）表示所有X∈ CZN中的UZ和eve ry序列（Xn）使得Xn↓ X（iii）ψ（X）=infY∈CZ，Y≥所有X的Xψ（Y）∈ UZ（iv）ψ*CZ（u）=ψ*UZ（u）表示所有u∈ ca+Z证明。因为引理A.2（A.4）暗示（A.1），我们从定理A.1中得到ψ（X）=maxu∈ca+ZhX，ui- ψ*CZ（u）为了所有的X∈ CZ。此外，通过引理A.3，子级集{u∈ ca+Z:ψ*CZ（u）≤ a} ，a∈ R、是σ（ca+Z，CZ）-紧的，并且存在一个函数+→ R∪ {+∞} 这样limx→+∞~n（x）/x=+∞ 和ψ*CZ（u）≥对于所有u∈ ca+Z.（一）=> （ii）现在是引理a.4第（iii）部分的结果，以及（ii）=> （iii）自everyX之后∈ uz在czn中存在一个序列（Xn），使得Xn↓ 十、（三）=> （iv）：一个人显然有ψ*乌兹≥ ψ*CZ。

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2022-5-10 20:29:14

另一方面，如果每X∈ UZ，czn中有一个序列（Xn），因此Xn≥ X和ψ（Xn）↓ ψ（X），thensupn（hXn，ui）- ψ（Xn））≥ hX，ui- ψ（X），从中可以得到ψ*CZ≥ ψ*乌兹。（四）=> （i）：对于给定的X∈ UZ，从ψ的定义中得出*uzψ（X）≥ supu∈ca+Z（hX，ui- ψ*UZ（u））=supu∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））。相反，由于CZN中存在一个序列（Xn），因此Xn↓ 十、我们可以从A.4的（iii）式中得出，ψ（X）≤ infnψ（Xn）=最大u∈ca+Z（hX，ui- ψ*CZ（u））。定理2.1的证明有了定理A.1和A.5，我们现在可以证明定理2.1。影响（三）=> （二）=> （i）以及（vi）=> （五）=> （四）=> （i）不带假设地持有（2.1）。的确，（四）=> （i）这是显而易见的。（三）=> （ii）：它源自（iii）thatminP∈PZφ*（P） =- maxP∈PZ-φ*（P） =-φ(0) = 0.特别是φ（X）≤ 0代表所有X∈ G- A、存在一个P∈ pz0=φ*（P） =supX∈CZ（EPX）- φ（X））≥ 好的∈CZ∩（G）-A）（EPX）- φ（X））≥ 好的∈CZ∩（G）-A） EPX，因此，EPX≤ 0代表所有X∈ CZ∩ （G）- A）。（二）=> （i）：假设存在一个X∈ G- 一个这样的X≥ ε对于某些ε∈ R++。假设A+B+ 所以ε属于CZ∩ （G）- A）。但由于所有P的EPε=ε>0∈ PZ，这与第（ii）条相矛盾。（六）=> （v）：如果（vi）保持不变，则φ*（P）≥ 好的∈UZ（EPX）- φ（X））适用于所有P∈ PZ。所以（v）来自（vi）就像（ii）来自（iii）。（五）=> （iv）：假设存在一个X∈ G- A使得所有ω的X（ω）>0∈ Ohm 和fix a P∈ PZ。因为P是R（J+1）T的可测子集上的Borel测度，所以P是正则的。因此存在ε>0和闭集F {X≥ ε} 使得P[F]>0，或者等效地，EPF>0。但是自从ε1f属于图兹∩ （G）- A）这与（v）相矛盾。现在，我们假设（2.1）并展示（i）=> （三）。从A+B开始+ A和A- G是凸的，映射φ：BZ→ R∪ {±∞} 是增加的和凸的。此外，从（i）可以得出φ（m）=m表示所有m∈ R、意味着φ（X）∈ R对于每个有界X∈ B

