稳健定价——离散时间美式期权的套期保值对偶

2022-5-11 05:43:34

在这种方法中，不是选择一个模型，而是考虑在一系列模型下同时进行过对冲，或者在一组可行的轨迹上进行路径对冲。它推广了经典方法，即只考虑相对于固定参考概率测度P绝对连续的模型。在这种情况下，无套利被认为等同于存在一个等价的可替代测度，其结果被称为资产定价的第一基本定理，参见*我们感谢布鲁诺·布查德、达维德·霍布森、侯昭旭和莫妮克·珍布兰科提供的有用评论和建议。SD和XT衷心感谢ERC 321111公司、ANRIsotace和财务风险主席（风险基金会，由Soci’et’e G’en’erale赞助）和可持续发展基金（由EDF和CA赞助）的财务支持。AA和JO感谢ERC和欧盟FP7/2007-2013（ERC批准号335421）的支持。JO感谢圣约翰学院的支持。+牛津大学aksamit@maths.ox.ac.uk和obloj@maths.ox.ac.uk巴黎多芬大学、巴黎科学院研究大学、法国国家科学研究院、法国统一市场研究院[7534]，Ceremed。deng@ceremade.dauphine.fr还有晒黑。多芬。弗雷。g、 Delbaen和Schachermayer（2006），F¨ollmer和Schied（2004）。当市场完全时——即当每个未定权益都可以通过自融资交易策略完全复制时——等价鞅测度Q是唯一的，期权价格由其复制成本给出，其等于Q下贴现支付的预期值。在不完全市场中，当不存在完美复制策略时，一种安全的定价方式是使用该选项的最低超级复制成本。

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2022-5-11 05:43:37

使用对偶技术，这个最小的超级复制价格可以与定价问题相关，并表示为所有等价于P的鞅测度的贴现支付预期的上确界。稳健方法的挑战之一是将这种对偶关系扩展到非支配（稳健）环境。在波动不确定性下的连续时间模型中，Denis和Martini（2006）、Soner等人（2013）、Neufeld和Nutz（2013）、Possamai等人（2013）等获得了这样的定价-对冲双重结果。在离散时间内，Bouchard and Nutz（2015）和Burzoni等人（2016b）等中显示了一般定价-套期保值的双重性。重要的是，在一个稳健的环境中，人们通常希望包括更多可供交易的市场工具。在一个可以追溯到霍布森（Hobson，1998）的最终工作的框架中，人们通常会考虑基础和静态交易中的动态交易，即在时间零点的买入和持有策略，在一些欧洲期权中，通常是具有固定到期日的买入或卖出期权。当然，这种额外的资产约束了我们可以用来定价的鞅测度集。一般定价——在连续时间和离散时间内，这种设置的变量的套期保值双重性结果可以在例如Acciaio等人（2016）、Burzoni等人（2016a）、Beiglb¨ock等人（2013）、Dolinsky和Soner（2014）、Hou和Ob l\'oj（2015）、Guo等人（2016b）、Tan和Touzi（2013）中找到，我们参考了霍布森（2011）的调查论文；Ob l\'oj（2004）了解更多细节。到目前为止，文献中的主要焦点一直是（可能是异国情调的）欧洲支付的二元性。然而，最近，一些焦点放在了美国的选择上。Cox和Hoegrel（2013）研究了无套利情况下美式看跌期权价格的必要条件（在某些情况下是有效的）。

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2022-5-11 05:43:40

Dolinsky（2014）研究了非主导离散时间市场中的期权（包括美式期权），但没有允许超级复制的静态交易期权。Neuberger（2007）考虑了离散时间、离散空间市场，存在静态交易的欧洲Vanilla期权。他观察到，美式期权的超高价格可能严格大于所有止损时间和所有（相关）鞅测度下预期（贴现）收益的上限。我们把这种情况称为二元差距。在Neuberger（2007）中，通过使用弱对偶公式来恢复定价-套期保值二元性。Hobson和Neuberger（2017）进一步利用了这种方法，并得出了更普遍的结果。Bayraktar等人（2015年）在Bouchard和Nutz（2015年）的设置中研究了相同的超边缘问题，但在他们的对偶公式中只考虑了强停止时间，这通常会导致对偶间隙。最近，与本文的早期版本平行，Bayraktar和Zhou（2016）通过考虑随机模型，在Payoff函数的某些正则性和可积性条件下，证明了一个对偶结果。受上述工作的启发，我们在这里努力理解定价的根本原因——美式期权的套期保值二元性持有或失败，并为后一种情况下的修复提供系统的理由。我们得出了两个主要的一般结果，然后将其应用于各种特定环境，包括经典和稳健。我们的第一个洞见是，通过考虑空间的（普遍）扩大，即时间-空间产品结构，我们可以将美式期权视为欧洲期权，并恢复定价-对冲二元性，这可能会在最初的公式中失败。这可能被视为对偶（定价）问题的弱公式，并导致考虑大量停止时间。

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2022-5-11 05:43:44

双重问题的这种表述在精神上与Neuberger（2007）相似；霍布森和纽伯格（2017）；Bayraktar和Zhou（2016），但我们的方法导致了二元性结果，导致更一般的设置，和/或在更一般的条件下，见备注1.6和2.3小节，以及alsoHobson和Neuberger（2016）。我们的第二个主要观点是，二元性差距是由动态规划原理的失败造成的。为了恢复对偶性，在具有强停止时间的公式下，有必要且有效地考虑（0,0）（0,1）（-2,0，-0.5）q的放大-2（-1,2,0.5）q-1（1,2,0.5）q（2,0，-0.5）q（0,0）（0,1，-1/2）（-2,0，-1/2）0.5（2,0，-1/2）0.50.5（0,1,1/2）（-1,2,1/2）0.5（1,2,1/2）0.50.5图1：股票价格以常规字体书写，美式期权价格以粗体书写，欧洲期权价格以斜体书写。期权g中没有动态交易的模型在左边。具有动态交易的g模型允许恢复二元性。恢复动态一致性：考虑所有资产动态交易的市场（实际）扩展就足够了。作为一个副产品，我们发现期权的动态交易策略和经典的半静态策略在不同的情况下会导致相同的超级套期保值成本。论文第一部分第1节在一个非常普遍的离散时间框架中介绍了上述两个主要观点，该框架涵盖了经典（主导）和稳健（非主导）环境。在本文的第二部分中，我们将我们的一般结果应用于稳健框架的两个重要例子：第2节中Bouchard和Nutz（2015）的设置和Beiglb¨ock等人（2013）第3节中的鞅最优运输设置。