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2022-5-10 20:29:18

根据条件（2.1），everyn存在∈ N a z∈ R+使得φ（n（Z- z） +）≤ 1/n，因此φ新西兰≤φ（nz）+φ（n（Z）- z） +）≤新西兰+2n。现在，从单调性和凸性得到φ在BZ上是实值。此外，从（2.1）可以看出φ满足（A.4），引理A.2也可以看出φ满足（A.1）。因此，定理A.1得出φ（X）=maxu∈ca+Z（hX，ui- φ*CZ（u））适用于所有X∈ CZ。因为φ（m）=m代表所有m∈ R、 φ*CZ（u）是+∞ 福尔∈ ca+Z\\PZ，其中一个得到φ（X）=maxP∈PZ（EPX）- φ*（P））为所有X∈ CZ。最后，如果定理2.1的条件（2.1）-（2.2）和（iii）成立，φ是BZful filling（a.4）上的实值递增凸函数，以及定理a.5的条件（iii）。定理A.5得出φ也满足定理A.5的条件（i），因此，定理2.1的条件（vi），这就完成了定理的证明。A.3命题2.2和命题2.3的证明命题2.2的证明如果接受集A的形式为（2.3）的映射α：PZ→ R+∪ {+∞} 满足（A1）-（A2），它可以写成asA={X∈ BZ:ρ（X）≤ ρ（X）的0}+B+：=supP∈PZEP(-十）- α（P）.通过传递到下凸包，可以假设β是凸的。然后，詹森不等式得到α（P）≥ EPβ（Z）≥ β（EPZ）对所有P∈ PZ。通过在引理A.3的证明中用类（Cb，ca+）来识别（CZ，ca+Z），我们可以从Prokhorov的定理中推断出{P∈ PZ:EPβ（Z）≤ a} ，a∈ R、是σ（PZ，CZ）-紧的。因此，这些集{P∈ PZ：α（P）≤ a} ，a∈ R、都是相对σ（PZ，CZ）-紧的，从A.4的第（ii）部分可以得到，对于每n∈ N、 ρN- n（Z）- z）+= -n+ρ-n（Z）- z）+↓ -尼采→ +∞.特别是，1/n- n（Z）- z）+∈ A. A.- G表示z足够大，表明条件（2.1）成立。命题2.3的证明通过我们对G和A的假设，我们得到φ（0）≤ 此外，如果φ（0）=-∞, G- A包含R，由（2.1）表示G- A=BZ。

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2022-5-10 20:29:21

然后φ≡ -∞ 关于BZ，φ*≡ +∞, 所有关于2.3提案的陈述都变得显而易见。另一方面，如果φ（0）>-∞, 从（2.1）中可以看出，就像定理2.1中的定理一样，φ是BZ上的实值。然后φ*（P）≤ 好的∈UZ（EPX）- φ（X））适用于所有P∈ PZ，并且由于它从（2.1）得出φ满足（A.4），定理A.5得出不等式是无质量的当且仅当φ满足条件（2.2）。接下来，请注意- φ（X）- ε ∈ CZ∩ （G）- A）为了所有的X∈ 当ε>0时，一个有φ*（P） =supX∈CZEP（X）- φ（X））=supX∈CZ∩（G）-A） EPX和类似的supX∈UZ（EPX）- φ（X））=supX∈乌兹∩（G）-A）埃普斯。这就完成了命题2.3的证明。A.4命题3.1和命题3.2的证明命题3.1的证明我们首先展示其含义（iv）=> （三）=> （二）=> （i）。如果（iv）成立，则0=φ（0）=maxP∈PZ-φ*G（P），屈服（iii）。此外，由于EPX≤ 每X为0∈ G和P∈ M、（iii）暗示（ii）。这（ii）意味着（i）是显而易见的。证明（一）=> （iv）我们首先注意到，（3.1）意味着（2.1）和（i）是在a=B+的情况下定理2.1的条件（i）的重新表述。因此，根据定理2.1，可以从（i）得出φ是bz上的实值，φ（0）=0。此外，我们从命题2.3得知φ*（P）≤ 好的∈乌兹∩（G）-B+）EP≤ 好的∈GEPX=φ*G（P），P∈ PZ。如果我们能证明这一点*（P）≥ φ*G（P）代表所有P∈ PZ，（A.8）我们得到φ*= φ*G、根据命题2.3，条件（2.2）成立。然后从定理2.1得出（i）意味着（iv）。为了证明（A.8），我们观察到∈GEPX=supθEPhXt，j≥1θjt~Sjt-gjt-1(θjtSjt-1）圣-1i+supθXiθiEPHi- h（θ）,自从gjt-1（0）=0，第一个上确界可以接管策略θ≥1θjt~Sjt-gjt-1(θjtSjt-1）圣-1i≥ 因此，EPXt，j≥1θjt~Sjt- gjt-1(θjtSjt-1） /St-1.可以用EP来近似Xt，j≥1θjt~Sjt- gjt-1(θjtSjt-1） /St-1.连续英尺-1-可测量函数θjt：Ohm → 具有紧凑的支撑。