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2022-5-11 05:43:46

我们获得了合适的定价——在这两种设置中对美式期权进行套期保值。在后一种情况下的鞅最优运输，有一个完整的资产要考虑，我们使用测度值鞅优雅地描述这个设置。例0.1。我们以一个激励性的例子来结束这篇介绍，说明在存在静态交易工具的情况下，定价-套期保值二元性可能会失败，以及当允许动态交易这些工具的设置得到增强时，它是如何被恢复的。图1总结了这个例子。我们考虑一个股票价格过程由S=S=0和S驱动的两阶段模型∈ {-2.-1, 1, 2}. 美式期权过程Φ定义为Φ（{S=0}）=1，Φ（{S∈ {-2,2}=0和Φ（{S∈ {-1, 1}}) = 2. Φ的（路径）超边缘价格可以很容易地计算出来，等于2。四条可能路径空间上的概率测度P通过选择qi=P（S=i）来唯一描述≥ 0福里∈ {-2.-1,1,2}满足q+q+q-1+q-2= 1. 鞅条件等价于2q+q-Q-1.-第二季度-2= 0. 注意，只有两个停止时间大于0，τ=1和τ=2，市场模型价格作为所有停止时间τ和等式[Φτ]的所有鞅测度Q的双上确界也等于2，且两个价格一致。假设现在我们加上一个欧式期权g，它的付息为g=11{S=|1}- 1/2和初始价格0，可以用作静态对冲工具。有了g和S，Φ的超边际价格下降到3/2（例如，持有3/2现金，购买一个选项g）。在g的存在下，我们需要对鞅测度施加一个校准约束：q+q-1= 1/2. 因此，任何校准的曼廷格尔测度都可以用（q，q，q）表示-1，q-2） =（q，3/4）- 2q，2q- 1/4, 1/2 - q）和q∈ （1/8，3/8），市场模型价格等于1。

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2022-5-11 05:43:49

因此，我们看到，增加无条件交易期权打破了定价-对冲二元性。现在让我们证明，当我们允许g中的动态交易时，对偶性被恢复。我们可以通过一个过程Y=（Yt:t=0，1，2）来建模，Y=g，Y=1/2，Y=-1/2在{S=|2 |}上，Y=0。注意，存在一个（唯一的）度量Q，使得S和Y都是鞅w.r.t，它们的联合自然滤波bf，特别是Q被校准，等式[g]=0。过滤BF比单独的自然过滤更丰富，并允许额外的停止时间τ=11{Y=-1/2}+211{Y=1/2}然后恢复身份。1定价——美式期权的套期保值二元性我们在本节给出了一般结果，解释了定价——美式期权的套期保值二元性何时成立以及为什么成立。我们在一个通用的离散时间设置中工作，我们现在使用这个设置。让(Ohm, F）是一个可测空间，F:=（Fk）k=0,1，Nbe a filtrationf:=（Fk）k=0,1，N、 N在哪里∈ N是时间范围。我们用H表示一类可预测过程。我们用P表示(Ohm) 上的所有概率测度集(Ohm, F）。我们考虑一个子集P P(Ohm). 我们会说，一个给定的属性，如果它对所有P都几乎肯定地持有P，那么它就持有P-准肯定∈ P.我们将F中的一个集合称为P-极集合，如果它是一个空集合w.r.t.所有P∈ 我们将写Q<< 如果存在P∈ P如此Q<< P.给定一个随机变量ξ和一个子σ场G F、我们定义了条件期望EP[ξ| G]：=EP[ξ+|G]- EP[ξ-|G] 与公约∞ - ∞ = -∞, 式中ξ+：=ξ∨ 0和ξ-:= -(ξ ∧ 0). 我们考虑的是一个没有交易成本、有金融资产的市场，有些是动态交易的，有些是静态交易的。前者由一个带d的自适应Rd值过程S建模∈ N.我们认为后者是欧洲期权，在t=0时交易，但不一定在未来交易。

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2022-5-11 05:43:52

我们设g=（gλ）λ∈λ，其中∧是一组任意基数，是其支付的向量，假设为F-可测且R-值。在支付不变的情况下，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设所有选项gλ的初始价格为零。用H表示所有F-可预测Rd值过程的集合，用H={H∈ R∧：有限子集β ∧s.t.hλ=0λ /∈ β}. 自我融资策略在S中动态交易，在gλ、λ中静态交易∈ ∧，因此对应于H的一个弦∈ H和H∈ h、其相关最终收益由（h）给出o S） N+hg=dXj=1NXk=1HjkSjk+Xλ∈λhλgλ，（1.1）其中Sjk=Sjk- Sjk-1.定义了交易策略后，我们可以考虑在时间N:πEg（ξ）：=inf{x: （H，H）∈ H×H s.t.x+（Ho S） N+hg≥ ξP-q.s.}。（1.2）要求不等式保持P-q.s.，即它保持任何P的P-a.s∈ P.尤其是ifP=P(Ohm) 是F和{ω}上所有概率测度的集合∈ F表示所有ω∈ Ohm, 然后（1.2）中的超级复制将按路径打开Ohm.为了建立一个对偶关系，我们需要由有理pricingrules或鞅测度给出的对偶元素：M={Q∈ P(Ohm) : Q<< P和EQ[Sk | Fk-1] = 0, k=1。。。，N}Mg={Q∈ M:EQ[gλ]=0，λ ∈ Λ}. （1.3）定义1.1。设Υ为定义在Ohm, 我们说，如果Mg6= πEg（ξ）=supQ∈MgEQ[ξ]，ξ∈ Υ，（1.4）备注1.2。请注意，“不平等”≥ ” 在（1.4）中，被称为弱定价——套期保值二元性，从Mgin（1.3）的定义开始自动成立。许多论文，包括Bouchard和Nutz（2015）；Burzoni等人。

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2022-5-11 05:43:55

（2016a），证明上述定价-对冲二元性（1.4）适用于Ohm, F、 P和Υ，尤其包括适当的无套利条件。在这里，我们认为上述二元性是理所当然的，我们的目标是研究美国期权的类似二元性。由于我们的结果将适用于任何此类进一步的规范，因此我们首先在上述一般设置中工作，而不指定Υ。此外，本节中的许多抽象结果也适用于其他设置，例如连续时间交易。1.1美式期权的超级边缘美式期权可在任何时候行使∈ T:={1，··，N}（在不丧失一般性的情况下，我们排除了时间0时的运动）。它由其支付函数Φ=（Φk）1描述≤K≤N、其中Φk：Ohm → R属于Υ，如果在k时间行使期权，则是在N时间交付的报酬。通常Φkis被认为是Fk可测量的，但这里我们仅假设Φkto是F可测量的，以获得更大的通用性，包括，例如，包含美式和欧式期权组合的情况。我们注意到，当我们对美国选择的风险敞口进行评估时，我们应该被允许调整我们的策略，以应对早期的行动。因此，采用半静态策略的美式期权Φ的超边际成本由πAg（Φ）=inf给出x:（H，…，HN）∈ HNs。t、 Hji=Hki1.≤ 我≤ J≤ K≤ N和h∈ H满足x+（香港）o S） N+hg≥ Φkk=1。。。，NP-q.s。经典地，美式期权的定价被重新描述为一个最优停止问题，（1.4）的自然扩展为πAg（Φ）=supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQ[Φτ]，（1.5），其中T（F）表示F-停止时间的集合。然而，正如引言中的simpleexample所示，这种二元性可能会失败。“数字”原因是RHSin（1.4）可能太小，因为设定值太小。

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2022-5-11 05:43:58

我们在这里的目的是理解二元性失败的根本原因，并因此讨论如何以及为什么应该修改右手，以获得（1.5）中的平等。1.2美式期权是扩大空间上的欧式期权。本文的第一个关键思想提供了基本概率空间的一般扩大，将所有美式期权转换为欧式期权。根据具体的设置，可能需要或多或少的努力才能确定（1.4）的扩大空间，但这将困难转移回更好理解和研究的欧洲选项案例。我们的重组技术——从美国到欧洲的选择——可以很容易地推广到其他情况，比如连续时间案例。空间的扩大基于随机时间的构造，例如，在Jeanblanc和Song（2011a，b）中，研究给定生存概率下随机时间的存在性；在Karoui和Tan（2013）中，研究一般最优控制/停止问题；在Guo等人（2016a），K¨allblad等人（2015）中，研究最优Skorokhod嵌入问题。设T:={1，…，N}并引入概率空间Ohm := Ohm x T与标准时间T:Ohm → T由T（ω）：=θ给出，其中ω：=（ω，θ），过滤F:=（Fk）k=0,1，NwithFk=Fk θkandθk=σ（T∧ （k+1）），σ-场F=F θN.根据定义，T是F停止时间。我们将bth表示为一类F-可预测过程，并自然地扩展了S和gλ的定义Ohm 到Ohm 当S（ω）=S（ω）和gλ（ω）=gλ（ω）表示ω=（ω，θ）∈ Ohm. 设Υ为一类随机变量ξ：Ohm → R使得ξ（·，k）∈ Υ为了所有k∈ 我们让πEg（¨ξ）表示ξ的超复制成本。我们可以并且将把Υ与ΥNviaξ（ω）=Φθ（ω）等同起来。最后，我们介绍cep={P∈ P(Ohm) : P|Ohm∈ P} ，M={Q∈ P(Ohm) : Q<< P和EQ[Sk | Fk-1] = 0 K∈ T} ，Mg={Q∈ M:EQ[gλ]=0λ ∈ ∧}（1.6）定理1.3。

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2022-5-11 05:44:03

不管怎样∈ 我们有πAg（Φ）=πEg（Φ）：=inf{x: （H，H）∈ H×H s.t.x+（Ho S） N+hg≥ ξP-q.s.}。（1.7）特别是，如果欧洲定价——对冲二元性Ohm 保持Φ然后πAg（Φ）=πEg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ]。（1.8）证据。首先注意H={H=（H（·1），…，H（·N））∈ HN:Hi（·，j）=Hi（·，k）1.≤ 我≤ J≤ K≤ N} 因此，在πA和πE中用于超边缘的动态策略是相同的。现在的质量取决于观察到∈fn是P-极的当且仅当其k-截面Γk={ω：（ω，k）∈ Γ}对所有k都是P极的∈ 实际上，对于一个蕴涵，假设P（Γ）=0∈ 对于任意的P∈ P和k∈ T我们可以定义P=P δkwhichbelongs到P，因此P（Γk）=0。为了显示相反的含义，假设P（Γk）=0表示每个P∈ P和k∈ T.观察，无论如何∈ PP（Γ）=Xk∈TP（Γk×{k}）≤Xk∈总磷|Ohm（Γk）=0sinceP|Ohm∈ 这就完成了证明。备注1.4。如果定价-对冲二元性适用于w.r.t.过滤F，则任何过滤H也适用 F，使得H和F的极性集的差值仅为Mg。这种变化不会影响MG，而且可能只会降低超边缘成本，因为有更多的交易策略可用。二元性不受备注1.2的影响。备注1.5。我们注意到setMgin（1.8）或其在Ohm, 可能比Mg更大。事实上，它不是相对于F的停止时间，而是允许我们考虑任何随机时间，这些随机时间可以在一些校准的鞅测度下成为停止时间。我们可以重新表述为，MG相当于（1.5）的r.h.s.的初始问题的弱公式。

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2022-5-11 05:44:06

为了精确起见，让我们把弱停止项α称为集合α=Ohmα、 Fα，Qα，Fα=（Fαk）0≤K≤N、（Sαk）0≤K≤N、（gλ，α）λ∈∧，（Φαk）k∈T、 τα具有Ohmα、 Fα，Qα，Fα一个过滤概率空间，ταa T值Fα-停止时间，anRd值（Qα，Fα）-鞅Sα和一组随机变量gλ，α，Φαk，因此存在一个可测满射映射iα：Ohmα→ Ohm Q=Qαo 我-1α∈ 我是安迪-1α（Fk） Fαk，i-1α（F） Fα和最终LQα（Sα，gα，Φα）=LQ（S，g，Φ）。用Ag表示所有弱停止项α的集合gλ，α= 每个λ为0∈ Λ. 因此，任何α∈ a引导一个概率度量∈ Mg和EQα[Φατα]=EQ[Φ]。反过来，任何问题∈ Mg和空间(Ohm, F、 F）和（S，g，Φ），在Ag中提供了一个薄弱的术语。因此，supα∈AgEQαΦτα= supQ∈MgEQ[Φ.总之，与其他语境的数量类似，参见Pham和Zhang（2014）中的引言，弱公式（而非强公式）提供了计算问题价值的正确框架。事实上，SETMG足够大，可以使问题再次成为静态问题，或者说是欧洲问题。然而，虽然它提供了（1.5）的解决方案和修正版本，但它并不能从根本上洞察（1.5）可能失败的原因，以及扩大RHS上的对象以保持平等的最小方式是什么。这些问题将在下一节中讨论。备注1.6。Neuberger（2007年）和Hobson and Neuberger（2017年）在马尔可夫环境中研究了相同的超边缘问题，其中基本过程S在adiscrete晶格X中取值。通过考虑弱公式（这相当于我们的公式，如上面备注1.5所示），他们获得了类似的对偶结果。此外，他们只考虑Φk=φ（Sk），其中φ：Rd→ 然后作者证明了在优化问题supQ中∈（1.7）中给出的MgEQ[Φ]可以只考虑马尔可夫鞅测度。