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能者818

2022-5-10 20:29:26

但从下一步开始，j≥1θjtSjt-gjt-1(θjtSjt-1）圣-1!+XiθiHi- h（θ）在CZ中∩ G、因此φ*（P）≥ 好的∈CZ∩GEPX≥ φ*G（P）代表所有P∈ PZ。这有待证明*表格（3.2）的Gis。为此，我们注意到TXT=1θjt■Sjt=TXt=1tXs=1θjs■Sjt=TXs=1TXt=sθjs~Sjt=TXt=1θjt（~SjT）-~Sjt-1).因此，supX∈GEPX=supθEPXt，j≥1.θjt（~SjT）-~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1.+ supθXiθiEPHi- h（θ）,其中第一个上确界可以接管策略θ≥1.θjt（~SjT）-~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1i≥ 0.现在EPhPt，j≥1.θjt（~SjT）-~Sjt-1) - gjt-1(θjtSjt-1） /St-1可近似为EPXt，j≥1.θjt（θSjT-~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1.= EPXt，j≥1.~jθjt（EP[~SjT | Ft-1] -~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1.有界英尺-1-可测映射θjt具有紧凑的支撑。关于{Sjt-1> 0}，上一个θjt~jθjt（EP[~SjT | Ft-1] -~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1!=圣-1上升θjtθjtSjt-1英尺-1] -~Sjt-1Sjt-1.- gjt-1(θjtSjt-1)!=圣-1gj*T-1英尺-1] -~Sjt-1Sjt-1.关于{Sjt-1=0}，supθjt~jθjt（EP[~SjT | Ft-1] -~Sjt-1) -gjt-1(θjtSjt-1）圣-1!= 啜饮θjtθjtEP[SjT | Ft-1] = +∞1{EP[~SjT |英尺-1]>0}.自P[Sjt-1=0，EP[~SjT>0 |英尺-1] >0]>0当且仅当P[Sjt-1=0，SjT>0]>0，这证明了（3.2）。命题3.2的证明与命题3.1的证明一样，φ*（P） =supX∈乌兹EPX- φ（X）= φ*G（P）代表所有P∈ PZ和（i）-（iv）是等效的。此外，φ*G（P）=supθ≥0EPXt，j≥1θjt~Sjt+ supθ∈ΘEPXi∈IθiHi- 你好由于第一个上确界可以被非负可预测策略（θt）所取代Xt，j≥1θjt~Sjt≥ 0，它可以等价地接管有界的非负可预测策略。现在，很容易看出这一点*G（P）=supθEP（π∈IθiHi- h（θ）如果)S。

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能者818

2022-5-10 20:29:31

，sj是P下的超鞅+∞ 否则A.5引理4.1的证明和命题4.2和4.4引理4.1的证明从（l1）-（l2）得出，对于所有X∈ BZ，s 7→ EQlQ（s）- 十） R上的实值递增凸函数→±∞EQlQ（s）- 十）- s=+∞.特别地，存在一个极小s，很容易看出ρQis是bz上具有平移性质ρQ（X+m）=ρQ（X）的实值递减凸泛函- m、 m∈ R.此外，EQlQ（cZ）<+∞ 不管怎样，c∈ R+。因此，包含在Orlicz心脏MLQ中的BZI对应于Q和年轻函数lQ（.）- lQ（0）。根据定理4.6和[16]第5.4节中的计算，ρQ（X）=maxPEP[-X]- 情商L*QdPdQ, 十、∈ BZ，其中最大值为P<< 使dP/dQ处于MlQ的范数对偶中。对于所有这些P，我们有EPZ=EQ[ZdP/dQ]<+∞, 显示P∈ PZ。另一方面，由于lQ（x）≥ xy- L*Q（y）表示所有x，y∈ R、每X有一个∈ BZ，s∈ R和P<< Q、 EQlQ（s）- 十）- s≥ 情商（s）- 十） dPdQ- 情商L*QdPdQ- s=EP[-X]- 情商L*QdPdQ.这证明了二元性（4.2）。通过Jensen不等式和（l3），EQl*Q（dP/dQ）≥ L*QEQ[dP/dQ]=l*Q（1）=0，因此，minP∈PZEQl*Q（dP/dQ）=EQl*Q（dQ/dQ）=0，表明ρQ（0）=0。此外，由于∈Q{X∈ BZ:ρQ（X）≤ 0}={X∈ BZ:supQ∈QρQ（X）≤ 0}，接受集A可以写成asA=nX∈ BZ:EPX+α（P）≥ 0代表全部P∈ PZo+B+，其中α（P）：=infQ∈QαQ（P）与αQ（P）：=EQl*Q（dP/dQ）如果P<< Q+∞ 否则它来自minP∈PZαQ（P）=0表示所有Q∈ 问：那个明普∈PZα（P）=0。因此（A1）成立。

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