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2022-5-11 05:44:10

然后，原问题和对偶问题变成了线性约束下的线性规划问题，可以用数值方法求解。他们的论点也倾向于更一般的背景，即S在R+中取值。与Neuberger（2007）相比；Hobson和Neuberger（2017），我们对弱公式的想法与他们非常相似。然而，我们的设置更一般，当考虑第2节和第3节中的特定设置时，我们依靠完全不同的参数来证明二元性。1.3动态规划原理的丧失和恢复以及美式期权的自然二元性（1.5）中的二元性是以美式期权的经典定价为模型的，它依赖于包含某种动态一致性的最优停止技术，或动态规划原理，如下所述。我们在本文中的第二个关键观察是，如果美式期权的定价-对冲二元性（1.5）失败，那是因为在t=0时引入欧洲期权g的静态交易破坏了动态规划方法，即贝尔曼最优性原则。实际上，πEg（ξ）通常会低于t=0时的超级套期保值价格，即t=1时所需资本的价格。为了恢复这种动态一致性，我们需要扩大模型，并考虑g中的动态期权交易。这将产生比F更丰富的过滤，并且根据（1.5）的精神，这将带来足够的停止时间，以获得正确的自然二元性。特别是，如果g=0（或等效∧=), 然后（1.5）应该保持不变。现在，我们首先证明这一说法，然后在g非平凡时给出必要的扩展。设Υ是一类F-可测r.v.，我们表示E（ξ）：=supQ∈MEQ[ξ]，并假设存在一个算子族Ek:Υ→ Υ代表k∈ {0，…，N- 1} 使得Ek（ξ）isFk对所有ξ都是可测量的∈ Υ.

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2022-5-11 05:44:14

我们说，族（Ek）提供了E ifE（ξ）=E的动态编程表示o Eo ... o EN-1(ξ) , ξ ∈ Υ. （1.9）家庭（Ek）延伸到家庭（Ek）的k∈ {0，…，N-1} 为任何ψ定义∈ Υ=ΥNbyE（ψ）（ω）：=E（ψ（·1））（ω），对于所有ω=（ω，θ），（1.10）Ek（ψ）（ω）：=（Ek（ψ（·θ））（ω）如果θ<kEk（ψ（·k））（ω）∨ Ek（ψ（·k+1））（ω）如果θ≥ k、一个人≤ k<N.（1.11）假设f∨ f′∈ Υf，f′时∈ Υ，然后将泛函从Υ映射到Υ。让我们来介绍美式期权ψ的M-Snell包络过程∈ ΥbyEk（ψ）：=Eko ... o EN-1(Ψ). （1.12）我们说族（Ek）提供了E（ψ）：=supQ的动态规划表示∈MEQ[ψ]ifE（ψ）=E（ψ），Ψ ∈ Υ. （1.13）通常我们会认为EK是条件期望w.r.t.Fk的上确界，参见下面的示例1.10和1.11。在这些设置中，EKQ自动满足要求∈MEQ[ψ]≤E（ψ），ψ∈ Υ. （1.14）定理1.7。假设∧=, Eksatis fies（1.9），这（1.14）是真的∨ f′∈ Υ对于所有f，f′而言∈ Υ. 那么，无论如何∈ ΥN=Υ，supQ∈MEQ[Φ]=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]。（1.15）进一步说，如果欧洲定价-对冲二元性继续存在Ohm 对于类Υ，则πA（Φ）=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]。第二个论断紧随第一个论断和定理1.3之后，而第二个论断紧随命题1.8之后，命题1.8断言（1.9）和（1.14）暗示了类比一致性Ohm (1.13). 这也允许我们确定（1.15）的最佳停车时间。我们有以下代表提议1.8。假设∧= 和f∨ f′∈ Υ对于所有f，f′而言∈ Υ. 然后，动态编程表示法（1.13）成立，当且仅当（1.9）和（1.14）成立。此外，在条件（1.13）下，F-停止时间τ*（ω）：=infnk≥ 1:Ek（Φ（·k））（ω）=Ek（Φ）（ω，k）o（1.16）为Φ提供了最佳的运动策略∈Υ：supQ∈MEQ[Φ]=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]=supQ∈MEQ[Φτ*] =E（Φ）。（1.17）备注1.9。

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2022-5-11 05:44:19

第4节将提供命题1.8的证明。OREM 1.7和命题1.8中的结果在(Ohm, F），其中只有绝对多的动态交易风险资产。然而，它的证据并不依赖于风险资产的数量是确定的这一事实，如果存在确切数量的动态交易风险资产，同样的结果仍然成立。接下来我们给出两个算子（Ek）k的例子≤因此，通过命题1.8，也就是命题1.13，使（1.9）和（1.14）满意。例1.10。设P={P*}. 然后，取Υ为所有F-可测随机变量的集合，andEk（ξ）=ess supQ∈MgEQ[ξ| Fk]（1.18），其中ess sup为w.r.t.P*, 导致一系列运算符满足（1.9），（1.14），因此也满足（1.13）。有关进一步的讨论，请参阅动态一致性风险度量的文献（如Acciaio和Penner（2011）的概述）。如果我们特别假设∧= 然后，定理1.7恢复了美式期权的经典超边缘定理（参见Myneni（1992））。例1.11。让(Ohm, d）是一个波兰空间，F为其Borelσ-fi域，P为一组给定的概率测度(Ohm, F）。我们得到了过滤F:=（Fk）k≤确保F={, Ohm} 每个σ场都是可数生成的。为了k∈ T和ω∈ Ohm 用Mk（ω）表示由Mk（ω）给出的度量集：={Q<< P:Q（[ω]Fk）=1和等式[Sn | Fn-1] = 0 N∈ {k+1，…，N}其中[ω]Fk表示Fk的原子，其中包含ω，即[ω]Fk=\\F∈Fk：ω∈FF。（1.19）注意[ω]Fk∈ 因为后者是可数生成的。在这个设置中，我们需要（ξ）（ω）=supQ∈Mk（ω）EQ[ξ]。如果我们进一步假设Ek（ξ）∈ Υ对于任何ξ∈ Υ然后是家庭（Ek）k≤Nsatis文件（1.14），将在提案4.1中予以证明。我们将在适当的假设下证明(Ohm, F、 P）和Υ也适用于这个家族。

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2022-5-11 05:44:22

这尤其适用于Bouchard和Nutz（2015）的设置，如图所示，参见Bouchard和Nutz（2015）中的（4.12）。让我们考虑一下静态交易期权的情况：∧6=. 我们在示例0.1中看到，这可能会破坏动态一致性，因为交易资产的范围在时间t=0和时间t之间存在差异≥ 1.为了解决这个问题，我们必须将市场嵌入一个更大的实际市场，其中S和所有选项gλ，λ∈ ∧是动态交易的。让我们考虑一个更大的概率空间（bOhm,bF）满足以下特性。首先，存在一个满射映射i:bOhm → Ohm, 它定义了S，g和Φ的自然延伸，即S（bω）=S（i（bω）），gλ（bω）=gλ（i（bω））对所有λ的延伸∈ ∧和Φ（bω）=Φ（i（bω））。其次，存在一系列过程Y=（Yλ）λ∈∧onbOhm, 使得Yλ=0，YλN（bω）=gλ（i（bω））。让usdenote bybS=（S，Y）现在对应于动态交易的资产。我们假设有一个过滤器bF:=（bF）k=0,1，确保我-1（Fk）bFkandbS是bf适应的，让bh成为bf可预测过程的集合。最后，我们考虑以下几组可能性度量bP:={bP∈ P（b）Ohm) :英国石油公司o 我-1.∈ P}cM:={bQ<<bP:bS=（S，Y）是（bQ，bF）-鞅}。观察到鞅度量incM是通过定义校准到g中期权的市场价格。我们进一步假设映射I:cM→ MG定义byI（bQ）=bQo 我-这是满溢的。收藏（b）Ohm,bF，bF，i，Y）满足上述性质称为(Ohm, F、 F，P，S，g），简而言之就是BOhm 是对Ohm. 请注意，对于任何动态扩展BOhm 它包含slbq（S，Y）=LI（bQ）（S，YI（bQ）），其中Yλ，I（bQ）=（EQ[gλ| Fk]）k≤N.对于anybQ∈cM让I（bQ）=bQo我-1.∈ Mg。相反，从给定的Q∈ Mgwe可能会恢复其“父”度量∈厘米

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2022-5-11 05:44:26

我们考虑一类函数bΥonbOhm 假设ΥbΥ在这个意义上，对于f∈ Υ，f（bω）：=f（i（bω））属于tobΥ。然后，NCM和MGQ之间的对应关系产生tosupQ∈cMEQ[ξ]=supQ∈任意ξ的MgEQ[ξ]∈ Υ.正如第1.2节开头介绍的，可以在SpaceB上应用放大技术Ohm 为了得到Cm，其中一个有一个类似的等式：supQ∈cMEQ[Φ]=supQ∈任意Φ的MgEQ[Φ]∈Υ. （1.20）因为在动态扩展中（bOhm,bF，bF，i，Y）的(Ohm, F、 F，P，S，g）我们允许动态交易inbS=（S，Y）让我们介绍一类交易策略bh，这是一组bF可预测的Rb∧值过程，其中b∧={（i，S）：i∈ {1，…，d}∪ {（λ，y）：λ∈ ∧}，即bH={bH=（bHbλk:bλ∈b∧k≤N:bF可预测Rb∧值过程s.t。有限子TB∧b∧s.t.bHbλk=0，Kbλ/∈b∧}。因此，自我融资策略对应于选择BH∈伯克希尔哈撒韦公司，并产生（伯克希尔哈撒韦）的最终收益obS）N=dXj=1NXk=1bH（j，s）kSjk+Xλ∈∧NXk=1bH（λ，y）kYλk.（1.21）注意，适当选择交易策略可确保金额是确定的。欧洲期权bξ和美国期权bψ=（bψk）k的上升成本≤诺布Ohm 由bπE（bξ）=inf{x给出：伯克希尔哈撒韦∈bH s.t.满足x+（bHob）N≥bξbP-q.s.}，bπA（bψ）=inf{x：（bH，…，bHN）∈伯恩斯。t、 bHji=bHki 1.≤ 我≤ J≤ K≤ 满足x+（bHkob）N≥bψkk=1。。。，NbP-q.s.}。备注1.12。ClearlybF比F丰富得多。除了标的资产的价格过程之外，它还捕捉了所有可能的普通期权价格过程。因此不等式bπA（Φ）≤πAg（Φ）holds，注意到买入持有策略是动态交易策略的特例，P=bPo 我-1.我们现在可以把定理1.7应用到现在的情况：推论1.13。让（b）Ohm,bF，bF，i，Y）是(Ohm, F、 F，P，S，g）与运算符bek:bΥ→bΥ（1.9）和（1.14）。

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2022-5-11 05:44:30

假设欧式定价——享乐二元性适用于ΥNon类Ohm. 那么无论如何∈ ΥNπAg（Φ）=bπA（Φ）=supbQ∈cMsupτ∈T（bF）EbQ[Φτ]。（1.22）证据。注意πAg≥ bπ因为买入持有策略是动态阅读策略的特例，P=bPo 我-1.使用（1.7）两次，我们得到πEg（Φ）=πAg（Φ）≥ bπA（Φ）=bπE（Φ）≥ supQ∈cMEQ[Φ]=supQ∈MgEQ[Φ]，其中倒数第二个不等式始终由注释1.2表示，最后一个等式后跟（1.20）。假设的定价——对冲二元性Ohm 这意味着我们在整个过程中是相等的，并且我们通过在B上应用定理1.7（注1.9）得出结论Ohm 代表supQ∈cMEQ[Φ]。备注1.14。请注意，如果定价–套期保值Ohm 持有然后动态或静态交易普通期权，不会对超额成本产生影响。例1.15。我们给出了一个动态扩展的例子Ohm 在许多静态交易期权的情况下，即我们假设∧={1，…，e}对于一些e∈ N.考虑概率空间Ohm = Ohm ×R（N）-1） ×e.元素bωinbOhm 可以写成bω=（ω，y），其中y=（y，…，ye）∈ R（N）-1） ×ewith yi=（yi，…，yiN）-1). 定义a映射i:bOhm → Ohm由i（bω）=ω，这显然是满射的。我们还将过程Y引入k的Yk（bω）=Yk=（Yk，…，yek）∈ {1，…，N- 1} Y（bω）=0和YN（bω）=g（bω）=g（ω）。让过滤系数bF:=（bF）k=0,1，Nbe由bfk=Fk给出 Yk，Yk=σ（Yn:n≤ k）。在这种情况下，它也保持I:cM→ mgi（bQ）=bQo 我-1=bQ|Ohm是满射的。在第2节中，基本设置取自Bouchard和Nutz（2015），因此（1.9）保持不变Ohm 如例1.11中的RecalledBove所示，我们证明（1.9）也适用于BOhm.备注1.16。让我们考虑一下Hobson和Neuberger（2016）的两个时期（N=2）的例子，见图1.16。为了简单起见，我们只引入一个静态交易期权，在t=2时支付11{S=8}，在t=0时价格为2/5。

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2022-5-11 05:44:33

这已经破坏了美式期权的定价——对冲二元性。在Hobson和Neuberger（2016）中，通过考虑（校准的）鞅测度的混合来恢复对偶性。值得注意的是，他们的混合模型不过是一个鞅测度，用于动态交易的增强设置，根据推论1.13，它恢复了美式期权的动态规划和定价——对冲二元性。为了说明这一点，让Y表示选项g的价格过程：Y=2/5，Y=g。图1.16说明了amartingale测度Q以及中间价格Y，例如过程S和S是鞅。τ=11{S=1，Y=0}+211{S=1，Y=1/4}∪{S=3}我们发现等式[Φτ]=18/5，这是超级套期保值价格，二元性得到恢复。（2,2/5）（1,1,0）（0,0,0）0.5（2,0,0）0.5（4,8,1）0.4（1,1,1/4）（0,0,0）0.75（2,0,0）（4,8,1）0.250.1（3,0,3/4）（0,0,0）0.25（2,0,0）（4,8,1）0.750.5图2:onb模型Ohm 这与Hobson和Neuberger（2016）中的混合模型相对应，达到了超级套期保值价格。股票价格用常规字体书写，美国期权价格用粗体书写，欧洲期权价格用斜体书写。1.4伪停止时间根据定理1.3，我们通常希望看到πAg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ]≥ supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQ[Φτ]，其中最后一个不等式可能是严格的。我们在上面展示了，这与在τ之外使用随机时间的必要性有关∈ T（F）。为了总结我们的一般结果，我们从另一个角度来探索这个性质，并确定G的子集，它导致了质量而不是上面的不等式。简介：=Q∈ P(Ohm) : Q<< P、等式[gλ]=0，λ∈ 对于所有有界（F，Q）-鞅M，∧S是（F，Q）-鞅，EQ[MT]=EQ[M], （1.23）使S成为F-鞅，T成为F-伪停止时间的测度集。

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2022-5-11 05:44:38

这是很自然的，因为斯内尔包络的鞅部分可以在零期望的伪停止时间停止。提议1.17。假设Mg6=. 然后是SUPQ∈MgEQ[Φ]=supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]. （1.24）证据。乐透∈ MG使得等式[|gλ|]<∞ 和EQ[|Φk |]<∞ 总而言之λ∈ λ和k=1，··，N。接下来我们考虑最优停止问题supτ∈T（F）EQΦτ. 定义其SNell信封（Zk）0≤K≤NbyZk:=esssupτ∈T（F），τ≥凯克ΦτFk,这是一个（F，Q）-超鞅。它的Doob–Meyer分解由byZk=Z+Mk给出- Ak，其中A=（Ak）0≤K≤Nis是一个F-可预测的增长过程，A=M=0。这就是情商Φ= 情商ΦT≤ EQ[ZT]≤ Z+EQ[MT]=Z.（1.25），因此我们得到了supQ∈MgEQ[Φ]≤ supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]. 则（1.24）自每次停止时间τ起保持不变∈ T（F）是一个伪停止时间，因此逆不等式是重要的。备注1.18。以上内容让我们看到，仅使用随机停止时间来恢复（1.5）中的相等值是不够的。这样的时间对应于一个F适应的递增过程V，V=0，VN=1。它可以被看作是在所有可能的映射时间上的分布，在我们的设置中，分布η在ts.T.η（{k}）上：Vk=Vk- Vk-1.每个k∈ T.对于任何伪停止时间τ，过程的双重可选投影[[τ，N]]是随机停止时间。相反，对于给定的V，如果我们取一个独立于V的均匀分布的随机变量，可能会扩大概率空间，那么τ：=inf{t:Vt≥ Θ}是F-伪停止时间，产生V。设R为此类随机停止时间的集合。然后，根据命题1.17和双可选投影的定义，supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]=supQ∈MgsupV∈要求“XkΦkVk#。备注1.19。

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2022-5-11 05:44:42

Nikeghbali和Yor（2005）表明，在伪停止时间τ的渐进放大下，较小过滤的所有鞅在较大过滤的τ剩余部分停止。我们可以把这与一种更为严格的情况联系起来，即较小过滤的所有鞅仍然是较大过滤的鞅，这被称为过滤放大的浸入性。很明显，每一个随机的时间特性都是一个伪停止时间。因此，在保持等式（1.24）为真的情况下，上述MG定义中的伪停止时间属性可以被表征浸入属性Q[T>k | Fn]=Q[T>k | Fk]的astronger条件替换，所有0≤ K≤ N≤ N.（1.26）参见Blanchet Scalliet et al.（2016）的第3.1.2节，了解逐步扩大过滤的离散时间背景，以及Aksamit和Li（2016）的伪停止时间、浸入特性和投影之间的联系。2.对布查德和努茨（2015）的非主导设置的详细研究在本节中，我们在布查德和努茨（2015）中介绍的非主导设置中工作，这是示例1.11的一个特例。我们让Ohm= {ω} 做一个单身汉Ohm做一个抛光面。每k∈ {1，··，N}，我们定义Ohmk:={ω}×Ohmkas是k次笛卡尔积。对于每个k，我们用Gk:=B表示(Ohmk）通过它的普遍完成。特别是，我们注意到Gis微不足道，我们表示Ohm := OhmN、 G:=GNand F:=FN。我们经常会看到Fk和Gkas子σ域FN，因此得到两个过滤F=（Fk）0≤K≤Nand G=（Gk）0≤K≤不Ohm. 回想一下，波兰空间的一个子集Ohm is Analytical ifit是另一个波兰空间的Borel子集在Borel可测映射下的图像。我们认为Υ是一类上半解析函数f：Ohm →R:=[-∞, ∞], 即

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2022-5-11 05:44:45

比如{ω∈ Ohm : f（ω）>c}对所有c都是解析的∈ R.价格过程S是一个G-适应的Rd-值过程，期权集合G=（G，…，ge）是e的一个G-可测量的重值向量∈ N（因此∧={1，…，e}）。让k∈ {0，··，N-1} ω∈ Ohmk、给出了一个非空凸集Pk（ω） P(Ohm)概率测度，表示（k+1）-thperiod，给定状态ω在时间0，1，···，k的所有可能模型集。我们假设对于每个k，图（Pk）：={（ω，P）：ω∈ Ohmk、 P∈ Pk（ω）} Ohmk×P(Ohm) 是分析型的。（2.27）给定一个普遍可测量的内核Pk：OhmK→ P(Ohm) 每k∈ {0,1，··，N- 1} 我们定义了一个概率测度POhm 根据富比尼定理：P（A）：=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，ω··，ωN）PN-1（ω，ω，ωN）-1.dωN）·P（dω）。然后我们可以引入集合P P(Ohm) 截至目前，多期市场的可能模型N:P：=P P · · · PN-1:Pk（·）∈ Pk（·），k=0，1，··，N- 1.. （2.28）请注意，条件（2.27）确保Pk始终有一个通用的可测量选择器：Pk:OhmK→ P(Ohm) 使得Pk（ω）∈ 所有ω的Pk（ω）∈ Ohmk、那么（2.28）中定义的集合P是非空的。我们还用Mk，k+1（ω）表示以下集合Mk，k+1（ω）={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pk（ω）和EΔωkQ[Sk+1]=0}，其中ΔωkQ:=δ（ω，·ω，ωk） Q是一个Borel概率测度Ohmk+1:=Ohmk×Ohm.Bouchard和Nutz（2015）引入了以下无套利NA（P）概念。NA（P）对所有（H，H）都适用∈ H×Re（H）o S） N+hg≥ 0 P-q.s==> （H）o S） N+hg=0p-q.S.类似地，我们会说NA（P）对所有（H，H）都成立if∈ H×Re（H）o S） N+hg≥ 0 P-q.s==> （H）o S） N+hg=0 P-q.S.（2.29）召回率也在（1.3）和（1.6）中定义。如Bouchard和Nutz（2015）所述，条件NA（P）等同于P和MG具有相同的极集合的陈述。下面的引理将这个结果推广到Ohm.引理2.1。

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可人4

2022-5-11 05:44:48

NA（P）<==> NA（P）<==> P和MGP具有相同的极性集。证据NA（P）和NA（P）这两个条件通过与改进（1.7）相同的参数是等价的。当且仅当ifP和MG具有相同的极性集时，就足以证明P和MG具有相同的极性集。这可以归结为证明一个集合Γ∈ Ohm 是Mgpolar集当且仅当k-截Γk={ω：（ω，k）∈ Γ}是每个k的一个MG极坐标集∈ 这是一个类似的陈述，涉及P和P，在定理1.3.2.1对偶性的证明中被证明Ohm我们的第一个主要结果是无套利条件下的二元性（2.29）。定理2.2。让NA（P）保持真实。那么集合mgn是空的，对于任何上半解析Φ：Ohm → R、一个有πEg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ, （2.30），尤其是定价对冲二元性（1.8）。此外，还存在（H，H）∈H×结果是πEg（Φ）+（Ho S） N+hg≥ Φ，P-q.s.证明委托给第5节，并使用以下引理。让我们使用示例1.11中介绍的运算符。注意那一点o ... o EN-1（ξ）（ω）=Ek，k+1o ... o EN-1，N（ξ）（ω），ξ∈ 式中Ek，k+1（ξ）（ω）=supMk，k+1（ω）EQ[ξ]。根据Bouchard和Nutz（2015）中的命题1.8，（4.12），并利用上半解析函数的最大值仍然是上半解析函数，我们得出引理2.3的结论。考虑e=0的情况，即∧=. 让ψ∈Υ. （1.11）中的Ek（ψ）也是上半解析和SUPQ∈MEQ[ψ]=E（Φ）：=Eo · · · o EN-1（ψ）.2.2动态规划原理Ohm回想一下，泛函上的算子族（Ek）在Ohm 在例1.11中进行了定义，在此基础上，我们得到了函数onb上的算子族（bEk）Ohm 如例1所示。15.定理2.4。Letbξ：bOhm → Rn可以是上半解析泛函。ThenbEk（bξ）也是偶合半解析和supbq∈cMgEbQ[bξ]=bE（bξ）：=bEo · · · o本-1（bξ）。特别是，NA（P）意味着（1.22）成立。证据

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2022-5-11 05:44:52

引理2.1NA（P）<==> NA（P），然后根据定理2.2定价——Hedging对偶Ohm 在（2.30）舱内。然后，根据推论1.13，（1.22）由动态规划原理onb暗示Ohm 因此，有足够的理由认为，thecM满足与P或M相同的分析性属性，Bouchard和Nutz（2015）中的断言将紧随其后（4.12）。假设k=0，··，N- 1和ω∈ Ohm, 与（2.28）类似，我们定义了‘，k（ω）：={Q:=ωkQk+1 · · · QN-1:齐∈ Mi，i+1（ω）}。集合M′，k（ω）诱导一个集合cm′，k（ω，y）onbOhm bycM′，k（ω，y）：={bQ:=Qo （X，YQ）-1，Q∈ M′，k（ω），YQk=y}。通过考虑其在k+1时的边际定律，我们定义了mk（ω，y）：={Qo （Xk+1，YQk+1）-1，Q∈ M′，k（ω），YQk=y}。我们认为图{（ω，y，bQ）}∈cMk（ω，y）}是解析的。（2.31）然后问题简化到引理2.3中的相同上下文，我们立即得到supbQ的动态规划表示∈cMgEbQ[·]如上所述。为了总结证据，就足以证明索赔（2.31）。首先，因为图{（ω，Q）：Q∈ Mk，k+1（ω）}是解析的，根据Dellacherie（1985）中的定理2，图{（ω，Q）：=M′，k（ω）}也是解析的。（请注意，Dellacherie（1985）中的结果是在马尔可夫背景下给出的，通过考虑整个路径，我们可以很容易地将问题简化为马尔可夫背景。）接下来，根据Neufeld和Nutz（2014）的引理3.1，我们可以选择一个家族（YQ）的版本∈b比如（ω，Q）7→ YQ（ω）是Borel可测的。因此，图{（ω，y，Q）：Q∈cM′，k（ω，y）}是解析的，因此{（ω，y，Q）：Q∈cM′，k（ω，y）}也是解析的。2.3与Bayraktar等人（2015年）和Bayraktar等人（2016年）的比较。

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2022-5-11 05:44:56

（2015），作者考虑了有限集∧={1，…，e}的同一超边问题πAg（Φ），并建立了对偶πAg（Φ）=infh∈Resupτ∈T（F）supQ∈MEQ[Φτ- hg]，（2.32），在某些正则条件下（见Bayraktar等人（2015）中的命题3.1）。定理2.2中的对偶性更一般、更完整，而且与引理2一起。3.它导致了上述二元性（2.32）。作为交换，Bayraktar等人（2015年）还研究了其他子边缘问题supτ∈T（F）infQ∈我们这里不考虑的MEQ[Φτ]。最近，Bayraktar和Zhou（2016）考虑了“随机”停止时间，并获得了πAg（Φ）的更完整对偶性。Bayraktar和Zhou（2016年）以及我们的研究结果中的双重配方或多或少具有相同的精神（如Neuberger（2007年）；霍布森和纽伯格（2017）。然而，Bayraktar和Zhou（2016）中的对偶性是在强可积条件和在正则条件下检验的抽象条件下建立的（见他们的假设2.1和备注2.1）。特别是，whenP是关于Ohm, 他们的假设2.1中的可积条件等价于Φkand giare一致有界。在本文中，我们只假设giare-Borel可测，Φkare上半解析和均为R值。从技术上讲，Bayraktar和Zhou（2016）使用Bouchard和Nutz（2015）中的对偶结果以及极小极大定理来证明他们的结果。我们的第一个主要结果是引入一个扩大的规范空间（以及一个扩大的规范过滤），将主要问题重新表述为欧式期权的超边缘问题。然后，通过调整Bouchard和Nutz（2015）中的论点，我们建立了Bouchard和Nutz（2015）中的对偶次一般条件。

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2022-5-11 05:44:59

此外，我们不假设ΦkisFk是可测量的，这允许我们研究包含美式期权和一些欧式期权的投资组合的超边缘问题。最后，我们的设置允许使用近似参数来研究一类新的鞅最优运输问题，并获得Kantorovich对偶。3鞅（最优）运输模型在本节中，我们研究了一大类静态交易的欧式期权中美式期权的对偶性。我们假设市场上的静态交易期权均为普通期权，且无套利（见Cox和Ob l\'oj（2011）和Cox et al.（2016）），且数量足够多，因此可以在某些到期时间T={T，·tM}恢复基础过程S的边际分布 T、其中tM=N。更准确地说，我们得到了边际分布的向量u=（u，···，uM）。我们写u（f）：=（Rf（x）u（dx）。。。，Rf（x）uM（dx）），我们假设u（|·|）<∞ 和ui（f）≤ uj（f）表示所有i≤ j、我，j≤ M、凸函数f:Rd→ R.（3.33）我们在这里工作Ohm := {s} *Rd×NWS在哪里∈ 这是一个关于OhmP:=P(Ohm). 因此Ohm := Ohm x T，P=P(Ohm). 条件（3.33）确保校准鞅测度的存在，即以下集合为非空μ：=Q∈ P(Ohm) : LQ（Sti）=ui，i≤ M、 S是（Q，F）-鞅,Mu：=Q∈ P(Ohm) : LQ（Sti）=ui，i≤ M、 S是（Q，F）-鞅.设∧是所有Lipschitz函数的类λ：Rd→ R、并表示∧：=M。静态交易期权g=（gλ）λ∈λ由gλ（ω）给出：=λ（ω）- 其中λ（ω）：=PMi=1λi（ωti）和u（λ）：=PMi=1uti（λi）。回想一下，Mg=Mu。由于∧是一个线性空间，使用第1.1小节中定义的半静态策略πAg（Φ）的美式期权Φ的超边际成本可以重写为πAg（Φ）=πau（Φ）：=inf{u（λ）：（H，…，HN）∈ HNs。T

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2022-5-11 05:45:02

Hji=Hki1.≤ 我≤ J≤ K≤ Nandλ∈ 满足λ（ω）+（Hk）oS） N（ω）≥ 所有k的Φk（ω）∈ T、 ω∈ Ohm}.同样，我们用πEu（Φ）表示支付Φ定义为Ohm, 根据定理1.3，我们得到πAu（Φ）=πEu（Φ）。例3.1。构造一个类似于例0.1的例子，强调在（1.5）中我们可能有一个严格的不等式。考虑N=2，T=T={1,2}，u=δ{0}和u=δ{-2}+ δ{-1}+ δ{1}+ δ{2}. 设Φ（{S=0}）=1，Φ（{S}=1}）=2和Φ（{S}=2}）=0。那么Mu只包含一个概率度量Q，通过直接计算，一个hasEQ对于所有τ，Φτ]=1∈ T（F）。现在我们构造一个鞅测度qbyq（dω，dθ）：=δ{1}（dθ）δ(0,1)+ δ(0,-1)（dω）+δ{2}（dθ）δ(0,2)+ δ(0,-2)（dω）。然后你可以检查一下∈ Mu然后是supq∈MuEQ[Φ]≥ 等式[Φ]=>1=supQ∈Musupτ∈T（F）EQΦτ].由于Φ的超边际价格等于3/2，因此可以考虑超边际策略，包括持有3/2现金和示例0.1中的一个选项g。类似于0.1的例子，二元性可以通过允许动态交易期权来恢复。3.1扩大空间的对偶性Ohm下面的定理说明了Ohm. 其证据被委托给第6节。定理3.2。假设Φ：Ohm → R从上到上半连续有界。然后存在一个最优鞅测度Q*∈ Mu和定价–对冲双重风险：EQ*Φ= supQ∈MuEQΦ=πEu（Φ）。尤其是（1.8）保持不变。备注3.3。注意，在上述配方中，每个uiI都是P（Rd）的元素。相反，可以将其视为（P（R））d的一个元素。具有类似证明的相同陈述将继续有效。

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